Bacalaureat 2000

Bacalaureat 2000
Profilurile: matematica-fizica, informatica, metrologie
Sesiunea iunie
Subiectul I
1. Se considera polinomul cu coeficienti reali f = X
3 − 2X
2 − 5X
6
a) (3 p.) Sa se calculeze f(1);
b) (3 p.) Sa se determine catul si restul impartirii lui f la X −1;
c) (4 p.) Sa se rezolve ecuatia f ( x) = 0 .
2. (5 p.) Sa se rezolve ecuatia:
3
2
ln x − 2 ln x − 5ln x + 6 = 0, x > .
( ) ( ) 0
3. (10 p.) Sa se determine ∈R
x
2
x astfel incat ( t − 4t
− 5)
∫ 3 dt + 6 = 0 .
4. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera dreptele de ecuatii:
d 3x
− 2y
= 0, d : x + 3y
−11
= 0, d : 2x
− 3y
+ 5 0 .
1
:
2
3
=
a) (3 p.) Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor d
1
si d
2
;
b) (4 p.) Sa se arate ca dreptele d1 , d
2
, d
3
sunt concurente;
c) (3 p.) Sa se scrie ecuatia cercului de centru O(0, 0) care trece prin punctul
de concurenta al celor trei drepte.
Subiectul II
3 2
1. Se considera polinomul f = X − X + aX −1,
a ∈R
. Pentru
n n n
S
n
x1 + x2
+ x3
0
*
n ∈N
= , unde x , x x ∈ C sunt radacinile polinomului f .
1 2
,
a) (6 p.) Sa se arate ca S − S + aS − 3 0
3
3 2 1
=
b) (6 p.) Sa se determine a ∈R
astfel incat S = 3
1
2. Pentru orice x ∈ [ 0,1)
se defineste suma:
n−1
*
S ( x) = 1−
x + x 1−
x + ... + x 1−
x ∀n
∈N
n
,
a) (4 p.) Sa se arate ca pentru orice
n
1−
x
S
n
( x) = 1−
x ⋅ , x ∈ [ 0,1)
1−
x
lim x .
b) (4 p.) Sa se calculeze ( )
S n
n→∞
1
c) (5 p.) Sa se calculeze ∫ 1−
x dx .
0
*
n ∈N
, avem:
notam

Subiectul III
In M
2
( R)
, multimea matricelor patratice de odin 2 peste R, se considera
matricea:
⎛1+
5a
10a
⎞
X ( a) = ⎜
⎟,
a ∈R
⎝ − 2a
1−
4a⎠
a) (3 p.) Sa se calaculeze determinantul matricei X(a);
b) (3 p.) Sa se arate ca pentru orice a, b ∈R
avem:
X a ⋅ X b = X ab + a + b .
( ) ( ) ( )
Se considera multimea G = { X ( a) a ∈ ( −1,
∞)
}
c) (3 p.) Sa se demonstreze ca G este o parte stabila a lui M ( R)
2
in
raport cu operatia de inmultire a matricelor;
d) (2 p.) Sa se determine ( X ( 1)
) 2
.
e) (4 p.) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca
*
n
n
pentru orice ∈N X 1 = X 2 −1
.
Subiectul IV
n , avem ( )
Se considera functia : R → R,
f ( x)
a) (3 p.) Sa se calculeze
( ) ( )
f = cos x −1+
x→0
( )
lim f x
x
b) (6 p.) Sa se determine f ′ si f ′′ .
′ x > 0,
∀x
∈ 0,
∞
4
c) (2 p.) Sa se arate ca f ( ) ( ) si f ′( x) < 0,
∀x
∈ ( − ∞,0)
d) (2 p.) Sa se demonstreze ca pentru orice x ∈R , f ( x) ≥ 0 .
e) (2 p.) Pentru functia g : R → R,
g( x) = cos x
, sa se arate ca aria
suprafetei plane limitate de graficul functiei, axa Ox si dreptele de
ecuatii x=0, x=1, este mai mare decat 6
5 .
2
x
2
Nota. Se acorda din oficiu 10 p.