VERIFICAREA MODELELOR DE CALCUL CU ELEMENTE FINITE

14.
VERIFICAREA MODELELOR DE CALCUL
CU ELEMENTE FINITE
Modelul de calcul şi rezultatele obŃinute cu ajutorul său trebuie supuse unor numeroase teste şi
verificări. Scopul acestora este de a “valida” modelul, adică de a determina dacă acesta satisface
exigenŃele impuse şi dacă rezultatele obŃinute cu ajutorul lui permit formularea unor răspunsuri
neechivoce la întrebările clare puse de beneficiarul analizei cu elemente finite (FEA). Unele teste şi
verificări sunt calitative şi globale, altele cantitative şi de detaliu.
Dacă testele şi verificările duc la concluzii nefavorabile, modelul trebuie îmbunătăŃit şi procesul de
verificare – îmbunătăŃire - verificare se continuă până când se obŃine un model satisfăcător, adică
valid. În figura 8.1 este prezentată schema generală a procesului de verificare îmbunătăŃire a modelului
de calcul cu elemente finite. În continuare se prezintă câteva metode şi procedee de verificare.
Figura 8.1
Verificările experimentale efectuate pe structura reală sunt cele mai concludente. Astfel de verificări
sunt însă, de obicei, ulterioare calculului (după ce s-a proiectat şi executat structura) şi totdeauna sunt
costisitoare. O situaŃie specială apare când se expertizează structuri vechi pentru care nu s-au efectuat
analize cu elemente finite la proiectare. Se pot face verificări experimentale şi pe modele fizice reduse
la scară ale structurii reale, în astfel de cazuri fiind necesară rezolvarea problemelor de modelare şi
similitudine.
Determinările experimentale permit verificări cantitative ale rezultatelor obŃinute prin calcul şi
evaluarea preciziei acestora. Se pot verifica mărimi care provin din comportarea globală a structurii,
cum sunt deplasările sau reacŃiunile în reazeme, sau mărimi cu caracter local, cum sunt tensiunile
maxime.
Efectuarea calculelor pe două sau mai multe modele şi compararea rezultatelor obŃinute.
Modelele pot fi de acelaşi tip, adică elaborate pe baza aceleiaşi metode de calcul (de exemplu, metoda
elemntelor finite - MEF) sau de tipuri diferite, adică elaborate pe baza unor metode de calcul diferite
(de exemplu MEF şi metoda elementelor de frontieră sau o metodă analitică de calcul ).

De exemplu, pentru traversa de egalizare a unui excavator care se deplasează pe o cale de rulare s-au
elaborat trei modele MEF: un model de bară (fig. 8.2,a), un model de tip stare plană de tensiuni
(fig. 8.2,b) şi un model spaŃial (fg. 8.2,c).
Figura 8.2
Cele trei modele pot fi folosite în etape distincte ale proiectarii, respectiv pentru predimensionare,
definitivarea formei constructive şi verificarea finală a structurii obŃinute. Unele dintre rezultatele
obŃinute în cele trei variante de analiză, ca de exemplu deplasările maxime ( care sunt mărimi globale
ale FEA ) trebuie să aibă valori apropiate. Valorile tensiunilor maxime, în special ale celor locale, pot
să difere destul de mult de la un model la altul.
Uneori este preferabil să se folosească în paralel modele elaborate pe baza unor metode de calcul
diferite, ca de exemplu, modele cu elemente finite şi modele cu elemente de frontieră. Pentru trei dinŃi
consecutivi ai roŃii dinŃate din figura 8.3,a s-a utilizat în paralel, în vederea verificării, un model cu
elemente finite (fig. 8.3,b) şi un altul cu elemente de frontieră (fig. 8.3,c). În acest caz toate rezultatele
obŃinute în urma celor două analize (deplasări, tensiuni, reacŃiuni, etc.) trebuie să aibă valori foarte
apropiate.
Figura 8.3
Preprocesarea geometriei modelului MEF este cea mai utilizată şi cea mai eficientă metodă de
verificare a geomeriei modelului, a corectitudinii definirii condiŃiilor de rezemare şi a aplicării
sarcinilor. Se poate spune că este totdeauna obligatorie. Verificarea constă în citirea fişierului cu datele
de intrare pentru programul MEF, preprocesarea informaŃiilor conŃinute în acest fişier şi trasarea
unui desen al modelului structurii. Un astfel de exemplu se prezintă în figura 8.4, pentru modelul MEF
al unei structuri industriale.
Preprocesarea se face, de regulă, în programul MEF, care are module de elaborare a modelului,
inclusiv de desenare a acestuia, în diverse condiŃii grafice. Foarte utilă este această verificare pe
parcursul elaborării modelului, în diversele etape ale procesului. În situaŃii deosebite preprocesarea
se poate face şi cu alte programe, preferate sau chiar elaborate de utilizator.

Figura 8.4 Figura 8.5
Verificări ale condiŃiilor de simetrie. Pentru modele care prezintă proprietăŃi de simetrie sau
antisimetrie geometrică şi mecanică, rezultatele obŃinute prin calcul - deplasări, tensiuni, reacŃiuni în
reazeme, moduri proprii de flambaj (simetrice sau antisimetrice), moduri proprii de vibraŃii etc. -
trebuie să aibă valori egale în punctele simetrice şi valori egale şi semn schimbat în punctele
antisimetrice. Pentru suportul din figura 8.5, care are două plane de simetrie – XOY şi YOZ – atât
pentru configuraŃia geometrică precum şi pentru reazeme şi sarcini, verificarea corectitudinii
modelului MEF se face comparând valorile deplasărilor, tensiunilor şi reacŃiunilor în puncte şi
elemente simetrice: aceste valori trebuie să fie egale, mărimile abaterilor putând fi un indiciu cantitativ
al preciziei FEA, în ansamblu, adică a metodei, a programului şi a modelului.
Verificări printr-un calcul simplu. Uneori este posibil să se verifice unele dintre rezultatele obŃinute
cu un anumit model de calcul, considerând un caz de încărcare simplificat, de exemplu o sarcină
concentratră, un moment etc. De exemplu, pentru grinzile longitudinale ale utilajului din figura 8.6,
Figura 8.6 Figura 8.7
se poate face un calcul la încovoiere cu relaŃia cunoscută din rezistenŃa materialelor, considerând
grinda din figura 8.7 cu secŃiune constantă, încărcată la mijloc cu o sarcină uniform distribuită,
rezemată la capete. În acest caz se are în vedere că rigiditatea la încovoiere în plan vertical a celor două
grinzi longitudnale este foarte mare, adică efectul corpului recipientului poate fi neglijat în calculul
menŃionat. Valorile săgeŃii maxime şi cea a tensiunii la mijlocul grinzii trebuie să fie apropiate de cele
obŃinute cu FEA.

Discretizarea adaptivă. Acest procedeu nu este propriu-zis o cale de verificare a corectitudinii
modelului FEA, dar poate oferi informaŃii consistente în această privinŃă. Pe de altă parte modelarea
adaptivă se face automat, de către programul FEA, dacă sunt îndeplinite anumite condiŃii, ceea ce este
foarte comod pentru utilizator. Se elaborează un model iniŃial MEF care se supune unui proces FEA şi
se obŃin rezultatele corespunzătore. În programul MEF (dacă acesta are implementată procedura
respectivă) se dau comenzile specifice analizei adaptive care constă în elaborarea, pentru modelul
inŃial - printr-un proces iterativ - a unei discretizări mai fine (procedura h), utilizarea unor elemente
finite de ordin superior, adică cu polinoame de interpolare de grad superior (procedura p), sau
combinaŃii ale acestora (procedura h-p). Rezultatele obŃinute pentru noua variantă a modelului sunt
mai precise decăt cele iniŃiale. Programul calculeză indicele de precizie al modelului şi când valoarea
prescrisă a acestuia este atinsă, procesul iterativ de “rafinare” a reŃelei de discretizare se opreşte.
Verificarea modelului constă în compararea rezultatelor obŃinute în cele două variante ale modelului şi
anume rezultatele trebuie să fie suficient de apropiate.
Figura 8.8 Figura 8.9
Pentru exemplificare, se prezintă în figura 8.8 modelul iniŃial MEF al unei plăci dreptunghiulare
plane, discretizată cu 55 de noduri şi 80 de elemente shell triunghiulare. După aplicarea unei proceduri
de “rafinare“ a discretizării (procedura h), modelul are 449 de noduri şi 798 elemente, ca în figura 8.9.
Se menŃionează faptul că o procedură de discretizare adaptivă, oricare ar fi ea, nu poate semnala
eventuale greşeli sau neajunsuri ale modelului iniŃial, cum ar fi, de exemplu, configuraŃia geometrică
de ansamblu, valorile dimensiunilor, alegerea tipului de element finit, impunerea condiŃiilor de
reazeme, definirea sarcinilor, introducerea valorilor constantelor elastice şi fizice ale materialului etc.
Verificarea greutăŃii structurii este o verificare globală, obligatorie. Trebuie verificate valorile
reacŃiunilor din reazeme şi dacă acestea satisfac ecuaŃiile de echilibru scrise pentru întreaga structură.
Dacă este posibil, este bine să se verifice şi poziŃia centrului de greutate al structurii.
Verificări globale şi calitative ale modelului au în vedere configuraŃiile stărilor de tensiuni şi
deplasări, semnele lor, ordinul de mărime şi chiar valorile rezultatelor obŃinute. Din practica
inginerească şi din experienŃa altor analize se ştie unde sunt zonele cu tensiuni şi deplasări mari, care
Figura 8.10

este configuraŃia structurii deformate şi între ce limite trebuie să se afle valorile mărimilor obŃinute
prin FEA. Pentru exemplificare se prezintă în figura 8.10 proiecŃia în plan orizontal a structurii din
figura 8.6 deformată, pentru un sistem de sarcini simetrice.
Comentarii, observaŃii, concluzii:
Prezentarea, mai sus, a unor modalităŃi de verificare a modelelor MEF, desigur că nu este
exhaustivă. Fiecare utilizator poate să-şi imagineze şi alte tehnici şi metode de verificare.
Se poate remarca faptul că în lucrarea de faŃă nu s-au făcut nici un fel de menŃiuni cantitative privind
condiŃiile de precizie cu care se pot sau trebuie verificate modele MEF. Aceasta nu este o pierdere din
vedere ci este rezultatul unei realităŃi şi anume că nu se poate stabili precizia unui model MEF în
general, ci toate exigenŃele impuse modelului (inclusiv cele de precizie) depind de particularităŃile
concrete, asociate problemei inginereşti care se rezolvă, ca, de exemplu, tipul structurii, scopul FEA,
importanŃa structurii, gradul de pericol în cazul unei avarii, tipul solicitării, durata de exploatare etc.
De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că MEF este aproximativă, ceea ce înseamnă că nu se
poate cere modelului mai mult decât poate oferi metoda, rezultatele obŃinute fiind determinate atât de
performanŃele modelului cât şi de principiile, ipotezele şi procedurile matematice de calcul incluse în
metoda şi în programul cu elemente finite.
Toate verificările făcute modelelor cu elemente finite sunt validate în ultimă instanŃă de
intuiŃia şi experienŃa utilizatorului şi atunci când este posibil, experimental.