download - Sisteme de Programare pentru Modelare si Simulare

7. ALGEBRĂ NUMERICĂ LINIARĂ
7.1. Analiză matriceală
De notat că, în MATLAB, indicii matricei încep întotdeauna cu 1 şi nu cu
0; de aici rezultă că elementele matricei A(1, 1), B(1, 1) şi C(1, 1) corespund
mulţimilor matematice (elementele matricelor) A(0, 0), B(0, 0) şi C(0,0).
7.1.1. Urma unei matrice
Urma unei matrice A,
diagonala principală,
n
∑
Ur A = .
i=
1
a i , i
Ur A , este, prin definiţie, suma elementelor de pe
Urma produsului a două matrice este independentă de ordinea factorilor,
n
∑ ∑
Ur ( A ⋅B)
= a , ⋅b
, = b , ⋅b
, = Ur ( B ⋅ A)
.
i=
1
n
j=
1
i j
j i
De meţionat că urma unei matrice este nealterată de o transformare
ortogonală şi că aceasta este totodată şi suma valorilor proprii ale lui A.
În Matlab, se calculează cu funcţia trace(A), care este similară cu
sum(diag(A)).
Considerând matricea A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], atunci urma acesteia,
calculată cu trace(A), este 15, la fel ca şi cu sum(diag(A)).
n
∑
j=
1
n
∑
i=
1
7.1.2. Calculul normelor vectorilor şi ale matricelor
Conceptele de normă vectorială, normă matriceală şi rază spectrală a unei
matrice, joacă un rol important în analiza matriceală.
Prin definiţie, norma euclidiană sau lungimea vectorului x este
T
( x ⋅ x)
1/2
n
1/2 ⎛ 2 ⎞
x = = ⎜ x ⎟
∑ i
⎝ i=
1 ⎠
unde x şi x T sunt, prin definiţie:
⎡ x1
⎤
⎢
x
⎥
2 T
x = ⎢ ⎥,
x = [ x1
x2
... xn
].
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣xn
⎦
Normele vectorilor şi ale matricelor se calculează cu funcţia norm, apelată
cu una dintre sintaxele:
j i
i j

Algebră numerică liniară 139
n=norm(X) sau n=norm(X,p),
unde p=1, 2, inf, sau fro.
Pentru o matrice, X, sunt definite următoarele tipuri de norme:
norma 1 a lui X, respectiv cea mai mare sumă a elementelor de pe
N
⎛ ⎞
coloană, X = max⎜∑
x
jk ⎟,
cu 1≤
j ≤ N , calculată cu funcţia
⎝ k=
1 ⎠
norm(X,1), care este egală cu max(sum(abs((X))));
norma 2, sau raza spectrală a lui X, definită prin aceea că toate valorile
proprii (reale, pentru matrice real simetrice şi complexe, pentru matrice
real nesimetrice) se înscriu într-un cerc, de rază egală cu maximul
valorilor proprii în modul, într-un plan (real sau complex), cu centrul în
X = ρ X = max λ , cu 1 ≤ i ≤ , unde ρ este raza
origine, respectiv ( ) N
2
spectrală, iar λ i sunt valorile singulare, calculată cu funcţia norm(X)
sau norm(X,2), egală cu max(svd(X));
norma infinită a lui X, sau cea mai mare sumă a elementelor de pe
⎛
N
⎞
linie, respectiv X = max⎜
x ⎟
∑ jk
, cu 1≤
k ≤ N , calculată cu
∞
⎝ j=
1 ⎠
funcţia norm(X,inf), egală cu max(sum(abs((X')))) ;
norma Frobenius, calculată cu funcţia norm(X,’fro’), definită cu
⎛
N
relaţia X = ⎜ x
F
∑
⎝ j,k=
1
sqrt(sum(diag(X'*X))).
jk
⎞
⎟
=
⎠
2
11
i
2
22
x + x + ... + x
2
NN
şi egală cu
Pentru cazul matricelor rare (sparse) sau foarte mari, se recomandă
utilizarea funcţiei normest(X), în locul funcţiei norm(X), sau norm(X,2). Această
funcţie se poate utiliza sub forma [nrm,cnt] = normest(X,tol), unde nrm – norma,
cnt – numărul de iteraţii, iar tol – eroarea relativă, având valoarea implicită 10 -6 .
Considerând matricea X=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], atunci: norm(X)= 16.8481;
norm(X,1)=18; norm(X,2)= 16.8481; norm(X,'fro')= 16.8819; norm(X,inf)=24, iar
[nrm,cnt] = normest(X,1e-9) conduce la nrm=16.8481, cnt=4.
Pentru un vector V, pot fi definite următoarele tipuri de norme:
norma, norma 2 sau lungimea vectorului definită de relaţia
N
2
⎛ ⎞
2 2
2
= ⎜
2 ∑ Vk
⎟ = V1
+ V2
+ ... VN
k=
1
V + se calculează cu
⎝ ⎠
funcţia norm(V) sau norm(V,2) ;
norma de gradul p sau lungimea de ordinul p, definită cu relaţia

140
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
N
p
⎛ ⎞ p p p
V =
p
⎜
p ∑ Vk
⎟ = V1
+ V2
+ ... +
k=
1
⎝ ⎠
VN
, se calculează cu
norm(V,p), egală cu sum(abs(V).^P)^(1/P);
V = max Vk ,1 ≤ k ≤ ,
valoarea maximă în modul, respectiv ( ) N
este calculată cu funcţia norm(V,inf) ;
valoarea minimă în modul, respective V = min( Vk ),1
≤ k ≤ N
este calculată cu funcţia norm(V,-inf) .
Considerând vectorul V=[-10 –12 0 11 15 25], atunci:
norm(V)=34.8569; norm(V,2)= 34.8569; norm(V,3)= 28.4630; norm(V,inf)=25;
norm(V,-inf)=0.
7.1.3. Determinantul unei matrice
O matrice pătrată este o matrice care are numărul de linii egal cu numărul
de coloane. Dacă tipul său este {n, n}, se spune că matricea este de ordinul n. Fie o
A = , cu elementele în R (sau C).
a ij
matrice pătrată de ordinul n, [ ]
Determinantul format cu elementele maticei A = [ a ij
], păstrându-le
poziţia, se numeşte determinantul matricei A şi se notează cu
A, a , det A,
det[ ], fiind calculat în Matlab cu funcţia det(A).
ij
a ij
Considerând matricele A=[1 2; 3 4] şi B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],
determinanţii acestora sunt: det(A)=-2 şi det(B)=0.
O matrice B se numeşte singulară dacă det(B)=0, iar dacă determinantul
det(A)≠0, matricea A este nesingulară (sau nedegenerată).
Determinantul produsului a două matrice pătrate, de ordinul n, este egal cu
produsul determinanţilor celor două matrice,
det(A*B)=det(B*A)=det(A)*det(B) .
7.1.4. Rangul unei matrice
Considerăm o matrice A, dreptunghiulară, mxn şi p, un număr natural,
astfel încât,
p ≤ m,
n
i , i ,..., i
p
. Dacă alegem din A, p linii 1 2 şi p coloane
j
1
, j2,...,
j p
, oarecare, obţinem, înlăturând elementele matricei care nu se găsesc
pe liniile şi coloanele alese, o matrice pătrată, M, de ordinul p
(
p = 1,2,...,
q,
q = min( m,
n)
,
∞
−∞
p
,

Algebră numerică liniară 141
⎡ai
j
ai
j
... a ⎤
1 1 1 2
i1
jp
⎢
⎥
= ⎢
ai
j
ai
j
... a
2 1 2 2
i2
j p
M
⎥ .
⎢ ... ... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎢a
⎣
ip
j
aip
j
... a
1
2
ip
jp
⎥⎦
În modul acesta, cu liniile şi coloanele matricei A se poate forma un număr
n p m!
n!
de C C = m n
p!
( m − p) ! p!
( n − p)!
matrice de ordinul p. Determinanţii acestor
matrice se numesc determinanţii de ordinul p ai matricei A. Dacă A ≠ 0 , atunci nu
toţi aceşti determinanţi sunt nuli.
Se observă că, dacă toţi determinanţii de ordinul s sunt nuli, atunci toţi
determinanţii de ordin superior lui s sunt nuli, deoarece, dezvoltând determinanţii
de ordinul s+1, de exemplu, după o linie sau coloană, coeficienţii elementelor
respective sunt determinanţi de ordinul s, care sunt nuli. Dacă A ≠ 0 , există un
număr r ≤ q = min( m,
n)
, astfel încât cel puţin un determinant al matricei A, de
ordinul r, este diferit de zero şi toţi determinanţii de ordin r+1 sunt nuli. Numărul
r, care îndeplineşte această condiţie, se numeşte rangul matricei A. Dacă A=0,
rangul matricei A este zero, r=0.
Calculul rangului se efectuează cu funcţia r=rank(A) sau r=rank(A,tol),
unde tol este eroarea relativă, având valoarea implicită 10 -6 sau tol = max(size(A))
* norm(A) * eps.
De exemplu, dacă A=[2 3 1 4 -1; 1 4 -2 1 6; 1 -1 3 3 -7], atunci
rangul matricei este rank(A)=2. Toţi determinanţii de ordinul trei sunt nuli,
deoarece, dacă în matricea A scădem linia a doua din linia întâi, obţinem linia a
treia. Această operaţie, fiind efectuată în toţi determinanţii de ordinul trei, arată că
toţi sunt nuli. Rangul matricei este doi, deoarece matricea formată cu primele două
linii şi coloane, [2 3; 1 4], are determinantul diferit de zero.
Rangul matricei este egal cu ordinul determinantului.
7.1.5. Matricea transpusă
a ij
Considerând [ ]
A = , o matrice m × n , deci i = 1 ,2,..., m,
j = 1,2,...
n ,
atunci, prin definiţie, matricea care se obţine din A, prin înlocuirea liniilor cu
coloanele de acelaşi rang, se numeşte matricea transpusă şi se notează cu A t sau A T ,
iar în Matlab se calculează şi se notează cu A' sau transp(A). Pentru transpusa
neconjugată, se utilizează transpose(A).
Din definiţie rezultă că [ ]
t
a ji
B = [ 2 3 1 4 -1
1 4 -2 1 6
1 -1 3 3 -7 ],
A = , j = 1 ,2,... n,
i = 1,2,...,
m . Dacă,

142
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
atunci:
B' = [ 2 1 1
3 4 -1
1 -2 3
4 1 3
-1 6 -7].
O matrice pătrată A, se spune că este simetrică dacă elementele simetrice
faţă de diagonala principală sunt egale, a = a şi că este antisimetrică dacă
a
= − . Prin urmare:
ij
a ji
ij
o matrice simetrică este egală cu transpusa sa, deoarece a
ij
= a
ji
;
într-o matrice antisimetrică, elementele de pe diagonala principală sunt
nule, a ii = 0 (pentru a putea satisface definiţia aij
= −a
ji
) ;
transpusa unei matrice antisimetrică este opusa matricei iniţiale, A'= -A;
dacă A'= -A atunci, matricea A este antisimetrică ;
traspusa transpusei este matricea iniţială, (A') ' = A ;
transpusa sumei a două matrice este suma transpuselor, (A+B) '=A'+B' ;
transpusa produsului a două matrice este (A*B) '= B' * A';
orice matrice pătrată poate fi considerată ca suma a două matrice, una
simetrică, cealaltă antisimetrică, iar această descompunere este unică.
Dată fiind o matrice, cu un număr oarecare de linii sau coloane, ale cărei
elemente sunt numere reale sau complexe, conjugata sa este matricea formată prin
înlocuirea fiecărui element cu imaginarul său conjugat. În matematica clasică, se
utilizează notaţia A * .
Matricea adjunctă a unei matrice este conjugata transpusei sale. Conjugata
unei matrice este obţinută prin înlocuirea fiecărui element cu imaginarul său
conjugat.
În general, un număr complex, Z, este scris ca suma dintre o parte reală şi
una imaginară,
Z = x + i*y = real(Z) + i*imag(Z)
astfel încât, conjugatul lui Z este:
conj(Z) = x - i*y = real(Z) - i*imag(Z)
De exemplu, pentru matricea X,
X = [1+i 2-i ; 3+2*i 1-2*i]
conjugata este,
conj(X) = [1 - i 2 + i; 3 – 2 i 1 + 2 i].
Se numeşte matrice reală, o matrice care are toate elementele numere reale.
Ţinând seama de cele anterioare, rezultă că o matrice reală este egală cu
conjugata sa şi, reciproc, dacă o matrice este egală cu conjugata sa, matricea este
reală.
Matricea conjugată are următoarele proprietăţi evidente:
ji

Algebră numerică liniară 143
• conj(X+Y)=conj(X)+conj(Y) - conjugata sumei a două matrice este egală
cu suma conjugatelor;
• conj(X*Y)=conj(X)*conj(Y) – conjugata produsului este produsul
conjugatelor;
• transpose(conj(X))= conj(transpose(X)) şi totodată conj(X')= (conj(X))';
• conj(conj(X)) = X.
Matricea adjunctă a unei matrice este conjugata transpusei sale. Dacă,
X =[ 1.0000 + 1.0000i 2.0000 - 1.0000i
3.0000 + 2.0000i 1.0000 - 2.0000i ]
transpusa acestei matrice (neconjugată) este,
XT=transp(X) = [ 1.0000 + 1.0000i 3.0000 + 2.0000i
2.0000 - 1.0000i 1.0000 - 2.0000i ]
iar conjugate transpusei este,
Xa=conj(XT)=conj(transp(X)) = X' = [ 1.0000 - 1.0000i 3.0000 - 2.0000i
2.0000 + 1.0000i 1.0000 + 2.0000i ]
care este matricea adjunctă, notată X + , care se vede că în Matlab este: X + = X'.
Din proprietăţile matricelor transpuse şi ale matricelor conjugate, rezultă
proprietăţile:
• (X+Y)' = X'+Y' ;
• (X*Y)' = Y'*X' ;
• (X')' = X .
Se numeşte matrice hermitică sau autoadjunctă, o matrice pătrată care este
egală cu adjuncta sa, Z + =Z = Z' . În particular, matricea hermitică are toate
elementele de pe diagonala principală reale, iar cele simetrice faţă de această
diagonală sunt imaginar conjugate.
Următoarele matrice sunt hermitice sau autoadjuncte:
Z=[ 1 1-i ; 1+i -3], ZZ=[3 -i 2+3*i ; i 0 5 ; 2-3*i 5 1].
Principalele proprietăţi ale matricelor hermitice sunt:
• dacă o matrice hermitică are toate elementele reale, matricea este simetrică,
adică a ij = a ji ;
• suma a două matrice hermitice este tot o matrice hermitică;
• produsul a două matrice hermitice este tot o matrice hermitică, dacă şi
numai dacă, cele două matrice sunt permutabile.
7.1.6. Matricea inversă şi pseudoinversă
Pentru o matrice pătrată A = [ a ij
], de ordinul n, nesingulară, deci det(A)≠0,
matricea de ordinul n este

144
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
⎡ A11
A21
An1
⎤
⎢
...
det A det A det A
⎥
⎢
A
⎥
⎢
12 A22
An
2
−
⎥ ⎡ A
1
⎤
A =
...
ji
⎢det
A det A det A⎥
= ⎢ ⎥ ,
⎢
⎥ ⎣det
A
... ... ... ... ⎦
⎢ A1
n A2
n Ann
⎥
⎢
...
⎣det
A det A det A⎥
⎦
unde A ji este complementul algebric al lui a ij , din determinantul [ a ij
] şi se numeşte
matricea inversă a matricei A, fiind notată cu A -1 . Notarea matricei inverse cu A -1 este
justificată prin faptul că, în compunerea transformărilor A şi A -1 , acestea se comportă
ca puterile unui număr real sau complex, dacă convenim să notăm transformarea
unitate i, cu A 0 ,
A -1 *A = A*A -1 = A 0 = I = [1] ,
respectiv,
inv(A)*A = A*inv(A) = ones(size(A)) .
Principalele proprietăţi ale matricei inverse sunt:
• A -1 *A = A*A -1 = A 0 = I = [1] - produsul dintre o matrice şi inversa sa este
egal cu matricea unitate;
• reciproc, dacă avem două matrice, astfel încât A*B = I =[1], atunci una
este inversa celeilalte;
• det(A -1 ) = det(inv(A)) = 1/det(A) - inversa unei matrice proprii este tot o
matrice proprie;
• (A -1 ) -1 = inv(inv(A)) = A - inversa matricei inverse este matricea iniţială;
• (A*B) -1 = B -1 * A -1 , respectiv inv(A*B) = inv(B)*inv(A)
Fie matricele,
A = [ cos (pi/3) -sin (pi/3) ; sin (pi/3) cos (pi/3) ];
B= [ 1 -1 i ; 0 1 0 ; i 3 1] ,
transpusele sunt,
A' = [ cos (pi/3) sin (pi/3) ; -sin (pi/3) cos (pi/3) ]
B' = [ 1 0 -i ; -1 1 3 ; -i 0 1 ]
iar inversele sunt,
inv(A) = ( A -1 ) = [ cos (pi/3) sin (pi/3) ; -sin (pi/3) cos (pi/3) ]
inv(B) = ( B -1 ) = [0.5 0.5 + 1.5 i - 0.5 i ; 0 1 0; - 0.5 i -1.5-0.5 i 0.5 ]
de unde se verifică uşor că A*inv(A) = [1] şi B*inv(B) = [1] .
Instrucţiunea inv(X), returnează un mesaj de avertizare, dacă matricea X
este singulară sau bandă.
Pseudoinversa sau inversa generalizată, Moore-Penrose, a unei matrice,
se calculează cu funcţia pinv, apelată cu sintaxa:
B=pinv(A),

Algebră numerică liniară 145
sau
B=pinv(A,tol),
unde tol este toleranţa, care are valoarea implicită (când lipseşte la apelare),
tol = max(size(A)) * norm(A) * eps,
cu eps, depinzând de acurateţea calculelor în virgulă mobilă.
Se utilizează, de regulă, pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, în
sensul celor mai mici pătrate.
Matricea B este de aceleaşi dimensiuni ca şi matricea A' şi verifică patru
condiţii:
A∗B∗A = A
B∗A∗B = B
A∗B este hermitică
B∗A este hermitică.
De exemplu, calculul pseudoinversei matricei A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],
conduce la,
B = pinv(A) =
[ -0.6389 -0.1667 0.3056
-0.0556 0.0000 0.0556
0.5278 0.1667 -0.1944 ],
A*B*A = A =
[ 1.0000 2.0000 3.0000
4.0000 5.0000 6.0000
7.0000 8.0000 9.0000 ]
B*A*B = B =
[ -0.6389 -0.1667 0.3056
-0.0556 0.0000 0.0556
0.5278 0.1667 -0.1944 ]
iar A*B şi B*A sunt matrice hermitice şi în acest caz sunt egale între ele fiind,
[ 0.8333 0.3333 -0.1667
0.3333 0.3333 0.3333
-0.1667 0.3333 0.8333 ].
Dacă matricea A este pătrată şi nesingulară, funcţia pinv(A) consumă un
timp de calcul mai mare decât inv(A).
Dacă matricea A nu este pătrată sau este pătrată şi singulară, atunci nu
există inversă, inv(A). În acest caz, pinv(A) are unele, dar nu toate, proprietăţi ale
lui inv(A).
Dacă matricea A are mai multe rânduri decât coloane şi rangul matricei
este mai mic decât minimul dintre rânduri şi coloane, atunci problema celor mai
mici pătrate, de minimizare a norm(A*x-b), nu are soluţie unică. Se obţin două
infinităţi de soluţii date de:
x=pinv(A)*b
şi

146
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
y=A\b,
care se disting prin aceea că norm(x) este mai mică decât norma oricărei alte soluţii, iar
y are, pe cât posibil, componente diferite de zero.
De exemplu, matricea generată de,
A = magic(8); A = A(:,1:6)
este o matrice de 8-pe-6 care are rank(A) = 3.
A = [ 64 2 3 61 60 6
9 55 54 12 13 51
17 47 46 20 21 43
40 26 27 37 36 30
32 34 35 29 28 38
41 23 22 44 45 19
49 15 14 52 53 11
8 58 59 5 4 62 ]
Termenul liber, din partea dreaptă, este:
b = 260*ones(8,1) = [ 260; 260; 260; 260; 260; 260; 260; 260 ].
7.1.7. Bază ortogonală şi bază ortonormală
După cum se cunoaşte, doi vectori x, y sunt ortogonali, dacă produsul lor
scalar este nul.
Înt-un spaţiu euclidian, real sau complex, deseori se preferă ca bază un
sistem de vectori, e 1 , e2,...,
en
, ortogonali doi câte doi , având fiecare norma egală
cu 1,
⎧0,
daca i ≠ j
( ei
, e j ) = ⎨
.
⎩1,
daca i = j
Dacă numai prima condiţie este îndeplinită, se spune că e 1 , e2,...,
en
formează o bază ortogonală. Dacă sunt îndeplinite amândouă condiţiile, baza este
ortonormală.
Cu vectorii unei baze oarecare, u 1 , u2,...,
un
, se poate construi întotdeauna o
bază ortonormală,
⎧0,
daca i ≠ j
( ui
, u j ) = ⎨
⎩1,
daca i = j
iar vectorii bazei sunt ortogonali doi câte doi şi au norma u ( u , u ) = 1.
i
= i i
În Matlab, funcţia care realizează o bază ortogonală pentru o matrice A
este orth(A). Ea se apelează cu sintaxa:
Q=orth(A),
în care numărul de coloane ale lui Q este egal cu rangul matricei A.
Baza ortogonală are proprietatea că Q'*Q = I .

Algebră numerică liniară 147
Obţinerea unei baze ortogonale, Z, pentru un spaţiu nul al matricei A, prin
descompunerea în valori proprii, se face prin funcţia null, apelată prin:
Z = null(A) sau Z=null(A, 'r')
unde r este o bază raţională având elemente mici întregi, astfel încât A*Z să aibă
elemente neglijabile, size(Z,2) = 1, iar Z'*Z = I.
De exemplu, dacă
A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]
atunci,
z=null(A) = [ -0.4082 ; 0.8165 ; -0.4082 ]
size(z,2)= 1
z'*z = 1
z=null(A,'r') = [ 1 ; -2 ; 1 ]
Descompunerea unei matrice, A, în vederea determinării rangului, se face
cu funcţia rref, apelată cu sintaxa,
[R,jb] = rref(A) su [R,jb] = rref(A,TOL)
unde r=length(jb) este rangul matricei A, A(:,jb) este matricea luată ca bază la
determinarea rangului; R(1:r,jb) este matricea identitate de r x r; x(jb), sunt numărul de
variabile independente; TOL este toleranţa impusă la determinarea rangului.
Dacă A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12 ; 13 14 15 16; 17 18 19 20]
atunci prin comanda,
[R,jb]=rref(A)
rezultă:
R=[ 1 0 -1 -2 ; 0 1 2 3 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ]
jb=[ 1 2 ] ; R(1:2,jb) = [ 1 0 ; 0 1 ]
A(:,jb) = [1 2 ; 5 6 ; 9 10 ; 13 14 ; 17 18 ].
Unghiul dintre două subspaţii este calculat cu funcţia subspace. Prin
urmare, subspace(A,B) dă unghiul dintre coloanele matricei A şi matricei B.
Atunci când A şi B sunt vectori de lungime unitară, atunci subspace(A,B)
este identic cu acos((A'*B).
Dacă unghiul este mic, atunci cele două subspaţii sunt practic liniar
dependente. Funcţia este utilă pentru evidenţierea diferenţelor ce nu sunt cauzate de
fluctuaţia erorilor statistice, în două experimente succesive (A şi B), aplicate
aceluiaşi fenomen fizic.
7.2. Condiţionarea unei matrice
Importanţa cunoaşterii condiţionării unei matrice rezidă în faptul că
rezultatele obţinute prin calcul numeric au întotdeauna erori de rotunjire, fiind, prin
urmare, soluţiile unei probleme perturbate.
Determinarea condiţionării are la bază teoria matematică a perturbaţiilor.
Se spune că o funcţie f(x) este rău condiţionată, dacă pentru un x 1, apropiat de x,

148
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
funcţia f(x 1 ) diferă mult de f(x). Invers, o funcţie se spune că este bine condiţionată,
dacă pentru un x 1 apropiat de x, funcţia f(x 1 ) este apropiată de f(x). Din păcate,
termenii apropiaţi sunt calitativi şi, pentru a putea fi cuantificaţi, este necesară
utilizarea numerelor de condiţionare.
Numărul de condiţionare al unei matrice indică sensibilitatea soluţiei unui
sistem de ecuaţii liniare şi dă indicaţii despre precizia rezultatelor la inversarea
matricelor şi la rezolvarea ecuaţiilor liniare. O matrice bine condiţionată este o
matrice relativ insensibilă la aceste mici perturbaţii.
Numărul de condiţionare al unei matrice, calculat ca raportul dintre cea mai
mare şi cea mai mică valoare singulară a acesteia, se determină cu funcţia cond,
care se apelează cu sintaxa:
c=cond(X,p)
unde c este numărul de condiţionare al matricei X, în norma p, care poate fi 1, 2, inf sau
'fro', după norma calculată, astfel încât, norm(X,p) * norm(inv(X),p).
O funcţie mai performantă, care calculează numărul de condiţionare, c,
după un algoritm din codul de calcul LAPACK, este rcond, care se apelează cu
sintaxa:
c=rcond(X).
Estimarea celui mai mic număr de condiţionare se realizează cu funcţia
condest, care se apelează cu sintaxa:
c = condest(X).
Dacă considerăm, iniţial, sistemul de ecuaţii:
⎧6⋅
x1
+ 6.917⋅
x2
= 6.543
⎨
⎩ x1
+ 1.152⋅
x2
= 1.095
şi un sistem “perturbat”,
⎧6
⋅ x1
+ 6.912⋅
x2
= 6.543
⎨
⎩ x1
+ 1.152⋅
x2
= 1.095
atunci, cu secvenţa Matlab,
A1=[6 6.917; 1 1.152]; A2=[6 6.912; 1 1.152]; c1=cond(A1);
c2=cond(A2);
d1=condest(A1);d2=condest(A2);r1=rcond(A1);r2=rcond(A2);
se obţine:
c1 = 1.7234e+004, c2 = 3.1875e+016, d1 = 2.0845e+004, d2 = Inf,
r1 = 4.7972e-005, r2 = 0,
de unde rezultă că sistemul este rău-condiţionat.
Dacă se rezolvă cele două sisteme (iniţial si perturbat), folosind secvenţa,
A1=[6 6.917; 1 1.152]; A2=[6 6.912; 1 1.152]; b=[6.543; 1.095];
x1=A1\b; x2=A2\b;

Algebră numerică liniară 149
se obţin soluţiile:
x1=[ 7.3158 -5.4000] ; x2= [Inf Inf];
de unde se observă diferenţele foarte mari între acestea, datorate slabei condiţionări.
7.3. Generarea unei matrice rare
Generarea unei matrice rare şi afişarea coeficienţilor se realizează cu
funcţia sparse, care se apelează cu una dintre sintaxele:
• S = sparse(A), transformă o matrice plină într-o formă rară, înlăturând
toate elementele egale cu zero, iar dacă o matrice S este deja rară, atunci
sparse(S) înapoiază tot S ;
• S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax), foloseşte vectorii i, j şi s pentru a genera
matricea de m x n, de forma S(i(k),j(k)) = s(k), cu spaţii alocate pentru
nzmax, diferit de zero ; vectorii i, j, şi s au toţi aceeaşi lungime, dar sunt
mai mici decât 2^31-1, iar oricare element din s, ce apare şi în i sau j, este
adăugat ;
• S= sparse(i,j,s,m,n), foloseşte nzmax = length(s) ;
• S =sparse(i,j,s), foloseşte m = max(i) şi n = max(j), calculaţi înainte să fie
înlăturate zerourile, deci una dintre coloanele [i j s] poate fi [m n o] ;
• S= sparse(m,n) sau sparse([],[],[],m,n,0), generează ultima matrice rară, de
forma m x n.
Aplicarea operatorilor specifici Matlab (aritmetici, logici, etc.) pe matricea
rară, detemină apariţia unei matrice rare, iar în cazul unor combinaţii de matrice
rare şi întregi, se va obţine o matrice întreagă.
Excepţiile apar atunci când rezultatul este o structură rară; de exemplu,
A.*S este cel puţin o matrice rară ca şi S.
De exemplu,
S = sparse(1:n,1:n,1)
generează o reprezentare rară, de forma n x n, faţă de
S = sparse(eye(n,n))
care va genera o matrice completă, n x n, cu multe dintre elementele sale egale cu zero.
Utilitatea matricelor rare se relevă la matrice foarte mari, ca de exemplu,
cazul unei matrice B = sparse(10000,10000,pi), cu care poate opera Matlabul, pe
când cu matricea completă, full(B), nu poate opera, datorită memoriei insuficiente,
aceasta necesitând 800 megabytes.
Reasamblarea unei matrice rare se face prin succesiunea de instrucţiuni,
[i,j,s] = find(S); [m,n] = size(S); S = sparse(i,j,s,m,n);
sau, dacă ultima linie şi coloană are elemente diferite de zero,
[i,j,s] = find(S); S = sparse(i,j,s).

150
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
7.4. Ecuaţii liniare
Fie sistemul de ecuaţii liniare:
a11 ⋅ x1
+ ... + a1
j ⋅ x j + ... + a1n
⋅ xn
= b
...........................................................
a ⋅ x + ... + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b
i1
1
ij
j
...........................................................
a ⋅ x + ... + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b
m1
1
mj
j
in
mn
n
de m ecuaţii liniare cu n necunoscute, m şi n fiind două numere naturale oarecare.
Dacă notăm,
⎛a11...
a1
j ... a1n
⎞ ⎛
1
⎞
⎜
⎟
x
⎛b1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜......................
⎟ ⎜....
⎟ ⎜....
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
A = 1...
... ; X ; B =
⎜ ⎟
⎜ai
aij
ain
⎟ =
⎜
x j ⎟
b ;
⎜
i
⎟
⎜
......................
⎟ ⎜....
⎟ ⎜....
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
1...
...
⎜
⎟
⎝
am
amj
amn
⎠ ⎝ xn
⎠ ⎝bm
⎠
atunci sistemul de ecuaţii liniare se poate scrie, matriceal, sub forma: A*X = B.
0 0 0
Un şir ordonat de numere, x 1 , x2
,..., xn
, care satisfac relaţiile:
0
0
0
i ij j
in n i =
a 1 ⋅ x1
+ ... + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b ; i 1,2,..., m ;
n
se numeşte soluţie a sistemului. Numerele x 1 , x2
,..., xn
, care verifică sistemul, se mai
numesc şi rădăcinile sistemului.
Dacă sistemul admite o soluţie unică, se numeşte compatibil determinat, iar
dacă admite cel puţin două soluţii, se numeşte compatibil nederminat. Dacă
sistemul nu are soluţii, este incompatibil.
În cazul în care sistemul este compatibil nedeterminat, poate avea o
infinitate simplă, dublă, ... , multiplu de ordinul r de soluţii (sau un număr finit, în
numere întregi).
Deoarece nu toţi a ij sunt nuli, rangul matricei A, cu m linii şi n coloane,
formată cu coeficienţii necunoscutelor, va fi p ≥ 1. Presupunem că unul dintre
determinanţii de ordinul p, diferit de zero, este chiar
a a ... a
∆
p
a
11
p1
a
12
p2
1p
a21
a22
... a
=
.........................
... a
2 p
pp
i
0
1
m
0
0

Algebră numerică liniară 151
ceea ce este întotdeauna posibil să se realizeze, schimbând, la nevoie, atât ordinea
ecuaţiilor, cât şi indicii necunoscutelor.
Determinantul ≠ 0 , se numeşte determinantul principal al sistemului.
∆ p
Evident, există şi alţi determinanţi de ordinul p diferiţi de zero, însă toţi
determinanţii de ordinul p+1, p+2, ..., p+q, cu q=min(m,n) ce se pot forma cu
liniile şi coloanele matricei A, sunt nuli.
Putem întotdeauna aranja necunoscutele şi schimba ordinea ecuaţiilor,
astfel încât ∆ să fie format cu coeficienţii primelor p necunoscute, luate din
p
primele p ecuaţii.
Ecuaţiile care intervin în formarea determinantului principal se numesc
p
ecuaţii principale, iar necunoscutele x 1 , x2
,..., x n , cu ale căror coeficienţi se
formează determinantul principal, se numesc necunoscute principale.
Celelalte ecuaţii şi necunoscute se numesc secundare.
Se numeşte determinant caracteristic, un determinant de ordinul p+1 din
A, obţinut prin completarea determinantului principal, ∆ p , cu o coloană formată
din termenii liberi corespunzători ai ecuaţiilor principale şi cu o linie formată cu
coeficienţii necunoscutelor principale şi cu termenul liber al unei ecuaţii secundare,
b2
( 1)
D p+
1 =
... , … ,
∆ b
a
p+
1,1
....
p
a
p+
1,1
b
b
1
p
p+
1
2
p+ 1
... .
( m−
p)
D =
a
m1
∆
....
p
a
m1
b
b
b
b
1
p
m
Dacă p < m ≤ n (sau p < n ≤ m ) vom putea forma m − p determinanţi,
numiţi determinanţi caracteristici.
Conform teoremei lui Rouché, un sistem liniar de m ecuaţii cu n
necunoscute este compatibil, dacă şi numai dacă, toţi determinanţii caracteristici
sunt nuli.
Dacă toţi determinanţii caracteristici sunt nuli, dar:
• n>p, există n-p necunoscute secundare, care apar ca parametri în soluţiile
0 0 0
n− p
găsite , x 1 , x2
,..., x p , şi avem ∞ soluţii, iar sistemul este compatibil
nedeterminat;
• n=p, nu avem necunoscute secundare, iar sistemul este compatibil
determinat;
• m=n=p, nu există determinanţi caracteristici (formal putem spune că sunt
nuli),
• sistemul este compatibil determinat, cu soluţie unică.

152
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Dacă cel puţin unul dintre determinanţii caracteristici este diferit de zero,
sistemul este incompatibil sau imposibil, respectiv nu are soluţii.
Analiza soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare se poate face mai comod
aplicând teorema Kronecker-Capelli, care se bazează, în esenţă, pe rangul
matricelor A şi B. Dacă notăm p=rang A şi q=rang (A|B), atunci, pentru ca
sistemul de m ecuaţii cu n necunoscute să fie complet compatibil, este suficient ca:
rang A = rang (A|B),
⎛a
... ...
11...
a ...
⎛
11 1 1 1
⎞
1 j a1
⎞
a a j a n b
n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜......................
⎟
⎜..........................
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ai1...
aij
... ain
⎟ ; ( A | B) = ⎜ai1...
aij
... ain
bi
⎟ ;
⎜
⎜
⎟
......................
⎟
⎜......................
⎜
⎟
⎟
1...
...
⎜
1...
... ⎟
⎝
am
amj
amn
⎠
am
amj
amn
bm
⎝
⎠
sau în Matlab,
p=rank(A)==rank([A,B]).
Funcţia rank se poate apela şi sub forma:
p=rank(A,tol),
unde tol este toleranţa, care are valoarea implicită (când lipseşte la apelare),
tol = max(size(A)) * norm(A) * eps,
cu eps depinzând de acurateţea calculelor în virgulă mobilă.
Dacă:
• m=n=p, sistemul este compatibil determinat, cu soluţie unică;
n− p
• p = q < n, sistemul este compatibil nedeterminat, cu ∞ soluţii;
• p < q, sistemul este incompabitil sau nedeterminat şi nu va avea nici o
soluţie.
Una dintre metodele de rezolvare a sistemelor de n ecuaţii, cu n
necunoscute, constă în împărţirea matricelor.
Soluţiile unui sistem de ecuaţii liniare de forma,
A*X=B
pot fi determinate în Matlab, prin instrucţiunile:
X=B/A – împărţirea la dreapta
sau
X=A\B – împărţirea la stânga.
De meţionat că împărţirea la stânga este mai rapidă decât împărţirea la
dreapta. Pentru un sistem de 1000 ecuaţii cu 1000 necunoscute, ai cărui coeficienţi
şi termeni liberi sunt numere aleatoare, cu secvenţa Matlab,
A=rand(1000); B=rand(1000);
tic; X=A\B; ts=toc
tic; X=B/A; td=toc

Algebră numerică liniară 153
s-au obţinut, pe un calculator PC 1.7 MHz, timpi: ts=2.614 s şi td=2.663 s, în cele două
variante de împărţire, la stânga şi la dreapta.
O altă cale de rezolvare a sistemelor de n ecuaţii, cu n necunoscute,
constă în folosirea matricei inverse.
Deoarece det(A)≠0, matricea A este nesingulară şi are deci, o inversă A -1 ,
−
A
A 1 =
ji
det A
calculată în Matlab cu inv(A).
Dacă în sistemul, A*X=B, înmulţim la stânga cu A -1 , avem X=A -1 *B,
respectiv în Matlab, X=inv(A)*B.
Reluând acelaşi sistem, de 1000 ecuaţii cu 1000 necunoscute, cu
coeficienţii şi termenii liberi numere aleatoare, timpul de calcul rezultă din,
A=rand(1000); B=rand(1000);
tic; X=inv(A); ti=toc
şi, pentru acelaşi calculator, este ti= 2.1430 s.
O serie de metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii sunt cunoscute ca
fiind metode prin triunghiularizare. Din această categorie fac parte: factorizarea
Cholesky, factorizarea LU, factorizarea QR etc.
O matrice pătrată A, de forma,
⎛a11
a12
... a1n
⎞
⎜
⎟
⎜a21
a22
... a2n
⎟
A = ⎜
.........................
⎟
⎜
⎟
⎝an1
an2
... ann
⎠
poate fi descompusă sub forma,
A = Ls + D +Us,
cu:
⎛ 0 0 ... 0 0 ⎞ ⎛a11
0 ... 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜a21
0 ... 0 0 ⎟ ⎜ 0 a12
... 0 0 ⎟
Ls = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ; D = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ;
⎜
⎟ ⎜
⎟
1 2 ... 1 0
⎝ an
an
a
nn− ⎠ 0 0 ... 0
⎝
a nn ⎠
⎛ 0 a12
a13
... a1n
⎞
⎜
⎟
⎜ 0 0 a23
... a2n
⎟
Us = ⎜...
... ... ... ... ⎟
⎜
⎟
0 0 0 ... 0
⎝
⎠
Matricea Ls, care conţine elemente diferite de zero numai sub diagonala
principală, se numeşte strict inferior triunghiulară. Similar, matricea Us, care

154
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
conţine elemente diferite de zero doar deasupra diagonalei principale, se numeşte
strict superior triunghiulară. Matricea D este evident diagonală.
O matrice L, definită ca, L=Ls+D se numeşte inferior triunghiulară.
În acest caz, este evident că det(L)=det(D) şi, dacă det(D)≠0, atunci există
inversa matricei L, respectiv L -1 , care este de forma,
L -1 = L' + D'
şi este de asemenea inferior triunghiulară.
Asemănător, dacă U=Us+D şi dacă U -1 există, ea este superior
triunghiulară.
Pentru un sistem liniar neomogen, L*x = b, având matricea L a
coeficienţilor sistemului inferior triunghiulară,
⎛l11
0 0 ... 0 ⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛ b1
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜l21
l22
0 ... 0 ⎟ ⎜ x2
⎟ ⎜b2
⎟
L = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ , x = ⎜ ... ⎟ , b = ⎜ ... ⎟ ,
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 2 3 ...
⎝ln
ln
ln
l
nn ⎠ ⎝ x n ⎠ ⎝b n ⎠
componentele vectorului x, soluţiile sistemului, pot fi găsite prin substituţie înainte,
respectiv:
1
b 1
1 ⎛ m ⎞
1
x1 = ; x 2 = ⋅( b2
− l21
⋅ x1
);
x m = ⋅⎜bm
− lmj
⋅ x ⎟
j ; m = 1,2,..., n.
l11
l22
l ⎜ ∑ − ⎟
mm ⎝ j=
1 ⎠
Un caz mai complicat, dar şi mai instructiv, este cazul în care matricea A
este produsul unei matrice inferior triunghiulare L, cu o matrice superior
triunghiulară U. Prin urmare, avem
A*x = L*U*x = b.
Pentru rezolvare, se introduce un vector auxiliar definit ca
z=U*x
ceea ce face ca ecuaţia iniţială să devină
L*z = b,
care este de forma anterioară, având necunoscutele:
1
b 1
1 ⎛ m ⎞
1
z1 = ; z 2 = ⋅( b2
− l21
⋅ z1
);
z m = ⋅⎜bm
− lmj
⋅ z ⎟
j ; m = 1,2,..., n.
l11
l22
l ⎜ ∑ − ⎟
mm ⎝ j=
1 ⎠
Odată vectorul z cunoscut, ecuaţia z=U*x (care este identică cu U*x=z)
având,
⎛u11
u12
u13
... u1n
⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛ z1
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 u22
u23
... u2n
⎟ ⎜ x2
⎟ ⎜ z2
⎟
U = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ , x = ⎜ ... ⎟ , z = ⎜ ... ⎟ ,
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 0 0 ...
⎝
u
nn ⎠ ⎝ x n ⎠ ⎝ z n ⎠

Algebră numerică liniară 155
din care, din ultima linie, rezultă,
z
x n = n ,
u11
şi în general,
1 ⎛ n ⎞
x ⎜
⎟
m = ⋅ zm
− ⋅ ; = , −1,...,1.
⎜ ∑umj
x j m n n
u
⎟
mm ⎝ j=
m+
1 ⎠
Se remarcă faptul că, în acest caz, se utilizează o substituţie înainte şi apoi
o substituţie înapoi.
Cazuri particulare ale acestui caz general sunt atunci când matricea
sistemului este o matrice tridiagonală, o matrice tridiagonal simetrică sau o matrice
multidiagonală.
O matrice tridiagonală este, prin definiţie, o matrice care are două diagonale
secundare adiacente diagonalei principale, toate cu elemente diferite de zero. Se
întâlneşte, de regulă, la aproximaţia difuziei multigrupale monodimensionale.
Matricea tridiagonal simetrică are elementele simetrice nepozitive şi se mai
numeşte şi matrice Stieltjes.
O matrice pătrată de ordinul n, multidiagonală, este o matrice cu un număr
m, impar de diagonale, m

156
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
R2 = [ 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 1 ].
Factorizarea Cholesky, pentru coeficienţii binomului lui Pascal, îi
aranjează într-o matrice superior triunghiulară.
Dacă matricea nu este pozitiv definită, ca de exemplu,
A3=[1 2 3 4;5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
atunci se utilizează apelarea funcţiei chol sub forma,
[R3,p]=chol(A3),
care conduce la,
R3 = [ 1.0000 2.0000 3.0000
0 1.4142 0.7071
0 0 1.2247 ]
p=4,
astfel încât:
R'*R = A(1:q,1:q) , q = p-1.
Rezolvarea unui sistem de ecuaţii,
A*x=B,
se realizează cu secvenţa Matlab:
R=chol(A); x=R\R’\b.
Pentru o matrice X, factorizarea incompletă Cholesky, aplicabilă pentru
matrice rare şi factorizarea Cholesky infinită este realizată, în Matlab, cu una dintre
sintaxele:
• R = cholinc(X,dtol), în care, dtol este un scalar nenegativ, ce evidenţiză
toleranţa permisă la factorizarea incompletă, iar dacă dtol=0,, se realizează
factorizarea completă;
• R = cholinc(X,opt), în care, opt poate fi dtol, michol (0 pentru factorizarea
Cholesky nemodificată şi 1 pentru modificată ) sau rdiag (0, în mod normal
sau 1, când se forţează R ca o matrice cu zero pe diagonala principală);
• R = cholinc(X,'0'), care realizează o factorizare incompletă Cholesky, a
unei matrice rare simetric pozitive, care nu garantează existenţa lui R şi
putând apărea un mesaj de eroare;
• [R,p] = cholinc(X,'0'), evită mesajul de eroare şi dacă p=0, atunci R există,
altfel R'*R corespunde cu X , pentru primele q=p-1 linii şi coloane;
• R = cholinc(X,'inf'), care produce o factorizare Cholosky infinită, ceea ce
presupune că, la întâlnirea unui pivol egal cu zero, atunci se completează
Inf pe diagonală, iar pe rânduri 0, iar X este pozitiv semidefinită, astfel că,
la întâlnirea unui pivot negativ, acesta se înlocuieşte cu Inf.
Modificarea factorizării Cholesky se realizează cu funcţia cholupdate.

Algebră numerică liniară 157
Dacă R=chol(A) este factorizarea Cholesky inţială a matricei A, atunci
R1=cholupdate(R,x) returnează o matrice superior triunghiulară, rezultată din
factorizarea matricei A + X*X', cu X un vector coloană. Funcţia lucrează numai cu
matrice pline, nu rare.
Prin factorizarea LU (lower-upper), o matrice pătrată este descompusă sub
forma produsului a două matrice triunghiulare: una inferior triunghiulară, matricea
L, cu elemente 1 pe diagonala principală şi cealaltă, matricea U, superior
triunghiulară.
Factorizarea LU a unei matrice se realizează în Matlab cu funcţia lu, care
se apelează cu una dintre sintaxele:
• [L,U]=lu(X), când se returnează o matrice superior triunghiulară U şi o
matrice inferior triunghiulară permutată L, astfel încât X=L*U;
• [L,U,P]=lu(X), când se returnează o matrice superior triunghiulară U, o
matrice inferior triunghiulară permutată L şi permutarea matriceală P, astfel
încât L*U=P*X.
Factorizarea LU este utilizată în Matlab pentru obţinerea inversei unei
matrice, cu funcţia inv şi pentru calculul determinantului, cu funcţia det.
Să considerăm sistemul A*x=b unde,
A = [ 1 1 2 1 1 2 b = [ 0
3 -1 -2 1 -2 1 -6
-1 1 3 -1 4 2 6
1 2 -1 2 -1 -3 1
-2 -3 1 -2 -3 -1 6
1 -2 4 2 -1 4 ] -1 ].
Prin factorizarea LU,
[L1,U1] = lu(A) sau [L,U,P] = lu(A)
obţinem:
L1 = [ 0.3333 -0.3636 0.5283 0.5143 0.8676 1.0000
1.0000 0 0 0 0 0
-0.3333 -0.1818 0.4717 1.0000 0 0
0.3333 -0.6364 -0.1132 -0.5429 1.0000 0
-0.6667 1.0000 0 0 0 0
0.3333 0.4545 1.0000 0 0 0 ],
U1 = [ 3.0000 -1.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000
0 -3.6667 -0.3333 -1.3333 -4.3333 -0.3333
0 0 4.8182 2.2727 1.6364 3.8182
0 0 0 -1.9811 1.7736 0.4717
0 0 0 0 -1.9429 -2.8571
0 0 0 0 0 1.7647 ],

158
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
L = [ 1.0000 0 0 0 0 0
-0.6667 1.0000 0 0 0 0
0.3333 0.4545 1.0000 0 0 0
-0.3333 -0.1818 0.4717 1.0000 0 0
0.3333 -0.6364 -0.1132 -0.5429 1.0000 0
0.3333 -0.3636 0.5283 0.5143 0.8676 1.0000 ],
U = [ 3.0000 -1.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000
0 -3.6667 -0.3333 -1.3333 -4.3333 -0.3333
0 0 4.8182 2.2727 1.6364 3.8182
0 0 0 -1.9811 1.7736 0.4717
0 0 0 0 -1.9429 -2.8571
0 0 0 0 0 1.7647 ],
P = [ 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 ].
Se observă că L1*U1 este identică cu A, iar L*U este identică cu P*A..
Inversa matricei A, calculată cu funcţia inv, este egală cu produsul
inverselor, respectiv:
inv(A) = inv(U1)*inv(L1) şi inv(P*A) = inv(U)*inv(L).
De asemenea, pentru determinanţi, sunt valabile relaţiile:
det(A) = det(L1)*det(U1) şi det(P*A) = det(L)*det(U).
Rezolvarea sistemelor de ecuaţii A*x = b, prin factorizarea Lu, presupune
soluţionarea succesivă a sistemelor:
y=L1\b şi x=U1\y,
rezultând,
x = [2 -1 3 -2 1 -3 ].
Pentru o matrice X, factorizarea incompletă LU, luinc, aplicabilă pentru
matrice rare, este realizată în Matlab cu una dintre sintaxele:
• [L,U,P] = luinc(X,dtol) sau [L,U] = luinc(X,dtol) , în care dtol este un
scalar nenegativ, ce evidenţiază toleranţa permisă la factorizarea LU
incompletă, aplicabilă fiecărei coloane a lui X, iar dacă dtol=0, se
realizează factorizarea LU completă;
• [L,U,P] = luinc(X,opt) sau [L,U] = luinc(X,opt) , în care opt poate fi dtol,
milu (0, pentru factorizarea LU nemodificată şi 1, pentru modificată) sau
udiag (0, în mod normal sau 1, când se forţează U ca o matrice cu zero pe
diagonala principală);
• [L,U] = luinc(X,'0'), care realizează o factorizare incompletă LU a unei
matrice rare, simetric pozitive, fără a da permutarea;

Algebră numerică liniară 159
• [L,U,P] = luinc(X,'0'), prezintă şi matricea de permutare şi se bazează pe
algoritmul de pivotare parţială.
Factorizarea QR este o descompunere a unei matrice, A, ca produsul
dintre o matrice ortonormală, Q, cu o matrice superior triunghiulară, R, astfel încât
A = Q*R.
Factorizarea QR se utilizează pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare
cu mai multe ecuaţii decât necunoscute. Cea mai bună soluţie a unor astfel de
sisteme, A*x = b, în sensul celor mai mici pătrate, este calculată cu x = A\b, care
utilizează implicit această factorizare.
Prin utilizarea factorizării QR, cu funcţia Matlab qr, soluţia este calculată
în doi paşi:
y=Q`*b şi apoi x=R\y.
Apelarea funcţiei qr se poate face cu una dintre sintaxele:
• [Q,R]=qr(A), returnează matricea triunghiular superioară R, de aceeaşi
dimensiune cu A şi matricea unitară Q, astfel încât, A = Q*R.
• [Q,R,E]=qr(A), returnează matricea de permutare E, a matricei
superior triunghiulare R, cu elementele diagonalei descrescătoare şi
matricea unitară Q, astfel încât A*E = Q*R, cu menţiunea că, matricea E
are coloanele aranjate în ordinea descrescatoare a abs(diag(R));
• [Q,R]=qr(A,0), realizează o descompunere „economică” a matricei A,
care, dacă este de mxn, cu m>n, lucrează numai cu primele n coloane;
• [Q,R,E]=qr(A,0), realizează o descompunere „economică” a matricei A,
prezentând şi vectorul de permutare E, având coloanele aşezate în ordinea
descrescătoare a abs(diag(R)), astfel încât Q*R = A(:,E);
• R = qr(A), returnează numai matricea R, care R = chol(A'*A).
Pentru matrice rare, versiunea QR nu permută coloanele.
Soluţia sistemului A*x=b, prin metoda celor mai mici pătrate, bazată pe
descompunerea QR, se află fie într-un pas,
x = R\(R'\(A'*b))
fie succesiv,
r = b - A*x
e = R\(R'\(A'*r))
x = x + e;
De exemplu, descompunerea QR a matricei aceleiaşi matrice A, utilizată la
descompunerea LU, conduce la:
Q = [ -0.2425 0.1866 -0.4555 0.2090 -0.5768 0.5679
-0.7276 -0.3466 0.2364 0.4411 -0.1208 -0.2923
0.2425 0.2666 -0.5238 0.5303 0.0392 -0.5595
-0.2425 0.4133 0.0328 -0.5493 -0.4742 -0.4927
0.4851 -0.5999 0.0671 0.0150 -0.6101 -0.1670
-0.2425 -0.4932 -0.6758 -0.4227 0.2325 -0.0919 ],

160
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
R = [ -4.1231 -0.7276 1.4552 -3.1530 1.2127 -1.4552
0 4.4125 -1.1198 0.6132 3.8260 -2.0530
0 0 -5.6239 -1.1158 -2.5818 -4.5909
0 0 0 -1.8541 2.3748 1.8616
0 0 0 0 1.8936 1.7669 ]
astfel încât soluţia se obţine prin,
R\(R'\(A1'*b))
sau secvenţial,
r = b - A*x ; e = R\(R'\(A'*r)) ; x = x + e;
rezultând x = [2 -1 3 -2 1 -3 ], la fel ca şi prin metoda LU.
Modificarea factorizării QR iniţiale se realizează cu funcţia qrupdate, care
se apelează [Q1,R1] = qrupdate(Q,R,U,V), care returnează factorizarea matricei
A + U*V', iar matricele U şi V sunt de tipul coloană.
Ştergerea unei coloane din factorizarea QR se realizează cu funcţia
qrdelete, care se apelează cu sintaxa:
[Q,R]=qrdelete(Q0,R0,j),
unde Q0 şi R0 sunt factorizările iniţiale, [Q0,R0]=qr(A), iar Q şi R sunt factorizările
obţinute după ce din matricea A, a fost ştearsă coloana j, respectiv elementele A(:,j).
Inserarea unei coloane în factorizarea QR se realizează cu funcţia
qrinsert, care se apelează cu sintaxa:
[Q,R]=qrdelete(Q0,R0,j),
unde Q0 şi R0 sunt factorizările iniţiale, [Q0,R0]=qr(A), iar Q şi R sunt factorizările
obţinute după ce, în matricea A, a fost inserată coloana j, respectiv elementele A(:,j),
după ultima coloană a matricei iniţiale.
Găsirea planului de rotaţie al unei matrice X, de 2 x 2, se realizează cu
funcţia planerot, apelată sub forma [G,Y]=planerot(X), care returnează două
matrice ortogonale, astfel că Y = G*X şi Y(2) = 0.
Realizarea factorizării QZ, pentru valori proprii generalizate, se
realizează cu funcţia qz. Apelarea funcţiei se face cu:
• [AA, BB, Q, Z, V] = qz(A,B); pentru matricele pătrate A şi B, produce
matricele quasitriunghiulare superioare AA şi BB, matricele unitare Q şi
Z, astfel încât Q*A*Z = AA şi Q*B*Z = BB, şi matricea vectorilor
proprii generalizaţi, V.
Dacă matricele iniţiale, A şi B, sunt complexe, atunci AA şi BB sunt
triunghiulare.
Factorizarea unei matrice la forma Hessenberg, se realizează prin funcţia
hess. Forma Hessenberg a unei matrice are elementele de sub prima diagonală nule
şi aceleaşi valori proprii, ca matricea originală. Dacă matricea iniţială este

Algebră numerică liniară 161
simetrică sau hermitică, atunci matricea Hessenberg are formă tridiagonală. Se
apelează:
• H=hess(A) – aduce la forma Hessenberg, H, matricea iniţială A;
• [H,P]=hess(A) – calculează o matrice unitară P şi o matrice Hessenberg
H, astfel încât A = P*H*P' şi P'*P = eye(size(P)).
Dacă considerăm matricea X, de test a valorilor proprii, de 3 x 3,
X = [ -149 -50 -154 ; 537 180 546 ; -27 -9 -25 ]
forma Hessenberg are elementul (3,1) zero,
hess(X) = [ -149.0000 42.2037 -156.3165
-537.6783 152.5511 -554.9272
0 0.0728 2.4489 ]
Factorizarea unei matrice la forma Schur, se realizează cu funcţia schur.
Descompunerea Schur produce o matrice quasitriunghiulară T şi o matrice unitară
U, astfel încât, X = U*T*U' şi U'*U = eye(size(U)), în care matricea iniţială X,
trebuie să fie pătrată. Sintaxele de apelare sunt: [U,T] = schur(X), T = schur(X).
Pentru aceeaşi matrice X, de mai sus, descompunera Schur este:
schur(X) = [ 1.0000 7.1119 815.8706
0 2.0000 -55.0236
0 0 3.0000 ].
Pentru matricea X complexă, forma Schur este superior triunghiulară, cu
valorile proprii pe diagonală.
Transformarea matricei de ieşire de forma Schur, din reală în complexă,
pentru o matrice de intrare X reală, se face cu funcţia rsf2csf, apelată sub forma:
[U,T]=rsf2csf(U0,T0),
unde U0 şi T0 sunt matricele Schur iniţiale din [U0,T0]=schur(X), iar U, T
sunt cele finale, complexe, respectiv o matrice superior triunghiulară, cu valorile
proprii pe diagonală.
Aplicarea metodei celor mai mici pătrate la rezolvarea unui sistem de
ecuaţii liniare omogene, cu restricţii nenegative, se realizează în Matlab de către
funcţia lsqnonneg. Aceasta se apelează cu una dintre sintaxele:
• X=lsqnonneg(C,d), cu C şi d reale, care returnează un vector X, ce
minimizează norm(C*X-d), atunci când X >= 0;
• X=lsqnonneg(C,d,x0), utilizează x0 (x0>0) ca punct de plecare al soluţiei;
• X=lsqnonneg(C,d,x0,tol) utilizează o toleranţă impusă la aflarea soluţiei;
altfel aceasta este 10*max(size(C))*norm(C,1)*eps, cu eps=2.2204e-016.
Aplicarea metodei celor mai mici pătrate la rezolvarea unui sistem de
ecuaţii liniare omogene, cu covarianţă oarecare, se realizează în Matlab de către
funcţia lscov.
Aceasta se apelează cu una dintre sintaxele:

162
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
• X=lscov(A,B,V), returnează vectorul X, ca soluţie a ecuaţiei A*X=B+E,
unde E este o funcţie de distribuţie normală, cu media zero şi covarainţa V,
iar matricea A este de dimensiuni mxn, cu m>n, astfel încât, vectorul X
minimizează (A*X-B)'*inv(V)*(A*X-B) şi soluţia sistemului este dată de
X=inv(A'*inv(V)*A)*A'*inv(V)*B;
• [X,DX]=lscov(A,B,V), returnează erorile standard ale lui X în DX, erori
calculate cu relaţiile
mse=B'*(inv(V)-inv(V)*A*inv(A'*inv(V)*A)*A'*inv(V))*B./(m-n)
dx = sqrt(diag(inv(A'*inv(V)*A)*mse)).
7.5. Vectori şi valori proprii
În foarte multe aplicaţii, apar situaţii în care se pune problema
determinării acelor valori ale unei constante λ , pentru care există soluţii nebanale
ale unui sistem de ecuaţii liniar omogen, de forma:
a11 ⋅ x1
+ ... + a1
j ⋅ x j + ... + a1n
⋅ xn
= λ ⋅ x1
...........................................................
a ⋅ x + ... + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = λ ⋅ x
i1
1
ij
j
...........................................................
a ⋅ x + ... + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = λ ⋅ x
n1
1
nj
j
de n ecuaţii liniare cu n necunoscute, având matricea A simetrică.
in
nn
n
n
Dacă un vector x ≠ 0 are proprietatea că A ⋅ x = λ ⋅ x , se spune că x
reprezintă o direcţie proprie a transformării A, iar numărul λ (real sau complex),
este o valoare proprie a acestei transformări.
Denumirea de direcţie proprie a transformării este justificată prin aceea că,
dacă x satisface relaţia A ⋅ x = λ ⋅ x , aceeaşi proprietate o va avea orice vector k ⋅ x ,
unde k este un număr oarecare, real sau complex. Acest fapt este o consecinţă a
proprietăţilor transformării liniare, A ⋅( k ⋅ x) = k ⋅ A⋅
x = k ⋅λ
⋅ x = λ ⋅( k ⋅ x)
.
O astfel de problemă este cunoscută ca o problemă cu valori şi vectori
proprii. Valorile lui λ , pentru care există soluţii nebanale, se numesc valori
proprii sau caracteristice ale matricei A a coficienţilor sistemului, iar soluţiile
vectori corespunzătoare se cunosc sub denumirea de vectori proprii sau
caracteristici ai matricei A.
Forma matriceală a sistemului A ⋅ x = λ ⋅ x este echivalentă cu,
( A - λ ⋅ I) ⋅ x = 0
unde I, este matricea identitate, calculabilă în Matlab cu eye(A). Această matrice este
denumită uneori şi unitate, are toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1,
iar celelalte nule. Se mai notează şi cu [1] sau [e], având elementele,
i
n

Algebră numerică liniară 163
⎧0,
dacã i ≠ j
e ij = ⎨
⎩1,
dacã i = j
Acest sistem omogen posedă soluţii nebanale, dacă şi numai dacă,
determinantul matricei coeficienţilor se anulează, adică matricea A - λ ⋅ I este
singulară,
a − λ a ... a
A - λ ⋅ I = P
11
a
21 22
2n
( λ) =
= 0
a
...
n1
a
a
12
− λ
...
n2
Această condiţie necesită ca λ să fie o rădăcină a ecuaţiei algebrice de mai
sus, cunoscută sub denumirea de ecuaţie caracteristică a transformării A sau
ecuaţie seculară. Fiind de gradul n în λ , va avea n rădăcini, fie distincte, fie unele
dintre ele confundate. Aceste rădăcini sau soluţii λ 1 , λ2,...,
λn
, sunt valorile proprii
ale matricei sau transformării A. Polinomul P ( λ)
, se numeşte polinomul
caracteristic al transformării liniare A.
Corespunzător cu fiecare valoare proprie λ k , există cel puţin un vector
soluţie x k , a sistemului A ⋅ x = λ ⋅ x , determinat până la o constantă arbitrară.
În continuare, se enunţă principalele teoreme şi proprietăţi ale valorilor
proprii.
Dacă o transformare liniară A, are n direcţii proprii, reprezentate prin
vectorii u 1 , u2,...,
un
, liniar independenţi, aceşti vectori pot fi luaţi ca bază a
spaţiului, iar matricea transformării A, în această bază, va avea forma diagonală,
[ λ 1 ,0,..., 0 ; 0,
λ 2 ,..., 0 ; ... ; 0 ,0,...,λn
].
Reciproc, dacă matricea transformării A, în baza u 1 , u2,...,
un
, are formă
diagonală, atunci λ 1 , λ2,...,
λn
sunt valorile proprii, iar u 1 , u2,...,
un
reprezintă
direcţiile proprii corespunzătoare.
Dacă valorile proprii λ 1 , λ2,...,
λn
sunt distincte, direcţiile proprii
corespunzătoare sunt reprezentate prin vectorii u 1 , u2,...,
un
, liniar independenţi.
Valorile proprii ale unei transformări liniare autoadjuncte (hermitice), sunt
reale.
La două valori proprii distincte, ale unei transformări autoadjuncte,
corespund două direcţii proprii ortogonale.
Într-un spaţiu euclidian cu n dimensiuni (matricea A de nxn), o
transformare autoadjunctă (hermitică) are n direcţii proprii, ortogonale, două câte
două. Vectorii e 1 , e2
,..., en
, care reprezintă cele n direcţii proprii ale transformării
A, ortogonale două câte două, pot fi luaţi de lungime unitate,
...
...
...
a
a
nn
1n
...
− λ

164
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
( e e )
⎧0,
pentru i ≠ j
i , j = ⎨
. Drept consecinţă, matricea A, faţă de această bază are
⎩1,
pentru i = j
forma diagonală, [ λ 1 ,0,..., 0 ; 0,
λ 2 ,..., 0 ; ... ; 0 ,0,...,λn
].
Un caz particular de matrice hermitică îl formează matricele simetrice
reale. În acest caz, transformarea are n direcţii proprii ortogonale, două câte două şi
valorile proprii reale. Transformarea se va reprezenta printr-o matrice care poate fi
adusă la forma diagonală. Pe diagonala principală, în noua matrice, vor figura
valorile proprii, nu întotdeauna distincte.
Valorile proprii ale transformărilor unitare au modulul egal cu 1.
Orice transformare unitară într-un spaţiu euclidian cu n dimensiuni are n
direcţii proprii ortogonale, două câte două. Matricea transformării, raportată la
aceste direcţii, va avea formă diagonală.
În Matlab, calculul valorilor şi al vectorilor proprii ai unei matrice pătrate
se realizează cu funcţia eigs, care se apelează cu una dintre sintaxele:
• E=eigs(A) – returnează un vector E, care conţine valorile proprii ale
matricei pătrate A;
• [V,D]=eigs(A) – returnează o matrice diagonală D, care conţine valorile
proprii ale matricei A şi o matrice V, modală, ale cărei coloane sunt
vectorii proprii, astfel încât A*V = V*D;
• [V,D] = eigs(A,'nobalance') – returnează valorile şi vectorii proprii, fără a
executa o balansare, deoarece dacă matricea conţine elemente mici,
comparabile cu erorile de rotunjire, balansarea le scalează, făcându-le la
fel de semnificative ca celelalte elemente ale matricei originale şi, acest
fapt, ar conduce ,în final, la vectori proprii incorecţi.
În cazul matricelor nesimetrice de ordinul n, pentru care A T ≠A (sau în
Matlab A'≠A), dacă valorile proprii sunt distincte, atunci există n vectori proprii,
liniar independenţi asociaţi.
Dacă matricea are numai valori proprii de ordinul întâi (valorile proprii λ
sunt distincte), atunci vectorii proprii sunt independenţi. Dacă vectorii proprii nu
sunt independenţi, atunci matricea originală este neregulată.
Dacă valorile proprii ale unei matrice nesimetrice de ordin n nu sunt toate
distincte, atunci setul de vectori proprii asociaţi poate să nu fie de rang n. În cazul
în care vectorii proprii ai matricei A nesimetrice nu formează un set complet, este
totuşi posibil să găsim un set complet de alţi vectori, denumiţi vectori principali,
care împreună cu setul vectorilor proprii, vor determina un set complet de vectori.
Dacă multiplicitatea unei rădăcini este k, avem n-k+1 vectori proprii şi nu putem
găsi mai mult decât k-1 vectori principali independenţi.
Şi pentru matrice nesimetrice există întotdeauna o matrice Jordan, aproape
diagonală (având valoarea proprie multiplă λ k , pe diagonala principală şi 1, pe
diagonala adiacentă superioară).

Algebră numerică liniară 165
Dacă toate valorile proprii ale matricei A sunt pozitive, matricea A se
numeşte pozitiv definită. Invers, dacă toate valorile proprii ale matricei A sunt
negative, matricea A se numeşte negativ definită.
Valorile şi vectorii proprii generalizaţi determină soluţiile nebanale ale
ecuaţiei:
A ⋅ x = λ ⋅ B ⋅ x
unde A şi B sunt matrice pătratice de ordinul n, iar λ este un scalar.
Valorile lui λ , care satisfac ecuaţia, se numesc valori proprii generalizate
şi valorile x, corespunzătoare, sunt vectorii proprii generalizaţi.
Dacă B este o matrice nesingulară, det(B)≠0, adică matrice iversabilă,
problema calculului valorilor şi al vectorilor proprii se reduce la o problemă
standard de valori proprii, prin înlocuirea lui A cu B -1 *A, dearece ecuaţia este
echivalentă cu:
B -1 .A ⋅ x = λ ⋅ x .
Calculul vectorilor şi valorilor proprii generalizate se realizează cu funcţia
eig, apelată cu sintaxa:
• V=eig(A) – returnează un vector V, care conţine valorile proprii
generalizate;
• [V,D] = eig(A,B) produce o matrice diagonală D, care conţine valorile
proprii ale matricei A şi o matrice V, modală, ale cărei coloane sunt
vectorii proprii, astfel încât A*V = B*V*D;
• [V,D] = eig(A,B,'chol') – se aplică la matricele A, B, simetrice, utilizând
factorizarea Cholesky, pentru B;
• [V,D] = eig(A,B,'qz') – se aplică la matricele A, B, utilizând factorizarea
QZ.
De exemplu, considerând A=[ -2 1 0 ; 1 -2 1; 0 1 -2], atunci
[V,D]=eig(A), conduce la:
V = [ 0.500 -0.707 -0.500 ; -0.707 0.000 -0.707; 0.500 0.707 -
0.500]
D=[ -3.41 0 0; 0 -2.00 0 0 0 -0.59].
Pentru calculul valorilor proprii generalizate se utilizează funcţia eig, care
permite redarea unui set de şase valori proprii generalizate şi, în plus, se poate
utiliza şi în cazul matricelor mari şi/sau rare.
Transformarea matricelor de ieşire, V şi D, ale funcţiei eig(X), cu X real,
din forma complexă diagonală în forma reală, se realizează cu funcţia cdf2rdf,
apelată sub forma [V,D]=cdf2rdf(V,D). În forma complexă diagonală, matricea D
are valori proprii complexe sub diagonală. În formă reală, valorile proprii
complexe formează un bloc diagonal de 2 x 2.
Analiza inţială a acurateţei determinării valorilor proprii se realizează cu

166
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
funcţia balance, apelată cu:
[T,B] = balance(A),
unde T şi B sunt transformările de similaritate, astfel că B = T\A*T, şi normele pe linii
şi coloane să fie egale. Matricea T este o matrice diagonală de permutare.
Calculul valorilor singulare ale unei matrice se realizează cu funcţia svd,
fiind şi un mijloc sigur de determinare a rangului unei matrice. Funcţia svd se
apelează cu una dintre sintaxele:
• S1=svd(X), când se returnează un vector S1, care conţine valorile
singulare ale matricei X;
• [U,S,V]=svd(X), care returnează o matrice diagonală S, cu aceleaşi
dimensiuni ca X, având elementele diagonale nenegative (care sunt şi
valorile singulare), în ordine descrescătoare şi matricele unitare U şi V,
astfel încât X= U*S*V' ;
• [U,S,V]=svd(X,0), realizează un calcul mai rapid al valorilor singulare,
considerând, în cazul unei matrice X, de m x n, cu m>n, numai primele n
coloane, pentru U şi S de n x n.
Descompunerea în valori singulare a matricei X=[1 2;3 4;5 6;7 8] se poate
realiza cu
S1=svd(X) ; [U,S,V]=svd(X) ; [U0,S0,V0]=svd(X,0);
rezultând:
S1 = [ 14.2691 ; 0.6268];
U = [ -0.1525 -0.8226 -0.3945 -0.3800
-0.3499 -0.4214 0.2428 0.8007
-0.5474 -0.0201 0.6979 -0.4614
-0.7448 0.3812 -0.5462 0.0407 ]
S = [ 14.2691 0 ; 0 0.6268 ; 0 0; 0 0 ]
V = [ -0.6414 0.7672 ; -0.7672 -0.6414 ]
U0 = [ -0.1525 -0.8226 ; -0.3499 -0.4214 ; -0.5474 -0.0201; -0.7448
0.3812 ]
S0 = [ 14.2691 0 ; 0 0.6268 ] ; V0 = [ -0.6414 0.7672 ; -0.7672 -
0.6414 ]
Calculul valorilor singulare generalizate se realizează cu funcţia gsvd.
Funcţia gsvd se apelează cu relaţia
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B),
care returnează matricele unitare U şi V ale matricei, de regulă, pătrate X şi matricele
diagonale nenegative C şi S, astfel încât:
A = U*C*X'
B = V*S*X'
C'*C + S'*S = I.
Matricele A şi B trebuie să aibă acelaşi număr de coloane, dar pot avea

Algebră numerică liniară 167
număr de linii (rânduri) diferite. Dacă A este de m x p şi B de n x p, atunci U este
de m x m, V este de n x n şi X este de p x q, unde q=min(m+n,p).
Funcţia gsvd apelată SIGMA = gsvd(A,B) returnează vectorul valorilor
singulare generalizate, adică sqrt(diag(C'*C)./diag(S'*S)).
Pentru manipularea valorilor şi a vectorilor proprii ai unor matrice mari sau
rare, calculate cu eigs, se utilizează funcţia svds, în locul funcţiei svd.
Calculul coeficienţilor unui polinom, având date rădăcinile, se realizează
cu funcţia poly, care se apelează cu sintaxele:
• c=poly(r) – când returnează un vector linie, c, conţinând coeficienţii
polinomului, în ordinea descrescătoare a puterilor, iar r este un vector ce
conţine rădăcinile polinomului;
• c=poly(A) – returnează coeficienţii c, în ordinea descrescătoare, ai
polinomului caracteristic al matricei A, de tipul n x n .
Calculul coeficienţilor unui polinom, la care se cunosc valorile proprii, se
realizează cu funcţia polyeig.
Calculul numărului de condiţionare, ţinând seama de valorile proprii ale
unei matrice, se obţine cu funcţia condeig, care se apelează frecvent,
[V,D,s] = condeig(A)
care este echivalent cu: [V,D] = eig(A); s = condeig(A).
7.6. Funcţii de matrice
Exponenţiala unei matrice iniţiale ,X, se calculează cu funcţia expm.
Calculul se face utilizând aproximaţia Pade, iar apelarea cu Y=expm(X), Y fiind
matricea exponenţială a lui X. Dacă X are un set de vectori proprii V, cu valorile
proprii corespondente D, atunci:
[V,D]=eig(X)
expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V.
De menţionat că, exponenţiala unei matrice, funcţia expm(X), este
diferită de funcţia exp(X), care calculează element cu element.
Sunt disponibile trei variante de calcul:
• Y=expm1(X), care este identică cu expm, iar calculul se face cu
aproximaţia Pade;
• Y=expm2(X), la care calculul exponenţialei este cel clasic, prin serii
Taylor, dar carculul este lent şi cu erori;
• Y=expm3(X), calculul se efectuează prin intermediul vectorilor şi
valorilor proprii şi diagonalizare, dar poate da erori dacă matricea X nu
are un set de vectori proprii liniar independenţi.

168
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Considerăm matricea X= [ 1 1 0 ; 0 0 2 ; 0 0 -1 ]. Aplicând diversele
funcţii de calcul ale exponenţialei, obţinem:
exp(X) = [ 2.7183 2.7183 1.0000
1.0000 1.0000 7.3891
1.0000 1.0000 0.3679 ],
expm(X) = [ .7183 1.7183 1.0862
0 1.0000 1.2642
0 0 0.3679 ].
Pentru acest caz, toate varianteleexpm1, expm2, expm3, conduc la acelaşi
rezultat.
Logaritmul unei matrice ,X, se calculează cu funcţia logm(X) şi este inversa
funcţiei expm(X). Dacă X are valori proprii negative, atunci rezultatul este complex.
Dacă logaritmul matricei nu se calculează cu suficientă precizie, se dă un mesaj de
eroare. Pentru a evita mesajul de eroare, se preferă apelarea funcţiei sub forma,
[L,esterr] = logm(A),
care returnează eroarea reziduală egală cu norm(expm(L)-A)/norm(A).
Dacă X este real simetrică sau hermitică complexă, atunci are log(X).
Unele matrice, ca de exemplu A=[0 1 ; 0 0], nu au logaritm, nici real şi nici
complex şi, prin urmare, funcţia log(A) nu returnează nimic.
Pentru majoritatea cazurilor,
logm(expm(X)) = X = expm(logm(X)).
Calculele se efectuează după algoritmul Parlett, care utilizează
descompunerea (factorizarea) Schur.
Radicalul unei matrice A este calculat de funcţia sqrtm. Apelată sub
forma X=sqrtm(A), aceasta calculează radicalul matricei A, astfel încât X*X = A.
Matricea X este unică, dacă valorile proprii ale părţii reale nu sunt negative. Dacă o
valoare proprie a părţii reale este negativă, atunci rezultatul este complex.
Dacă matricea A este singulară, aceasta poate să nu aibă matrice radical şi,
în acest caz, se dă un mesaj de eroare. Apelată cu două argumente, [X,
RESNORM] = sqrtm(A), nu dă nici un mesaj de eroare, ci returnează reziduu
norm(A-X^2,'fro')/norm(A,'fro').
Apelată cu trei argumente de ieşire,
[X, ALPHA, CONDEST] = sqrtm(A),
returnează factorul de stabilitate, ALPHA şi numărul de condiţionare, CONDEST, al
matricei. Reziduu norm(A-X^2,'fro')/norm(A,'fro') este aproximat de N*ALPHA*EPS,
iar norma relativă Frobenius, a erorii lui X este aproximată de
N*ALPHA*CONDEST*eps, unde N = max(size(A)).
Funcţia generală de evaluare a unei matrice, A, este funm şi este apelată
sub forma:
F=funm(A,fun),
unde fun poate fi expm, logm, sqrtm sau o altă funcţie internă, ca de exemplu sin,
introdusă ca funcţie handler, @.