Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi lema este dovedită.
Propoziţia 2. Şirul (x n ) n≥1 definit prin
· µ
x n = n e − 1+ 1 n¸
= n(e − e n ), ∀n ∈ N ∗ ,
n
este strict crescător.
Demonstraţie. Inegalitatea de demonstrat este n(e − e n ) < (n +1)(e − e n+1 ) şi
este echivalentă cu(n +1)e n+1 − ne n 2f(n +1);
această ultimă formă nu este nimic altceva decât inegalitatea lui Jensen aplicată
funcţiei convexe f şi numerelor n şi n +2.Demonstraţia este încheiată.
Exerciţiul 2. Studiaţi monotonia şirului (x n ) n≥1 definit prin
" µ
x n = n 1+ 1 n+1
− e#
, ∀n ∈ N ∗ .
n
Mai departe considerăm şirulcutermenulgeneral
ζ n (α) =1+ 1
2 α + ···+ 1
n α , ∀n ∈ N∗ ,
unde α>1 este un număr fixat. Se vede imediat că acestşir este strict crescător
şi (ceva mai greu) mărginit superior, deci are o limită finită, pe care o notăm cu
ζ(α). În paranteză fie spus, funcţia care asociază fiecărui număr real α>1 pe ζ(α)
se numeşte funcţia zeta a lui Riemann şi are mare importanţă în multe domenii ale
matematicii. Se mai ştie că ordinul de convergenţă alşirului (ζ n (α)) n≥1 este dat de
egalitatea
lim
n→∞ nα−1 (ζ(α) − ζ n (α)) = 1
α − 1
(vezi, de exemplu, [8]). Aşadar, ne interesează monotonia şirului (x n ) n≥1 dat prin
x n = n α−1 (ζ(α) − ζ n (α)) , ∀n ∈ N ∗ ;
în legătură cuaceastaavem
Propoziţia 3. Şirul (x n ) n≥1 , cu termenul general x n = n α−1 (ζ(α) − ζ n (α)),
∀n ∈ N ∗ , este strict crescător.
Demonstraţie. Inegalitatea x n