download - Sisteme de Programare pentru Modelare si Simulare

6. GENERAREA ŞI MANIPULAREA VECTORILOR
ŞI A MATRICELOR
Deşi în MATLAB nu există instrucţiuni pentru declararea tipurilor de
variabile, iar matricele se autodimensionează în timpul utilizării, pentru a creşte
viteza de lucru, se procedează la crearea unei matrice goale. Acest lucru se
realizează la începutul sesiunii de lucru sau la apelarea unei funcţii program.
Declararea unei matrice goale (fie aceasta G) se realizează, după cum s-a
arătat, cu instrucţiunea G = [ ], prin care se alocă G o matrice de dimensiuni 0x0.
Orice matrice goală trebuie să aibă cel puţin una din dimensiuni zero. Pentru
a testa dacă o matrice G este goală, se foloseşte funcţia isempty(G), care
returnează 1, dacă matricea este goală şi 0, în caz contrar.
6.1. Generarea vectorilor
Pentru generarea vectorilor cu pas liniar este necesară cunoaşterea limitelor
intervalului (minimă şi maximă) şi a pasului dintre două elemente.
Cunoscând valoarea minimă a intervalului (vmin) şi pe cea maximă (vmax),
fară a se indica pasul, atunci acesta se consideră egal cu unitatea, iar secvenţa de
instrucţiuni pentru generarea vectorului V este V=vmin:vmax , ca de exemplu:
V=10.45:15.8
rezultând
V =
10.4500 11.4500 12.4500 13.4500 14.4500 15.4500.
Se observă că valoarea iniţială şi finală pot fi numere reale, cu condiţia ca
vmin0, atunci
vmin

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 109
x =
2 7 12 17 22
sau,
x=-20:3:4
rezultând
x =
-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 1 4
sau,
x=4:-3:-5
rezultând
x =
4 1 -2 -5
sau
x=-14:-3:-25
rezultând
x =
-14 -17 -20 -23
sau
x=-4:1
rezultând
x =
-4 -3 -2 -1 0 1
sunt corecte, în timp ce următoarele instrucţiuni:
x=3 : -1 : 4
şi
x=-5 :2 :-10
sunt incorecte.
Generarea unui vector, având N elemente cu pas liniar, între vmin şi vmax, se
poate realiza cu instrucţiunea X=linspace(vmin,vmax,N), ca de exemplu:
X=linspace(2.7,7,4)
rezultând
X =
2.7000 4.1333 5.5667 7.0000.
Pasul liniar dintre două elemente, generate cu linspace este:
vmin − vmax
pas = . Dacă valoarea N este omisă, atunci aceasta este considerată
N −1
implicit egală cu 100. După cum am arătat anterior, valorile limitelor intervalului
nu sunt supuse nici unei restricţii.
Generarea unui vector X, de N elemente, cu pas logaritmic, între limita
inferioară lmin şi superioară lmax, se realizează cu funcţia
X=logspace(lmin,lmax,N). Vectorul X conţine N elemente, distribuite logaritmic
între decadele [10 lmin 10 lmax ]. Dacă numărul de elemente este omis, se generează un

110
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
vector cu 50 elemente distribuite logaritmic între [10 lmin 10 lmax ]. Dacă lmax=pi
(adică π), atunci elementele vectorului sunt distribuite între 10 lmin şi π. Asupra
valorilor limitelor nu se face nici o restricţie şi acestea pot fi date în orice ordine.
Dacă lmin >lmax, vectorul generat va fi ordonat descrescător.
De exemplu, generarea unui vector cu N=5 elemente distribuite logaritmic
între 10 -2 şi 10 2 se realizează cu instrucţiunea x=logspace(-2,2,5), rezultând
x =
0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000.
Generarea unui vector cu N=5 elemente, distribuite logaritmic în intervalul
[10 -2 pi], se face prin instrucţiunea
x=logspace(-2,pi,5),
rezultând
x =
0.0100 0.0421 0.1772 0.7462 3.1416.
Generarea unei reţele (mesh) se execută prin funcţia meshgrid, care
transformă un domeniu specificat prin vectorii x şi y, în tablourile X şi Y, care pot
fi folosite, atât la evaluarea funcţiilor de două variabile, cât şi pentru reprezentările
grafice în două, 2D, sau trei, 3D, dimensiuni.
Sintaxa de apelare a funcţiei este [X,Y] = meshgrid(x,y), iar atunci când
vectorii x şi y sunt egali, apelarea se face prin [X,Y] = meshgrid(x).
Funcţia returnează în tablourile X şi Y perechile de coordonate ale tuturor
punctelor din domeniul definit de vectorii x şi y. Vectorii x şi y sunt de forma:
x = x min : ∆x : x max , y = y min : ∆y : y max
mesh-ul rezultat din divizarea domeniului fiind reprezentat în figura 6.1.
Fig. 6.1. Mesh-ul rezultat prin divizarea domeniului x-y
De exemplu, generarea tablourilor X şi Y pentru domeniul –3≤x≤6, -2≤y≤4,
cu pasul ∆x=3 şi ∆y=2, se face cu instrucţiunea: [X,Y]=meshgrid(-3:3:6, -2:2:4),
obţinându-se rexultatul,

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 111
X =
-3 0 3 6
-3 0 3 6
-3 0 3 6
-3 0 3 6
Y =
-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
4 4 4 4.
Dacă este necesar ca pentru domeniul de mai sus să se evalueze funcţia
x^2+y^2 şi să se traseze graficul acesteia, prezentat în figura6.2, atunci
instrucţiunile care permit acest lucru sunt:
[X,Y] = meshgrid(-3:3:6, -2:2:4); Z=X.^2+Y.^2; mesh(Z).
Fig. 6.2. Reprezentarea funcţiei x 2 +y 2 pe domeniului x-y
Spaţierea pentru răspunsul în frecvenţă, similar cu meshgrid, dar în spaţiul 2
D, se realizează cu funcţia freqspace, apelată cu sintaxa,
[F1,F2]=freqspace(n)
în care:
F1, F2 – vectorii de dimensiunea n x n;
n- numărul de puncte.
Dacă n este impar, atunci vectorii F = (-1+1/n:2/n:1-1/n), iar dacă este par,
atunci F = (-1 :2/n:1-2/n).

112
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
6.2. Instrucţiuni care permit obţinerea unor informaţii
de bază despre variabile şi matrice
Pentru determinarea dimensiunilor unei matrice, X, se utilizează funcţia
size, apelată cu sintaxa :
[m,n]=size(X)
care reîntoarce vector linie cu două componente [m,n], care conţine numărul de
linii m şi numărul de coloane n, ale matricei X. Considerând matricea X de forma,
X =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12,
prin instrucţiunea [m,n]=size(X) se obţine,
m =
3
n =
4,
respectiv m=3 coloane şi n=4 linii.
O instrucţiune de forma [M1,M2,M3,...,MN] = size(X), returnează lungimile
primelor N dimensiuni ale lui X.
Printr-o instrucţiune de forma m = size(X,DIM), se returnează lungimea
dimensiunii specificate prin scalarul DIM. De exemplu, prin instrucţiunea
m=size(X,1) se găseşte numărul de rânduri, respectiv m=3.
Lungimea unui vector sau dimensiunea maximă a unei matrice, se obţine cu
instrucţiunea a=length(X), rezultând :
a = 4.
Această instrucţiune, length, este echivalentă cu instrucţiunea max(size(X)),
doar că această ultimă formă nu este posibil de aplicat matricelor goale.
Numărul de dimensiuni n, ale unei matrice X, sau vector, se determină prin
instrucţiunea n=ndims(X). Pentru matricea X de mai sus se obţine n=2. O
instrucţiune similară lui ndims este length(size(X)).
Vizualizarea (afişarea) unei matrice sau a unui vector text, notat generic cu
X, pe dispay (ecran), fără să tipărească numele acesteia, se face prin funcţia
disp(X).
Dacă X=[1 2 3 4 ; 5 6 7 8], atunci prin comanda disp(X), pe ecran va apărea,
1 2 3 4
5 6 7 8,
iar dacă Xx=['Acest text apare pe ecran'], prin comanda disp(Xx), pe ecran apare,
Acest text apare pe ecran.
Pentru creşterea vitezei de lucru se procedează la crearea unei matrice goale

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 113
cu instrucţiunea,
X=[ ]
prin care se alocă lui X, matricea de dimensiuni 0 x 0.
Orice matrice goală trebuie să aibă cel puţin una dintre dimensiuni zero.
Verificarea faptului că o matrice este goală se realizează prin instrucţiunea
isempty(matrice), care va avea rezultatul 1, dacă este goală sau zero, altfel..Dacă
considerăm matricele Y=[] şi YY=[1 2; 3 4], cu instrucţiunea isempty(Y) se obţine
1, iar cu instrucţiunea isempty (YY), se obţine 0. Matricea goală nu are nici un
element, astfel că prod(size(Y))==0.
Pentru a verifica dacă două sau mai multe matrice sunt egale, se utilizează
instrucţiunea isequal(A, B, …, C), în care A, B, C sunt matricele ce trebuie
verificate. Atunci când toate elementele corespunnzătoare sunt egale, rezultatul
este 1, iar altfel este 0.
Verificarea faptului, dacă o matrice sau vector A conţine valori numerice, se
realizează folosind instrucţiunea isnumeric(A), la care se returnează 1, atunci când
elementele sunt numerice şi 0, altfel. Dacă A=[1 2; 3 4] atunci prin isnumeric(A)
se obţine 1, iar pentru B=[' acest text '; 'nu este numeric'] prin isnumeric(B) se
obţine 0.
Pentru a verifica dacă o variabilă A (matrice sau vector), este de tip logic se
utilizează instrucţiunea islogical(A), la care răspunsul trebuie să fie 1, dacă este de
tip logic şi 0, dacă nu. De exemplu, dacă A=[1 10; 15 20], atunci islogical(A) va fi
0, iar pentru B=~A, islogical(B) va fi 1.
Convertirea unei variabile numerice A în variabilă logică, se face prin
instrucţiunea logical(A).
6.3. Generarea matricelor elementare
Matricea nulă sau matricea zero, pe care o vom nota cu O, este o matrice cu
toate elementele zero:
⎡ 0 0 .... 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
0 0 .... 0
O =
⎥ .
⎢....
.... .... .... ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 .... 0 ⎦
Această matrice zero poate fi generată cu funcţia zeros, care se apelează cu
una dintre sintaxele:
O=zeros(n), O=zeros(m,n) sau O=zeros(size(A)),
unde m şi n sunt scalari, iar A este o matrice oarecare.
Dacă funcţia zeros este apelată cu un singur argument scalar, atunci matricea

114
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
generată este o matrice pătrată, având dimensiunea argumentului. De exemplu,
dacă n=4, atunci la comanda O=zeros(4), se obţine:
O = 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0.
Atunci când funcţia zeros este apelată cu două argumente scalare (m, n),
matricea generată are m linii şi n coloane. Dacă m=3 şi n=4, atunci cu
instrucţiunea O=zeros(4,3), se obţine:
O = 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0.
Funcţia zeros apelată cu instrucţiunea O=zeros(size(A)), produce o matrice
zero, de aceleaşi dimensiuni cu cele ale matricei A.
Considerând matricea A = [ 1 2 3; 4 5 6], atunci prin instrucţiunea
O=zeros(size(A)), se obţine:
O =
0 0 0
0 0 0.
Matricea unitară, pe care o vom nota cu U, este o matrice cu toate
elementele 1:
⎡ 1 1 .... 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
1 1 .... 1
U =
⎥ .
⎢....
.... .... .... ⎥
⎢
⎥
⎣ 1 1 .... 1 ⎦
Generarea matricei unitate se face cu funcţia ones, ce poate fi apelată cu una
dintre sintaxele:
U=ones(n), U=ones(m,n) sau U=ones(size(A)),
unde m şi n sunt scalari, iar A este o matrice oarecare.
Dacă funcţia ones este apelată cu un singur argument scalar, atunci matricea
generată este o matrice pătrată, având dimensiunea argumentului. De exemplu,
dacă n=4, atunci la comanda U=ones(4), se obţine:
U =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1.
Atunci când funcţia ones este apelată cu două argumente scalare (m, n),
matricea generată are m linii şi n coloane. Dacă m=3 şi n=4, atunci cu
instrucţiunea U=ones(4,3), se obţine:

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 115
U =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1.
Funcţia ones, apelată cu instrucţiunea U=ones(size(A)), produce o matrice
zero de aceleaşi dimensiuni cu cele ale matricei A.
Considerând matricea A = [ 1 2 3; 4 5 6], atunci prin instrucţiunea
U=ones(size(A)), se obţine:
U =
1 1 1
1 1 1.
Printr-o instrucţiune de forma U=ones(m, n, … , p), se poate obţine o
matrice unitate de m x n x … x p dimensiuni.
Matricea identitate sau unitate, pe care o vom nota cu I, se generează cu
una dintre sintaxele:
I=eye(n), I=eye(m,n) sau I=eye(size(A)),
unde m şi n sunt scalari, iar A este o matrice oarecare.
Matricea identitate este o matrice care are elementele de pe diagonala
principală egale cu unu, iar toate celelalte egale zero:
⎡ 1 0 .... 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
0 1 .... 0
I =
⎥ .
⎢....
.... .... .... ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 .... 1 ⎦
⎧0,
pentru i ≠ j,
Elementele sale sunt: I ij
= ⎨
.
⎩1,
pentru i = j
Dacă funcţia eye este apelată cu un singur argument scalar, atunci matricea
generată este o matrice pătrată, având dimensiunea argumentului. De exemplu,
dacă n=4, atunci la comanda I=eye(4), se obţine:
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1.
Atunci când funcţia eye este apelată cu două argumente scalare (m, n),
matricea generată are m linii şi n coloane.
Dacă m=3 şi n=4, atunci cu instrucţiunea I=eye(4,3), se obţine:

116
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0.
Funcţia eye, apelată cu instrucţiunea I=eye(size(A)), produce o matrice
identitate de aceleaşi dimensiuni cu cele ale matricei A.
Considerând matricea A = [ 1 2 3; 4 5 6], atunci prin instrucţiunea
I=eye(size(A)), se obţine:
I =
1 0 0
0 1 0.
Generarea matricelor cu numere aleatoare se poate face utilizând funcţia
rand, pentru numere aleatoare, cu distribuţie uniformă în intervalul (0,1) sau
funcţia randn, pentru numere aleatoare cu distribuţie normală (Gaussiană), de
medie zero şi variantă unu.
Instrucţiunile pentru generarea matricelor cu numere aleatoare au formele,
• pentru distribuţia uniformă,
Ru = rand(n), Ru = rand(m,n), Ru = rand(size(A)),
• pentru distribuţia normală,
Rn = randn(n), Rn = randn(m,n), Rn = randn(size(A)),
unde m şi n sunt scalari, iar A este o matrice oarecare.
Apelate cu un singur argument scalar, funcţiile rand sau randn generează
matrice pătrate de numere aleatoare, având dimensiunea argumentului. Dacă m=3,
atunci prin comanda Ru=rand(3), se obţine,
Ru =
0.1124 0.3459 0.5733
0.2915 0.6931 0.2175
0.4433 0.3445 0.0443,
iar prin comanda Rn=randn(3),
Rn =
-0.1567 -1.0565 0.5287
-1.6041 1.4151 0.2193
0.2573 -0.8051 -0.9219.
Atunci când funcţiile rand sau randn sunt apelate cu două argumente scalare
(m, n), matricea generată are m linii şi n coloane.
Dacă m=3 şi n=4, atunci cu instrucţiunea Ru = rand(4,3), se obţine,
Ru =
0.2898 0.8921 0.7216
0.4357 0.0167 0.6730
0.3234 0.0562 0.3465
0.8637 0.1458 0.1722,

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 117
iar cu instrucţiunea Rn = randn(4,3),
Rn =
-0.6918 -1.4410 0.8156
0.8580 0.5711 0.7119
1.2540 -0.3999 1.2902
-1.5937 0.6900 0.6686.
Funcţiile rand şi randn, apelate cu instrucţiunea Ru=rand(size(A)), sau
Rn=randn(size(A)), produc matrice cu numere aleatoare de aceleaşi dimensiuni cu
cele ale matricei A.
Considerând matricea A = [ 1 2 3; 4 5 6], atunci prin instrucţiunea
Ru=rand(size(A)), se obţine:
Ru =
0.4565 0.8214 0.6154
0.0185 0.4447 0.7919,
iar prin instrucţiunea Rn=randn(size(A)),
Rn =
0.5913 0.3803 -0.0195
-0.6436 -1.0091 -0.0482.
Prin instrucţiuni de forma:
Ru = rand(m, n, … , p), sau Ru = rand(m, n, … , p)
se poate obţine o matrice cu numere aleatoare de m x n x … x p dimensiuni.
De menţionat că la orice altă apelare a instrucţiunilor de mai sus, se obţin
matrice cu alte numere aleatoare, fiind 35 de stări ale generatorului de numere
aleatoare, cu distribuţie uniformă în intervalul [2^(-53), 1-2^(-53)].
Pentru simularea experienţelor care comportă aceleaşi condiţii, se generează
serii de numere aleatoare identice, la care se controlează parametrul de iniţializare
al generatorului, notat seed, prin instrucţiunile rand('seed',n) sau randn('seed',n),
unde n este valoarea atribuită lui seed. De exemplu, prin instrucţiunile,
rand('seed',33); rand(2),
se va obţine, la orice apelare, aceeaşi matrice de numere aleatoare cu distribuţie
uniformă,
ans =
0.9260 0.5630
0.1365,
iar prin setul de instrucţiuni,
randn('seed',33); randn(2),
se va obţine, la orice apelare, aceeaşi matrice de numere aleatoare cu distribuţie
normală,
ans =
0.1885 1.2282
-1.6564 -1.9732.

118
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
6.4. Instrucţiuni pentru manipularea matricelor
Schimbarea dimensiunilor unei matrice sau transformarea unei matrice A, de
m rânduri şi n coloane, într-o matrice B, de l rânduri şi p coloane, prin
ordonarea, începând cu elementele de pe coloane, se realizează prin instrucţiunea
B=reshape(A,l,p).
Pentru ca operaţia de redimensionare să fie posibilă, trebuie ca l x p = m x n.
Dacă matricea A are m=3 rânduri şi n=6 coloane,
A = [ 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18],
prin instrucţiunea B=reshape(A,6,3) se obţine,
ans =
1 3 5
7 9 11
13 15 17
2 4 6
8 10 12
14 16 18,
iar prin instrucţiunea B=reshape(A,2,9) se obţine,
ans =
1 13 8 3 15 10 5 17 12
7 2 14 9 4 16 11 6 18.
Se observă că, elementele matricei B, în ordinea succesivă a coloanelor şi pe
fiecare coloană de sus în jos, sunt elementele matricei A originale, citite de sus în
jos şi de la stânga la dreapta.
Instrucţiunea diag permite găsirea diagonalelor unei matrice şi a matricei
diagonale.
Pentru exemplificarea modului de acţiune a acestei instrucţiuni, se consideră
matricea A, descrisă anterior, respectiv:
A = [ 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18].
Prin aplicarea adecvată a instrucţiunii diag se determină:
• diagonala principală, cu instrucţiunea diag(A) sau diag(A,0), rezultând o
matrice coloană cu aceste elemente,
ans =
1
8
15

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 119
• diagonalele deasupra diagonalei principale, respectiv cele care au ca prim
element numărul coloanei, nd, specificat în instrucţiunea diag(A,nd),
astfel că pentru diag(A,2) rezultă,
ans =
3
10
17
• elementele de pe diagonalele de sub diagonala principală, prin
instrucţiunea diag(A,-nd), astfel că, pentru diag(A,-1) se obţine,
ans =
7
14.
Crearea, prin extragerea dintr-o matrice dată A, a unei matrice superior
triunghiulare se face utilizând instrucţiunea tril, iar crearea unei matrice inferior
triunghiulare se realizează cu comanda triu.
Sintaxele de apelare a funcţiilor tril şi triu, pentru matricea A, sunt tril(A,k)
şi triu(A,k), unde k indică diagonala matricei A, cu următoarea semnificaţie:
• k=0 sau k omis, pentru diagonala principală ;
• k > 0, indică diagonala k, de deasupra diagonalei principale ;
• k < 0, pentru diagonala k, de sub cea principală.
Pentru matricea A, prin instrucţiunea tril(A) sau tril(A,0) se obţine,
ans = 1 0 0 0 0 0
7 8 0 0 0 0
13 14 15 0 0 0,
iar prin instrucţiunea triu(A) sau triu(A,0),
ans = 1 2 3 4 5 6
0 8 9 10 11 12
0 0 15 16 17 18.
Pentru diagonala 2, de deasupra diagonalei principale, extragerea matricei
inferioare se face cu instrucţiunea tril(A,2),
ans = 1 2 3 0 0 0
7 8 9 10 0 0
13 14 15 16 17 0,
iar a matricei superioare cu triu(A,2),
ans = 0 0 3 4 5 6
0 0 0 10 11 12
0 0 0 0 17 18.
Pentru prima diagonală de sub diagonala principală, extragerea matricei
diagonale inferioare se face prin tril(A,-1),

120
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
ans =
0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0
13 14 0 0 0 0,
iar a celei superioare prin triu(A,-1),
ans =
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
0 14 15 16 17 18.
Inversarea ordinii coloanelor unei matrice, de la stânga la dreapta, sau
rotirea matricei în jurul axei verticale se realizează cu instrucţiunea fliplr(B),
unde B este matricea asupra căreia se acţionează. Elementele matricei rezultate
sunt obţinute prin pivotarea matricei argument în jurul ultimei coloane, operaţie
prin care aceasta devine prima coloană. Instrucţiunea flipdim(B,2) conduce la
acelaşi rezultat.
Dacă B=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12], atunci prin comanda fliplr(B) sau
flipdim(B,2) se obţine,
ans =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9.
Rotirea matricei în jurul axei orizontale sau inversarea ordinii liniilor
unei matrice, de sus în jos se realizează cu instrucţiunea flipud(B), unde B este
matricea asupra căreia se acţionează. Elementele matricei rezultate sunt obţinute
prin pivotarea matricei argument în jurul ultimei linii, operaţie prin care aceasta
devine prima linie. Acelaşi rezultat se obţine şi prin utilizarea instrucţiunii
flipdim(B,1).
Dacă B=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12], atunci prin comanda flipud(B) sau
flipdim(B,1) se obţine,
ans =
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4.
Rotirea unei matrice A, cu multipli de 90 grade, se face prin instrucţiunea
rot90(A,k), unde k sunt multipli de 90º, numere naturale. Dacă k lipseşte, atunci
rotirea se face cu 90º, în sens trigonometric.
Atunci când k >=1, rotirea se face în sens trigonometric (invers sensului
orar), iar dacă k

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 121
ans =
3 6 9
2 5 8
1 4 7,
iar prin instrucţiunea rot90(A,-2) sau rot90(A,6) se obţine rotirea cu 180° în sens
orar şi cu 540º în sens trigonometric,
ans =
9 8 7
6 5 4
3 2 1.
Determinarea indicilor elementelor unui vector X care sunt diferite de zero
sau verifică o condiţie, se realizează prin instrucţiunea find(X). Pentru vectorul
X=[1 0 –2 3 0 5 0 7], instrucţiunea a=find(X) va returna indicii elementelor lui X
diferiţi de zero, respectiv:
a =
1 3 4 6 8.
Pentru o matrice A ca argument, funcţia fiind analizează coloană cu coloană
elementele acesteia, returnând indicii diferiţi de zero, ce au valori cuprinse în
intervalul 1 … mxn, în care m este numărul de linii iar n, de coloane, al matricei A.
Dacă A = [ 1 0 3; 4 -5 0; 0 8 9], atunci prin comanda a=find(A) se obţine,
a = [1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ].
Instrucţiunea [l,c]=find(A) permite returnarea numărului liniei (vectorul l) şi
al coloanei (vectorul c) matricei argument A ,care conţine elemente diferite de zero,
l =
1
2
2
3
1
3
c =
1
1
2
2
3
3.
Returnarea şi a vectorului V, al elementelor diferite de zero (eliminând
elemente diferite de zero), se face cu instrucţiunea
[l,c,V]=find(A),
rezultând,

122
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
V =
1
4
-5
8
3
9.
Atunci când este necesară determinarea poziţiei indicilor unor elemente dintr-o
matrice, care îndeplinesc o anumită condiţie, de exemplu, mai mari decât o valoare
dată v, se utilizează inctrucţiunea [l,c]=find(A>v). Dacă v=4, atunci prin comanda
[l,c]=find(A>4) se obţine:
l =
3
3
c =
2
3.
Ultimul indice al unei linii sau coloane dintr-o matrice sau ultimul indice al
unui vector, poate fi desemnat prin end. Dacă, de exemplu V=[1 2 0 7 9 10 11 4],
atunci V(end)=4, iar V(end-2)=10. Pentru matricea,
A = [ 1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12],
A(2:end, :) este,
5 6 7 8
9 10 11 12,
iar A(2:end, 2:end-1) este,
6 7
11.
Găsirea indicelui liniar dintr-o matrice, de dimensiuni oarecare, se face prin
instrucţiunea ind=sub2ind(siz,i1,i2,…,in), care returnează un indice echivalent
ind, ce corespunde aşezării în matricea iniţială de dimensiune siz (dată sub forma
[siz]=size(A), unde A este matricea iniţială) şi de indici i1,i2,…,in, care corespund
celor n dimensiuni ale matricei iniţiale A.
Inversa funcţiei de mai sus, prin care se găsesc indicii i1,i2,…,in, când se
dau, dimensiunea iniţială a matricei siz şi indicele liniar ind, este funcţia
[siz,i1,i2,…,in]=sub2ind(siz,nd).
Funcţia ind2sub este utilizată pentru determinarea valorii indicelui dintr-o
matrice, ce verifică o anumită proprietate, fiind apelată, de exemplu, sub forma:
[I,J] = ind2sub(size(A),find(A>5)).
Dacă,

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 123
A =
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12,
atunci,
[I,J] = ind2sub(size(A),find(A>9)),
conduce la:
I =
2
2
2
J =
4
5
6.
6.5. Extragerea elementelor individuale ale unui vector
sau ale unei matrice şi a submatricelor acesteia
Elementele individuale ale unui vector se apelează prin numele vectorului,
urmat de numărul elementului dorit, pus între paranteze rotunde. De exemplu,
pentru vectorul A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9], elementul al cincelea se extrage cu comanda
A(5), rezultând:
ans =
5.
Modificarea valorii unui element al vectorului se face, prin atribuirea noii
valori elementului respectiv, A(i)=v, unde i este elementul, iar v valoarea atribuită.
Dacă se doreşte ca elementul al patrulea al vectorului A să fie suma dintre
elementul al treilea şi al cincelea, atunci aceasta se realizează prin instrucţiunea,
A(4)=A(3)+A(5),
rezultând:
A =
1 2 3 8 5 6 7 8 9.
Pentru extragerea vectorilor cu elemente succesive, decupate din alţi vectori,
se utilizează o instrucţiune de forma A(i:j), care selectează elementele [i, i+1, …, j]
ale vectorului A, iar dacă i > j, atunci vectorul rezultat este nul. De exemplu, pentru
A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11], prin instrucţiunea A(4:7) se obţine,
ans =
4 5 6 7,
iar prin instrucţiunea A(7:4) rezultă o matrice goală,

124
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
ans =
Empty matrix: 1-by-0.
Extragerea elementelor unui vector, aflate la un pas dat, unul de altul, se
realizează prin instrucţiunea A(i:p:j), având ca rezultat un vector cu elementele [i,
i+p, i+2p, …, j], sau un vector nul, dacă p>0 şi i>j sau dacă p

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 125
D =
2
6
10
14
18,
iar prin instrucţiunea E=M(3,:) se extrage matricea E, care conţine toate coloanele
din linia 3,
E =
9 10 11 12.
Inversarea coloanelor unei matrice date M, se face cu instrucţiunea
M=M(:,nc:-1:1), unde nc este numărul maxim de coloane, calculat prin
instrucţiunea [nl,nc]=size(M). Pentru matricea anterioară, cu [nl,nc]=size(M) se
obţine,
nl = 5
nc = 4,
astfel că, inversarea coloanelor se face prin instrucţiunea M=M(:,nc:-1:1),
rezultând,
M =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20.
Pentru inversarea liniilor unei matrice date M, se utilizează instrucţiunea
M=M(nl:-1:1,:), unde nl este numărul maxim de linii. Pentru matricea M iniţială
se obţine,
M =
17 18 19 20
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4.
Crearea matricelor mari, precum şi manipularea acestora se poate face uşor,
prin utilizarea unor vectori ca indici. De exemplu, cu instrucţiunea A(:,
[2,4,6])=B(:,1:3) se înlocuiesc coloanele 2, 4 şi 6 ale matricei A cu primele 3
coloane ale matricei B.
Pentru extragerea din matricea M, obţinută anterior, a tuturor liniilor pentru
care elementul dintr-o anumită coloană (fie aceasta 4), îndeplineşte o anumită
condiţie (de exemplu este mai mare decât 6), se formează vectorul ajutător, pe care

126
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
îl notăm cu L, care conţine toate liniile şi coloana specificată, care îndeplinesc
condiţia, cu instrucţiunea:
L=X(:,4) > 6,
rezultând:
L =
1
1
1
1
0.
Acesta permite apoi identificarea elementelor matricei M, care îndeplinesc
condiţia pusă, prin instrucţiunea Y=M(L,:), rezultând matricea Y, de elemente:
Y =
17 18 19 20
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8.
Duplicarea unei matrice A de M ori, pe linii şi N ori pe coloane, se realizează
cu instrucţiunea: B = repmat(A,M,N). De exemplu, dacă A=[1 2; 3 4], atunci
instrucţiunea B = repmat(A,2,3), conduce la:
B =
1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4.
6.6. Matrice specializate
6.6.1. Companionul matriceal
Generarea companionului matriceal al unui polinom P, dat, se face cu
instrucţiunea compan(p), unde p este un vector cu coeficienţii polinomiali scrişi în
ordinea descrescătoare a puterilor.
Pentru polinomul:
n
n−1
n−2
2
P(
x)
= p(1)
⋅ x + p(2)
⋅ x + p(3)
⋅ x + ... + p(
n −1)
⋅ x + p(
n)
⋅ x + p(
n + 1)
prima linie a companionulul este:
− p (2) − p(3)
− p(
n −1)
− p(
n)
− p(
n + 1)
, , ..., , ,
.
p(1)
p(1)
p(1)
p(1)
p(1)
După cum se observă, prima linie a companionului este constituită din
numere reprezentând câtul cu semn schimbat dintre coeficienţii polinomiali,
începând cu puterea (n-1), până la termenul liber şi coeficientul polinomial al

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 127
puterii n.
Valorile proprii ale companionului unui vector p, ai cărui coeficienţi
polinomiali sunt daţi de funcţia eig(compan(p)), sunt rădăcinile polinomului.
Deci, pentru a determina rădăcinile r ale unui polinom, în Matlab, se poate
utiliza expresia r = eig(compan(p)).
Pentru un polinom dat,
3 2
p ( x)
= x + x + x + 1,
vectorul p, care conţine coeficienţii acestuia este,
p = [1 1 1 1],
astfel încât, companionul polinomului, notat cu b, se determină cu,
b=compan(p),
rezultând,
b = [ -1 -1 -1 ; 1 0 0 ; 0 1 0 ].
Pentru determinarea rădăcinilor polinomului, notate cu r, se găsesc valorile
proprii ale acestuia cu relaţia,
r=eig(b),
sau direct din vectorul p prin relaţia,
r=eig(compan(p)),
rezultând rădăcinile polinomului:
x = [ -1 +i –i].
6.6.2. Matricea Hadamard
Matricea Hadamard este o matrice pătrată neortogonală, cu toate elementele 1
sau –1, aşezate într-o astfel de succesiune încât, linia j este identică cu coloana j.
Pentru a determina matricea Hadamard, pe care o notăm cu Ha, de ordinul n, se
exectă comanda,
Ha=hadamard(n),
unde ordinul n aparţine numerelor naturale pozitive şi trebuie să fie divizibil cu 4,
adică rem(n,4)=0, sau ca n, n/12 ori n/20 să fie o putere a lui 2.
Pentru n=8, matricea Hadamard este Ha=hadamard(8), respectiv:
Ha =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 1 -1 1 1 -1.
Utilizarea practică a matricei Hadamard se găseşte în trasarea liniilor de
nivel cu funcţia contour(hadamard(n)), funcţia contour fiind folosită la trasarea

128
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
grafică a conturului. De exemplu, pentru matricea de mai sus, conturul este redat în
figura 6.1.
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
Fig. 6.1. Conturul a 8 nivele.
O proprietate importantă a matricei Hadamard este că Ha'*Ha = n*eye(n).
Matricea Hadamard se poate ortogonaliza prin înmulţirea cu un scalar de
forma
1
k
2
, k ∈ N.
Prin urmare, pentru matricea anterioară, luând k=4, se obţine
matricea Hadamard ortogonalizată, Hao, cu instrucţiunea,
Hao=
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 -0.5 0.5 -0.5 0.5 -0.5 0.5 -0.5
0.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -0.5
0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5
0.5 -0.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5 -0.5 0.5
0.5 0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5
0.5 -0.5 -0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5.
6.6.3. Matricea Hankel
Matricea Hankel este o matrice antisimetrică şi antidiagonală, generată cu
una dintre sintaxele: H=hankel(c) sau H=hankel(c,l).
O matrice A este simetrică dacă matricea transpusă este egală cu matricea

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 129
iniţială (A'=A) şi antisimetrică, dacă transpusa este A' = - A. Este evident că o
matrice de mxn, definită prin A = a i , j
cu i = 1,2,...,
m şi j = 1,2,...,
n ,este
simetrică dacă a
i, j
= a
j,
i
şi antisimetrică, dacă a
i, j
= −a
j,
i
.
Atunci când funcţia hankel este apelată cu un singur vector ca argument,
matricea returnată este o matrice Hankel pătrată, a cărei coloană şi primă linie sunt
elementele vectorului argument şi toate elementele de sub antidiagonală sunt nule.
Dacă c=[5 4 1 2 3], atunci matricea Hankel corespunzătoare va fi, H=hankel(c),
respectiv,
H =
5 4 1 2 3
4 1 2 3 0
1 2 3 0 0
2 3 0 0 0
3 0 0 0 0,
de unde se observă că prima coloană şi prima linie sunt elementele vectorului
argument c, iar toate elementele de sub prima antidiagonală sunt nule. Totodată,
antidiagonalele paralele cu antidiagonala principală au aceleaşi elemente.
Dacă funcţia Hankel este apelată cu doi vectori ca argument, de dimensiuni m
şi n, matricea returnată este o matrice Hankel, cu dimensiunea mxn. La această
matrice, prima coloană este definită de primul vector argument, iar ultima linie este
definită prin elementele celui de-al doilea vector argument. De menţionat că,
ultimul element al primului vector (respectiv prima coloană) diferă de primul
element al celui de-al doilea vector (ultima linie) ; elementul coloanei (primul
vector) are prioritate faţă de elementul liniei. Pentru vectorii daţi:
c = [ 11 4 8] şi l = [ 2 7 9 3],
se generează matricea Hankel cu instrucţiunea H=hankel(c,l), rezultând,
H =
11 4 8 7
4 8 7 9
8 7 9 3,
unde se observă prioritatea ultimului element al vectorului, care defineşte prima
coloană, faţă de primul element al vectorului, care defineşte ultima linie.
6.6.4. Matricea Hilbert
Matricea Hilbert este o matrice slab condiţionată, ale cărei elemente sunt
definite de relaţia:
1
Hi ( n)
= , i = 1,2,..., n,
j = 1,2,..., m.
i + j −1
,
fiind unul dintre cele mai faimoase exemple de matrice bandă.
Dacă n=5, atunci matricea Hilbert va fi Hi=hilb(5), respectiv:

130
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Hi =
1 0.5 0.33333 0.25 0.2
0.5 0.33333 0.25 0.2 0.16667
0.33333 0.25 0.2 0.16667 0.14286
0.25 0.2 0.16667 0.14286 0.125
0.2 0.16667 0.14286 0.125 0.11111.
O utilizare eficientă a matricei Hilbert se găseşte în înlocuirea buclele for şi
do prin segmente vectorizate.
6.6.5. Inversa matricei Hilbert
În general, inversa unei matrice se obţine prin următoarele operaţii:
1. se formează matricea care are ca elemente complemenţii algebrici ai
elementelor matricei date;
2. se ia transpusa acesteia;
3. se împarte matricea obţinută cu determinantul matricei iniţiale.
Principala proprietate a matricei inverse este aceea că produsul dintre o
matrice şi inversa sa este matricea unitate.
Funcţia care calculează matricea Hilbert inversă, de ordinul n, este
invhilb(n). Pentru matricea Hilbert anterioară, Hi=hilb(5), matricea inversă este,
iHi=invhilb(5),
respectiv,
iHi =
25 -300 1050 -1400 630
-300 4800 -18900 26880 -12600
1050 -18900 79380 -117600 56700
-1400 26880 -117600 179200 -88200
630 -12600 56700 -88200 44100.
Dacă se verifică proprietatea anterioară, se constată că Hi*iHi este practic
matricea unitate, respectiv eye(5),
ans =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1.4211e-014 0 1 -3.638e-012 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1.
Se precizează că algoritmul implementat pentru inversarea matricei Hilbert
este deficitar pentru n>15 şi, prin aceasta, se atrage atenţia că este necesară o
verificare atentă a algoritmilor de rezolvare şi condiţiilor de aplicare utilizaţi.
Pentru n=25, dacă se verifică proprietatea anterioară,
d=hilb(25)*invhilb(25)-eye(25), se obţin valori total inacceptabile cu o diferenţă
maximă de 3.4588e+018.

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 131
6.6.6. Pătratul magic
Pătratul magic de ordinul n, cu n>3, este o matrice de nxn, construită cu
întregi de la 1 la n 2 , care are suma elementelor de pe fiecare linie, coloană,
diagonală şi anti-diagonală principală, egală. Pătratul magic are suma scalată
dublu stocastic.
Funcţia care generează pătratul magic (matrice pe care o notăm cu Pmag) de
ordinul n este: Pmg=magic(n). Perntru n = 5, se obţine:
Pmg =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9,
care are suma elementelor liniilor, coloanelor, diagonalei principale şi
antidiagonalei, egală cu 65.
6.6.7. Matricea Pascal
Matricea Pascal conţine elementele triunghiului lui Pascal. Triunghiul lui
Pascal conţine coeficienţii binomiali ai descompunerii ( a + b) n
, respectiv:
n n 1 n 2 n−1
2
n−1
n−1
n
( a + b) = a + C a b + C a b + ... + C ab + b ,
n
n
pentru orice număr natural n.
De exemplu, triunghiul lui Pascal, cu coeficienţii descompunerii unui
polinom de ordinul patru, are următoarea formă:
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1.
Pentru numerotarea liniilor triunghiului lui Pascal, începând cu zero (ca în
exemplu de mai sus), fiecare linie din triunghi va conţine numărul n şi coeficienţii
decompunerii binomului ( a + b) n
. De exemplu, linia 3 conţine coeficienţii
descompunerii binomului ( a + b) 3
, respectiv 1, 3, 3, 1.
Funcţia Pascal se apelează cu sintaxa P=pascal(n). De multe ori, apelarea
funcţiei Pascal se face cu una dintre sintaxele:
P1=abs(pascal(n,1)),
sau,
P2=abs(pascal(n,2)).
n

132
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Dacă n=5, atunci matricele Pascal de ordinul 5 sunt:
P =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70,
P1 =
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1,
P2 =
0 0 0 0 1
0 0 0 1 4
0 0 1 3 6
0 1 2 3 4
1 1 1 1 1.
Matricea P1 conţine elementele triunghiului Pascal ordonate pe linie, în
partea triunghiulară, din colţul stâng. Dacă P1=pascal(n,1), atunci rezultă factorul
Cholesky, ca o matrice triunghiulară inferioară.
Matricea P2 conţine elementele triunghiului lui Pascal ordonate pe coloană,
în partea triunghiulară din colţul drept.
Pentru extragerea coeficienţilor descompunerii binomiale ( a + b) 9
, se
foloseşte secvenţa n=9; P=abs(pascal(n+1,1)); Coef=P(n+1,1:n+1), rezultând,
Coef = [ 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ].
6.6.8. Matricea Rosser
Matricea Rosser este o matrice de 8x8 cu elemente întregi, fiind utilizată în
algoritmii care lucrează cu valori proprii. Apelarea acestei matrice se face prin
comanda rosser, rezultând:
ans =
611 196 -192 407 -8 -52 -49 29
196 899 113 -192 -71 -43 -8 -44
-192 113 899 196 61 49 8 52
407 -192 196 611 8 44 59 -23
-8 -71 61 8 411 -599 208 208
-52 -43 49 44 -599 411 208 208
-49 -8 8 59 208 208 99 -911
29 -44 52 -23 208 208 -911 99.

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 133
6.6.9. Matricea Toeplitz
Matricea Toeplitz, generată de funcţia toeplitz, este definită prin vectorii
elementelor primei coloane şi ai primei linii. O matrice Toeplitz simetrică este
definită doar de un singur vector ca argument. Funcţia toeplitz se poate apela cu
una dintre sintaxele:
T1=toeplitz(c)
sau
T2=toeplitz(c,l).
Dacă matricea Toeplitz este generată de funcţia toeplitz(c), apelată cu un
singur vector argument, atunci matricea returnată este pătrată, având ca elemente
ale primei linii şi primei coloane elementele vectorului argument, iar pe diagonala
principală şi pe toate diagonalele paralele cu aceasta se găsesc elementele definite
în linia sau coloana respectivă. De exemplu, dacă c=[1 2 3 4 5 6], atunci
T1=toeplitz(c) , este:
T1 =
1 2 3 4 5 6
2 1 2 3 4 5
3 2 1 2 3 4
4 3 2 1 2 3
5 4 3 2 1 2
6 5 4 3 2 1.
Matricea T1 este simetrică şi hermitică.
Atunci când matricea Toeplitz este generată prin T2=toeplitz(c,l), matricea
generată este nesimetrică şi va avea dimensiunea mxn, unde m este lungimea
vectorului c, iar n este dimensiunea vectorului l. La această matrice prima coloană
este definită de primul vector argument (vectorul c), iar prima linie de elementele
celui de-al doilea vector argument (vectorul l). Dacă primul element al primului
vector (prima coloană) diferă de primul element al celui de-al doilea vector (prima
linie), elementul coloanei are prioritate faţă de elementul liniei. De exemplu, dacă
c=[1 2 3 4 5 6] şi l=[8 9 10 11], atunci T2=toeplitz(c,l) devine:
T2 =
1 9 10 11
2 1 9 10
3 2 1 9
4 3 2 1
5 4 3 2
6 5 4 3.
6.6.10. Matricea Vandermonde
n−
j
Matricea Vandermonde este definită de expresia ( ) ( )
V i, j = c i , unde c,
este vectorul cu n elemente, asociat penultimei coloane. Coloana j a matricei

134
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Vandermonde este A(:,j)=C^(n-j). Generarea matricei Vandermonde se face prin
funcţia vander(c), unde c este un vector argument dat.
Dacă c = [1 2 3 4 5], atunci V = vander(c) este:
4 3 2
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
16
256
625
8
V = 81 27 9 3 1 =
64
125
16
25
6.6.11. Matricea Wilkinson
4
2
4
5
1
1
1
Matricea Wilkinson este o matrice larg utilizată în testarea valorilor proprii
ale matricelor, fiind o matrice simetrică, tridiagonală, cu perechi de valori proprii.
Matematric, matricea Wilkinson de ordinul n are elementele definite prin
relaţia:
W ( i,j)
=
⎧ n-2i
+ 1
⎪ , i = j
⎪ 2
⎨1
, i = j + 1.
⎪ 0 , altfel
⎪
⎩
Generarea matricei Wilkinson se face cu comanda W=wilkinson(n), unde
n este ordinul. Cea mai frecventă matrice Wilkinson este cea de ordinul 7, generată
prin wilkinson(7) şi având ca rezultat
ans =
3 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 3.
O altă matrice Wilkinson, frecvent utilizată, este cea de ordinul 21, generată
cu instrucţiunea wilkinson(21).
6.6.12. Matrice de testare
Pentru testarea tipurilor de matrice se utilizează instrucţiunea gallery, apelată
cu sintaxa :
[out1,out2,...] = gallery('matname', param1, param2, ...),
2
3
4
5
4
4
4
4
2
3
4
5
3
3
3
3
2
3
4
5
2
2
2
2
2
3
4
5
1
1
1
1
2
3
4
5
0
0
0
0

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 135
unde : out1,out2 sunt parametrii de ieşire, 'matname' este unul dintre numele de
matrice de mai jos, iar param1, param2 sunt parametrii de intrare.
Sunt disponibile următoarele tipuri de matrice, 'matname' , respectiv :
cauchy, chebspec, chebvand, chow, circul, clement, compar, condex, cycol, dorr,
dramadah, fiedler, forsythe, frank, gearmat, grcar, hanowa, house, invhess, invol,
ipjfact, jordbloc, kahan, kms, krylov, lauchli, lehmer, lesp, lotkin, minij, moler,
neumann, orthog, parter, pei, poisson, prolate, randcolu, randcorr, rando, randhess
randsvd, redheff, riemann, ris, rosser, smoke, toeppd, tridiag, triw, vander, wathen,
wilk.
În plus , gallery (3) este o matrice bandă condiţionată de 3 x 3, iar gallery(5)
este utilă în problemele cu valori proprii, găsind uşor vectorii şi valorile proprii.
6.7. Instrucţiuni, variabile şi constante specifice
Instrucţiunea end este utilizată pentru încheierea ciclurilor „for”, „while”,
„switch”, „try” şi a segmentului de comandă „if”. Fără această instrucţiune, după
una dintre comenzile for, while, switch, try sau if, se aşteaptă introducerea unei
linii de comenzi Matlab pentru a face parte din corpul de instrucţiuni precizate
anterior. Fiecare end introdus încheie ultima comandă for, while, switch, try sau if
tastată.
De menţionat că end este şi ultimul index al unui vector sau matrice,
notată cu X, adică end = size(X,k), unde k este indexul coloanei, pentru matrice.
De exemplu, dacă X=[1 2 3 4 5 6 7 0 8 9], atunci elementul al treilea,
începând de la sfârşit spre început, se află cu comanda X(end-2), rezultând 0.
Dacă considerăm vectorul A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12], atunci:
• A(end), este ultimul element al matricei A, respectiv, 12;
• A(1,end), este ultimul element al liniei 1, respectiv 4;
• A(end,1), este ultimul element al coloanei 1, respectiv 9;
• A(2,3:end) prezintă elementele liniei 2 de la coloana 3 până la ultima
coloană, respectiv 7 şi 8.
Atunci când unei expresii nu i se asociază nici o variabilă, Matlabul creează
automat variabila de lucru ans, care va avea întotdeauna ultima valoare calculată.
În această variabilă ans, creată automat, este returnat rezultatul calculelor
expresiei.
Variabila permanentă, în care este memorată eroarea relativă pentru calculele
efectuate în virgulă mobilă, este eps. Valoarea implicită este eps=2.2204e-016, dar
poate fi redefinită la oricare altă valoare, prin instrucţiunile pinv şi rank.
Cea mai mare valoare pozitivă în virgulă mobilă, care poate fi folosită în
calcule, este memorată în variabila realmax, având valoarea 1.7977e+308.
Cea mai mică valoare pozitivă în virgulă mobilă, care poate fi folosită în

136
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
calcul, respectiv 2.2251e-308, este memorată în variabila realmin.
Variabilei matematice cunoscute π , îi este asociată variabila permanentă pi,
cu valoarea: pi = 4*atan(1) = imag(log(-1)) = 3.1415926535897....
Pentru introducerea numerelor complexe, ca de exemplu,
z = 1 + 2 −1
= 1+
2i , se utilizează pentru partea imaginară, ca variabile
predefinite i sau j, i = j = −1.
Este posibil ca variabilei imaginare să îi fie
ataşată o variabilă predefinită utilizării sale, de exemplu , z = 1+ 2s
.
Pentru reprezentarea lui
1
+ ∞ în aritmetica IEEE, rezultat al împărţirii sau 0
al depăşirii celui mai mare număr, la operaţia de ridicare la putere
foloseşte variabila inf.
1000
e , se
Variabila pentru reprezentarea lui Not-a-Number (NaN), în aritmetica IEEE,
rezultat al împărţirii nedefinite 0
0 , sau ∞
∞ este notată NaN.
Testarea dacă elementele unui vector sau matrice sunt NaN se face cu funcţia
isnan.
Pentru o matrice dată oarecare X, prin comanda Y=isnan(X) se returnează o
matrice Y, de aceleaşi dimensiuni cu matricea argument X, având 1 pe poziţia în
care elementele maticei X sunt NaN şi 0, în caz contrar.
De exemplu, dacă X=[-15 NaN 20; 2 pi Inf; -Inf 0 NaN], prin instrucţiunea
Y=isnan(X), se obţine:
Y =
0 1 0
0 0 0
0 0 1.
Testarea şi determinarea poziţiei elementelor infinite dintr-o matrice sau
vector se face cu funcţia isinf, apelată cu sintaxa Y=isinf(X).
În matricea Y, de aceleaşi dimensiuni cu matricea iniţială X, se returnează 1
pe poziţia elementelor infinite din X şi 0, în caz contrar.
Pentru matricea X de mai sus, prin comanda Y=isinf(X) se obţine:
Y =
0 0 0
0 0 1
1 0 0.
Determinarea poziţiei elementelor finite dintr-o matrice sau vector se face cu
funcţia isfinite, apelată cu sintaxa Y=isfinite(X).
În matricea Y, de aceleaşi dimensiuni cu matricea iniţială X, se returnează 1

Generarea şi manipilarea vectorilor şi a matricelor 137
pe poziţia elementelor finite din X şi 0, în caz contrar.
Pentru matricea X de mai sus, prin comanda Y=isinf(X) se obţine:
Y =
1 0 1
1 1 0
0 1 0.
Funcţia flops, returnează numărul de operaţii în virgulă mobilă efectuate de
calculator.
Adunările şi scăderile sunt contorizate, fiecare câte o operaţie, dacă se
efectuează între numere reale, şi două operaţii, dacă se efectuează între valori
complexe.
Înmulţirile şi împărţirile sunt considerate fiecare câte o operaţie, dacă
rezultatul este real şi 6 operaţii, dacă acesta este complex.
Aducerea la zero a contorului operaţiilor efectuate se realizează prin
comanda flops(0).