Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Demonstraţie. Inegalitatea x n c n şi ar fi demonstrată dacăamputeaarăta că şirul (u n ) n≥1 ,datde u n =1+ 1 2 + ···+ 1 n +1+n ln n − (n +1)ln(n +1), ∀n ∈ N∗ , este strict descrescător (deoarece (u n ) n≥1 are limita c -demonstraţi!). Dar inegalitatea u n >u n+1 se reduce la n ln n +(n +2)ln(n +2)− 2(n +1)ln(n +1)− 1 n +1 > 0 şi decurge din lema anterioară, pentru orice n ∈ N ∗ ; astfel, demonstraţia este încheiată. Şi, odată cu ea, este încheiată şi această notă. Dar calculele pot continua... De exemplu: Exerciţiul 4. · Studiaţi monotonia şirului (x n ) n≥1 ,pentru ³ ´n¸ a) x n =(n +1) e − 1+ 1 ; n ·³ b) x n =(n +1) 1+ 1 ´n+1 − e¸ ; n c) x n = √ µ n 1+ √ 1 + ···+ √ 1 −2 √ n−l 2 n , unde l =lim n→∞ µ 1+ √ 1 + ···+ √ 1 − 2 √ n . 2 n Bibliografie 1. D. Andrica, V. Berinde, L. Toth, A. Vernescu -Ordinul de convergenţă alunor şiruri, G. M. A, 7-8/1998. 2. V. Berinde - Despre ordinul de convergenţă alşirurilor de numere reale, G.M. 4/1998. 3. Gh. Gussi, O. Stănăşilă, Gh. Stoica - Analiză matematică, manualpentruclasa a XI-a, Editura Didactică şi Pedagogică, 1983. µ 4. E. Păltănea - Asupra vitezei de convergenţă aşirului 1+ n 1 n , G. M. A, 3/2001. 5. A. Vernescu - Ordinul de convergenţă alşirului de definiţie a constantei lui Euler, G. M. 10-11/1983. 6. A. Vernescu - Odemonstraţie simplă a unei inegalităţi relative la numărul e, G. M. 5-6/1988. 7. A. Vernescu - Asupra convergenţei unui şir cu limita ln 2, G. M. 10-11/1997. 8. A. Vernescu - Asupra seriei armonice generalizate, G. M. A, 3/1997. 10
Oteoremăuitată - inegalitatea lui Surányi Gabriel DOSPINESCU 1 Cu mult timp în urmă, pe lista problemelor propuse pentru prestigiosul Concurs "Miklos Schweitzer" aapărut şi următoarea inegalitate datorată luiSurányi: Teoremă. Pentruoricenumererealenenegativea 1 ,a 2 ,...,a n are loc inegalitatea (n − 1) (a n 1 + a n 2 + ···+ a n n)+na 1 a 2 ···a n ≥ ≥ (a 1 + a 2 + ···+ a n ) ¡ a n−1 1 + a n−1 2 + ···+ a n−1 ¢ n . (1) Departedeafiosimplăaplicaţie a unor inegalităţi cunoscute — cel puţin, nu din câte cunoaştem până înprezent—aceastăteoremădificilă reprezintă o inegalitate foarte tare, ce permite rafinări ale multor inegalităţi clasice. Fiind mai puţin cunoscută, vom prezenta pentru început demonstraţia ei, deloc facilă, urmând ca ulterior să subliniem câteva consecinţe interesante. Aşadar, Demonstraţia teoremei. Vom folosi inducţia matematică. Pentru n = 2, inegalitatea este trivială. Să presupunem că amreuşit să odemonstrăm pentru n variabile şi să considerăm a 1 ,a 2 ,...,a n ,a n+1 ≥ 0. Datorită simetriei şi omogenităţii acestei inegalităţi, putem presupune că a 1 ≥ a 2 ≥ ...≥ a n+1 şi a 1 +a 2 +···+a n =1. Să observăm însă că inegalitatea pe care trebuie să o demonstrăm se rescrie nX nY n Ã n a n+1 i +na n+1 n+1 +na Y n ! X n+1 a i +a n+1 a i −(1+a n+1 ) a n i + a n n+1 ≥ 0. (2) i=1 i=1 i=1 Ipoteza de inducţie asigură valabilitatea inegalităţii Y n na n+1 i=1 a i ≥ a n+1 X n a n−1 i=1 Ca urmare, mai rămâne de demonstrat inegalitatea Ã ! Ã nX nX nX nX n − − a n+1 n a n i − i=1 a n+1 i a n i i=1 i=1 i=1 X n i − (n − 1)a n+1 a n i . (3) i=1 i=1 a n−1 i Desigur, va fi suficient să demonstrăm inegalităţile Ã ! Ã nX nX nX n − − a n+1 n a n i − i=1 a n+1 i a n i i=1 a n+1 Ã n Y i=1 ! + i=1 Ã n ! Y + a n+1 a i +(n − 1)a n n+1 − a n−1 n+1 ≥ 0. (4) i=1 a i +(n − 1)a n n+1 − a n−1 n+1 nX i=1 a n−1 i ! ≥ 0, (5) ! ≥ 0 (6) pentru a finaliza demonstraţia pasului inductiv. Din fericire, (5) şi (6) nu sunt dificile. Într-adevăr, (5) rezultă combinând trei observaţii simple. Prima este inegalitatea 1 Student, École Normale Supérieure, Paris 11
Page 1 and 2: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9: cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11: Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13: de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 16 and 17: P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19: care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21: Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23: Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25: Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65:
µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67:
Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69:
C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71:
Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73:
În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75:
g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77:
P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 78 and 79:
f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81:
√ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83:
G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85:
G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87:
Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89:
Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90:
CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?