format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can accomplish all the constructions able to be performed by means of the rule and the compasses together (Mohr - Mascheroni), while the rule alone cannot do it (Hilbert). These results are presented in this Note, with some clearing up brought to the proof of reference [1]. Keywords: circle, cone, rule, compasses. MSC 2000: 51M15. 1. În problemele de construcţii geometrice este permisă, în general, utilizarea a două instrumente: rigla şi compasul. Aceste instrumente sunt considerate ca fiind ideale; ele trasează dreptele şi cercurile exact, grosimea liniei de creion şi orice alte aproximări nefiind luate în considerare. Rigla este presupusă ca fiind infinită, fără gradaţii pe ea. Ea poate fi folosită pentru a trasa dreapta ce trece prin două puncte date (în sensul determinării oricărui punct al acesteia). Nu o putem utiliza pentru a măsura distanţe între puncte. Date O, P două puncte în plan, compasul poate fi utilizat pentru a trasa cercul de centru O şi care trece prin P (în sensul determinării oricărui punct al acestuia). Compasul este considerat ca fiind nerigid: odată ce l-am ridicat de pe hârtie, el se închide, altfel spus nu putem ”transporta” distanţa cuprinsă între vârfurile sale. În orice problemă de construcţii geometrice, se porneşte de la o mulţime dată S de puncte ale planului. Putem obţine puncte noi cu ajutorul riglei şi compasului aşa cum am văzut anterior, precum şi prin următoarele trei operaţii, numite fundamentale: • determinarea punctului de intersecţie a două drepte; • determinarea punctelor de intersecţie a unei drepte cu un cerc; • determinarea punctelor de intersecţie a două cercuri. Definiţie. Spunem că o problemă de construcţie este rezolvabilă cu rigla şi compasul dacă o putem reduce la o succesiune finită de operaţii alese dintre cele trei operaţii fundamentale. Scopul acestui demers este prezentarea posibilităţilor de folosire a acestor două instrumente. Rezultatele principale sunt date de teoremele 2, 4 şi 5 de mai jos. 2. Ne propunem mai întâi să arătăm că putem înlocui compasul nerigid cu un compas rigid (care, în plus faţă de cel nerigid, poate ”transporta” lungimea unui segment, deci nu se închide automat după utilizare). Este adevarată următoarea Teoremă. Toate construcţiile care pot fi realizate cu rigla şi compasul rigid pot fi realizate cu rigla şi compasul, în sensul precizat la 1. Demonstraţie. Este suficient să dăm un procedeu de construcţie a unui segment congruent cu un segment dat şi având un capăt fixat, folosind doar rigla şi compasul nerigid (altfel spus, să arătăm cum se poate transporta un segment). Pentru aceasta, 1 Profesor, Colegiul Naţional, Iaşi 12
fie [AB] un segment dat şi [MM ′ o semidreaptă dată; dorim să găsim unicul punct N ∈ [MM ′ pentru care [MN] ≡ [AB]. Cercurile de centre A şi M şi care trec prin M, respectiv prin A, se intersectează în două puncte; fie X unul dintre ele. Avem că △AXM este echilateral. Trasăm cercul de centru A care trece prin B; acesta intersectează semidreapta [AX într-un punct C. Deosebim două situaţii: a) C este între A şi X. Fie cercul de centru X care trece prin C şi fie P punctul de intersecţie dintre acesta şi segmentul [XM]. Există un asemenea punct, întrucât XP = XC = XA − AC < XA = XM. Desenăm cercul de centru M şi care trece prin P ; acesta intersectează semidreapta [MM ′ într-un punct N şi avem că MN = MP = MX − P X = AX − CX = AC = AB, deci N este punctul căutat. b) X este între A şi C. Construcţia curge la fel, însă punctul P nu se va mai afla pe segmentul [MX], ci pe semidreapta opusă lui [XM. Observaţie. În cele ce urmează, vom folosi exprimări de genul: ”fie cercul de centru O şi rază AB”, unde atât A cât şi B sunt diferite de O; aceste construcţii sunt permise de teorema precedentă. 3. Dorim să arătăm în continuare că un compas rigid poate realiza singur toate construcţiile posibil a fi efectuate cu rigla şi compasul. Calea urmată este, în linii mari, cea prezentată în [1], unele afirmaţii directe de acolo fiind justificate mai riguros. Demonstraţia clasică, folosind inversiunea, poate fi găsită, spre exemplu, în [2], pp.26- 29. Începem prin a indica algoritmi pentru trei construcţii importante. (i) Construcţia simetricului unui punct dat faţă de alt punct dat. Presupunem date două puncte A şi B şi fie a = d(A, B). Desenăm cercul (C 1 ) de centru A şi care trece prin B, apoi cercul (C 2 ) de centru B şi care trece prin A. Razele celor două cercuri sunt ambele a, iar distanţa centrelor este, de asemenea, a. Deoarece a < a+a, conform teoremei celor două cercuri, rezultă că (C 1 ) şi (C 2 ) au în comun două puncte P şi Q, aflate de o parte şi de alta a dreptei AB. În 13
Page 1 and 2: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Iaşi - 100
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult şi să împrum
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 18 and 19: plus, cum △P AB şi △QAB sunt e
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25: Aplicaţia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definiţia 3. Fie I 1 , I 2 ⊂ R d
Page 28 and 29: 3) Considerăm funcţia f : (0, ∞
Page 30 and 31: Demonstraţie. În (2), luând x 1
Page 32 and 33: ‹ Din faptul că v n+2 v n+1 v n+
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată şi p
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a 2 b 2 + t 2 ≤ 6abt de
Page 40 and 41: Fie acum A i A j A k A l un trapez
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficienţi reali şi rădăcini c
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(ÕBΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: Şcoala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul şcolii, celelalte fiin
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} şi a 1 , a 2
Page 60 and 61: Soluţie. Latura pătratului este d
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67:
Soluţie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69:
şi, cum tg A ∈ N, rezultă că t
Page 70 and 71:
X.97. Fie a, b, c ∈ C ∗ numere
Page 72 and 73:
’ 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 Solu
Page 74 and 75:
=Ztg n−1 1 x · cos 2 x + 1 ctgn
Page 76 and 77:
) Cum suma şi diferenţa au aceea
Page 78 and 79:
maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81:
Notă. Soluţie corectă, bazată p
Page 82 and 83:
În cazul în careba =b0, concluzia
Page 84 and 85:
Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87:
VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89:
IX.107. Dacă a, b ∈ N ∗ , atun
Page 90 and 91:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93:
Training problems for mathematical
Page 94 and 95:
Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97:
IMPORTANT • În scopul unei legă
Page 98:
CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

format .pdf, 4.1 MB - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?