format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

O inegalitate ponderată cu medii Gheorghe CIORESCU, Adrian SANDOVICI 1 Abstract. A refinement of the inequality of the means, m a ≥ m g, is given by inequalities (2) and (5), with the condition p ≥ (n − 1)q. Keywords: arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean, Sturm ′ s method. MSC 2000: 97D99. Considerăm n ∈ N, n ≥ 2, şi numerele strict pozitive a i , 1 ≤ i ≤ n. Notăm cu m a , m g , m h mediile aritmetică, geometrică şi respectiv armonică ale acestor numere. Scopul acestei note este de a demonstra o inegalitate de tipul (1) p · m a + q · m h ≥ (p + q) · m g , cu p şi q numere reale strict pozitive. Observăm că (1) poate fi privită ca o rafinare a inegalităţii m a ≥ m g . Propoziţia 1. Are loc inegalitatea (2) (n − 1)m a + m h ≥ n · m g , cu egalitate dacă şi numai dacă a 1 = a 2 = . . . = a n . Demonstraţie. Avem (n − 1)m a + m h = n · ma + . . . + m a + m h n ≥ n nÈm n−1 a · m h . Ca urmare, este suficient să arătăm că are loc inegalitatea (3) nÈm n−1 a · m h ≥ m g sau m n−1 a · m h ≥ m n g . nXk=1 Să notăm x i = a i / a k , 1 ≤ i ≤ n, şi să observăm că x i ∈ (0, 1), 1 ≤ i ≤ n, şi x i = 1. După calcule elementare, inegalitatea (3) se rescrie sub forma nXi=1 X n−1 (4) S n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x jk!≤ Yk=1 1 n n−2 . 1≤j 1
1 ≤ i ≤ n. Vom avea X 1≤j 1
Page 1 and 2: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Iaşi - 100
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult şi să împrum
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 A
Page 18 and 19: plus, cum △P AB şi △QAB sunt e
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 24 and 25: Aplicaţia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definiţia 3. Fie I 1 , I 2 ⊂ R d
Page 28 and 29: 3) Considerăm funcţia f : (0, ∞
Page 30 and 31: Demonstraţie. În (2), luând x 1
Page 32 and 33: ‹ Din faptul că v n+2 v n+1 v n+
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată şi p
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a 2 b 2 + t 2 ≤ 6abt de
Page 40 and 41: Fie acum A i A j A k A l un trapez
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficienţi reali şi rădăcini c
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(ÕBΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: Şcoala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul şcolii, celelalte fiin
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} şi a 1 , a 2
Page 60 and 61: Soluţie. Latura pătratului este d
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Soluţie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: şi, cum tg A ∈ N, rezultă că t
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C ∗ numere
Page 72 and 73:
’ 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 Solu
Page 74 and 75:
=Ztg n−1 1 x · cos 2 x + 1 ctgn
Page 76 and 77:
) Cum suma şi diferenţa au aceea
Page 78 and 79:
maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81:
Notă. Soluţie corectă, bazată p
Page 82 and 83:
În cazul în careba =b0, concluzia
Page 84 and 85:
Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87:
VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89:
IX.107. Dacă a, b ∈ N ∗ , atun
Page 90 and 91:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93:
Training problems for mathematical
Page 94 and 95:
Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97:
IMPORTANT • În scopul unei legă
Page 98:
CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?