Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

P
n n a n i − P n
i=1
i=1
a n−1
i
≥ 0, ce rezultă imediat din inegalitatea lui Cebâşev, a doua este
relaţia evidentă a n+1 ≤ 1 şi, în sfârşit, a treia observaţie este inegalitatea
n
Ã
!
nX
nX
n a n+1
i − a n i ≥ 1 nX nX
n a n i − a n−1
i ,
n
i=1
i=1
ce se poate obţine adunând toate inegalităţile de forma na n+1
i
i=1
i=1
+ 1 n an−1 i ≥ 2a n i ,
i = 1,n.(6)esteşi mai uşor de demonstrat; rezultă dinurmătorul şir de inegalităţi
şi identităţi evidente:
nY
n
a i +(n − 1)a n n+1 − a n−1
n+1 = Y
(a i − a n+1 + a n+1 )+(n − 1)a n n+1 − a n−1
n+1 ≥
i=1
≥ a n n+1 + a n−1
n+1 ·
nX
i=1
i=1
(a i − a n+1 )+(n − 1)a n n+1 − a n−1
n+1 =0.
Astfel, am reuşit să dovedim(2)şi demonstraţia se încheie.
Odată demonstrată(1),să vedem ce obţinem pentru valori mici ale numărului de
variabile.
Pentru n =3obţinem
a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +3a 1 a 2 a 3 ≥ a 2 1 (a 2 + a 3 )+a 2 2 (a 3 + a 1 )+a 2 3 (a 1 + a 2 ) ,
adică binecunoscuta inegalitate a lui Schur.
Pentru n =4,dupăcalculederutină, rezultă inegalitatea
à 4X
!
4Y
2 a 4 i +2 a i ≥
X ¡
a i a j a
2
i + a 2 j¢
,
i=1 i=1 1≤i