Neliniarități ale comportamentului materialelor

Capitolul 3
NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR
- I -
3.1. Tipuri de neliniarităţi de material
Multe materiale au un comportament liniar elastic, ceea ce înseamnă că tensiunile
sunt proporţionale cu deformaţiile specifice. Când structura este încărcată până la o valoare
a tensiunii inferioară limitei de curgere şi apoi descărcată, aceasta revine la starea de
referinţă (tensiune şi deformaţie specifică nule). Acest comportament, numit elastic, este
descris de legea lui Hooke în cazul materialelor cu comportament liniar.
Anumite materiale au un comportament elastic neliniar. De exemplu, cauciucul este
un material al cărui comportament este guvernat de o lege tensiune-deformaţie specifică
prezentată în figura 3.1,a. Se constată că la încărcarea de la starea de referinţă O la o stare
oarecare A tensiunile nu cresc proporţional cu deformaţiile specifice. La descărcare
materialul revine la starea iniţială, urmând aceeaşi curbă.
Există şi materiale care, la descărcare, deşi revin la starea de referinţă, nu parcurg
acelaşi traseu ca la încărcare (Fig.3.1,b). Acest comportament, caracterizat de histerezis,
este asociat unei disipări de energie.
Comportamentul descris în figura 3.1,c este numit elasto-plastic. Plecând din starea
de referinţă O, tensiunea creşte până în starea A, depăşind limita de curgere σ c . Înlăturând
gradual sarcina, se observă că relaţia dintre tensiuni şi deformaţii specifice este liniară
(dreapta AB, paralelă cu curba iniţială). Dacă se aplică din nou sarcina, este parcurs mai
întâi traseul BA.
a) b) c)
Fig.3.1
3.2. Calculul neliniar elastic
Se admit următoarele ipoteze:
relaţia dintre tensiuni - σ şi deformaţii specifice – ε este neliniară (Fig.3.1,a);
relaţia dintre sarcina P şi deplasarea U este de asemenea neliniară (fig.3.2);
deplasările structurii sunt mici;
structura se consideră un sistem conservativ.

Având în vedere ipotezele de mai sus, rezultă următoarele consecinţe:
• ecuaţiile de echilibru static se exprimă în raport cu poziţia iniţială a structurii;
• rigiditatea structurii depinde de nivelul forţelor exterioare, respectiv de nivelul
eforturilor (este necesar să se definească rigiditatea secantă şi rigiditatea
tangentă a elementelor şi a structurii în ansamblu);
• soluţia problemei se obţine, ca şi în cazul neliniarităţilor geometrice, utilizând
un calcul în cicluri, corectând rigiditatea structurii la începutul fiecărui ciclu pe
baza rezultatelor din ciclul anterior;
• de regulă nu este posibilă suprapunerea de efecte (există unele excepţii, de
exemplu în cazul metodelor incrementale, cu condiţia ca forţele să varieze
funcţie de un singur parametru).
Fig.3.2
OBSERVAŢIE: Există diferite expresii analitice care încearcă să aproximeze relaţia
σ-ε pe întreg domeniul de variaţie. Dintre acestea, mai des utilizate sunt următoarele:
Curba exponenţială:
σ
n = E ⋅ ε , (3.1)
unde n este un parametru care poate fi sub- sau supraunitar;
Curba Ramberg-Osgood (curba celor trei parametri):
⎛ r− 1
σ
⎞
⎜ σ
ε =
⎟
⎜
1 + a
E σ ⎟
,
c
⎝
⎠
(3.2)
Curba Ylinen
E
⎛ ⎞
= c − ( − c ) c ln σ
ε σ 1 σ
⎜ 1 −
⎟ , (3.3)
⎝ σ c ⎠
În (3.1) şi (3.2) a, r , c şi σ c sunt parametri care definesc curbele.
3.3. Calculul neliniar elasto-plastic
3.3.1. Generalităţi
Cercetările experimentale au pus în evidenţă faptul că în structurile reale, în anumite
secţiuni, tensiunile depăşesc limita de curgere a materialului iar deformaţiile nu mai sunt
elastice.
În general, deformaţiile corpurilor solide sunt compuse dintr-o deformaţie
elastică (reversibilă) şi una remanentă (ireversibilă). În consecinţă, la descărcare
structura revine doar parţial la starea iniţială.
2

Producerea unor astfel de situaţii este determinată de mai mulţi factori, dintre care cei
mai importanţi sunt următorii:
• concentrări de tensiuni în elementele structurii, în special în secţiunile de
îmbinare a acestora;
• erori de execuţie;
• depăşiri ale sarcinilor nominale estimate în calcul;
• încărcări dinamice care nu s-au considerat în calcul;
• cedări în reazeme;
• variaţii de temperatură.
Fenomenul de curgere locală a materialului are ca efect producerea unor degradări
locale (fisuri, striviri de material, deformaţii mari etc.), situaţii care însă nu au ca efect
pierderea capacităţii portante a structurii. Înseamnă că structurile reale au o rezervă de
rezistenţă în raport cu limitele stabilite prin calculul în domeniul elastic, conferită atât
de configuraţia structurii cât şi de comportarea elasto-plastică a materialului.
Teoria plasticităţii se ocupă cu metodele de calcul al tensiunilor şi al
deformaţiilor corpurilor, după ce o parte a corpului (sau tot corpul) a intrat în curgere.
Este necesar, la fel ca şi în Teoria elasticităţii, să se stabilească ecuaţii de echilibru şi de
compatibilitate a deformaţiilor.
Cea mai dificilă problemă în plasticitate este cea a descrierii condiţiilor la limită în
cazul curgerii plastice atunci când numai o parte a corpului a intrat în curgere, în timp ce
restul corpului are încă deformaţii elastice, deformaţiile plastice şi cele elastice fiind de
acelaşi ordin de mărime. Pentru cazurile când deformaţiile plastice sunt mari în comparaţie
cu cele elastice, interesează în special schimbarea dimensiunilor corpului.
Cercetările privind deformaţiile plastice ale structurilor se pot clasifica în trei domenii
diferite:
Studiul deformaţiilor plastice la temperatură constantă, independente de timp. În
acest caz se presupune că deformaţiile se produc instantaneu.
Studiul deformaţiilor plastice la temperaturi ridicate, dependente de timp, care
fac obiectul disciplinei numită reologie. Aici au fost dezvoltate modelele
termoplasticităţii şi viscoplasticităţii. În această categorie sunt incluse şi studiile de
fluaj şi de relaxare a tensiunilor.
Studiul deformaţiilor plastice ţinând seama de viteza de aplicare a sarcinilor
(impact, sarcini explozive, propagarea undelor în medii elasto-plastice), care fac
obiectul Teoriei dinamice a plasticităţii.
Din punct de vedere al aplicaţiilor Teoriei plasticităţii trebuie subliniate două moduri de
abordare a problemelor de deformare elasto-plastică:
1. În cazul proiectării structurilor este necesar să se estimeze sarcina
maximă pe care o poate suporta o structură, fără să existe pericolul
producerii unei curgeri excesive.
2. În cazul proceselor tehnologice de deformare a metalelor este necesar
să se poată modela deformaţii plastice mari, necesare schimbării formei.
Având în vedere aceste aspecte, teoriile plasticităţii se pot împărţi în două categorii:
Teoria deformaţiilor elasto-plastice, având la bază ecuaţiile care leagă
tensiunile şi deformaţiile specifice;
3

Teoria curgerii plastice, care are la bază ecuaţiile care leagă tensiunile şi
viteza de deformare.
3.3.2. Starea de tensiune şi de deformaţie într-un punct al unui mediu continuu
Teoriile plasticităţii sunt elaborate pe baza noţiunilor de tensiuni principale,
deformaţii specifice principale şi viteze principale de lungire. De aceea este necesar să
se facă o scurtă trecere în revistă a unor elemente fundamentale privind starea de tensiune
şi de deformaţie a corpurilor deformabile.
Aşa cum s-a arătat în Cap.1, starea de tensiune dintr-un punct al unui corp (Fig.3.3,a)
poate fi definită de şase componente distincte ale tensorului tensiunilor (Fig.3.3,b) care se
pot scrie sub formă unui vector
T
{ σ } = { σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx } . (3.4)
În cazul în care se consideră sistemul principal de axe (direcţiile principale fiind
normalele la planele pe care tensiunile tangenţiale sunt nule–Fig.3.3,c), vectorul tensiunilor
devine:
{ σ } T = { σ 1 σ 2 σ 3 0 0 0 } . (3.5)
Tensiunile principale sunt soluţiile ecuaţiei
3 2
σ − I1σ
+ I2σ
− I3
= 0 , (3.6)
unde I 1 , I 2 , I 3 sunt invarianţii stării spaţiale de tensiune şi au expresiile:
I 1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 ;
2 2 2
I 2 = σ xσ
y + σ y σ z + σ z σ x − τ xy − τ yz − τ zx = σ 1σ
2 + σ 2σ
3 + σ 3σ
1 ; (3.7)
σ
σ
x xy xz 1
I 3 = τ xy σ y τ yz = 0 σ 2 0 = σ 1σ
2σ
3 .
τ
xz
τ
τ
yz
τ
σ
z
0
0 0 σ
0
3
a) b) c)
Fig.3.3
Pe lângă tensiunile principale se definesc şi tensiunile normale principale reduse:
si = σ i − σ m ( i = 1 , 2,
3)
(3.8)
unde σ m este tensiunea normală medie
( σ 1 + σ 2 + σ 3 )
σ m =
. (3.9)
3
Este evident că s 1 + s2
+ s3
= 0 .
4

Tensiunile tangenţiale principale (care acţionează pe plane care conţin fiecare una
din direcţiile principale şi împart în părţi egale unghiul dintre celelalte două)
( σ − σ ) ( σ − σ ) ( σ − σ )
τ
2 3
3 1 1 2
1 = ; τ 2 = ; τ 3 =
2
2
2
, (3.10)
sunt legate între ele prin identitatea
τ 1 + τ 2 + τ 3 = 0 . (3.11)
Un rol important în teoria plasticităţii îl are aşa numita intensitate a tensiunilor
tangenţiale:
2 2 2 1 2 2 2 1
2
2
2
( τ 1 + τ 2 + τ 3 ) = ( s1
+ s2
+ 3 ) = [( σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 ) ]
2
S = s
3
2
6
(3.12)
Starea de deformaţie dintr-un punct al unui corp este determinată dacă se cunosc
cele şase componente ale vectorului deformaţiilor specifice (trei deformaţii specifice
liniare şi trei lunecări specifice);
T
{ ε } = { ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx } . (3.13)
Raportat la direcţiile principlale, vectorul deformaţiilor specifice este
{ ε } T = { ε 1 ε 2 ε 3 0 0 0 } . (3.14)
medie
Pe lângă deformaţiile specifice principale ε 1 , ε 2 , ε 3 se defineşte lungirea specifică
( ε + ε + )
1 2 ε
ε
3
m =
, (3.15)
3
reprezentând 1/3 din deformaţia volumică specifică
∆ V
ε V = = ε 1 + ε 2 + ε 3 . (3.16)
V 0
Analog cu studiul tensiunilor, se pot considera lungirile principale reduse
ei = ε i − ε m ( i = 1 , 2,
3)
, (3.17)
care satisfac identitatea evidentă
e 1 + e2
+ e3
= 0 . (3.18)
Lunecările specifice principale sunt:
( ε 2 − ε 3 ) ( ε 3 − ε 1 ) ( ε 1 − ε 2 )
γ 1 = ; γ 2 = ; γ 3 = , (3.20)
2
2
2
care satisfac condiţia
γ 1 + γ 2 + γ 3 = 0 . (3.21)
Intensitatea deformaţiei de lunecare este
2 2 2 1 2 2 2 1 2
2
2
( γ 1 + γ 2 + γ 3 ) = ( e1
+ e2
+ 3 ) = [( ε 1 − ε 2 ) + ( ε 2 − ε 3 ) + ( ε 3 − ε 1 ) ]
2
E = e
3
2
5
6
(3.22)

Planul a cărui normală este egal înclinată faţă de direcţiile principale se
numeşte plan octaedral (Fig.3.4).
Ţinând seama că intre cosinusurile directoare ale normalei la plan (l,m,n) există
1
relaţia 2 2 2
l + m + n = 1 , rezultă valorile cosinusurilor directoare l = m = n = .
3
Fig.3.4
Pe acest plan tensiunea normală şi cea tangenţială au valorile:
- tensiunea normală octaedrală
( σ + σ + σ )
1
σ oct =
= σ
3
- tensiunea tangenţială octaedrală
2
3
2 2 2
( τ + τ + ) S
m ; (3.23)
2 2
τ oct = 1 2 τ 3 = . (3.24)
3
3
6