format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Soluţiile problemelor pentru pregătirea
concursurilor propuse în nr. 1/2009
A. Nivel gimnazial
G156. Dacă a, b, c ∈ R ∗ +,
b 2 + 1
√
b2 − b + 1 + c 2 + 1
√
c2 − c + 1 ≥ 6.
1
a + 1 b + 1 c ≤ 3, demonstraţi că a 2 + 1
√
a2 − a + 1 +
I.V. Maftei, Bucureşti şi Mihai Haivas, Iaşi
a 2 + 1
Soluţia I (a autorilor). Observăm că √
a2 − a + 1 = √ a 2 a
− a + 1+ √
a2 − a + 1 ≥
2 √ a, ∀a ∈ R ∗ + şi analog pentru celelalte două fracţii ale sumei din membrul stâng.
Rezultă că această sumă este cel puţin egală cu 2( √ a + √ b + √ c). Pe de altă parte,
√ 2a a ≥ (inegalitatea MG ≥ MH, aplicată numerelor a şi 1), deci
1 + a
2( √ a + √ b + √ c) ≥ 4
≥ 36 ·
a
1 + a + b
1 + b + c
1 + c‹≥
1
36
1+a
a + 1+b
b
+ 1+c =
3 + 1 c
a + 1 b + 1 c
≥ 36
3 + 3 = 6,
de unde inegalitatea din enunţ.
Soluţia a II-a (Oana Adăscăliţei şi Florina Toma, eleve, Iaşi). Vom
face aceeaşi demonstraţie în doi paşi, cu alte argumente. CumÈa(a 2 − a + 1) ≤
a + a 2 − a + 1
2
= a2 + 1
, atunci
2
1
Èa(a 2 − a + 1) ≥ 2
a 2 + 1 , deci a 2 + 1
√
a2 − a + 1 ≥
2 √ a şi încă două inegalităţi similare. Apoi, din inegalitatea C-B-S, obţinem că
1
√ + √ 1 + √ 1 ≤
a b c‹2
1 a + 1 b + 1 1
+ 1 + 1), de unde √ + √
c‹(1 1 + √ 1 ≤ 3.
a b c
Însă
1
√ a
+ 1 √
b
+ 1 √ c‹( √ a + √ b + √ c) ≥ 9, prin urmare √ a + √ b + √ c ≥ 3 şi astfel
rezultă inegalitatea din enunţ.
G157. Spunem că un număr natural are proprietatea (P) dacă se poate scrie ca
sumă a trei pătrate perfecte nenule şi că are proprietatea (Q) dacă se poate scrie ca
sumă a patru pătrate perfecte nenule.
a) Daţi exemple de numere naturale care au: numai proprietatea (P ); numai
proprietatea (Q); atât proprietatea (P ) cât şi proprietatea (Q).
b) Dacă a, b, c ∈ N ∗ au suma pară şi oricare dintre ele este diferit de suma celorlaltor
două, demonstraţi că numărul a 2 + b 2 + c 2 are proprietatea (Q).
Ovidiu Pop, Satu Mare
Soluţie. a) 6 = 1 2 + 1 2 + 2 2 are numai proprietatea (P ), 7 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 are
numai proprietatea (Q), iar 30 = 1 2 + 2 2 + 5 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 are şi proprietatea
(P ), şi proprietatea (Q).
71