format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Deoarece m(ÕBΩA) = 180 ◦ − B şi m(ÕAΩC) = 180 ◦ − A, rezultă că
AΩ
BΩ = b sin B
c sin A
sin(B − ω)
= .
sin ω
Dezvoltând sin(B − ω) şi ţinând cont că b c = sin B
sin C
(1) ctgω = ctgA + ctgB + ctgC.
şi sin(A + C) = sin B, se obţine:
Dacă vom nota m(ÕΩ ′ AC) = ω ′ şi vom raţiona analog, vom obţine ctgω ′ = ctgA +
ctgB + ctgC. Aceasta şi relaţia (1) conduc la ω = ω ′ , ceea ce arată că punctele Ω şi
Ω ′ sunt izogonale.
Unghiul ω se numeşte unghiul lui Brocard şi apare în multe împrejurări în geometria
triunghiului (v. [1]).
Teorema 3. Cercurile adjuncte CA şi BA se intersectează pe simediana din A.
Demonstraţie. Fie S al doilea punct de intersecţie al cercurilor CA şi BA
(fig. 2) şi {P } = AS ∩ BC. Din faptul căÕSCA ≡ÕSAB şi
A
ÕSBA ≡ÕSAC, deducem că △SBA ∼ △SAC, de unde SB
SC =
AB 2
. Pe de altă parte, din congruenţele de mai sus obţinem
S
AC2 ÕBSP ≡ÕCSP , iar cu teorema bisectoarei în triunghiul BSC
B
C
vom avea SB
Fig. 2
SC = P B
P C . Ca urmare, P B
P C = AB2 , ceea ce
AC2 arată că AP este simediana din A.
Teorema 4. Cercurile adjuncte AB şi AC se intersectează pe mediana din A.
Demonstraţie. Fie Q al doilea punct de intersecţie a cercurilor AB şi AC şi
{M} = AQ ∩ BC. Dreapta AQ fiind axa radicală a cercurilor AB şi AC, avem
MB 2 = MQ · MA = MC 2 , de unde rezultă că MB = MC.
Observaţii. a) Teorema 3 exprimă faptul că axa radicală a două cercuri adjuncte
care sunt tangente la două laturi ce au un vârf comun este simediana dusă din acel
vârf, iar Teorema 4 spune că axa radicală a două cercuri adjuncte tangente la aceeaşi
latură este mediana corespunzătoare acestei laturi.
b) Drept axă radicală a două cercuri adjuncte unui triunghi pot fi: cevienele Brocard
(AΩ, AΩ ′ etc.), simedianele, medianele sau laturile triunghiului (latura BC, de
exemplu, este axa radicală a cercurilor BC şi CB).
Pentru noi precizări privind centrele radicale ale tripletelor de cercuri adjuncte,
vom utiliza următoarea
Lemă. Coardele comune a trei cercuri secante două câte două sunt concurente.
Demonstraţie. Fie C 1 , C 2 , C 3 trei cercuri secante şi a 1 , a 2 , a 3 axele radicale ale
perechilor (C 2 , C 3 ), (C 3 , C 1 ) şi respectiv (C 1 , C 2 ). Notăm P intersecţia dintre a 1 şi a 2
şi observăm că P va avea puteri egale faţă de toate cercurile, deci P va fi şi pe axa
radicală a 3 a cercurilor C 1 şi C 2 .
Teorema 5. Au loc afirmaţiile:
46