Bacalaureat 2002

Bacalaureat 2002
Profil: real (matematica-fizica, informatica)
Subiectul I (30 p)
1. Se considera functia £ £ ( )
2
f : → , f x = x + 2x
f x = x+ 1 −1,
∀x∈£
a) (4p) Sa se verifice ca ( ) ( ) 2
b) (4p) Sa se rezolve in R ecuatia ( f o f ) ( x ) = 0
c) (2p) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca
( ) ( ) ( ) 2
n
f o f o... o f x = x+ 1 −1,
∀x∈£
1442443
n ori
2
2. Se considera functia f : → , f ( x) = ln( x + 1)
¡ ¡ .
a) (4p) Sa se calculeze f′ ( x) , x∈¡
f ( x) − f ( 0)
b) (3p) Sa se calculeze
lim
x→0
c) (3p) Sa se calculeze f ( )
1
0
x
∫ xdx.
3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele
( − )
An, n , ∀n∈¥.
Subiectul II (20 p)
a) (3p) Sa se scrie ecuatia dreptei AA
0 1.
b) (4p) Sa se arate ca lungimea segmentului AA
n n + 1
nu depinde de
n,
∀n∈¥.
c) (3p) Sa se arate ca punctul A
n
se afla pe dreapta AA
0 1, ∀n∈¥.
.
⎧x− y+ z = 0
⎪
⎨ − + = ∈
⎪
⎩x − 3y + 5z
= 0
sistemului.
a) (5p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.
b) (3p) Sa se rezolve sistemul.
1. Se considera sistemul: x 2y 3z 0, unde ( xyz , , )
c) (2p) Sa se gaseasca o solutie ( , , )
x + 2y + 3z
= 8.
0 0 0
0 0 0
3
¡ . Notam cu A matricea
x y z a sistemului pentru care

a definit prin 1 1 1
∗
a
≥ n
= + + ... , ∀n∈¥ . Admitem
2 2 2
1 2 n
2
π
cunoscut ca liman
= si consideram sirurile ( bn) si ( c )
n→∞
n 1 n
definite prin
≥
n≥ 1
6
1 1
∗
bn = an + , cn = an
+ , ∀n∈¥ .
n n+
1
b este strict descrescator.
2. Se considera sirul ( n) n 1
a) (3p) Sa se arate ca sirul ( n) n≥ 1
b) (3p) Sa se arate ca sirul ( cn) n≥ 1
2
π
c) (2p) Sa se arate ca limbn
= limcn
= .
n→∞
n→∞
6
2
⎛ π ⎞
d) (2p) Sa se arate ca limn⎜an
− ⎟=−1.
n→∞
⎝ 6 ⎠
Subiectul III (20 p)
este strict crescator.
Pentru orice numar natural nenul n, se considera multimea de numere
⎧k
⎫
rationale Hn
= ⎨ k∈¢
⎬.
⎩n!
⎭
a) (4p) Sa se arate ca, daca xy , ∈ Hn, atunci x+ y∈ Hn.
b) (4p) Sa se verifice ca, daca x∈ Hn, atunci −x∈ Hn.
∗
c) (4p) Sa se arate ca, daca n< p∈¥ , atunci Hn ⊂ Hp.
∗
d) (2p) Sa se arate ca pentru orice numar rational r, exista n∈¥ astfel incat
r∈ H n
.
¤ ,+ si
e) (4p) Sa se arate ca daca ( , )
G + este subgrup al grupului ( )
1
∗
∈Gn
, ∈¥ , atunci Hn
⊂ G.
n!
f) (2p) Sa se demonstreze ca, daca G1,...,
G
2002
sunt subgrupuri ale grupului
( ¤ ,+)
si ¤ = G1∪G2∪...
∪G2002, atunci exista i∈{ 1,2,...,2002}
astfel incat
G
i
=¤.
Subiectul IV (20 p)
Se considera numerele reale a1, a2,..., a
n
si functiile f, F:
¡ →¡,
( ) 1 2
f x = a sinx+ a sin2 x+ ... + a sinnx
n
a n
a2
F( x) =−a1cosx− cos2 x−... − cos nx, n∈¥ , n≥2.
2
n
a) (4p) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f pe R.
b) (4p) Sa se verifice ca ( π) ( )
F x+ 2 k = F x , ∀k∈¢ , ∀x∈¡.
c) (2p) Utilizand rezultatul: “Daca o functie g:
¡ →¡ este periodica si
monotona atunci este constanta”, sa se arate ca daca ( ) ≥0,
atunci functia F este constanta.
f x ∀x∈¡,

d) (4p) Sa se arate ca daca functia F este constanta, atunci f ( x) = 0, ∀x∈¡.
e) (4p) Notam cu ( )
2π
∫
∗
S pq , = sin pxsin qx dx, ∀pq
, ∈¥ . Utilizand formula
( ) ( )
0
2sinasinb= cos a−b − cos a+ b , ∀ab
, ∈¡, sa se arate ca:
⎧0, daca p≠
q
S( pq , ) = ⎨
, ∀pq
, ∈¥
⎩π, daca p=
q
f) (4p) Sa se demonstreze ca daca ( ) 0,
a1 = a2 = ... = a n
= 0.
∗
f x ≥ ∀x∈¡, atunci