format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Notă. De fapt, şirul u n = vn, c ∀n ∈ N ∗ , verifică relaţia de recurenţă u n+1 =
u n + d
, ∀n ∈ N ∗ , recurenţă omografică care se studiază în mod uzual.
u n
XI.100. Demonstraţi că
(x + 1) sin
π
x + 1 − cos π
x + 1‹ 0, deci h este crescătoare, astfel că h(t) ≤
hπ
∀t ∈0,
2=1, π Deducem că f(x + 1) − f(x) < 1, întrucât
2i. π c ∈0, π 2.
Analog se demonstrează că g(x + 1) − g(x) > 1, ∀x ≥ 2, ceea ce încheie rezolvarea.
Clasa a XII-a
XII.96. Rezolvaţi în S 5 ecuaţia x 11 = 1 2 3 4 5
5 3 4 1 2‹.
Liviu Smarandache şi Ionuţ Ivănescu, Craiova
Soluţie. Notăm σ = 1 2 3 4 5 observăm că ordσ = 5. Din x
5 3 4 1 2‹şi 11 = σ
rezultă că x 55 = e, prin urmare ordx|55, deci ordx ∈ {1, 5, 11, 55}. Pe de altă parte,
cum ordS 5 = 120, atunci ordx|120 şi rămâne că ordx ∈ {1, 5}. Dacă ordx = 1, ar
rezulta că x = e şi se ajunge la contradicţie e = e 11 = x 11 = σ. Dacă ordx = 5,
obţinem că σ = x 11 = x · x 5 · x 5 = x, adică singura soluţie a ecuaţiei date este x = σ.
XII.97. Fie a k ∈ R, k = 0, n, iar m ∈ (0, ∞) astfel încât
mXk=0
a k
m + k
= 0. Să se
arate că ecuaţia a 0 + a 1 x + . . . + a n x n = 0 admite soluţie în intervalul (0, 1).
Mihail Bencze, Braşov
Soluţie. Aplicăm teorema de medie funcţiei f : [0, 1] → R, f(x) = (a 0 + a 1 x +
. . . + a n x n ) · x m−1 a k
, pentru careZ1
f(x)dx =
m + k = 0.
0
XII.98. Determinaţi primitivele funcţiei f : (0, π) → R, f(x)= sin3n−1 x · cos n−1 x
sin 4n x + cos 4n x ,
n ∈ N ∗ .
I.V. Maftei, Bucureşti şi Mihai Haivas, Iaşi
Soluţie. Fie I =Zsin 3n−1 x · cos n−1 x
sin 4n x + cos 4n x dx, J =Zcos3n−1 x · sin n−1 x
sin 4n dx, unde
x + cos 4n x
x ∈ (0, π). Observăm că
I + J =Zsin n−1 x cos n−1 x(sin 2n x + cos 2n x)
sin 4n dx =
x + cos 4n x
69
nXk=0