Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare 

Curs 2 

2014-15 

LFAC (2014-15) Curs 2 1 / 26

Proprietăţi de închidere pentru L 3 

Curs 2 

1 Proprietăţi de închidere pentru L 3 

2 Lema Bar-Hillel 

3 Automate finite deterministe 

4 Automate finite nedeterministe 

LFAC (2014-15) Curs 2 2 / 26


Fie L, L 1 , L 2 limbaje regulate: există gramaticile G, G 1 , G 2 de tip 3 

astfel ca L = L(G), L 1 = L(G 1 ) şi L 2 = L(G 2 ). 

Atunci, următoarele limbaje sunt de asemenea regulate: 

1 L 1 ∪ L 2 

2 L 1 · L 2 

3 L ∗ 

4 L R 

5 L 1 ∩ L 2 

6 L 1 \ L 2 

LFAC (2014-15) Curs 2 3 / 26


Închiderea la operaţia de iteraţie 

Fie L limbaj de tip 3 (regulat). 

Fie G = (N, T, S, P) de tip 3, în formă normală, care genereaza L 

(L = L(G)). 

Presupunem ca simbolul de start S nu apare in partea dreaptă a 

vreunei reguli. 

Gramatica G ′ = (N, T, S, P ′ ) unde P ′ consta din 

reguli A → aB din P 

reguli A → aS, pentru orice regula A → a din P 

regula S → ǫ 

este de tip 3 si generează L ∗ 

LFAC (2014-15) Curs 2 4 / 26


Închiderea la intersecţie 

Fie L 1 , L 2 limbaje de tip 3 (regulate). 

Fie G 1 = (N 1 , T 1 , S 1 , P 1 ) si G 2 = (N 2 , T 2 , S 2 , P 2 ) gramatici de tip 3, în 

formă normală, cu L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ). 

Gramatica G = (N 1 × N 2 , T 1 ∩ T 2 ,(S 1 , S 2 ), P), unde P constă din: 

(S 1 , S 2 ) → ǫ, dacă S 1 → ǫ ∈ P 1 şi S 2 → ǫ ∈ P 2 

(A 1 , B 1 ) → a(A 2 , B 2 ), dacă A 1 → aA 2 ∈ P 1 şi B 1 → aB 2 ∈ P 2 

(A 1 , A 2 ) → a, dacă A 1 → a ∈ P 1 şi A 2 → a ∈ P 2 

este de tip 3 şi generează limbajul L 1 ∩ L 2 

LFAC (2014-15) Curs 2 5 / 26


Închiderea la operaţia de oglindire 

Fie L limbaj de tip 3 (regulat). 

Fie G = (N, T, S, P) de tip 3, în formă normală, care generează L 

(L = L(G)) 

Presupunem ca simbolul de start S nu apare in partea dreaptă a 

vreunei reguli. 

Gramatica G ′ = (N, T, S ′ , P ′ ) unde P ′ constă din 

reguli S ′ → aA, pentru orice regulă A → a din P 

reguli B → aA pentru orice regulă A → aB din P 

regula S → ǫ 

regula S ′ → a, pentru orice regulă S → a din P (a ∈ T ∪{ǫ}) 

este de tip 3 şi generează L R 

LFAC (2014-15) Curs 2 6 / 26

Lema Bar-Hillel 

Curs 2 





LFAC (2014-15) Curs 2 7 / 26


Lema Bar-Hillel (lema de pompare) 

Lema 2.1 

Fie L un limbaj de tip 3. Există un număr m astfel încât oricare ar fi 

cuvântul w ∈ L cu |w| ≥ m, acesta are o descompunere de forma 

w = xyz, unde 0 < |y| ≤ m, şi xy i z ∈ L oricare ar fi i ≥ 0. 

Fie G = (N, T, S, P) astfel ca L(G) = L. Dacă |N| este numărul simbolurilor din N , 

m = |N|+1, se arată că are loc proprietatea enunţată: 

Fie w = a 1 a 2 ...a n, n ≥ m ⇒ n ≥ |N|+1 

S ⇒ a 1 A 1 ⇒ a 1 a 2 A 2 ⇒ ... ⇒ a 1 a 2 ...a k A k ⇒ ... ⇒ a 1 a 2 ...a k a k+1 ...a sA s ⇒ ... ⇒ 

a 1 a 2 ...a k a k+1 ...a sa s+1 ...a n−1 A n−1 ⇒ a 1 a 2 ...a k a k+1 ...a sa s+1 ...a n−1 a n 

A k = A s 

LFAC (2014-15) Curs 2 8 / 26


Demonstraţie 

w = a 1 a 2 ...a n , n ≥ m 

S ⇒ a 1 A 1 ⇒ a 1 a 2 A 2 ⇒ ... ⇒ a 1 a 2 ...a k A k ⇒ ... ⇒ 

a 1 a 2 ...a k a k+1 ...a s A k ⇒ ... ⇒ a 1 a 2 ...a k a k+1 ...a s a s+1 ...a n−1 a n 

Atunci: 

S ⇒ ∗ a 1 a 2 ...a k A k 

A k ⇒ ∗ a k+1 ...a s A k şi 

A k ⇒ ∗ a s+1 ...a n−1 a n 

Fie x = a 1 a 2 ...a k , y = a k+1 ...a s şi z = a s+1 ...a n−1 a n 

S ⇒ ∗ xA k , A k ⇒ ∗ yA k şi A k ⇒ ∗ z 

LFAC (2014-15) Curs 2 9 / 26


Demonstraţie 

Fie x = a 1 a 2 ...a k , y = a k+1 ...a s şi z = a s+1 ...a n−1 a n 

S ⇒ ∗ xA k 

A k ⇒ ∗ yA k şi 

A k ⇒ ∗ z 

Pentru i = 0, xz ∈ L(G): S ⇒ ∗ xA k ⇒ ∗ xz 

Pentru i > 0, xy i z ∈ L(G): 

S ⇒ ∗ xA k ⇒ ∗ xyA k ⇒ ∗ xyyA k ⇒ ∗ ... ⇒ ∗ xyy ...yA k ⇒ ∗ 

xyy ...yz = xy i z 

LFAC (2014-15) Curs 2 10 / 26

Automate finite deterministe 

Curs 2 





LFAC (2014-15) Curs 2 11 / 26


Automate finite 

Mecanism de recunoaştere (acceptare) pentru limbaje 

Limbaje de tip 3 

Mulţime finită de stări 

LFAC (2014-15) Curs 2 12 / 26


Automate finite 

Definiţie 1 

Un automat finit determinist este un 5-uplu A = (Q,Σ,δ, q 0 , F), unde: 

Q şi Σ sunt mulţimi finite, nevide, numite mulţimea stărilor 

respectiv alfabetul de intrare 

q 0 ∈ Q este starea iniţială 

F ⊆ Q este mulţimea stărilor finale 

δ este o funcţie , δ : Q ×Σ → Q, numită funcţia de tranziţie 

LFAC (2014-15) Curs 2 13 / 26


Reprezentare prin diagrame(grafuri) de tranziţie 

Stări: 

Stare iniţială: 

Stări finale: 

Funcţia de tranziţie: 

LFAC (2014-15) Curs 2 14 / 26


Reprezentare prin matricea de tranziţie 

A = ({q 0 , q 1 },{a, b},δ, q 0 ,{q 1 }) 

LFAC (2014-15) Curs 2 15 / 26


Limbajul acceptat 

Extensia lui δ la cuvinte ˆδ : Q ×Σ ∗ → Q 

1 ˆδ(q,ǫ) = q,∀q ∈ Q; 

2 ˆδ(q, ua) = δ(ˆδ(q, u), a)), ∀q ∈ Q,∀u ∈ Σ ∗ ,∀a ∈ Σ. 

Observaţii: 

ˆδ(q, a) = δ(q, a),∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ 

ˆδ(q, uv) = ˆδ(ˆδ(q, u), v), ∀q ∈ Q,∀u, v ∈ Σ ∗ 

LFAC (2014-15) Curs 2 16 / 26



Definiţie 2 

Limbajul acceptat (recunoscut) de automatul A = (Q,δ,Σ, q 0 , F) este 

mulţimea : 

L(A) = {w|w ∈ Σ ∗ ,ˆδ(q 0 , w) ∈ F}. 

Un cuvânt w este recunoscut de un automat A dacă, după citirea 

în întregime a cuvântului w, automatul (pornind din starea iniţială 

q 0 ) ajunge într-o stare finală. 

ˆδ(q, a) = δ(q, a),∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ. Din acest motiv, ˆδ va fi notată de 

asemenea cu δ. 

Două automate A şi A ′ sunt echivalente, dacă L(A) = L(A ′ ) 

LFAC (2014-15) Curs 2 17 / 26


Exemple 

LFAC (2014-15) Curs 2 18 / 26


Exemple 

L(A) = {a n b m |n ≥ 0, m ≥ 1} 

LFAC (2014-15) Curs 2 18 / 26


Exemple 

L(A) = {a n b m |n ≥ 0, m ≥ 1} 

L(A) = {a, b} ∗ 

LFAC (2014-15) Curs 2 18 / 26


Exemple 

Automate deterministe pentru: 

L = {w ∈ {0, 1} ∗ |w conţine un număr par de 0} 

L = {w ∈ {0, 1} ∗ |w se termina cu 11} 

LFAC (2014-15) Curs 2 19 / 26

Automate finite nedeterministe 

Curs 2 





LFAC (2014-15) Curs 2 20 / 26



Definiţie 3 

Un automat finit nedeterminist este un 5-uplu A = (Q,Σ,δ, q 0 , F), 

unde: 

Q, Σ, q 0 şi F sunt definite ca în cazul automatelor finite 

deterministe 

δ este o funcţie , δ : Q ×Σ → 2 Q , numită funcţia de tranziţie 

Observaţie: 

A este automat determinist, dacă 

|δ(q, a)| = 1,∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ 

LFAC (2014-15) Curs 2 21 / 26


Exemple 

LFAC (2014-15) Curs 2 22 / 26


Extensia lui δ la cuvinte 

Fie S mulţime de stări. Notăm δ(S, a) = ⋃ q∈Sδ(q, a). 

Extensia lui δ la cuvinte ˆδ : Q ×Σ ∗ → 2 Q 

1 ˆδ(q,ǫ) = {q},∀q ∈ Q; 

2 ˆδ(q, ua) = δ(ˆδ(q, u), a), ∀q ∈ Q,∀u ∈ Σ ∗ ,∀a ∈ Σ. 

LFAC (2014-15) Curs 2 23 / 26


Extensia lui δ la cuvinte 

Fie S mulţime de stări. Notăm δ(S, a) = ⋃ q∈Sδ(q, a). 

Extensia lui δ la cuvinte ˆδ : Q ×Σ ∗ → 2 Q 

1 ˆδ(q,ǫ) = {q},∀q ∈ Q; 

2 ˆδ(q, ua) = δ(ˆδ(q, u), a), ∀q ∈ Q,∀u ∈ Σ ∗ ,∀a ∈ Σ. 

Observaţii: 

ˆδ(q, a) = δ(q, a), ∀q ∈ Q,∀a ∈ Σ 

ˆδ(q, uv) = ˆδ(ˆδ(q, u), v), ∀q ∈ Q,∀u, v ∈ Σ ∗ . 

LFAC (2014-15) Curs 2 23 / 26



Definiţie 4 

Limbajul acceptat (recunoscut) de automatul finit nedeterminist 

A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) este mulţimea : 

L(A) = {w|w ∈ Σ ∗ ,ˆδ(q 0 , w)∩F ≠ ∅}. 

Un cuvânt w este recunoscut de un automat A dacă, după citirea 

în întregime a cuvântului w, automatul (pornind din starea iniţială 

q 0 ) poate să ajungă într-o stare finală. 

LFAC (2014-15) Curs 2 24 / 26


Determinism = Nedeterminism 

Teorema 1 

Pentru orice automat nedeterminist A, există unul determinist A ′ 

echivalent. 

Dacă A = (Q,Σ,δ, q 0 , F) atunci A ′ = (2 Q ,Σ,δ ′ , Q 0 , F ′ ) unde: 

Q 0 = {q 0 } 

F ′ = {S|S ⊆ Q, S ∩ F ≠ ∅} 

δ ′ (S, a) = ⋃ s∈Sδ(s, a) (= δ(S, a)), ∀S ∈ 2Q 

Pentru aplicaţii se construiesc doar stările accesibile din starea 

iniţială 

LFAC (2014-15) Curs 2 25 / 26


Exemplu 

LFAC (2014-15) Curs 2 26 / 26

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?