Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Propoziţia 1. Şirul (x n ) n≥1 cu termenul general x n = n · n!(e − E n ) este strict
crescător.
Oaltămetodă de a demonstra Propoziţia 1 este prezentată în
Exerciţiul 1. Arătaţi că şirul (u n ) n≥1 cu termenul general
n +1
u n = E n +
n!(n 2 + n +1) , ∀n ∈ N∗ ,
este strict crescător cu limita e şi deduceţi de aici inegalitatea x n 0 şi
µ
f 00 (x) = 1+ 1 x µ ·x ln 2 1+ 1
+ 2 µ1+
x
x x +1 ln 1 x
Atunci, procedând cum am anunţat, vom putea scrie
f 00 (x) >
f 00 (x) >
µ
1+ 1 x
µ
1+ 1 x
x ·
x
4
(2x +1) 2 + 2
x +1·
x
3x +1
(x +1) 2 , ∀x >0,
(2x +1)
2
7
− x +3
2
2x +1 − x +3 ¸
(x +1) 2
¸
(x +1) 2 , ∀x >0.
sau