format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

’
1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
Soluţie. Considerăm B =ˆ0
. . . . . . . . . . . . . . ∈ M k ({0, 1}). Se constată
0 0 0 . . . 1
1 0 0 . . . 0
că, pentru p ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, avem că B p = (b ij ), unde b 1,p+1 = b 2,p+2 = . . . =
b k−p,p = 1, b k−p+1,1 = b k−p+2,2 = . . . = b k,p = 1, iar b ij = 0 în rest. În plus, Bk = I k .
Atunci, matricea A = B 0
cerinţele problemei.
0 I n−k‹verifică
XI.98. Demonstraţi că funcţia f :0, π − cos x
f(x) = lnÉ1
2→R,
1 + cos x este
concavă şi, folosind eventual acest lucru, arătaţi că în orice triunghi ascuţitunghic
ABC are loc inegalitatea 1 − cos A
1 + cos A · 1 − cos B
1 + cos B · 1 − cos C
1 + cos C ≤ 1 27 .
Bogdan Victor Grigoriu, Fălticeni
Soluţie. Funcţia f este de două ori derivabilă, iar f ′′ (x) = − cos x
sin 2 < 0, ∀x ∈
x 0, π prin urmare f este concavă. Aplicând inegalitatea lui Jensen, obţinem că
2,
A + B + C
f
‹≥ 1 [f(A) + f(B) + f(C)], deci
3 3
− cos
lnÊ1 π 3
1 + cos π ≥ 1
3
3 ln 1 − cos A
1 + cos A · 1 − cos B
1 + cos B · 1 − cos C
1 + cos C‹,
rezultă imediat din monotonia funcţiei logaritmice.
Nota autorului. În aceeaşi manieră se poate demonstra că, în orice triunghi
ABC, are loc inegalitatea 1 − sin A
1 + sin A · 1 − sin B
1 + sin B · 1 − sin C
1 + sin C ≤ 1
(2 + √ 3) . 6
XI.99. Studiaţi convergenţa şirului (v n ) n≥1 definit prin v n+1 = (vc n + d) 1/c
v n
,
∀n ≥ 1, unde v 1 , c şi d sunt numere reale pozitive date.
Gheorghe Costovici şi Adrian Corduneanu, Iaşi
Soluţie. Vom demonstra că lim
n→∞ v n = l, unde l =1 + √ 1 + 4d
2
1/c
. Dacă
v 1 = l, se demonstrează prin inducţie matematică faptul că v n = l, ∀n ≥ 1. În cazul
în care v 1 ∈ (0, l), se arată (tot prin inducţie) că v 2n−1 ∈ (0, l) şi v 2n ∈ (l, +∞),
∀n ∈ N ∗ , apoi că subşirul (v 2n−1 ) n≥1 este strict crescător, în timp ce (v 2n ) n≥1 este
strict descrescător. Urmează că există şi sunt finite α = lim v 2n−1, β = lim v 2n şi,
n→∞ n→∞
prin trecere la limită în relaţiile de recurenţă, obţinem că α = (βc + d) 1/c
, iar β =
β
(α c + d) 1/c
. De aici, α = αc + d
α
α c + d‹1/c
: (αc + d) 1/c
, deci α c = αc + d + dα c
α
α c ,
+ d
prin urmare α 2c − α c − d = 0, de unde găsim că α = l. Asemănător se arată că β = l.
În sfârşit, analog se tratează cazul în care v 1 ∈ (l, +∞).
68