Neliniarități ale comportamentului materialelor (V)

Capitolul 3
NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR
-V-
3.7. Solicitări simple ale barelor în domeniul elasto-plastic
3.7.1 Întinderea sau compresiunea în domeniul plastic
Deorece relaţia utilizată pentru calculul barelor solicitate la întindere-compresiune
N
σ = , (3.54)
A
a fost dedusă acceptând ipoteza secţiunii plane (ipoteza lui Bernoulli), aceasta rămâne
valabilă şi pentru cazul depăşirii limitei de elasticitate.
În cazul barelor cu concentratori de tensiune, când ipoteza lui Bernoulli nu este
valabilă nici în domeniul elastic, solicitarea poate fi elasto-plastică (Fig. 3.17,a) sau, la limită,
total plastică (Fig. 3.17,b).
a) b)
Fig.3.17
În cazul relaţiilor pentru calculul deplasărilor apar diferenţe faţă de cele din domeniul
elastic, chiar şi în absenţa concentratorilor de tensiune.
Astfel, în cazul unui material cu ecruisare (curba caracteristică schematizată din
fig.3.8,a), pentru σ > σ c este valabilă relaţia (3.31), astfel încât rezultă că lungirea barei este
∆ l =
⎛
⎞ ⎛
⎞ Nl
l ⎜
σ − σ c ⎟
c l cl⎜
1 1
ε = ε +
= σ − ⎟ + . (3.55)
⎜ E ⎟ ⎜
p E E ⎟
⎝
⎠ ⎝ p ⎠
E p A
Se poate observa că în cazul materialelor ideal elasto-plastice ( E p = 0 ) lungirea
barei în domeniul plastic nu are o valoare determinată. Înseamnă că bara solicitată peste
limita de curgere, dacă este menţinută sub sarcină, se lungeşte continuu. În realitate această
lungire are o valoare finită, fiind limitată de apariţia fenomenului de ecruisare, de care nu s-a
ţinut cont la adoptarea schematizării.

3.7.2. Încovoierea elasto-plastică a barelor
Se admit următoarele ipoteze:
• Bara este solicitată la încovoiere pură ( în secţiunea transversală a barei forţa
tăietoare este nulă);
• Secţiunea transversală a barei are cel puţin o axă de simetrie (se admite că
aceasta este axa verticală z);
• Forţele care solicită bara sunt conţinute în planul de simetrie;
• Materialul barei se comportă identic la tracţiune şi la compresiune;
• Este valabilă ipoteza lui Bernoulli.
Pentru solicitarea în domeniul elastic, distribuţia de tensiuni este cea din Fig.3.18,a
(liniară), conform relaţiei lui Navier,
σ =
M y
z .
I y
(3.56)
În fibra cea mai depărtată de axa neutră (axa neutră trece prin centrul de greutate al
secţiunii) tensiunea maximă este
σ max =
M y M y
zmax
= .
I y Wy
(3.57)
Solicitarea este elastică până când tensiunea maximă atinge valoarea limitei de
curgere ( σ max = σ c ). În acest caz, momentul încovoietor are valoarea
M e,max
= Wyσ
c . (3.58)
Pentru M > M e, max solicitarea este elasto-plastică (Fig.3.18,b) sau total plastică
(Fig.3.18,c). Se poate constata că axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate al
secţiunii. Când solicitarea secţiunii este total plastică se spune că în acea secţiune s-a
format o articulaţie plastică. Momentul încovoietor atinge în acest caz o valoare limită , M lim ,
dincolo de care bara nu mai poate fi încărcată, toate fibrele ei fiind intrate în curgere.
a) b) c)
Fig.3.18
Ecuaţiile de echivalenţă statică între eforturi şi tensiuni conduc la următoarele două
relaţii care permit determinarea poziţiei axei neutre şi, respectiv, expresia momentului
încovoietor:
∫
σ dA = N = 0
; (3.59)
A
∫ σ z dA = M y . (3.60)
A
2

I. Solicitarea elasto-plastică ( M e,max
< M < M lim )
a) Materiale cu ecruisare liniară (E p ≠0)
Se constată că în secţiunea transversală a barei (Fig.3.18,b) se formează trei zone, două
deformate plastic, cu ariile A 1p şi A 2p , şi o zonă elastică, cu înălţimea 2 ze
.
Observaţie: Se atribuie indicele 1 zonei plastice întinse şi indicele 2 zonei plastice
comprimate.
În relaţiile (3.59) şi (3.60), tensiunea normală are expresiile:
- pentru z ≤ ze
:
σ
z
= σ c ; z e
(3.61)
- pentru z > ze
[ σ + ( ε − ε ) ]
⎡
⎛ σ
⎞ ⎤
⎡ ⎛
⎞
⎤
= ±
= ± ⎢ +
= ± ⎢ ⎜
⎟
⎜ c z σ
E p E
−
c
p z
σ c E p c σ c E p
⎟ ⎥ σ c
1 −
+
⎥ . (3.62)
⎣
⎝ Eze
E ⎠
⎦
⎢⎣
⎝ E ⎠ E ze
⎥⎦
Poziţia axei neutre rezultă înlocuind (3.61) şi (3.62) în relaţia (3.59):
=
⎡ ⎛ E p ⎞ E p z ⎤
z
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ 1 ⎟
⎥ +
− ⎢ ⎜ 1 ⎟
−
+
∫
E p
∫ σ d A ∫ σ c
d A ∫ σ c d A σ c
−
+
⎢⎣
⎝ E ⎠ E ze
⎥⎦
z
⎢⎣
⎝ E
A
A e
⎠
A
1p
e
A2
p
Înlocuind (3.61) şi (3.62) în (3.60), se obţine expresia momentului încovoietor:
E p
E
z ⎤
⎥ d A =
ze
⎥⎦
0
M y
=
∫
σ zd A =
A
⎡⎛
= ∫ σ c ⎢⎜
1 −
⎢
A ⎣⎝
1p
E p ⎞
⎟ +
E
⎠
E p
E
z ⎤
⎥ zd A +
ze
⎥⎦
∫
σ c
Ae
2
z
d A −
ze
⎡⎛
∫ σ c ⎢⎜
1 −
A ⎢
p
⎣⎝
2
E p ⎞
⎟ +
E
⎠
E p
E
z ⎤ .
⎥ zd A
ze
⎥⎦
Se introduc notaţiile:
• A 1p
; A 2 p - ariile zonelor solicitate plastic;
•
S1p
= ∫ z dA; S2
p = ∫ z dA
- momentele statice ale zonelor plastice,
A1
p
A2
p
calculate în raport cu axa neutră;
•
Se
= ∫ z dA
- momentul static faţă de axa neutră al zonei elastice;
A e
•
2
2
Iy1
p = ∫ z dA; Iy2
p = ∫ z dA
- momentele de inerţie ale zonelor plastice,
A1
p
A2
p
în raport cu axa neutră;
•
2
Iye
= ∫ z dA
- momentul de inerţie, faţă de axa neutră, al zonei elastice;
Ae
• Wy e =
Iye
- modulul de rezistenţă al zonei elastice.
ze
3

Cu aceste notaţii rezultă:
Poziţia axei neutre
⎛ E p ⎞
E p
z e ⎜ 1 ⎟
−
( A1 p − A2
p ) + ( S1p
− S2
p ) + Se
= 0 ; (3.62)
⎝ E ⎠
E
Expresia momentului încovoietor
( Iy − Iy )
⎡ ⎛ E p ⎞
E p 1p
2 p
⎤
M y = σ c ⎢ ⎜
⎟
1 −
( S1p
− S2
p ) +
+ Wye
⎥ . (3.63)
⎢⎣
⎝ E ⎠
E ze
⎥⎦
b) Materiale ideal elasto-plastice (E p =0)
În cazul acestor materiale, pentru
Din (3.62) şi (3.63) rezultă
z > ze
distribuţia tensiunilor este σ c
σ = .
Poziţia axei neutre
( A − A ) + S 0
z e 1 p 2 p e = ; (3.64)
Expresia momentului încovoietor
[( S − S ) + Wy ] = [ S Wy ]
M y = σ c 1 p 2 p e σ c p + e . (3.65)
S-a notat cu
S p suma valorilor absolute ale momentelor statice ale zonelor solicitate
plastic, calculate faţă de axa neutră (de reţinut că S 2 p < 0 ).
II. Solicitarea total plastică (articulaţia plastică : M = M lim )
În cazul în care secţiunea este solicitată în întregime plastic Wye
şi
relaţiile (3.64) şi (3.65), rezultă:
S e sunt nule. Din
Poziţia axei neutre
A1 p − A2
p = 0 ⇒ A1
p = A2
p ; (3.66)
Expresia momentului încovoietor
M lim = σ cS
p . (3.67)
Caz particular - Secţiuni cu două axe de simetrie
Pentru bare din material ideal elasto-plastic (Ep=0) având secţiunea cu două axe de
simetrie (Fig. 3.19), ariile zonelor solicitate plastic sunt egale ( A1 p = A2
p ) şi din (3.64)
rezultă S e = 0 , ceea ce înseamnă că axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii şi
în cazul solicitării elasto-plastice.
Momentul încovoietor se determină cu relaţia (3.65), unde S p reprezintă dublul
momentului static al uneia dintre zonele solicitate plastic, calculat faţă de axa neutră
(centrală).
4

Modul cum se modifică distribuţia de tensiuni pe măsura creşterii sarcinii aplicate se
prezintă în Fig.3.20:
a) solicitare elastică σ max < σ c ;
b) solicitare elastică limită σ max = σ c ;
c) solicitare elasto-plastică ( vezi şi Fig.3.19);
d) solicitarea total plastică (articulaţia plastică).
Se constată că în toate aceste cazuri axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii.
Fig.3.19
Fig.3.20
În cazul articulaţiei plastice, momentul încovoietor limită se calculează cu relaţia
(3.67), în care S p este dublul momentului static al unei jumătăţi de secţiune în raport cu axa
neutră.
IV. Tensiuni remanente
Fie o porţiune de bară solicitată la încovoiere pură (Fig. 3.21,a), dintr-un material cu
Ep=0. În cazul solicitării elasto-plastice distribuţia de tensiuni este cea din Fig.3.21,b.
Se pune problema determinării tensiunilor remanente din bară, după descărcare, deci
după îndepărtarea sarcinilor exterioare.
Descărcarea barei este echivalentă cu aplicarea unui moment încovoietor egal şi de
sens contrar. La descărcare, materialele solicitate elasto-plastic se comportă liniar, ca şi cum
materialul s-ar comporta elastic până la o tensiune σ max > σ c .
În cazul barei studiate, se consideră că la aplicarea momentului de sens contrar
distribuţia tensiunilor este ca în Fig. 3.21, c unde σ max > σ c .
Distribuţia tensiunilor remanente se obţine suprapunând cele două diagrame şi are
forma din Fig. 3.21, d . Valorile extreme ale tensiunilor remanente au expresiile:
M
⎛ W
⎞
⎜ e + S p
σ ′ = σ − = − =
− 1⎟
max σ c
σ c σ c
; (3.68)
W
⎜
⎟
y
⎝
Wy
⎠
z ⎛ + ⎞
′′
e
⎜
2z
We
S
e p
σ = σ −
= −
⎟
c
σ max σ c 1
. (3.69)
h / 2
⎜
⎟
⎝
h Wy
⎠
Fig.3.21
5

3.7.3 Răsucirea elasto-plastică
Se consideră bare drepte, de secţiune axial-simetrică (circulară sau inelară), la care
este valabilă ipoteza secţiunii plane, solicitate la răsucire. Prin similtudine cu încovoierea
elasto-plastică se poate arăta că distribuţia tensiunilor tangenţiale în lungul razei este
asemenea curbei caracteristice a materialului (Fig.3.22).
Se consideră doar materiale ideal elasto-plastice (schematizarea lui Prandtl), la care
curba caracteristică este de forma prezentată în Fig. 3.22,c, cu un traseu liniar până la limita
de curgere τ c , urmat de o porţiune cu modul de plasticitate nul. Momentul de răsucire M t
se aplică static.
În cazul solicitării elastice ( t M t 1
M = ), distribuţia de tensiuni este cea din Fig.3.22,a,
tensiunea tangenţială variind liniar cu raza r. Valoarea maximă se atinge pe contur (la
r = R = d / 2 ) şi are valoarea
M t
τ max = 1
. (3.70)
W p
S-a notat cu W p modulul de rezistenţă polar al secţiunii transversale, având valorile :
- pentru secţiunea circulară, cu diametrul d:
3
π d
W p = ; (3.71)
16
- pentru secţiunea inelară:, cu diametrul exterior d e şi cel interior d i:
(
4
de
−
4
d
W
i
p = )
π . (3.72)
16de
Când M t = M t 2 tensiunea tangenţială maximă devine egală cu limita de curgere la
răsucire τ c . Dacă momentul de răsucire creşte peste această valoare ( M t2 < M t < M t4
),
solicitarea este elasto-plastică, diagrama de variaţie a tensiunilor tangenţiale având aspectul
din Fig.3.22,c. S-a notat cu a raza zonei elastice.
Expresiile tensiunilor sunt:
- pentru r ≤ a :
r
τ = τ c ; (3.73)
a
- pentru a < r < R :
τ = τ c . (3.74)
Din ecuaţia de echivalenţă statică între tensiuni şi momentul de răsucire, rezultă:
M t
=
∫
A
τ rdA
(3.75)
Cum
dA = 2π
rdr
, înlocuind în (3.75) relaţiile (3.73) şi (3.74), rezultă:
a
R
⎛ 3 3
r
⎞
⎜ R a
M = =
⋅ + ⋅ =
− ⎟
t M t ∫ τ r 2 rdr ∫ r 2 rdr 2
3 c π
τ c π
π τ c
a
⎜
⎟
⎝
3 12
0
a
⎠
. ………….(3.76)
Cu cât momentul de răsucire este mai mare cu atât raza zonei centrale, solicitată
elastic, este mai mică.
Bara îşi pierde capacitatea portantă când toată secţiunea intră în curgere ( a = 0 ).
Momentul de răsucire corespunzător este:
6

M t lim
3 3
R π d
= M t = 2π τ c = τ
4
c
(3.77)
3 12
Fig.3.22
Tensiunile remanente la răsucire se calculează în acelaşi mod ca la încovoiere,
considerând că descărcarea este echivalentă cu aplicarea unui moment de răsucire egal şi
de sens contrar celui iniţial, sub acţiunea căruia se produc tensiuni elastice. Prin
suprapunerea diagramelor corespunzătoare încărcării şi descărcării (Fig.3.23) se pot calcula
tensiunile remanente, ale căror valori extreme sunt:
τ
a
′ = τ max − τ c ; τ ′′
= τ c − τ max . (3.78)
R
Fig.3.23
7