format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Fie k valoarea comună a rapoartelor egale din enunţ. Obţinem că m i = 1
1 + k a i +
k
1 + k b, n i = 1
1 + k b i + k
1 + k c, p i = 1
1 + k c i + k
1 + k a, i = 2, 3, 4. Atunci, m i + εn i +
εp i =
k
1 + k · 1
ε (εb+ε2 c+ε 3 a) = 0, i = 2, 3, 4, prin urmare △M i N i P i sunt echilaterale.
Notăm cu G şi G i , i = 1, 4, centrele (de greutate) ale triunghiurilor ABC, respectiv
A i B i C i , i = 1, 4. Observăm că g i = 1 3 (a i + b i + c i ) = −(εg + ε 2 g 1 ), i = 2, 3, 4, deci
triunghiurile A i B i C i , i = 2, 3, 4, au acelaşi centru, fie acesta G, de afix g = −εg−ε 2 g 1 .
Din relaţia g +εg +ε 2 g 1 = 0, deducem că G, G şi G 1 formează un triunghi echilateral.
Notăm cu G i centrele triunghiurilor M i N i P i , i = 2, 3, 4; avem că g i = 1 3 (m i+n i +p i ) =
1
1 + k g + k
1 + k g, prin urmare △M iN i P i , i=2, 3, 4, au acelaşi centru G k , plasat pe
latura GG a triunghiului echilateral GGG 1 , pe care o împarte în raportul k.
X.100. Demonstraţi că în orice triunghi ABC are loc inegalitatea
1
sin 2 A(sin B + sin C) + 1
2 sin 2 B(sin C + sin A) + 1
2 sin 2 C(sin A + sin B) ≥ 4 2 3 .
Marius Olteanu, Rm. Vâlcea
1
Soluţie. Este cunoscută inegalitatea
(x + y) 2 + 1
(y + z) 2 + 1
(z + x) 2 ≥ 9 4 ·
1
, ∀x, y, z > 0 (a se vedea, de exemplu, Old and New Inequalities de
xy + yz + zx
T. Andreescu, G. Dospinescu, V. Cârtoaje, M. Lascu, apărută la GIL, Zalău, 2004,
pg. 22, ex. 114). Înlocuind x = sin A sin B, y = sin A sin C, z = sin B sin C, obţinem
1
căXsin 2 A(sin B + sin C) ≥ 9 1
. Pe de altă parte, avem
2 4 sin A sin B sin C(Xsin A)
sin A + sin B + sin C
că sin A sin B sin C ≤
(inegalitatea mediilor), iar
sin A + sin B + sin C
≤ sin A + B + C
√
3
= (inegalitatea lui Jensen aplicată funcţiei
3
3 2
sinus pe [0, π]). Înlocuind, rezultă concluzia problemei.
3
‹3
Clasa a XI-a
XI.96. Fie ε rădăcina primitivă de ordin trei a unităţii, iar A, B ∈ M 3 (R) cu
det(A + εB) = 0. Demonstraţi că det(A − B) = det A − det B.
Dan Popescu, Suceava
Soluţie. Considerăm polinomul f ∈ R[X], f(X) = det (A + XB) = det A + αX +
βX 2 + (det B) · X 3 . Cum f(ε) = 0, rezultă că det A + αε + β(−ε − 1) + det B = 0, de
unde α = β = det A + det B. Calculând f(−1) prin cele două modalităţi de scriere
ale lui f, obţinem că f(−1) = det (A − B) = detA − detB.
XI.97. Fie n ≥ 3 un număr natural. Arătaţi că pentru orice k ∈ {2, 3, . . . , n−1},
există A ∈ M n ({0, 1}) astfel încât A p ≠ I n , ∀p ∈ {1, 2, . . . , k − 1} şi A k = I n .
Gheorghe Iurea, Iaşi
67