Clasa a VIII-a. Fişă de lucru. Axiomele geometriei în spaţiu

CLASA a VIII-a, FIŞĂ DE LUCRU
AXIOMELE GEOMETRIEI ÎN SPAŢIU, POZIŢII RELATIVE
✎ prof. Marius Damian, Brăila
I. Pentru testul de evaluare, trebuie să cunoaşteţi:
‚ axiomele geometriei în spaţiu; determinarea dreptei; determinarea planului;
‚ poziţii relative ale dreptelor în spaţiu; unghiul a două drepte în spaţiu;
‚ poziţii relative ale unei drepte faţă de un plan; dreaptă paralelă cu un plan;
‚ poziţii relative ale planelor în spaţiu; plane paralele; teoreme de paralelism.
II. Completaţi spaţiile punctate pentru a obţine propoziţii adevărate:
1. Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan, atunci . . . . . .
2. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecţia lor este . . . . . .
3. Două drepte coplanare care nu se intersectează se numesc . . . . . .
4. Numărul tuturor feţelor unei prisme hexagonale este . . . . . .
5. Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de intersecţia a . . . . . .
III. Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor următoare.
1. Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan, atunci dreapta dată este paralelă cu
planul sau este inclusă în acesta. A F
2. Vârfurile unui tetraedru sunt patru puncte coplanare. A F
3. Printr-un punct din spaţiu trece o singură dreaptă. A F
4. Dacă două drepte concurente ale unui plan sunt respectiv paralele cu două drepte concurente
dintr-un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele. A F
5. Cubul are 8 muchii. A F
IV. Relativ la paralelipipedul dreptunghic de mai jos, alegeţi răspunsul corect.
1. Punctele D, C, B 1 sunt: a) necoliniare; b) necoplanare; c) coliniare.
2. Dreptele AB şi DD 1 sunt: a) concurente; b) paralele; c) necoplanare.
3. Dreapta CC 1 şi planul pA 1 ABq sunt: a) paralele; b) secante; c) în situaţia CC 1 Ă pAA 1 Bq.
4. Planele pABCDq şi pA 1 B 1 C 1 D 1 q sunt: a) identice; b) paralele; c) secante.
5. Planele pA 1 ADq şi pD 1 C 1 Cq sunt: a) identice; b) paralele; c) secante.
1

V. Relativ la cubul de mai jos, demonstraţi cerinţele date.
1. A 1 B 1 ‖ pBCDq; 2. EF ‖ pABA 1 q; 3. D 1 E ‖ pBA 1 C 1 q; 4. pBCB 1 q ‖ pD 1 DA 1 q; 5. pBA 1 C 1 q ‖ pD 1 ACq.
VI. Desenaţi cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 şi calculaţi: 1. mp?AA 1 , DCq; 2. mp?AC, B 1 D 1 q;
3. mp?AD 1 , BCq; 4. mp?AC, A 1 Bq; 5. mp?BD 1 , ACq.
VII. Dreptunghiul ABCD de centru P şi pătratul ABEF de centru S sunt situate în plane
diferite, ca în figura de mai jos. Se ştie că AB “ 6 cm, AD “ 6 ? 3 cm şi mp?F ADq “ 120˝.
1. Calculaţi mp?F B, CDq. 2. Calculaţi mp?EB, ADq. 3. Calculaţi mp?EF, BDq.
4. Demonstraţi că EF ‖ pSDCq. 5. Demonstraţi că P S ‖ pEF DCq.
VIII. Rezolvaţi în detaliu următoarele probleme.
1. Punctele M, N, P sunt mijloacele muchiilor rABs, rACs şi respectiv rADs ale tetraedrului
ABCD. a) Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul pBCDq. b) Demonstraţi că planele
pMNP q şi pBCDq sunt paralele. c) Calculaţi raportul ariilor triunghiurilor MNP şi BCD.
2. Pătratul ABCD de centru O şi triunghiul CDE sunt situate în plane diferite. Unghiul CDE
este drept, iar punctele M şi N sunt mijloacele laturilor rCEs şi respectiv rDEs. a) Calculaţi măsura
unghiului dintre dreptele BC şi MN. b) Arătaţi că dreapta AE este paralelă cu planul pMNOq.
3. Fie tetraedrul ABCD cu DB “ DC. Bisectoarea unghiului ADB intersectează rABs în E şi
bisectoarea unghiului ADC intersectează ADC intersectează rACs în F. Arătaţi că dreapta EF este
paralelă cu planul pBCDq.
4. Fie tetraedrul ABCD şi punctele G 1 , G 2 , G 3 centrele de greutate ale triunghiurilor DAB, DBC
şi respectiv DCA. Demonstraţi că: a) pG 1 G 2 G 3 q ‖ pABCq; b) △G 1 G 2 G 3 „ △ABC. c) Calculaţi
raportul ariilor triunghiurilor G 1 G 2 G 3 şi ABC.
5. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare şi M P rABs. Paralelele duse prin M la dreptele BD
şi respectiv AC intersectează segmentele rADs şi rBCs în punctele N şi respectiv S. Dacă P, Q, R sunt
mijloacele segmentelor rMNs, rASs şi respectiv rDSs, arătaţi că pP QRq ‖ pACDq.
2