ANALIZĂ DIMENSIONALĂ Fenomenele fizice şi obiectele pot fi ...

ANALIZĂ DIMENSIONALĂ
Fenomenele fizice şi obiectele pot fi caracterizate cu ajutorul conceptelor
calitate şi cantitate.
Calitatea exprimă acea latură a fenomenului sau a obiectului prin care acesta rămâne
distinct în relaţia cu alte fenomene sau obiecte.
Cantitatea caracterizează fenomenul sau obiectul prin gradul de dezvoltare al
însuşirilor sale.
Exemple
- Corpul care îşi schimbă poziţia faţă de alt corp considerat fix (reperul) este în
mişcare relativă iar corpul care îşi menţine poziţia neschimbată faţă de reper este în
repaus relativ. Conceptul calitate este concretizat prin mişcare şi repaus.
- Corpul aflat în mişcare poate, la un moment dat, să fie mai departe sau mai aproape
faţă de reper ceea ce descriem prin noţiunea distanţă. Distanţa o exprimăm printr-un
număr şi o unitate de măsură. Cantitatea este concretizată prin distanţa D.
Mărimea poate să descrie fie cantitatea fie calitatea. În continuare, noţiunea mărime
se va folosi în sensul de cantitate.
1. MĂRIMI FIZICE
Proprietatea ordonabilă, adică care poate fi exprimată printr-un număr şi o unitate de
măsură este o mărime fizică. Mărimile fizice se notează cu litere italice X.
Valoarea numerică a mărimii fizice X se notează cu x. A măsura o mărime fizică
înseamnă a compara mărimea măsurată cu altă mărime de aceeaşi natură numită etalon
sau unitate de măsură, . Astfel, scriem
X = x ⋅ . (1)
Relaţia (1) se numeşte ecuaţia măsurătorii.
Mărimile fizice se clasifică în următoarele clase: intensive, extensive, fundamentale,
derivate, scalare, vectoriale şi tensoriale:
- Mărimile sunt intensive sau reperabile dacă pot fi ordonate dar nu pot fi adunate.
Exemplu: Un sistem termodinamic conţine subsistemele (1) şi (2). Temperaturile t1 şi
t2 ale subsistemelor (1) şi (2) pot fi ordonate t1= t2 sau t1< t2 sau t1> t2 , dar nu pot fi
adunate.
- Mărimile sunt extensive sau măsurabile dacă pot fi ordonate şi adunate.
Exemplu: Masa m a unui sistem este egală cu suma maselor m1 şi m2 ale
subsistemelor (1) şi (2) care intră în componenţa sa: m = m1+ m2.
- Mărimile sunt fundamentale dacă într-un sistem de unităţi sunt independente şi sunt
alese convenţional.
Exemple: În sistemul internaţional, lungimea l are unitatea de măsură 1 m stabilită
prin convenţie.Timpul t are unitatea de măsură 1 s stabilită prin convenţie.
- Mărimile derivate sunt definite cu ajutorul mărimilor fundamentale ale sistemului de
unităţi.

Exemplu: Viteza v este definită cu relaţia v = dx/ dt iar unitatea sa de măsură este
definită cu ajutorul relaţiei de definiţie astfel, = / , adică SI = m/s.
- Mărimile scalare sunt definite printr-un număr şi o unitate de măsură.
Exemplu: Distanţa dintre două puncte este D = 7 m.
- Mărimile vectoriale sunt caracterizate prin valoare şi prin orientare.
Exemplu:Viteza unui mobil în mişcare rectilinie şi uniformă de-a lungul axei Ox pote
r r r r
fi v = 3i
sau v = −3i
după cum mobilul se mişcă în sensul pozitiv sau cel negativ al
axei Ox.Vectorul i
r este versorul axei Ox, modulul său fiind egal cu unitatea, i = 1
r
- Mărimile tensoriale sunt dependente de direcţia de măsurare.
Exemplu:
La cristalele birefringente, de-a lungul axei optice, indicele de refracţie al razei
extraordinre este egal cu indicele de refracţie al razei ordinare, nE = nO, şi este diferit de
acesta de-a lungul altei direcţii, nE ≠ nO .
2. SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ
Formula fizică se deosebeşte de formula matematică în sensul că formula matematică
este o relaţie între mărimi iar formula fizică este o relaţie între valorile măsurate.
Exemplu: Expresia matematică a ariei pătratului de latură X este A=X 2 . Formula fizică
este aּ = x 2 ּ 2. . Dacă, prin convenţie măsurăm latura în centimetri , cm, şi
stabilim că aria se exprimă în metru pătrat, m 2 , (1cm 2 = 10 -4 m 2 ), scriem a = 10 – 4 x 2 .
Mărimea K =10 -4 se numeşte coeficient parazit al formulei fizice.
Constantăm că, alegând arbitrar unităţile de măsură ale tuturor mărimilor determinate,
în relaţiile dintre acestea apar coeficienţii paraziţi care duc la complicarea formulelor,
iar sistemul de unităţi este necoerent.
Pentru ca valorile coeficienţilor paraziţi să fie egale cu unitatea sau cât mai mici este
necesar ca un număr mic de unităţi de măsură să fie stabilite prin convenţie.
Mărimile fizice independente, definite direct prin indicarea unităţilor de măsură şi a
metodelor de măsurare sunt fundamentale.
Mărimile fizice şi unităţile care se stabilesc cu ajutorul celor fundamentale sunt
mărimi respectiv unităţi derivate.
Totalitatea unităţilor fundamentale şi a celor derivate alcătuiesc un sistem de unităţi.
Sistemul de unităţi este coerent dacă unităţile derivate sunt funcţii univoce ale
unităţilor fundamentale.
De-a lungul timpului s-au utilizat mai multe sisteme de mărimi fundamentale.
Utilizarea simultană a mai multor sisteme de unităţi a generat dificultăţi practice ceea
ce a determinat reglementarea juridică internaţională a utilizării unor unităţi de măsură
preferabile, a definirii lor precum şi a realizării şi păstrării etaloanelor pentru aceste
unităţi. Aceste unităţi au fost adoptate la cea de a XI Conferinţă Generală de Măsuri şi
Greutăţi din anul 1960. Denumirea sistemului este Sistemul Internaţional de Unităţi
(SI). Mărimile şi unităţile fundamentale ale SI sunt: lungimea cu unitatea metrul, masa
cu unitatea kilogramul, timpul cu unitatea secunda, intensitatea curentului electric cu

unitatea amperul, temperatura termodinamică cu unitatea kelvinul, intensitatea
luminoasă cu unitatea candela şi cantitatea de substanţă cu unitatea molul. Sistemul SI
este practic, general şi coerent iar coeficienţii de proporţionalitate care apar în formule
sunt adimensionali.
În anul 1961, România a adoptat SI ca sistem unic legal şi obligatoriu pe teritoriul
său. SI conţine unităţi: fundamentale, suplimentare, derivate şi tolerate.
a) Mărimile şi unităţile fundamentale ale Sistemului Internaţional de Unităţi de Măsură
sunt prezentate sintetic în tabelul nr. 1.
Tabelul nr.1. Mărimi şi unităţi fundamentale ale SI.
Nr. Mărimea Simbolul Simbolul Unitatea de Simbolul
crt. fizică mărimii dimensiunii măsură unităţii
1. Lungimea l L metrul m
2. Masa m M kilogramul kg
3. Timpul t T secunda s
4. Intesitatea curentului electric I I amperul A
5.Temperatura termodinamică T ϑ kelvinul K
6. Intensitatea luminoasă I J candela cd
7.Cantitatea de substanţă ν Q molul mol
b) Mărimile şi unităţile suplimentare ale SI sunt:
1) Unghiul plan, cu simbolul α, β sau γ şi cu unitatea de măsură radianul (rad);
2) Unghiul solid, cu simbolul Ω sau ω şi cu unitatea de măsură steradianul (sr).
c) Unităţile derivate sunt clasificate în următoarele patru categorii:
1) Unităţi derivate exprimate în funcţie de unităţile fundamentale: m 2 pentru arie, m 3
pentru volum, m/s pentru viteză, m/s 2 pentru acceleraţie ş.a.m.d.
2) Unităţi derivate cu denumiri speciale : hertz ( Hz ) pentru frecvenţă, newton ( N )
pentru forţă, joule ( J ) pentru lucrul mecanic, pascal ( Pa ) pentru presiune ş.a.m.d.
3) Unităţi derivate exprimate cu ajutorul unităţilor fundamentale şi derivate: V/m
pentru intensitatea câmpului electric, F/m pentru permitivitatea electrică ş.a.m.d.
4) Unităţi derivate exprimate cu ajutorul unităţilor suplimentare: rad/s pentru viteza
unghiulară, rad/s 2 pentru acceleraţia unghiulară ş.a.m.d.
d) Unităţi tolerate mai des întâlnite sunt:
1) electronvoltul, 1eV= 1,602 ⋅10 -19 J;
2) unitatea atomică de masă, 1u =1,66057⋅10 -27 kg ;
3) angstromul, 1 Å= 10 -10 m.
Pentru a simplifica exprimarea valorilor numerice ale mărimilor fizice se
utilizează prefixe, care prin adăugarea la unităţile de măsură generează multipli sau
submultipli zecimali ai unităţii respective. Prefixele, simbolurile lor şi factorii de
multiplicare sunt prezentate în tabelul nr.2.
Tabel nr.2. Prefixe, simboluri, factori de multiplicare.
Multipli Submultipli
Prefixul Simbolul Factorul de Prefixul Simbolul Factorul de
multiplicare multiplicare

- 1
deca da 10 deci d 10
hecto h 10 2 - 2
centi c 10
kilo k 10 3 - 3
mili m 10
mega M 10 6 - 6
micro μ 10
giga G 10 9 - 9
nano n 10
tera T 10 12 - 12
pico p 10
peta P 10 15 - 15
femto f 10
exa E 10 18 - 18
atto a 10
3. FORMULE DIMENSIONALE.
Dimensiunea este o unitate de măsură în sens generalizat. Dimensiunea mărimii X se
notează [X]. Notaţiile pentu dimensiunile mărimilor fundamentale ale SI sunt: L -
lungimea; T - timpul; M - masa; θ - temperatura termodinamică; I - intensitatea
curentului electric; J - intensitatea luminoasă şi Q - cantitatea de substanţă.
Dimensiunea mărimii derivate reprezintă expresia prin care mărimea derivată este
reprezentată numai în funcţie de dimensiunile fundamentale, sub formă de produs de
puteri raţionale. Formula dimensionlă a mărimii X este:
[ X ] = L α M β T γ I δ J ω θ τ Q ε . (2)
Exponenţii raţionali α, β, γ,….., reprezintă, fiecare în parte, dimensiunea mărimii
derivate X în raport cu una din mărimile fundamentale L, M, T, I, J, θ, Q.
Fie mărimile fizice X şi Y cu formulele dimensionale:
[ X] =L α1 M β1 T γ1 respectiv [Y] = L α2 M β2 T γ2 . (3)
Egalitatea X = Y este adevărată dacă dimensiunile celor două mărimi în raport cu
aceeaşi mărime fundamentală sunt egale: α1 =α2, β1 = β2, γ1 = γ2. Egalităţile precedente
exprimă condiţia de omogenitate a formulelor fizice: într-o formulă fizică, exponenţii
aceleeaşi mărimi fundamentale din partea stângă respectiv dreaptă a semnului egal au
aceeaşi valoare. Formula fizică corectă este întotdeauna omogenă dimensional.
Măsurând aceeaşi mărime fizică X cu două unităţi de măsură diferite 1 şi 2 ,
obţinem: X = x1ּ1 şi X= x2 ּ2. Egalităţile precedente conduc la relaţia:
1/2 = x2 /x1 = k. (4)
Relaţia (5) exprimă teorema fundamentală a unităţilor de măsură: raportul a două
unităţi de măsură este egal cu raportul invers al valorilor numerice ale aceleeaşi
mărimi fizice. Numărul k este factorul de transformare.
Exemplu: Masa de repaus a electronului exprimată în kg sau în unităţi atomice de
masă u este m0 = 9,1095⋅10 -31 kg, respectiv m0 = 5,486 ⋅10 -4 u.
Factorul de transformare al celor două unităţi este: k = 1u/1kg=9,1095⋅10 -31 /5,486 10 -4
=1,6604⋅10 -27 . Deci, unitatea atomică de masă exprimată în kg este 1 u = 1,6604⋅10 -27 kg.
Analiza dimensională este utilizată pentru: a) stabilirea ecuaţiilor dimensionale ale
mărimilor derivate; b) verificarea omogenităţii dimensionale a formulelor fizice; c)
deducerea unor legi fizice simple până la nivelul unor constante.
a) Exemple de ecuaţii dimensionale:
- ecuaţia vitezei: v=s / t, [v] = [s] / [t] = L / T=L T -1 , SI = m ⋅s -1 ;

- ecuaţia acceleraţiei : a = v / t, [a ]= [v] / [t] = L T -2 , SI = mּs -2 ;
- ecuaţia forţei: F =mּ a, [F ] = M L T -2 , SI = kg m s -2 = 1N;
- ecuaţia presiunii. p=F / S, [p]= M L -1 T -2 , SI = kg m -1 s -2 =1N/m 2 =1Pa.
b) Exemplu de verificare a omogenităţii dimensionale a formulelor fizice:
Legea lui Bernoulli este
p+ρ g h +ρ v 2 / 2 = constant. (5)
Să se verifice omogenitatea dimensională a formulei (6) şi să se stabilească dacă
constanta din membrul drept este dimensională sau este adimensională.
Rezolvare,
[p]= M L -1 T -2 ;
[ρ g h ] =[ρ ] [g] [h]= ML -3 L T -2 L = M L -1 T -2 ;
[ ρv 2 ] = [ρ] [v ] 2 = M L -3 (LT -1 ) 2 = M L -1 T -2 .
Toţi termenii din membrul stâng al formulei (6) au aceeaşi dimensiune. Ca urmare,
constanta din membrul drept este dimensională, [const]= M L -1 T -2 .
c) Exemplu privind deducerea unor legi fizice simple:
Experimental, se constată că perioada pendului gravitaţional depinde de lungimea pendulului
şi de acceleraţia gravitaţională a locului în care se efectuează experimentul.
Să se deducă formula perioadei de oscilaţie a pendulului gravitaţional utilizând analiza
dimensională.
Rezolvare
τ = f ( l,g ) ; τ = K l α g β ; [K ] =1 (K este o mărime constantă şi adimensională)
[τ ] =[ l ] α [g] β ; T= L α (L T -2 ) β ; T= L α + β T -2β . (6)
Omogenitatea dimensională conduce la ecuaţiile:
α+β = 0 şi −2β = 1. (7)
Soluţiile sistemului (1.9) sunt: α = 1/2 şi β = −1/2.
Ca urmare, formula perioadei pendulului gravitaţional este
τ = K ( l / g ) 1 / 2 . (8)
4. ÎNTREBĂRI BIPOLARE
a. Cantitatea este exprimată printr-un număr sau printr-un adjectiv ?
o
b. În cele două domenii ale unui corp temperaturile sunt t1 =12 C şi t2 =18 o C.
Temperatura medie a corpului este t =30 o C sau 12 < t < 18 ( o C) ?
c. Sistemul Internaţional este coerent sau necoerent ?
d. Într-o formulă dimensională valoarea exponentului α poate să fie α = − 7/4 ?
Da . Nu .
e. Valoarea u.a.m. este 1u = 1,66 10 - 24 g ? Da . Nu .
f. Formula dimensională a unităţii de presiune este 1Pa= kg m -1 s -2 ? Da . Nu .
g. Se ştie că unitatea joule este definită astfel 1J = 1N ⋅1m. Atunci, cu unităţile 1J şi
1N⋅ m se măsoară mărimi distincte? Da . Nu .
h. Ecuaţia dimensională a lungimii este [ l ] = L? Da . Nu .
i. Unghiul solid se calculează ca raportul a două arii sau a două lungimi ?
j. Formula de transformare 1eV =1,602⋅10 −19 N m este corectă sau incorectă ?