Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Putem obţine uşor din (1) şi următoarea rafinare a inegalităţii mediilor:
a n 1 + a n 2 + ···+ a n n
− a 1 a 2 ···a n ≥
n ·µ n a1 + a 2 + ···+ a n
− a 1 a 2 ···a n¸
.
n
n − 1
n
(9)
Într-adevăr, să remarcăm că inegalitatea lui Jensen implică imediat inegalitatea
(a 1 + a 2 + ···+ a n ) ¡ µ
a n−1
1 + a n−1
2 + ···+ a n−1 ¢ ṇ
n ≥ n
2 a1 + a 2 + ···+ a n
(10)
n
Din (1) şi (10), dupa câteva calcule simple, obţinem (9). Din păcate, prin această
n
metodă nuobţinem cea mai bună constantă înlocullui din membrul drept al
n −
µ
1
n−1 n
inegalităţii (9). Am reuşit să demonstrăm că aceastaeste
,dardemonstraţia
depăşeşte cadrul acestei scurte
n − 1
note.
Oaplicaţie surprinzătoare a inegalităţii lui Surányi o constituie şi următoarea
Propoziţie (Vasile Cârtoaje). Pentru orice numere a 1 ,a 2 ,...,a n > 0 are loc
inegalitatea
a n 1 + a n 2 + ···+ a n n + n(n − 1)a 1 a 2 ···a n ≥
µ 1
≥ a 1 a 2 ···a n (a 1 + a 2 + ···+ a n ) + 1 + ···+ 1
. (11)
a 1 a 2 a n
Demonstraţie. Din nou, vom folosi inducţia, dar vom vedea că pasul inductiv
se reduce exact la inegalitatea lui Surányi. Pentru n =3, (11) coincide cu (1) şi
cu inegalitatea lui Schur. Să presupunem acum că (11) este adevărată pentrun − 1
variabile şi fie a 1 ,a 2 ,...,a n > 0. Aplicând ipoteza inductivă pentrufiecaregrupăde
n − 1 numere dintre a 1 , a 2 ,...,a n ,obţinem
⎛
a j · X
a n−1
i +(n − 1)(n − 2)a 1 a 2 ···a n ≥ a 1 a 2 ···a n
⎝ X
i6=j
i6=j
⎞⎛
a i
⎠⎝ X i6=j
Însumând relaţiile din (12), rezultă inegalitatea
Ã
X n
!Ã n
!
X
nX
a i − a n i + n(n − 1)(n − 2)a 1 a 2 ···a n ≥
i=1
i=1
a n−1
i
i=1
P
Fie acum A = n P
a i , B = n
i=1
⎛ ⎞⎛
nX
⎝ X a i
⎠⎝ X
i6=j i6=j
j=1
⎞
1
⎠=
a i
i=1
≥ a 1 a 2 ···a n ·
⎛ ⎞ ⎛
nX
⎝ X a i
⎠ ⎝ X
i6=j i6=j
j=1
⎞
1
⎠ ,
a i
1
a i
.Esteevidentlanţul de egalităţi următor:
j = 1,n.
(12)
⎞
1
⎠ . (13)
a i
nX
(A−a j )
µB− 1
= nAB−AB−AB+n =(n−2)AB+n,
a j
j=1
13