format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

‹
Din faptul că
v n+2 v n+1
v n+1 v n‹=A n+1 = a 1 n+1 v n
1 0‹v av n+1 + v n av n + v n−1
v n v n−1‹=
v n+1 v n
rezultă imediat că şirul (v n ) n∈N , ce are v 0 = 0 şi v 1 = 1, satisface relaţia
(5) v n+2 = av n+1 + v n , n ∈ N.
Numim (v n ) n , dat de (5) şi v 0 = 0, v 1 = 1, şir generalizat al lui Fibonacci. Vom vedea
mai jos că multe proprietăţi ale şirului (F n ) n∈N al lui Fibonacci rămân valabile şi în
acest caz şi cu aceleaşi demonstraţii ([2], [3]).
Ecuaţia caracteristică ataşată şirului (v n ) n∈N este
x 2 − ax − 1 = 0,
cu rădăcinile x 1 = 1 2 (a + √ a 2 + 4) şi x 2 = 1 2 (a − √ a 2 + 4).
Să înlăturăm cazul a = 0, care este banal. Observăm că a 2 + 4 nu poate fi pătrat
perfect: pentru a = 1 avem a 2 + 4 = 5, iar pentru a ≥ 2 avem a 2 < a 2 + 4 < (a + 1) 2 .
Adoptăm notaţia ϕ = x 1 , deci x 2 = ϕ (conujugatul lui ϕ). Se ştie ([1], [3]) că termenul
general al şirului (5) este de forma
v n = Aϕ n + Bϕ n , n ∈ N.
Pentru n = 0 şi n = 1 obţinem sistemul de ecuaţii: A+B = v 0 = 0 şi Aϕ+Bϕ = v 1 = 1
1
din care deducem A = −B = √ . Înlocuind aceste constante, deducem formula
a2 + 4
de tip Binet
(6) v n =
1
√
a2 + 4 (ϕn − ϕ n ), n ∈ N.
Mai întâi , vom enumera câteva proprietăţi elementare ale şirului (v n ) n∈N :
1 ◦ nXk=1
v k = 1 a (v n+1 + v n − 1).
Într-adevăr, ţinând seama de (5), avem av k = v k+1 −v k−1 , k = 1, n. Sumând membru
cu membru aceste egalităţi, vom obţine pe cea dorită.
2 ◦ nXk=1
v 2k−1 = 1 a v 2n.
Avem: av 2k−1 = v 2k − v 2k−2 , k = 1, n. Sumăm membru cu membru.
3 ◦ nXk=1
v 2k = 1 a (v 2n+1 − 1).
La fel, pornind de la av 2k = v 2k+1 − v 2k−1 , k = 1, n.
4 ◦ 2nXk=1(−1) k−1 v k = 1 a (v 2n − v 2n+1 + 1).
28