format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

Într-adevăr,
(−1)
2nXk=1
k−1 v k =
v 2k−1 −
v k = 1 a v 2n − 1 a (v 2n+1 − 1) = 1 a (v 2n −
nXk=1
nXk=1
v 2n+1 + 1).
5 ◦ nXk=1
v 2 k = 1 a v n · v n+1 .
Observăm că v k v k+1 − v k−1 v k = v k (v k+1 − v k−1 ) = avk 2 şi sumăm pentru k = 1, n.
6 ◦ . v m+n = v m−1 v n + v m v n+1 ; în particular, v 2n = 1 a (v2 n+1 − v 2 n−1).
Se poate arăta prin inducţie după n sau în felul următor: egalitatea A m ·A n = A m+n ,
cu A n dat de (4), devine:
v m+1
v m
n+1 v n
v m v m−1‹v v m+n+1 v m+n
v n v n−1‹=
v m+n
v m+n−1‹.
Se efectuează produsul matricelor şi se scrie apoi egalitatea elementelor situate pe
linia a doua şi coloana întâi.
Se numeşte funcţie generatoare a unui şir (u n ) n∈N funcţia F dată de F (z) =
u n z
∞Pn=0
n .
Teorema 1. Funcţia generatoare a şirului (v n ) n∈N este
(7) F (x) =
Demonstraţie. Avem:
x
1 − ax − x 2 .
F (x) = v 0 + v 1 x + v 2 x 2 + . . . + v n+2 x n+2 + . . .
−axF (x) = −av 0 x − av 1 x 2 − . . . − av n+1 x n+2 + . . .
−x 2 F (x) = −v 0 x 2 − . . . − v n x n+2 + . . .
Sumând, se obţine (1−ax−x 2 )F (x) = v 0 +(v 1 −av 0 )x sau, deoarece v 0 = 0 şi v 1 = 1,
(1 − ax − x 2 )F (x) = x, de unde rezultă (7).
Observaţie. Conform teoremei precedente, şirul (v n ) n∈N este şirul coeficienţilor
câtului împărţirii polinomului x la 1 − ax − x 2 .
Următoarele patru teoreme indică proprietăţi de divizibilitate ale şirului (5).
Teorema 2. Dacă d/n, atunci v d /v n .
Demonstraţie. Fie n = dm. Vom avea:
v n =
=
1
√
a2 + 4 (ϕn − ϕ n 1
) = √
a2 + 4 (ϕdm − ϕ dm ) =
1
√
a2 + 4 (ϕd − ϕ d )(ϕ d(m−1) + ϕ d(m−2) ϕ d + . . . + ϕ d(m−1) ) = v d M,
unde M este un polinom simetric în ϕ şi ϕ, rădăcinile ecuaţiei x 2 −ax−1 = 0. Conform
teoremei fundamentale a polinoamelor simetrice, M va fi un polinom cu coeficienţi
întregi în coeficienţii acestei ecuaţii. Pin urmare, M este un întreg şi v d |v n .
29