format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice
format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice
format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
X.97. Fie a, b, c ∈ C ∗ numere complexe distincte astfel încât (a − b) 3 = (b − c) 3 =<br />
(c − a) 3 . Arătaţi că |2a − b − c| = |2b − c − a| = |2c − a − b|.<br />
Dan Nedeianu, Drobeta-Tr. Severin<br />
Soluţie.<br />
Condiţia dată este echivalentă cu<br />
b − c<br />
a − b‹3<br />
= c − a<br />
a − b‹3<br />
= 1. Cum<br />
a − b ≠ b − c (altfel b = a + c şi, folosind relaţia din enunţ, s-ar deduce că a = c),<br />
2<br />
b−c ≠ c−a şi c−a ≠ a−b, găsim că b−c = zε şi c−a = zε 2 , unde ε este rădăcină cubică<br />
a unităţii, iar z = a − b. Deducem că |2a − b − c| = |2b − c − a| = |2c − a − b| = |z| · √3.<br />
X.98. Fie A i (z i ), i = 1, 3 vârfurile unui triunghi din planul xOy şi P (z) un punct<br />
din acest plan (z i şi z sunt afixele punctelor A i , respectiv P ). Să se arate că P este<br />
situat în interiorul triunghiului A 1 A 2 A 3 sau pe una din laturile sale dacă şi numai<br />
dacă există α i ≥ 0, i = 1, 3, astfel încât α 1 + α 2 + α 3 = 1 şi z = α 1 z 1 + α 2 z 2 + α 3 z 3 .<br />
Adrian Corduneanu, Iaşi<br />
Soluţie. Punctul P este situat în interiorul triunghiului A 1 A 2 A 3 sau pe una<br />
din laturile sale dacă şi numai dacă există M ∈ [A 1 A 2 ] cu P ∈ [MA 3 ]. Deoarece<br />
M ∈ [A 1 A 2 ] ⇔ ∃t ∈ [0, 1] astfel încât z M = (1 − t)z 1 + tz 2 şi P ∈ [MA 3 ] ⇔ ∃s ∈ [0, 1]<br />
cu proprietatea z = (1 − s)z 3 + sz M , rezultă că z = (1 − t)sz 1 + stz 2 + (1 − s)z 3 .<br />
Considerând α 1 = s(1 − t), α 2 = st şi α 3 = 1 − s, obţinem α i ≥ 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1<br />
şi z = α 1 z 1 + α 2 z 2 + α 3 z 3 , ceea ce încheie demonstraţia.<br />
X.99. Considerăm triunghiurile echilaterale ABC şi A 1 B 1 C 1 şi construim triunghiurile<br />
echilaterale AA 1 A 2 , BB 1 B 2 , CC 1 C 2 , AB 1 A 3 , BC 1 B 3 , CA 1 A 3 , AC 1 A 4 ,<br />
BA 1 B 4 şi CB 1 C 4 ; toate triunghiurile citate sunt orientate pozitiv. Fie punctele<br />
M 2 ∈ A 2 B, N 2 ∈ B 2 C, P 2 ∈ C 2 A, M 3 ∈ A 3 B, N 3 ∈ B 3 C, P 3 ∈ C 3 A, M 4 ∈ A 4 B,<br />
N 4 ∈ B 4 C şi P 4 ∈ C 4 A astfel încât M 2A 2<br />
M 2 B = N 2B 2<br />
N 2 C = P 2C 2<br />
P 2 A = M 3A 3<br />
M 3 B = N 3B 3<br />
N 3 C =<br />
P 3 C 3<br />
P 3 A = M 4A 4<br />
M 4 B = N 4B 4<br />
N 4 C = P 4C 4<br />
P 4 A . Demonstraţi că triunghiurile M 2N 2 P 2 , M 3 N 3 P 3<br />
şi M 4 N 4 P 4 sunt echilaterale şi au acelaşi centru.<br />
Cătălin Ţigăeru, Suceava<br />
Soluţie. Notăm afixul fiecărui punct care apare, cu litera mică ce îi corespunde.<br />
Scriem condiţiile ca cele 11 triunghiuri care apar în ipoteză să fie echilaterale:<br />
a + εb + ε 2 c = 0; a 1 + εb 1 + ε 2 c 1 = 0;<br />
a + εa 1 + ε 2 a 2 = 0; b + εb 1 + ε 2 b 2 = 0, c + εc 1 + ε 2 c 2 = 0;<br />
a + εb 1 + ε 2 a 3 = 0, b + εc 1 + ε 2 b 3 = 0, c + εa 1 + ε 2 a 3 = 0,<br />
a + εc 1 + ε 2 a 4 = 0, b + εa 1 + ε 2 b 4 = 0, c + εb 1 + ε 2 c 4 = 0,<br />
unde ε este rădăcina primitivă de ordin trei a unităţii. Demonstrăm că triunghiurile<br />
A i B i C i , i = 2, 3, 4, sunt echilaterale; trebuie verificate relaţiie a i + εb i + ε 2 c i = 0,<br />
i = 2, 3, 4. Vom da justificarea doar pentru i = 2 :<br />
a 2 + εb 2 + ε 2 c 2 = −(εa + ε 2 a 1 ) − ε(εb + ε 2 b 1 ) − ε 2 (εc + ε 2 c 1 ) =<br />
= −ε(a + εb + ε 2 c) − ε 2 (a 1 + εb 1 + ε 3 c 1 ) = 0.<br />
66