format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

O problemă complexă
Marian TETIVA 1
Abstract. This paper can be perceived as an author ′ s invitation to his own working laboratory.
A problem, initially formulated for equation (1), is eventually solved for the more general equation
(2). The stages of going along this way are presented and motivated and the employed procedures
are commented.
Keywords: equations, resolvent, root.
MSC 2000: 00A35, 97C20.
1. Pe când eram elev de liceu, una din problemele care mi-au dat bătaie de
cap, rezistând tentativelor mele disperate (dacă exagerăm puţin putem zice şi aşa) de
rezolvare a fost următoarea:
Problema 1. Fie α un număr real de modul mai mic ca 1. Să se arate că ecuaţia
(1) z 4 + αz 3 + αz + 1 = 0
are toate rădăcinile de modul 1.
Enunţul se află cu siguranţă în [1], în capitolul ”Polinoame”, probabil ca problemă
propusă la capătul paragrafului despre ecuaţii reciproce (nu mai pot spune exact,
deoarece nu mai am, sau nu mai găsesc, acest manual de pe care am învăţat primele
noţiuni de algebră avansată). Mai târziu, peste câţiva ani, am rezolvat problema, ca
tânăr profesor care nu se putea prezenta în faţa elevilor fără a cunoaşte foarte bine
(perfect ar trebui) cartea pe care o foloseşte la clasă. Am făcut ceea ce părea atunci
să decurgă obligatoriu din formularea problemei şi poziţionarea ei în cadrul textului:
am considerat ecuaţia ca pe una reciprocă; deci rădăcinile ei sunt rădăcinile ecuaţiilor
z + 1 z = y 1 şi z + 1 z = y 2,
unde y 1 şi y 2 sunt, la rândul lor, soluţiile rezolventei
y 2 + αy − 2 = 0
(care se obţine notând z + 1 z = y etc). Se vede apoi că ecuaţia care dă pe z 1 şi z 2 ,
adică
z + 1 z = y 1,
se mai scrie z 2 − y 1 z + 1 = 0, deci z 1 z 2 = 1 şi, analog, z 3 z 4 = 1 (unde z 3 şi z 4
sunt soluţiile ecuaţiei z 2 − y 2 z + 1 = 0). Dacă mai arătăm că aceste ecuaţii au
1 Profesor, Colegiul Naţional ”Gheorghe Roşca Codreanu”, Bârlad
41