Trigonometrie clasa a IX-a

Trigonometrie
Funcţia sinus
sin : → [ − 1,1 ] este periodică (perioada principală T * =2π ), impară, mărginită.
Funcţia arcsinus
⎡ π π ⎤
arcsin : [ −1,1 ] → ⎢
− ,
⎣ 2 2 ⎥
este impară, mărginită, bijectivă.
⎦
Funcţia cosinus
cos : → [ − 1,1 ] este periodică (perioada principală T * =2π ), pară, mărginită.
Funcţia arccosinus
−1,1 → 0,π mărginită, bijectivă.
arccos : [ ] [ ]
Funcţia tangentă
⎧π
⎫
tg: \ ⎨ + kπ;
k∈⎬→ este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
⎩2
⎭
Funcţia arctangentă
⎛ π π ⎞
arctg : → ⎜ − , ⎟ este impară, mărginită, bijectivă.
⎝ 2 2⎠
Funcţia cotangentă
\ kπ; k∈ → . este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
ctg: { }
Funcţia arccotangentă
arcctg : → 0, π mărginită, bijectivă.
( )
TEORIE PERIODICITATE ŞI PARITATE
O funcţie f: → se numeşte periodică dacă există T∈ * astfel încât f ( x + T ) = f ( x ), ∀ x∈ .
Dacă printre numerele T>0 există un cel mai mic T * >0 atunci acesta se numeşte perioada principală a
funcţiei f.
f − x =− f x ,∀ x∈ .
O funcţie f: → se numeşte impară dacă ( ) ( )
O funcţie f: → se numeşte pară dacă f ( x) f ( x)
Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran :
π
x 0 6
sinx
cosx
tgx
ctgx
π
4
π
3
π
2
0
1 2 3
2 2 2
1
1
3 2 1
2 2 2 0
1
0 3 1 3 /
1
/ 3 1 3 0
− = , ∀ x∈ .
T R A I A N
1

Semnele functiilor trigonometrice şi monotonia pe cadrane:
x I II III IV
sinx + + − −
cosx + − − +
tgx + − + −
ctgx + − + −
Identităţi fundamentale
⎛π
⎞ ⎛π
⎞
sin ⎜ -x ⎟=cosx cos⎜ -x ⎟=sinx
⎝2 ⎠ ⎝2
⎠
⎛π
⎞ ⎛π
⎞
tg⎜ -x ⎟=ctgx ctg ⎜ -x ⎟=tgx
⎝2 ⎠ ⎝2
⎠
2 2
sin x+cos x=1
tgx ⋅ctgx=1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sin arcsinx =x arcsin sinx =x
cos arccosx =x arccos cosx =x
tg arctgx =x arctg tgx =x
π
π
arcsinx+arccosx= arctgx+arcctgx=
2 2
Reducerea la primul cadran
II →I III →I IV →I
( π ) ( π) ( π )
( π ) ( π) ( π )
( π ), ( π) , ( 2π
)
( π ), ( π) , ( 2π
)
sin x= sin − x , sin x=−sin x− , sin x=−sin 2 −x
cos x=−cos − x , cos x=−cos x− , cos x=
cos 2 -x
tgx =−tg − x tgx = tg x − tgx =−tg −x
ctgx =−ctg − x ctgx = ctg x − ctgx =−ctg −x
Formule paritate
sin − x =−sin
x
cos
( )
( x)
( )
( )
T R A I A N
− = cos x
tg − x =−tgx
ctg − x =−ctgx
Formule periodicitate
arcsin
arccos
x I II III IV
sinx
cosx
tgx
ctgx
( x)
( x)
( )
( )
− =−arcsinx
− = π −arccos
x
arctg − x =−arctgx
arcctg − x = π −arcctgx
2

( π )
( π )
sin 2k + x = sin x
cos 2k + x = cos x
Formule pentru sume şi diferenţe de unghiuri
sin
sin
( x + y)
= sin x cos y + sin y cos x
( x − y)
= sin x cos y − sin y cos x
( x + y)
= cos x cos y − sin x sin y
( x − y) = cos x cos y + sin x sin y
( π + ) =
( π ) ,
tg k x tgx
ctg k + x = ctgx k ∈
tgx + tgy
tg ( x + y)
=
1 − tgx ⋅ tgy
tgx − tgy
tg ( x − y)
=
1 + tgx ⋅ tgy
cos
ctgx ⋅ctgy
−1
ctg ( x + y)
=
cos
ctgy + ctgx
ctgx ⋅ ctgy + 1
ctg ( x − y)
=
ctgy − ctgx
Formule pentru unghiuri duble
2 2 2 2
sin 2x= 2sin xcos x cos 2x= cos x− sin x= 2cos x− 1 = 1−2sin
x
tgx
ctg x −
tg2x
= 2 =
tg x
ctgx
Formule pentru unghiuri triple
2
2 1
ctg x
2
1−
2
x x x x x x
3 3
sin 3 = 3sin − 4sin cos3 = 4cos −3cos
tgx −tg x ctg x − ctgx
tg3x
= 3 =
3 3
3 3
ctg x
2
1−3tg x
3ctgx
−1
Formule pentru jumătăţi de unghiuri
x 1− cos x x 1+
cos x
sin =± cos =±
2 2 2 2
x 1−cos x sin x 1− cos x x 1+ cos x sin x 1+
cos x
tg =± = = ctg =± = =
2 1+ cos x 1+ cos x sin x 2 1−cos x 1−cos sin x
Formule pentru substituţia cu
x
t = tg
2
T R A I A N
3

x
2 x
2tg
1-tg
2
2 2t 2 1−
t x
sin x = = cosx = = unde t = tg
2 2
2 x 1 2 x
1+ tg
+ t
1+
tg
1+
t
2
2 2
x
2 x
2tg
1-tg
2
2 2t
2 1−
t
tgx = = ctgx= =
2
2 x 1 x
1-tg
− t
2tg
2t
2 2
Formule pentru trasformarea sumelor în produse
x+ y x− y x− y x+
y
sin x+ sin y = 2sin cos sin x− sin y = 2sin cos
2 2 2 2
x+ y x− y x+ y x−
y
cos x+ cos y = 2cos cos cos x− cos y =−2sin sin
2 2 2 2
⎛π
⎞ ⎛ π ⎞
sin x+ cos x= sin x+ sin ⎜ − x⎟= 2 cos⎜x−
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4⎠
Formule pentru trasformarea produselor în sume
1
sin x⋅ cos y = ⎡sin ( ) sin ( )
2
⎣ x+ y + x−
y ⎤⎦
1
cos x⋅ cos y = ⎡cos( x y) cos ( x y)
2
⎣ − + + ⎤⎦
1
sin x⋅ sin y = ⎡cos( x− y) − cos ( x+
y)
⎤
2
⎣
⎦
Ecuatii trigonometrice fundamentale:
π
sin x=−1⇒ x=− + 2kπ
2
sin x= 0 ⇒ x=
kπ
π
sin x= 1⇒ x= + 2kπ
2
cos x=−1⇒ x= π + 2kπ
π
cos x= 0 ⇒ x= + kπ
2
cos x= 1⇒ x=
2kπ
[ ] ( )
k
{ π }
sin x= a∈−1,1 ⇒ S = − 1 arcsin a+ k / k∈
[ ] { π }
{ π / }
{ π / }
cos x= a∈−1,1 ⇒ S = ± arccos a+ 2 k / k∈
T R A I A N
tgx = a ⇒ S = arctga + k k ∈
ctgx = a ⇒ S = arcctga + k k ∈
4

1 2
1 2
( )
sin x = sin y ⇒ x = y + 2k π sau x + y = 2k
+ 1 π
cos x = cos y ⇒ x = y + 2k π sau x + y = 2k
π
tgx = tgy ⇒ x = y + kπ
ctgx = ctgy ⇒ x = y + kπ
1
Pentru ecuaţiile de tipul asin x+ bcos
x= c înmulţim egalitatea cu
a + b
sin α ± β .
numerele obţinute cu sin respectiv cos, transformând apoi în formula ( )
EXERCIŢII FORMULE
0
1. Să se calculeze sin 135 .
2 0 2 0
2. Să se calculeze sin 100 + cos 80 .
2 0 2 0
3. Să se calculeze sin 130 + cos 50 .
2 0 2 0
4. Să se calculeze sin 135 + cos 45 .
0
5. Să se calculeze sin 120 .
0
0
6. Să se calculeze sin170
− sin10 .
0 0
0
0
7. Să se calculeze cos0 + cos1 + cos2 + ... + cos180 .
0
0
8. Să se calculeze sin 60 − cos 30 .
0
0
0 0
9. Să se calculeze sin( 10 ) ⋅sin(
−9
) ⋅...
⋅sin9
⋅sin10
0
0
0
10. Să se calculeze sin 30 − cos45 + sin 60 .
0
0
11. Să se calculeze cos 80 + cos100 .
2 0 2 0
12. Să se calculeze 80 sin 10
13. Să se calculeze
0
− .
sin + .
0
sin135
.
cos45
2 0 2
tg 30 + ctg 45 .
0
0
0
cos 10 + cos 20 + cos160 + cos170 .
3
0 0
sin x = şi x ∈(0
;90 ) .
5
2 0 2
sin 150 + cos 30 .
2 0 2
sin 120 + cos 60 .
2
(sin x cos x)
− 2sin x ⋅cos
0
14. Să se calculeze
0
15. Să se calculeze
16. Să se calculeze cos x, ştiind că
2 2
şi înlocuim
17. Să se calculeze
0
18. Să se calculeze
0
19. Să se demonstreze că expresia + x este constantă, pentru oricare ar
fi numărul real x.
0
0
20. Să se arate că sin10 − cos80 = 0 .
21. Să se determine cos(180
0
0 0
− x),
ştiind că x ∈(0
;90 ) şi
1
cos x = .
2
2 0 2 0
22. Să se calculeze 30 cos 60
2 0 2 0
23. Să se calculeze sin 135 + cos 45 .
0 0
24. Să se arate că pentru x ∈(0
;90 ) este adevărată egalitatea
sin + .
T R A I A N
0
2 0
sin x ⋅cos(90
− x)
+ cos (180 − x)
= 1.
0
0
0
0
25. Ştiind că sin80 − cos80 = a,
să se calculeze sin100 + cos100 − a.
0
0
0
26. Să se calculeze sin135
+ tg 45 − cos 45 .
5

4
5
1
cos x =
3
27. Să se calculeze sin(180
0 − x)
ştiind că sin x = .
28. Să se calculeze cos(180
0 − x)
ştiind că .
2 0
29. Să se calculeze 2sin 135 .
2 0 2 0
30. Să se calculeze sin 25 + sin 65 .
0
0
0
31. Să se calculeze lg( tg40
) ⋅ lg( tg41
) ⋅...
⋅lg(
tg45
).
0
0
0 0
0 0
32. Să se calculeze produsul (cos1 − cos9 ) ⋅(cos2
− cos8 ) ⋅...
⋅(cos9
− cos1 ).
33. Să se calculeze
34. Să se calculeze
35. Ştiind că
sin
23π cos . 12
23π
π
cos ⋅ sin
12 12
1
3
. V1
α = să se calculeze cos 2α . V3
2 o 2 o 2 o 91
36. Să se arate că sin 1 + sin 2 + ... + sin 90 = . V9
37. Ştiind că ctgx = 3, să se calculeze ctg2x . V12
3π
38. Fie α∈ ⎛ π, ⎞
⎜ ⎟ astfel încât 5
cosα = − . Să se calculeze sinα . V15
⎝ 2 ⎠ 13
⎛π
⎞
39. Fie α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
astfel încât 3
sinα = . Să se calculeze sin 2α . V16
⎠ 5
40. Să se arate că
41. Ştiind că
ctg2
1
sin x =
3
ctg1−
tg1
2
= . V19
, să se calculeze cos 2x . V21
o
o
42. Să se calculeze sin 75 + sin15 . V22
⎛π
1 ⎞
43. Să se calculeze tg ⎜ − arctg ⎟
⎝ 2 2
. V23
⎠
44. Ştiind că tgα = 2 , să se calculeze sin 4α . V23
⎛
45. Să se calculeze sin π π ⎞ ⎛
sin
π π ⎞
⎜ + ⎟+ ⎜ − ⎟
⎝ 6 4⎠ ⎝ 6 4
. V25
⎠
⎛π
⎞
46. Fie α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
astfel încât 1
sinα = . Să se calculeze tgα . V26
⎠ 3
47. Ştiind că α ∈ şi că
2
1
sinα
+ cosα
= , să se calculeze sin 2α . V27
3
⎛π
⎞
48. Ştiind că α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
şi că 3
sinα = , să se calculeze tgα . V28
⎠ 5
π
49. Ştiind că α ⎛ 0, ⎞ şi că tgα
+ ctgα
= 2, să se calculeze sin 2α . V29
2
50. Să se arate că
T R A I A N
∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
π 2−
2
sin 8 2
= . V30
51. Să se arate că sin 6 < 0 . V31
6

⎛π ⎞
52. Ştiind că x ∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
şi că 3
x
sin x = , să se calculeze sin . V32
⎠ 5
2
1
⎛ π ⎞
53. Ştiind că x ∈ şi că tgx = , să se calculeze tg x + . V33 Se consideră triunghiul ascuţit
⎜ ⎟
2
⎝ 3 ⎠
B+ B= C+ C.
⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞
sin ⎜arcsin
⎟ + sin arccos
⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
unghic ABC în care are loc relaţia sin cos sin cos
54. Să se arate că numărul
55. Să se arate că
56. Să se arate că
sin105
sin15
o
este natural. V37
6 2
4
6−
2
4
sin a b sin a b sin a sin b, ab ,
= . V37
o +
= . V39
2 2
57. Să se demonstreze egalitatea ( + ) ⋅ ( − ) = − ∀ ∈ . V40
58. Fie a şi b numere reale astfel încât sin a sin b 1
cos a
( − b)
. V41
59. Să se arate că
sin105 sin 75
o o +
6 2
2
+ = . V43
+ = şi
cos a
⎛π
⎞
60. Ştiind că α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
şi că 3
sinα = , să se calculeze ctgα . V44
⎠ 5
o
o
2 sin 75 − sin15 = 2 . V45
61. Să se arate că ( )
o
o
62. Să se verifice egalitatea ( )
⎞
⎟
⎝ ⎠
2 cos 75 cos15 6
+ = . V47
⎛ π
63. Ştiind că x ∈ ⎜ 0, şi că tgx = 3 , să se calculeze sin 2x . V49
2
64. Să se calculeze tg2α , ştiind că
π
α ∈ ⎛ 0, ⎞
⎜ ⎟ şi 12
sinα =
⎝ 2 ⎠ 13
ctga = şi ctgb = 5
1
+ cosb= . Să se calculeze
2
. V50
65. Să se calculeze tg ( a + b)
, ştiind că 2 . V51
66. Să se calculeze tg2x , ştiind că ctgx = 3. V55
2
67. Să se calculeze sin x , ştiind că ctgx = 6 . V59
68. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3. Să se determine măsura unghiului C. V64
69. Ştiind că
1
tg α =
2 3
, să se calculeze sinα . V65
2
70. Să se calculeze cos x, ştiind că tgx = 4. V66
π 2π 3π 4π
71. Să se calculeze sin + sin + sin + sin . V67
3 3 3 3
1
cosα =
3
11
T R A I A N
72. Să se calculeze cos 2α , ştiind că
73. Să se calculeze
sin 12
π . V68
π
74. Să se calculeze cos . V69 12
7
. V67
7

o
o
75. Să se calculeze cos 75 − cos15 . V70
o
o
76. Să se calculeze sin 75 ⋅ cos15 . V72
⎛π
⎞
77. Fie α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
astfel încât 1
cos 2α = . Să se calculeze cosα . V73
⎠ 2
⎛π
⎞
78. Fie α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
astfel încât 1
cos 2α = − . Să se calculeze sinα . V74
⎠ 2
⎛π
⎞
79. Fie α∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
astfel încât 3
sinα = . Să se calculeze tg α . V76
⎠ 5
2
π
80. Fie α ∈ ⎛ 0, ⎞
⎜ ⎟ astfel încât 3
sinα = . Să se calculeze tgα . V77
⎝ 2 ⎠ 4
⎛ π π ⎞
81. Fie ab , ∈ ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2
, astfel încât π
a+ b= . Să se arate că tga ⋅ tgb + tga + tgb = 1. V78
⎠ 4
2
2
82. Fie x ∈ , astfel încât tg x = 6 . Să se calculeze cos x. V79
83. Fie x ∈ , astfel încât
84. Fie ab∈ , , astfel încât
85. Fie a ∈ , astfel încât
1
sin x= + cos x. Să se calculeze sin 2x . V80
2
π
a b
sin 2a sin 2b 2cos a b
2
1
sin a = . Să se arate că sin 3a . V82
4
o o o o
tg tg tg tg
+ = . Să se arate că + = ( − ). V81
86. Să se arate că 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅... ⋅ 89 = 1. V83
87. Fie ab∈ , , astfel încât a− b= π . Să se arate că are loc relaţia cos a⋅cosb≤ 0. V84
3π
88. Fie ab∈ , , astfel încât a+ b= . Să se arate că sin 2a− sin 2b= 0. V85
2
cos1 + cos 2 + ... + cos179 . V86
π
arctgx + arctgy = . Să se arate că x⋅
y 1
2
⎛3 π ⎞
x ∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 4
şi 3
sin 2x = − . V88
⎠ 5
π
ab∈ , astfel încât a+ b= . Să se arate că sin 2a−sin 2b−sin ( a− b)
= 0. V89
3
sin 40 o
o
⋅ sin140 = cos 130 . V91
3π
α∈ ⎛ π, ⎞
⎜ ⎟
cosα = − . Să se calculeze sin 2α . V92
2 3
89. Să se calculeze suma
0 0 0
90. Numerele reale x şi y verifică egalitatea
91. Să se calculeze tgx , ştiind că
92. Fie ,
93. Să se arate că
2 0
94. Fie astfel încât 1
⎝ ⎠
95. Fie α ∈ , astfel încât sinα
+ cosα
= 1. Să se calculeze tg2α . V94
96. Să se arate că sin x+ sin 3x+ sin 5x= ( 1+ 2cos 2x)
⋅ sin 3x. V95
⎛π ⎞
97. Ştiind că a ∈ ⎜ , π ⎟
⎝ 2
şi că 3
sin a = , să se calculeze tga . V98
⎠ 5
98. Să se determine cel mai mare element al mulţimii { cos1,cos 2,cos3 }. V99
99. Fie a ∈ cu
= . V88
T R A I A N
2
tga =
5
. Să se calculeze sin a . V100
8

⎛π 100. Ştiind că x , π
⎞
∈ ⎜ ⎟
⎝ 2
şi 2 2
sin x =
⎠ 3
, calculaţi cos x . Bac2011
ECUAŢII
101. Să se rezolve în mulţimea ( 0,π ) ecuaţia sin 3x= sin x. V6
102. Să se rezolve în mulţimea [ )
0, 2π ecuaţia
1
sin x = − . V7
2
tg x tgx
103. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia ( ) 1 2
104. Să se rezolve în mulţimea [ )
105. Să se rezolve în mulţimea [ )
106. Să se rezolve în intervalul [ 1,1]
107. Să se rezolve în intervalul [ 1,1]
108. Să se rezolve în mulţimea [ )
0, 2π ecuaţia
− = − . V11
1
cos 2x =
2
x x
. V12
0, 2π ecuaţia sin + cos = 0 . V15
− ecuaţia
− ecuaţia
1
π
arcsin arcsin x
2 3
1
π
arccos arcsin x
2
2
x x
+ = . V16
+ = . V18
0, 2π ecuaţia sin + cos =− 1. V20
2
109. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x= 1+ cos x. V32
110. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei sin x= sin 2x
din intervalul [ 0, 2π ). V34
111. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x+ cos( − x)
= 1. V38
1 π
112. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctgx + arcctg = . V42
113. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia
3 2
1
arcsin 2x = − . V44
2
x x
x + =
114. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 + sin = 0 . V48
0, 2π ecuaţia 2sin 1 0. V61
115. Să se rezolve în mulţimea [ )
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
116. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos⎜2x+ ⎟= cos⎜x−
⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2
. V62
⎠
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
117. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin ⎜x− ⎟= sin ⎜3x+
⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4
. V63
⎠
⎛ π ⎞ ⎛π
⎞
118. Să se rezolve în ( 0,π ) ecuaţia tg ⎜x + ⎟= tg ⎜ −x⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 2
. V64
⎠
119. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3sin x+ 3 cos x= 0. V65
0, 2π ecuaţia 3 sin x−
cos x= 1. V66
120. Să se rezolve în mulţimea [ ]
121. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia
x 1 π
arctg arctg
3 3 3
π
arctg arctgx
2
+ = . V68
122. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 + = . V76
T R A I A N
123. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia . V83
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
124. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin ⎜x+ ⎟= cos⎜x−
⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 6
. V86
⎠
9

125. Să se rezolve în intervalul ( 0,5 ) ecuaţia
⎛ π ⎞ 1
sin ⎜2x
+ ⎟=−
⎝ 6 ⎠ 2
tgα α
. V92
126. Să se determine α∈ ( 0, 2π)
astfel ca = sin . V93
127. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin 2x= cos x. V97
128. Fie mulţimea
⎧ π π 3π
⎫
A = ⎨0, , , π , ⎬
⎩ 6 2 2 ⎭
. Care este probabilitatea ca, alegând un element
3 3
din mulţimea A, acesta să fie soluţie a ecuaţiei sin x+ cos x= 1 ? Bac2010
T R A I A N
10