Download File

FIŞĂ CU TEORIE PENTRU CLASA a VI-a
ÎNĂLŢIMEA
✎ prof. Marius Damian, Brăila
Definiţia 1. Segmentul care uneşte un vârf al unui triunghi cu piciorul perpendicularei
coborâte din acel vârf pe dreapta-suport a laturii opuse se numeşte înălţime în triunghi.
În figura 1, este desenată înălţimea [AD] corespunzătoare laturii [BC].
Figura 1
Observaţie. Orice triunghi are trei înălţimi.
Teorema 1. (Concurenţa înălţimilor.) Dreptele-suport ale înălţimilor unui triunghi
sunt concurente.
Demonstraţie. Fie △ABC şi H punctul de intersecţie a înălţimilor corespunzătoare laturilor
[AB] şi [AC]. Construim paralela prin A la dreapta BC, paralela prin B la dreapta AC
şi paralela prin C la dreapta AB. Fie M, N, P punctele în care acestea se intersectează două
câte două, ca în figura 2.
Figura 2
Din P A ‖ BC deducem că ∢P AB ≡ ∢ABC, iar din P B ‖ AC obţinem ∢P BA ≡ ∢BAC.
1

Deducem astfel că △P AB ≡ △CBA (U.L.U.), deci
[P A] ≡ [BC] şi [P B] ≡ [AC]. (1)
Asemănător, avem △NAC ≡ △BCA, ceea ce conduce la
[NA] ≡ [BC] şi [NC] ≡ [AB] (2)
şi △MBC ≡ △ACB, de unde
[MB] ≡ [AC] şi [MC] ≡ [AB]. (3)
Relaţiile (1), (2) şi (3) ne spun că punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [P N], [P M]
şi respectiv [MN].
În continuare, din BH ⊥ AC şi AC ‖ P M, deducem că BH ⊥ P M, deci BH este mediatoarea
laturii [P M]. Analog, CH este mediatoarea laturii [MN]. Prin urmare, H este centrul
cercului circumscris triunghiului MNP. Atunci AH este mediatoarea laturii [P N], deci
AH ⊥ P N şi cum P N ‖ BC, rezultă că AH este înălţime în △ABC. Am demonstrat astfel că
înălţimile triunghiului ABC sunt concurente.
Observaţie. Punctul de intersecţie a înălţimilor triunghiului se numeşte ortocentru şi se
notează, de obicei, cu H.
În figurile 3, 4 şi 5 sunt prezentate poziţiile posibile ale ortocentrului:
• dacă triunghiul este ascuţitunghic, atunci H se află în interiorul triunghiului (figura 3);
• dacă triunghiul este dreptunghic, atunci H se află în vârful unghiului drept (figura 4);
• dacă triunghiul este obtuzunghic, atunci H se află în exteriorul triunghiului (figura 5).
Figura 3 Figura 4 Figura 5
2