11. calcule numerice cu polinoame - Sisteme de Programare pentru ...

11. CALCULE NUMERICE CU POLINOAME
11.1. Polinoame. Funcţii raţionale.
Funcţiile elementare sunt funcţii relativ simple, cu care se construiesc
majoritatea funcţiilor compuse întâlnite în aplicaţii.
Polinomul este cea mai simplă funcţie elementară, cu o singură variabilă şi
poate fi exprimat prin următoarea formă generală:
P
n+
1
n+
1−i
n
n−1
k
2
( x)
= ∑ Ai
⋅ x = A1
⋅ x + A2
⋅ x + L + Ak
⋅ x + L+
An−1
⋅ x + An
⋅ x + An+
1
i=
1
unde x este variabila, reală sau complexă, iar A i, sunt coeficienţii polinomului, reali
sau complecşi.
Polinomul este o funcţie olomorfă (derivabilă) pe orice domeniu mărginit.
În Matlab, polinoamele sunt reprezentate printr-un vector linie, care conţine
coeficienţii în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei, având indicii de la 1 la
n-1, cum se observă şi din relaţia de mai sus.
De exemplu, reprezentarea Matlab a polinomului,
4
3
p1
= 2 ⋅ x + 3⋅
x + 4 ⋅ x + 5⋅
x + 6 + 2⋅i
este dată de vectorul,
p1=[2 3 4 5 6+2i ].
1
2
Se numeşte funcţie raţională un cât de două polinoame,
n
n−1
k
P(
x)
A1
⋅ x + A2
⋅ x + L + Ak
⋅ x + L+
An
−1
⋅ x
R( x)
= =
p
p−1
k
Q(
x)
B ⋅ x + B ⋅ x + L+
B ⋅ x + L+
B ⋅ x
2
k
p−1
2
2
+ A
n
+ B
p
⋅ x + A
⋅ x + B
În particular, dacă Q(x) este de gradul zero, R(x) se reduce la un polinom,
deci şi polinomul este o funcţie raţională. Se spune că polinomul este o funcţie
raţională întreagă.
Presupunem că polinoamele P(x) şi Q(x) nu au rădăcini comune, deci fracţia
R(x) este ireductibilă.
Fie a, b, ..., l, rădăcinile polinomului Q(x) şi α , β , L , λ , ordinele lor de
multiciplitate. Polinomul Q(x), poate fi descompus în factori sub forma,
α
β
λ
Q ( x) = B1
⋅( x − a) ⋅( x − b) ⋅L ⋅ ( x − l) ; α + β + L+
λ = p
şi atunci funcţia R(x),
n
n−1
P(
x)
A1
⋅ x + A2
⋅ x + L+
An+
1
R( x)
= =
,
Q(
x)
B ⋅( x − a) α ⋅( x − b) β ⋅L⋅( x − l) λ
1
este definită pentru orice x, de modul finit, cu excepţia punctelor a, b, ..., l, în care
numitorul ia valoarea zero.
n+
1
p+
1

Calcule numerice cu polinoame 243
În orice domeniu mărginit, funcţia raţională nu are alte singularităţi decât
punctele în care numitorul ia valoarea zero, puncte în care funcţia nu este definită.
Aceste singularităţi, de fapt rădăcinile polinomului de la numitor, sunt poli, care, în
cazul de mai sus, sunt a, b, ..., l. Ordinul de multiciplitate al fiecărui pol este egal
cu ordinul de multiciplitate al rădăcinii respective, care, în cazul de mai sus, sunt
α , β , L , λ .
Funcţiile raţionale nu au alte singularităţi în tot planul, inclusiv în punctul de
la infinit, decât poli.
11.2. Operaţii cu polinoame
Cum polinomul este o funcţie elementară, pentru două polinoame P1(x) şi
P2(x), sunt valabile operaţiile de la funcţii, respectiv:
suma a două polinoame este tot un polinom, P(x)=P1(x)+P2(x);
diferenţa a două polinoame este tot un polinom, P(x)=P1(x)-P2(x);
produsul a două polinoame este tot un polinom, P(x)=P1(x) x P2(x);
câtul a două polinoame este tot un polinom, P(x)=P1(x) : P2(x).
Operaţiile aritmetice de adunare şi scădere a polinoamelor presupun
adunarea şi scăderea coeficienţilor de acelaşi ordin.
Esenţial, pentru a opera cu polinoame în Matlab, este faptul ca polinoamele
să aibă acelaşi ordin, adică lungimea vectorilor coeficienţilor să fie aceeaşi. Din
această cauză, polinomului cu grad mai mic i se vor completa coeficienţii cu zero.
Dacă, de exemplu,
4 3 2
3 2
p 1 ( x) = 2 ⋅ x + 3⋅
x + 4⋅
x + 1, p2 ( x) = 2 ⋅ x + 3⋅
x + 2⋅
x ,
polinomul sumă este,
4 3 2
p s ( x) = p1 ( x) + p2
( x) = 2⋅
x + 5⋅
x + 7 ⋅ x + 2⋅
x + 1 ,
iar polinomul diferenţă este,
4 3 2
p d ( x) = p1 ( x) − p2
( x) = 2 ⋅ x + x + x − 2⋅
x + 1.
În Matlab, pentru a opera vectorii corespunzători lui p1 şi p2 sunt:
p1 = [ 2 3 4 0 1]; p2= [0 2 3 2 0 ];
astfel încât să poată să se efectueze,
ps = p1+p2 = [ 2 5 7 2 1 ] şi pd = p1-p2 = [ 2 1 1 -2 1 ].
Înmulţirea sau împărţirea unui polinom cu un scalar constă în mutiplicarea
coeficienţilor acestuia cu un scalar, respectiv în înmulţirea unui vector, al
coeficienţilor polinomului cu scalarul respectiv.
Prin urmarea pentru a înmulţi polinomul P cu scalarul k, pentru a obţine
polinomul P k , adică:
n+
1
P ( x)
= k ⋅ ∑ A ⋅ x
k
i=
1
i
n+
1−i
=
n+
1
∑( k ⋅ A )
i=
1
i
⋅ x
n+
1−i

244
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
se înmulţesc numai coeficienţii polinomului cu scalarul k.
Deoarece asupra scalarului k nu s-a făcut nici o restricţie, putem presupune că
1
acesta este de forma k = şi prin urmare, operaţia de înmulţire cu k este identică
r
cu operaţia de împărţire a polinomului P(x) la r.
În Matlab, înmulţirea polinomului p1 cu k=3, pentru a obţine polinomul p3,
se scrie:
p1 = [ 2 3 4 0 1]; k=3; p3 = k*p1 = [6 9 12 0 3 ],
1 1
iar înmulţirea cu k = = , respectiv împărţirea la r=5, se scrie:
r 5
p1 = [ 2 3 4 0 1]; k=1/5; p3 = k*p1 sau p3 = p1 / r = [0.4 0.6 0.8 0 0.2].
Înmulţirea a două polinoame, u ( x)
, v( x)
este echivalentă unei operaţii de
convoluţie.
Funcţia ce realizează convoluţii (multiplicări) de polinoame este conv, care
se apelează cu sintaxa, w = conv(u,v) şi convoluţionează vectorii u şi v.
Dacă m = length (u) şi n = length (v), atunci w, este un vector de lungime
m+n-1, al cărui element k ,este:
w( k)
= ∑ u(
j)
v(
k + 1−
j)
j
Suma este pentru toate valorile lui j, ceea ce conduce la indici permişi pentru
u( j ) şi v(k+1-j), mai precis j = max(1,k+1-n): min(k,m). Când m=n , rezultă:
w(1) = u(1)*v(1)
w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)
w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)
...
w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ ... +u(n)*v(1)
...
w(2*n-1) = u(n)*v(n)
Apelarea practică, în Matlab, pentru a înmulţi polinomul p1 cu polinomul p2,
pentru a obţine polinomul pm se face cu secvenţa,
p1 = [ 2 3 4 0 1]; p2= [0 2 3 2 0 ]; pm=conv(p1,p2),
obţinând,
pm = [0 4 12 21 18 10 3 2 0 ]
p m x ,
ceea ce corespunde, matematic, polinomului ( )
7 6 5 4 3 2
( x) = p ( x) ⋅ p ( x) = 4 ⋅ x + 12⋅
x + 21⋅
x + 18⋅
x + 10⋅
x + 3⋅
x + 2⋅
x
p m
1
2
Conform teoremei împărţirii cu rest a două polinoame, oricare ar fi
polinoamele, u şi v ≠ 0 , există polinoamele unice, q şi r, astfel încât,
u = v ⋅ q + r, grad r < grad v ,
Polinomul u se numeşte deîmpărţit, v împărţitor, q cât şi r rest.

Calcule numerice cu polinoame 245
Împărţirea sau divizarea a două polinoame este echivalentă unei operaţii de
deconvoluţie, pentru care în Matlab, se utilizează funcţia deconv, care se apelează
cu sintaxa:
[q, r] = deconv (v,u),
care realizează deconvoluţia vectorilor u şi v (se împarte v la u), folosind o divizare
prelungită. Câtul este restituit într-un vector q, iar restul ca un vector r, adică: v =
conv (u, q) +r.
Dacă u şi v sunt vectori cu coeficienţi polinomiali, a face convoluţia celor doi
este echivalent cu a înmulţi cele două polinoame, iar deconvoluţia este împărţirea
polinoamelor. Rezultatul împărţirii lui v la u este câtul q şi restul r.
Pentru,
u = [1 2 3 4] ; v = [10 20 30];
convoluţia este,
c = conv(u,v) = [ 10 40 100 160 170 120 ].
Pentru a ajunge din nou la u, se utilizează deconvoluţia,
[q,r] = deconv(c,u)
rezultând,
q = [ 10 20 30 ], r = [ 0 0 0 0 0 0]
adică un cât egal cu q=v şi un rest r egal cu zero.
11.3. Evaluarea polinoamelor
Evaluarea polinoamelor este strâns legată de evaluarea funcţiilor. La funcţii,
evaluarea se poate face într-un punct, lucrând cu scalari sau în mai multe puncte,
lucrând vectorial sau cu tablouri.
3 2
Lucrând scalar, evaluarea polinomului f ( x)
= 2 ⋅ x + x + 3⋅
x + 1, pentru
x=2, se realizează cu secvenţa Matlab:
x=2; f=2*x^3+x^2+3*x+1;
rezultând f=27.
În cazul lucrului cu tablouri, ce constituie specificitatea Matlab, programul se
execută mai rapid decât ansamblul calculelor pentru fiecare valoare scalară în
parte, dar, în acest caz, sintaxa evaluării presupune plasarea unui punct înaintea
operatorilor înmulţire, împărţire sau ridicare la putere. Dimensiunea matricei în
care se returnează valorile polinomului este identică cu cea a matricei care conţine
punctele în care se face evaluarea. Secvenţa de evaluarea a polinomului f(x), pentru
x=[-2 -1 0 1 2 3], în acest caz este:
x = [-2 -1 0 1 2 3]; f = 2.*x.^3+x.^2+3.*x+1;
rezultând, f = [-17 -3 1 7 27 73 ].
De menţionat că punctele de evaluare x pot să aparţină unui interval, fiind
distribuite uniform pe acesta şi astfel, polinomul se evaluează pe un interval, a-b,
cu pasul dorit, x = a:pas:b.

246
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Special pentru evaluarea polinoamelor se utilizează funcţia polyval, care se
apelează cu una dintre sintaxele:
• y = polyval (p, x) restituie valoarea unui polinom de grad n evaluat la x,
argumentul de intrare p este un vector de lungime n+1, ale cărui elemente
sunt coeficienţii în ordine descrescatoare a puterilor polinomului ce este
evaluat, iar x poate fi o matrice sau un vector şi atunci, funcţia polyval
evaluează p la fiecare element a lui x;
xˆ
= x − µ µ în locul lui x, calculat
• y = polyval (p, x, [], mu) foloseşte ( 1 ) / 2
funcţie de µ 1 = mean (x) şi µ 2 = std (x), funcţia calculând opţional şi
parametrii de centrare şi de gradare mu = [µ 1, µ 2 ] ;
• [y, delta] = polyval (p, x, S) şi [ y, delta] = polyval (p, s, S, mu) folosesc
structura de ieşire opţională S, generată de polyfit pentru a produce erorile
estimate, y ± delta; dacă erorile din datele de intrare ale funcţiei polyfit
sunt independente, cu o variaţie constantă, atunci y ± delta conţine cel
puţin 50 % din anticipări.
Pentru evaluarea polinomului ( ) 2 1
utilizează secvenţa,
p = [3 2 1]; v=polyval(p,[5 7 9]),
rezultând,
v = [ 86 162 262].
p x = 3x
2 + x + , în punctele x = 5, 7, 9 se
Evaluarea unei matrice polinomiale se face cu funcţia polyvalm, care se
apelează:
• Y = polyvalm (p, X) calculează un polinom în sensul unei matrice, fiind
acelaşi lucru cu a substitui matricea X, în polinomul p.
Matricele Pascal sunt formate din triunghiul Pascal al coeficienţilor
binomiali. Mai jos, este prezentată o matrice Pascal de ordinul 4,
X = pascal(4) ; X = [ 1 1 1 1 ; 1 2 3 4 ; 1 3 6 10 ; 1 4 10 20 ],
la care polinomul său caracteristic poate fi produs cu funcţia poly,
p = poly(X) ; p = [ 1 -29 72 -29 1 ],
4 3 2
care reprezintă polinomul x − 29x
+ 72x
− 29x
+ 1
De menţionat că matricea Pascal are o proprietate specială şi anume, aceea că
vectorul coeficienţilor unui polinom caracteristic este “palindromic”, adică este la
fel şi înainte şi înapoi.
Calcularea acestui polinom, matricea Pascal, element cu element, nu este
foarte important, dar calculul în sensul unei matrice este important, conducând la o
matrice cu toate elementele zero şi aceasta este verificarea teoremei Cayley-
Hamilton, ce spune că o matrice satisface propria sa ecuaţie caracteristică.

Calcule numerice cu polinoame 247
11.4. Calculul rădăcinilor sau al coeficienţilor
polinomului când se cunosc rădăcinile
Prin definiţie, un număr α ∈C
se numeşte rădăcină a polinomului P(x),
dacă şi numai dacă P ( α ) = 0 . Numărul α se numeşte rădăcină multiplă de ordinul
P , dacă şi numai dacă ( − ) p
p 1
divide pe P, iar ( )
p a polinomului ( x)
≠ 0
x α
x −α
nu-l divide pe P. Dacă p=1, rădăcina se numşte simplă, iar dacă p=2 ea se numeşte
rădăcină dublă.
Pentru un polinom oarecare, P(x), calculul rădăcinilor este echivalent cu
rezolvarea ecuaţiei P(x)=0. Dacă polinomul P(x) este de gradul n, atunci va avea n
rădăcini, care pot fi reale sau complexe.
Atunci când coeficienţii polinomului sunt numere reale, rădăcinile complexe
sunt perechi de numere complexe conjugate. Orice polinom de grad impar are cel
puţin o rădăcină reală. Numărul rădăcinilor reale simple este egal cu numărul de
variaţii de semn ale şirului lui Rolle, al polinomului P. Şirul lui Rolle se
construieşte punând în ordine crescătoare de la − ∞ la + ∞ , rădăcinile derivatei
'
polinomului, P , inclusiv punctele de la infinit.
Determinarea rădăcinilor polinomului se face, în Matlab, cu funcţia roots,
care se apelează cu sintaxa,
r = roots(c)
în care c, este vectorul coeficienţilor polinomului, iar r, vectorul conţinând
rădăcinile polinomului. Vectorul coeficienţilor polinomului, c, conţine coeficienţii
unui polinom, ordonaţi în ordine descrescatoare a puterilor. Dacă c are n+1
n
componente, polinomul pe care îl reprezintă este de forma: c
1
s + ... + cns
+ cn+
1
.
De exemplu, polinomul:
3 2
s − 6⋅
s − 72 ⋅ s − 27
este reprezentat în MATLAB prin vectorul,
c = [1 -6 -72 -27]
Rădăcinile acestui polinom sunt restituite într-un vector coloană, astfel:
r = roots(p)
r = 12.1229
-5.7345
-0.3884.
Dacă se cunosc rădăcinile unui polinom, atunci determinarea coeficienţilor
se face cu funcţia Matlab poly, care se apelează cu sintaxa c = poly(r), r fiind
vectorul, rădăcini ale polinomului, iar c fiind vectorul, coeficienţii polinomului.
Apelată cu sintaxa,
p = poly (A)
+

248
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
unde A este o matrice de n x n, ce restituie un vector rând ale cărui n+1 elemente
sunt coeficienţii polinomului caracteristic, det ( s ⋅ I − A)
. Coeficienţii sunt ordonaţi
în ordinea descrescătoare a puterilor; dacă un vector c, are n+1 componente,
n
polinomul pe care îl reprezintă este c
1
s + ... + cns
+ cn+
1
.
Matlab afişează polinoamele ca vectori rând, conţinând coeficienţii ordonaţi
descrescător, în funcţie de puteri. Ecuaţia caracteristică a matricei:
A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0 ],
este restituită într-un vector rând de funcţia p = poly(A), rezultând,
p = [ 1 -6 -72 -27 ]
Rădăcinile acestui polinom sunt restituite într-un vector coloană de funcţia
roots,
r = roots(p),
rezultând r = [ 12.1229 ; -5.7345 ; -0.3884 ].
Funcţiile roots şi poly sunt funcţii reciproce, care realizează trecerea de la
coeficienţii polinomului, la rădăcini sau de la rădăcini la coeficienţii polinomului.
Pentru ca cele două funcţii să fie reciproce, este necesar ca valoarea coeficientului
celui mai mari puteri să fie 1.
Pentru a exemplifica aceasta se consideră polinomul,
4 3 2
P ( x)
= x + 2 ⋅ x − 4⋅
x + 3⋅
x + 5 .
Rădăcinile polinomului sunt aflate cu secvenţa de instrucţiuni,
C = [ 1 2 -4 3 5]; r = roots(C),
rezultând r = [ -3.3345 ; 1.0410 + 0.9605i ; 1.0410 - 0.9605i ; -0.7474].
Revenirea la coeficienţii polinomului se face prin, C1=poly(r), obţinându-se:
C1 = [1.0000 2.0000 -4.0000 3.0000 5.0000 ] identic cu C.
Evaluând polinomul P(x), definit de vectorul C, al coeficienţilor, în punctele
definite de rădăcinile r, cu secvenţa V=polyval(C,r) se obţine V= [ 0 0 0 0 ], ceea
ce confirmă faptul că r, sunt rădacinile polinomului.
11.5. Reziduuri
Dacă z=a este un pol sau un punct singular izolat al funcţiei f(z), într-o
coroană circulară ε < z − a < R , cu ε > 0 arbitrar de mic, funcţia f(z) este
olomorfă, cu atât mai mult dacă f(z) este de forma unui polinom. Fie Γ , un cerc cu
centrul în a şi de rază ρ , conţinut în această coroană circulară, ε < ρ < R .
1
Prin definiţie, valoarea integralei ∫ Γ
f ( z)
d z înmulţită cu se numeşte
2π ⋅i
reziduul funcţiei f(z), relativ la polul sau punctul singular esenţial izolat z=a, şi se
1
notează rez f ( a)
, adică rez f ( a)
= ∫ Γ
f ( z)
dz
. În loc de reziduul relativ la
2π
⋅ i

Calcule numerice cu polinoame 249
punctul a, se mai spune uneori reziduul în punctul a.
Reziduul unei funcţii f(z), relativ la punctul a, se poate obţine întotdeauna din
dezvoltarea în serie Laurent în jurul punctului a, fie că acesta este un pol al
funcţiei, fie că este un punct singular esenţial izolat. Seria Laurent a funcţiei f(z)
este,
+∞
k 1 f
( )
( ς )
f ( z)
= ∑ck
⋅ z − a , cu ck
= ∫ dζ
, k = 0, ± 1, ± 2, L.
Γ k+
1
k=−∞
2π
⋅i
ζ − a
( )
Dacă k=-1, rezultă rez f ( a)
= c−1
, unde c -1 este coeficientul lui
1
z − a
dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f(z) în jurul punctului a.
Calculul reziduului relativ la un pol se poate face şi pe alte căi.
Dacă a este un pol al funcţiei f(z) şi p este ordinul său de multiciplitate,
conform definiţiei polului, funcţia ( z) = ( z − a) p ⋅ f ( z)
şi ϕ ( z) ≠ 0 , iar reziduul devine:
⎧ 1 ϕ( z)
1 p−1
1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) p
( )
⎪ ∫ dz
= ϕ a = z - a f z
p
2π
⋅i
− p −1 ! p −1 !
rez f ( a)
=
z a
⎨
⎪
1 ϕ( z)
p
∫ dz
= ϕ( a) = [( z - a) f ( z)
]
Γ z=
a
,
⎪2π
⋅i
( z − a)
din
ϕ are în z=a un punct ordinar
[ ]
Γ z=
a
p-1
, p > 1
.
p = 1
⎩
După cum rezultă din relaţia de mai sus, pentru calculul reziduului este
necesară simplificarea cu z-a, care uneori poate fi dificilă.
De aceea, se preferă ca f(z) să se scrie ca un cât de două funcţii, g(z) şi h(z),
g(
z)
olomorfe într-o vecinatate a punctului a, respectiv f ( z)
= .
h(
z)
Funcţia Matlab, residue, transformă câtul polinoamelor într-o reprezentare a
reziduurilor polilor şi înapoi. Aceasta se poate apela cu una dintre sintaxele:
• [r,p,k] = residue(b,a) găseşte reziduurile, polii şi termenii direcţi ai unei
dezvoltări parţiale, a unei fracţii, a unui raport între cele 2 polinoame, b(z)
şi a(z), de forma
b
a
m m−1
m−2
( z)
b1
z + b2
z + b3z
+ L+
bm+
1
=
n n−1
n−2
( z) a1z
+ a2
z + a3z
+ L+
an+
1
, unde b j şi a j
sunt elementele de ordinul j ale vectorilor de intrare b şi a, iar r este
vectorul coloană al reziduurilor, p este vectorul coloană al polilor şi k este
vectorul linie al termenilor liberi;
• [b,a] = residue(r,p,k) returnează coeficienţii polinoamelor b şi a,
numărător şi numitor, al căror raport are rezidurile r, polii p, şi termenii
liberi k.
Dacă nu există poli multipli, atunci:

250
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
( z)
( z)
b r1 r2
rn
= + + ... + + k( z)
,
a z − p1
z − p2
z − pn
şi numărul de poli n este n = length(a)-1 = length(r) = length(p).
Coeficientul termenului liber este nul dacă length(b) < length(a), iar în caz
contrar, acesta are dimensiunea: length(k) = length(b)-length(a)+1.
Dacă p(j) = …= p (j+m-1) este un pol cu gradul de multiplicitate m, atunci
dezvoltarea va include şi termenii de forma
r
j
z − p
j
+
r
j+ 1
j+
m−1
2
( z − p ) ( z − p ) m
j
r
+ ... + .
Pentru calculul efectiv, se obţin mai întâi polii cu ajutorul funcţiei roots.
Apoi, dacă fracţia nu este corespunzătoare, este găsit termenul direct k, folosind
funcţia deconv, care realizează o divizare polinomială. În cele din urmă,
reziduurile sunt determinate calculând polinomul cu rădăcinile individuale găsite.
Pentru rădăcini care se repetă, funcţia residue apelează funcţia internă resi2, care
calculează reziduurile în locurile în care acestea se găsesc.
Din punctul de vedere al calculului numeric, dezvoltarea parţială a unei
fracţii a unui polinom reprezintă o problemă pusă greşit. Dacă polinomul de la
numitor a(z), este în apropiere de un polinom cu mai multe rădăcini, atunci
schimbări minore, inclusiv erori întâmplătoare, pot să provoace schimbări majore
în polii şi reziduurile calculate.
Pentru exemplificarea modului de lucru a funcţiei residue, se consideră
fracţia a două polinoame, exprimată astfel:
3 2
b( z)
5z
+ 3z
− 2z
+ 7
=
.
3
a( z) − 4z
+ 8z
+ 3
Prin urmare, b=[ 5 3 -2 7], a=[-4 0 8 3] şi atunci [r,p,k]=residue(b,a), conduce
la: r = [ -1.4167 ; -0.6653 ; 1.3320], p = [ 1.5737; -1.1644; -0.4093], k = -1.25.
Aplicând transformarea inversă, [b,a] = residue(r,p,k), se obţine,
b = [ -1.25 -0.75 0.50 -1.75], a = [ 1.00 -0.00 -2.00 -0.75 ],
3
2
b(
z)
−1.25⋅
z − 0.75⋅
z + 0.50 ⋅ z −1.75
iar rezultatul poate fi exprimat ca: =
.
3
a(
z)
z − 2.00⋅
z − 0.75
11.5.1. Utilitare pentru funcţii de transfer
Modelul de stare liniar, sub formă vectorială, a unui sistem dinamic este:
⎧ x& ( t)
= A⋅
x + B ⋅u(
t)
⎨
⎩y(
t)
= C ⋅ x + D ⋅u(
t)
unde: A – matricea de stare; B – matricea stare intrare; C – matricea stare ieşire; u –
perturbaţia; t – timpul.
Transformarea parametrilor unui sistem dinamic în funcţie de transfer se
realizează cu ss2tf, care se apelează cu sintaxa:
j

Calcule numerice cu polinoame 251
[N,D] = ss2tf(A,B,C,D,iu),
unde vectorul N, conţine coeficienţii numărătorului, iar vectorul D, coeficienţii
numitorului, în ordinea descrescătoare a puterilor.
Funcţia ss2tf transformă sistemul dinamic,
⎧ x& = A⋅
x + B ⋅u
⎨
⎩y
= C ⋅ x + D ⋅u
în funcţia de transfer H,
N(
s)
−1
det( s ⋅ I − A + B ⋅C) − det( s ⋅ I − A)
H ( s)
= = C(
s ⋅ I − A)
⋅ B + D =
.
D(
s)
det s ⋅ I − A
( )
Funţia tf2ss realizează transformarea inversă şi se apelează cu sintaxa:
[A,B,C,D] = tf2ss(N,D).
Transformarea unui sistem într-o funcţie de transfer de tip „z”, zero-poli,
z(
s)
( s − z1
)( s − z2
) L( s − zn
)
H ( s)
= = k
p(
s)
( s − p1
)( s − p2
) L( s − pn
)
se face cu funcţia ss2zp, care se apelează,
[z,p,k] = ss2zp(A,B,C,D,u).
Funţia zp2ss realizează transformarea inversă şi se apelează cu sintaxa:
[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k)
Transformarea funcţiei parametrilor în poli-zerouri, respectiv din forma,
n−1
b(
s)
b1
⋅ s + L+
bn
−−1
⋅ s + bn
H ( s)
= =
m−1
a(
s)
a1
⋅ s + L+
am−−1
⋅ s + am
în forma,
z(
s)
( s − z1
)( s − z2
) L( s − zn
)
H ( s)
= = k
p(
s)
s − p s − p L s − p
( )( ) ( )
se realizează cu funcţia tf2zp, care se apelează cu sintaxa:
[z,p,k] = tf2zp(b,a)
1
2
Transformarea inversă este realizată de funcţia zp2tf, care se apelează cu
sintaxa:
[b,a] = zp2tf(z,p,k).
11.6. Derivata unui polinom
Polinomul, fiind cea mai comună funcţie, este derivabil într-un punct x 0 , dacă
limita,
f ( x)
− f x0 '
lim
( ) = f ( x)
,
x→x0
x − x
0
n

252
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
există în R şi este finită.
Funcţia Matlab, polyder, returnează derivatele unui polinom şi se poate
apela cu una dintre sintaxe:
• D = polyder (C), unde C este vectorul linie al coeficienţilor polinomului,
în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei, iar D este vectorul linie al
coeficienţilor polinomului derivat;
• D = polyder (A, B), returnează în vectorul D(x), derivatele produsului
'
A( x)
⋅ B(
x)
, astfel ca D ( x)
= ( A(
x)
⋅ B(
x)
) = A′
( x)
⋅ B(
x)
+ A(
x)
⋅ B′
( x)
;
• [M, N] = polyder (A, B), returnează în vectorii M şi N, coeficienţii
A(
x)
numărătorului şi numitorului derivatei raportului polinoamelor ,
B(
x)
'
'
M ( x)
⎛ A(
x)
⎞ A ( x)
⋅ B(
x)
− A(
x)
⋅ B ( x)
respectiv, =
2
N(
x)
⎜ =
B(
x)
⎟
.
⎝ ⎠ ( B(
x))
Pentru calculul derivatei polinomului P(x)=x 3 +2x 2 +3x+4, secvenţa Matlab
este:
P=[1 2 3 4] ; D=polyder(P),
obţinându-se D=[3 4 3], respectiv polinomul P ’ (x)=3x 2 +4x+3.
2
2
Derivata produsului ( 3⋅ x + 6 ⋅ x + 9) ⋅ ( x + 2 ⋅ x)
este obţinută cu secvenţa:
a = [3 6 9]; b = [1 2 0]; k = polyder(a,b),
3 2
rezultând k = [ 12 36 42 18 ], care reprezintă polinomul12x + 36x
+ 42x
+ 18 .
Integrarea polinomului din punct de vedere analitic se face cu funcţia
polyint, care se poate apela:.
• polyint(p,k) restituie un polinom reprezentând integrala polinomului p,
folosind o constantă scalară de integrare, k;
• polyint (p), presupune constanta de integrare k = 0.