format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

maximă când produsul xy este maxim. Suma x + y fiind constantă (este egală cu B + b), produsul xy va fi maxim când x = y, deci în cazul trapezului isoscel. Prin calcul direct, înălţimea acestuia este h = √ Bb. G165. Fie ABC un triunghi isoscel (AB = AC), M mijlocul laturii [BC], iar P un punct în interiorul triunghiului ABM. Notăm {D} = BP ∩ AC, {E} = CP ∩AB. Demonstraţi că BE < CD şi P E < P D. Cristian Pravăţ, Iaşi şi Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Fie {F } = AP ∩ BC şi x = BF F C , y = CD DA , z = AE EB . Atunci, din teorema lui Ceva, xyz = 1, iar x < 1 deoarece P ∈ IntABM. A 1 Avem că BE < CD ⇔ AB · z + 1 < AC · y y + 1 ⇔ y + 1 < D D yz + y ⇔ 1 < yz şi, cum ultima inegalitate este adevărată, rezultă prima parte a concluziei. Fie D ′ simetricul lui D faţă de AM; trapezul BCDD ′ este isoscel, deci inscriptibil, iar E E se va afla în interiorul cercului circumscris. Deducem că P m(ÖDD ′ C) < m(ÕDEC), de unde m(ÕP DE) < m(ÖP DD ′ ) = m(ÖDD ′ C) < m(ÕDEP ), prin urmare P E < P D. B F M C B. Nivel liceal L156. Fie M un punct exterior cercului C de centru O şi rază R. Notăm cu T 1 , T 2 punctele de contact cu cercul ale tangentelor duse din M la C şi cu A punctul de intersecţie a dreptei OM cu cercul C, astfel încât A /∈ [OM]. Determinaţi punctele M cu proprietatea că se poate construi un triunghi cu segmentele [MT 1 ], [MT 2 ] şi [MO], dar nu se poate construi un triunghi cu [MT 1 ], [MT 2 ] şi [MA]. Temistocle Bîrsan, Iaşi Soluţie. A se vedea Recreaţii <strong>Matematice</strong> 1/2009, pg. 41. L157. În planul △ABC definim transformarea P → P ′ astfel: 1. punctul P se proiectează pe dreptele BC, CA, AB în D, E şi respectiv F ; 2. simetricele punctelor D, E, F în raport cu mijloacelor laturilor [BC], [CA] şi respectiv [AB] se notează D ′ , E ′ , F ′ ; 3. P ′ este punctul de concurenţă a perpendicularelor în D ′ , E ′ , F ′ pe BC, CA şi respectiv AB. Arătaţi că transformarea P → P ′ coincide cu simetria în raport cu O, centrul cercului circumscris △ABC. Temistocle Bîrsan, Iaşi Soluţie (Daniel Văcaru, Piteşti). Cum avem de-a face cu două izometrii, este suficient să demonstrăm că trans<strong>format</strong>ele punctelor A, B, C sunt aceleaşi. Să vedem cine sunt D, E, F când P = A; avem că D = A ′ , E = A şi F = A, unde A ′ este proiecţia lui A pe BC. Observăm apoi că D ′ este simetricul lui A ′ faţă de mijlocul lui [BC], E ′ coincide cu C şi F ′ cu B. Construind perpendicularele în B pe AB şi în C pe AC, se obţine patrulaterul inscriptibil ABP ′ C. Deducem că P ′ coincide cu A ′ , simetricul lui A faţă de O, centrul cercului circumscris. Raţionamentul este analog în cazul în care P = B, respectiv P = C şi astfel se închide demonstraţia. Notă. Această problemă este, până la diferenţă de formulare, tocmai Propoziţia 3 din articolul Simetria faţă de centrul cercului cricumscris unui triunghi de Bogdan Ioniţă şi Titu Zvonaru (G.M. - 3/1997, p. 98). Faptul ne este adus la cunoştinţă de 74
dl. Titu Zvonaru. Autorul problemei regretă şi îşi cere scuze pentru acest incident. (Menţionăm încă o soluţie diferită de cea din articol: Perpendicularele în D şi D ′ pe BC determină în cercul C(O, OP ) un dreptunghi, deci perpendiculara în D ′ trece prin simetricul fată de O al punctului P etc.). L158. În interiorul triunghiului ABC cu latura [BC] fixă şi vârful A mobil, considerăm punctul T asfel încâtÕAT B ≡ÕBT C ≡ÕCT A. Determinaţi poziţia punctului A în planul triunghiului pentru care m(ÕBAC) = α < 5π , iar suma distanţelor de la 6 T la vârfurile triunghiului este maximă. Cătălin Calistru, Iaşi Soluţie. Remarcăm faptul că T ese tocmai punctul lui Toricelli asociat triunghiului ABC. Astfel, dacă △P AB este echilateral, construit A în exteriorul △ABC, atunci punctele P, T şi C sunt P coliniare, iar T A + T B + T C = CP (vezi, de exemplu, L. Niculescu şi V. Boskoff - Probleme practice de geometrie, T Ed. Tehnică, 1990). Folosind teorema cosinusului în triunghiurile AP C şi ABC, obţinem că B C CP 2 = AP 2 + AC 2 − 2AP · AC · cosA + π 3= = BC 2 + 2AB · AC · cos A − 2AB · AC · cosA + π 3= = BC 2 + 2AB · ACcos A − cosA + π 3= = BC 2 + 4AB · AC · sinA + π 6sin π 6 = BC2 + BC · sin(A + π 6 ) · h a . sin A Cum BC este constantă, iar sinA + π α < 6>0(deoarece 5π ), deducem că CP 6 este maxim atunci când h a este maxim. Însă A se mişcă pe un arc capabil de unghiul α, prin urmare poziţiile căutate ale punctului A sunt date de intersecţiile mediatoarei segmentului [BC] cu arcele capabile de unghiul α, construite pe [BC]. L159. Dacă a, b, c ∈ R ∗ + şi x ∈0, π 2, demonstraţi inegalitatea a sin x x‹3 + b sin x x‹2 + c sin x x‹+3 3√ abc tg x x‹>6 · 3√ abc. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Din inegalitatea mediilor, rezultă că a sin x x‹3 + b sin x x‹2 + c sin x x‹≥3 3Êabc · sin x x‹6 = 3 3√ abc sin x x‹2 . sin x Pentru a obţine inegalitatea din enunţ, ar fi suficient să demonstrăm că + x‹2 tg x x > 2, ∀x ∈0, π Această inegalitate, atribuită lui Wilker, poate fi găsită în 2. G.M. 1/2007, pg. 1. 75
Page 1 and 2:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9:
Seminarul Matematic din Iaşi - 100
Page 10 and 11:
Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13:
doream, să consult şi să împrum
Page 14 and 15:
copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17:
Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 A
Page 18 and 19:
plus, cum △P AB şi △QAB sunt e
Page 20 and 21:
ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23:
O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25:
Aplicaţia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27:
Definiţia 3. Fie I 1 , I 2 ⊂ R d
Page 28 and 29: 3) Considerăm funcţia f : (0, ∞
Page 30 and 31: Demonstraţie. În (2), luând x 1
Page 32 and 33: ‹ Din faptul că v n+2 v n+1 v n+
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată şi p
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a 2 b 2 + t 2 ≤ 6abt de
Page 40 and 41: Fie acum A i A j A k A l un trapez
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficienţi reali şi rădăcini c
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(ÕBΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: Şcoala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul şcolii, celelalte fiin
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} şi a 1 , a 2
Page 60 and 61: Soluţie. Latura pătratului este d
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Soluţie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: şi, cum tg A ∈ N, rezultă că t
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C ∗ numere
Page 72 and 73: ’ 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 Solu
Page 74 and 75: =Ztg n−1 1 x · cos 2 x + 1 ctgn
Page 76 and 77: ) Cum suma şi diferenţa au aceea
Page 80 and 81: Notă. Soluţie corectă, bazată p
Page 82 and 83: În cazul în careba =b0, concluzia
Page 84 and 85: Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87: VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89: IX.107. Dacă a, b ∈ N ∗ , atun
Page 90 and 91: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93: Training problems for mathematical
Page 94 and 95: Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97: IMPORTANT • În scopul unei legă
Page 98: CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?