format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Demonstraţie. În (2), luând x 1 = n√ a 1 , x 2 = n√ a 2 , . . . , x n = n√ a n obţinem A ≥ G, iar pentru x 1 = n√ 1 , x 2 = 1 a1 n√ , . . . , x n = 1 a2 n√ obţinem G ≥ H. an Aplicaţie. Fie a i > 0, i = 1, n şi n ≥ 4. Să se arate că: a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 a 3 1 + a3 2 + a3 3 + a 2a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 2 a 3 2 + a3 3 + a3 4 + a na 1 + a 1 a 2 + a 2 a n a 3 n + a 3 1 + a3 2 Soluţie. Din a 3 i + a3 j + a3 k ≥ 3a ia j a k , avem + . . . + a n−1a n + a n a 1 + a 1 a n−1 a 3 n−1 + a3 n + a 3 + 1 ≤ 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n . 1 a 3 i + a3 j + a3 k fi i, j, k = 1, n, i ≠ j ≠ k ≠ i. Deci a ia j + a j a k + a k a i a 3 i + a3 j + a3 k sumând, deducem inegalitatea dorită. Lăsăm în seama cititorului să demonstreze inegalităţile următoare : 1) Fie a > 0, b > 0 cu proprietatea că a + b = 1. Să se arate că ≤ 1 3a i a j a k , oricare ar ≤ 1 3 ·1 a k + 1 a i + 1 a jşi, 6r32 + 1 a 5 + 6r32 + 1 b 5 ≥ 4. 2) Oricare ar fi numerele reale strict pozitive a 1 , a 2 , . . . , a n , n ≥ 3, avem a 1 + a 2 a 2 1 + + a 2 + a 3 a2 2 a 2 2 + + . . . + a n−1 + a n a2 3 a 2 n−1 + + a n + a 1 a2 n a 2 n + a 2 ≤ 1 + 1 + . . . + 1 . 1 a 1 a 2 a n 3) Fie a i > 0, i = 1, n, astfel încât a 1 + a 2 + . . . + a n = 1. Atunci nXi=1 a i + 1 ≥ a i‹2 n2 + 12 n . 4) Să se arate că în orice triunghi ABC au loc inegalităţile: i) a · sin A 2 + b · sin B 2 + c · sin C 2 ≥ 3p tg A 2 · tg B 2 · tg C 2‹2 3 ; ii) a · tg A 2 + b · tg B 2 + c · tg C 2 ≥ 6p · tg A 2 · tg B 2 · tg C 2 . Bibliografie 1. V. Chiriac - Matematică. Fundamentele Algebrei, Editura Sigma, 2007. 2. N. Mihăileanu - Istoria Matematicii, vol. 2, Ed. Şt. şi Enciclop., 1981. 3. - Gazeta Matematică, seriile A, B, 1969-2009. 26
O extensiune a şirului Fibonacci Petru MINUŢ 1 , Cristina SIMIRAD 2 Abstract. A sequence (v n) n∈N , defined by v 0 = 0, v 1 = 1 and v n+2 = av n+1 + v n, where a ∈ N ∗ , is considered. Properties of this sequence are revealed , some of them being similar to those of Fibonacci ′ s sequence. Keywords: Fibonacci ′ s sequence, matrix, characteristic equation, Binet ′ s formula. MSC 2000: 11B39. Şirul Fibonacci este şirul (F n ) n∈N determinat de recurenţa: (1) F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n , n ∈ N. El poate fi definit şi prin egalităţile matriceale: (2) 1 1 = 1 0‹n F n+1 F n ∈ N (cu convenţia F F n F −1 = 1). n−1‹,n Într-adevăr, pentru n = 0 relaţia (2) devine 1 1 1 0‹0 = 1 0 0 1‹, ceea ce este adevărat. Apoi, dacă (2) este adevărată pentru n, vom avea 1 1 = 1 0‹n+1 1 1 n+1 F n 1 0‹F F n+1 + F n F n + F n−1 ‹= F n+2 F n+1 F n F n−1‹= F n+1 F n F n+1 F n‹, deci (2) este adevărată şi pentru n + 1. Ne punem problema găsirii şirurilor (v n ) n∈N definite cu ajutorul unei matrici A = a b a, b, c, d ∈ N, prin c d‹, (3) a c b d‹n = v n+1 v n v n v n−1‹,n ∈ N. Deoarece pentru n = 0 avem a b = c d‹0 1 0 relaţia (3) ne va da, în acest 0 1‹, caz, v 1 = 1, v 0 = 0 şi v −1 = 1, iar egalitatea a b = v 2 v 1 a b scrie v 1 v 0‹se c d‹= v 2 1 conduce la v 1 0‹şi 2 = a, b = c = 1 şi d = 0. Prin urmare, A este de forma A = a 1 (3) se scrie 1 0‹şi c d‹1 (4) a 1 = 1 0‹n v n+1 v n ∈ N. v n v n−1‹,∀n 1 Prof. univ., Univ. ”Al.I. Cuza”, Iaşi 2 Profesoară, Şcoala nr. 10 ”Gh. Brătianu”, Iaşi 27
Page 1 and 2: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Iaşi - 100
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult şi să împrum
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 A
Page 18 and 19: plus, cum △P AB şi △QAB sunt e
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25: Aplicaţia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definiţia 3. Fie I 1 , I 2 ⊂ R d
Page 28 and 29: 3) Considerăm funcţia f : (0, ∞
Page 32 and 33: ‹ Din faptul că v n+2 v n+1 v n+
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată şi p
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a 2 b 2 + t 2 ≤ 6abt de
Page 40 and 41: Fie acum A i A j A k A l un trapez
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficienţi reali şi rădăcini c
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(ÕBΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: Şcoala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul şcolii, celelalte fiin
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} şi a 1 , a 2
Page 60 and 61: Soluţie. Latura pătratului este d
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Soluţie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: şi, cum tg A ∈ N, rezultă că t
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C ∗ numere
Page 72 and 73: ’ 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 Solu
Page 74 and 75: =Ztg n−1 1 x · cos 2 x + 1 ctgn
Page 76 and 77: ) Cum suma şi diferenţa au aceea
Page 78 and 79: maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81:
Notă. Soluţie corectă, bazată p
Page 82 and 83:
În cazul în careba =b0, concluzia
Page 84 and 85:
Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87:
VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89:
IX.107. Dacă a, b ∈ N ∗ , atun
Page 90 and 91:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93:
Training problems for mathematical
Page 94 and 95:
Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97:
IMPORTANT • În scopul unei legă
Page 98:
CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?