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L ′ hypothèse (2) étant vérifiée, montrons d ′ abord le lemme suivant:
Lemme 5. On a l ′ implication:
{u ′2 = av ′2 + bw ′2 , (u ′ , v ′ , w ′ ) ∈ Q 3 } ⇒ u ′ = v ′ = w ′ = 0.
Démonstration. α étant le P.P.C.M. des dénominateurs de u ′ , v ′ et w ′ il vient:
u ′2 = av ′2 + bw ′2 ⇒ (u ′ α) 2 = a(v ′ α) 2 + b(w ′ α) 2 , u ′ α ∈ Z, v ′ α ∈ Z, w ′ α ∈ Z.
L ′ hypothèse (2) montre alors que: u ′ α = v ′ α = w ′ α = 0, d ′ où u ′ = v ′ = w ′ = 0.
Démontrons alors que toute matrice de A−{0} est inversible. Supposant la matrice
A = xI + yJ + zK + tL ∈ A non inversible, montrons que A = 0. Il vient - voir
remarque -: detA = 0 soit x 2 − ay 2 = b(z 2 − at 2 ), ce qui implique:
(z 2 − at 2 )(x 2 − ay 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2 ⇒ z 2 x 2 + a 2 t 2 y 2 − a(t 2 x 2 + z 2 y 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2
soit finalement:
où
⇒ z 2 x 2 + 2axyzt + a 2 t 2 y 2 − a(t 2 x 2 + 2xyzt + z 2 y 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2
⇒ (zx + aty) 2 − a(tx + zy) 2 = b(z 2 − at 2 ) 2
(zx + aty) 2 = a(tx + zy) 2 + b(z 2 − at 2 ) 2 ,
(zx + aty, tx + zy, z 2 − at 2 ) ∈ Q 3 .
L ′ hypothèse (2) étant vérifiée il vient alors en particulier, compte tenu du lemme
précédent: z 2 − at 2 = 0. En utilisant une nouvelle fois le lemme avec u ′ = z, v ′ = t et
w ′ = 0 on obtient: z = t = 0. Par suite x 2 −ay 2 = 0 et, d ′ après le même raisonnement:
x = y = 0, i.e. A = 0.
On suppose que tout élément A ∈ A − {0} est inversible. Soit (u, v, w) ∈ Z 3 tels
que u 2 = av 2 + bw 2 et considérons la matrice A = uI + vJ + wK ∈ A. Si A ≠ 0, elle
est inversible - hypothèse -, donc son déterminant n ′ est pas nul: u 2 − av 2 − bw 2 ≠ 0,
ce qui est absurde. On en déduit que A = 0, d ′ où u = v = w = 0. Le théorème est
ainsi démontré.
Corollaire 6. Si b est un nombre premier et si pour tout n entier n 2 - a n ′ est
pas divisible par b, alors tout élément non nul du sous - anneau A est inversible dans
A.
Démonstration. On se propose de démontrer l ′ implication suivante:
(3)
{b premier et ∀n, n 2 − a non divisible par b} ⇒
⇒ {u 2 = av 2 + bw 2 où (u, v, w) ∈ Z 3 ⇒ u = v = w = 0}
ce qui démontrera le corollaire compte tenu du théorème précédent.
b étant premier et ∀n, n 2 - a n ′ étant pas divisible par b, soit (u, v, w) ∈ Z 3 vérifiant
u 2 = av 2 + bw 2 . On peut supposer u, v, w premiers entre eux dans leur ensemble, car
sinon, δ étant leur P.G.C.D. on aurait: u = δu ′ , v = δv ′ , w = δw ′ et u ′2 = av ′2 + bw ′2 .
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