Geometrie descriptiva - PIM Copy

GRAŢIELA HÎNCU
GEOMETRIE
CURS ŞI APLICAŢII
DESCRIPTIVĂ
EDITURA PIM
IAŞI - 2009

REFERENŢI ŞTIINŢIFICI
conf. dr. ing. Liviu PRUNĂ
conf. dr. arh. Mariana FÂRTĂŢESCU
EDITURA PIM
Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498
Tel. / fax: 0332-440728
e-mail:editurapim@pimcopy.ro
www.pimcopy.ro
EDITURĂ ACREDITATĂ CNCSIS BUCUREŞTI
66/01.05.2006
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
HÎNCU, GRAŢIELA
Geometrie descriptivă : curs şi aplicaţii / Graţiela Hîncu. - Iaşi : PIM,
2009
Bibliogr.
ISBN 978-606-520-593-2
514.18
ISBN 978-606-520-593-2

CUPRINS
Prefaţă
Capitolul 1 – Sisteme de proiecţie ......................................................................1
1. Sisteme de proiecţie...................................................................3
1.1. Proiecţia centrală...............................................................4
1.2. Proiecţia paralelă...............................................................6
1.2.1.Proiecţia paralelă oblică...........................................6
1.2.2.Proiecţia paralelă ortogonală ...................................8
2. Omologie ..............................................................................10
2.1. Teorema lui Desargues....................................................10
2.2. Configuraţia Desargues...................................................11
3. Elemente de afinitate...............................................................12
3.1. Transformarea afină a unei drepte...................................13
3.2. Transformarea afină a unui plan......................................14
3.3. Elipsa ca imagine a perspectivei afine a cercului............16
Capitolul 2 – Punctul........................................................................................18
1. Metoda dublei proiecţii ortogonale .........................................18
1.1. Reprezentarea punctului în dubla proiecţie
ortogonală........................................................................20
2. Metoda triplei proiecţii ortogonale..........................................24
Probleme rezolvate......................................................................29
Probleme propuse........................................................................32
Capitolul 3 – Dreapta........................................................................................33
1. Dubla proiecţie ortogonală a dreptei .......................................33
2. Urmele dreptei.........................................................................34
3. Regiunile dreptei .....................................................................35
4. Tripla proiecţie ortogonală a dreptei .......................................37
5. Poziţii particulare ale dreptei...................................................39
5.1. Paralelă cu unul din planele de proiecţie.........................39
5.2. Perpendiculară pe planele de proiecţie ...........................41
5.3. Conţinută în planele de proiecţie.....................................43
5.4. Conţinută în planele bisectoare ......................................44
5.5. Concurentă cu axa (Ox) ..................................................45
6. Poziţiile relative a două drepte ...............................................45
6.1. Drepte paralele ................................................................45
6.2. Drepte concurente ...........................................................46

6.3. Drepte disjuncte ..............................................................47
6.4. Drepte perpendiculare .....................................................47
Probleme rezolvate.................................................................48
Probleme propuse...................................................................49
Capitolul 4 – Planul..........................................................................................52
1. Reprezentare............................................................................52
2. Urmele planului.......................................................................52
2.1. Determinarea urmelor planului .......................................54
2.2. Urma laterală a planului ..................................................54
3. Dreaptă şi punct conţinute în plan...........................................55
4. Drepte particulare ale planului ................................................56
4.1. Orizontala........................................................................56
4.2. Frontala ...........................................................................56
4.3. Dreapta de profil .............................................................57
4.4. Dreptele de cea mai mare pantă ......................................57
4.4.1. Dreapta de cea mai mare pantă faţă de [H] ...........57
4.4.2. Dreapta de cea mai mare pantă faţă de [V] ...........58
4.4.3. Dreapta de cea mai mare pantă faţă de [L]............58
5. Poziţiile particulare ale planului..............................................59
5.1. Paralel cu unul din planele [H], [V], [L] ........................59
5.1.1. Plan de nivel..........................................................59
5.1.2. Plan de front ..........................................................60
5.1.3. Plan de profil.........................................................61
5.2. Perpendicular pe unul din planele de proiecţie................61
5.2.1. Plan vertical...........................................................61
5.2.2. Plan de capăt .........................................................62
5.2.3. Plan paralel cu axa (Ox)........................................63
5.2.4. Plan care trece prin axa (Ox).................................63
6. Poziţiile relative a două plane .................................................64
6.1. Plane paralele ..................................................................64
6.2. Plane concurente .............................................................65
6.2.1. Plane perpendiculare ............................................69
7. Dreapta şi planul......................................................................69
7.1. Dreaptă paralelă cu planul...............................................70
7.2. Dreaptă concurentă cu planul..........................................70
7.2.1. Dreaptă perpendiculară pe plan ............................74
7.2.2. Plan perpendicular pe o dreaptă dată....................75
8. Consideraţii asupra vizibilităţii ...............................................75
Probleme rezolvate.................................................................76
Probleme propuse...................................................................85
Capitolul 5 – Metodele geometriei descriptive .................................................89
1. Metoda schimbării planelor de proiecţie.................................89
1.1. Schimbarea planului vertical de proiecţie .......................90
1.1.1. Schimbarea planului [V] pentru un punct.............90
1.1.2. Schimbarea planului [V] pentru o dreaptă............91

1.1.3. Schimbarea planului [V] pentru un plan...............91
1.2. Schimbarea planului orizontal de proiecţie.....................92
1.2.1. Schimbarea planului [H] pentru un punct.............92
1.2.2. Schimbarea planului [H] pentru o dreaptă............93
1.2.3. Schimbarea planului [H] pentru un plan...............93
2. Metoda rotaţiei ........................................................................94
2.1. Rotaţia de nivel ...............................................................95
2.1.1. Rotaţia de nivel a punctului..................................95
2.1.2. Rotaţia de nivel a dreptei......................................96
2.1.3. Rotaţia de nivel a planului....................................98
2.2. Rotaţia de front................................................................99
2.2.1. Rotaţia de front a punctului ..................................99
2.2.2. Rotaţia de front a dreptei ....................................100
2.2.3. Rotaţia de front a planului ..................................101
3. Metoda rabaterii ....................................................................103
3.1. Rabaterea planelor proiectante......................................104
3.2. Rabaterea unui plan oarecare pe planele de proiecţie ...106
3.2.1. Rabaterea unui plan oarecare pe planul [H] .......106
3.2.2. Rabaterea unui plan oarecare pe un plan
paralel cu planul [H]...........................................107
3.2.3. Rabaterea unui plan oarecare pe planul [V] .......108
3.2.4. Rabaterea unui plan oarecare pe un plan
paralel cu planul [V]...........................................109
4. Metoda ridicării din rabatere .................................................110
Probleme rezolvate...............................................................112
Probleme propuse.................................................................124
Capitolul 6 – Poliedre .....................................................................................127
1. Reprezentarea poliedrelor......................................................129
1.1. Reguli de vizibilitate pentru poliedre............................130
2. Poliedre neregulate................................................................131
2.1. Reprezentare. Vizibilitate..............................................131
2.2. Punct pe suprafaţa unui poliedru...................................134
3. Secţiuni plane în poliedre......................................................134
3.1. Metoda planelor proiectante..........................................134
3.2. Metoda prin vârfuri .......................................................136
3.3. Metoda cu ajutorul laturilor...........................................139
3.4. Metoda transformării planului secant în plan
proiectant.......................................................................140
3.5. Metoda planelor auxiliare..............................................142
3.6. Metoda proiecţiei paralele.............................................143
4. Desfăşurarea poliedrelor........................................................144
4.1. Desfăşurarea prismei.....................................................145
4.2. Desfăşurarea piramidei..................................................149
Probleme rezolvate...............................................................151
Probleme propuse.................................................................172

Capitolul 7 – Intersecţii de corpuri geometrice..............................................175
1. Intersecţia dreptei cu un poliedru ..........................................175
1.1. Metoda planelor proiectante..........................................175
1.1.1. Intersecţia unei drepte cu o piramidă..................176
1.1.2. Intersecţia unei drepte cu o prismă.....................177
1.2. Metoda planului de secţiune longitudinală....................177
1.2.1. Intersecţia unei drepte cu o piramidă..................178
1.2.2. Intersecţia unei drepte cu o prismă.....................180
2. Intersecţii de poliedre............................................................181
2.1. Metode de determinare a poligonului de intersecţie .....183
2.1.1. Metoda mobilului ...............................................183
2.1.2. Metoda desfăşuratelor schematice......................186
2.2. Intersecţia piramidă - piramidă .....................................186
2.3. Intersecţia piramidă - prismă.........................................188
2.4. Intersecţia prismă - prismă ............................................191
2.5. Intersecţia a două poliedre cu bazele situate în plane
de poziţie generală.........................................................193
Probleme rezolvate...............................................................196
Probleme propuse.................................................................230
Capitolul 8 – Axonometria..............................................................................232
1. Proiecţia axonometrică oblică ...............................................232
1.1. Axonometria oblică. Teorema lui Pohlke .....................233
1.2. Cazuri speciale de axonometrie oblică..........................234
1.2.1. Proiecţia dimetrică..............................................234
1.2.2. Perspectiva cavalieră ..........................................235
1.2.3. Perspectiva militară ............................................235
2. Axonometria ortogonală........................................................235
2.1. Relaţia fundamentală a axonometriei ortogonale.........236
2.2. Scări axonometrice.......................................................237
2.3. Sisteme de axe axonometrice .......................................238
2.3.1. Proiecţia izometrică............................................238
2.3.2. Proiecţia dimetrică..............................................239
2.3.3. Proiecţia trimetrică .............................................241
Probleme rezolvate...............................................................242
Probleme propuse.................................................................244
Capitolul 9 – Proiecţia cotată .........................................................................247
1. Reprezentarea punctului........................................................247
2. Reprezentarea dreptei............................................................248
2.1. Poziţii particulare ale dreptei.........................................250
2.2. Poziţii relative a două drepte.........................................250
3. Reprezentarea planului..........................................................251
3.1. Poziţiile unui punct faţă de un plan [P].........................251
3.2. Poziţii particulare ale planului.......................................252
3.3. Poziţii relative a două plane ..........................................252
3.4. Poziţii particulare ale dreptei faţă de un plan................253

3.4.1. Dreaptă conţinută în plan....................................253
3.4.2. Dreaptă paralelă cu planul ..................................254
3.4.3. Dreaptă concurentă cu planul .............................254
3.4.4. Dreaptă perpendiculară pe plan ..........................255
Probleme rezolvate...............................................................257
Probleme propuse.................................................................258
Bibliografie………..........................................................................................260