format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice
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Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2 − ay 2 − bz 2 + abt 2 .<br />
Théorème 2. (A, +, ×) est un sous - anneau de l ′ anneau (M 2 (R), +, ×).<br />
Démonstration. La table de multiplication des matrices I, J, K et L est la<br />
suivante:<br />
facteur de droite −→ I J K L<br />
I I J K L<br />
J J aI L aK<br />
K K -L bI -bJ<br />
L L -aK bJ -abI<br />
A ⊂ M 2 (R) qui est un anneau unitaire. (A, +) est un sous - groupe de (M 2 (R), +).<br />
Enfin, la multiplication est une loi de composition interne pour A compte tenu de<br />
la table de multiplication précédente. On en déduit finalement que (A, +, ×) est un<br />
sous-anneau unitaire de l ′ anneau (M 2 (R), +, ×).<br />
Les deux théorèmes précédents montrent que l ′ ensemble A muni des opérations<br />
habituelles est une Q - algèbre de dimension 4 - [1], VI.4 page 215.<br />
Théorème 3. Pour toute matrice A ∈ A l ′ application f A de A dans A définie<br />
par ∀X ∈ A, f A (X) = XA est linéaire. De plus, det f A = (detA) 2 .<br />
Démonstration. Pour A ∈ A, f A est une application de A dans A puisque X ∈ A<br />
et A ∈ A ⇒ XA ∈ A. D ′ autre part: ∀X 1 ∈ A, X 2 ∈ A f A (X 1 + X 2 ) = (X 1 + X 2 )A =<br />
X 1 A + X 2 A = f A (X 1 ) + f A (X 2 ); ∀X ∈ A, ∀λ ∈ Q, f A (λX) = (λX)A = λ(XA) =<br />
λf A (X), i.e. f A ∈ L Q (A). L ′ espace vectoriel A étant muni de la base (I, J, K, L) -<br />
voir théorème 1 - soit A = x 0 I + y 0 J + z 0 K + t 0 L. Déterminons en utilisant la table<br />
de multiplication des matrices I, J, K et L la matrice de l ′ endomorphisme f A dans<br />
cette base (I, J, K, L):<br />
f A (I) = x 0 I + y 0 J + z 0 K + t 0 L = A<br />
f A (J) = ay 0 I + x 0 J + at 0 K + z 0 L<br />
f A (K) = bz 0 I − bt 0 J + x 0 K − y 0 L<br />
f A (L) = −abt 0 I + bz 0 J − ay 0 K + x 0 L,<br />
d ′ où la matrice de f A ∈ L Q (A) dans la base considérée:<br />
0 ay 0 bz 0 −abt 0<br />
y<br />
Mat(f A , (I, J, K, L)) =†x<br />
0 x 0 −bt 0 bz 0<br />
z 0 at 0 x 0 −ay 0<br />
t 0 z 0 −y 0 x 0<br />
et un calcul élémentaire montre alors que det(Mat(f A , (I, J, K, L))=[detA(x 0 , y 0 , z 0 , t 0 )] 2<br />
compte tenu de la remarque précédente.<br />
Théorème 4. Dans le sous-anneau A tout élément non nul est inversible si et<br />
seulement si l ′ égalité u 2 = av 2 + bw 2 avec u, v et w entiers n ′ est possible que pour<br />
u = v = w = 0.<br />
Démonstration. Supposons que<br />
(2) {u 2 = av 2 + bw 2 , (u, v, w) ∈ Z 3 } ⇒ u = v = w = 0.<br />
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