Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare
Curs 3
2014-15
LFAC (2014-15) Curs 3 1 / 30

Structura cursului
1 Automate finite cu ǫ-tranziţii
2 Gramatici de tip 3 şi automate finite
3 Automatul determinist minimal
LFAC (2014-15) Curs 3 2 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Curs 3
1 Automate finite cu ǫ-tranziţii
2 Gramatici de tip 3 şi automate finite
3 Automatul determinist minimal
LFAC (2014-15) Curs 3 3 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Automate finite cu ǫ-tranziţii
Definiţie 1
Un automat finit cu ǫ-tranziţii este un 5-uplu A = (Q,Σ,δ, q 0 , F), unde:
Q, Σ, q 0 şi F sunt definite ca în cazul automatelor finite
deterministe
δ este o funcţie , δ : Q×(Σ∪{ǫ}) → 2 Q , numită funcţia de tranziţie
Observaţie:
A este automat nedeterminist, dacă δ(q,ǫ) = ∅,∀q ∈ Q
A este automat determinist, dacă, în plus:
|δ(q, a)| = 1,∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ
LFAC (2014-15) Curs 3 4 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 5 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
Cl(q)
= {q ′ |q ′ ∈ Q, in graful automatului A exista un drum de la q la q’ de lungime k ≥ 0
ale carui arce sunt etichetate cu ǫ}.
q ∈ Cl(q)
LFAC (2014-15) Curs 3 6 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
Cl(q)
= {q ′ |q ′ ∈ Q, in graful automatului A exista un drum de la q la q’ de lungime k ≥ 0
ale carui arce sunt etichetate cu ǫ}.
q ∈ Cl(q)
Dacă S ⊆ Q, atunci notăm:
Cl(S) = ⋃ q∈S
Cl(q)
LFAC (2014-15) Curs 3 6 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
Cl(q)
= {q ′ |q ′ ∈ Q, in graful automatului A exista un drum de la q la q’ de lungime k ≥ 0
ale carui arce sunt etichetate cu ǫ}.
q ∈ Cl(q)
Dacă S ⊆ Q, atunci notăm:
Cl(S) = ⋃ q∈S
Cl(q)
Extensia lui δ la cuvinte: ˆδ : Q ×Σ ∗ → 2 Q
LFAC (2014-15) Curs 3 6 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
Cl(q)
= {q ′ |q ′ ∈ Q, in graful automatului A exista un drum de la q la q’ de lungime k ≥ 0
ale carui arce sunt etichetate cu ǫ}.
q ∈ Cl(q)
Dacă S ⊆ Q, atunci notăm:
Cl(S) = ⋃ q∈S
Cl(q)
Extensia lui δ la cuvinte: ˆδ : Q ×Σ ∗ → 2 Q
1 ˆδ(q,ǫ) = Cl(q),∀q ∈ Q;
LFAC (2014-15) Curs 3 6 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
Cl(q)
= {q ′ |q ′ ∈ Q, in graful automatului A exista un drum de la q la q’ de lungime k ≥ 0
ale carui arce sunt etichetate cu ǫ}.
q ∈ Cl(q)
Dacă S ⊆ Q, atunci notăm:
Cl(S) = ⋃ q∈S
Cl(q)
Extensia lui δ la cuvinte: ˆδ : Q ×Σ ∗ → 2 Q
1 ˆδ(q,ǫ) = Cl(q),∀q ∈ Q;
2 ˆδ(q, ua) = Cl(δ(ˆδ(q, u), a))), ∀q ∈ Q,∀u ∈ Σ ∗ ,∀a ∈ Σ.
LFAC (2014-15) Curs 3 6 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Extensia lui δ la cuvinte
ˆδ(q, a) = Cl(δ(Cl(q), a)),∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ
În cazul automatelor cu ǫ - tranziţii vom păstra notaţia ˆδ pentru
extensie pentru că, în general, ˆδ(q,ǫ) ≠ δ(q,ǫ) şi
ˆδ(q, a) ≠ δ(q, a), a ∈ Σ.
ˆδ(q, uv) = ˆδ(ˆδ(q, u), v), ∀q ∈ Q,∀u, v ∈ Σ ∗
LFAC (2014-15) Curs 3 7 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Limbajul acceptat
Definiţie 2
Limbajul acceptat (recunoscut) de automatul cu ǫ-tranziţii
A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) este mulţimea :
L(A) = {w|w ∈ Σ ∗ ,ˆδ(q 0 , w)∩F ≠ ∅}.
Un cuvânt w este recunoscut de un automat A dacă, după citirea
în întregime a cuvântului w, automatul (pornind din starea iniţială
q 0 ) poate să ajungă într-o stare finală.
LFAC (2014-15) Curs 3 8 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Automatul determinist echivalent
Teorema 1
Pentru orice automat A cu ǫ - tranziţii există un automat A ′ determinist
echivalent cu A
Dacă A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) atunci A ′ = (Q ′ ,Σ,δ ′ , q
0 ′, F′ ) unde:
Q ′ = 2 Q
q
0 ′ = Cl(q 0)
δ ′ (S, a) = Cl(δ(S, a)) S ∈ Q ′ , a ∈ Σ
S ∈ F ′ ⇔ S ∩ F ≠ ∅
LFAC (2014-15) Curs 3 9 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Automatul determinist echivalent
Teorema 1
Pentru orice automat A cu ǫ - tranziţii există un automat A ′ determinist
echivalent cu A
Dacă A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) atunci A ′ = (Q ′ ,Σ,δ ′ , q
0 ′, F′ ) unde:
Q ′ = 2 Q
q
0 ′ = Cl(q 0)
δ ′ (S, a) = Cl(δ(S, a)) S ∈ Q ′ , a ∈ Σ
S ∈ F ′ ⇔ S ∩ F ≠ ∅
Au loc:
δ ′ (q
0 ′, w) = ˆδ(q 0 , w), ∀w ∈ Σ ∗
L(A ′ ) = L(A)
LFAC (2014-15) Curs 3 9 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Automatul determinist echivalent - algoritm
Intrare: Automatul A (cu ǫ - tranziţii) ; Cl(S)
Ieşire: Automatul determinist A ′ = (Q ′ ,Σ,δ ′ , q 0 ′, F′ ), echivalent cu A.
q 0 ′ = Cl({q 0}); Q ′ = {q 0 ′} ;
marcat(q 0 ′) = false; F′ = ∅ ;
if (q 0 ′ ∩ F ≠ ∅) then F′ = F ′ ∪{q 0 ′} ;
while (∃S ∈ Q ′ &&!marcat(S)) { // S este nemarcat
for (a ∈ Σ){
S ′ = Cl(δ(S, a));
δ ′ (S, a) = S ′ ;
if (S ′ ∉ Q ′ ){
Q ′ = Q ′ ∪{S ′ };
marcat(S ′ ) = false;
if (S ′ ∩ F ≠ ∅) then F ′ = F ′ ∪{S ′ } ;
}
}
marcat(S) = true;
}
LFAC (2014-15) Curs 3 10 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 11 / 30

Automate finite cu ǫ-tranziţii
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 11 / 30

Gramatici de tip 3 şi automate finite
Curs 3
1 Automate finite cu ǫ-tranziţii
2 Gramatici de tip 3 şi automate finite
3 Automatul determinist minimal
LFAC (2014-15) Curs 3 12 / 30

Gramatici de tip 3 şi automate finite
De la gramatici de tip 3 la automate finite
Pentru orice gramatică G de tip 3 (în formă normală) există un
automat A (nedeterminist) astfel ca L(A) = L(G):
În gramatica G În automatul A
T Σ = T
N Q = N ∪{f}, F = {f}
S
q 0 = S
q → ap p ∈ δ(q, a)
q → a f ∈ δ(q, a)
dacă S → ǫ se adaugă S la F
LFAC (2014-15) Curs 3 13 / 30

Gramatici de tip 3 şi automate finite
De la automate finite la gramatici de tip 3
Pentru orice automat finit (determinist) există o gramatică G de tip
3 astfel ca L(A) = L(G):
În automatul A
Σ
Q
În gramatica G
T = Σ
N = Q
q 0 S = q 0
δ(q, a) = p q → ap
δ(q, a) ∈ F q → a
dacă q 0 ∈ F se adaugă q 0 → ǫ
LFAC (2014-15) Curs 3 14 / 30

Automatul determinist minimal
Curs 3
1 Automate finite cu ǫ-tranziţii
2 Gramatici de tip 3 şi automate finite
3 Automatul determinist minimal
LFAC (2014-15) Curs 3 15 / 30

Automatul determinist minimal
Stări accesibile
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) automat finit determinist
Starea q este accesibilă în A dacă există un cuvânt w ∈ Σ ∗ astfel încât
q = δ(q 0 , w).
LFAC (2014-15) Curs 3 16 / 30

Automatul determinist minimal
Stări inseparabile
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) un automat finit determinist.
Definiţie 3
Stările q 1 şi q 2 sunt inseparabile în raport cu F , (notat q 1 ρq 2 ) ddacă
∀w ∈ Σ ∗ : δ(q 1 , w) ∈ F ⇔ δ(q 2 , w) ∈ F
LFAC (2014-15) Curs 3 17 / 30

Automatul determinist minimal
Stări inseparabile
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) un automat finit determinist.
Definiţie 3
Stările q 1 şi q 2 sunt inseparabile în raport cu F , (notat q 1 ρq 2 ) ddacă
∀w ∈ Σ ∗ : δ(q 1 , w) ∈ F ⇔ δ(q 2 , w) ∈ F
Dacă există w ∈ Σ ∗ cu δ(q 1 , w) ∈ F şi δ(q 2 , w) ∉ F (sau invers),
stările q 1 şi q 2 sunt separabile (de către w), şi notăm q 1 sep q 2
q 1 sep q2 ⇔ ¬q 1 ρq 2 .
LFAC (2014-15) Curs 3 17 / 30

Automatul determinist minimal
Stări inseparabile
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) un automat finit determinist.
Definiţie 3
Stările q 1 şi q 2 sunt inseparabile în raport cu F , (notat q 1 ρq 2 ) ddacă
∀w ∈ Σ ∗ : δ(q 1 , w) ∈ F ⇔ δ(q 2 , w) ∈ F
Dacă există w ∈ Σ ∗ cu δ(q 1 , w) ∈ F şi δ(q 2 , w) ∉ F (sau invers),
stările q 1 şi q 2 sunt separabile (de către w), şi notăm q 1 sep q 2
q 1 sep q2 ⇔ ¬q 1 ρq 2 .
Observaţie: dacă q 1 ∈ F şi q 2 ∉ F , atunci q 1 sep q 2
LFAC (2014-15) Curs 3 17 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 18 / 30

Automatul determinist minimal
Automat minimal
Observaţii:
Relatia ρ este relaţie de echivalenţă.
∃a ∈ Σ : δ(p, a) sep δ(q, a) =⇒ p sep q.
LFAC (2014-15) Curs 3 19 / 30

Automatul determinist minimal
Automat minimal
Observaţii:
Relatia ρ este relaţie de echivalenţă.
∃a ∈ Σ : δ(p, a) sep δ(q, a) =⇒ p sep q.
Teorema 2
Fie A un automat determinist cu toate stările accesibile. Daca toate
stările din A sunt separabile în raport cu F, atunci nu există un alt
automat A ′ cu număr mai mic de stări şi L(A) = L(A ′ ).
LFAC (2014-15) Curs 3 19 / 30

Automatul determinist minimal
Automatul minimal
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) un automat finit determinist si relaţia ρ.
Dacă ∀q 1 , q 2 ∈ Q : q 1 sep q 2 , atunci A este minimal.
Altfel, automatul minimal:
A ρ = (Q/ρ,Σ,δ ρ ,[q 0 ], F/ρ)
Q/ρ - clasele de echivalenţă ale relaţiei ρ:
Q/ρ = {[q]|q ∈ Q}
δ ρ ([q], a) = [δ(q, a)]
[q 0 ] clasa de echivalenţă în care se află starea q 0
F/ρ = {[q]|q ∈ F}
LFAC (2014-15) Curs 3 20 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 21 / 30

Automatul determinist minimal
Automatul minimal
Fie automatul minimal: A ρ = (Q/ρ,Σ,δ ρ ,[q 0 ], F/ρ)
Q/ρ - clasele de echivalenţă ale relaţiei ρ:
δ ρ ([q], a) = [δ(q, a)]
[q 0 ] clasa de echivalenţă în care se află starea q 0
F/ρ = {[q]|q ∈ F}
Teorema 3
Fie automatul determinist A, cu toate stările accesibile. Automatul A ρ
construit ca mai sus este automatul cu număr minim de stări care
acceptă limbajul L(A).
LFAC (2014-15) Curs 3 22 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
Fie A = (Q,Σ,δ, q 0 , F), Q = {q 0 , q 1 ,...,q n }
Tablou separabil[q i , q j ]:
separabil[q i , q j ] = 1 ddacă q i sep q j (separabil[q i , q j ] = 0 ddacă
q i ρq j )
iniţial separabil[q i , q j ] = 1 ddacă q i ∈ F, q j ∉ F (sau invers)
dacă există a ∈ Σ cu δ(q i , a) sep δ(q j , a), atunci q i sep q j , adică :
dacă separabil[q i , q j ] = 0 şi există a ∈ Σ cu
separabil[δ(q i , a),δ(q j , a)] = 1, atunci separabil[q i , q j ] = 1
LFAC (2014-15) Curs 3 23 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
lista[p, r] : (p ≠ r)
o pereche de stări inseparabile (q i , q j ) (separabil[q i , q j ] = 0 ) se
adaugă la lista[p, r] dacă:
⇐⇒
există a ∈ Σ astfel încât p = δ(q i , a), r = δ(q j , a) ((qi, qj) ≠ (p, r))
separabil[p, r] = 0
(qi, qj) → lista[δ(q i , a),δ(qj, a)] dacă separabil[q i , q j ] = 0 şi
separabil[δ(q i , a),δ(qj, a)] = 0
LFAC (2014-15) Curs 3 24 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
lista[p, r] : (p ≠ r)
o pereche de stări inseparabile (q i , q j ) (separabil[q i , q j ] = 0 ) se
adaugă la lista[p, r] dacă:
⇐⇒
există a ∈ Σ astfel încât p = δ(q i , a), r = δ(q j , a) ((qi, qj) ≠ (p, r))
separabil[p, r] = 0
(qi, qj) → lista[δ(q i , a),δ(qj, a)] dacă separabil[q i , q j ] = 0 şi
separabil[δ(q i , a),δ(qj, a)] = 0
dacă p şi r devin la un moment dat separabile, atunci perechile de
stări (q i , q j ) din lista[p, r] devin separabile:
Fie (q i , q j ) ∈ lista[p, r] ⇒ ∃a : p = δ(q i , a), r = δ(q j , a)
p sep r ⇔ δ(q i , a) sep δ(q j , a) =⇒ q i sep q j
LFAC (2014-15) Curs 3 24 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
Se iniţializează tabloul separabil (separabil[q i , q j ] = 1, dacă
q i ∈ F , q j ∉ F sau invers)
Pentru orice q i , q j (0 ≤ i < j ≤ n) cu separabil[q i , q j ] = 0 :
LFAC (2014-15) Curs 3 25 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
Se iniţializează tabloul separabil (separabil[q i , q j ] = 1, dacă
q i ∈ F , q j ∉ F sau invers)
Pentru orice q i , q j (0 ≤ i < j ≤ n) cu separabil[q i , q j ] = 0 :
Dacă există a ∈ Σ cu separabil[δ(q i , a),δ(q j , a)] = 1, atunci:
separabil[q i , q j ] = 1
trebuie modificat tabloul separabil pentru toate perechile de stări a
căror separabilitate depinde de q i , q j (perechile de stări din
lista[q i , q j ])
LFAC (2014-15) Curs 3 25 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
Se iniţializează tabloul separabil (separabil[q i , q j ] = 1, dacă
q i ∈ F , q j ∉ F sau invers)
Pentru orice q i , q j (0 ≤ i < j ≤ n) cu separabil[q i , q j ] = 0 :
Dacă există a ∈ Σ cu separabil[δ(q i , a),δ(q j , a)] = 1, atunci:
separabil[q i , q j ] = 1
trebuie modificat tabloul separabil pentru toate perechile de stări a
căror separabilitate depinde de q i , q j (perechile de stări din
lista[q i , q j ])
Altfel (pentru orice a ∈ Σ are loc separabil[δ(q i , a),δ(q j , a)] = 0):
pentru orice a ∈ Σ cu δ(q i , a) ≠ δ(q j , a) adaugă (q i , q j ) la
lista[δ(q i , a),δ(q j , a)]
LFAC (2014-15) Curs 3 25 / 30

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
//initializarea tablourilor,
se marchează perechile F ×(Q − F) si (Q − F)×F
1.for (i=0; i

Automatul determinist minimal
9.for (i=0; i

Automatul determinist minimal
Algoritm pentru determinarea relaţiei ρ
// qi si qj devin separabile si la fel toate
// perechile de stari dependente de qi,qj
update separabil(qi, qj){
separabil[qi, qj] = 1;
for ((q i, ′ q j) ′ ∈ lista[qi, qj]){
if (separabil[q i, ′ q j] ′ == 0)
update separabil(q i, ′ q j);
′
}
}
LFAC (2014-15) Curs 3 28 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Exemplu
LFAC (2014-15) Curs 3 29 / 30

Automatul determinist minimal
Corectitudinea algoritmului
Teorema 4
Algoritmul se termină întotdeauna şi în final se obţine, pentru orice
două stări q i şi q j , 0 ≤ i < j ≤ n: separabil[q i , q j ] = 1 ddacă q i sep q j
LFAC (2014-15) Curs 3 30 / 30

Automatul determinist minimal
Corectitudinea algoritmului
Teorema 4
Algoritmul se termină întotdeauna şi în final se obţine, pentru orice
două stări q i şi q j , 0 ≤ i < j ≤ n: separabil[q i , q j ] = 1 ddacă q i sep q j
(⇐=) Se arată că:
P(k) : Pentru orice două stări q i şi q j (0 ≤ i < j ≤ n) separabile de către un cuvânt w
cu |w| ≤ k (δ(q i , w) ∈ F,δ(q j , w) ∉ F), are loc:
separabil[q i , q j ] = 1.
Inducţie după |w|.
LFAC (2014-15) Curs 3 30 / 30