Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
P<br />
n n a n i − P n<br />
i=1<br />
i=1<br />
a n−1<br />
i<br />
≥ 0, ce rezultă imediat din inegalitatea lui Cebâşev, a doua este<br />
relaţia evidentă a n+1 ≤ 1 şi, în sfârşit, a treia observaţie este inegalitatea<br />
n<br />
Ã<br />
!<br />
nX<br />
nX<br />
n a n+1<br />
i − a n i ≥ 1 nX nX<br />
n a n i − a n−1<br />
i ,<br />
n<br />
i=1<br />
i=1<br />
ce se poate obţine adunând toate inegalităţile de forma na n+1<br />
i<br />
i=1<br />
i=1<br />
+ 1 n an−1 i ≥ 2a n i ,<br />
i = 1,n.(6)esteşi mai uşor de demonstrat; rezultă dinurmătorul şir de inegalităţi<br />
şi identităţi evidente:<br />
nY<br />
n<br />
a i +(n − 1)a n n+1 − a n−1<br />
n+1 = Y<br />
(a i − a n+1 + a n+1 )+(n − 1)a n n+1 − a n−1<br />
n+1 ≥<br />
i=1<br />
≥ a n n+1 + a n−1<br />
n+1 ·<br />
nX<br />
i=1<br />
i=1<br />
(a i − a n+1 )+(n − 1)a n n+1 − a n−1<br />
n+1 =0.<br />
Astfel, am reuşit să dovedim(2)şi demonstraţia se încheie.<br />
Odată demonstrată(1),să vedem ce obţinem pentru valori mici ale numărului de<br />
variabile.<br />
Pentru n =3obţinem<br />
a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +3a 1 a 2 a 3 ≥ a 2 1 (a 2 + a 3 )+a 2 2 (a 3 + a 1 )+a 2 3 (a 1 + a 2 ) ,<br />
adică binecunoscuta inegalitate a lui Schur.<br />
Pentru n =4,dupăcalculederutină, rezultă inegalitatea<br />
à 4X<br />
!<br />
4Y<br />
2 a 4 i +2 a i ≥<br />
X ¡<br />
a i a j a<br />
2<br />
i + a 2 j¢<br />
,<br />
i=1 i=1 1≤i