Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare 

Curs 5 

2014-15 

LFAC (2014-15) Curs 5 1 / 40

Curs 5 

1 Gramatici şi limbaje independente de context 

2 Forma redusă pentru gramatici independente de context 

3 Eliminarea regulilor de ştergere şi a redenumirilor 

4 Forma normală Chomsky 

5 Problema recunoaşterii: algoritmul Cocke Younger Kasami 

6 Eliminarea recursivităţii stângi în gramatici de tip 2 

LFAC (2014-15) Curs 5 2 / 40

Gramatici şi limbaje independente de context 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 3 / 40


Gramatici independente de context 

Gramatici de tip 2 (independente de context): G = (N, T, S, P) 

N şi T sunt mulţimi nevide, finite, disjuncte de neterminali 

(variabile), respectiv terminali 

S ∈ N este simbolul de start 

P = {x → u|x ∈ N, u ∈ (N ∪ T) ∗ } este mulţimea regulilor 

(producţiilor). 

Un limbaj L este de tip 2 (independent de context: L ∈ L 2 ) dacă 

există o gramatică G de tip 2 astfel încât L(G) = L 

LFAC (2014-15) Curs 5 4 / 40


Derivări extrem stângi/drepte 

Fie G = (N, T, S, P) si w ∈ L(G) 

derivare extrem stângă pentru w: derivarea în care, la orice pas 

se înlocuieşte cel mai din stânga neterminal din cuvântul obţinut 

derivare extrem dreaptă pentru w: derivarea în care, la orice pas 

se înlocuieşte cel mai din dreapta neterminal din cuvântul obţinut 

LFAC (2014-15) Curs 5 5 / 40


Exemplu 

G = ({E},{a, b,+,∗),(}, E, P) unde: 

P : E → E + E|E ∗ E|(E)|a|b 

Fie a+(b ∗ a) 

Derivare extrem stângă: 

E ⇒ E+E ⇒ a+E ⇒ a+(E) ⇒ a+(E∗E) ⇒ a+(b∗E) ⇒ a+(b∗a) 

Derivare extrem dreaptă: 

E ⇒ E + E ⇒ E +(E) ⇒ E +(E ∗ E) ⇒ E +(E ∗ a) ⇒ 

E +(b ∗ a) ⇒ a+(b ∗ a) 

Există derivări care nu sunt nici extrem drepte nici extrem stângi! 

LFAC (2014-15) Curs 5 6 / 40


Arbori sintactici 

Definiţie 1 

Un arbore sintactic (arbore de derivare, arbore de parsare) în 

gramatica G este un arbore ordonat, etichetat, cu următoarele 

proprietăţi: 

rădăcina arborelui este etichetată cu S ; 

fiecare frunză este etichetată cu un simbol din T sau cu ǫ ; 

fiecare nod interior este etichetat cu un neterminal; 

dacă A etichetează un nod interior care are n succesori etichetaţi 

de la stânga la dreapta respectiv cu X 1 , X 2 ,..., X n , atunci 

A → X 1 X 2 ...X n este o regulă. 

Dacă A are un succesor etichetat cu ǫ, atunci acesta este singurul 

său succesor. 

LFAC (2014-15) Curs 5 7 / 40


Arbori sintactici 

Definiţie 2 

Frontiera unui arbore de derivare este cuvântul w = a 1 a 2 ...a n 

unde a i , 1 ≤ i ≤ n sunt etichetele nodurilor frunză în ordinea de la 

stânga la dreapta. 

Arbore de derivare pentru un cuvânt w: arbore de derivare cu 

frontiera w. 

Un X-arbore de derivare este un subarbore al unui arbore de 

derivare care are eticheta rădăcinii X. Un arbore de derivare este 

un S-arbore de derivare. 

LFAC (2014-15) Curs 5 8 / 40


Arbori sintactici-exemplu 

G = ({E},{a, b,+,∗),(}, E, P) unde: 

P : E → E + E|E ∗ E|(E)|a|b 

Arbore de derivare pentru 

a+(b ∗ a): 

a+(b ∗ a) 

Derivare extrem stângă: 

E ⇒ E + E ⇒ a+E ⇒ a+(E) ⇒ 

a+(E ∗ E) ⇒ a+(b ∗ E) ⇒ a+(b ∗ a) 

Derivare extrem dreaptă: 

E ⇒ E + E ⇒ E +(E) ⇒ E +(E ∗ E) ⇒ 

E +(E ∗ a) ⇒ E +(b ∗ a) ⇒ a+(b ∗ a) 

LFAC (2014-15) Curs 5 9 / 40


Ambiguitate 

Definiţie 3 

O gramatică G este ambiguă dacă există un cuvânt w în L(G) care are 

2 arbori de derivare distincţi. 

Echivalent: w are 2 derivări extrem stângi(drepte) distincte. 

LFAC (2014-15) Curs 5 10 / 40


Ambiguitate 

Definiţie 3 




Gramatica precedentă este ambiguă: cuvântul a+b∗ a are 2 arbori de 

derivare: 

LFAC (2014-15) Curs 5 10 / 40


Ambiguitate 

Definiţie 3 




Problema ambiguităţii gramaticilor de tip 2 este nedecidabilă: nu 

există un algoritm care pentru o gramatică oarecare G să testeze 

dacă G este sau nu ambiguă 

LFAC (2014-15) Curs 5 10 / 40


Exemplu: o gramatică echivalentă neambiguă 

G = ({E, T, F},{a, b,+,∗),(}, E, P) unde P: 

Arbore de derivare pentru 

a+b ∗ a: 

E → E + T 

E → T 

T → T ∗ F 

T → F 

F → (E) 

F → a|b 

LFAC (2014-15) Curs 5 11 / 40


Problema recunoaşterii în gramatici independente de 

context 

Problema recunoaşterii în gramatici independente de context: 

Dată o gramatică G = (N, T, S, P) şi un cuvânt w ∈ T ∗ , să se 

decidă dacă w ∈ L(G) 

Problema parsării (analizei sintactice) este problema recunoaşterii 

la care se adaugă: dacă w ∈ L(G), se cere arborele sintactic (o 

reprezentare a sa) pentru w. 

LFAC (2014-15) Curs 5 12 / 40

Forma redusă pentru gramatici independente de context 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 13 / 40


Simboluri inutile 

Un simbol X din N ∪ T este accesibil dacă există o derivare de 

forma S ⇒ + αXβ 

Un simbol A din N este productiv dacă există o derivare de forma 

A ⇒ + w, w ∈ T ∗ 

Un simbol este inutil dacă este inaccesibil sau neproductiv 

LFAC (2014-15) Curs 5 14 / 40


Gramatici în formă redusă 

Definiţie 4 

O gramatică este în formă redusă, dacă nu conţine simboluri inutile. 

Orice limbaj independent de context poate fi generat de o 

gramatică în formă redusă. 

LFAC (2014-15) Curs 5 15 / 40


Eliminarea simbolurilor inutile 

Pentru orice gramatică independentă de context G există o 

gramatică G ′ de acelaşi tip în formă redusă echivalentă cu G. 

Pentru eliminarea simbolurilor inutile: 

Se determină şi apoi se elimină simbolurile neproductive şi toate 

regulile ce conţin măcar unul dintre acestea. 

Se determină apoi se elimină simbolurile inaccesibile şi toate 

regulile aferente. 

LFAC (2014-15) Curs 5 16 / 40


Eliminarea simbolurilor neproductive - algoritm 

Intrare: G = (N, T, S, P) 

Ieşire: G ′ = (N ′ , T, S, P ′ ), L(G ′ ) = L(G), N ′ conţine doar simboluri productive 

N 0 = ∅; i = 0; 

do { 

i = i + 1; 

N i = N i−1 ∪{A|A → α ∈ P,α ∈ (N i−1 ∪ T) ∗ }; 

} while N i ≠ N i−1 ; 

N ′ = N i ; 

P ′ = {A → α ∈ P|A ∈ N ′ ,α ∈ (N ′ ∪ T) ∗ }; 

Un simbol A este productiv ddacă A ∈ N ′ 

Consecinţă: L(G) ≠ ∅ ddacă S ∈ N ′ 

LFAC (2014-15) Curs 5 17 / 40


Exemplu 

G = ({S, A, B, C},{a, b, c}, S, P), unde P este: 

S → a|aA|bC 

A → aAB 

B → bac 

C → aSb 

Gramatica G ′ cu toate simbolurile productive: 

G ′ = ({S, B, C},{a, b, c}, S, P ′ ), unde P ′ este: 

S → a|bC 

B → bac 

C → aSb 

LFAC (2014-15) Curs 5 18 / 40


Eliminarea simbolurilor inaccesibile 


Ieşire: G ′ = (N ′ , T ′ , S, P ′ ), L(G ′ ) = L(G), N ′ , T ′ conţin doar simboluri accesibile 

V 0 = {S}; i = 0; 

do { 

i = i + 1; 

V i = V i−1 ∪{X|X ∈ N ∪ T, ∃A → αXβ ∈ P, A ∈ (V i−1 ∩ N)}; 

} while V i ≠ V i−1 ; 

N ′ = V i ∩ N; 

T ′ = V i ∩ T; 

P ′ = {A → α ∈ P|A ∈ N ′ ,α ∈ (N ′ ∪ T ′ ) ∗ }; 

X accesibil ddacă X ∈ V i 

LFAC (2014-15) Curs 5 19 / 40


Exemplu 

G = ({S, A, B, C},{a, b, c}, S, P), unde P este: 

S → a|aA|bC 

A → aAB 

B → bac 

C → aSb 

Eliminarea simbolurilor neproductive duce la: 

G ′ = ({S, B, C},{a, b, c}, S,{S → a|bC, B → bac, C → aSb}) 

Eliminarea simbolurilor inaccesibile duce la: 

G ′ = ({S, C},{a, b}, S,{S → a|bC, C → aSb}) 

Ce se întâmplă dacă se aplică algoritmii în ordinea inversă? 

LFAC (2014-15) Curs 5 20 / 40

Eliminarea regulilor de ştergere şi a redenumirilor 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 21 / 40


Eliminarea regulilor de ştergere 


Ieşire: G ′ = (N, T, S, P ′ ), L(G ′ ) = L(G), P ′ nu conţine reguli de ştergere 

(reguli de forma A → ǫ) 

N 0 = {A|A ∈ N, A → ǫ ∈ P}; i = 0; 

do { 

i = i + 1; 

N i = N i−1 ∪{X|X ∈ N, ∃X → α ∈ P,α ∈ N ∗ 

i−1}; 


N ǫ = N i ; 

LFAC (2014-15) Curs 5 22 / 40




Ieşire: G ′ = (N, T, S, P ′ ), L(G ′ ) = L(G), P ′ nu conţine reguli de ştergere 

(reguli de forma A → ǫ) 

N 0 = {A|A ∈ N, A → ǫ ∈ P}; i = 0; 

do { 

i = i + 1; 

N i = N i−1 ∪{X|X ∈ N, ∃X → α ∈ P,α ∈ N ∗ 

i−1}; 


N ǫ = N i ; 

Are loc: 

N 0 ⊆ N 1 ... ⊆ N i ⊆ N i+1 ⊆ ...N ǫ ⊆ N 

A ∈ N ǫ ⇐⇒ A⇒ + ǫ 

LFAC (2014-15) Curs 5 22 / 40



P ′ se obţine din P astfel: 

în fiecare regulă A → α ∈ P se pun în evidenţă simbolurile din N ǫ 

ce apar în α: 

α = α 1 X 1 α 2 X 2 ...α n X n α n+1 , X i ∈ N ǫ 

se înlocuieşte fiecare regulă de acest fel cu mulţimea de reguli de 

forma 

A → α 1 Y 1 α 2 Y 2 ...α n Y n α n+1 unde Y i = X i sau Y i = ǫ 

în toate modurile posibile (2 n ) 

se elimină toate regulile de ştergere 

pentru a obţine cuvântul nul (dacă S este în N ǫ ) se adaugă S ′ 

simbol de start nou şi regulile S ′ → S, S ′ → ǫ 

LFAC (2014-15) Curs 5 23 / 40


Exemplu 

G = ({S, A, B, C},{a, b, c}, S, P), unde P: 

S → aAbC|BC 

A → aA|aB 

B → bB|C 

C → cC|ǫ 

G ′ = ({S ′ , S, A, B, C},{a, b, c}, S ′ , P ′ ) unde P ′ : 

S ′ → S|ǫ 

S → aAbC|aAb|B|C 

A → aA|aB|a 

B → bB|b|C 

C → cC|c 

LFAC (2014-15) Curs 5 24 / 40


Eliminarea redenumirilor (A → B, A, B ∈ N) 


Ieşire: G ′ = (N, T, S, P ′ ), L(G ′ ) = L(G), P ′ nu conţine redenumiri 

for(A ∈ N){ 

N 0 = {A}; i = 0; 

do{ 

i = i + 1; 

N i = N i−1 ∪{C|C ∈ N, ∃B → C ∈ P, B ∈ N i−1 }; 


N A = N i ;//N A = {X ∈ N|A ⇒ + X} 

} 

P ′ = {X → α ∈ P|α ∉ N} 

for(X → α 1 |α 2 |...|α n ∈ P ′ ) 

for(A ∈ N && X ∈ N A , X ≠ A) 

P ′ = P ′ ∪{A → α 1 |α 2 |...|α n} 

LFAC (2014-15) Curs 5 25 / 40


Exemplu 

G = ({x, y, z},{a, b, c}, x, P), unde P: 

x → y|ax|a 

y → z|by|b 

z → cz|c 

N x = {x, y, z}, N y = {y, z}, N z = {z} 

Gramatica echivalentă fără redenumiri G ′ = ({x, y, z},{a, b, c}, x, P ′ ) 

unde P ′ : 

x → ax|a|by|b|cz|c 

y → by|b|cz|c 

z → cz|c 

LFAC (2014-15) Curs 5 26 / 40

Forma normală Chomsky 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 27 / 40



Definiţie 5 

O gramatică este în formă normală Chomsky dacă regulile sale au 

forma: 

A → BC, A → a ( şi eventual S → ǫ) (A, B, C ∈ N şi a ∈ T ). 

Teorema 1 

Orice limbaj independent de context poate fi generat de o gramatică în 

formă normală Chomsky. 

LFAC (2014-15) Curs 5 28 / 40


Demonstraţie 

Se elimină regulile de ştergere şi redenumirile 

LFAC (2014-15) Curs 5 29 / 40


Demonstraţie 


Se elemină regulile care nu sunt în formă normală Chomsky: 

Dacă A → x 1 x 2 ...x n , n > 1 este o astfel de regulă atunci o 

înlocuim cu A → Y 1 Y 2 ...Y n unde: 

Y i = x i , dacă x i ∈ N (neterminalii rămân la fel) 

Y i = x a dacă x i = a ∈ T (x a este neterminal nou) şi se adaugă 

regula x a → a 

LFAC (2014-15) Curs 5 29 / 40


Demonstraţie 


Se elemină regulile care nu sunt în formă normală Chomsky: 

Dacă A → x 1 x 2 ...x n , n > 1 este o astfel de regulă atunci o 

înlocuim cu A → Y 1 Y 2 ...Y n unde: 

Y i = x i , dacă x i ∈ N (neterminalii rămân la fel) 

Y i = x a dacă x i = a ∈ T (x a este neterminal nou) şi se adaugă 

regula x a → a 

O regulă de forma A → Y 1 Y 2 ...Y n , dacă n > 2, o înlocuim cu: 

A → Y 1 Z 1 

Z 1 → Y 2 Z 2 

...... 

Z n−3 → Y n−2 Z n−2 

Z n−2 → Y n−1 Y n , 

unde Z 1 , Z 2 ,...,Z n−2 sunt neterminali noi. 

LFAC (2014-15) Curs 5 29 / 40


Exemplu 

G = ({S, A},{a, b, c}, S, P), unde P: 

S → aSb|cAc 

A → cA|c 

Gramatica echivalentă în formă normală Chomsky 

G = ({S, A, x a , x b , Z 1 , Z 2 },{a, b, c}, S, P ′ ), unde P ′ : 

S → x a Z 1 |x c Z 2 

Z 1 → Sx b 

Z 2 → Ax c 

A → x c A|c 

x a → a 

x b → b 

x c → c 

LFAC (2014-15) Curs 5 30 / 40

Problema recunoaşterii: algoritmul Cocke Younger Kasami 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 31 / 40


Algoritmul Cocke Younger Kasami (CYK) 

Problema recunoaşterii în gramatici în formă normală Chomsky se 

poate rezolva cu algoritmul CYK în timp O(n 3 ). 

Dacă w = a 1 a 2 ...a n atunci se constuiesc mulţimile 

V ij = {A|A ⇒ + a i a i+1 ...a i+j−1 } 

inductiv pentru j = 1,...,n 

w ∈ L(G) ⇔ S ∈ V 1n 

LFAC (2014-15) Curs 5 32 / 40


Algoritmul Cocke Younger Kasami 

Pentru j = 1: 

V i1 = {A|A ⇒ + a i } = {A|∃A → a i ∈ P} 

Pentru j > 1, V ij : 

Dacă A ⇒ + a i a i+1 ...a i+j−1 : 

A ⇒ BC ⇒ + a i a i+1 ...a i+j−1 şi 

B ⇒ + a i a i+1 ...a i+k−1 (B ∈ V ik ) 

C ⇒ + a i+k a i+k+1 ...a i+j−1 (C ∈ V i+k j−k ) 

unde 1 ≤ i ≤ n+1−j, 1 ≤ k ≤ j − 1 

V ij = ⋃ j−1 

k=1 {A|A → BC ∈ P, B ∈ V ik, C ∈ V i+k j−k } 

LFAC (2014-15) Curs 5 33 / 40



Notaţie: 

{A|A → BC ∈ P, B ∈ V ik , C ∈ V i+k j−k } = V ik ◦ V i+k j−k 

Atunci: 

pentru 2 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ n+1−j : 

V ij = 

j−1 

⋃ 

(V ik ◦ V i+k j−k ) 

k=1 

LFAC (2014-15) Curs 5 34 / 40



Intrare: G = (N, T, S, P) în formă normală Chomsky, w = a 1 a 2 ...a n 

Ieşire: w ∈ L(G)? 

for(i=1; i


Exemplu 

G = ({S, X, Y, Z},{a, b, c}, S, P), unde P: 

S → XY 

X → XY|a 

Y → YZ|a|b 

Z → c 

w = abc 

LFAC (2014-15) Curs 5 36 / 40


Exemplu 

G = ({S, X, Y, Z},{a, b, c}, S, P), unde P: 

S → XY 

X → XY|a 

Y → YZ|a|b 

Z → c 

w = abc 

V 11 = {X, Y} V 12 = {S, X} V 13 = {S, X} 

V 21 = {Y} V 22 = {Y} 

V 31 = {Z} 

S ∈ V 13 ⇔ abc ∈ L(G) 

LFAC (2014-15) Curs 5 36 / 40

Eliminarea recursivităţii stângi în gramatici de tip 2 

Curs 5 







LFAC (2014-15) Curs 5 37 / 40


Recursivitate stângă 

Un neterminal A este recursiv dacă există măcar o derivare 

A⇒ + αAβ. 

Dacă α = ǫ atunci A se numeşte stâng recursiv, 

dacă β = ǫ atunci A se numeşte drept recursiv. 

Dacă gramatica G conţine cel puţin un neterminal stâng recursiv, 

G este stâng recursivă 

Un neterminal A este stâng recursiv imediat dacă există o regulă 

A → Aα ∈ P. 

LFAC (2014-15) Curs 5 38 / 40


Eliminarea recursivitatii stângi imediate 

Fie G = (N, T, S, P) în formă redusă 

Fie A ∈ N, A stâng recursiv imediat. 

Fie A → Aα 1 |Aα 2 ...|Aα k |β 1 |...β n toate regulile care încep cu A 

(β 1 ,...,β n nu încep cu A). Fie P A mulţimea acestor reguli. 

Gramatica G ′ în care A nu este stâng recursiv imediat: 

G ′ = (N ∪{A ′ }, T, S, P ′ ) 

P ′ = P \ P A ∪{A ′ → α 1 A ′ |...α k A ′ |ǫ, A → β 1 A ′ |...β n A ′ } 

LFAC (2014-15) Curs 5 39 / 40


Exemplu 

G = ({S, A},{a, b, c}, S, P) unde P este: 

S → Ac|c 

A → Aa|Ab|a|b|Sc 

G ′ = (S, A, A ′ , a, b, c, S, P ′ ) unde P ′ este: 

S → Ac|c 

A → aA ′ |bA ′ |ScA ′ 

A ′ → aA ′ |bA ′ |ǫ 

Observaţie: A, S stâng recursive 

LFAC (2014-15) Curs 5 40 / 40

Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?