format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

i) Ceviana AΩ, simediana din B şi mediana din C sunt concurente (într-un punct
notat J A );
ii) Ceviana BΩ, simediana din C şi mediana din A sunt concurente (în J B );
iii) Ceviana CΩ, simediana din A şi mediana din B sunt concurente (în J C ).
Demonstraţie. Conform Teoremei 1, cercurile CA şi AB se intersectează în
Ω. Din Teorema 3, al doilea punct comun cercurilor
A
AB şi CB, notat S (fig. 3), este situat pe simediana
din B. În sfârşit, aplicând Teorema 4, cercurile CA
şi CB se intersectează a doua oară într-un punct M,
care aparţine medianei din C. Conform Lemei, cevienele
AΩ, BS şi CM sunt concurente, ceea ce era
J A M
S
de demonstrat.
B
C
În acelaşi mod se poate dovedi şi
Fig. 3
Teorema 6. Au loc afirmaţiile:
i) Ceviana AΩ ′ , simediana din C şi mediana din B sunt concurente (într-un punct
J A ′ ); ii) Ceviana BΩ ′ , simediana din A şi mediana din C sunt concurente (în J B ′ );
iii) Ceviana CΩ ′ , simediana din B şi mediana din A sunt concurente (în J C ′ ).
Observaţii. 1. Teoremele 5 şi 6 se pot demonstra şi cu reciproca teoremei lui
Ceva. Într-adevăr, ştim că piciorul simedianei din A împarte latura BC în raportul
c 2
b 2 . Pe de altă parte, notând cu A 1 şi A ′ 1 picioarele cevienelor Brocard AΩ şi AΩ ′ ,
avem
(2)
BA 1
A 1 C = c2
a 2 , BA ′ 1
A ′ 1 C = a2
b 2
BA 1
(pentru prima egalitate:
A 1 C = A △ABA 1
c sin ω
c2
=
= . . . (1) . . . =
A △AA1 C b sin(A − ω) a 2 , iar
pentru a doua se procedează similar sau se aplică Teorema lui Steiner cevienelor
izogonale AΩ şi AΩ ′ ).
2. În general, un triunghi are şase cercuri adjuncte, deci pot fi C3 6 triplete diferite
de cercuri adjuncte. Unele triplete au, însă, acelaşi centru radical. Vârfurile triunghiului
sunt centre radicale, fiecare pentru patru triplete; de exemplu, C este centru
radical pentru (BC, CB, AC), (BC, CB, CA), (AC, CA, BC) şi (AC, CA, CB).
Ca urmare, drept centru radical a trei cercuri adjuncte unui triunghi pot fi: punctele
lui Brocard Ω şi Ω ′ , punctele J A , J B , J C , J A ′ , J B ′ , J C ′ şi vârfurile A, B, C.
3. Dacă triunghiul este isoscel, AB = AC, atunci BC coincide cu CB şi simediana
din B şi mediana din C se intersectează în punctul Ω al lui Brocard [3].
Bibliografie
1. T. Lalescu – Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova, 1993.
2. R.A. Johnson – Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the
Triangle and the Circle, 1929.
3. I. Pătraşcu – O teoremă relativă la punctul lui Brocard, G.M.-9/1984, 328-329.
47