Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare
Curs 1
2014-15
LFAC (2014-15) Curs 1 1 / 37

Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 2 / 37

Prezentare curs
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 3 / 37

Prezentare curs
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare
Titulari curs:
O. Captarencu: otto@info.uaic.iasi.ro
http://www.infoiasi.ro/˜otto/lfac.html
A. Moruz:mmoruz@info.uaic.ro
Titulari seminar/laborator:
O. Captarencu
A. Moruz
B. Prelipcean
C. Vârlan
LFAC (2014-15) Curs 1 4 / 37

Prezentare curs
Sistem evaluare
7 seminarii, 6 laboratoare;
AS = activitatea la seminar (max 10 puncte);
AL = activitatea la laborator (max 10 puncte);
T1,T2 teste scrise în săptămânile 8, respectiv în sesiune;
Punctajul final se obţine astfel:
P = 3 * AS + 3 * AL + 2 * T1 + 2 * T2
Condiţii miminale de promovare: AS ≥ 5, AL ≥ 5;
Punctaj minim pentru promovare: P ≥ 50;
Nota finală se va stabili conform criteriilor ECTS;
LFAC (2014-15) Curs 1 5 / 37

Prezentare curs
Sistem evaluare
AS = activitatea la seminar (max 10 puncte):
media a două teste scrise
până la 2 puncte bonus pentru activitatea din timpul seminarului
AL = activitatea la laborator (max 10 puncte):
1 test laborator, 2 teme laborator (note de la 0 la 10)
AL = media celor 3 note
LFAC (2014-15) Curs 1 6 / 37

Prezentare curs
Tematica cursului (partea I)
Limbaje şi gramatici
Limbaje regulate; gramatici, automate , expresii regulate
Limbaje independente de context; gramatici, automate pushdown
Maşini Turing
LFAC (2014-15) Curs 1 7 / 37

Prezentare curs
Tematica cursului (partea II)
Limbaje de programare: proiectare şi implementare
Analiza lexicală
Analiza sintactică
Traducere în cod intermediar
LFAC (2014-15) Curs 1 8 / 37

Prezentare curs
Tematica seminarului
Exemple de limbaje şi gramatici
Automate finite deterministe, nedeterministe, cu epsilon-tranziţii -
Exemple
Expresii regulate
Gramatici independente de context, arbori de derivare, eliminarea
simbolurilor inutile, eliminarea regulilor de ştergere, a
redenumirilor
Forma normală Chomsky, algoritmul CYK
Automate pushdown - exemple
LFAC (2014-15) Curs 1 9 / 37

Prezentare curs
Tematica laboratorului
Analiza lexicală folosind instrumente de tip LEX
Analiza sintactică folosind instrumente de tip YACC
Interpretor construit cu LEX şi YACC
LFAC (2014-15) Curs 1 10 / 37

Prezentare curs
Bibliografie (selecţii)
1 A. V. Aho, M. S. Lam, R. Sethi, J. D. Ullman: Compilers:
Principles, Techniques, and Tools. Boston: Addison-Wesley, 2007
2 Gh. Grigoras. Constructia compilatoarelor - Algoritmi
fundamentali, Ed. Universitatii Al. I. ”Cuza Iasi”, ISBN
973-703-084-2, 274 pg., 2005
3 Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2006).
Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation
(3rd ed.). Addison-Wesley
4 J. Toader - Limbaje formale şi automate, Editura Matrix Rom,
Bucuresti, 1999.
5 J. Toader, S. Andrei - Limbaje formale şi teoria automatelor. Teorie
şi practică, Editura Universitatii ”Al. I. Cuza”, Iasi, 2002.
LFAC (2014-15) Curs 1 11 / 37

Limbaje formale
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 12 / 37

Limbaje formale
Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte
Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri )
LFAC (2014-15) Curs 1 13 / 37

Limbaje formale
Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte
Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri )
Cuvânt: şir finit de simboluri
cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ.
LFAC (2014-15) Curs 1 13 / 37

Limbaje formale
Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte
Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri )
Cuvânt: şir finit de simboluri
cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ.
Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: |u|.
|ǫ| = 0
LFAC (2014-15) Curs 1 13 / 37

Limbaje formale
Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte
Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri )
Cuvânt: şir finit de simboluri
cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ.
Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: |u|.
|ǫ| = 0
V ∗ - multimea tuturor cuvintelor peste alfabetul V, inclusiv ǫ.
{0, 1} ∗ = {ǫ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...}
LFAC (2014-15) Curs 1 13 / 37

Limbaje formale
Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte
Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri )
Cuvânt: şir finit de simboluri
cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ.
Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: |u|.
|ǫ| = 0
V ∗ - multimea tuturor cuvintelor peste alfabetul V, inclusiv ǫ.
{0, 1} ∗ = {ǫ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...}
V + - multimea tuturor cuvintelor nenule peste alfabetul V
{0, 1} + = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...}
LFAC (2014-15) Curs 1 13 / 37

Limbaje formale
Operaţii pe cuvinte
Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x · y obţinut din
simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y
de asemenea în ordinea în care apar:
x = 0100, y = 100, x · y = 0100100
x = 000, y = ǫ, x · y = 000
LFAC (2014-15) Curs 1 14 / 37

Limbaje formale
Operaţii pe cuvinte
Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x · y obţinut din
simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y
de asemenea în ordinea în care apar:
x = 0100, y = 100, x · y = 0100100
x = 000, y = ǫ, x · y = 000
Concatenarea este asociativă
LFAC (2014-15) Curs 1 14 / 37

Limbaje formale
Operaţii pe cuvinte
Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x · y obţinut din
simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y
de asemenea în ordinea în care apar:
x = 0100, y = 100, x · y = 0100100
x = 000, y = ǫ, x · y = 000
Concatenarea este asociativă
(V ∗ ,·) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul
liber generat de V .
LFAC (2014-15) Curs 1 14 / 37

Limbaje formale
Operaţii pe cuvinte
Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x · y obţinut din
simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y
de asemenea în ordinea în care apar:
x = 0100, y = 100, x · y = 0100100
x = 000, y = ǫ, x · y = 000
Concatenarea este asociativă
(V ∗ ,·) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul
liber generat de V .
Cuvântul v este un prefix al cuvântului u dacă ∃w ∈ V ∗ : u = vw;
dacă w ∈ V + , atunci v este un prefix propriu al lui u.
LFAC (2014-15) Curs 1 14 / 37

Limbaje formale
Operaţii pe cuvinte
Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x · y obţinut din
simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y
de asemenea în ordinea în care apar:
x = 0100, y = 100, x · y = 0100100
x = 000, y = ǫ, x · y = 000
Concatenarea este asociativă
(V ∗ ,·) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul
liber generat de V .
Cuvântul v este un prefix al cuvântului u dacă ∃w ∈ V ∗ : u = vw;
dacă w ∈ V + , atunci v este un prefix propriu al lui u.
Cuvântul v este un sufix al cuvântului u dacă ∃w ∈ V ∗ : u = wv;
dacă w ∈ V + , atunci v este un sufix propriu al lui u.
LFAC (2014-15) Curs 1 14 / 37

Limbaje formale
Fie V un alfabet. O submulţime L ⊆ V ∗ este un limbaj (formal)
peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere
(matematică) finită.
O descriere poate fi:
LFAC (2014-15) Curs 1 15 / 37

Limbaje formale
Fie V un alfabet. O submulţime L ⊆ V ∗ este un limbaj (formal)
peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere
(matematică) finită.
O descriere poate fi:
neformală (în limbaj natural):
multimea cuvintelor peste alfabetul {0, 1} care contin un numar par
de 0.
L = {x ∈ V + : |x| este par}.
{a n b n |n ∈ N}.
{w ∈ {0, 1} ∗ |w se termina in 00}.
LFAC (2014-15) Curs 1 15 / 37

Limbaje formale
Fie V un alfabet. O submulţime L ⊆ V ∗ este un limbaj (formal)
peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere
(matematică) finită.
O descriere poate fi:
neformală (în limbaj natural):
multimea cuvintelor peste alfabetul {0, 1} care contin un numar par
de 0.
L = {x ∈ V + : |x| este par}.
{a n b n |n ∈ N}.
{w ∈ {0, 1} ∗ |w se termina in 00}.
formală (descriere matematică):
o descriere inductivă a cuvintelor
o descriere generativă a cuvintelor (gramatică generativă)
o descriere a unei metode de recunoaştere a cuvintelor din limbaj
(automat finit, automat pushdown, etc.)
LFAC (2014-15) Curs 1 15 / 37

Limbaje formale
Operaţii cu limbaje
Operatiile cu multimi (reuniune, intersectie etc)
Produs de limbaje: L 1 · L 2 = {u · v|u ∈ L 1 , v ∈ L 2 }
Iteraţia (produsul Kleene): L ∗ = ⋃ n≥0 Ln , unde:
L 0 = {ǫ}
L n+1 = L n · L
L R = {w R |w ∈ L}; dacă w = a 1 a 2 ...a n , atunci w R = a n ...a 2 a 1
LFAC (2014-15) Curs 1 16 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 17 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Gramatici
Definiţie 1
O gramatica este un sistem G = (N, T, S, P), unde:
N şi T sunt două alfabete disjuncte:
N este multimea neterminalilor
T este multimea terminalilor
S ∈ N este simbolul de start (neterminalul iniţial)
P este o multime finita de reguli (producţii) de forma x → y, unde
x, y ∈ (N ∪ T) ∗ şi x conţine cel puţin un neterminal.
LFAC (2014-15) Curs 1 18 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Derivare
Definiţie 2
Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v ∈ (N ∪ T) ∗ .
Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea
regulii x → y, şi notăm u ⇒ v, dacă ∃p, q ∈ (N ∪ T) ∗ astfel încât
u = pxq şi v = pyq.
LFAC (2014-15) Curs 1 19 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Derivare
Definiţie 2
Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v ∈ (N ∪ T) ∗ .
Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea
regulii x → y, şi notăm u ⇒ v, dacă ∃p, q ∈ (N ∪ T) ∗ astfel încât
u = pxq şi v = pyq.
Daca u 1 ⇒ u 2 ... ⇒ u n , n > 1, spunem ca u n este derivat din u 1 în
G şi notam u1 ⇒ + u n .
LFAC (2014-15) Curs 1 19 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Derivare
Definiţie 2
Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v ∈ (N ∪ T) ∗ .
Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea
regulii x → y, şi notăm u ⇒ v, dacă ∃p, q ∈ (N ∪ T) ∗ astfel încât
u = pxq şi v = pyq.
Daca u 1 ⇒ u 2 ... ⇒ u n , n > 1, spunem ca u n este derivat din u 1 în
G şi notam u1 ⇒ + u n .
Scriem u ⇒ ∗ v dacă u ⇒ + v sau u = v.
LFAC (2014-15) Curs 1 19 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Limbaj generat
Definiţie 3
Limbajul generat de gramatica G este:
L(G) = {w ∈ T ∗ |S ⇒ + w}
LFAC (2014-15) Curs 1 20 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Limbaj generat
Definiţie 3
Limbajul generat de gramatica G este:
L(G) = {w ∈ T ∗ |S ⇒ + w}
Definiţie 4
Două gramatici G 1 şi G 2 sunt echivalente dacă L(G 1 ) = L(G 2 ).
LFAC (2014-15) Curs 1 20 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Exemplu
L = {a n b n |n ≥ 1}
Definiţia inductivă:
ab ∈ L
Daca X ∈ L, atunci aXb ∈ L
Nici un alt cuvânt nu face parte din L
LFAC (2014-15) Curs 1 21 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Exemplu
L = {a n b n |n ≥ 1}
Definiţia inductivă:
ab ∈ L
Daca X ∈ L, atunci aXb ∈ L
Nici un alt cuvânt nu face parte din L
Definiţia generativă:
G = ({X},{a, b}, X, P), unde P = {X → aXb, X → ab}
Derivarea cuvântului a 3 b 3 :
X ⇒ aXb ⇒ aaXbb ⇒ aaabbb
LFAC (2014-15) Curs 1 21 / 37

Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
Exemplu
L = {a n b n c n |n ≥ 1}
= (N, T, S, P), N = {S, X}, T = {a, b, c}, P constă din:
1 S → abc
2 S → aSXc
3 cX → Xc
4 bX → bb
Derivarea cuvântului a 3 b 3 c 3 :
S ⇒ (2) aSXc ⇒ (2) aaSXcXc ⇒ (1) aaabcXcXc ⇒ (3)
aaabXccXc ⇒ (4) aaabbccXc ⇒ (3) aaabbcXcc ⇒ (3)
aaabbXccc ⇒ (4) aaabbbccc = a 3 b 3 c 3
LFAC (2014-15) Curs 1 22 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 23 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Ierarhia lui Chomsky
1 Gramatici de tip 0 (generale)
Nu exista restrictii asupra regulilor
LFAC (2014-15) Curs 1 24 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Ierarhia lui Chomsky
1 Gramatici de tip 0 (generale)
Nu exista restrictii asupra regulilor
2 Gramatici de tip 1 (dependente de context)
reguli de forma pxq → pyq unde x ∈ N, y ≠ ǫ, p, q ∈ (N ∪ T) ∗ ,
S → ǫ, caz în care S nu apare în dreapta producţiilor
LFAC (2014-15) Curs 1 24 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Ierarhia lui Chomsky
1 Gramatici de tip 0 (generale)
Nu exista restrictii asupra regulilor
2 Gramatici de tip 1 (dependente de context)
reguli de forma pxq → pyq unde x ∈ N, y ≠ ǫ, p, q ∈ (N ∪ T) ∗ ,
S → ǫ, caz în care S nu apare în dreapta producţiilor
3 Gramatici de tip 2 (independente de context)
reguli de forma A → y unde A ∈ N şi y ∈ (N ∪ T) ∗
LFAC (2014-15) Curs 1 24 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Ierarhia lui Chomsky
1 Gramatici de tip 0 (generale)
Nu exista restrictii asupra regulilor
2 Gramatici de tip 1 (dependente de context)
reguli de forma pxq → pyq unde x ∈ N, y ≠ ǫ, p, q ∈ (N ∪ T) ∗ ,
S → ǫ, caz în care S nu apare în dreapta producţiilor
3 Gramatici de tip 2 (independente de context)
reguli de forma A → y unde A ∈ N şi y ∈ (N ∪ T) ∗
4 Gramatici de tip 3 (regulate)
reguli A → u sau A → uB unde A, B ∈ N şi u ∈ T ∗ .
LFAC (2014-15) Curs 1 24 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Exemple
Ce tip au urmatoarele gramatici?
G = (N, T, S, P), N = {S, A, B}, T = {a, b, c}, P:
(1)S → aaAc
(2)aAc → aAbBc
(3)bB → bBc
(4)Bc → Abc
(5)A → a
G = (N, T, S, P), N = {S, X}, T = {a, b, c}, P:
(1)S → abc
(2)S → aSXc
(3)cX → Xc
(4)bX → bb
LFAC (2014-15) Curs 1 25 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Exemple
Fie
G = ({E},{a,+,−,(,)}, E,{E → a, E → (E + E), E → (E − E)}).
Ce tip are gramatica G ?
Construiti derivari din E pentru cuvintele (a+a) si ((a+a)−aa)
Cuvantul (a+a−a) poate fi derivat din E?
Descrieti limbajul L(G)
Fie G = ({A, B},{a, b}, A,{A → aA, A → B, B → bB, B → ǫ})
Ce tip are gramatica G ?
Descrieti limbajul L(G)
LFAC (2014-15) Curs 1 26 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Clasificarea limbajelor
Un limbaj L este de tipul j daca exista o gramatica G de tipul j
astfel incat L(G) = L, unde j ∈ {0, 1, 2, 3}.
Vom nota cu L j clasa limbajelor de tipul j, unde j ∈ {0, 1, 2, 3}.
Din ierarhia lui Chomsky: L 3 ⊂ L 2 ⊂ L 1 ⊂ L 0
Incluziunile sunt stricte:
orice limbaj de tip j + 1 este si de tip j ∈ {0, 1, 2}
exista limbaje de tip j care nu sunt de tip j + 1, j ∈ {0, 1, 2}
LFAC (2014-15) Curs 1 27 / 37

Ierarhia lui Chomsky
Proprietăţi
Fiecare din familiile L j cu 0 ≤ j ≤ 3 contine toate limbajele finite
Fiecare din familiile L j cu 0 ≤ j ≤ 3 este inchisa la operatia de
reuniune:
∀j : 0 ≤ j ≤ 3
L 1 , L 2 ∈ L j =⇒ L 1 ∪ L 2 ∈ L j ,
LFAC (2014-15) Curs 1 28 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 29 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Gramatici de tip 3
O gramatică G = (N, T, S, P) este de tip 3 dacă regulile sale au
forma: A → u sau A → uB unde A, B ∈ N şi u ∈ T ∗ .
Exemplu: G = ({D},{0, 1,..., 9}, D, P)
Unde P este:
D → 0D|1D|2D|...|9D
D → 0|1|...|9
LFAC (2014-15) Curs 1 30 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Exemple
Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este:
A → lB, B → lB|dB|ǫ (l = litera, d = cifra)
LFAC (2014-15) Curs 1 31 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Exemple
Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este:
A → lB, B → lB|dB|ǫ (l = litera, d = cifra)
L(G): multimea identificatorilor
Fie gramatica G = ({A, B},{+,−, d}, A, P) unde P este:
A → +dB|−dB|dB, B → dB|ǫ (d = cifra)
LFAC (2014-15) Curs 1 31 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Exemple
Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este:
A → lB, B → lB|dB|ǫ (l = litera, d = cifra)
L(G): multimea identificatorilor
Fie gramatica G = ({A, B},{+,−, d}, A, P) unde P este:
A → +dB|−dB|dB, B → dB|ǫ (d = cifra)
L(G): multimea constantelor intregi
LFAC (2014-15) Curs 1 31 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Forma normală
O gramatică de tip 3 este in formă normală daca regulile sale sunt
de forma A → a sau A → aB, unde a ∈ T , si, eventual S → ǫ ( caz
in care S nu apare in dreapta regulilor).
Pentru orice gramatica de tip 3 exista o gramatica echivalenta in
forma normala.
LFAC (2014-15) Curs 1 32 / 37

Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
Forma normală
Obtinerea gramaticii in forma normala echivalenta cu o gramatica
de tip 3:
Se poate arata ca pot fi eliminate regulile de forma A → B
(redenumiri) si cele de forma A → ǫ (reguli de stergere), cu
exceptia, eventual a regulii S → ǫ.
Orice regula de forma A → a 1 a 2 ...a n se inlocuieste cu
A → a 1 B 1 , B 1 → a 2 B 2 ,..., B n−2 → a n−1 B n−1 , B n−1 → a n , n > 1,
B 1 ,...,B n−1 fiind neterminali noi.
Orice regula de forma A → a 1 a 2 ...a n B se inlocuieste cu A → a 1 B 1 ,
B 1 → a 2 B 2 ,..., B n−2 → a n−1 B n−1 , B n−1 → a n B, n > 1, B 1 ,...,B n−1
fiind neterminali noi
Transformarile care se fac nu modifica limbajul generat de
gramatica
LFAC (2014-15) Curs 1 33 / 37

Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
Structura cursului
1 Prezentare curs
2 Limbaje formale
3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici
4 Ierarhia lui Chomsky
5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate)
6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
LFAC (2014-15) Curs 1 34 / 37

Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
Fie L, L 1 , L 2 limbaje de tip 3 (regulate).
Atunci, urmatoarele limbaje sunt de asemenea de tip 3:
L 1 ∪ L 2
L 1 · L 2
L ∗
L R
L 1 ∩ L 2
L 1 \ L 2
LFAC (2014-15) Curs 1 35 / 37

Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
Închiderea la reununiune
Fie L, L 1 , L 2 limbaje de tip 3 (regulate).
Fie G 1 = (N 1 , T 1 , S 1 , P 1 ) si G 2 = (N 2 , T 2 , S 2 , P 2 ) gramatici de tip 3 cu
L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ).
Presupunem N 1 ∩ N2 = ∅ si gramaticile in forma normala.
Închiderea la reuniune: se arata ca L 1 ∪ L 2 ∈ L 3 :
Gramatica G = (N 1 ∪ N 2 ∪{S}, T 1 ∪ T 2 , S, P 1 ∪ P 2 ∪{S → S 1 , S → S 2 })
este de tip 3 si genereaza limbajul L 1 ∪ L 2
LFAC (2014-15) Curs 1 36 / 37

Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate
Închiderea la operaţia de produs
Fie L 1 , L 2 limbaje de tip 3 (regulate).
Fie G 1 = (N 1 , T 1 , S 1 , P 1 ) si G 2 = (N 2 , T 2 , S 2 , P 2 ) gramatici de tip 3 cu
L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ).
Presupunem N 1 ∩ N2 = ∅ si gramaticile in forma normala.
Gramatica G = (N 1 ∪ N 2 , T 1 ∪ T 2 , S 1 , P) unde P consta din:
regulile de forma A → aB din P 1
reguli A → aS 2 pentru orice regula de forma A → a din P 1
toate regulile din P 2
este de tip 3 si genereaza limbajul L 1 L 2 .
LFAC (2014-15) Curs 1 37 / 37