Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei
Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei
2 LABORATORUL 4. PROIECTAREA FILTRELOR FIR PRIN METODA FERESTREI 1. Se calculează răspunsul la impuls al filtrului ideal, considerând întârzierea de grup n 0 = M/2 (deci faza filtrului este liniară). De exemplu, pentru un filtru trece-jos, răspunsul ideal în frecvenţă este H id (e jω ) = { e −jωn 0 , dacă |ω| ≤ ω t , 0, dacă ω t < |ω| ≤ π, (4.1) iar răspunsul la impuls este h id [n] = sin ω t(n − n 0 ) . π(n − n 0 ) 2. Se alege o fereastră f[n] cu suport 0 : M. 3. Se calculează coeficienţii filtrului FIR modulând în timp răspunsul ideal h id [n] cu fereastra f[n], i.e. prin relaţia h[n] = h id [n]·f[n], n = 0 : M. Eventual, se înmulţesc toţi coeficienţii h[n] cu o constantă potrivit aleasă (de exemplu astfel încât H(1) = ∑ M n=0 h[n] = 1). Observaţia 4.1 După aplicarea algoritmului se trasează răspunsul în frecvenţă al filtrului FIR obţinut şi se verifică dacă este convenabil. Dacă nu este convenabil, se poate mări ordinul M sau se poate alege o altă fereastră f[n]. Observaţia 4.2 Alegerea ferestrei. Răspunsul în frecvenţă al filtrului H(z), scris în funcţie de răspunsurile în frecvenţă ale filtrului ideal şi ferestrei, are forma H(e jω ) = 1 2π ∫ π −π H id (e jθ )F (e j(ω−θ) )dθ. Pentru ca H(e jω ) să fie cât mai aproape de H id (e jω ), e necesar ca F (e jω ) să fie o aproximaţie cât mai bună a impulsului unitate (continuu) δ(ω). (Cerinţele ca fereastra să aibă suport finit în timp şi ca spectrul ei să fie cât mai concentrat în jurul frecvenţei ω = 0 sunt contradictorii.) Ferestre uzuale Fereastra dreptunghiulară, cea mai simplă fereastră, este definită de { 1, dacă 0 ≤ n ≤ M, f d [n] = 0, altfel. Fereastra triunghiulară (Bartlett): ⎧ ⎨ 2n/M, dacă 0 ≤ n ≤ M/2, f t [n] = 2 − 2n/M, dacă M/2 ≤ n ≤ M, ⎩ 0, altfel. (4.2) (4.3) Fereastra Hanning: Fereastra Hamming: f Hann [n] = { 0.5 − 0.5 cos(2πn/M), dacă 0 ≤ n ≤ M, 0, altfel. f Hamm [n] = { 0.54 − 0.46 cos(2πn/M), dacă 0 ≤ n ≤ M, 0, altfel. Fereastra Blackman: { 0.42 − 0.5 cos(2πn/M) + 0.08 cos(4πn/M), dacă 0 ≤ n ≤ M, f B [n] = 0, altfel. (4.4) (4.5)
4.2. SUPORT TEORETIC 3 1+∆ b 1 1−∆ b ∆ s ω ω b ω s π Figura 4.2: Caracteristică de frecvenţă (amplitudine) cu toleranţe şi exemplu de răspuns care satisface specificaţiile. Fereastra Kaiser: { √ I 0(β 1−[(n−n 0)/n 0] 2 ) f B [n] = I 0 (β) , dacă 0 ≤ n ≤ M, 0, altfel, (4.6) unde I 0 (·) este funcţia Bessel de ordinul zero modificată. Parametrul β permite varierea proprietăţilor ferestrei; pentru β = 0 se obţine fereastra dreptunghiulară. Pentru filtrele simple, e.g. de tip trece-jos, există unele metode empirice de alegere a ordinului M şi, pentru fereastra Kaiser, a parametrului β. Răspuns cu toleranţe fixate Un mod curent de specificare a performanţelor dorite pentru un filtru FIR este cel prezentat în figura 4.2, pentru un filtru trece-jos. Plecând de la un răspuns ideal în frecvenţă, se fac două feluri de aproximări: • Răspunsul în frecvenţă este precizat cu toleranţe, în sensul că se permite o abatere maximă a amplitudinii de la valorile ideale 1 în banda de trecere şi 0 în banda de oprire. Toleranţele sunt ∆ b în banda de trecere [0, ω b ] şi ∆ s în banda de oprire [ω s , π]; valorile acestor toleranţe constituie date de proiectare. • În afară de benzile de trecere şi de oprire, răspunsul în frecvenţă conţine şi o bandă de tranziţie (ω b , ω s ), în care valoarea amplitudinii este indiferentă. Problema de proiectare poate fi formulată în felul următor: F TOL. Dându-se frecvenţele ω b şi ω s şi toleranţele ∆ b şi ∆ s , să se găsească un filtru care satisface cerinţele din figura 4.2. Filtrul poate avea ordin dat sau se poate dori un filtru de ordin cât mai mic.
4.2. SUPORT TEORETIC 3<br />
1+∆ b<br />
1<br />
1−∆ b<br />
∆ s<br />
ω<br />
ω b<br />
ω s<br />
π<br />
Figura 4.2: Caracteristică de frecvenţă (amplitudine) cu toleranţe şi exemplu de răspuns care<br />
satisface specificaţiile.<br />
Fereastra Kaiser:<br />
{ √ I 0(β 1−[(n−n 0)/n 0] 2 )<br />
f B [n] =<br />
I 0 (β)<br />
, dacă 0 ≤ n ≤ M,<br />
0, altfel,<br />
(4.6)<br />
unde I 0 (·) este funcţia Bessel de ordinul zero modificată. Parametrul β permite varierea proprietăţilor<br />
<strong>ferestrei</strong>; pentru β = 0 se obţine fereastra dreptunghiulară.<br />
Pentru filtrele simple, e.g. de tip trece-jos, există unele metode empirice de alegere a ordinului<br />
M şi, pentru fereastra Kaiser, a parametrului β.<br />
Răspuns cu toleranţe fixate<br />
Un mod curent de specificare a performanţelor dorite pentru un filtru <strong>FIR</strong> este cel prezentat în<br />
figura 4.2, pentru un filtru trece-jos. Plecând de la un răspuns ideal în frecvenţă, se fac două<br />
feluri de aproximări:<br />
• Răspunsul în frecvenţă este precizat cu toleranţe, în sensul că se permite o abatere maximă<br />
a amplitudinii de la valorile ideale 1 în banda de trecere şi 0 în banda de oprire. Toleranţele<br />
sunt ∆ b în banda de trecere [0, ω b ] şi ∆ s în banda de oprire [ω s , π]; valorile acestor toleranţe<br />
constituie date de proiectare.<br />
• În afară de benzile de trecere şi de oprire, răspunsul în frecvenţă conţine şi o bandă de<br />
tranziţie (ω b , ω s ), în care valoarea amplitudinii este indiferentă.<br />
Problema de proiectare poate fi formulată în felul următor:<br />
F TOL. Dându-se frecvenţele ω b şi ω s şi toleranţele ∆ b şi ∆ s , să se găsească un filtru<br />
care satisface cerinţele din figura 4.2. Filtrul poate avea ordin dat sau se poate dori un<br />
filtru de ordin cât mai mic.
Change language