ASPECTE NELINIARE ÎN MODELAREA CU ELEMENTE FINITE ...

11.
ASPECTE NELINIARE ÎN MODELAREA CU ELEMENTE FINITE.
DEPLASĂRI MARI, NELINIARITĂłI DE MATERIAL ŞI CONTACT
Categorii de probleme neliniare
Toate fenomenele din domeniul mecanicii solidului deformabil sunt neliniare. Din fericire, sunt
numeroase situaŃiile ivite în practica inginerului mecanic sau constructor, în care, pentru obŃinerea
unor soluŃii aproximative satisfăcătoare, se acceptă ipoteze care duc la o formulare liniară a problemei
reale, sau, altfel spus, la un model liniar elastic. În majoritatea unor astfel de cazuri, erorile soluŃiei
problemei liniar elastice sunt relativ mici faŃă de soluŃia exactă a problemei neliniare.
Analiza unei structuri ca problemă neliniară, când este cazul, se justifică prin obŃinerea unor
rezultate mai precise, conforme cu realitatea, în acest caz fiind valorificate – de obicei - “rezervele” de
rezistenŃă ale structurii.
Calculul în regim liniar elastic îndeplineşte următorele condiŃii:
- relaŃiile dintre tensiuni şi deformaŃii specifice sunt liniare;
- deformaŃiile specifice sunt mici;
- deplasările sunt mici;
- există o dependenŃă liniară între deplasări şi sarcini;
- eforturile nu sunt funcŃii de deplasări;
- ecuaŃiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată rămân valabile şi pentru structura
deformată;
- este valabil principiul suprapunerii efectelor.
Trebuie remarcat faptul că uneori unele din condiŃiile enumerate sunt consecinŃe ale altora, ca, de
exemplu, dacă primele trei condiŃii sunt îndeplinite, atunci, de regulă, există liniaritate între deplasări şi
sarcini. Dar această situaŃie nu este generală, fiind numerose excepŃiile întâlnite, ca, de exemplu, cazul
arcurilor elicoidale conice sau al structurilor cu frecări puternice în reazeme. ExistenŃa frecărilor în
reazeme poate duce la încălcarea principiului suprapunerii efectelor.
În sensul cel mai general, se consideră că o problemă de mecanica solidului deformabil este
neliniară, când cel puŃin una din condiŃiile enumerate nu este îndeplinită.
Sunt cazuri în care abordarea unor probleme neliniare ale analizei structurilor mecanice deformabile
nu mai poate fi evitată, ca, de exemplu:
- Structura este executată din materiale “care nu ascultă de legea lui Hooke”, adică curba
caracteristică a acestora nu are o porŃiune rectilinie; este cazul fontelor, al unor aliaje neferoase, mase
plastice, materiale compozite etc.
- În unele zone ale structurii deformaŃiile se produc în stadiul plastic, deci structura este solicitată
elasto-plastic, adică parŃial elastic, parŃial plastic. Astfel de situaŃii apar când sunt concentratori de
tensiuni, probleme de contact, în studiul unor procese tehnologice, în analiza comportării unei structuri
înaintea producerii ruperii etc.
- Probleme la care deplasările produse de sarcinile aplicate sunt mari, acestea putând fi însoŃite sau
nu şi de deformaŃii plastice. Este cazul unor structuri flexibile, structuri cu pereŃi subŃiri, structuri
formate din bare sau plăci, elemente elastice compensatoare de dilatare, studiul unor fenomene postflambaj
sau post-fluaj etc. În practica analizei acestor probleme se face distincŃie între structuri cu
deplasări mari şi cele cu deplasări foarte mari.
- Probleme de contact, la care pentru încărcare zero contactul este într-un punct sau pe o linie (arie
zero) iar pe măsură ce sarcina creşte contactul are loc pe suprafaŃă a cărei formă şi arie cresc.

DistribuŃia presiunii de contact se modifică şi ea, dependenŃa fiind nelinară în raport cu sarcina. În
zona contactului apar, de obicei teniuni relativ mari şi este posibilă apariŃia deformaŃiilor plastice.
- În practica FEA, pentru structuri industriale complexe, este posibil ca dependenŃa deplasărilor de
ansamblu ale structurii să fie neliniară funcŃie de sistemul de sarcini, datorită forŃelor de frecare din
reazeme sau datorită existenŃei unor asamblări cu elemente (de exemplu garnituri) care au comportare
neliniară.
Desigur că se pot ivi situaŃii în care se “combină” unele din aspectele menŃionate, care nu reprezintă
nici pe departe o enumerare exhaustivă.
Problemele enumerate pot fi formulate şi abordate ca procese statice, staŃionare sau ca procese
dinamice, dependente de timp, nestaŃionare sau tranzitorii, materialele putând fi vâscoelastice sau
vâscoplastice, adică cu proprietăŃi elastice variabile în funcŃie de timp. În concluzie, se poate afirma că
există o foarte mare diversitate de probleme neliniare, cărora le corespund numeroase metode de
rezolvare.
Metoda elementelor finite (MEF) se preteză foarte bine pentru analiza structurilor cu comportare
neliniară, programele actuale permiŃând abordarea problemelor cele mai complicate.
În practica modelării şi analizei cu elemente finite, în vederea simplificării şi sistematizării acestor
probleme se foloseşte, de obicei următoarea clasificare:
a. Probleme cu neliniaritate fizică (de material). Legea lui Hooke este înlocuită cu o dependenŃă
între tensiuni şi deformaŃii mai complexă, determinată de configuraŃia curbei caracteristice a
materialului. Se presupune că solicitările produc deformaŃii peste limita de curgere, apărând şi
deformaŃii plastice, postcurgere. Deci în structura care se analizează starea de deformaŃii este elastoplastică,
adică în unele zone deformaŃiile sunt elastice iar în altele elastice şi plastice.
b. Probleme cu neliniaritate geometrică. În această categorie intră problemele pentru care în
procesul de deformaŃie se produc deplasări mari. Se admite că materialul are o comportare liniar
elastică. RelaŃiile dintre deformaŃii şi deplasări precum şi relaŃiile dintre sarcini şi deplasări (pentru
întreaga structură) devin neliniare. De asemenea, valorile eforturilor devin funcŃii de deplasări, iar
ecuaŃiile de echilibru scrise pentru structura nedeformată nu mai rămân valabile şi pentru structura
deformată.
c. Probleme cu neliniaritate generală. În aceste cazuri se suprapun, adică se “cumulează”, condiŃiile
de neliniaritate de material şi geometrică, de la categoriile a şi b, aceasta fiind problema generală cu
comportare neliniară. În această categorie intră şi problemele de contact.
În cadrul fiecăreia din cele trei categorii de probleme pot fi avute în vedere aspecte dinamice sau de
vâscoelasticitate sau vâscoplasticitate.
Diagnosticarea unei problame neliniare
În practica modelării şi analizei cu elemente finite se întâlnesc situaŃii în care nu există iniŃial indicii
sau informaŃii privind comportarea neliniară a structurii şi deci se realizează, pentru început, o analiză
Figura 23.1
linară (L, în figura 23.1). În urma postprocesării şi evaluării rezultatelor obŃinute se poate ajunge la
concluzia că de fapt structura poate avea o comportare neliniară şi analiza se reia în condiŃii
corespunzătoare. Indicii simple şi sigure în acest sens sunt:

- apariŃia unor tensiuni, în noduri sau în elemente, ale căror valori maxime depăşesc limita de
curgere a materialului, σ
c
(figura 23.1.a);
- producerea unor deplasări ale căror valori maxime reprezintă peste 1 – 5 % din dimensiunile de
gabarit ale structurii.
Din analiza diagramelor din figura 23.1, compararea dreptelor L, corespunzătoare problemei liniare
cu curbele N, corespunzătoare problemei neliniare, se constată că sunt posibile diferenŃe mari ale
rezultatelor (deplasări - ∆u şi tensiuni - ∆σ) în cele două variante.
Principalele metode de rezolvare
Cele mai utilizate metode de rezolvare ale problemelor neliniare sunt metode numerice, indirecte de
calcul. Acestea se bazează pe principiul că o problemă neliniară poate fi aproximată printr-o
succesiune de probleme elementare liniare. Avantajele acestor metode sunt:
- generalitatea: metodele pot fi aplicate pentru clase de probleme relativ vaste;
- simplitatea: metodele de calcul pentru problemele liniar elastice se pot adapta cu modificări
minime pentru analiza problemelor neliniare;
- posibilitatea implementării pe calculator: aceste metode duc la algoritmi care se pot foarte uşor
implementa în programe MEF pentru probleme liniar elastice, ca module sau proceduri specifice;
- posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluŃiei aproximative: calculul făcâdu-se
iterativ, diferenŃa între soluŃiile obŃinute prin două iteraŃii succesive este un indiciu al erorii soluŃiei
aproximative faŃă de soluŃia “exactă”. Se precizează faptul că în acest context soluŃia exactă este cea
MEF, care de fapt este apoximativă.
Principalul dezavantaj al acestor metode este volumul mare de calcul, care în prezent şi-a pierdut
importanŃa datorită performanŃelor impresionante ale sistemelor de calcul.
Cele mai importante metode indirecte de calcul sunt cele incrementale, iterative şi mixte, care sunt
combinaŃii ale primelor două. Fiecare dintre aceste metode are mai multe variante de aplicabilitate.
În metodele enumerate se consideră că în relaŃia de bază a MEF, pentru regim staŃionar,
[K] {u} = {F}, (23.1)
în care: [K] este matricea de rigiditate a modelului structurii, {u} – vectorul deplasărilor nodale şi {F}
– vectorul sarcinilor nodale, neliniaritatea provine din matricea de rigiditate care este o funcŃie
neliniară de proprietăŃile materialului (nelinaritate fizică) sau de modificarea geometriei structurii în
procesul de deformaŃie (neliniaritate geometrică).
Neliniaritatea de material. Matricea [K] depinde de matricea de elasticitate a materialului [D] care
este definită de caracteristicile elastice ale materialului, care în această situaŃie sunt variabile, fiind
funcŃii de vectorul tensiunilor {σ}, adică se poate considera că [K ( [D ( {σ} )] ) ].
Neliniaritatea geometrică. În acest caz, în procesul de deformaŃie se produc deplasări mari, având
ordinul de mărime comparabil cu cel al dimensiunilor structurii şi configuraŃia geometrică inŃială a
stucturii se modifică apreciabil, adică matricea de rigiditate iniŃială nu mai poate descrie comportarea
sub sarcină a structurii în ultima fază a procesului de încărcare. Ca urmare, eforturile depind de
deplasări, iar ecuaŃiile de echilibru pentru structura deformată trebuie scrise cu luarea în considerare şi
a deplasărilor, adică matricea de rigiditate a structurii depinde de deplasările nodale, deci se poate
considera că [K ( {u} ) ].
Metoda incrementală. Se mai numeşte şi pas cu pas. Ideea fundamentală a metodei este
subâmpărŃirea sarcinii în mai multe sarcini mici, creşteri, paşi sau incremente. Uzual aceste creşteri
ale sarcinii sunt egale dar, în general, pot fi diferite de la un pas la următorul. Sarcina se consideră
crescătoare (sau descrescătoare), dar în cursul aplicării fiecărui increment se presupune că structura are
o comportare liniară, adică matricea [K] se consideră constantă, dar poate fi diferită de la un pas la
următorul. SoluŃia pentru fiecare pas i de creştere a sarcinii {∆F i } se obŃine sub forma unui increment
al deplasărilor {∆u i }. Aceste creşteri ale deplasărilor se “cumulează” pentru a obŃine deplasarea totală a
structurii pentru fiecare “stadiu” al încărcării. Procesul se continuă până se aplică toată sarcina.
Schema de calcul a procesului se prezintă în figura 23.2. Se observă că procedeul este analog

metodelor numerice de calcul utilizate pentru integrarea sistemelor de ecuaŃii diferenŃiale, liniare sau
nelinare, cu metoda lui Euler sau Runge-Kutta.
La scrierea relaŃiilor de calcul se are în vedere starea de referinŃă a structurii, care poate fi definită de
sarcinile iniŃiale {F 0 } şi deplasările iniŃiale {u 0 }. De regulă, vectorii {F 0 } şi {u 0 } sunt nuli, deoarece
structura este nesolicitată şi nedeformată. Se poate defini o stare iniŃială de echilibru pentru sarcinile şi
deplasările iniŃiale.
Figura 23.2
Dacă sarcina totală se divide în m paşi, atunci sarcina efectivă totală este
{F}={F 0 } + Σ {∆F j } , j = 1…m,
în care notaŃia ∆ arată un increment finit. După aplicarea incrementului i sarcina este
{F i }={F 0 } + Σ {∆F j } , j = 1…i,
cu precizarea că {F m }={F}. Se procedează analog pentru deplasări şi deci
{u i }={u 0 } + Σ {∆u j } , j = 1…i. (23.2)
Pentru calculul incrementului deplasărilor se utilizeză valoarea matricei de rigiditate [K i-1 ]
determinată pentru sfârşitul pasului anterior, adică
[K i-1 ] {∆u i } = {∆F i }, i = 1, 2, 3,…m,
în care se are în vedere că
[K i-1 ] =[K i-1 ({u i-1 } , {F i-1 })],
şi [K 0 ] este matricea de rigiditate iniŃială, care se calculează pentru configuraŃia geometrică iniŃială a
modelului structurii şi pentru constantele materialului, determinate pe curba caracteristică, pentru
începutul încărcării.
Metoda iterativă. În acest caz structura se consideră încărcată cu întreaga sarcină la fiecare iteraŃie.
Deoarece se consideră o valoare aproximativă, constantă, a rigidităŃii structurii pentru fiecare iteraŃie,
nu sunt satisfăcute ecuaŃiile de echilibru. După fiecare iteraŃie (sau pas) se calculeză cota parte din
sarcina totală care nu satisface ecuaŃiile de echilibru (de fapt fiecare ecuaŃie din sistemul (23.1) este o
ecuaŃie de echilibru), aceasta fiind utilizată la iteraŃia următoare pentru a determina o creştere
adiŃională a deplasărilor. Procesul se repetă până când ecuŃiile de echilibru sunt satisfăcute într-o
măsură aceceptabilă. În esenŃă, metoda iterativă constă în corecŃii succesive ale soluŃiei, până când
ecuaŃiile de echilibru sub sarcina totală {F} sunt satisfăcute.
Dacă, în cazul general, există sarcini şi deplasări iniŃiale, {F 0 } şi {u 0 }, pentru ciclul i al procesului
iterativ de calcul trebuie ca sarcina să se determine cu relaŃia
{F i }={F} - {F e, i-1 } ,
în care {F} este sarcina totală şi {F e, i-1 } este sarcina aflată în echilibru după iterarŃia anterioară.
Creşterea deplasărilor, calculată pentru pasul i se determină cu realaŃia
[K (i) ] {∆u i } = {F i } . (23.3)
Deplasarea totală după iteraŃia i se calculează cu relaŃia (23.2). În final se calculează sarcina {F e, i },
necesară să menŃină deplasările {u i }.
Procesul iterativ se continuă până creşterile deplasărilor sau forŃele neechilibrate devin zero, adică
{∆u i } sau {F i } devin nule sau suficient de mici.

În ceea ce priveşe calculul matricei de rigiditate [K (i) ] din relaŃia (23.3), de obicei aceasta se
determină pentru pasul anterior, în punctul {u i-1 }, {F i-1 }, adică [K (i) ] =[K (i-1) ]. Trebuie avut în vedere că
[K (0) ] este matricea de rigiditate pentru starea iniŃială a structurii, adică, pentru valorile {F 0 } şi {u 0 }.
Metoda iterativă are diverse variante care diferă prin modul în care se consideră valoarea matricei de
rigiditate [K] a structurii. În figura 23.3.a se prezintă schema metodei iterative de bază, iar în figura
23.3.b, o variantă modificată, care foloseşte pentru toate iteraŃiile valoarea iniŃială [K (0) ] a matricei de
rigiditate. În acest caz este necesar un număr mai mare de iteraŃii, dar în ansamblu se poate obŃine o
viteză mai mare a procesului de calcul deoarece nu mai este necesară recalcularea matricei [K] la
fiecare iteraŃie. Metoda iterativă este asemănătoare procedeelor numerice de calcul utilizate pentru
rezolvarea ecuaŃiilor neliniare, de exemplu, metodele lui Newton sau Newton – Raphson.
a
b
Figura 23.3 Figura 23.4
Metoda mixtă. Se mai numeşte şi iterativă în paşi şi este o “combinaŃie” între metoda iterativă şi cea
incrementală. În figura 23.4 se prezintă schema metodei mixte care constă în faptul că sarcina se
aplică incremental, iar după fiecare increment se fac iteraŃii succesive. Această metodă este mai
eficientă decât precedentele dar cere un efort de programare mai mare.
ComparaŃie între metodele prezentate. Metodele prezentate sunt considerate drept “procedee de
bază”, ele având diverse variante în implementările din diverse programe. Este utilă o comparare a lor
pentru a pune în evidenŃă avantajele şi dezavantajele fiecăreia.
Avantaje:
metoda incrementală:
- generalitatea; metoda este aplicabilă pentru aproapte toate tipurile de neliniarităŃi;
- posibilitatea de a descrie relativ complet dependenŃa sarcină - deformaŃie, deoarece se obŃin
rezultate intermediare, pentru fiecare treaptă a încărcării;
metoda iterativă:
- simplitatea; metoda este uşor de utilizat şi de implementat într-un program;
- numărul de iteraŃii este, de obicei, relativ mic.
Dezavantaje:
metoda incrementală:
- volumul de calcul este relativ mare, de obicei numărul incrementelor fiind mare;
- nu se poate stabili a priori care este valoarea necesară a incrementului sarcinii pentru a
obŃine o aproximaŃie dorită a soluŃiei exacte;
- dificultatea de a aprecia “cât de bună” este soluŃia găsită;
metoda iterativă:
- metoda nu asigură totdeauna convergenŃa către soluŃia exactă;
- metoda nu este aplicabilă problemelor dinamice, sistemelor histeretice şi celor
neconservative;
- rezultatele, adică deplasările, tensiunile şi deformaŃiile se obŃin numai numai pentru sarcina
totală, adică nu se obŃin informaŃii pentru valori intermediare ale încărcării.

Metoda mixtă “combină” avantajele celorlalte două metode şi tinde să elimine dezavantajele
fiecăreia, fiind foarte eficientă şi utilizată.
Câteva aspecte ale modelării pentru analize neliniare
Caracteristicile materialului. Pentru probleme cu neliniaritate fizică este foarte importantă
cunoaşterea precisă şi detaliată a curbei caracteristice a materialului, sau “legea constitutivă”. Curba
caracteristică se dă sub formă tabelară (prin puncte) sau sub forma unei funcŃii. Simbolic se scrie
{σ} = f ({σ},{ε}) = [D({σ})]{ε}.
De asemenea, foarte important este calculul matricelor de rigiditate ale elementelor şi cea a structurii
care trebuie reluat pentru fiecare pas sau increment al metodelor iterative, incrementale sau mixte. Mai
întâi trebuie să se determine valorile constantelor elastice ale materialului (pentru un material izotrop
sunt E, G şi υ) şi matricea elastică [D] = [D({σ})], care sunt funcŃii de starea de tensiune.
Curba caracteristică a materialului trebuie să fie determinată în condiŃii cât mai apropiate de cele în
care funcŃionează structura pentru care se face modelarea şi analiza. Se va avea în vedere faptul că, de
obicei, curba caracteristică se determină pentru întindere (compresiune) monoaxială pe când în
structură este o stare de tensiuni mai complexă, de obicei, spaŃială. În consecinŃă, pentru a putea
compara cele două stări de tensiuni sau de deformaŃii trebuie apelat la o teorie de rezistenŃă.
Pentru o curbă caracteristică neliniară a materialului, obŃinută printr-o încercare monoaxială,
valoarea modulului de elasticitate E, pentru un material izotrop, se poate de determina astfel:
Modulul de elasticitate tangent, se defineşte într-un punct oarecare P al curbei caracteristice σ - ε, ca
panta tangentei la curbă, dusă în punctul respectiv (figura 23.5), se notează E tP şi este
E tP = dσ / d ε | P.
Aproximativ, E t poate fi evaluat prin relaŃia
E t ≈ ∆σ / ∆ε,
în care ∆ are semnificaŃia de creşteri finite; valoarea lui E t este panta dreptei duse cu linie întreruptă în
figura 23.5.
Figura 23.5
Modulul de elasticitate secant,se defineşte într-un punct oarecare P al curbei caracteristice σ - ε, în
funcŃie de valorile totale σ şi ε în punctul respectiv (figura 23.5), adică
E sP = σ / ε | P.
Criteriul şi matricea de plasticitate. Pentru structuri care au sub sarcină o comportare elastoplastică
trebuie pusă în evidenŃă solicitarea în stadiul plastic. În acest scop deformaŃia specifică totală {ε} se
descompune în componentele elastică {ε e } şi plastică {ε p }, adică
{ε} = {ε e } + {ε p }.
Pentru o metodă incrementală de aplicare a sarcinii, relaŃia anterioară devine
{dε} = {dε e } + {dε p },
în care trebuie avut în vedere că incrementul deformaŃiei plastice {dε p } este funcŃie de starea curentă
de tensiune, de incrementul deformaŃiei totale şi de incrementul tensiunii, adică

{dε p } = {dε p ({σ},{dε},{dσ})}
şi de asemenea
{dε e } = [D e ] -1 {dσ}.
Rezultă relaŃia
{dσ} = [D e ]({dε} - {dε p }),
care poate fi scrisă sub forma
{dσ} = [D ep ]{dε},
în care [D ep ] se numeşte matricea elastoplastică, care se calculează cu relaŃia
[D ep ] = [D e ] - [D p ],
în care [D p ] este matricea de plasticitate.
Matricea elastoplastică [D ep ] se obŃine din relaŃia anterioară, după ce se determină matricea de
plasticitate [D p ], care implică cunoaşterea modului în care se calculează incrementele deformaŃiilor
plastice {dε p }. Pentru aceasta trebuie adoptat un criteriu de plasticitate, care să determine condiŃiile
în care se produc deformaŃii plastice pentru starea de tensiuni spaŃială din fiecare element finit al
modelului. Cel mai utilizat este criteriul de plasticitate al lui Mises pentru care Prandtl-Reuss au scris
ecuaŃiile care au permis determinarea expresiei matricei [D p ]. Pentru materiale izotrope aceasta este
în care: G = E / 2(1 + υ) este modulul de elasticitate transversal;
σ = { [( σ 1 - σ 2 ) 2 + ( σ 2 - σ 3 ) 2 + ( σ 3 - σ 1 ) 2 ] / 2} 1/ 2 - tensiunea echivalentă sau efectivă;
ε = { 2 [( ε 1 - ε 2 ) 2 + ( ε 2 - ε 3 ) 2 + ( ε 3 - ε 1 ) 2 ] / 9} 1/ 2 - deformaŃia echivalentă sau efectivă;
χ ≡ E t - panta curbei σ - ε;
σ 1 , σ 2 , σ 3 - tensiunile normale principale ale solicitării;
I 1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 - invariantul liniar al stării de tensiune;
σ Dx = σ x - I 1 / 3; σ Dy = σ y - I 1 / 3; σ Dz = σ z - I 1 / 3.
Modelarea sarcinilor şi a reazemelor pentru structuri cu deplasări mari. Pentru analize ale
structurilor cu deplasări mari este foarte important ca modelul să conŃină precizări riguroase, fără
echivoc, ale legilor de variaŃie ale intensităŃilor, direcŃiilor şi punctelor de aplicaŃie ale sarcinilor
precum şi variaŃiile condiŃiilor de rezemare care se pot produce în cursul procesului de deformare a
structurii.
Figura 23.6

Ca exemplu, în figura 23.6 se prezintă trei variante de încărcare ale unei bare încastrate la un capăt
şi solicitată cu o forŃă concentrată în capătul liber. Pentru deplasări mici solicitarea este aceeşi în toate
cazurile (reprezentate schematic cu linii întrerupte) dar problemele sunt complet diferite pentru
deplasări mari.
Figura 23.7
Analog, pentru bara din figura 23.7, cele trei moduri de rezemare sunt echivalente pentru deplasări
mici, dar complet diferite pentru deplasări mari.