Principii de proiectare a elementelor elastice pentru senzori cu ...

Capitolul 6
Principii de proiectare a elementelor elastice
pentru senzori cu traductoare rezistive
6.1. Formularea problemelor de optimizare în cazul
elementelor elastice pentru senzori
Determinarea celei mai convenabile configuraţii geometrice a unei
structuri, astfel încât aceasta să îndeplinească cele mai importante cerinţe
impuse prin tema de proiectare, fiind date caracteristicile mecanice ale
materialului şi acţiunile exterioare, reprezintă o problemă de optimizare.
În ultimele decenii, necesitatea îmbunătăţirii performanţelor funcţionale
şi creşterii fiabilităţii structurilor, simultan cu cerinţele de reducere a greutăţii
acestora precum şi perfecţionarea tehnicii de calcul au determinat o dezvoltare
spectaculoasă a metodelor de optimizare structurală. Se operează cu o serie
de noţiuni şi concepte ale teoriei matematice a optimizării, care capătă
semnificaţii specifice, corespunzătoare scopului urmărit şi dezideratelor
impuse.
Cantităţile numerice reale care trebuie determinate la proiectarea unei
structuri se numesc variabile de proiectare. Pe lângă variabilele de proiectare
există şi anumite cantităţi care sunt cunoscute, numite parametri. Variabilele
de proiectare împreună cu parametrii descriu complet structura studiată.
Parametrii utilizaţi cel mai frecvent de către proiectanţi pentru
descrierea unei structuri sunt:
- parametri geometrici (forma secţiunii transversale, în cazul barelor;
forma suprafeţei mediane şi variaţia grosimii, în cazul plăcilor etc.);
- caracteristici de material (modul de elasticitate, coeficient de contracţie
transversală, densitate, coeficient de dilatare termică, tensiune admisibilă).
Un grup de valori date variabilelor de proiectare reprezintă o soluţie
care defineşte o structură. Dacă structura îndeplineşte condiţiile pentru care a
fost proiectată, ea este o structură realizabilă. Condiţiile care trebuie
satisfăcute astfel încât structura să fie realizabilă se numesc restricţii de
proiectare şi pot fi grupate în două categorii:
- restricţii de comportament, ce provin din cerinţele de rezistenţă,
rigiditate, stabilitate şi durabilitate, care permit structurii să-şi îndeplinească
rolul (tensiune maximă admisă, deplasare maximă admisă, domeniu admis
pentru frecvenţa proprie fundamentală etc.);
47

- restricţii de mărginire, ce provin din condiţii de limitare a valorilor unor
variabile de proiectare.
Restricţiile de comportament determină domeniul în care se face
proiectarea - domeniul elastic sau cel plastic. Câteva dintre criteriile de
optimizare în domeniul elastic, mai des utilizate, sunt:
• determinarea structurilor de greutate minimă având rigiditatea dată;
• determinarea structurilor de rigiditate maximă având greutatea dată;
• determinarea structurilor de volum minim având energia potenţială de
defomaţie dată;
• determinarea structurilor de egală rezistenţă;
• determinarea repartiţiei optime a materialului astfel încât energia potenţială a
structurii să fie minimă, pentru un volum dat de material.
În afară de condiţia principală de optimizare se pot impune şi condiţii
secundare, cerute de tehnologia de execuţie, de condiţiile de mediu în care va
lucra structura, de consideraţii de ordin estetic etc.
În concluzie, scopul problemelor de proiectare optimală a structurilor
constă în identificarea valorilor variabilelor de proiectare x i (i=1,…,n), care
îndeplinesc diferite restricţii de proiectare în scopul extremării unei anumite
funcţii f = f ( x)
, numită funcţie obiectiv. Această formulare a problemei de
optimizare se poate exprima matematic astfel:
unde: { } T
f
n
( x
* ) = min f ( x)
; x ∈ R , (6.1)
( k 1,2,....K )
r k ( x)
≤ 0;
= , (6.2)
x = x1 , x2
,......, x n este vectorul variabilelor de proiectare; r k
(k=1,2,…K) sunt restricţiile de proiectare; x * este vectorul variabilelor de
proiectare în cazul variantei optime.
Numărul restricţiilor nu este obligatoriu egal cu cel al variabilelor de
proiectare. În afara celor menţionate mai sus, problemele de optimizare conţin
şi alte restricţii, de exemplu condiţii de nenegativitate sau de număr întreg
pentru unele dintre componentele vectorului x.
Restricţiile de proiectare şi funcţia obiectiv f(x) constituie modelul
matematic al problemei de optimizare formulate.
Dacă restricţiile de proiectare şi funcţia obiectiv sunt funcţii liniare de
componentele vectorului x şi dacă acestor componente li se impun numai
condiţii de nenegativitate, modelul de optimizare constituie o problemă de
programare liniară.
Dacă funcţia obiectiv şi una sau toate restricţiile de proiectare sunt
neliniare, problema de optimizare studiată este neliniară.
Cele mai utilizate metode de rezolvare a problemelor de optimizare
sunt cele directe, constând în procedee iterative, de îmbunătăţire pas cu pas a
unui set iniţial de valori ale variabilelor de proiectare care, de obicei, nu
satisface condiţiile de optim.
48

Există şi metode indirecte de determinare a optimului, când valorile
variabilelor de proiectare se obţin prin minimizarea funcţiei obiectiv. În acest
caz, problema este formulată variaţional şi conduce la extremarea unei
funcţionale obiectiv.
Elementul elastic (EE) este cea mai importantă componentǎ a unui
captor. Acesta, prin material, stare de tensiune şi de deformaţie, formă şi
dimensiuni, influenţează caracteristicile de bază ale captorului: sarcină
nominală, sensibilitate, liniaritate, histerezis etc.
Având în vedere cerinţele impuse elementelor elastice ale captoarelor,
problemele de optimizare a geometriei acestora prezintă unele particularităţi.
Drept funcţii obiectiv se pot alege:
• sensibilitate de măsurare maximă, pentru o tensiune echivalentă
maximă impusă;
• sensibilitate de măsurare maximă, la un gabarit impus;
• sensibilitate de măsurare maximă, pentru o valoare impusă a
sarcinii nominale;
• sarcină nominală maximă, cu respectarea condiţiei de rezistenţă
sau de rigiditate;
• raport ε m / ε t, max maxim, pentru o tensiune maximă impusă,
unde ε m = ε 1 − ε 2 + ε 3 − ε 4 şi ε t ,max = max ( ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) ;
• interinfluenţă minimă a componentelor - în cazul captoarelor
multicomponente.
Ca variabile de proiectare pot fi aleşi anumiţi parametri care definesc
geometria elementului elastic şi/sau cei care indică locurile de amplasare a
traductoarelor rezistive.
Metodele de optimizare utilizate frecvent sunt cele directe (iterative).
Acestea constau în îmbunătăţirea geometriei unei configuraţii iniţiale a
structurii, propusă de proiectant, pe baza experienţei şi intuiţiei sale. Structura
este predimensionată aproximativ prin calcule analitice sumare. Modificările
operate succesiv, urmate uneori de analize cu elemente finite, conduc, după
un anumit număr de paşi de optimizare, la o variantă care satisface
principalele cerinţe impuse.
Geometria elementelor elastice se modifică în funcţie de datele iniţiale
ale temei de proiectare, chiar şi pentru captoare de acelaşi tip. Un exemplu în
acest sens se referă la EE de tip cadru, utilizate la captoare destinate
măsurării forţelor mici şi medii [M5]. Formele din figurile 6.1,a,b,c sunt
recomandate pentru forţe nominale de 0,2 kN, 1 kN şi 10 kN.
Aceste forme au fost stabilite în urma unor analize experimentale pe
modele din araldit, prin tehnica fotoelasticităţii. În final s-au ales cele mai bune
dintre variantele studiate, ceea ce nu înseamnă că acestea sunt cele optime.
Utilizarea metodelor experimentale pentru optimizarea geometriei
elementelor elastice este incomodă şi costisitoare.
49

Procedura de optimizare se poate aplica pornind de la relaţiile analitice
de calcul al tensiunilor şi deformaţiilor specifice, dacă acestea se cunosc şi nu
sunt prea complicate.
a. b. c
Fig. 6.1
În cazul în care forma elementului elastic este complexă, stabilirea
relaţiilor de calcul este dificilă şi metodele tradiţionale de optimizare sunt
înlocuite cu cele numerice, în special metoda elementelor finite.
Programele de preprocesare permit modificarea automată (în limite
prestabilite) a unor parametri geometrici care descriu structura, iar cele de
postprocesare dau posibilitatea să se compare diferitele variante din punctul
de vedere al valorilor luate de funcţia obiectiv.
6.2. Alegerea formei şi predimensionarea elementului elastic
Proiectarea formei unui element elastic trebuie astfel făcută, încât
captorul să satisfacă, dacă este posibil, toate condiţiile metrologice,
tehnologice şi economice impuse prin temă. De obicei, satisfacerea integrală a
tuturor cerinţelor este imposibilă şi, de aceea, se urmăreşte realizarea celor
mai importante.
La alegerea formei şi solicitării preponderente a structurii deformabile
pe care se lipesc TER, proiectantul trebuie să aibă în vedere, în afara
cerinţelor metrologice, şi pe următoarele [C1], [Ş1]:
- să fie respectate dimensiunile de gabarit, impuse de spaţiul care îi
este destinat captorului în instalaţia în care va lucra;
- locurile de pe suprafaţa elementului elastic, unde se vor aplica TER,
să permită accesul uşor pentru lipirea, protejarea şi conectarea acestora;
- deformaţiile specifice ale suprafeţelor pe care se lipesc traductoarele
rezistive să fie de valori apropiate, suficient de mari şi uniforme;
- să se folosească posibilităţile de amplificare a semnalului prin conectarea
în punte completă sau în semipunte a unor traductoare care sunt întinse
împreună cu altele ce sunt scurtate, atunci când EE se deformează;
50

- captorul, ca ansamblu, să aibă frecvenţa proprie fundamentală şi
rigiditatea între limitele impuse prin tema de proiectare;
- la proiectarea senzorilor multicomponete vor fi căutate soluţii de
eliminare prin construcţie a interinfluenţei forţelor şi/sau cuplurilor care se
măsoară; astfel, informaţia obţinută va fi mai uşor de prelucrat şi utilizat în
reglarea procesului monitorizat;
- prezenţa captorului într-o instalaţie nu trebuie să afecteze funcţionarea
şi parametrii acesteia,
- la captoarele care lucrează în mediu exploziv, coroziv sau cu vapori
trebuie să se asigure etanşare şi protecţie eficientă;
- elementele elastice ale captoarelor pentru măsurări de lungă durată
sub sarcină variabilă, trebuie să aibă rezistenţă la oboseală corespunzătoare;
- pentru prevenirea apariţiei histerezisului, provocat de crearea unor
jocuri în asamblări, se recomandă ca EE să fie structuri monobloc;
- forma EE să permită un uzinaj precis, pe maşini-unelte universale, la
un preţ de cost rezonabil. Numeroase captoare sunt axial-simetrice, având
suprafeţele cilindrice, conice şi plane realizate prin operaţii de strunjire şi
rectificare rotundă.
Pentru că nu există o procedură standard în concepţia captoarelor,
care trebuie să satisfacă cerinţe diverse, proiectanţii se lasă conduşi de intuiţie
şi de experienţa pe care o au în domeniu.
De regulă, la o sarcină nominală impusă, pentru creşterea
sensibilităţilor este necesară mărirea dimensiunilor de gabarit ale captoarelor.
Caracteristici importante ale captoarelor pentru deplasări şi aceleraţii
sunt frecvenţele proprii ale acestora. Un captor seismic lucrând în regim de
vibrometru trebuie să aibă frecvenţa proprie fundamentală de circa 5 ori mai
mică decât frecvenţa minimă a fenomenului care se studiază. Dimpotrivă, un
captor cu rol de accelerometru trebuie să aibă frecvenţa proprie de cel puţin 10
ori mai mare decât frecvenţa maximă a fenomenului studiat.
Elementele elastice ale captoarelor de presiune trebuie să aibă forme
care să permită etanşarea simplă şi eficace a incintei în care pătrunde fluidul.
Pentru toate tipurile de captoare sunt preferate elementele elastice care
prezintă simetrii, deoarece se proiectează şi se execută mai uşor, iar prin
conectarea în punte completă a unor perechi de TER lipite simetric se poate
elimina influenţa unor abateri ale punctului de aplicaţie şi ale direcţiei sarcinii.
Proiectarea adecvată a formei poate asigura eliminarea histerezisului
datorat frecării dintre elementul elastic şi reazemele sale. În acest scop, pe EE
de tip bară încastrată la capete al unui captor de forţă (fig. 6.2), au fost
practicate crestături în zona centrală [C1]. Astfel se reduce solicitarea axială şi
se previne tendinţa de lunecare a capetelor pe suprafeţele de sprijin. În plus se
obţine şi o importantă creştere a sensibilităţii captorului.
În practică apare o mare diversitate de condiţii în care trebuie efectuate
măsurări ale mărimilor mecanice. Atunci când amplasarea în serie sau în
paralel cu structura ce se studiază a unui captor nu este posibilă (sau este
prea costisitoare), se pot realiza “pseudocaptoare” prin lipirea TER pe unele
51

dintre componentele deformabile ale ansamblului studiat. Dacă etalonarea
pseudocaptoarelor nu este posibilă, sarcina se poate determina prin calcul, cu
riscul unor erori sistematice ale căror valori sunt dificil de evaluat.
Desigur, un pseudocaptor reprezintă o soluţie de compromis, acesta
neputând avea, de regulă, performanţele unui captor proiectat şi realizat în
condiţii adecvate scopului urmărit.
Fig. 6.2
În cazul utilizării unor EE flexibile, solicitate la compresiune, pentru
prevenirea pierderii stabilităţii (flambajului) se introduc dispozitive de protecţie
la suprasarcină prin limitarea deformării.
În alegerea formei şi dimensiunilor elementelor elastice ale captoarelor
se parcurg câteva etape mai importante.
O primă etapă este cea a alegerii unei variante “candidat”, care se
compară, din diferite puncte de vedere, cu alte variante posibile. Dacă varianta
propusă nu este acceptabilă, poate fi înlocuită cu alta sau este supusă unui
proces de optimizare a formei şi dimensiunilor. [C1].
Dimensiunile principale ale variantei „candidat” sunt stabilite în urma
unui calcul de predimensionare, efectuat cu metode şi formule din Rezistenţa
materialelor [B5] sau din Teoria elasticităţii [V2]. În lucrarea [S1] sunt
prezentate relaţii de predimensionare pentru bare drepte, bare cotite, cadre
plane, bare curbe plane şi plăci circulare sau inelare.
Predimensionarea este urmată de una sau mai multe analize cu
elemente finite, ce permit evaluarea influenţelor unor modificări de formă şi
dimensiuni efectuate cu scopul de a îmbunătăţi performanţele captorului.
În principiu, EE al unui captor cu TER destinat măsurării unei mărimi
mecanice poate avea orice formă. În practică, pe baza condiţiilor impuse
(tehnologice, de sensibilitate, sarcină nominală, gabarit etc), se identifică forme
de elemente elastice adecvate pentru fiecare tip de captor în parte.
Cele mai utilizate elemente elastice de captoare se pot clasifica după
formă şi după mărimea măsurată (forţă (F), cuplu (M), forţă şi cuplu (FM),
presiune (P), deplasare liniară (D), rotire (R), acceleraţie (A) ).
Câteva exemple sunt prezentate în figurile următoare:
1. (F) - EE tip tirant, coloană cu secţiune constantă, coloană cu secţiune în
trepte sau multicoloană (fig. 6.3, a),
52

2. (F,D,R,A) - EE tip lamelă încovoiată cu secţiune constantă, cu secţiune de
egală rezistenţă sau cu secţiune în trepte (fig. 6.3, b),
3. (M) - EE de tip bară torsionată, cu secţiune circulară sau dreptunghiulară
(fig. 6.3, c),
4. (F,D) - EE de tip scoabă simetrică, nesimetrică sau în formă de S (fig. 6.3,d),
5. (F,D)- EE tip inel sau semiinel cu secţiune constantă sau variabilă (fig.6.3,e),
6. (F,D,A) – EE tip cadru plan (fig. 6.3, f),
7. (F,P,A) – EE tip placă circulară sau inelară (fig. 6.3, g),
8. (F,P) – EE axial-simetric (fig. 6.3, h).
Fig. 6.3, a
Fig. 6.3, b
Fig. 6.3, c
Fig. 6.3, d
53

Fig. 6.3, e
Fig. 6.3, f
Fig. 6.3, g
Fig. 6.3, h
6.3. Alegerea materialului şi tehnologiei de fabricaţie
Elementul elastic al unui captor cu TER trebuie să suporte o sarcină
nominală mare şi să aibă o sensibilitate cât mai ridicată, adică în el să se
producă deformaţii specifice mari. Şi tensiunile vor avea valori mari, fapt ce
poate compromite unele performanţe ale captorului, ca urmare a apariţiei
deformaţiilor plastice, neliniarităţilor şi histerezisului.
54

Criteriile de stabilire a valorii tensiunii admisibile σ a în materialul unui
EE al unui captor încărcat cu sarcina maximă, au în vedere eliminarea
pericolului de apariţie a deformaţiilor permanente.
Experimental se determină caracteristicile mecanice ale materialului:
R m - rezistenţa la rupere; A - alungirea la rupere; Z - gâtuirea la rupere;
R p 0,2 - limita de curgere tehnică (tensiunea căreia îi corespunde o alungire
permanentă de 0,2%, după descărcarea epruvetei încercate la întindere).
Luând ca bază limita de curgere tehnică a materialului din care este
realizat elementul elastic, se recomandă ca valoarea σ a să fie aleasă între
0,2⋅R p 0,2 şi 0,3⋅R p 0,2 [C1], [B3].
Materialele cele mai utilizate în construcţia de elemente elastice sunt
oţelurile aliate şi aliajele neferoase (duraluminiu, bronzuri, alame).
Dintre oţeluri sunt preferate cele destinate construcţiei de arcuri (STAS
795-92), care sunt oţeluri carbon de calitate (OLC 55 A, OLC 65 A, OLC 75 A,
OLC 85 A), sau oţeluri aliate ( 60 Si 15 A, 65 Mn 10, 51 V Cr 11A), cărora li se
aplică tratament termic de călire-revenire. Se mai folosesc şi oţeluri aliate de
uz general (STAS 791-88), care se clasifică, după tratamentul termic aplicat, în
trei grupe: de îmbunătăţire (33 Mo Cr 11, 41 Cr Ni 12, 34 Mo Cr Ni 15), de
cementare (18 Mo Cr Ni 13), de nitrurare (38 Mo Cr Al 0,9).
În tabelul 6.1 sunt date valori medii ale caracteristicilor mecanice de
bază ale unor oţeluri, după aplicarea tratamentelor termice adecvate.
Majoritatea elementelor elastice ale captoarelor fabricate până în
prezent sunt executate din oţeluri de îmbunătăţire (călire urmată de revenire
înaltă), deoarece acest tratament le asigură rezistenţă la rupere ridicată şi
alungire la rupere satisfăcătoare.
Tabelul 6.1: Caracteristici mecanice ale unor oţeluri recomandate
pentru confecţionarea elementelor elastice ale captoarelor [B8]
Marca
Oţelului
R p 0,2
[MPa]
R m
[MPa]
A
[%]
Z
[%]
OLC 55 A 880 1080 6 20
OLC 75 A 880 1080 9 30
OLC 85 A 980 1130 8 30
35 Mn Si 12 750 1050 14 45
40 Cr 10 800 1100 10 45
50 V Cr 11 900 1200 9 40
33 Mo Cr 11 800 1100 12 45
41 Mo Cr 11 900 1200 10 50
41 Cr Ni 12 850 1100 11 45
34 Mo Cr Ni 15 1000 1300 9 50
30 Mo Cr Ni 20 1050 1350 9 45
38 Mo Cr Al 0,9 950 1100 15 50
51 V Cr 11 A 1180 1320 6 30
60 Si 15 A 1270 1470 6 30
55

Se recomandă ca EE care urmează să fie utilizate la temperaturi
ridicate, să se execute din oţeluri de scule, aliate cu wolfram şi molibden.
În ultimele decenii se extinde din ce în ce mai mult utilizarea aliajelor
neferoase în fabricaţia de elemente elastice. Costurile mai ridicate ale acestora
sunt compensate de o serie de avantaje, faţă de oţeluri: elasticitate mai mare,
proprietăţi anticorozive, uzinaj mai uşor, rezistenţă mai mare la oboseală,
greutate specifică mai redusă.
Caracteristici mecanice ale unor aliaje neferoase recomandate pentru
EE ale captoarelor sunt înscrise în tabelul 6.2.
Condiţiile tehnologice care se au în vedere la proiectarea şi în fabricaţia
de captoare sunt cele specifice mecanicii de precizie şi construcţiei de aparate.
Prelucrările prin aşchiere se execută cu regimuri reduse, pentru a se evita
supraîncălzirea şi deformarea semifabricatelor. Se verifică cu exigenţă
respectarea condiţiilor de calitate şi precizie impuse.
Tabelul 6.2: Caracteristici mecanice ale unor aliaje neferoase
folosite pentru construcţia elementelor elastice [B3]
Material
Bronz
Fosforos
Alamă
Specială
Bronz cu
beriliu
Monel
K
Nichel
Z
Duraluminiu
Compoziţia
chimică (%)
Cu 93,3
Sn 6,7
Cu 72 , Ni 6,
Al 1,5 , Zn 20,5
Be 2 , Co 0,5
Cu 97,5
Ni 66 , Cu 29
Al 5
Ni 98, Si 2
Cu, Mn, Fe
Al , Cu
Mg , Mn
R p 0,2
[MPa]
R m
[MPa]
A
[%]
E
[MPa]
G
[MPa]
805 875 10 106 000 42 000
700 850 20 110 000 40 000
1000 1400 10 123 000 50 000
1100 1300 - 168 000 60 000
1140 1400 - 210 000 50 000
340 540 - 75 000 28 000
Modulul de elasticitate longitudinal E, cel transversal G şi coeficientul
de contracţie transversală ν , sunt parametrii elastici ai materialului. Între
aceştia există relaţia [B5], [T1]:
E
G = . (6.3)
2(1
+ ν )
Pentru oţel se consideră valorile medii 4
E = 21⋅ 10 MPa şi ν = 0, 3 .
Se poate compara duraluminiul cu oţelurile comune pentru arcuri din
punct de vedere al raportului dintre rezistenţa la rupere şi modulul de elasticitate:
(R m /E) dural =540/75000=7,2∙10 -3 , (R m /E) oţel =1800/210000=5,14∙10 -3 .
Concluzia este cǎ înlocuind oţelul cu duraluminiul la fabricarea elementelor
elastice putem mǎri cu circa 40% sensibilitatea captoarelor, dar se va
reduce sarcina nominalǎ sau se va mǎri gabaritul.
56