format .pdf, 4.1 MB - Recreaţii Matematice

De aici, obţinem succesiv
(6)
ψ(f(c)) + (n − 1)ψ(f(b))
nψ(f(c)) ≤ (n − 1)ψ(f(a)) +
n
⇐⇒ (n + 1)ψ(f(c)) ≤ nψ(f(a))
|
+ ψ(f(b)) ⇐⇒
f(c) ≤ ψ −1 nψ(f(a)) + ψ(f(b))
‹⇐⇒
{z }
n + 1
f(M n+1 (a, . . . , a, b)) ≤ N n+1 (f(a), . . . , f(a) , f(b)).
n
|{z}
n
Pentru orice x 1 , . . . , x n+1 ∈ I 1 avem
⇐⇒
deci
M n+1 (x 1 , . . . , x n+1 ) = φ
−1‚n
φ(x1)+...+φ(xn)
n
+ φ(x n+1 )
Œ=
n + 1
| {z }
| {z }
| {z }
n
= φ −1 nφ(M n (x 1 , . . . , x n )) + φ(x n+1 )
n + 1
‹,
(7) M n+1 (x 1 , . . . , x n+1 ) = M n+1 (M n (x 1 , . . . , x n ), . . . , M n (x 1 , . . . , x n ), x n+1 ).
În mod analog, pentru orice y 1 , . . . , y n+1 ∈ I 2 avem
(8) N n+1 (y 1 , . . . , y n+1 ) = N n+1 (N n (y 1 , . . . , y n ), . . . , N n (y 1 , . . . , y n ), y n+1 ).
Ţinând cont de (6), (7) şi (8), de ipoteza inductivă şi de monotonia mediei N,
rezultă că pentru orice x 1 , . . . , x n+1 ∈ I 1 avem
f(M n+1 (x 1 , . . . , x n+1 )) (7)
= f(M n+1 (M n (x 1 , . . . , x n ), . . . , M n (x 1 , . . . , x n )), x n+1 ) (6)
≤
n
n
N n+1 (f(M n (x 1 , . . . , x n )), . . . , f(M n (x 1 , . . . , x n )), f(x n+1 )) ≤
≤ N n+1 (N n (f(x 1 ), . . . , f(x n )), . . . , N n (f(x 1 ), . . . , f(x n )), f(x n+1 )) (8)
=
= N n+1 (f(x 1 ), . . . , f(x n+1 )),
deci f(M n+1 (x 1 , . . . , x n+1 )) ≤ N n+1 (f(x 1 ), . . . , f(x n+1 )). Conform principiului inducţiei
matematice rezultă că (5) are loc pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.
Observaţii. 1) Evident, inegalitatea (5) generalizează inegalitatea lui Jensen
pentru funcţii J-convexe.
2) Deoarece √ xy ≤ 1 2 (x + y), ∀x, y ∈ (0, ∞), rezultă că funcţia f = 1 (0,∞) este
(G, A) − J-convexă; conform Teoremei 1, obţinem inegalitatea mediilor
n√
x1 · . . . · x n ≤ x 1 + . . . + x n
, ∀x 1 , . . . , x n ∈ (0, ∞), ∀n ≥ 2.
n
23