format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Axe şi centre radicale
ale cercurilor adjuncte unui triunghi
Ion PĂTRAŞCU 1
Abstract. The properties of the adjoint circles associated to a triangle, with respect to circles
radical axes and centres, are exhaustively presented in this Note.
Keywords: adjoint circle, Brocard point, radical axis, radical centre, symmedian.
MSC 2000: 51M04.
Proprietăţile prezentate în acest articol se referă la axele şi centrele radicale ale
cercurilor adjuncte unui triunghi.
Fie ABC un triunghi oarecare. Notăm cu CĀ cercul care trece prin vârfurile C, A
şi este tangent laturii AB în vârful A. Semnificaţii analoage au notaţiile AC, AB,
BA, BC şi CB. Aceste cercuri asociate unui triunghi se numesc cercuri adjuncte.
Aşadar, unui triunghi îi corespund în general şase cercuri adjuncte; dacă triunghiul
este isoscel, vor fi cinci cercuri adjuncte, iar dacă este echilateral, vor fi numai trei.
Teorema 1. i) Cercurile adjuncte CA, AB, BC au un punct comun Ω cu proprietatea:ÕΩAB
≡ÕΩBC ≡ÕΩCA.
ii) Cercurile adjuncte AC, CB, BA au un punct comun Ω ′ cu proprietatea:ÕΩ ′ AC ≡
ÖΩ ′ BA ≡ÖΩ ′ CB.
Demonstraţie. i) Fie Ω al doilea punct de intersecţie a cercurilor CA şi AB
(fig. 1). Avem:ÕΩCA ≡ÕΩAB (în cercul CA) şiÕΩAB ≡
A
ÕΩBC (în AB). Obţinem:ÕΩAB ≡ÕΩBC ≡ÕΩCA, adică
relaţia cerută, iar dinÕΩBC ≡ÕΩCA rezultă că Ω se găseşte
pe cercul ce trece prin B şi C şi este tangent laturii AC în
C, adică cercul BC. Afirmaţia ii) se demonstrează analog.
Punctul Ω se numeşte primul punct al lui Brocard, iar Ω ′
al doilea punct al lui Brocard.
B
Fig. 1
Observaţie. Punctul Ω este centrul radical al cercurilor adjuncte CA, AB, BC,
iar Ω ′ este centrul radical al cercurilor adjuncte AC, CB, CA. Într-adevăr, atât Ω cât
şi Ω ′ au puteri egale (nule) faţă de tripletele de cercuri adjuncte indicate.
Teorema 2. Punctele lui Brocard Ω şi Ω ′ sunt izogonale în triunghiul ABC.
Demonstraţie. Notăm m(ÕΩAB) = ω. Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile
AΩB şi AΩC obţinem:
BΩ
sin ω =
c
sin(BΩA) =
AΩ
sin(B − ω) şi
1 Profesor, Colegiul Naţional ”Fraţii Buzeşti”, Craiova
AΩ
sin ω = b
sin(AΩC) = AΩ
sin ω .
C
45