MATEMATIC~ M2
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Marius Burtea Georgeta Burtea<br />
REZOLVAREA PROBLEMELOR<br />
DIN MANUALUL DE<br />
<strong>MATEMATIC~</strong> <strong>M2</strong><br />
CLASA A XI-A<br />
Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD)<br />
Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.<br />
1
Instruc\iuni de utilizare<br />
Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea<br />
problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]i<br />
probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a,<br />
ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul de<br />
Bacalaureat.<br />
Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte:<br />
Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce<br />
cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare.<br />
Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din<br />
urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul<br />
func\iilor cu ajutorul derivatelor.<br />
Fi]ierul este organizat astfel:<br />
Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare<br />
Enun\uri<br />
Rezolv`ri<br />
Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic`<br />
Enun\uri<br />
Rezolv`ri<br />
Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n<br />
paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii<br />
asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am<br />
notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]i<br />
probleme (coloana scris` cu albastru).<br />
Modul de utilizare a fi]ierului<br />
Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui<br />
anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel,<br />
dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de exerci\ii de la o anumit` tematic`, este<br />
suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana Enun\uri exerci\ii ]i probleme<br />
propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz`<br />
]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la pagina<br />
corespunz`toare.<br />
Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`,<br />
ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme.<br />
O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu<br />
s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni.<br />
2<br />
V` dorim mult succes la matematic`<br />
AURORII
CUPRINS<br />
PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.<br />
propuse [n manual<br />
Capitolul 1. Matrice<br />
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,<br />
mul\imi de matrice. .............5<br />
1.2. Opera\ii cu matrice .............7<br />
1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar ..7<br />
1.2.4. {nmul\irea matricelor ..........9<br />
Teste de evaluare ................12<br />
Capitolul 2. Determinan\i<br />
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice<br />
de ordin cel mai mult trei ..........13<br />
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n<br />
geometrie. .................16<br />
Teste de evaluare ................17<br />
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) ......19<br />
3.2. Ecua\ii matriceale .............21<br />
3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 22<br />
Teste de evaluare ................26<br />
Probleme recapitulative ............27<br />
Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.<br />
propuse [n manual manual<br />
Capitolul 1. Limite de func\ii<br />
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` ...112<br />
1.4. Calculul limitelor de func\ii .......114<br />
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice ..116<br />
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii .......118<br />
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor<br />
de func\ii .................120<br />
1.6.4. Limite fundamentale [n calculul<br />
limitelor de func\ii ..........122<br />
1.7 Asimptotele func\iilor reale ........124<br />
Teste de evaluare ...............125<br />
Capitolul 2. Func\ii continue<br />
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct ......127<br />
2.2. Opera\ii cu func\ii continue .......129<br />
2.3. Semnul unei func\ii continue pe<br />
un interval .................130<br />
Teste de evaluare ...............131<br />
Capitolul 3. Func\ii derivabile<br />
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct ....133<br />
3.2. Derivatele unor func\ii elementare ....135<br />
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile .......136<br />
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse .....138<br />
3.4. Derivata de ordinul doi ..........139<br />
3.5 Regulire lui l'Hôspital ...........141<br />
Teste de evaluare ...............141<br />
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu<br />
ajutorul derivatelor<br />
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 143<br />
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul<br />
func\iilor .................145<br />
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor ....147<br />
Teste de evaluare ...............148<br />
Probleme recapitulative ............150<br />
pag.<br />
manual<br />
7<br />
14<br />
24<br />
24<br />
32<br />
34<br />
37<br />
52<br />
62<br />
64<br />
66<br />
70<br />
74<br />
90<br />
96<br />
97<br />
Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.<br />
Capitolul 1. Matrice<br />
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,<br />
mul\imi de matrice .............30<br />
1.2. Opera\ii cu matrice. ............33<br />
1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . 33<br />
1.2.4. {nmul\irea matricelor .........38<br />
Teste de evaluare ................51<br />
Capitolul 2. Determinan\i<br />
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice<br />
de ordin cel mai mult trei ..........54<br />
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n<br />
geometrie. .................63<br />
Teste de evaluare ................70<br />
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) ......73<br />
3.2. Ecua\ii matriceale .............80<br />
3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 83<br />
Teste de evaluare ...............102<br />
Probleme recapitulative ............106<br />
PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`<br />
pag.<br />
manual<br />
103<br />
113<br />
134<br />
140<br />
151<br />
160<br />
167<br />
176<br />
177<br />
179<br />
183<br />
187<br />
191<br />
192<br />
194<br />
202<br />
209<br />
213<br />
220<br />
224<br />
229<br />
230<br />
235<br />
239<br />
246<br />
255<br />
256<br />
258<br />
3<br />
Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.<br />
Capitolul 1. Limite de func\ii<br />
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` ...156<br />
1.4. Calculul limitelor de func\ii .......160<br />
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice ..162<br />
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii .......165<br />
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor<br />
de func\ii .................168<br />
1.6.4. Limite fundamentale [n calculul<br />
limitelor de func\ii ..........172<br />
1.7 Asimptotele func\iilor reale ........176<br />
Teste de evaluare ...............185<br />
Capitolul 2. Func\ii continue<br />
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct ......188<br />
2.2. Opera\ii cu func\ii continue .......192<br />
2.3. Semnul unei func\ii continue pe<br />
un interval .................196<br />
Teste de evaluare ...............200<br />
Capitolul 3. Func\ii derivabile<br />
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct ....203<br />
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile .......208<br />
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse .....214<br />
3.4. Derivata de ordinul doi ..........219<br />
3.5 Regulire lui l'Hôspital ...........222<br />
Teste de evaluare ...............226<br />
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu<br />
ajutorul derivatelor<br />
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 228<br />
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul<br />
func\iilor .................237<br />
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor ....243<br />
Teste de evaluare ...............260<br />
Probleme recapitulative ............264
PARTEA I<br />
ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL<br />
SISTEME DE ECUA|II LINIARE<br />
Capitolul 1. Matrice<br />
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice<br />
1.2. Opera\ii cu matrice<br />
Exerci\ii ]i probleme<br />
Teste de evaluare<br />
Capitolul 2. Determinan\i13<br />
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei<br />
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie<br />
Teste de evaluare<br />
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) <br />
3.2. Ecua\ii matriceale<br />
3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal`<br />
Teste de evaluare<br />
Probleme recapitulative<br />
4
PARTEA I.<br />
Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
Capitolul 1. Matrice<br />
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 14 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se scrie o matrice A M ( ), B M ( ), C M ( ), X M ( ) .<br />
3, 2 2, 2 3, 4 2, 3<br />
E2. S` se scrie:<br />
a) o matrice coloan` cu 4 linii; b) o matrice linie cu 4 coloane;<br />
c) matricea unitate de ordinul 5; d) matricea nul` de tipul (3, 4).<br />
E3. Se consider` matricele:<br />
<br />
<br />
<br />
A <br />
B C<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 4 <br />
<br />
2 3 3<br />
<br />
8 <br />
<br />
7 8 2 ; 4<br />
<br />
;<br />
1<br />
;<br />
D 2<br />
<br />
i 5 7<br />
.<br />
2 5<br />
<br />
0 4 1 3 5<br />
<br />
1<br />
i<br />
a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D.<br />
b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate.<br />
Exemplu: b 2, d 5,<br />
... .<br />
11 13<br />
c) S` se completeze:<br />
a23 ..., a32 ..., a22 ..., c31 ..., c21 ..., 1i ..., b23 ..., d14<br />
...<br />
]i altele.<br />
d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor:<br />
3 ...,<br />
4 ...,<br />
• a11 a22 a33<br />
reprezint` diagonala principal` a matricei A.<br />
• diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu 12.<br />
• a31 b22 c 21 d14 3 1.<br />
• a b c d<br />
2 2<br />
U 12.<br />
23 13<br />
31<br />
12<br />
• a b 5d<br />
.<br />
23 21 11<br />
a<br />
E4. Matricea X 3 6 2<br />
b<br />
b determine a, b, c, m .<br />
1b c 12<br />
2<br />
a 4<br />
<br />
<br />
reprezint`<br />
matricea nul` de tipul (2, 3). S` se<br />
4 2m<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
E5. Matricea A 4<br />
y<br />
2<br />
z 1 0<br />
3u 2<br />
v<br />
0 <br />
<br />
1<br />
t reprezint` matricea unitate de ordinul 3. S` se<br />
2 <br />
1x<br />
<br />
determine numerele complexe x, y, z, t, u, v.<br />
5
E6. S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea:<br />
2<br />
1<br />
a) <br />
x <br />
<br />
5<br />
1<br />
y 6<br />
<br />
<br />
<br />
x y<br />
5 1<br />
<br />
<br />
;<br />
42x y<br />
x<br />
y<br />
b) <br />
<br />
<br />
4<br />
2x<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
2x<br />
y<br />
x<br />
2y<br />
y2<br />
<br />
.<br />
5 <br />
E7. Se consider` matricele A M4, 5n<br />
( ) ]i B M 2 ( )<br />
m , 2<br />
. S` se determine m, n astfel<br />
[nc@t s` fie posibil` rela\ia A B.<br />
Sintez`<br />
S1. S` se scrie matricea A aij<br />
S2. S` se scrie matricea <br />
<br />
B b ij<br />
44 33 , ]tiind c` <br />
aij max i, j , i, j 1,<br />
4 .<br />
, ]tiind c` b j , i, j 1,<br />
3.<br />
<br />
<br />
2,<br />
dac`<br />
i j<br />
S3. S` se scrie matricea C c<br />
ij<br />
, ]tiind c` c<br />
i j<br />
34 ij 1,<br />
dac`<br />
.<br />
i j i<br />
<br />
( 1) A j , dac`<br />
i j<br />
<br />
<br />
4<br />
S4. Se dau matricele A 3 <br />
5<br />
2<br />
2x<br />
6<br />
4 <br />
<br />
1 ]i<br />
2 <br />
y 6<br />
<br />
<br />
4x B <br />
0<br />
<br />
4<br />
6<br />
2<br />
x 0<br />
2 <br />
<br />
10<br />
<br />
2y<br />
<br />
.<br />
a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B).<br />
b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a33 b33 a21 b12<br />
?<br />
c) Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea a22 2b22 a32 b23?<br />
d) S` se determine x, y astfel ca tr( A) tr( B) a b<br />
.<br />
ij<br />
i1<br />
13 31<br />
S5. Se dau matricele p`tratice<br />
x1 A <br />
2<br />
<br />
log<br />
2 ( a1) 0 <br />
<br />
] i<br />
2<br />
4y 3x<br />
<br />
<br />
x x<br />
3 9<br />
B <br />
<br />
a<br />
3bi1<br />
2<br />
y 2y<br />
<br />
lg<br />
<br />
3 .<br />
2 <br />
3!<br />
Cn<br />
<br />
a) S` se determine x, y, a astfel [nc@t A I 2 .<br />
b) Pentru ce numere x, y, a, b, n are loc egalitatea O2 B?<br />
S6. S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice:<br />
2<br />
a 4 a b<br />
a<br />
a) <br />
2 1<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
Cn<br />
x <br />
2<br />
C<br />
<br />
1 7<br />
n<br />
;b)<br />
3x<br />
( 12x ) z 2x<br />
1 x 2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
4 <br />
<br />
.<br />
3 2<br />
b 3<br />
4 log2<br />
a<br />
S7. S` se determine numerele reale pozitive x, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt<br />
egale:<br />
2<br />
x x<br />
y<br />
x y<br />
A <br />
2 <br />
<br />
<br />
B<br />
C<br />
m 2<br />
3<br />
<br />
3 4 5<br />
, , 2 <br />
<br />
2 .<br />
3 2 3<br />
m C p <br />
6<br />
z1
1.2. Opera\ii cu matrice<br />
1.2.1. Adunarea matricelor<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 24 manual<br />
Exersare<br />
2<br />
E1. S` se calculeze: a) <br />
<br />
5<br />
1<br />
4<br />
3 <br />
<br />
7<br />
<br />
2<br />
3<br />
8<br />
0<br />
5<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
b) <br />
<br />
2a<br />
<br />
3x b <br />
<br />
<br />
a<br />
<br />
8y<br />
2x<br />
<br />
<br />
6 5b<br />
<br />
<br />
;<br />
c) 1<br />
6y<br />
2<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
4<br />
5<br />
<br />
5<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
4<br />
2 5<br />
<br />
3 3<br />
7<br />
1<br />
1<br />
5<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2 .<br />
8 <br />
<br />
3 <br />
E2. S` se calculeze: a) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
4 6<br />
5 0<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2 0<br />
2<br />
0<br />
i<br />
<br />
;<br />
b) 2<br />
1 <br />
1<br />
4<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3 <br />
2<br />
<br />
1<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
3<br />
<br />
4<br />
4<br />
i <br />
<br />
2<br />
<br />
6<br />
.<br />
E3. Se dau matricele:<br />
A B C<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
3<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
; <br />
2<br />
0<br />
3<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
; <br />
0<br />
2<br />
<br />
4<br />
2 <br />
<br />
3 <br />
<br />
5<br />
.<br />
t t t t<br />
a) S` se calculeze A B, A B, A B, ( A B), ( A B).<br />
t t t t<br />
b) S` se calculeze A C, B C, ( A B C).<br />
E4. Se dau matricele p`tratice:<br />
<br />
<br />
2x A 1<br />
<br />
v<br />
4y u<br />
2v 3z<br />
<br />
<br />
1<br />
4<br />
,<br />
B y <br />
t<br />
3<br />
x<br />
z<br />
v<br />
2y<br />
v <br />
<br />
x <br />
<br />
x z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
, C 2<br />
<br />
2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3 <br />
<br />
3.<br />
<br />
2 <br />
S` se determine x, y, z, u, v, t astfel ca A B C.<br />
E5. S` se determine matricea X <strong>M2</strong> ( ) dac`<br />
1<br />
2 1 <br />
1 1<br />
1 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 5<br />
3<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
X<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
4 .<br />
<br />
1 5 <br />
<br />
5 6<br />
a b <br />
<br />
E6. Se d` matricea de ordinul trei, A <br />
2<br />
a 1 10.<br />
S` se determine numerele reale a, b,<br />
<br />
<br />
3 3c 2<br />
n <br />
c, n astfel ca t A A.<br />
7
E7. Se d` matricea A <br />
<br />
2 3 <br />
<br />
<br />
.<br />
S` se scrie matricea A sub forma:<br />
5 2 <br />
E8. S` se calculeze:<br />
a) 1<br />
<br />
<br />
2<br />
A B C, A A A , A I E, A DI .<br />
6 8<br />
<br />
<br />
2<br />
18 6 12<br />
<br />
;<br />
b) <br />
12 0, 2<br />
3<br />
15 2<br />
C 15<br />
3 ,<br />
2 <br />
1 2<br />
; c) 2 1<br />
2 2<br />
E9. S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea:<br />
X <br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
0<br />
3<br />
<br />
5<br />
<br />
0<br />
( 1)<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
5 3 <br />
<br />
1<br />
3 2<br />
4<br />
<br />
3<br />
1<br />
5<br />
5 <br />
<br />
1<br />
.<br />
3<br />
E10. S` se determine constantele x, y, z, a, b, c din egalitatea:<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
3<br />
2y<br />
4<br />
4z<br />
<br />
<br />
1<br />
5 <br />
1<br />
a<br />
3 4b 2<br />
<br />
<br />
7<br />
<br />
3c<br />
21<br />
13<br />
2<br />
22<br />
<br />
.<br />
8 <br />
Sintez`<br />
x<br />
x<br />
S1. Se dau matricele: A B C<br />
y<br />
z C<br />
<br />
<br />
2 5<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
4 6 <br />
, ,<br />
<br />
5<br />
6<br />
<br />
3<br />
9 log<br />
<br />
.<br />
S` se determine elementele necunoscute ]tiind c`<br />
1<br />
2 0 <br />
<br />
3<br />
1<br />
<br />
2i 1i<br />
; d) i<br />
<br />
.<br />
<br />
3 8 3i<br />
4 <br />
1 2 <br />
2<br />
t t<br />
A B C.<br />
S2. S` se determine x, y, z, t pentru care are loc egalitatea:<br />
x<br />
x<br />
I x<br />
x<br />
z<br />
y<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
3 2 <br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
9<br />
<br />
0<br />
2 4<br />
<br />
<br />
.<br />
4<br />
<br />
S3. S` se determine matricea A [n fiecare caz:<br />
1<br />
a) 2A<br />
3<br />
2 5<br />
1 1<br />
6<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
4<br />
b) 3A5 <br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4<br />
1<br />
<br />
;<br />
9<br />
<br />
<br />
<br />
c) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
1<br />
0<br />
12<br />
3 3<br />
4 7A<br />
1<br />
1 5<br />
0 <br />
4<br />
0<br />
2 6<br />
3<br />
6 3<br />
1,5<br />
<br />
0 <br />
<br />
12<br />
.<br />
S4. S` se determine matricele A, B ]tiind c`:<br />
a) A B <br />
<br />
3<br />
2 <br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
]i<br />
2A<br />
B <br />
<br />
3 1<br />
1<br />
<br />
;<br />
1 <br />
2<br />
b) ( 1<br />
) <br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
i<br />
i A B <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
]i<br />
A i B 2 ( 1 ) <br />
i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
<br />
<br />
.<br />
2<br />
i<br />
S5. S` se calculeze matricea:<br />
n <br />
a) A <br />
<br />
k<br />
k<br />
k <br />
<br />
<br />
k k <br />
1<br />
3<br />
1<br />
;<br />
( 1)<br />
b) A <br />
n<br />
<br />
k1<br />
<br />
1 2 3<br />
<br />
2<br />
2 3<br />
8<br />
k k1<br />
k k k<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
2<br />
n
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 32 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze:<br />
4<br />
a) <br />
<br />
6<br />
5 <br />
<br />
2 1<br />
;<br />
– 1<br />
– 3 – 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
b) <br />
<br />
4<br />
– 2<br />
<br />
1<br />
<br />
1 2<br />
4<br />
;<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
–<br />
1<br />
c) 1<br />
<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
– 2<br />
– 1<br />
3<br />
;<br />
– 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
d) 2<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
–<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
–<br />
–<br />
cos<br />
sin <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
<br />
tg <br />
<br />
1<br />
e) <br />
<br />
3<br />
1<br />
– 1<br />
2 3<br />
<br />
1<br />
2<br />
– 1 1<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2 4 <br />
– 1<br />
1 2 <br />
0<br />
– 1 – 1 <br />
–<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
2<br />
t t t t<br />
E2. Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, A B, B A .<br />
a) A B<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
3<br />
<br />
,<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
–<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
1<br />
;<br />
– <br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
b) A 2,<br />
<br />
3<br />
B –<br />
3 1 – 1;<br />
<br />
– 1 1<br />
<br />
c) A <br />
<br />
cos<br />
1<br />
2<br />
<br />
sin <br />
6 <br />
<br />
,<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
– 2 1<br />
<br />
B <br />
1 3 ;<br />
<br />
–<br />
2 tg0<br />
d) A B<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
<br />
0,<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
0<br />
–<br />
3<br />
<br />
1<br />
0 – 4<br />
<br />
0 0 .<br />
<br />
– 1 1 <br />
E3. Pentru matricele<br />
<br />
<br />
<br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
B <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
– 1<br />
0<br />
– 3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
, <br />
3<br />
<br />
1 0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
– 4<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
5 <br />
s` se verifice egalitatea<br />
t t t<br />
t t<br />
AB B A.<br />
]i s` se calculeze AB B A.<br />
E4. Se dau matricele p`tratice:<br />
<br />
<br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
B<br />
<br />
<br />
C<br />
<br />
– 1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
– 1<br />
1<br />
3 <br />
<br />
5 1<br />
2 ; 1<br />
1<br />
<br />
0 –<br />
1 1<br />
– 2 <br />
<br />
0<br />
3 ;<br />
–<br />
1<br />
<br />
– 2<br />
–<br />
4<br />
2 0 <br />
<br />
3 – 1.<br />
<br />
0 – 2<br />
S` se verifice egalit`\ile matriceale:<br />
a) A( BC ) ( AB ) C;<br />
b) A( B C) AB AC; c) ( A B) C AC B C.<br />
9
E5. S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice:<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
1 <br />
<br />
1<br />
; <br />
<br />
– 3<br />
3<br />
3<br />
– 1<br />
<br />
<br />
2<br />
; <br />
<br />
2 –<br />
1<br />
5 2<br />
– 1<br />
<br />
<br />
; 3<br />
1 <br />
0<br />
2<br />
1 1 <br />
<br />
– 1 0 .<br />
<br />
1 – 2<br />
<br />
<br />
– 1 2 – 2<br />
<br />
2 3 2006 3 10<br />
E6. Fie matricea A <br />
4 – 3 4 .<br />
S` se calculeze A , A , A ]i ( A I<br />
) .<br />
<br />
4 – 4 5 <br />
E7. Se d` matricea A <br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
.<br />
Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze<br />
0<br />
1 <br />
n *<br />
A , n .<br />
E8. S` se determine X <strong>M2</strong> ( ) care verific` egalitatea matriceal`:<br />
a) X X<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
– 1<br />
3<br />
2<br />
<br />
5<br />
<br />
4 4<br />
10<br />
<br />
;<br />
2<br />
<br />
<br />
– 1<br />
b) <br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
1<br />
4<br />
7<br />
<br />
.<br />
0<br />
E9. Se d` matricea E <br />
<br />
– 1 0 <br />
<br />
<br />
3<br />
]i<br />
f ( X ) X – 4X 2<br />
I 2.<br />
S` se determine matricele:<br />
2 – 1 <br />
a) B f ( A) – f ( AI ); b) C f ( A) 2<br />
f ( A – A).<br />
Sintez`<br />
2 2<br />
S1. S` se determine matricea X care verific` egalitatea:<br />
1<br />
a) <br />
<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1 <br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
<br />
X <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
b) 0<br />
<br />
2<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
X <br />
8 ;<br />
<br />
5<br />
9 <br />
<br />
<br />
1<br />
c) 2<br />
<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1 <br />
<br />
8<br />
3 <br />
X <br />
9<br />
<br />
2<br />
3<br />
2<br />
5<br />
1<br />
1<br />
<br />
4 .<br />
<br />
5 <br />
S2. Se dau matricele p`tratice A B<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
matriceale:<br />
5<br />
<br />
2<br />
, <br />
1 1<br />
1<br />
<br />
.<br />
S` se rezolve [n <strong>M2</strong> ( ) ecua\iile<br />
1<br />
a) AX I 2; b) AX B;<br />
c) XA B ; d) AX XB ; e) BXB A.<br />
S3. S` se determine matricea A <strong>M2</strong> ( ) , de forma<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
A 3A 2I 2 <br />
<br />
.<br />
1 1<br />
t<br />
a<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
, care verific` egalitatea<br />
b<br />
a <br />
1 2<br />
3 1<br />
0<br />
3<br />
S4. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 2A<br />
<br />
<br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I 2 .<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1 <br />
10
S5. Exist` matrice A <strong>M2</strong> ( ) care verific` egalitatea<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
A A <br />
<br />
<br />
?<br />
3<br />
2 3<br />
2 <br />
<br />
<br />
1<br />
0 2 <br />
<br />
S6. S` d` matricea A <br />
0 1 0 .<br />
S` se determine numerele x, y astfel [nc@t s` fie<br />
<br />
2 0 1<br />
3 2<br />
verificat` egalitatea A xA yA.<br />
Facultatea de Inginerie economic` Tg. Mure], 2002<br />
<br />
3 1 <br />
<br />
<br />
S7. S` se determine puterea n a matricei A 2 2 <br />
<br />
.<br />
1 3<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
Facultatea de inginerie Sibiu, 2002<br />
<br />
<br />
2 1 0<br />
<br />
S8. S` se determine puterea n a matricei A 0<br />
1 0.<br />
<br />
0<br />
0 2<br />
x x<br />
S9. Fie matricea A( x ) ( ).<br />
x x<br />
<br />
<br />
1 2 <br />
<br />
<br />
<strong>M2</strong> <br />
6 13 <br />
a) S` se arate c` A( x ) A( y) A( x y xy), x, y .<br />
b) S` se verifice egalit`\ile:<br />
1 1 1 1<br />
2 2 3 3<br />
A ( x ) A ( x ) , A ( x ) A ( x ) .<br />
c) S` se calculeze A 2006 ( 1).<br />
<br />
<br />
S10. Fie matricele A <br />
B<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 2 <br />
<br />
0 1 2<br />
<br />
0 1 1 , 0<br />
0 1.<br />
<br />
0 0 1 0<br />
0 0<br />
n<br />
a) S` se arate c` A I 3 B<br />
]i s` se calculeze A , n * .<br />
2 3 20<br />
b) S` se calculeze suma S A A A ... A .<br />
k<br />
S11. Se dau matricele A B<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
1<br />
, <br />
<br />
2 .<br />
0 1 1<br />
a) S` se determine matricea C( k ) AB A.<br />
b) S` se calculeze suma de matrice S C ( 1) C( 2) ... C(<br />
20).<br />
t<br />
11<br />
Universitatea Politehnic` Timi]oara, 2002
pag. 32 manual<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
<br />
1<br />
1. Fie A M A <br />
3(<br />
), 0<br />
<br />
0<br />
x<br />
1<br />
0<br />
2<br />
x <br />
<br />
x ]i<br />
2a13 3a<br />
23.<br />
Dac` 5, atunci:<br />
<br />
1 <br />
a) x 1; b) x 2, 5;<br />
c) x 0, 1;<br />
d) x <br />
5 <br />
<br />
2 <br />
1 , .<br />
2. S` se determine numerele reale x, y cu proprietatea c`<br />
x y<br />
x<br />
y<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
3<br />
1<br />
1 4<br />
x 5<br />
5<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3. Fie A 0<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
10 9<br />
0<br />
M 3(<br />
) ] i B A A .<br />
<br />
1<br />
a) S` se calculeze Tr( B) ] i b31 b22 b13;<br />
n *<br />
b) S` se calculeze A , n <br />
Testul 2<br />
<br />
x<br />
1. Se consider` mul\imea de matrice M A x <br />
1<br />
( ) <br />
0<br />
( 1)<br />
a) S` se arate c` I 2 M .<br />
b) S` se arate c` dac` A, B M , atunci AB M .<br />
n *<br />
c) S` se calculeze A , n ] i A M<br />
.<br />
x<br />
<br />
<br />
x .<br />
<br />
2. S` se determine numerele x, y, z, t pentru care:<br />
x x<br />
2<br />
4 2<br />
Cz y y<br />
3 9<br />
<br />
4<br />
5 2 <br />
<br />
5At1<br />
9<br />
18<br />
<br />
.<br />
12<br />
1<br />
3. S` se determine matricea A <strong>M2</strong> ( ) ]tiind c`: <br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
0<br />
1 4<br />
1 3<br />
7<br />
7<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
.<br />
4. Fie A, B ( ), A <br />
b<br />
a x<br />
, B .<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<strong>M2</strong> <br />
<br />
0 0<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
S` se arate c` matricea ( AB BA)<br />
are cel pu\in dou` elemente nule.<br />
12
Capitolul 2. Determinan\i<br />
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 52 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi:<br />
2 a)<br />
8<br />
5<br />
2<br />
; b)<br />
10 3<br />
6<br />
15 ,<br />
; c)<br />
32 5<br />
72 , 2 i<br />
; d) 2<br />
8 i<br />
1<br />
2<br />
i .<br />
E2. S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii:<br />
7<br />
a) 5<br />
9<br />
8<br />
3 ; b)<br />
25<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
32 1 3<br />
; c)<br />
75 1 5<br />
5 1<br />
log 100<br />
; d)<br />
31 8<br />
0, 5<br />
;<br />
lg 01 ,<br />
2<br />
4<br />
3<br />
3<br />
3! e)<br />
0! 5!<br />
A<br />
; f)<br />
4!<br />
C5 A<br />
C<br />
1<br />
x1 2<br />
; g) 3 y1 4 9<br />
2 y<br />
3<br />
x<br />
2<br />
2<br />
( 1i)<br />
; h)<br />
i<br />
i<br />
( 1i)<br />
<br />
E3. S` dau matricele p`tratice A <br />
2<br />
<br />
7<br />
1<br />
<br />
<br />
B <br />
4<br />
, <br />
4 6<br />
5<br />
<br />
.<br />
Compara\i numerele:<br />
2 <br />
a) det ( A) det ( B)<br />
]i det ( A B).<br />
b) det ( AB) ] i det ( A) det<br />
( B);<br />
c) <br />
det 3( AI ) ] i det ( A2I ).<br />
2 2<br />
E4. S` se rezolve ecua\iile:<br />
x<br />
a)<br />
x <br />
<br />
4<br />
3<br />
2<br />
<br />
20; b)<br />
<br />
<br />
5<br />
2<br />
3x 1<br />
10;<br />
c)<br />
x<br />
d)<br />
3x 4x 1<br />
x 5;<br />
e)<br />
x 1<br />
x<br />
x i<br />
i<br />
2x<br />
x<br />
<br />
3<br />
i<br />
2<br />
x x<br />
3 x<br />
; f)<br />
3 x<br />
1 2<br />
3x x 1 4;<br />
x 2<br />
x<br />
2 1<br />
.<br />
x<br />
x<br />
18<br />
E5. S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul:<br />
3 1<br />
2 2 1 3<br />
1 2 5<br />
0! 1! 2!<br />
a)<br />
e)<br />
1 4 5<br />
2 1 1<br />
P P P<br />
0 1 2<br />
2 0<br />
2 1<br />
2 2<br />
3 1<br />
3 2<br />
3 3<br />
C C C<br />
A A A<br />
; b)<br />
3 2 1<br />
1 3 2<br />
; c)<br />
10 20 40<br />
100 200 400<br />
2 1<br />
0<br />
4 1<br />
0<br />
; d)<br />
11 21 47<br />
; f) 1 5 7 ; g) 1 18 7 ; h)<br />
0 0 0<br />
1! 2! 0!<br />
;<br />
2! 0! 1!<br />
2<br />
.<br />
8<br />
2 8<br />
3 7 3<br />
.<br />
1<br />
5 1<br />
E6. Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un exemplu de aplicare a acesteia.<br />
E7. Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii:<br />
300 400 500<br />
10 1<br />
3<br />
5 11 1<br />
a)<br />
1 1 4 ; b)<br />
3 4 5<br />
50 1 1<br />
100 2 1<br />
13<br />
; c) 15 22 3<br />
;<br />
25 44 5
1<br />
d) 1<br />
1<br />
a m<br />
b n<br />
c p<br />
; e)<br />
E8. Se consider` determinantul d <br />
x y y<br />
y x y<br />
y y x<br />
8 9<br />
10<br />
4 6 3<br />
.<br />
12 5 1<br />
; f)<br />
a b c<br />
b c a<br />
c a b<br />
a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d.<br />
b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia.<br />
c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se<br />
calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i.<br />
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze valoarea expresiei: 1<br />
8<br />
4<br />
4<br />
6 3<br />
25 2<br />
1<br />
5<br />
1<br />
2<br />
1 25 .<br />
0<br />
S2. S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`:<br />
20<br />
3<br />
2<br />
6<br />
3<br />
4<br />
5 5 2 <br />
7 4 17<br />
10<br />
3<br />
4 17 5<br />
0<br />
5 2 3<br />
5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
7<br />
1<br />
7<br />
3<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
S3. S` se rezolve ecua\iile:<br />
x ( x 2) a)<br />
5<br />
x 3 2<br />
x x 14<br />
;<br />
b)<br />
4<br />
3x x 2 i<br />
<br />
2 3i<br />
3i<br />
i<br />
;<br />
c)<br />
x ( x 1) 4<br />
x 5x<br />
2<br />
;<br />
5 2 x 1<br />
x<br />
d)<br />
x2 x<br />
3 9<br />
4 1<br />
2 3<br />
.<br />
x1<br />
1 3<br />
S4. S` se rezolve ecua\iile:<br />
x<br />
a) 1<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1 7<br />
1 3<br />
2 7<br />
1<br />
9<br />
1<br />
2 <br />
4 ; b)<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1 1<br />
1 1<br />
x x<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
( 1 i)<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
;<br />
i<br />
2x 1<br />
2 1<br />
x x x <br />
1 x<br />
x x<br />
c) 3x 2 1<br />
3 ; d) x x x <br />
x 3<br />
4 2<br />
2<br />
x x x <br />
<br />
1 2<br />
1<br />
3 4 5<br />
4 5<br />
2 2 1 3<br />
.<br />
S5. Se consider` ecua\ia<br />
se calculeze S x x x<br />
1 3<br />
2 3<br />
x 1<br />
1 2<br />
x 1 x 3<br />
0 x 1x<br />
3 3 .<br />
x 1<br />
<br />
1<br />
5<br />
14<br />
. Dac` x1, x 2, x 3 sunt solu\iile ecua\iei, s`<br />
.
S6. Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul<br />
sub form` de produs:<br />
a)<br />
d)<br />
2<br />
a a<br />
2<br />
b b<br />
2<br />
c c<br />
1<br />
1<br />
1<br />
a a1 a2<br />
c c1 c2<br />
2<br />
a a 1 a1<br />
; b) b b1 b2<br />
; c) b b 1 b1<br />
;<br />
a b m n x y<br />
b c n p y z<br />
c a p m z x<br />
S7. S` se verifice egalit`\ile:<br />
a)<br />
b)<br />
; e)<br />
2a 2a<br />
a b c<br />
b c a 2b 2b<br />
2c c a b 2c<br />
x y y z z x<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x y y z z x<br />
3 3 3 3 3 3<br />
x y y z z x<br />
yz xz xy<br />
2<br />
2<br />
c c 1 c1<br />
x y z<br />
a1 a1 a 1<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z ; f) b1 b1 2<br />
b 1<br />
.<br />
3<br />
( a b c)<br />
;<br />
2 xyz ( x y)<br />
(y z ) ( z x<br />
).<br />
c1 c1 c 1<br />
2<br />
S8. Fie A <strong>M2</strong> ( ) . S` se arate c` are loc egalitatea A tr ( A) A det ( A) I 2 O<br />
2 (rela\ia<br />
lui Hamilton-Cayley).<br />
<br />
<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
S9. Se d` matricea A 1<br />
1<br />
3.<br />
<br />
0<br />
1 4<br />
a) S` se calculeze d det ( A) ] i t tr ( A).<br />
b) S` se calculeze s 11 22 33<br />
, unde ii reprezint` complementul algebric al elementului<br />
aii din matricea A, i 1, 2, 3.<br />
c) C@t este suma s1 a1312 a23 22 a33<br />
32 ?<br />
3 2<br />
d) S` se verifice egalitatea matriceal` A tA sA dI O .<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 S10. Se dau matricele A <br />
1<br />
<br />
2<br />
dac` i j .<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
<br />
3 ]<br />
i B ( bij ) 3 3,<br />
unde bij i,<br />
dac` i j ] i bij i j,<br />
<br />
0 <br />
a) S` se determine det ( A), det ( B) ] i det ( AB ).<br />
b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( AB ) det ( A) det<br />
( B).<br />
c) C@t este suma s b b b<br />
?<br />
11 31 12 32 13 33<br />
C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul?<br />
S11. Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli:<br />
a b 3 c<br />
a b 2 a b<br />
2<br />
a<br />
2<br />
( b c) b c a<br />
a)<br />
b c 3 a ; b)<br />
c a 3 b<br />
2 2<br />
a b a b 2ab<br />
2 2<br />
2ab a b a b<br />
15<br />
; c)<br />
2 2<br />
b ( a c) a c b .<br />
2 2<br />
c ( a b) a b c<br />
2<br />
2
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 62 manual<br />
Exersare<br />
E1. Se dau punctele A ( 2, 4) ] i B(<br />
1,<br />
3).<br />
S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac`<br />
punctul C( 5, 11)<br />
este coliniar cu punctele A, B.<br />
E2. Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare:<br />
a) A ( 1, 9); B( 2, 3);<br />
C(<br />
4, 1). b) M ( 2, 3); N ( 1, 1);<br />
P(<br />
1, 5).<br />
c) E( 4, 2);<br />
F ( 2, 1); G(<br />
6, 3). d) T ( 2, 1); U( 3, 1); V ( m, 2m5). E3. Se dau punctele A( 2, 3), B( m1, 2m), C(<br />
1, 5).<br />
a) S` se determine ecua\ia dreptei AC.<br />
b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare.<br />
c) S` se determine triunghiul ABC cu aria 22,5.<br />
E4. Se dau punctele A ( 3, 2), B( 5, 4), C(<br />
1, 3).<br />
a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC.<br />
b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC.<br />
c) S` se determine A ( ABC)<br />
.<br />
E5. Patrulaterul ABCD are v@rfurile A ( 1, 2), B( 8, 2), C( 6, 4), D(<br />
3, 4).<br />
a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului.<br />
b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului.<br />
c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala BD .<br />
d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD).<br />
Sintez`<br />
S1. Se dau punctele A ( 1, 0), B( 2, 4), C( 1, 4) ] i D(<br />
3, 5)<br />
.<br />
a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor<br />
AB, BC, CA, CD.<br />
b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC.<br />
c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD).<br />
d) Dac` punctul M ( m, m2<br />
) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria<br />
suprafe\ei (MAD).<br />
x x<br />
S2. S` se determine x astfel [nc@t punctele A ( 1, 1), B( 2 , 2<br />
coliniare.<br />
1<br />
2),<br />
x 1 x<br />
C<br />
2 2 2 2 2 2<br />
S3. Se dau punctele A (sin a, cos a), B(sin b, cos b), C(sin c, cos c).<br />
1<br />
a) S` se verifice dac` A ( OAB ) sin a b) sin( a b)<br />
.<br />
2<br />
b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c , punctele A, B, C sunt pe o dreapt`.<br />
16<br />
<br />
( 2 2, 2 ) s` fie
S4. Se dau punctele distincte A ( 2, m), B( m1, m), C(<br />
1, 2).<br />
a) S` se determine m astfel [nc@t punctele s` fie coliniare.<br />
b) S` se determine m astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie 1.<br />
S5. Se consider` punctele A ( m, 2m1), B( m1, m 2).<br />
Pentru ce valori ale lui m are loc<br />
23<br />
egalitatea A ( OAB ) .<br />
2<br />
S6. S` se determine m, n astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile:<br />
a) A ( m1, 3), B( 2m, m), C( 2m 3, 1m).<br />
b) A ( m n, 1m), B( 2m n, 1), C( m, n1).<br />
S7. S` se determine m astfel ca punctul A ( 1, 1 ) s` fie la distan\a 3 fa\` de dreapta BC, unde<br />
m<br />
B<br />
m C<br />
2 6 <br />
<br />
7m 1<br />
0, <br />
<br />
, 1,<br />
.<br />
1<br />
m1<br />
<br />
S8. Se consider` punctele A ( 3, 2), B(<br />
2, 4 ). S` se determine punctele M situate pe dreapta<br />
x y<br />
3 0 pentru care A A<br />
( OAM ) ( OBM ) .<br />
S9. Exist` puncte A ( m, 1), B( 1 , m), C( m, m)<br />
astfel [nc@t A ( ABC) 2 ?<br />
pag. 64 manual<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
1 0 2<br />
1 4 5 3 2<br />
1. Se d` expresia E 51 1 5 ( 1) 6<br />
.<br />
2 2 3<br />
3 2<br />
1<br />
Valoarea expresiei este: a) –2; b) 2; c) 20; d) –36.<br />
<br />
<br />
2 1<br />
3 <br />
<br />
2. Se d` matricea A 1<br />
4 5.<br />
S` se calculeze det ( A ) utiliz@nd:<br />
<br />
<br />
4 2<br />
6 <br />
a) regula lui Sarrus;<br />
b) regula triunghiului;<br />
c) dezvoltarea dup` linia a doua;<br />
d) dezvoltarea dup` coloana a doua;<br />
e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta.<br />
f) o proprietate a determinan\ilor nuli.<br />
x x x<br />
3. Se dau matricele A <br />
<br />
<br />
<br />
B <br />
<br />
<br />
C <br />
x<br />
x <br />
<br />
2 3 2 1<br />
<br />
<br />
1<br />
, , <br />
<br />
. Suma solu\iilor ecua\iei<br />
1 1 5 1 2<br />
3<br />
2<br />
det ( A B) det ( C ) este ... .<br />
4. Punctele A ( 2m1, 3), B( 1, m) ] i C(<br />
4,<br />
2)<br />
sunt coliniare dac` m ... .<br />
17
Testul 2<br />
1. Fie S 1 , respectiv S 2 mul\imile solu\iilor ecua\iilor:<br />
a)<br />
b)<br />
x x<br />
<br />
4 1 3 2 8 2 3<br />
<br />
5 3 3 2 7 2<br />
5 1,( 6)<br />
;<br />
3 1<br />
y 4 y5 y1<br />
2y 1 1<br />
1 y1<br />
3 .<br />
1 2y<br />
y2 1<br />
y<br />
S` se determine S , S , S S , S S<br />
.<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
1<br />
2. Se d` matricea A <br />
2<br />
<br />
det( A) det A ...<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
1 <br />
2<br />
, unde este solu\ie a ecua\iei x x 1 0.<br />
Atunci<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
2 .<br />
2<br />
<br />
x y b<br />
<br />
x b x<br />
3. Se dau matricele A <br />
a z B a y z C<br />
<br />
c<br />
z<br />
c b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
0 0 y <br />
<br />
, , a y 0 <br />
<br />
0<br />
0 c<br />
b z<br />
<br />
]i<br />
n x det ( A) a det ( B) c<br />
det ( C).<br />
Atunci n... .<br />
m<br />
4. Se consider` triunghiul ABC, cu A<br />
2 <br />
B 1 <br />
, 1 3m,<br />
]<br />
i C(<br />
1, 2)<br />
. Valoarea lui m <br />
3 4<br />
pentru care d( C, AB)<br />
3 este ... .<br />
18
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare<br />
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) <br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 70 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile:<br />
a) <br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
5<br />
<br />
<br />
;<br />
b) <br />
2<br />
<br />
3 3<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
; c) 2<br />
7<br />
<br />
<br />
9<br />
2<br />
<br />
2<br />
3<br />
; d) <br />
4 <br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2 <br />
<br />
2 <br />
.<br />
E2. S` se determine inversa matricei:<br />
2<br />
a) <br />
<br />
8<br />
1<br />
<br />
<br />
8<br />
; b)<br />
5<br />
<br />
2<br />
3<br />
6 <br />
<br />
1<br />
;<br />
c)<br />
4<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
;<br />
d) 3<br />
<br />
1 2<br />
2<br />
2 <br />
<br />
;<br />
3 3<br />
<br />
<br />
1<br />
e) 1<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
0;<br />
f) 0<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
3 <br />
<br />
3<br />
4 ;<br />
g) 0<br />
<br />
5<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 0 <br />
<br />
1<br />
2 ;<br />
h) 2<br />
<br />
3<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
.<br />
E3. S` se determine m pentru care matricea este inversabil`:<br />
a) 2 <br />
<br />
<br />
3<br />
m <br />
<br />
; b)<br />
6<br />
m <br />
<br />
<br />
20<br />
5 <br />
<br />
; c)<br />
m<br />
m <br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
7 2<br />
<br />
;<br />
d) m<br />
3m<br />
<br />
m2<br />
m<br />
3<br />
m<br />
<br />
;<br />
1 <br />
<br />
<br />
m<br />
e) 1<br />
<br />
0<br />
m1<br />
1<br />
m<br />
2 2<br />
m<br />
3;<br />
f) 2<br />
2<br />
1 m<br />
4<br />
1<br />
11<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2 m<br />
0;<br />
g) m<br />
<br />
9<br />
1<br />
<br />
<br />
3m1 1 1<br />
2<br />
<br />
m1<br />
1;<br />
h) 4<br />
<br />
m 1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
9<br />
1<br />
<br />
7 <br />
<br />
m<br />
7<br />
2<br />
.<br />
7 <br />
<br />
<br />
E4. Se dau matricele A B<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
4<br />
2<br />
<br />
7<br />
]i <br />
10 3<br />
5<br />
<br />
.<br />
2<br />
a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor.<br />
1 1 1<br />
b) Este adev`rat` egalitatea ( AB) B A<br />
?<br />
2 1 1<br />
2<br />
2 1 1<br />
2<br />
c) S` se verifice egalit`\ile ( A ) ( A ) ]i ( B ) ( B ) .<br />
E5. S` se determine matricea A a c`rei invers` este:<br />
a) A <br />
<br />
5<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
8<br />
<br />
1<br />
;<br />
b) A<br />
2<br />
<br />
1 <br />
1<br />
<br />
4<br />
0<br />
<br />
<br />
2 <br />
;<br />
c) A <br />
<br />
2 1<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
1<br />
4<br />
2<br />
1 <br />
<br />
1;<br />
d) A<br />
<br />
0 <br />
<br />
<br />
1<br />
5<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
5<br />
11<br />
5<br />
2<br />
4<br />
<br />
5<br />
7<br />
<br />
5<br />
1 .<br />
3 <br />
<br />
5 <br />
19
Sintez`<br />
S1. Care din urm`toarele matrice sunt inversabile:<br />
x<br />
2<br />
a) <br />
x<br />
4<br />
x<br />
5 <br />
<br />
x ; b)<br />
10 <br />
lg <br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2 <br />
<br />
0! ; c)<br />
lg5<br />
8<br />
3<br />
4!<br />
;<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C4 d)<br />
<br />
A<br />
2<br />
3 2 <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
?<br />
1 <br />
S2. S` se determine inversa matricei:<br />
i<br />
a) <br />
<br />
3<br />
2<br />
i<br />
<br />
<br />
;<br />
b) <br />
<br />
4<br />
i<br />
<br />
2 3<br />
1i 1i<br />
<br />
<br />
;<br />
c) <br />
sin x<br />
<br />
3 2<br />
cos<br />
x<br />
<br />
1<br />
cos x <br />
<br />
<br />
; d) 4<br />
sin x <br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
Cm 3<br />
3<br />
<br />
1<br />
C <br />
m<br />
<br />
5 .<br />
2<br />
<br />
<br />
S3. S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare<br />
ar fi x .<br />
<br />
<br />
1<br />
a) A 2<br />
<br />
m<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
x ;<br />
b) A 1<br />
<br />
<br />
3<br />
m<br />
3<br />
x<br />
2<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1;<br />
c) A m <br />
<br />
x <br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x <br />
<br />
3.<br />
<br />
2<br />
* 1<br />
S4. S` se determine m astfel [nc@t A A dac`:<br />
<br />
<br />
2<br />
a) A 3<br />
<br />
3<br />
0<br />
m<br />
3<br />
m<br />
4<br />
1 <br />
<br />
1 ;<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
m 3<br />
b) A <br />
3<br />
<br />
0<br />
m<br />
5<br />
1<br />
1 <br />
<br />
2 ;<br />
<br />
m<br />
<br />
<br />
2m1 c) A <br />
m<br />
<br />
3m<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
4<br />
<br />
1;<br />
<br />
3<br />
m<br />
4<br />
d) A <br />
3<br />
m<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0 <br />
<br />
3.<br />
<br />
1 <br />
S5. Fie A B n <br />
<br />
arate c`:<br />
, M ( ), , , ,<br />
1 2 3 dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB BA.<br />
S` se<br />
n<br />
1 1<br />
1 1<br />
a) AB B A;<br />
b) A B BA ; c) A B B A<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
<br />
S6. Se d` matricea A 2<br />
2 2.<br />
<br />
3<br />
3 3<br />
a) S` se determine produsul ( I A) ( I A).<br />
3 3<br />
1 1 1 1<br />
.<br />
1<br />
3 <br />
b) S` se arate c` I 3 A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze ( I A)<br />
.<br />
20
3.2. Ecua\ii matriceale<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 74 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se rezolve ecua\iile matriceale:<br />
1<br />
a) X <br />
3<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
5<br />
3<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
; b) X <br />
<br />
3<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
5<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
;<br />
2<br />
c) <br />
<br />
3<br />
3<br />
<br />
1<br />
<br />
4<br />
1<br />
1<br />
0<br />
<br />
X <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
;<br />
d) <br />
<br />
<br />
1<br />
1 <br />
<br />
3<br />
i<br />
<br />
1<br />
5<br />
1 <br />
<br />
X<br />
.<br />
2i<br />
E2. S` se rezolve ecua\ia matriceal`:<br />
3<br />
a) <br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
3<br />
5<br />
1 1<br />
1 0<br />
0<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
X <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
b)<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
Y <br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2 3 4<br />
4 <br />
<br />
;<br />
5<br />
1<br />
0<br />
2 1<br />
c) <br />
3 2 1 0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
2 0 0 1 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
X <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
2<br />
<br />
3I 2 .<br />
3 0<br />
E3. S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile:<br />
<br />
<br />
2 a) 3<br />
<br />
1<br />
3<br />
4<br />
1 1<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
X <br />
0 ;<br />
b) X <br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
1 <br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
3 <br />
;<br />
2 2 3<br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
<br />
0 1 1<br />
c) 1 1<br />
0<br />
<br />
0 1 2 <br />
<br />
1<br />
2 1<br />
0<br />
0 1 <br />
<br />
<br />
<br />
X 0<br />
1 1 <br />
<br />
0<br />
0 1 <br />
.<br />
<br />
<br />
E4. Se dau matricele A <br />
B C<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
<br />
<br />
2 1<br />
<br />
2 3<br />
<br />
1 1 1 , <br />
<br />
, 1<br />
0<br />
3<br />
4<br />
<br />
0 0 1<br />
0<br />
1<br />
.<br />
S` se determine matricea X care verific` rela\ia:<br />
a) AXB C ; b) BXA C .<br />
t<br />
21
3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei<br />
necunoscute. Forma matriceal`<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 90 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii:<br />
x<br />
2y 3<br />
x<br />
2y z 1<br />
3x<br />
5y 7 <br />
<br />
a) ; b) 2x<br />
4 y 1<br />
; c) 4x<br />
y 3z 0 ;<br />
8x<br />
y 2<br />
<br />
<br />
5x<br />
6 y 8<br />
9x<br />
2y z 4<br />
3x<br />
2y z x y1<br />
3(<br />
x 1) 4( 2 y) 3( z 2)<br />
a<br />
b c 6 <br />
<br />
d) <br />
; e) x<br />
y 3z ix 2<br />
; f) 2(<br />
1x ) 3( z y) 5( x y)<br />
.<br />
3a2b<br />
c 11<br />
<br />
<br />
ix<br />
iy z 2( x 1)<br />
3(<br />
x y) 4( y<br />
z) 2( x y z)<br />
E2. Care din sistemele de numere ( 3, 2); ( 2, 4); ( 6,<br />
2); ( i , 1)<br />
sunt solu\ii ale<br />
sistemelor de ecua\ii:<br />
2x<br />
y 8<br />
x<br />
y 4<br />
a) <br />
; b) <br />
3x<br />
4 y 10<br />
2x<br />
5y 2<br />
;<br />
(<br />
2 i) x 4 y 32i 3(<br />
x i) i( y1)<br />
0<br />
c) <br />
; d) <br />
.<br />
2ix<br />
iy 2 i<br />
(<br />
1i) ( x 1) ( 1i) ( y1)<br />
2<br />
(<br />
a 3) x 3y 8<br />
E3. Se d` sistemul de ecua\ii <br />
, a, b <br />
. S` se determine a ]i b astfel [nc@t<br />
4x<br />
( 2b 3) y 18<br />
solu\ia sistemului s` fie:<br />
<br />
a) ( 1, 2);<br />
b) <br />
7 <br />
, 5.<br />
4 <br />
E4. S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii:<br />
3x<br />
4 y 7<br />
2x<br />
3y 1<br />
3(<br />
x y) 2( x 2y ) 5<br />
a) ; b) ; c) <br />
;<br />
2x<br />
3y 5<br />
5x<br />
7y 3<br />
4(<br />
x y) y2x 2<br />
2x<br />
y 3z 6<br />
2(<br />
3x y) 5z 3<br />
y x<br />
y z a<br />
<br />
<br />
<br />
d) 4x<br />
y z 10<br />
; e) 4(<br />
x y z ) 2y 3z<br />
; f) 2x<br />
5y 3z b .<br />
<br />
<br />
<br />
3x<br />
y2z 1<br />
2x<br />
3y 10z 2<br />
x<br />
3y 2z c<br />
E5. S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula<br />
lui Cramer:<br />
x<br />
8y 5<br />
2(<br />
x y) 3( x y)<br />
1<br />
a) <br />
; b) <br />
;<br />
3x<br />
9 y 11<br />
8x<br />
5( x 3y ) 4<br />
3x<br />
4 y2z 3<br />
x<br />
2y 2z 10<br />
<br />
<br />
c) 5x<br />
y 3z 6 ; d) 2x<br />
y z 2<br />
.<br />
<br />
<br />
x<br />
6 y z 4<br />
x<br />
y z 4<br />
E6. S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer:<br />
x<br />
2y 4<br />
a) ;<br />
2x<br />
5y 9<br />
2x<br />
5y 1<br />
b) <br />
;<br />
3x<br />
7y 2<br />
4x<br />
3y 17<br />
c) <br />
;<br />
6x<br />
5y 3<br />
22
x<br />
y z 2<br />
<br />
d) 2x<br />
3y z 5<br />
;<br />
<br />
3x<br />
y 3z 4<br />
x<br />
2y 4z 2<br />
<br />
e) 3x<br />
4 y z 13<br />
;<br />
<br />
2x<br />
y 3z 9<br />
2x<br />
y 3z 1<br />
<br />
f) x<br />
y2( y z)<br />
4 .<br />
<br />
2(<br />
x z ) ( 3y x ) 10<br />
E7. Se consider` sistemul de ecua\ii A X B , unde<br />
<br />
<br />
<br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
X y<br />
z<br />
B <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
4<br />
5<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2 ,<br />
3<br />
,<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
8<br />
<br />
8<br />
.<br />
a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal`.<br />
b) S` se scrie ecua\iile sistemului.<br />
c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer.<br />
E8. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:<br />
x<br />
y 4<br />
a) ;<br />
2x<br />
3y 9<br />
2x<br />
y 3<br />
b) ;<br />
x<br />
2y 0<br />
x<br />
y z 1<br />
<br />
c) x<br />
2y 2z 1;<br />
<br />
x<br />
y2z 2<br />
2x<br />
5y 3z 17<br />
<br />
4x<br />
6 y 3z 0<br />
d) <br />
;<br />
6x<br />
10y 10z 8<br />
<br />
x y z 6<br />
x<br />
y 3z 1<br />
<br />
2x<br />
y2z 1<br />
e) <br />
;<br />
2x<br />
3y 2z 4<br />
<br />
x 2y 3z 1<br />
x<br />
y2z 4<br />
<br />
x<br />
2y z 2<br />
f) <br />
;<br />
2x<br />
3y z 6<br />
<br />
3x 4 y 3z 10<br />
2x<br />
3y z 1<br />
<br />
x<br />
2y 3z 0<br />
g) <br />
;<br />
2x<br />
10y 8z 1<br />
<br />
4x 15y 9z 0<br />
2x<br />
3y z 1<br />
h) <br />
;<br />
x<br />
y2z 3<br />
a2b<br />
c 10<br />
i) <br />
;<br />
3a2b<br />
c 7<br />
x<br />
y z 1<br />
<br />
j) 2x<br />
y z 2.<br />
<br />
x<br />
3y z 1<br />
Sintez`<br />
S1. S` se determine m astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz:<br />
x<br />
my z 2m<br />
x<br />
my z 8<br />
<br />
<br />
a) x<br />
2y z 1<br />
; b) 2x<br />
y2z 6 .<br />
<br />
<br />
2<br />
mx<br />
m y2z 2<br />
mx<br />
2y z 4<br />
S2. Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer?<br />
x<br />
( m1) y z 2<br />
2x<br />
3y ( m2) z 0<br />
<br />
<br />
a) mx<br />
y z 0 ;<br />
b) 3x<br />
y mz 4 .<br />
<br />
<br />
x<br />
2y mz 3<br />
3x<br />
y z 6<br />
23
S3. S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii:<br />
7<br />
1<br />
1<br />
x<br />
3y ( 5x 12z<br />
)<br />
<br />
( 5x 2y ) 1 x ( y2)<br />
4 5<br />
9<br />
a) <br />
; b) 9y<br />
20z 6( x 48y).<br />
1<br />
1<br />
<br />
( 5x 3y ) ( 9y 11) x y<br />
<br />
x y z <br />
7 14 2<br />
3 4 128<br />
<br />
S4. S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii:<br />
x<br />
y ( 2 i) z 22i C3x C y C z<br />
<br />
a) x<br />
iy ( 1i) z 1<br />
; b) C x C y C z<br />
<br />
ix<br />
iz 1 i<br />
A x A y A z<br />
1<br />
3 2<br />
3 3<br />
5 1<br />
5 0<br />
5 2<br />
3 2<br />
3 1<br />
3 3<br />
4 2<br />
<br />
2<br />
4 6.<br />
<br />
<br />
2 0<br />
S5. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:<br />
2(<br />
x 2y ) 3z 11<br />
2x<br />
y 2 z x<br />
y 3z 1<br />
<br />
<br />
<br />
5x<br />
3y 65z 2x<br />
x<br />
3y 5 z 2x<br />
y 2z 1<br />
a) <br />
; b) <br />
; c) <br />
;<br />
3(<br />
x z ) 15 y5z x<br />
y 75z x<br />
y z 3 0<br />
<br />
6( x y) 11z 4 y <br />
2x 3y 14 3z<br />
<br />
x 2y 3z 1 0<br />
3x<br />
4z 2( 2<br />
y)<br />
2x<br />
7y 4z 0 x<br />
4 y ( 2m 3) z 0<br />
<br />
<br />
<br />
d) 5y<br />
7z 4( x 2)<br />
; e) 5x<br />
2y 8z 0 ; f) x<br />
my z 0 .<br />
<br />
<br />
<br />
11x<br />
31y 47z 68<br />
12x<br />
3y 20z 0 2x<br />
y 8, m <br />
2x<br />
y ( m1) z m<br />
<br />
S6. Se d` sistemul de ecua\ii x<br />
( m1) y mz 2m<br />
.<br />
<br />
5x<br />
4 y 3( m1) z 3<br />
a) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul este compatibil determinat?<br />
b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m 0, m 1, m 2.<br />
x<br />
y z 1<br />
<br />
S7. Se d` sistemul de ecua\ii ax<br />
by cz 2<br />
. }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite,<br />
2 2 2<br />
a<br />
x b y c z 4<br />
s` se rezolve sistemul.<br />
(<br />
2m1) x 3y mz 1<br />
<br />
S8. Se consider` sistemul de ecua\ii 3x<br />
( 2m1) y ( m1)<br />
3.<br />
<br />
(<br />
m2) x ( m2) y z 2<br />
a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) 0.<br />
b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer?<br />
c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` ( x m, ym, z m ).<br />
d) S` se determine m astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia x m 2y m z m 1.<br />
2x<br />
y z 1<br />
<br />
<br />
S9. Se consider` sistemul de ecua\ii x<br />
y z 2 , <br />
.<br />
<br />
<br />
x<br />
y2z 4<br />
a) S` se determine solu\ia ( x ( a), y( a), z ( a )) a sistemului de ecua\ii.<br />
A a y( a)<br />
1<br />
.<br />
b) S` se determine mul\imea <br />
24<br />
ASE Bucure]ti, 1998
ax<br />
y z 4<br />
<br />
S10. Sistemul de ecua\ii (<br />
1) x ( 1) y2z 7,<br />
, <br />
este compatibil determinat<br />
<br />
<br />
2y z 4<br />
pentru:<br />
1<br />
a) 1, 0;<br />
b) 1, 0;<br />
c) , ; d) 1, .<br />
2<br />
Universitatea Gala\i, 2004<br />
2x<br />
y 3z 1<br />
<br />
S11. S` se discute dup` m ]i s` se rezolve sistemul: x<br />
y z 1<br />
.<br />
<br />
<br />
2y mz m<br />
mx<br />
y z 0<br />
<br />
S12. Sistemul de ecua\ii x<br />
my 2z 0 are numai solu\ia nul` (0, 0, 0) dac`:<br />
<br />
<br />
y z 0<br />
a) m 1, m 2;<br />
b) m 0; c) m 2; d) m .<br />
Politehnic` Bucure]ti, 2004<br />
S13. Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete. Timpul de func\ionare a<br />
fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` exprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal<br />
al`turat.<br />
Tabelul 3.3.<br />
Robinetul I<br />
(nr. de ore)<br />
Robinetul II<br />
(nr. de ore)<br />
Robinetul III<br />
(nr. de ore)<br />
Cantitatea de ap`<br />
evacuat` ([n hl)<br />
2 ore 3 ore 6 ore 220 hl<br />
3 ore 2 ore 6 ore 210 hl<br />
2 ore 2 ore 3 ore 145 hl<br />
S` se determine debitul fiec`rui robinet.<br />
S14. Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi 1<br />
6<br />
din v@rsta tat`lui. Peste 15 ani v@rsta fiului mai mare va fi 1<br />
din v@rsta tat`lui. S` se determine<br />
2<br />
v@rsta fiec`ruia, dac` peste 18 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor.<br />
S15. Se consider` sistemul de ecua\ii:<br />
x<br />
my 2z 2<br />
<br />
2x<br />
( 2m1) y z n, m, n <br />
.<br />
<br />
<br />
y 3z 1<br />
a) S` se rezolve sistemul pentru m 1 ] i n<br />
5.<br />
b) S` se discute dup` valorile lui m, n ]i s` se rezolve sistemul.<br />
25<br />
Universitatea Bra]ov, 2002
pag. 96 manual<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
<br />
<br />
2 0 1<br />
<br />
1. Se d` matricea A 5 3x<br />
x <br />
M 3 ( ).<br />
<br />
<br />
x<br />
6 2<br />
8<br />
a) S` se determine x astfel ca matricea A s` nu fie inversabil`.<br />
b) S` se calculeze A 1 dac` x 2.<br />
x<br />
2y z 1<br />
<br />
2. Fie sistemul de ecua\ii: x<br />
y2z 2<br />
<br />
<br />
y 3z 3m<br />
<br />
.<br />
a) S` se determine m pentru care sistemul are solu\ie unic`.<br />
b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m 3.<br />
Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 2004<br />
3. Pentru 3 creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei. Dac` ar cump`ra 5 creioane, 3<br />
gume ]i dou` caiete ar pl`ti 28 lei. }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 42 lei,<br />
s` se afle pre\ul fiec`rui obiect.<br />
Testul 2<br />
1. S` se calculeze inversele matricelor:<br />
<br />
A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
B <br />
<br />
<br />
<br />
C<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
; 1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
<br />
3<br />
0 ; <br />
4<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
1 <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
.<br />
i<br />
C2i , i j<br />
<br />
2. Se dau matricele A ( aij ) 33 , unde aij<br />
i,<br />
i j<br />
<br />
i,<br />
i j<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
]i B <br />
2 <br />
<br />
45<br />
S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX B .<br />
(<br />
1m) x y z 1<br />
<br />
3. Se d` sistemul de ecua\ii: x<br />
( 1m)<br />
y z m<br />
<br />
<br />
y ( 1m)<br />
z m<br />
2<br />
, m<br />
2<br />
<br />
a) S` se calculeze determinantul sistemului.<br />
b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat?<br />
c) S` se rezolve sistemul pentru m 2.<br />
d) S` se rezolve sistemul pentru m 0.<br />
26<br />
Universitatea Baia Mare, 2005
pag. 97 manual<br />
Probleme recapitulative<br />
1. Fie A <br />
<br />
1 3<br />
<br />
<br />
3 2<br />
M 2 ( ). S` se determine a, b pentru care A aA bA O2<br />
.<br />
2<br />
4<br />
x y<br />
2. S` se determine matricea A <br />
y x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<strong>M2</strong> ( ) ]tiind c` A 4I 2 4A,<br />
]i apoi s` se afle<br />
<br />
n<br />
A , nU1.<br />
<br />
<br />
3. Se consider` matricea A a<br />
<br />
<br />
b<br />
c <br />
<br />
1 0 0<br />
1 0 M 3(<br />
).<br />
1<br />
a) S` se calculeze A 2 ]i A 3 .<br />
3 2<br />
b) S` se determine , cu proprietatea c` A A AI .<br />
}tiin\e economice Cluj, 1996<br />
3<br />
Universitatea Bac`u, 1997<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
4. Fie E( X ) X 4 X 4<br />
I 3 . Dac` A 1<br />
<br />
1<br />
a<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
1,<br />
s` se determine a pentru care<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
3<br />
E( A)<br />
3<br />
<br />
3<br />
4<br />
3<br />
1<br />
1<br />
<br />
3.<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
0 1 1<br />
<br />
n<br />
5. Fie A 0<br />
0 1 .<br />
S` se calculeze ( I 3 A) , nU1.<br />
<br />
0<br />
0 0 <br />
<br />
<br />
1 0 1<br />
<br />
2 3 10<br />
6. Fie A 0<br />
1 1 .<br />
S` se calculeze S A A A ... A .<br />
<br />
0<br />
0 1 <br />
Universitatea Craiova, 2003<br />
Universitatea Politehnic`, 1994<br />
<br />
<br />
a<br />
7. Se consider` matricea A <br />
<br />
d<br />
c<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 M 3(<br />
), cu proprietatea c` ae bd.<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
a) S` se demonstreze c` exist` x, y astfel [nc@t A xA yE , unde E 0<br />
<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
<br />
0.<br />
<br />
0<br />
b) S` se arate c` pentru oricare nU1, exist` an, bn<br />
, cu proprietatea c` A x n A ynE .<br />
Facultatea de Sociologie, 1997<br />
27<br />
n
1 <br />
<br />
8. Fie A <br />
1 <br />
M3, 1( ), B 1 2 1 M1,<br />
3(<br />
). Dac` C AB , s` se calculeze C<br />
<br />
1<br />
101 .<br />
9. S` se rezolve sistemele de ecua\ii:<br />
A<br />
B I<br />
2<br />
<br />
a) <br />
A B 1 1<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
3 <br />
1<br />
1<br />
<br />
A B <br />
<br />
b)<br />
A B <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
3<br />
4 <br />
1<br />
2<br />
1<br />
.<br />
1<br />
<br />
<br />
0<br />
10. S` se determine matricea A <br />
a <br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
M 2 ( ) ]tiind c`<br />
1<br />
A a a<br />
A<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
1<br />
1<br />
<br />
4<br />
<br />
1 4<br />
4<br />
<br />
<br />
4 <br />
.<br />
11. S` se determine A <strong>M2</strong> ( ), ]tiind c`:<br />
12. S` se rezolve [n ecua\iile:<br />
x x<br />
1<br />
4 5<br />
4<br />
x<br />
i i i<br />
A<br />
A<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
2 4<br />
<br />
<br />
<br />
0 1 0 1 0<br />
2 <br />
.<br />
1 2<br />
1 2<br />
a) 1 x 1 0;<br />
b) 1<br />
x 1 5;<br />
c)<br />
13. S` se rezolve ecua\iile:<br />
a)<br />
c)<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x ab<br />
a bx<br />
b ax<br />
x<br />
x<br />
1 1<br />
1 x 1<br />
1 1<br />
x<br />
2<br />
0.<br />
2x 1 x 1 x 2<br />
0,<br />
dac` a b.<br />
b) 2x 7 x 4 x 5<br />
0;<br />
1 1 1<br />
a b x b x a 0,<br />
dac` a b.<br />
2 2 2<br />
x a b<br />
2x 13 x 7 x 8<br />
14. S` se determine a pentru ca matricea A s` fie inversabil`:<br />
<br />
<br />
1 1 1 <br />
<br />
<br />
<br />
1a 1 1 <br />
<br />
2<br />
a) A 1 a1<br />
1 ;<br />
b) A <br />
1 1a 1 .<br />
<br />
2 <br />
<br />
3<br />
1<br />
1 a 1<br />
1 1 1a<br />
<br />
15. S` se rezolve ecua\iile:<br />
a) X <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
<br />
1 2<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
b) X <br />
<br />
1 2 1<br />
1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 3 <br />
<br />
1<br />
5 3 <br />
<br />
0 1 2 2 1 1.<br />
<br />
1 2 1 3<br />
4 5 <br />
28<br />
Universitatea Bac`u, 1998
x m m<br />
16. Fie A A <br />
m x m<br />
<br />
<br />
M <br />
<br />
<br />
2 ( ), .<br />
S` se determine m pentru care matricea A este<br />
1<br />
2<br />
<br />
inversabil` x .<br />
17. Fie A <br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
M 2 ( ). S` se calculeze inversa matricei A<br />
1<br />
2<br />
4 .<br />
18. Fie A <br />
<br />
1 2<br />
<br />
<br />
1<br />
]i<br />
B A <br />
3 2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1 2<br />
1 <br />
. S` se calculeze B1 .<br />
19. S` se rezolve sistemele:<br />
x<br />
y z 2<br />
x<br />
3y z 3 x<br />
y z 1<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
y2z 3<br />
a) 2x<br />
y 4z 1;<br />
b) 2x<br />
y 3z 1;<br />
c) <br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
y 4z 1<br />
<br />
y2z 0 4<br />
y5z 1<br />
<br />
x y 3z 1<br />
2x<br />
y 3z 1<br />
<br />
20. Se consider` sistemul x y2z 1<br />
<br />
y z n<br />
m<br />
. Dac`<br />
2m 1 2<br />
<br />
A ( m, n)<br />
<br />
sistemul este compatibil nedeterminat<br />
]i<br />
( m n<br />
), atunci:<br />
( m, n) A<br />
2 2<br />
a) 18; b) 26; c) 32; d) 13; e) 25.<br />
x<br />
my z 0<br />
<br />
x<br />
2y z m2<br />
21. Se consider` sistemul <br />
2<br />
<br />
y z 2m<br />
2<br />
2mx<br />
m1 z 2m<br />
<br />
.<br />
<br />
( )<br />
Dac` A m sistemul este incompatibil , atunci:<br />
a) A 1 , 0, 2;<br />
b) A 0 2<br />
d) A 1 , 0<br />
; e) A 1 2<br />
, ; c) A ;<br />
, .<br />
29<br />
ASE Bucure]ti, 2003
REZOLVĂRI<br />
Partea I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecuaţii liniare<br />
Capitolul I. Matrice<br />
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
A= ⎜− 1<br />
⎜<br />
⎝ 4<br />
0⎞ ⎛<br />
⎟<br />
1<br />
3 ; B ⎜<br />
⎟ = 3<br />
⎟ ⎜<br />
-5⎠ ⎝2 ⎛<br />
−7⎞ ⎜0 ⎟ ⎜<br />
5 ; C= 2<br />
⎟ ⎜<br />
4 ⎠ ⎜<br />
⎜4 ⎝3 −1<br />
5<br />
9<br />
0<br />
2<br />
−<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
1 ⎟<br />
⎟ ⎛2+ i<br />
0 ⎟;<br />
X =⎜<br />
⎝ 4<br />
⎟<br />
3⎟<br />
⎠<br />
1<br />
3i −5⎞<br />
⎟.<br />
2⎠<br />
E2. Rezolvare:<br />
a)<br />
⎛2⎞ ⎜ ⎟<br />
⎜−1⎟ A=<br />
⎜ 5⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝0⎠ ⎛1 0 0 0 0⎞<br />
⎜<br />
0 1 0 0 0<br />
⎟ ⎛0 0 0 0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
0 0 0 0<br />
⎟<br />
B i ; c) C = ⎜0 0 1 0 0⎟;<br />
d) D = ⎜ ⎟.<br />
3 5 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0⎟<br />
⎜0 0 0 1 0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
0 0 0 0 1<br />
⎟ 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
; b) =<br />
1 2<br />
( 4 1+<br />
)<br />
E3. Rezolvare:<br />
a) A i M3(m); B i <strong>M2</strong>,3(Z); C i M3,1( ); D i M1,4( );<br />
b) b11 = 2; b12 = –3, b 13 = 3 ; b21 = –2; b22 = –5; b23 =<br />
4<br />
; d<br />
2<br />
11 = ; d12 =− i; d13 = 5; d 14 =−7.<br />
3 5<br />
c) a23 = –2; a32 = –4; a22 = 8; c31 = 1 + i; c21 = –1; 1 + i = c31;<br />
3 = b<br />
4<br />
13 ; − 4 = a32 ; b23 = ; d 14 =−7.<br />
3<br />
d) • Suma a11 + a22 + a33 reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principală.<br />
• Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este 12.<br />
• a31 + b22 + c21 – d14 = 0 + (–5) + (–1) – (–7) = 1≠ 3+ 1.<br />
2 2 2 2<br />
• a23⋅b13 ⋅c31 ⋅ d12=−2 ⋅( 3) ⋅ (1 + i) ⋅− ( i) =−2⋅3⋅2 i⋅− ( i) =−12 U −12<br />
.<br />
• a23 = b21 = –2 şi 5d11 = 2. Aşadar –2 @ 2 şi a23 = b21 @ 5d11.<br />
E4. Rezolvare:<br />
Se egalează fiecare elemente cu zero şi se obţine:<br />
• 3a – 6 = 0 şi a 2 – 4 = 0. Se obţine a = 2.<br />
• 1 – b = 0 şi b 2 – b = 0. Se obţine b = 1.<br />
• c − 12 = 0 , cu soluţia c = 2 3.<br />
• 4− 2m = 0,<br />
cu soluţia m =<br />
4<br />
= 2 2.<br />
2<br />
E5. Rezolvare:<br />
Se pune condiţia ca să aibă loc egalitatea de matrice A = I3. Se obţin succesiv egalităţile:<br />
x + 1 = 1; 4 – y 2 = 0; 3u = 1; 1 – t = 0; z 2 + 1 = 0; v 2 = 0; 1 – x 2 = 1. Rezolvând ecuaţiile se<br />
obţine: x = 0, y i {–2, 2}, u =<br />
1 ; t = 1; z i {–i, i}, v = 0.<br />
3<br />
30
E6. Rezolvare:<br />
Se aplică egalitatea a două matrice. Se obţin următoarele egalităţi:<br />
a) 2x + 1 = –y + 6 şi x – y = 4 – 2x + y.<br />
⎧2x+<br />
y=<br />
5<br />
Avem sistemul de ecuaţii: ⎨ cu soluţia x = 2, y = 1.<br />
⎩3x−<br />
2y = 4<br />
b) x + y = 3; 2x – y = y + 2; 4 = x + 2y; 2x + y = 5.<br />
Se obţine soluţia x = 2, y = 1.<br />
E7. Rezolvare:<br />
Se pune condiţia ca matricele să fie de acelaşi tip. Rezultă că 4 = m 2 şi 5 – n = 2.<br />
Se obţine m i {–2, 2}, n = 3.<br />
Sinteză<br />
S1. Rezolvare:<br />
Au loc egalităţile:<br />
a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a14 = 4<br />
a21 = 2, a22 = 2, a23 = 3, a24 = 4<br />
a31 = 3, a32 = 3, a33 = 3, a34 = 4<br />
a41 = 4, a42 = 4, a43 = 4, a44 = 4.<br />
S2. Rezolvare:<br />
Au loc egalităţile:<br />
b11 = 1 1+1 = 1; b12 = 2 1+1 = 4; b13 = 3 1+1 = 9<br />
b21 = 1 2+1 = 1; b22 = 2 2+1 = 8; b23 = 3 2+1 = 27<br />
b31 = 1 3+1 = 1; b32 = 2 3+1 = 16; b33 = 3 3+1 = 81.<br />
S3. Rezolvare:<br />
Se obţin următoarele elemente:<br />
1+ 2 1 1+ 3 1 1+ 4 1<br />
c11 = c22 = c33 = 2; c21 = c31 = c32 = 1; c12 = ( −1) ⋅ A2=− 2; c13= ( − 1) A3= 3; c14= ( − 1) A 4 =−4;<br />
2+ 3 2 2+ 4 2 3+ 4 3<br />
c = ( −1) ⋅ A =− 6; c = ( − 1) A = 12; c = ( −1) ⋅ A =−24.<br />
23 3 24 4 34 4<br />
S4. Rezolvare:<br />
a) tr(A) = 4 + (–2x) + y 2 + 6 = 10 – 2x + y 2<br />
tr(B) = 4x + (–x 2 ) + 2y = 4x – x 2 + 2y<br />
b) Relaţia din enunţ se scrie sub forma: (y 2 + 6) + 2y = 3 – (–6).<br />
Se obţine ecuaţia de gradul doi: y 2 + 2y – 3 = 0 cu soluţiile y1 = –3; y2 = 1.<br />
c) Se obţine ecuaţia de gradul doi: x 2 + x – 2 = 0 cu soluţiile x1 = –2, x2 = 1.<br />
d) Se obţine relaţia 10 – 2x + y 2 – 4x + x 2 – 2y = 4 – 4 care se scrie sub forma:<br />
(y – 1) 2 + (x – 3) 2 = 0, x, y i Z.<br />
Rezultă că y – 1 = 0 şi x – 3 = 0. Aşadar, x = 3, y = 1.<br />
S5. Rezolvare:<br />
a) Din egalitatea matriceală A = I2 se obţin egalităţile:<br />
2 x–1 = 1, log2(a – 1) = 0 şi 4y 2 – 3x = 1.<br />
Din egalitatea 2 x–1 = 1, rezultă x – 1 = 0, deci x = 1.<br />
Înlocuind x = 1 în ecuaţia 4y 2 – 3x = 1 se obţine 4y 2 = 4, deci y i {–1, 1}.<br />
31
Ecuaţia log2(a – 1) = 0 conduce la ecuaţia a –1 = 2 0 cu soluţia a = 2.<br />
b) Deoarece O2 = B se obţin ecuaţiile:<br />
3 x – 9 x 2<br />
y − 2y<br />
2<br />
= 0, lg = 0 , a + 3bi – 1 = 0 şi 3! − Cn<br />
= 0 .<br />
3<br />
• Ecuaţia 3 x – 9 x = 0 este echivalentă cu 3 x (1 – 3 x ) = 0, adică 3 x = 0 sau 1 – 3 x = 0. Se<br />
obţine soluţia x = 0.<br />
2<br />
2<br />
y − 2y<br />
y − 2y<br />
• Ecuaţia lg = 0 este echivalentă cu = 1 cu soluţia y i {–1, 3}.<br />
3<br />
3<br />
• Din egalitatea a + 3bi – 1 = 0, a, b i Z se obţine a – 1 = 0 şi 3b = 0, adică a = 1 şi b = 0.<br />
2<br />
nn− ( 1)<br />
• Din egalitatea 3! − Cn<br />
= 0 se obţine 6− = 0,<br />
n i Z, n U 2, ecuaţia cu soluţia n = 4.<br />
2<br />
S6. Rezolvare:<br />
2<br />
⎧a − 4= 2−a<br />
⎪<br />
⎪a+<br />
b=−1<br />
a) Aplicând egalitatea matricelor se obţine următorul sistem de ecuaţii: ⎨<br />
⎪3(1<br />
x − 2) x = 2x−1 ⎪<br />
⎩z<br />
= x−2<br />
Din ecuaţia a 2 – 4 = 2 – a se obţine a 2 + a – 6 = 0 cu soluţia a i {–3, 2}.<br />
Din ecuaţia a + b = –1 se obţine b = –a – 1.<br />
Pentru a = –3, se obţine b = 2 şi pentru a = 2, se obţine b = –3.<br />
Ecuaţia 3x(1 – 2x) = 2x – 1 se scrie sub forma echivalentă 6x 2 – x – 1 = 0 şi se obţine<br />
x∈<br />
1 1 { , −<br />
2 3}<br />
.<br />
Pentru x =<br />
1 se obţine z =−<br />
3 şi pentru x =−<br />
1 se obţine z =−<br />
7 .<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
b) Se obţin succesiv ecuaţiile:<br />
2 2<br />
• Cn+ 1 2Cn<br />
= , n i q, n U 2, echivalentă cu ( 1) ( 1)<br />
n+ ⋅n n n−<br />
= 2 ⋅ cu soluţia n i {3}.<br />
2 2<br />
2 2<br />
• x + 7 = 4⇔ x + 7= 16,<br />
cu soluţia x∈{3,3} − .<br />
3 2 2<br />
• b = 4⇔ b = 64,<br />
cu soluţia b i {–8, 8}.<br />
−3<br />
• log2a=−3 ⇔ log2a= log22 , a><br />
0 cu soluţia a =<br />
1<br />
.<br />
8<br />
S7. Rezolvare:<br />
Din egalitatea matriceală A = B = C se obţin următoarele egalităţi care dau valorile<br />
necunoscutelor din problemă:<br />
• x 2 – x = 2 = 3x – 4<br />
• y− 3= 2= y−<br />
5<br />
2<br />
• C z+<br />
1 = 3<br />
• 2 m = m 2 = p<br />
Se obţine: x = 2, y = 7, z = 2; m = 2 şi p = 4 sau m = 4 şi p = 16.<br />
32
1.2. Operaţii cu matrice<br />
1.2.3. Înmulţirea unei matrice cu un scalar<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
Se aplică regula de adunare a două matrice şi se obţine succesiv:<br />
⎛2 + ( −7) ( − 1) + 8 3+ 5 ⎞ ⎛−5 7 8⎞<br />
⎛− 2a+ a b−5b ⎞ ⎛−a −4b⎞<br />
a) ⎜ =<br />
5+ 3 4+ 0 ( − 2) + 4<br />
⎟ ⎜<br />
8 4 2<br />
⎟;<br />
b) ⎜ =<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3x+ 2x − 8y+ 6y ⎟ ⎜<br />
5x −2y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ;<br />
⎛ ⎞<br />
⎜− 6+ 2 2−7 − 5+ 3 ⎟ ⎛−4 −5 −2⎞<br />
c) ⎜<br />
1+ 4 0−1 − 1+ 2<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
5 1 1<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2 5 4 1 2 8⎟<br />
⎜−1 1 2⎟<br />
⎜ − + + ⎟ ⎝ ⎠<br />
⎝ 3 3 5 5 3 3 ⎠<br />
E2. Rezolvare:<br />
Se obţine succesiv:<br />
⎛−1 −( −6) −1 4−1−0 ⎞ ⎛4 3 ⎞<br />
a) ⎜ =<br />
2−0−0 −5−2−1 ⎟ ⎜<br />
2 −8<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2 4 2 4<br />
⎛ i + 1−0 − i + 2− i⎞ ⎛i + 1 − i + 2−i⎞ ⎛− 1+ 1 − 1+ 2−i⎞ ⎛0 1−i⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
b) 2 2 ( 3) 3 0 2 3 1<br />
⎜<br />
3 1<br />
⎟ ⎜<br />
3 1<br />
⎟<br />
⎜ − − − + − ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
.<br />
⎜ 1+ 3−4 − 1+ 4−6⎟ ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜0 −3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
E3. Rezolvare:<br />
⎛− 1+ 1<br />
A+ B=<br />
⎜<br />
⎝ 1+ 0<br />
2− 3<br />
−3− 1<br />
0+ 2⎞ ⎛0 =<br />
2+ 2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 −1<br />
−4<br />
2⎞<br />
4<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−1−1 A− B=<br />
⎜<br />
⎝ 1−0 2 −( −3) −3 −( −1) 0−2⎞ ⎛−2 =<br />
2−2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
5<br />
−2<br />
−2⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 t t ⎜<br />
A+ B=<br />
⎜ 2<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
1 ⎞ ⎛ 1<br />
⎟ ⎜<br />
− 3⎟+ ⎜−3 ⎟ ⎜<br />
2 ⎠ ⎝ 2<br />
0 ⎞ ⎛− 1+ 1<br />
⎟ ⎜<br />
− 1⎟= ⎜ 2−3 ⎟ ⎜<br />
2 ⎠ ⎝ 0+ 2<br />
1+ 0 ⎞ ⎛ 0<br />
⎟ ⎜<br />
−3− 1⎟= ⎜−1 ⎟ ⎜<br />
2+ 2 ⎠ ⎝ 2<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
−4<br />
⎟<br />
4 ⎠<br />
t⎛0<br />
t<br />
( A+ B)<br />
= ⎜<br />
⎝1 −1 −4<br />
⎛ 0<br />
2⎞<br />
⎜<br />
⎟= 1<br />
4<br />
⎜− ⎠ ⎜<br />
⎝ 2<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
−4⎟;<br />
⎟<br />
4 ⎠<br />
t<br />
⎛−2 t<br />
( A− B)<br />
= ⎜<br />
⎝ 1<br />
5<br />
−2<br />
⎛−2 −2⎞ ⎜<br />
⎟= 5<br />
0<br />
⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝−2 1 ⎞<br />
⎟<br />
−2⎟;<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
⎛ t −1 b) A+ C= ⎜<br />
⎝ 1<br />
2<br />
−3 0⎞ ⎛−1 ⎟+ ⎜<br />
2⎠ ⎝ 2<br />
0<br />
3<br />
−4⎞ ⎛−2 ⎟= ⎜<br />
−5⎠ ⎝ 3<br />
2<br />
0<br />
−4⎞<br />
⎟<br />
−3⎠<br />
⎛1 t<br />
B− C= ⎜<br />
⎝0 −3 −1 2 ⎞ ⎛−1 ⎟− ⎜<br />
−2⎠ ⎝ 2<br />
0<br />
3<br />
−4⎞ ⎛ 2<br />
⎟= ⎜<br />
−5⎠ ⎝−2 −3<br />
−4<br />
6⎞<br />
⎟<br />
7⎠<br />
t t<br />
⎡⎛−1 2 0⎞ ⎛1 −3 2⎞ ⎛−1 0 −4⎞⎤ ⎛−1−1− 1 2+ 3+ 0 0−2−4⎞ ( A− B+ C)<br />
= ⎢⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎥= ⎜ ⎟=<br />
⎣⎝ 1 −3 2⎠ ⎝0 −1 2⎠ ⎝ 2 3 −5⎠⎦ ⎝1− 0+ 2 − 3+ 1+ 3 2−2−5⎠ t t<br />
t ⎛−3 3 ⎞<br />
⎛−3 5 −6⎞ ⎜ ⎟<br />
= ⎜ ⎟= 5 1<br />
3 1 5<br />
⎜ ⎟.<br />
⎝ − ⎠ ⎜ ⎟<br />
⎝−6 −5⎠<br />
33
E4. Rezolvare:<br />
Egalitatea A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice:<br />
⎛2x+ 1 4y+ z 3z+ v ⎞ ⎛3 −2<br />
3 ⎞<br />
⎜<br />
1 y u v 4 x<br />
⎟ ⎜<br />
2 3 3<br />
⎟<br />
⎜<br />
− − − +<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
⎜−v−x − 2v+ 2y t+ x− z+<br />
3⎟ ⎜2 4 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Aplicând egalitatea a două matrice se obţine că: x = 1, y = –1, z = 2, v = –3, u = 0, t = 0.<br />
E5. Rezolvare:<br />
Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enunţ conduce la:<br />
⎛ 2+ 1 0 ⎞ ⎛−1− 2 1 ⎞<br />
⎜ ⎟− X = ⎜ ⎟,<br />
⎝ 7 − 5−1⎠ ⎝ 2 −1− 5⎠<br />
egalitate din care se obţine<br />
Rezultă că<br />
⎛2+ 2 2 −1⎞<br />
X = ⎜ ⎟.<br />
⎝ 5 0 ⎠<br />
⎛ 2+ 1 0 ⎞ ⎛−1− 2 1 ⎞<br />
X = ⎜ ⎟−⎜ ⎟.<br />
⎝ 7 − 5−1⎠ ⎝ 2 −1− 5⎠<br />
E6. Rezolvare:<br />
Egalitatea t A = A se scrie sub forma echivalentă:<br />
2<br />
⎛ 5 a 3 ⎞ ⎛ 5 6−a<br />
b ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎜6−a − 1 3c+ 2⎟= ⎜a −1 −10⎟<br />
⎜ b − 10 n ⎟ ⎜ 3 3c+ 2 n ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Se obţin ecuaţiile: a 2 = 6 – a; 3 = b , 3c + 2 = –10; n = n cu soluţiile:<br />
a i {–3, 2}, b = 9, c = –4, n i Z.<br />
E7. Rezolvare:<br />
⎛−1 Avem: A = ⎜<br />
⎝ 2<br />
0 ⎞ ⎛−1 2<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
3⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ sau<br />
⎛−3 A = ⎜<br />
⎝ 6<br />
5 ⎞ ⎛−1 2 2<br />
⎟−⎜ ⎠ ⎝ 1<br />
2 ⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sumă, respectiv diferenţă de două matrice.<br />
⎛−3 A= I2+ ⎜<br />
⎝ 5<br />
3 ⎞ ⎛−1 ⎟; A= ⎜<br />
2− 1⎠ ⎝ 5<br />
3 ⎞<br />
⎟−I2.<br />
2+ 1⎠<br />
E8. Rezolvare:<br />
Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu numărul real<br />
⎛<br />
⎜<br />
a) ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
6<br />
2<br />
12<br />
2<br />
−<br />
8⎞<br />
2⎟<br />
⎛ 3<br />
0, 2 ⎟=<br />
⎜<br />
⎟ ⎝ 3<br />
2 ⎠<br />
−4⎞<br />
0,1<br />
⎟;<br />
⎠<br />
⎛− 36<br />
⎜ 3<br />
b) ⎜<br />
⎜− 30<br />
⎝ 6<br />
12<br />
3<br />
−<br />
2<br />
⋅3 3<br />
−<br />
24 ⎞<br />
3 ⎟ ⎛−12 3 ⎟<br />
= ⎜<br />
− ⎟ ⎝ −5 3 ⎠<br />
4<br />
−2 −8⎞<br />
−1<br />
⎟.<br />
⎠<br />
c) Se va folosi că 3+ 8 = 3+ 2 2 =<br />
2<br />
( 2+ 1) = 2+ 1.<br />
34
⎛−( 2− 1)( 2+ 1)<br />
Se obţine: ⎜<br />
⎜ 2−1 ⎝ 1−2 0 ⎞<br />
⎟ ⎛−1 = ⎜<br />
( 2− 1)( 2+ 1) ⎟ ⎝−1 ⎠<br />
0⎞<br />
1<br />
⎟.<br />
⎠<br />
d) Se foloseşte faptul că i 2 = –1 din care se deduce că i 3 = –i, i 4 = 1. Se obţine:<br />
4<br />
⎛ 2i<br />
⎜ 2<br />
⎝−3i 2<br />
i−i ⎞ ⎛2 ⎟= ⎜<br />
4i<br />
⎠ ⎝3 i + 1⎞<br />
4i<br />
⎟.<br />
⎠<br />
E9. Rezolvare. Se obţine succesiv:<br />
⎛−2 X = ⎜<br />
⎝ 2<br />
8<br />
0<br />
6⎞ ⎛ 0<br />
2<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝−2 −1 5<br />
−3⎞ ⎛−3 +<br />
4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−2 3<br />
−15<br />
−15⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛− 2+ 0−3 X = ⎜<br />
⎝ 2−2− 2<br />
8− 1+ 3<br />
0+ 5− 15<br />
6−3−15⎞ ⎛−5 =<br />
2+ 4+ 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−2 10<br />
−10<br />
−12⎞<br />
7<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−5 Aşadar, X = ⎜<br />
⎝−2 10<br />
−10<br />
−12⎞<br />
7<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
E10. Rezolvare:<br />
Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a două<br />
matrice şi se obţine egalitatea matriceală:<br />
⎛ 2x+ 5 − 4 y+ ( − 15) 8 z+<br />
( −10)<br />
⎞ ⎛ 7 13 22⎞<br />
⎜ ⎟= ⎜ ⎟<br />
⎝− 6+ 5a 8+ 20b − 2+ 15c ⎠ ⎝−21 −2<br />
8 ⎠ .<br />
Din egalitatea acestor două matrice rezultă următoarele ecuaţii de gradul întâi:<br />
2x + 5 = 7, –4y – 15 = 13, 8z – 10 = 22, –6 + 5a = –21, 8 + 20b = –2, –2 + 15c = 8 cu soluţiile<br />
x = 1, y = –7; z = 4, a = –3; b=− 1<br />
; c=<br />
2.<br />
2 3<br />
Sinteză<br />
S1. Rezolvare:<br />
Egalitatea matriceală din enunţ se scrie sub forma echivalentă astfel:<br />
⎛2 ⎜<br />
⎝5 x 5⎞ ⎛2 6<br />
⎟+<br />
⎜<br />
⎠ ⎝−4 y<br />
x<br />
3 ⎞ ⎛ 4<br />
⎟=⎜<br />
9 ⎠ ⎝log2 z<br />
6 ⎞<br />
2 ⎟.<br />
Cn⎠<br />
x<br />
⎛2+ 2<br />
Efectuând adunarea matricelor se obţine egalitatea matriceală ⎜<br />
⎝ 1<br />
din care se obţin ecuaţiile:<br />
y<br />
x<br />
5+ 3 ⎞ ⎛ 4<br />
⎟=<br />
⎜<br />
15 ⎠ ⎝log2 z<br />
6 ⎞<br />
2 ⎟<br />
Cn⎠<br />
2 + 2 x = 4 x , 5 + 3 y = 6, log2z = 1,<br />
35<br />
2<br />
C n = 15 .<br />
• Ecuaţia 2 + 2 x = 4 x se scrie sub forma 4 x – 2 x – 2 = 0. Cu notaţia 2 x = m se obţine ecuaţia de<br />
gradul doi m 2 – m – 2 = 0, m > 0 cu soluţia pozitivă m = 2.<br />
Se obţine x = 1.<br />
• Din 5 + 3 y = 6, rezultă 3 y = 1 şi y = 0.<br />
• Ecuaţia log2z = 1 are soluţia z = 2, iar ecuaţia<br />
nn− ( 1)<br />
= 15 , n i q, n U 2. Se obţine n = 6.<br />
2<br />
Aşadar, x = 1, y = 0, z = 2, n = 6.<br />
2<br />
C n = 15 se scrie sub forma echivalentă
S2. Rezolvare:<br />
Egalitatea matriceală din enunţ se scrie succesiv<br />
2 2<br />
⎛x + x 2x⎞ ⎛3 0⎞ ⎛ 0 x⎞ ⎛ 9 4+ y⎞ ⎛x + x+ 3 3x<br />
⎞ ⎛ 9 4+<br />
y⎞<br />
⎜ 2 ⎟+ ⎜ 2<br />
x x 0 3<br />
⎟+ ⎜<br />
2x 0<br />
⎟= ⎜ ⇔ ⎜ ⎟=<br />
z+ 2 t+ 4<br />
⎟ ⎜<br />
x x 3 z+ 2 t+<br />
4<br />
⎟.<br />
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ ⎠<br />
Aplicând egalitatea a două matrice se obţin ecuaţiile:<br />
x 2 + x + 3 = 9, 3x = 4 + y, x = z + 2, x 2 + 3 = t + 4.<br />
Ecuaţia x 2 + x + 3 = 9 are soluţiile x1 = –3, x2 = 2.<br />
• Pentru x1 = –3 se obţine: y = –13, z1 = –5, t1 = 8<br />
• Pentru x2 = 2 se obţine: y = 2, z2 = 0, t2 = 3.<br />
S3. Rezolvare:<br />
⎛ 5<br />
a) Din egalitatea dată rezultă că 2A<br />
= ⎜<br />
⎝−1 6⎞ ⎛1 3<br />
⎟−⎜ ⎠ ⎝3 2⎞<br />
⎛ 4<br />
1<br />
⎟,<br />
adică 2A<br />
= ⎜<br />
⎠ ⎝−4 4⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 2<br />
Se obţine A = ⎜<br />
⎝−2 2⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛2 b) 3A<br />
= ⎜<br />
⎝0 1<br />
−4<br />
1⎞ ⎛20 9<br />
⎟−⎜ ⎠ ⎝15 −5<br />
5<br />
10⎞<br />
⎛−18 0<br />
⎟,<br />
deci 3A<br />
= ⎜<br />
⎠ ⎝−15 6<br />
−9<br />
−9⎞<br />
9<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−6 Se obţine A = ⎜<br />
⎝−5 2<br />
−3<br />
−3⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−3 c) 7A= ⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 5<br />
0 ⎞ ⎛ 0<br />
− 2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
− 8<br />
6 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 −2 ⎞ ⎛−4 0<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
−16⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝48 −12⎞<br />
16<br />
⎟<br />
⎟<br />
, egalitate din care se obţine:<br />
−4<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−7 7A= ⎜<br />
⎜<br />
−7<br />
⎜<br />
⎝49 −14⎞<br />
⎛−1 14<br />
⎟<br />
⎟<br />
. Rezultă că A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
−1<br />
−14⎟<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝ 7<br />
−2⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−2⎟<br />
⎠<br />
S4. Rezolvare:<br />
a) Înmulţim prima ecuaţie cu –2 şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie. Se obţine:<br />
⎛−6 − 5B= ⎜<br />
⎝−4 −4⎞ ⎛ 1<br />
+<br />
−6 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −1⎞ ⎛−5 ⇔− 5B=<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−5 −5⎞<br />
−5<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛1 1⎞<br />
Rezultă că B = ⎜<br />
1 1<br />
⎟.<br />
Înlocuind pe B în prima ecuaţie din enunţ şi efectuând operaţiile cu<br />
⎝ ⎠<br />
matrice se obţine:<br />
⎛3 A = ⎜<br />
⎝2 2⎞ ⎛2 3<br />
⎟−⎜ ⎠ ⎝2 2⎞<br />
2<br />
⎟.<br />
Aşadar, A = I2.<br />
⎠<br />
b) Înmulţim prima ecuaţie cu –(1 – i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecuaţie din enunţ.<br />
Se obţine egalitatea matriceală:<br />
⎛2+ i<br />
− (1 + i)(1 − i) A+ A=−(1 −i) ⋅ ⎜<br />
⎝ 1<br />
care se scrie sub forma:<br />
1⎞ ⎛2−i 2i ⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝1−i 1−i⎞<br />
2−i<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛− 3+ i<br />
− 2A+<br />
A=<br />
⎜<br />
⎝− 1+ i<br />
− 1+ i⎞ ⎛2−i +<br />
− 3+ i<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1−i 1−i⎞<br />
⎛−1 2−i<br />
⎟,<br />
sau − A = ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
0 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Rezultă că A = I2.<br />
36
Pentru determinarea matricei B se înlocuie, de exemplu, matricea A în prima ecuaţie a<br />
⎛1 1⎞<br />
enunţului şi efectuând calculele se obţine B = ⎜<br />
1 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
S5. Soluţie:<br />
a) Se scrie sub forma:<br />
⎛11⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 n ⎞ ⎛ 1+ 1+ 1 + ... + 1 1+ 2 + 3 + ... + n ⎞<br />
A = ⎜ + + + ... + = =<br />
3 3 3 3 3 3 3 3<br />
1 1⋅2 ⎟ ⎜<br />
2 2 ⋅3 ⎟ ⎜<br />
3 3⋅ 4<br />
⎟ ⎜<br />
n n( n+ 1)<br />
⎟ ⎜<br />
1 + 2 + 3 + ... + n 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n( n+<br />
1)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
n<br />
⎛<br />
n k<br />
⎞<br />
⎜ ∑ ⎟<br />
k = 1<br />
= ⎜ ⎟.<br />
n n<br />
⎜ 3<br />
k k( k 1) ⎟<br />
⎜∑ ∑ + ⎟<br />
⎝k= 1 k=<br />
1 ⎠<br />
n n<br />
n<br />
2<br />
nn ( + 1) 2 nn ( + 1)(2 n+<br />
1)<br />
3 nn ( 1)<br />
Se ştie că ∑k = , k =<br />
k= 1 2<br />
∑ şi k<br />
⎡ + ⎤<br />
k=<br />
1 6<br />
∑ =<br />
⎢ k = 1 ⎣ 2 ⎥<br />
.<br />
⎦<br />
Vom calcula suma următoare:<br />
n n n n<br />
2 2<br />
∑kk ( + 1) = ∑( k + k) = ∑k+ ∑ k.<br />
k= 1 k= 1 k= 1 k=<br />
1<br />
Folosind formulele scrise mai înainte se obţine că<br />
n nn ( + 1)(2n+ 1) nn ( + 1) nn ( + 1)( n+<br />
2)<br />
∑ kk ( + 1) = + =<br />
.<br />
6 2 3<br />
k = 1<br />
⎛ nn ( + 1)<br />
n<br />
⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
Aşadar, A = ⎜ 2 2<br />
⎟,<br />
n i q*.<br />
⎜n ( n+ 1) n( n+ 1)( n+<br />
2) ⎟<br />
⎝ 4 3 ⎠<br />
b) Scriem mai întâi că: 2 k · 3 k+1 = 2 k · 3 k · 3 = 6 k · 3 şi ( ) 2<br />
k<br />
k −k<br />
2 ⋅ 3 = . Cu acestea matricea A se<br />
3<br />
scrie sub forma:<br />
n n<br />
⎛ k<br />
1 3 6<br />
⎞<br />
⎜ ∑ ∑ ⎟<br />
k= 1 k=<br />
1<br />
A = ⎜ ⎟.<br />
n n k<br />
⎜ k<br />
2<br />
2 ⎟<br />
⎜∑ ∑(<br />
)<br />
k= 1 k=<br />
1 3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometrică cu raţia q @ 1 şi primul termen<br />
n<br />
a1 ( q −1)<br />
notat a1 este: S = .<br />
q −1<br />
Rezultă că:<br />
n<br />
n<br />
k 2<br />
n 6(6 −1)<br />
• 6 6 6 ... 6<br />
6 n<br />
∑ = + + + = = ⋅(6−1) k = 1<br />
6−1 5<br />
n<br />
n<br />
k 2<br />
n 2(2 −1)<br />
n<br />
• ∑ 2 = 2 + 2 + ... + 2 = = 2(2 −1)<br />
2−1 k = 1<br />
n<br />
2<br />
• ∑ ( ) ( ) ( )<br />
2 ( )<br />
37<br />
( ) ( )<br />
k = 1<br />
n<br />
2<br />
=<br />
2<br />
+<br />
3 3<br />
2<br />
3<br />
+ ... +<br />
n<br />
2<br />
=<br />
2<br />
⋅<br />
3 3<br />
−1<br />
n<br />
3 ⎡<br />
2<br />
2 ⎤ ⎡<br />
=− 1 2 1<br />
2 ⎢ −<br />
1<br />
3 ⎥= ⎢ −<br />
− ⎣ ⎦ ⎣<br />
3<br />
n<br />
2 ⎤<br />
3 ⎥.<br />
⎦<br />
⎛ n<br />
⎜<br />
Rezultă că A = ⎜<br />
n ⎜<br />
⎜2(2 −1) ⎝<br />
18 n<br />
⋅(6 −1)<br />
⎞<br />
5 ⎟<br />
n ⎟.<br />
⎡<br />
2 1<br />
2 ⎤<br />
−(<br />
3)<br />
⎟<br />
⎢ ⎥⎟<br />
⎣ ⎦⎠<br />
n
1.2.4. Înmulţirea matricelor<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
⎛4 a) ⎜<br />
⎝6 5⎞ ⎛ 2<br />
⋅<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−3 1⎞ ⎛ 42 ⋅ + 5(3) ⋅ −<br />
=<br />
−2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝6⋅ 2 + ( −1) ⋅( −3) 41 ⋅ + 5(2) ⋅ − ⎞ ⎛−7 =<br />
6⋅ 1 + ( −1) ⋅( −2)<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝15 −6⎞<br />
8<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1 b) ⎜<br />
⎝4 −2⎞ ⎛1 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝2 4⎞ ⎛1⋅ 1 + ( −2) ⋅2 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 4⋅ 1+ 1⋅2 1⋅ 4 + ( −2) ⋅1⎞ ⎛−3 =<br />
4⋅ 4+ 1⋅1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
2 ⎞<br />
17<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 c)<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
2 ⎞<br />
0<br />
0<br />
⎟ ⎛<br />
⎟<br />
⋅ ⎜<br />
2 1<br />
i ⎟ ⎝<br />
⎠<br />
−2<br />
−1 ⎛−1⋅ 0 + 2 ⋅1 3 ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
10 ⋅ + 01 ⋅<br />
−4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜ 2<br />
⎝ 2 ⋅ 0 + i ⋅1 −1 ⋅( − 2) + 2( −1) 1( ⋅− 2) + 0( ⋅−1) 2<br />
2 ⋅− ( 2) + i ⋅− ( 1)<br />
−1⋅ 3 + 2( −4) ⎞ ⎛2 13 ⋅ + 0( ⋅− 4)<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
2 2<br />
2 ⋅ 3 + i ⋅− ( 4) ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝i 0<br />
− 2<br />
2<br />
( −4 −i )<br />
−11⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎟<br />
=<br />
2<br />
6 −4i<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 2<br />
=<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝−1 0<br />
−2<br />
−3<br />
−11⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
10 ⎟<br />
⎠<br />
d) Se înlocuie cos0 = 1, sin<br />
π<br />
= 1, tg<br />
π<br />
= 1 şi avem de efectuat următoarea înmulţire de matrice:<br />
2 4<br />
⎛3 ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝1 1<br />
1<br />
2<br />
2 ⎞⎛−1 2<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
2<br />
3 ⎟⎜<br />
⎠⎝ 0<br />
−1 1⎞ ⎛3 ⋅( − 1) + 1⋅ 2 + 2 ⋅0 − 1 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
2 ⋅( − 1) + 1⋅ 2+ 2⋅0 1 1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 ⋅( − 1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅0 3 ⋅( − 1) + 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅1 2 ⋅( − 1) + 1 ⋅( − 1) + 2⋅1 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅( − 1) + 3 ⋅1 3 ⋅ 1 + 1⋅ 1 + 2 ⋅1⎞ ⎛−1 2⋅ 1+ 1⋅ 1+ 2⋅ 1<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
1⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
−2<br />
−1<br />
0<br />
6 ⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎟<br />
6 ⎠ ⎟<br />
e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor:<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝3 2<br />
−1<br />
⎛1 3⎞ ⎜<br />
1<br />
1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝1 −1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−1 ⎛ 1<br />
4 ⎞ ⎜<br />
−1<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜ 0<br />
−1⎟ ⎠ ⎜<br />
⎝−2 1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟=<br />
1⎟<br />
⎟<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 1⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅1 = ⎜<br />
⎝3 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 1 + 1⋅1 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅3 3 ⋅( − 1) + ( −1) ⋅ 2 + 1⋅3 1⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅( −1) 3 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ 1 + 1 ⋅( −1) ⎛ 1<br />
1⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅( −1) ⎜<br />
⎞ ⎜<br />
−1<br />
⋅<br />
3 ⋅ 4 + ( −1) ⋅ 2 + 1 ⋅( −1)<br />
⎟<br />
⎠ ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝−2 1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟=<br />
1 ⎟<br />
⎟<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛6 = ⎜<br />
⎝3 12<br />
−2 1<br />
4<br />
⎛ 1<br />
5<br />
⎜<br />
⎞ ⎜<br />
−1 9<br />
⎟⋅ ⎠ ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝−2 1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟ ⎛ 6⋅ 1+ 12 ⋅( − 1) + 1⋅ 0+ 5 ⋅( −2) =<br />
1⎟ ⎜<br />
⎝3⋅ 1 + ( −2)( − 1) + 4⋅ 0+ 9 ⋅( −2) ⎟<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
6⋅ 1+ 12⋅ 2+ 1⋅ 1+ 5⋅2 ⎞ ⎛−16 =<br />
3⋅ 1 + ( −2) ⋅ 2+ 4⋅ 1+ 9⋅2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−13 41⎞<br />
21<br />
⎟.<br />
⎠<br />
E2. Rezolvare:<br />
⎛ 1<br />
⎛1 3⎞ −<br />
⎜<br />
a) AB =<br />
2<br />
⎜<br />
3 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎝ ⎠ ⎜ 1<br />
⎝<br />
1<br />
1 1<br />
1 ⎞ ⎛ ⋅ 5 ( − ) + 3⋅1 1⋅ 1+ 3⋅<br />
2 ( − ⎞<br />
2)<br />
⎛<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2<br />
1⎟ = ⎜ ⎟=<br />
3<br />
1 1 ⎜<br />
− ⎟ ⎜ ⋅<br />
1 ( − ) + 1⋅1 3⋅ 1+ 1⋅<br />
2 2 ( −<br />
2)<br />
⎟ ⎜− ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2<br />
−<br />
1⎞<br />
2⎟<br />
5 ⎟<br />
2 ⎠<br />
⎛− 1<br />
⎜<br />
BA =<br />
2<br />
⎜ 1<br />
⎝<br />
1 ⎞<br />
⎟⎛1 1⎟⎜ − ⎟⎝3 2⎠ ⎛ 1<br />
3<br />
− ⋅ 1+ 1⋅3 ⎞ ⎜ 2<br />
1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ 11<br />
1<br />
⎜ ⋅ + ( − ) ⋅3 ⎝ 2<br />
−<br />
1<br />
⋅ 3+ 1⋅1 ⎞ ⎛ 5<br />
2 ⎟ ⎜<br />
=<br />
2<br />
13<br />
1 ⎟ ⎜<br />
⋅ + 1 ( − ) ⋅1⎟ ⎜− 2 ⎠<br />
⎝ 2<br />
−<br />
1⎞<br />
2⎟<br />
5 ⎟<br />
2 ⎠<br />
38
t t ⎛1 A⋅ B= ⎜<br />
⎝3 ⎛ 1<br />
3⎞ −<br />
⎜ 2<br />
1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎜ 1<br />
⎝<br />
1 ⎞ ⎛ 5<br />
⎟ ⎜ 2<br />
A B<br />
1⎟ = ⋅ =<br />
⎜<br />
− ⎟ ⎜− 1<br />
2⎠ ⎝ 2<br />
−<br />
1⎞<br />
2⎟<br />
5 ⎟<br />
2 ⎠<br />
⎛− 1<br />
t t ⎜ 2<br />
B ⋅ A= ⎜ 1<br />
⎝<br />
1 ⎞<br />
⎟⎛1<br />
1⎟⎜ − ⎟⎝3<br />
2 ⎠<br />
3⎞<br />
= B⋅ A= AB<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1⎞ b) A⋅ B=<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⋅( −3 ⎜3⎟ ⎝ ⎠<br />
1<br />
⎛1 ⋅− ( 3)<br />
− 1) =<br />
⎜<br />
⎜<br />
2 ⋅( −3) ⎜<br />
⎝3(3) ⋅−<br />
1⋅1 2⋅1 31 ⋅<br />
1 ⋅− ( 1) ⎞ ⎛−3 2 ⋅( − 1)<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−6 3(1) ⋅− ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−9 1<br />
2<br />
3<br />
−1⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎟<br />
−3⎟<br />
⎠<br />
B⋅ A= ( −3 1<br />
⎛1⎞ −1) ⋅<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
= ( −3⋅ 1+ 1⋅ 2 + ( −1) ⋅ 3) = ( −4) ∈M1(<br />
Z )<br />
⎜3⎟ ⎝ ⎠<br />
t t<br />
A⋅ B= ( 1 2<br />
⎛−3⎞ 3) ⋅<br />
⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
= (1 ⋅( − 3) + 2⋅ 1+ 3 ⋅( − 1)) = ( −4) ∈M1(<br />
Z )<br />
⎜−1⎟ ⎝ ⎠<br />
⎛−3⎞ t t<br />
B⋅ A=<br />
⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⋅ ( 1<br />
⎜ 1⎟<br />
⎝−⎠ 2<br />
⎛−31 ⋅<br />
3) =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1⋅1 ⎜<br />
⎝−11 ⋅<br />
−32 ⋅<br />
1⋅2 −12 ⋅<br />
−33 ⋅ ⎞ ⎛−3 1⋅ 3<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
1<br />
−13 ⋅ ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −6 2<br />
−2 −9⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎟<br />
−3⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 1<br />
c) A⋅ B=<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝ 0 1<br />
1⎞ ⎛−2 2⎟⋅ ⎜<br />
1<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝ 2<br />
1⎞<br />
⎛ 1 ( 2) 1 1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎟ − ⋅ − + ⋅ + ⋅<br />
⎜ 2<br />
⎟<br />
=<br />
0⎟<br />
⎜<br />
0 ⋅− ( 2) + 1⋅ 1+ 2⋅2 ⎠ ⎝<br />
−1⋅ 1+ 1⋅ 3+ 1<br />
⋅0⎞ ⎛4 2 ⎟=<br />
⎜<br />
0⋅ 1+ 1⋅ 3+ 2⋅0 ⎟ ⎝5 ⎠<br />
2⎞<br />
3<br />
⎟.<br />
⎠<br />
⎛−2 BA =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
1⎞ ⎛ 1 1<br />
3<br />
⎟ −<br />
⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
0⎟ ⎜<br />
0 1<br />
⎠ ⎝<br />
⎛−2 ⋅( − 1) + 1⋅0 ⎜<br />
1 ⎞ ⎜<br />
2 ⎟=<br />
⎜ 1 ⋅( − 1) + 3⋅0 2<br />
⎟<br />
⎠ ⎜<br />
⎜ 2( ⋅ − 1) + 00 ⋅<br />
⎝<br />
−2⋅ 1+ 1⋅1 1⋅ 1+ 3⋅ 1<br />
21 ⋅ + 01 ⋅<br />
−2⋅ 1<br />
+ 1⋅2⎞ 2 ⎟ ⎛ 2<br />
1<br />
1 ⎟<br />
+ 3⋅ 2 =<br />
⎜<br />
−1<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
1 ⎝−2 2⋅ + 02 ⋅ ⎟<br />
2 ⎠<br />
−1<br />
4<br />
2<br />
1 ⎞<br />
6,5<br />
⎟<br />
⎟<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜−1 0⎟ ⎜−1 ⋅( − 2) + 0⋅1 −1⋅ 1+ 0⋅3 −1⋅ 2+ 0⋅0⎟ ⎛ 2 −1 −2⎞<br />
⎛−2 1 2⎞<br />
A⋅ B= ⎜ 1 1⎟⋅ = ⎜ 1(2) ⋅ − + 11 ⋅ 11 ⋅ + 13 ⋅ 12 ⋅ + 10 ⋅ ⎟=<br />
⎜<br />
− 1 4 2<br />
⎟<br />
= ( BA)<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
1 3 0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 1<br />
2<br />
1<br />
( 2) 2 1<br />
1<br />
1 2 3<br />
1 ⎜<br />
2 2 0<br />
1 6,5 1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⋅− + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⎟ ⎝ ⎠<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠<br />
t t t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜−1 0⎟ ⎛ 2 ( 1) 1 1 2<br />
1<br />
2 1 2 2 0 1 1 2 2⎞<br />
t t ⎛−⎞ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅<br />
⎜ 2<br />
⎟ ⎛4 5⎞<br />
t<br />
B ⋅ A = ⎜ 1 1 ⎟<br />
⎜ ( AB)<br />
1 3 0<br />
⎟⋅ =<br />
⎜<br />
1(1) 31 0<br />
1 ⎟<br />
= ⎜ =<br />
10 31 02<br />
2 3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎜ 1 ⎜ ⋅− + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟<br />
⎜ 2 ⎟ ⎝ 2<br />
⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
d) A · B = I3 · B = B<br />
B · A = B · I3 = B<br />
t t<br />
A · B = I3 · t B = t B<br />
t t t<br />
B · A = B · I3 = t B<br />
39
E3. Rezolvare:<br />
Calculăm<br />
⎛−1 ⎜<br />
0<br />
AB =<br />
⎜<br />
⎜−3 ⎜<br />
⎝ 2<br />
2⎞ ⎟<br />
1⎟⎛3 1⎟ ⋅ ⎜<br />
⎝0 ⎟<br />
0⎠ 1<br />
1<br />
−4 0<br />
⎛−13 ⋅ + 20 ⋅<br />
⎜<br />
0⎞ ⎜ 0⋅ 3+⋅ 1 0<br />
⎟=<br />
5⎠ ⎜−3⋅ 3+ 1⋅0 ⎜<br />
⎝ 23 ⋅ + 00 ⋅<br />
−11 ⋅ + 21 ⋅<br />
0⋅+⋅ 1 1 1<br />
−3⋅ 1+ 1⋅1 21 ⋅ + 01 ⋅<br />
−1( ⋅− 4) + 20 ⋅<br />
0 ⋅− ( 4) +⋅ 1 0<br />
−3 ⋅− ( 4) + 1⋅0 2( ⋅− 4) + 00 ⋅<br />
−10 ⋅ + 25 ⋅ ⎞<br />
⎟<br />
0⋅ 0+⋅ 1 5 ⎟<br />
=<br />
−3⋅ 0+ 1⋅5⎟ ⎟<br />
20 ⋅ + 05 ⋅ ⎠<br />
⎛−3 ⎜<br />
0<br />
= ⎜<br />
⎜−9 ⎜<br />
⎝ 6<br />
1<br />
1<br />
−2<br />
2<br />
4<br />
0<br />
12<br />
−8<br />
10⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎟.<br />
5 ⎟<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−3 ⎜<br />
t 1<br />
Rezultă că ( AB)<br />
= ⎜<br />
⎜ 4<br />
⎜<br />
⎝10 0<br />
1<br />
0<br />
5<br />
−9<br />
−2<br />
12<br />
5<br />
6 ⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟.<br />
−8⎟<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 3<br />
⎜<br />
t t 1<br />
B⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜−4 ⎜<br />
⎝ 0<br />
0⎞ 1<br />
⎟<br />
⎟⎛−1 0⎟ ⎜<br />
⎝ 2<br />
⎟<br />
5<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
1<br />
−3 1<br />
⎛ 3(1) ⋅ − + 02 ⋅<br />
2<br />
⎜<br />
⎞ ⎜<br />
1(1) ⋅ − + 12 ⋅<br />
0<br />
⎟=<br />
⎠ ⎜−4(1) ⋅ − + 02 ⋅<br />
⎜<br />
⎝ 0 ⋅− ( 1) + 5⋅2 30 ⋅ + 01 ⋅<br />
10 ⋅ + 11 ⋅<br />
−40 ⋅ + 01 ⋅<br />
0⋅ 0+ 5⋅1 3(3) ⋅ − + 01 ⋅<br />
1(3) ⋅ − + 11 ⋅<br />
−4(3) − + 01 ⋅<br />
0 ⋅− ( 3) + 5⋅1 32 ⋅ + 00 ⋅ ⎞<br />
12 ⋅ + 10 ⋅<br />
⎟<br />
⎟=<br />
−42 ⋅ + 00 ⋅ ⎟<br />
⎟<br />
0⋅ 2+ 5⋅0 ⎟<br />
⎠<br />
⎛−3 ⎜<br />
1<br />
= ⎜<br />
⎜ 4<br />
⎜<br />
⎝10 0<br />
1<br />
0<br />
5<br />
−9<br />
−2<br />
12<br />
5<br />
6 ⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟.<br />
−8⎟<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
Se observă că t (AB) = t B · t A.<br />
⎛−6 ⎜<br />
t t 1<br />
Avem de asemenea: AB + B A = ⎜<br />
⎜−5 ⎜<br />
⎝16 1<br />
2<br />
−2 7<br />
−5<br />
−2<br />
24<br />
−3<br />
16⎞<br />
7<br />
⎟<br />
⎟.<br />
−3⎟<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
E4. Rezolvare:<br />
⎛ 5⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −4) A⋅( B⋅ C) = A⋅<br />
⎜<br />
⎜<br />
10 ⋅ + 1(1) ⋅ − + 3(4) ⋅ −<br />
⎜<br />
⎝−1⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2) ⋅( −4) 5⋅ 2+ 1⋅ 3 + ( −2) ⋅0 12 ⋅ + 13 ⋅ + 30 ⋅<br />
( −1) ⋅ 2+ 1⋅ 3 + ( −2) ⋅0 5⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −2)<br />
⎞<br />
10 ⋅ + 1(1) ⋅ − + 3(2) ⋅ −<br />
⎟<br />
⎟<br />
=<br />
( −1) ⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −2)<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 =<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
0<br />
−1 1<br />
3⎞ ⎛ 7<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
−13 0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 7<br />
13<br />
5<br />
1<br />
3 ⎞ ⎛−1⋅ 7+ 0 ⋅( − 13) + 3⋅7 − 7<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
2 ⋅ 7 + ( −1)( − 13) + 2 ⋅7 3⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 17 ⋅ + 1(13) ⋅ − + 07 ⋅<br />
−1⋅ 13+ 0⋅ 5+ 3⋅1 2 ⋅ 13 + ( −1) ⋅ 5 + 2 ⋅1 113 ⋅ + 15 ⋅ + 01 ⋅<br />
−1⋅ 3+ 0 ⋅( − 7) + 3⋅3⎞ 2 ⋅ 3 + ( −1)( − 7) + 2 ⋅ 3<br />
⎟<br />
⎟<br />
=<br />
13 ⋅ + 1(7) ⋅ − + 03 ⋅ ⎟<br />
⎠<br />
⎛14 =<br />
⎜<br />
⎜<br />
41<br />
⎜<br />
⎝−6 −10<br />
23<br />
18<br />
6 ⎞<br />
19<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−4⎟<br />
⎠<br />
⎛−⋅ 15+ 01 ⋅+⋅− 3( 1)<br />
⎜<br />
( A⋅B) ⋅ C= ⎜2⋅ 5 +− ( 1)1+ 2 ⋅− ( 1)<br />
⎜<br />
⎝ 15 ⋅ +⋅+ 11 0( ⋅−1) −⋅+ 11 01 ⋅+⋅ 31<br />
2⋅ 1 +− ( 1)1+ 2⋅1 11 ⋅+⋅+ 11 01 ⋅<br />
−⋅− 1( 2) + 03 ⋅+⋅− 3( 2) ⎞ ⎛−8 ⎟ ⎜<br />
2 ⋅− ( 2) +− ( 1)3+ 2 ⋅− ( 2) ⎟⋅ C=<br />
⎜ 7<br />
⎟ ⎜<br />
1( ⋅− 2) +⋅+ 13 0( ⋅−2)<br />
⎠ ⎝ 6<br />
2<br />
3<br />
2<br />
−4⎞<br />
⎟<br />
−11⎟⋅ ⎟<br />
1 ⎠<br />
40
⎛ 0<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎜<br />
−1 ⎜<br />
⎝−4 2<br />
3<br />
0<br />
0 ⎞ ⎛0− 2+ 16<br />
− 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0− 3+ 44<br />
−2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0−2− 4<br />
− 16+ 6+ 0<br />
14+ 9+ 0<br />
12+ 6+ 0<br />
0− 2+ 8 ⎞ ⎛14 0− 3+ 22<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
41<br />
0−2−2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−6 −10<br />
23<br />
18<br />
6 ⎞<br />
19<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−4⎟<br />
⎠<br />
Aşadar, A · (B · C) = (A · B) · C.<br />
⎛−1 b) A⋅ ( B+ C)<br />
=<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
0<br />
−1 1<br />
3⎞ ⎛ 5<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
0<br />
0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−5 3<br />
4<br />
1<br />
−2⎞ ⎛− 5+ 0−15 2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
10+ 0−10 − 4⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 5+ 0+ 0<br />
− 3+ 0+ 3<br />
6− 4+ 2<br />
3+ 4+ 0<br />
2+ 0−12⎞ ⎛−20 −4−2− 8<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
− 2+ 2+ 0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 5<br />
0<br />
4<br />
7<br />
−10⎞<br />
−14<br />
⎟<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 AB + AC =<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
0<br />
−1 1<br />
3⎞ ⎛ 5 1<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
1 1<br />
0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 1<br />
−2⎞ ⎛−1 3<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
2<br />
−2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
0<br />
−1 1<br />
3⎞ ⎛ 0<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
−1 0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 2<br />
3<br />
0<br />
0 ⎞ ⎛− 5+ 0−3 − 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
10−1−2 − 2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 5+ 1+ 0<br />
− 1+ 0+ 3<br />
2− 1+ 2<br />
1+ 1+ 0<br />
2+ 0−6 ⎞<br />
−4−3− 4<br />
⎟<br />
⎟<br />
+<br />
− 2+ 3+ 0⎟<br />
⎠<br />
⎛0+ 0−12 +<br />
⎜<br />
⎜<br />
0+ 1−8 ⎜<br />
⎝ 0− 1+ 0<br />
− 2+ 0+ 0<br />
4− 3+ 0<br />
2+ 3+ 0<br />
0+ 0−6⎞ ⎛−8 0+ 1− 4<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
7<br />
0−1−0⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
2<br />
3<br />
2<br />
−4 ⎞ ⎛−12 − 11<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
−7 1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ −1 −2 1<br />
5<br />
−6⎞ ⎛−20 − 3<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
−1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ 5<br />
0<br />
4<br />
7<br />
−10⎞<br />
−14<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
Aşadar A · (B + C) = AB + AC.<br />
c)<br />
⎛4 ( A+ B) ⋅ C =<br />
⎜<br />
⎜<br />
3<br />
⎜<br />
⎝0 1<br />
0<br />
2<br />
1 ⎞ ⎛ 0<br />
5<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
−1 −2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 2<br />
3<br />
0<br />
0 ⎞ ⎛ 0−1− 4<br />
− 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0+ 0− 20<br />
−2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0− 2+ 8<br />
8+ 3+ 0<br />
6+ 0+ 0<br />
0+ 6+ 0<br />
0−1−2 ⎞ ⎛ −5 0+ 0− 10<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
−20 0− 2+ 4 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
11<br />
6<br />
6<br />
−3<br />
⎞<br />
−10<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Pentru calculul expresiei A · C + B · C vom folosi calculul lui A · C făcut la punctul b) şi al lui<br />
B · C făcut la a).<br />
⎛−12 Avem: AC ⋅ + BC ⋅ =<br />
⎜<br />
⎜<br />
−7 ⎜<br />
⎝ −1 −2 1<br />
5<br />
−6⎞ ⎛ 7<br />
− 3<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
−13 −1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ 7<br />
13<br />
5<br />
1<br />
3 ⎞ ⎛ −5 − 7<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−20 3 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
11<br />
6<br />
6<br />
−3⎞<br />
−10<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Aşadar, (A + B) · C = A · C + B · C.<br />
E5. Rezolvare:<br />
2<br />
⎛2 ⎜<br />
⎝1 1 ⎞<br />
−3 ⎟<br />
⎠<br />
⎛2 = ⎜<br />
⎝1 1 ⎞ ⎛2 ⋅<br />
−3 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 1 ⎞ ⎛4+ 1<br />
=<br />
−3 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2− 3<br />
2−3⎞ ⎛ 5<br />
=<br />
1+ 9<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −1⎞<br />
10<br />
⎟<br />
⎠ ;<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝3 3<br />
−1⎞ ⎛1 2<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1 2<br />
⎟⋅⎜ ⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1 2<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1−3 2<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝3+ 6<br />
−1−2⎞ ⎛1 ⋅<br />
− 3+ 4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛−2 =<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 9<br />
−3⎞⎛1 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝3 −1⎞<br />
=<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−2−9 = ⎜<br />
⎝ 9+ 3<br />
2−6 ⎞ ⎛−11 =<br />
− 9+ 2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 12<br />
−4⎞<br />
−7<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 2<br />
Avem: ⎜<br />
⎝−1 2<br />
−1⎞ ⎛ 2<br />
1<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −1⎞⎛ 2<br />
1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝−1 − 1⎞ ⎛ 4+ 1<br />
1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝−2− 1<br />
−2−1⎞ ⎛ 5<br />
=<br />
1+ 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−3 −3⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝−1 4<br />
−1⎞ ⎛ 2<br />
1<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝−1 2<br />
−1⎞ ⎛ 2<br />
1<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 2<br />
−1⎞ ⎛ 5<br />
1<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝−3 −3⎞ ⎛ 5<br />
2<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−3 − 3⎞ ⎛ 25+ 9<br />
=<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−15− 6<br />
−15−6⎞ ⎛ 34<br />
=<br />
9+ 4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−21 −21⎞<br />
13<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝−1 5<br />
−1⎞ ⎛ 2<br />
1<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝−1 4<br />
−1⎞ ⎛ 2<br />
1<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −1⎞ ⎛ 34<br />
1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝−21 −21⎞ ⎛ 2<br />
13<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 − 1⎞ ⎛ 68 + 21<br />
=<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−42 − 13<br />
−34 −21⎞ ⎛ 89<br />
=<br />
21+ 13<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−55 −55⎞<br />
34<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
E6. Rezolvare:<br />
⎛−1 2 ⎜<br />
A = ⎜ 4<br />
⎜<br />
⎝ 4<br />
2<br />
−3 −4 −2⎞⎛−1 ⎟⎜<br />
4 ⎟⎜ 4<br />
⎟⎜<br />
5 ⎠⎝ 4<br />
2<br />
− 3<br />
−4 − 2⎞ ⎛ 1+ 8−8 ⎟ ⎜<br />
4 ⎟= ⎜−4− 12+ 16<br />
⎟ ⎜<br />
5 ⎠ ⎝−4− 16+ 20<br />
−2− 6+ 8<br />
8+ 9−16 8+ 12−20 2+ 8−10 ⎞<br />
⎟<br />
−8− 12+ 20⎟=<br />
I<br />
⎟<br />
−8− 16+ 25⎠<br />
41<br />
3
Aşadar A 2 = I3.<br />
A 3 = A 2 · A = I3 · A = A<br />
2006 2 1003 2003<br />
A = ( A ) = I3 = I3<br />
3 10 10<br />
( A + I) = ( A+ I3)<br />
⎛0 1 −1⎞<br />
not<br />
Dar A+ I3= 2⋅ ⎜<br />
2 1 2<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
= 2⋅B<br />
şi B<br />
⎜2 −2<br />
3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 = B.<br />
10 10 10 10 10<br />
Rezultă că ( A+ I ) = (2 B) = 2 ⋅ B = 2 ⋅ B.<br />
3<br />
E7. Rezolvare:<br />
Calculăm câteva puteri consecutive ale lui A<br />
2 ⎛1 A = A⋅ A= ⎜<br />
⎝1 0⎞ ⎛1 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 2 ⎛1 A = A ⋅ A= ⎜<br />
⎝2 0⎞ ⎛1 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
4 3 ⎛1 A = A ⋅ A= ⎜<br />
⎝3 0⎞ ⎛1 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Din forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 , A 4 n ⎛1 se deduce că A = ⎜<br />
⎝n demonstrăm prin inducţie matematică după n i q, n U 1.<br />
0⎞<br />
1<br />
⎟,<br />
formulă care o<br />
⎠<br />
1 ⎛1 Pentru n = 1, rezultă că A = ⎜<br />
⎝1 0⎞<br />
= A<br />
1<br />
⎟ , ceea ce este evident adevărat.<br />
⎠<br />
k ⎛1 Presupunem că A = ⎜<br />
⎝k 0⎞<br />
k + 1 ⎛ 1<br />
0<br />
⎟ şi demonstrăm că A = ⎜<br />
⎠ ⎝k+ 1<br />
0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
k+ 1 k ⎛1 Avem că A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎝k 0⎞ ⎛1 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛ 1<br />
=<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝k + 1<br />
0⎞<br />
1<br />
⎟,<br />
ceea ce trebuia demonstrat.<br />
⎠<br />
n ⎛1 Aşadar, A = ⎜<br />
⎝n 0⎞<br />
1<br />
⎟,<br />
¼n i q*.<br />
⎠<br />
E8. Rezolvare:<br />
⎛a Luăm matricea X de forma: X = ⎜<br />
⎝x b⎞<br />
y<br />
⎟,<br />
a, b, x, y i Z.<br />
⎠<br />
⎛a • Înlocuind în relaţia de la a) avem: ⎜<br />
⎝x b⎞⎛−1<br />
y<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ 3<br />
2⎞ ⎛5 =<br />
4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4 10⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎛− a+ 3b relaţie echivalentă cu ⎜<br />
⎝− x+ 3y 2a+ 4b⎞ ⎛5 =<br />
2x+ 4y ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4 10⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎧−<br />
a+ 3b= 5 ⎧−<br />
x+ 3y = 4<br />
Se obţin sistemele de ecuaţii: ⎨ şi ⎨<br />
⎩2a+<br />
4b= 10 ⎩2x+<br />
4y = 2<br />
cu soluţiile a = 1, b = 2, respectiv x = –1, y = 1.<br />
Aşadar,<br />
⎛ 1 2⎞<br />
X = ⎜<br />
−1<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
42
⎛−1 • Înlocuind în relaţia de la punctul b) se obţine: ⎜<br />
⎝ 2<br />
3⎞⎛a 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝x b⎞<br />
⎛5 =<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4 7⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎛− a+ 3x relaţie echivalentă cu: ⎜<br />
⎝ 2a+ x<br />
− b+ 3y⎞ ⎛5 ⎟= ⎜<br />
2b+ y ⎠ ⎝4 7⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
.<br />
Din această egalitate de matrice se obţin sistemele de ecuaţii:<br />
⎧−<br />
a+ 3x= 5 ⎧−<br />
b+ 3y = 7<br />
⎨ şi ⎨<br />
⎩2a+<br />
x=<br />
4 ⎩2b+<br />
y = 0<br />
⎛1 care au soluţiile a = 1, x = 2, respectiv b = –1, y = 2. Aşadar, X = ⎜<br />
⎝2 −1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
E9. Rezolvare:<br />
a) B = 2f(A) – f(A + I2). Avem:<br />
f(A) = A 3 – 4A + 2I2<br />
3 2 ⎛−1 Dar A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
0 ⎞⎛−1 −1 ⎟⎜<br />
⎠⎝ 2<br />
0 ⎞⎛−1 −1 ⎟⎜<br />
⎠⎝ 2<br />
0 ⎞ ⎛ 1<br />
=<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 0⎞⎛−1 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ 2<br />
0 ⎞ ⎛−1 =<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
0 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 Rezultă că f( A)<br />
= ⎜<br />
⎝ 6<br />
0 ⎞ ⎛−1 − 4<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
0 ⎞ ⎛1 + 2<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛−1 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
0 ⎞ ⎛ 4<br />
+<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−8 0⎞ ⎛2 +<br />
4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 5<br />
=<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−2 0⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
f(A + I2) = (A + I2) 3 – 4(A + I2) + 2I2.<br />
⎛0 Dar A+ I2 = ⎜<br />
⎝2 0⎞ 2 ⎛0 ,( 2) 0<br />
⎟ A+ I = ⎜<br />
⎠ ⎝2 0⎞⎛0 0<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝2 0⎞ ⎛0 =<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞<br />
= O2<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 2<br />
şi ( A+ I ) = ( A+ I ) ⋅ ( A+ I ) = O .<br />
2 2 2 2<br />
⎛0 Rezultă că f( A+ I2) = O2<br />
−4⋅ ⎜<br />
⎝2 0⎞ ⎛1 2<br />
0<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛0 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 0<br />
0<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝−8 0⎞ ⎛2 +<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 2<br />
=<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−8 0⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Înlocuind în expresia matricei B se obţine:<br />
b) Calculăm<br />
Din punctul a) avem că<br />
⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛8 0⎞<br />
B = 2 ⋅⎜ − =<br />
−2 5<br />
⎟ ⎜<br />
−8<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
4 8<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
t ⎛−1 0 ⎞ ⎛−1 2 ⎞ ⎛0 −2⎞<br />
A− A=<br />
⎜ − =<br />
2 −1 ⎟ ⎜<br />
0 −1<br />
⎟ ⎜<br />
2 0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 5 0⎞<br />
f( A)<br />
= ⎜<br />
−2<br />
5<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
f(A – t A) = (A – t A) 3 – 4(A – t A) + 2I2.<br />
Dar<br />
3<br />
t 3 ⎛0 −2⎞ ⎛0 −2⎞⎛0 −2⎞⎛0 −2⎞ ⎛−4 0 ⎞⎛0 −2⎞<br />
⎛ 0 8⎞<br />
( A− A)<br />
= ⎜<br />
2 0<br />
⎟ = ⎜<br />
2 0<br />
⎟⎜<br />
2 0<br />
⎟⎜<br />
2 0<br />
⎟= ⎜ =<br />
0 −4 ⎟⎜<br />
2 0<br />
⎟ ⎜<br />
−8<br />
0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Rezultă că<br />
t ⎛ 0 8⎞ ⎛ 0 8⎞ ⎛2 0⎞ ⎛ 2 16⎞<br />
f( A− A)<br />
= ⎜ + + =<br />
−8 0<br />
⎟ ⎜<br />
−8 0<br />
⎟ ⎜<br />
0 2<br />
⎟ ⎜<br />
−16<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Înlocuind în expresia matricei C se obţine:<br />
⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 16⎞ ⎛ 5 0⎞ ⎛ 4 32⎞ ⎛ 9 32⎞<br />
C = ⎜ + 2 ⋅ = + =<br />
−2 5<br />
⎟ ⎜<br />
−16 2<br />
⎟ ⎜<br />
−2 5<br />
⎟ ⎜<br />
−32 4<br />
⎟ ⎜<br />
−34<br />
9<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
43
Sinteză<br />
S1. Rezolvare:<br />
a) Matricea X trebuie să fie de tipul (3, 2) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enunţ.<br />
⎛a x⎞<br />
⎛1 −1<br />
1 ⎞ 0 3<br />
Înlocuind pe X avem:<br />
⎜<br />
b y<br />
⎟ ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
0 1 1<br />
⎟⋅ ⎜ ⎟<br />
= ⎜<br />
3 2<br />
⎟.<br />
⎝ − ⎠ ⎜ ⎝ ⎠<br />
c z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine următoarea egalitate de matrice:<br />
⎛a− b+ c x− y+ z⎞<br />
⎛0 3⎞<br />
⎜ =<br />
b−c y−z ⎟ ⎜<br />
3 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,<br />
⎧a−<br />
b+ c=<br />
0<br />
⎪<br />
⎪b−<br />
c=<br />
3<br />
din care se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨<br />
⎪x−<br />
y+ z = 3<br />
⎪⎩ y− z = 2<br />
Din primele două ecuaţii se obţine a = b – c = 3, b = 3 + c şi c i Z.<br />
Din următoarele două ecuaţii se obţine x = 5, y = 2 + z şi z i Z.<br />
⎛ 3 5 ⎞<br />
Aşadar X =<br />
⎜<br />
3 c 2 z<br />
⎟<br />
⎜<br />
+ +<br />
⎟<br />
, c, z i Z.<br />
⎜ c z ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
b) În egalitatea aceasta se impune condiţia ca X i M3,1(Z). Avem:<br />
⎛−1 4 1⎞<br />
⎛a⎞ ⎛−3⎞ ⎛− a+ 4b+ c ⎞ ⎛−3⎞ ⎜<br />
0 1 3<br />
⎟⋅ ⎜<br />
b<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
8<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
, egalitate care se scrie sub forma:<br />
⎜<br />
b 3c ⎟ ⎜<br />
8<br />
⎟<br />
⎜<br />
+<br />
⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−2 2 5⎟ ⎜c⎟ ⎜ 9⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
− 2a+ 2b+ 5c⎟ ⎜ 9⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Identificând elementele corespunzătoare ale acestor matrice se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧−<br />
a+ 4b+ c=−3<br />
⎪<br />
⎨b+<br />
3c= 8<br />
⎪<br />
⎩−<br />
2a+ 2b+ 5c= 9<br />
Înmulţind prima ecuaţie cu –2 şi adunând-o la ecuaţia a treia se obţine un sistem de două<br />
ecuaţii cu necunoscutele b şi c:<br />
⎧−<br />
6b+ 3c= 15<br />
⎨ cu soluţia: b = –1, c = 3.<br />
⎩b+<br />
3c= 8<br />
Înlocuind b şi c în una din ecuaţiile care conţin a se obţine a = 2.<br />
⎛2⎞ Aşadar, X =<br />
⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
⎜3⎟ ⎝ ⎠<br />
c) În această relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul 3:<br />
⎛1 −1 1 ⎞ ⎛a x m⎞<br />
⎛ 8 2 −1⎞<br />
Avem:<br />
⎜<br />
2 0 3<br />
⎟ ⎜<br />
b y n<br />
⎟ ⎜<br />
9 5 4<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⋅<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
⎜1 1 −2⎟ ⎜c z p⎟<br />
⎜−3 −1<br />
5 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală:<br />
⎛ a− b+ c x− y+ z m− n+ p ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞<br />
⎜<br />
2a 3c 2x 3z 2m 3p ⎟ ⎜<br />
9 5 4<br />
⎟<br />
⎜<br />
+ + +<br />
⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
⎜a+ b− 2c x+ y− 2z m+ n−2p⎟ ⎜−3 −1<br />
5 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
44
Punând condiţia egalităţii celor două matrice se structurează trei sisteme de ecuaţii cu câte trei<br />
necunoscute de forma:<br />
⎧a− b+ c= 8 ⎧x− y+ z = 2 ⎧m−<br />
n+ p=−1<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎨2a+ 3c= 9 , ⎨2x+ 3z = 5 , ⎨2m+<br />
3p= 4<br />
⎪a b 2c 3 ⎪x y 2z 1 ⎪<br />
⎩ + − =− ⎩ + − =− ⎩m+<br />
n− 2p= 5<br />
Se obţin soluţiile: a = 3, b = –4; c = 1<br />
x = 1; y = 0; z = 1<br />
m = 2; n = 3; p = 0<br />
⎛ 3 1 2⎞<br />
Aşadar, X =<br />
⎜<br />
4 0 3<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
.<br />
⎜ 1 1 0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
S2. Rezolvare:<br />
⎛1 a) Avem egalitatea: ⎜<br />
⎝0 5⎞ ⎛a 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝x b⎞<br />
⎛1 =<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎛a+ 5x care este echivalentă cu: ⎜<br />
⎝ x<br />
Se obţin egalităţile de elemente:<br />
• a + 5x = 1<br />
• b + 5y = 0<br />
• x = 0<br />
b+ 5y⎞ ⎛1 =<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1 Rezultă că: a = 1, b = –5 şi X = ⎜<br />
⎝0 −5⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
b) Înlocuind A, X şi B se obţine egalitatea:<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝0 5⎞ ⎛a 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝x b⎞<br />
⎛2 =<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 ⎧a+<br />
5x= 2<br />
1<br />
⎪<br />
⎞<br />
⎪b+<br />
5y = 1<br />
1<br />
⎟.<br />
Procedând ca la a) se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨<br />
⎠ ⎪ x = 1<br />
⎪ ⎩ y = 1<br />
⎛−3 cu soluţiile a = –3; b = –4, x = 1, y = 1. Aşadar, X = ⎜<br />
⎝ 1<br />
−4⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛a c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea ⎜<br />
⎝x b⎞<br />
⎛1 y<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝0 5⎞ ⎛2 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 1⎞<br />
1<br />
⎟,<br />
care este<br />
⎠<br />
⎛a echivalentă cu: ⎜<br />
⎝x 5a+ b⎞<br />
⎛2 =<br />
5x+ y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Rezultă că: a = 2, x = 1, 5a + b = 1, 5x + y = 1.<br />
⎛2 Se obţine că X = ⎜<br />
⎝1 −9⎞<br />
−4<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛1 d) AX = XB ⇔ ⎜<br />
⎝0 5⎞⎛a 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝x b⎞ ⎛a y<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝x b⎞⎛2 y<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝1 1⎞ ⎛a+ 5x 1<br />
⎟⇔ ⎜<br />
⎠ ⎝ x<br />
b+ 5y⎞ ⎛2a+ b<br />
=<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2x+ y<br />
a+ b⎞<br />
x+ y<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧a+ 5x= 2a+ b ⎧a+<br />
b− 5x= 0<br />
⎪<br />
b 5y a b<br />
⎪<br />
⎪ + = + ⎪a−<br />
5y= 0<br />
⎨ ⇔ ⎨<br />
, cu soluţia x = y = a = b = 0. Rezultă că X = O2.<br />
⎪x= 2x+ y ⎪x+<br />
y = 0<br />
⎪⎩y = x+ y ⎪⎩x=<br />
0<br />
45
⎛2 1⎞ ⎛a b⎞<br />
⎛2 1⎞ ⎛1 5⎞<br />
e) Egalitatea BXB = A este echivalentă cu: ⎜<br />
1 1<br />
⎟⋅⎜ x y<br />
⎟⋅ ⎜ =<br />
1 1<br />
⎟ ⎜<br />
0 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine succesiv:<br />
⎛2a+ x 2b+ y⎞ ⎛2 1⎞ ⎛1 5⎞ ⎛4a+ 2x+ 2b+ y 2a+ x+ 2b+ y⎞<br />
⎛1 5⎞<br />
⎜ ⋅ = ⇔ =<br />
a+ x b+ y<br />
⎟ ⎜<br />
1 1<br />
⎟ ⎜<br />
0 1<br />
⎟ ⎜<br />
2a+ 2x+ b+ y a+ x+ b+ y<br />
⎟ ⎜<br />
0 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Identificând elementele celor două matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧4a+<br />
2x+ 2b+ y = 1<br />
⎪<br />
⎪2a+<br />
x+ 2b+ y=<br />
5<br />
⎨<br />
⎪2a+<br />
2x+ b+ y=<br />
0<br />
⎪ ⎩a+<br />
x+ b+ y=<br />
1<br />
Scădem primele două ecuaţii între ele şi ultimele două ecuaţii între ele. Se obţine un nou<br />
⎧2a+<br />
x=−4<br />
sistem de ecuaţii: ⎨ , cu soluţia: a = –3; x = 2<br />
⎩a+<br />
x=−1<br />
Înlocuim pe a şi x în prima şi a treia ecuaţie a sistemului iniţial şi se obţine un sistem cu două<br />
⎧2b+<br />
y = 9<br />
ecuaţii cu necunoscutele b şi y: ⎨ , cu soluţia b = 7, y = –5.<br />
⎩b+<br />
y = 2<br />
⎛−3 7 ⎞<br />
Aşadar X = ⎜<br />
2 −5<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
S3. Rezolvare:<br />
2 2<br />
2 ⎛a −b⎞ ⎛a −b⎞ ⎛a −b −2ab<br />
⎞<br />
A = A⋅ A=<br />
⎜ 2 2<br />
b a<br />
⎟⋅ ⎜<br />
b a<br />
⎟=⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2ab<br />
a − b ⎠<br />
Înlocuind în egalitatea din enunţ se obţine egalitatea matriceală:<br />
2 2<br />
⎛a −b −2ab ⎞ ⎛−3a 3b ⎞ ⎛2 0⎞ ⎛−1 −1⎞<br />
⎜ 2 2⎟+<br />
⎜ + =<br />
2ab<br />
a b −3b −3a ⎟ ⎜<br />
0 2<br />
⎟ ⎜<br />
1 −1<br />
⎟<br />
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
echivalentă cu:<br />
2 2<br />
⎛a −b − 3a+ 2 − 2ab+ 3b<br />
⎞ ⎛−1 −1⎞<br />
⎜ 2 2 ⎟= ⎜<br />
2ab 3b a b 3a2 1 −1<br />
⎟.<br />
⎝ − − − + ⎠ ⎝ ⎠<br />
Din această egalitate matriceală se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
2 2 2 2<br />
⎧a −b − 3a+ 2=−1 ⎧a<br />
−b − 3a=−3 ⎨ ⇔ ⎨<br />
⎩2ab − 3b= 1 ⎩2ab−<br />
3b= 1<br />
2 2<br />
⎧ b = a − 3a+ 3<br />
Sistemul de ecuaţii se aduce la forma: ⎨<br />
b(2a− 3) = 1<br />
⎩<br />
Se ridică la pătrat a doua ecuaţie şi se substituie b 2 obţinându-se ecuaţia:<br />
(a 2 – 3a + 3)(2a – 3) 2 = 1, sau (a 2 – 3a + 3)[4(a 2 – 3a) + 9] = 1.<br />
Se notează a 2 – 3a = y şi se obţine ecuaţia<br />
Revenind la notaţia făcută se obţine:<br />
(y + 3)(4y + 9) = 1 cu soluţiile y1 = –2, y2<br />
2 13<br />
46<br />
=<br />
−13<br />
.<br />
4<br />
a 2 – 3a = –2, cu soluţia a i {1, 2}, respectiv a − 3a=−<br />
care nu are soluţii reale.<br />
4<br />
Pentru a = 1 se obţine b = –1, iar pentru a = 2 se obţine b = 1.<br />
⎛ 1 1⎞<br />
Aşadar, A = ⎜<br />
−1<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ sau<br />
⎛2 A = ⎜<br />
⎝1 −1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .
S4. Rezolvare:<br />
⎛a b⎞<br />
Fie A=<br />
⎜ ⎟∈M<br />
2 ( Z)<br />
. Ecuaţia matriceală devine:<br />
⎝x y⎠<br />
⎛2a 2b⎞ ⎛ 1 2⎞⎛a b⎞⎛<br />
3 1⎞ ⎛1 −3⎞<br />
⎜<br />
2x 2y ⎟− ⎜ =<br />
−1 1<br />
⎟⎜<br />
x y<br />
⎟⎜<br />
−1<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
4 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
echivalentă cu:<br />
⎛2a 2b⎞ ⎛a+ 2x b+ 2y⎞⎛ 3 1⎞ ⎛1 −3⎞<br />
⎜<br />
2x 2y ⎟− ⎜ =<br />
− a+ x − b+ y<br />
⎟⎜<br />
−1<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
4 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
sau încă:<br />
⎛2a 2b⎞ ⎛3a+ 6x−b− 2y a+ 2x+ b+ 2y⎞ ⎛1 −3⎞<br />
⎜<br />
2x 2y ⎟− ⎜ =<br />
− 3a+ 3x+ b− y − a+ x− b+ y<br />
⎟ ⎜<br />
4 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Efectuând scăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se obţine sistemul de ecuaţii<br />
cu necunoscutele a, b, x, y.<br />
⎧−a−<br />
6x+ b+ 2y= 1<br />
⎪<br />
⎪−a−<br />
2x+ b− 2y=−3 ⎨<br />
(1)<br />
⎪3a−x−<br />
b+ y=<br />
4<br />
⎪⎩ a− x+ b+ y = 2<br />
Adunăm ecuaţia a treia la toate celelalte ecuaţii ale sistemului (1) şi se obţine:<br />
⎧2a− 7x+ 3y= 5 ⎧2a−<br />
7x+ 3y= 5<br />
⎪ ⎪<br />
⎨2a−3x− y= 1 ⇔⎨2a−3x− y=<br />
1 (2)<br />
⎪ ⎪<br />
⎩4a− 2x+ 2y= 6 ⎩2a−<br />
x+ y=<br />
3<br />
⎧− 4x+ 4y = 4 ⎧−<br />
x+ y=<br />
1<br />
Scădem prima ecuaţie din celelalte două ecuaţii şi se obţine: ⎨ ⇔ ⎨ .<br />
⎩− 6x+ 2y = 2 ⎩−<br />
3x+ y = 1<br />
Se obţine x = 0 şi y = 1.<br />
Înlocuind x şi y în una din ecuaţiile sistemului (2) se obţine a = 1.<br />
Înlocuind a, x şi y într-o ecuaţie a sistemului (1) se obţine b = 0.<br />
⎛1 0⎞<br />
Aşadar, A = ⎜<br />
0 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
S5. Rezolvare:<br />
⎛a A= ⎜<br />
⎝x b⎞<br />
∈<strong>M2</strong><br />
( )<br />
y<br />
⎟ Z . Egalitatea din enunţ se scrie sub forma următoare:<br />
⎠<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝3 −1⎞ ⎛a 2<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝x b⎞ ⎛a y<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝x b⎞<br />
⎛1 ⋅<br />
y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 −1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală:<br />
din care se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
Aşadar<br />
⎛ a b ⎞<br />
A = ⎜<br />
−3b a−b ⎟,<br />
a, b i Z.<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ a−x b− y ⎞ ⎛a+ 3b − a+ 2b⎞<br />
⎜ =<br />
3a+ 2x 3b+ 2y ⎟ ⎜<br />
x+ 3y − x+ 2y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎧a−<br />
x= a+ 3b<br />
⎪ ⎧x<br />
=−3b<br />
⎪b− y =− a+ 2b<br />
⎪<br />
⎨ ⇔ ⎨y<br />
= a−b. ⎪3a+ 2x= x+ 3y<br />
⎪<br />
⎩a,<br />
b∈Z<br />
⎪ ⎩3b+<br />
2y=− x+ 2y<br />
47
S6. Rezolvare:<br />
Să calculăm mai întâi A 2 şi A 3 . Avem:<br />
⎛−1 2<br />
A = A⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2 ⎞ ⎛−1 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
0<br />
−1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2 ⎞ ⎛ 5<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
−1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 0<br />
1<br />
0<br />
−4⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
5 ⎟<br />
⎠<br />
⎛ 5<br />
3 2<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝−4 0<br />
1<br />
0<br />
−4⎞ ⎛−1 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
0<br />
5 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2 ⎞ ⎛−13 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
−1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 14<br />
0<br />
1<br />
0<br />
14 ⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
−13⎟<br />
⎠<br />
Înlocuind A 2 şi A 3 în relaţia din enunţ se obţine:<br />
⎛−13 ⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 14<br />
0<br />
1<br />
0<br />
14 ⎞ ⎛ 5<br />
0<br />
⎟<br />
x<br />
⎜<br />
⎟<br />
= ⋅<br />
⎜<br />
0<br />
−13⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 0<br />
1<br />
0<br />
−4⎞ ⎛−1 0<br />
⎟<br />
− y<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
5 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2 ⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
−1⎟<br />
⎠<br />
sau încă:<br />
⎛− 13<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 14<br />
0<br />
1<br />
0<br />
14 ⎞ ⎛ 5x + y<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
−13⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4x− 2y 0<br />
x− y<br />
0<br />
−4x−2y⎞ 0<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
5x+<br />
y ⎟<br />
⎠<br />
Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧5x+<br />
y =−13<br />
⎪<br />
⎨−4x−<br />
2y = 14 cu soluţia: x = –2, y = –3.<br />
⎪<br />
⎩x−<br />
y = 1<br />
S7. Rezolvare:<br />
⎛ cos<br />
π<br />
⎜ 6<br />
Matricea A se poate scrie sub forma: A =<br />
⎜<br />
⎜−sin π<br />
⎝ 6<br />
sin<br />
π⎞<br />
6⎟<br />
⎟.<br />
cos<br />
π<br />
⎟<br />
6⎠<br />
Pentru uşurinţa scrierii vom nota x<br />
6<br />
48<br />
π<br />
= . Calculăm câteva puteri ale matricei A şi obţinem:<br />
2 ⎛ cosx A = A⋅ A=<br />
⎜<br />
⎝−sinx sinx⎞⎛ cosx cos x<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝−sin x<br />
2 2<br />
sinx⎞ ⎛cosx−sin x<br />
cos x<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ −2sinxcosx 2sin xcos x ⎞ ⎛ cos2x 2 2 ⎟=<br />
⎜<br />
cos x−sinx⎠ ⎝−sin 2x sin2x⎞<br />
cos2x<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 2 ⎛ cos2x A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎝−sin 2x sin 2x⎞ ⎛ cos x<br />
cos2 x<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−sin x<br />
sin x⎞ ⎛cos2x⋅cos x− sin 2xsinx cos x<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝−sin 2xcosx−cos2xsinx cos2xsinx+ sin 2xcos x ⎞<br />
=<br />
− sin xsin2x+ cos2xcosx ⎟<br />
⎠<br />
⎛ cos(2 x + x) = ⎜<br />
⎝− sin( x + 2 x) sin( x+ 2 x) ⎞ ⎛ cos3x =<br />
cos(2 x+ x) ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−sin 3x sin 3x⎞<br />
cos3x<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Din forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 se poate generaliza că<br />
⎛ cos nx n<br />
A =⎜<br />
⎝−sin nx<br />
sin nx⎞<br />
⎟,<br />
n i q*.<br />
cosnx⎠<br />
Demonstrăm această relaţie prin inducţie matematică după n i q*.<br />
⎛ cos x 1<br />
Pentru n = 1 se obţine A =⎜<br />
⎝−sin x<br />
sin x⎞<br />
⎟,<br />
ceea ce este evident adevărat.<br />
cos x⎠<br />
⎛ cos kx k<br />
Presupunem că A =⎜<br />
⎝−sin kx<br />
sin kx⎞<br />
k + 1 ⎛ cos( k + 1) x<br />
⎟şi<br />
demonstrăm că A =<br />
coskx⎠<br />
⎜<br />
⎝− sin( k + 1) x<br />
sin( k + 1) x⎞<br />
cos( k + 1) x<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Avem că<br />
k+ 1 k ⎛ cos kx<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎝−sin kx<br />
sin kx ⎞ ⎛ cos x<br />
coskx ⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝−sin x<br />
sin x ⎞ ⎛cos kx ⋅cos x −sinkx ⋅ sin x<br />
cos x<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝−sin kxcos x −coskxsin x<br />
cos kxsin x + sin kxcos x ⎞<br />
=<br />
− sin kxsin x + cos kxcos x<br />
⎟<br />
⎠
⎛ cos( kx+ x) = ⎜<br />
⎝− sin( kx+ x) sin( kx+ x) ⎞ ⎛ cos( k + 1) x<br />
=<br />
cos( kx+ x) ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝− sin( k + 1) x<br />
sin( k + 1) x⎞<br />
cos( k + 1) x<br />
⎟,<br />
ceea ce trebuia arătat.<br />
⎠<br />
n ⎛ cos nx<br />
Aşadar, A = ⎜<br />
⎝−sin nx<br />
sin nx ⎞<br />
cosnx<br />
⎟,<br />
¼n i q*, unde x<br />
⎠ 6<br />
π<br />
= .<br />
S8. Rezolvare:<br />
Avem:<br />
⎛2 2<br />
A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 1<br />
1<br />
0<br />
0⎞⎛2 0<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
2⎟⎜ ⎠⎝0 1<br />
1<br />
0<br />
0⎞ ⎛4 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 3<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
4⎟<br />
⎠<br />
⎛4 3 2<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 3<br />
1<br />
0<br />
0⎞⎛2 0<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
4⎟⎜ ⎠⎝0 1<br />
1<br />
0<br />
0⎞ ⎛8 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 7<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
8⎟<br />
⎠<br />
⎛8 4 3<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 7<br />
1<br />
0<br />
0⎞⎛2 0<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
8⎟⎜ ⎠⎝0 1<br />
1<br />
0<br />
0⎞ ⎛16 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
15<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
16⎟<br />
⎠<br />
Analizând forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 , A 4 se observă că A n se poate scrie sub<br />
n<br />
⎛2 n ⎜<br />
forma: A = ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
n<br />
2 −1<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
n i q*.<br />
n<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Demonstrăm această formulă prin inducţie matematică după n i q*.<br />
Pentru n = 1 se obţine A 1 = A.<br />
k<br />
⎛2 k ⎜<br />
Presupunem că A = ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
Avem că<br />
k<br />
2 −1<br />
1<br />
0<br />
k+ 1<br />
0 ⎞<br />
⎛2 ⎟<br />
k + 1 ⎜<br />
0 ⎟ şi demonstrăm că A = ⎜ 0<br />
k<br />
2 ⎟<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝ 0<br />
k+<br />
1<br />
2 −1<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟.<br />
k + 1<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
k<br />
⎛2 k+ 1 k ⎜<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
k<br />
2 − 1<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞ ⎛2 ⎟<br />
0<br />
⎜<br />
⎟⋅ ⎜<br />
0<br />
k<br />
2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 1<br />
1<br />
0<br />
k+ 1<br />
0⎞ ⎛2 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 0<br />
2⎟ ⎠<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
k k<br />
2 + 2 −1 1<br />
0<br />
k+ 1<br />
0 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜<br />
0 ⎟= ⎜ 0<br />
k+ 1<br />
2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
k+<br />
1<br />
2 −1<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
k+<br />
1<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
ceea ce trebuia demonstrat.<br />
n<br />
⎛2 n ⎜<br />
Aşadar A = ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
n<br />
2 −1<br />
1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
¼n i q*.<br />
n<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
S9. Rezolvare:<br />
⎛1−2x a) Ax () ⋅ Ay () = ⎜<br />
⎝ − 6x x ⎞ ⎛1−2 y<br />
⋅<br />
1+ 3x ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ − 6y y ⎞ ⎛(1−2 x)(1− 2 y) + x( −6 y) =<br />
1+ 3y ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−6 x(1−2 y) − 6 y(1+ 3 x) (1− 2 x) y+ x(1+ 3 y)<br />
⎞<br />
=<br />
− 6 xy+ (1+ 3 x)(1+ 3 y)<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1−2x− 2y+ 4xy −6xy = ⎜<br />
⎝− 6x+ 12xy−6y−18xy y − 2xy + x + 3xy ⎞ ⎛1− 2( x + y + xy) =<br />
− 6xy+ 1+ 3x+ 3y+ 9xy ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ − 6( x+ y+ xy) x + y + xy ⎞<br />
=<br />
1+ 3( x+ y+ xy)<br />
⎟<br />
⎠<br />
= Ax ( + y+ xy)<br />
, ¼x, y i Z.<br />
Aşadar, A(x), A(y) = A(x + y + xy), ¼x, y i Z.<br />
49
) Vom respecta regula de înmulţire a două matrice A(x), A(y) dată de punctul a).<br />
a)<br />
2 2<br />
Avem: A() x = Ax () ⋅ Ax () = Ax ( + x+ x⋅ x) = A(2 x+ x)<br />
A((x + 1) 2 – 1) = A(x 2 + 2x + 1 – 1) = A(x 2 + 2x)<br />
2 2<br />
Aşadar A ( x) = A(( x+<br />
1) − 1) , ¼x i Z.<br />
a)<br />
3 2 2 2 2 3 2 3<br />
A() x = A() x ⋅ Ax () = Ax ( + 2) x ⋅ Ax () = Ax ( + 2 x+ x+ xx ( + 2)) x = Ax ( + 3x+ 3) x = A(( x+<br />
1) − 1) .<br />
Aşadar A 3 (x) = A((x + 1) 3 – 1), ¼x i Z.<br />
n n<br />
c) Folosind punctul b) se poate generaliza că: A( x)<br />
= A(( x+<br />
1) − 1) , ¼n i q*, ¼x i Z.<br />
Vom demonstra această formulă prin inducţie matematică după n i q*.<br />
1<br />
Pentru n = 1, formula devine: A () x = A( x+ 1−1) ⇔ A() x = A() x<br />
k k<br />
Presupunem că A ( x) = A(( x+<br />
1) − 1) şi demonstrăm că A k+1 (x) = A((x + 1) k+1 – 1)<br />
a)<br />
k+ 1 k k k k<br />
Dar A () x A() x Ax () A(( x 1) 1) Ax () A( ( x 1) 1 x xx ( 1) x)<br />
= ⋅ = + − ⋅ = + − + + + − =<br />
k k+<br />
1<br />
= A(( x+ 1) (1 + x) − 1) = A(( x+<br />
1) − 1) , ceea ce trebuia demonstrat.<br />
Aşadar A n (x) = A((x + 1) n – 1), ¼n i q*, x i Z.<br />
Rezultă că pentru n = 2006 şi x = 1 se obţine<br />
2006 2006<br />
2006 206 2006 ⎛1−2(2 −1) 2 −1<br />
⎞<br />
A (1) = A((1+ 1) − 1) = A(2−<br />
1) =⎜ 2006 2006 ⎟.<br />
⎝ −6(2 − 1) 1+ 3(2 −1)<br />
⎠<br />
S10. Rezolvare:<br />
⎛1 0 0⎞ ⎛0 1 2⎞ ⎛1 1 2⎞<br />
a) I3+ B= ⎜<br />
0 1 0<br />
⎟ ⎜<br />
0 0 1<br />
⎟ ⎜<br />
0 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
+<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
= A.<br />
⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Aşadar I3 + B = A.<br />
Pentru calculul lui A n folosim că A = I3 + B şi aplicăm formula binomului lui Newton:<br />
n n 0 1 2 2 3 3<br />
n n<br />
A = ( I3+ B) = CnI3+ CnB+ CnB + CnB + ... + CnB .<br />
⎛0 0 1⎞<br />
2<br />
Dar B = B⋅ B=<br />
⎜<br />
0 0 0<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
şi B<br />
⎜0 0 0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 = O3, deci B n = O3, n U 3.<br />
n<br />
nn ( −1)<br />
2<br />
Rezultă că A = I3+ n⋅ B+ ⋅ B . (1)<br />
2<br />
Pentru calculul sumei S se foloseşte formula 1 dând lui n valori de la 1 la 20 şi însumând.<br />
Se obţine: S = I3 + B +<br />
2<br />
I<br />
21<br />
3 + 2B+<br />
⋅<br />
⋅ B +<br />
2<br />
2<br />
I<br />
32<br />
3 + 3B+<br />
⋅<br />
⋅ B +<br />
2<br />
...........................<br />
2<br />
I<br />
20 19<br />
3 + 20B+<br />
⋅<br />
⋅ B =<br />
2<br />
20<br />
2 2<br />
= 20 I<br />
1 20 21 1<br />
3 + (1+ 2+ 3 + ... + 20) B+ (2⋅ 1+ 3⋅ 2 + ... + 19⋅ 20) B = 20 I<br />
⋅<br />
3 + ⋅ B+ ⋅∑ k( k−1) ⋅ B =<br />
2 2 2 k=<br />
1<br />
2 2<br />
= 20I 1 20 21 41 20 21<br />
3+ 210B+ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎤<br />
B 20I3 210B 2660B<br />
2⎣ − ⋅ = + +<br />
6 2 ⎦ .<br />
50
S11. Rezolvare:<br />
2 2<br />
⎛1 1⎞ ⎛ 1 k ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1+ k k + 1⎞ ⎛1 0⎞<br />
⎛k + k + 2 k + 1⎞<br />
a) Ck () = ⎜ 2 2 2<br />
0 1<br />
⎟⋅⎜ k 1<br />
⎟⋅ ⎜<br />
1 1<br />
⎟= ⎜ ⎟⋅ ⎜ = ⎜ ⎟<br />
k 1 1 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k + 1 1 ⎠<br />
20 20<br />
⎛ 2<br />
( k k 2) ( k 1)<br />
⎞<br />
20 ⎜∑ + + ∑ +<br />
⎟<br />
k= 1 k=<br />
1<br />
b) S = ∑ C() k =⎜ ⎟.<br />
20 20<br />
k = 1 ⎜ 2<br />
( k 1) 1 ⎟<br />
⎜ ∑ + ∑ ⎟<br />
⎝ k= 1 k=<br />
1 ⎠<br />
Calculăm separat fiecare termen al matricei S.<br />
20 20 20 20<br />
2 2<br />
nn ( + 1)(2n+ 1) nn ( + 1)<br />
∑( k + k+ 2) = ∑k + ∑k + ∑ 2= n= 20+ n=<br />
20 + 20⋅ 2=<br />
6 2<br />
k= 1 k= 1 k= 1 k=<br />
1<br />
=<br />
20⋅21⋅41 +<br />
20⋅21 + 40= 2870+ 210+ 40= 3120 .<br />
6 2<br />
20 20 20<br />
( k 1) k 1<br />
20 ⋅ 21<br />
∑ + = ∑ + ∑ = + 20 = 210 + 20 = 230 .<br />
k= 1 k= 1 k=<br />
1 2<br />
20 20 20<br />
2 2<br />
( k 1) k 1<br />
20 ⋅21⋅41 ∑ + = ∑ + ∑ = + 20 = 2870 + 20 = 2890 .<br />
k= 1 k= 1 k=<br />
1 6<br />
⎛3120 230⎞<br />
Aşadar, S = ⎜<br />
2890 20<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
TESTE DE EVALUARE<br />
TESTUL 1<br />
1. Rezolvare:<br />
Relaţia = 5 este echivalentă cu 2x 2 + 3x – 5 = 0.<br />
Se obţine x1 = 1, x<br />
5<br />
2 =− . Aşadar, răspunsul este d).<br />
2<br />
2. Rezolvare:<br />
2<br />
⎧ x+ 3y = 4<br />
2 2<br />
⎛ x 2x⎞ ⎛3y 3y ⎞ ⎛4 5⎞ ⎛x+ 3y 2x+ 3y<br />
⎞ ⎛4 5⎞<br />
⎪<br />
Avem: ⎜ 2x 3y 5<br />
2 2<br />
2x x<br />
⎟+ ⎜ ⎟= ⎜<br />
3y 3xy 5 4<br />
⎟⇔ ⎜ ⎟=<br />
⎜ ⇔ ⎨ + =<br />
2x 3y x 3xy<br />
5 4<br />
⎟<br />
(1)<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2<br />
⎩x<br />
+ 3xy= 4<br />
Din prima ecuaţie se obţine x = 4 – 3y 2 .<br />
Substituind în a doua ecuaţie se obţine ecuaţia 2y 2 – y – 1 = 0 cu soluţiile y1 = 1, y<br />
1<br />
2 =− .<br />
2<br />
• Pentru y = 1 se obţine x = 1, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului (1)<br />
• Pentru y =−<br />
1 se obţine x =<br />
13 , valori care nu satisfac ecuaţia a treia a sistemului (1).<br />
2<br />
4<br />
Aşadar, x = y = 1.<br />
3. Rezolvare:<br />
a) Să determinăm A 9 , respectiv A 10 .<br />
⎛1 1 1⎞⎛1 1 1⎞ ⎛2 2 2⎞<br />
2<br />
A =<br />
⎜<br />
0 1 0<br />
⎟⎜<br />
0 1 0<br />
⎟ ⎜<br />
0 1 0<br />
⎟<br />
⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
.<br />
⎜1 0 1⎟⎜1 0 1⎟ ⎜2 1 2⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛4 4 4⎞ ⎛8 8 8⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
= ⋅ = ⎜0 1 0 ⎟, = ⋅ = ⎜0 1 0⎟.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝4 3 4⎠ ⎝8 7 8⎠<br />
3 2 4 3<br />
A A A A A A<br />
51
n−1 n−1 n−1<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
n ⎜<br />
Se demonstrează prin inducţie că A = ⎜ 0<br />
⎜ n−1 ⎝2 2<br />
1<br />
n−1 2 −1<br />
2<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
n i q*.<br />
n−1<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Pentru n = 9, respectiv n = 10 se determină A 9 , A 10 şi<br />
8<br />
⎛2 9 10 ⎜<br />
B= A + A = ⎜ 0<br />
⎜ 8<br />
⎝2 8<br />
2<br />
1<br />
8<br />
2 −1 8 9<br />
2 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜<br />
0 ⎟+ ⎜ 0<br />
8 9<br />
2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2 9<br />
2<br />
1<br />
9<br />
2 −1 9<br />
2 ⎞ ⎛640 ⎟<br />
0<br />
⎜<br />
⎟= ⎜<br />
0<br />
9<br />
2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝640 640<br />
2<br />
638<br />
640⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
640⎟<br />
⎠<br />
Rezultă că tr(B) = 640 + 2 + 640 = 1282 şi b31 + b22 + b13 = 1282.<br />
n−1 ⎛2 n ⎜<br />
b) Demonstrăm prin inducţie matematică faptul că A = ⎜ 0<br />
⎜ n−1 ⎝2 Pentru n = 1, egalitatea este evidentă.<br />
n−1 2<br />
1<br />
n−1 2 −1<br />
n−1<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
¼n i q*.<br />
n−1<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
k−1 ⎛2 k ⎜<br />
Presupunem că A = ⎜ 0<br />
⎜ k−1 ⎝2 k−1 2<br />
1<br />
k−1 2 −1<br />
k−1<br />
k<br />
2 ⎞<br />
2<br />
⎟<br />
k 1<br />
0 ⎟ şi demonstrăm că A 0<br />
k−1<br />
2 ⎟<br />
k<br />
⎠<br />
2<br />
k<br />
2<br />
1<br />
k<br />
2 1<br />
k<br />
2<br />
0<br />
k<br />
2<br />
+<br />
Dar<br />
⎛<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎜<br />
⎝ −<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟.<br />
⎟<br />
⎠<br />
k−1 ⎛2 k+ 1 k ⎜<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜ 0<br />
⎜ k−1 ⎝2 k−1 2<br />
1<br />
k−1 2 −1 k−1 2 ⎞ ⎛1 ⎟<br />
0<br />
⎜<br />
⎟⋅ ⎜<br />
0<br />
k−1 2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 1<br />
1<br />
0<br />
k−1 1⎞ ⎛2⋅2 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 0<br />
k 1<br />
1⎟ −<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝2⋅2 k−1 2⋅2 1<br />
k−1 2⋅2 −1 k−1 k<br />
2⋅2 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜<br />
0 ⎟= ⎜ 0<br />
k−1 k<br />
2⋅2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2 k<br />
2<br />
1<br />
k<br />
2 −1<br />
k<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
k<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
ceea ce trebuia demonstrat.<br />
n−1 ⎛2 n ⎜<br />
Aşadar, A = ⎜ 0<br />
⎜ n−1 ⎝2 n−1 2<br />
1<br />
n−1 2 −1<br />
n−1<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟,<br />
¼n i q*.<br />
n−1<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Testul 2<br />
1. Rezolvare:<br />
⎛1 a) Luând x = 0 se obţine A(0) = ⎜<br />
⎝0 0 ⎞ ⎛1 0⎟=<br />
⎜<br />
( −1)<br />
⎠ ⎝0 0⎞<br />
⎟=<br />
I2⇒I2∈M .<br />
1⎠<br />
b) Fie A, B i M. Rezultă că există x, y i m astfel încât A = A(x) şi B = A(y). În acest caz,<br />
⎛1 A⋅ B= A() x ⋅ A() y = ⎜<br />
⎝0 x ⎞ ⎛1 ⋅ x<br />
( −1) ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 y ⎞ ⎛1 =⎜ y<br />
( −1) ⎟<br />
⎠ ⎝0 y<br />
y+ ( −1) ⋅x⎞<br />
x+ y ⎟.<br />
( −1)<br />
⎠<br />
y y y<br />
y+− ( 1) ⋅x y ( −1) ⋅x y ( − 1)<br />
( − 1) = ( −1) ⋅( − 1) = ( −1) ⋅ ( − 1)<br />
x<br />
y x x+ y<br />
= ( −1) ⋅( − 1) = ( − 1) , rezultă că A · B i M.<br />
Deoarece ( )<br />
c) Fie A = A(x), x i m.<br />
⎛1 • Pentru x = 2k, Ax () = ⎜<br />
⎝0 x⎞ 2 ⎛1 , A() x<br />
1<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝0 2x⎞<br />
3 ⎛1 1<br />
⎟ A () x = ⎜<br />
⎠ ⎝0 3x⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
n ⎛1 Prin inducţie se arată că A () x = ⎜<br />
⎝0 nx⎞<br />
1<br />
⎟,<br />
n i q*.<br />
⎠<br />
52
• Pentru x = 2k + 1,<br />
⎛1x⎞ ⎜<br />
0 −1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
Ax () = , A() x = I2<br />
A 3 (x) = A(x). În general, se obţine că<br />
2. Rezolvare:<br />
Se obţin ecuaţiile:<br />
.<br />
, = par<br />
A () x = ⎨ .<br />
⎩A,<br />
n=<br />
impar<br />
n ⎧I2<br />
n<br />
2 x + 4 x = 20, 3 y + 9 y = 90,<br />
53<br />
2 2<br />
Cz = 45, 5A t+<br />
1 = 60 .<br />
• Ecuaţia 2 x + 4 x = 20 se scrie sub forma 4 x + 2 x – 20 = 0. Notând 2 x = m > 0 se obţine ecuaţia<br />
m 2 + m – 20 = 0 cu soluţiile m1 = 4 şi m2 = –5, de unde se obţine x = 2.<br />
• Notând 3 y = a se obţine ecuaţia de gradul doi a 2 + a – 90 = 0 cu soluţiile a1 = 9, a2 = –10 din<br />
care se obţine y = 2.<br />
2<br />
zz− ( 1)<br />
2<br />
• Ecuaţia C z = 45 este echivalentă cu = 45 sau încă z – z – 90 = 0 cu soluţia naturală<br />
2<br />
z = 10.<br />
• Din 5<br />
2<br />
t 1 60<br />
Aşadar, x = 2, y = 2, z = 10, t = 3.<br />
A + = se obţine (t + 1)t = 12, adică t 2 + t – 12 = 0, cu soluţia naturală t = 3.<br />
3. Rezolvare:<br />
⎛1 Înlocuind A i <strong>M2</strong>(m) se obţine ecuaţia ⎜<br />
⎝0 care se scrie sub forme echivalente astfel:<br />
1⎞⎛a 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝x b⎞ ⎛a y<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝b x⎞⎛1<br />
y<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝0 1⎞ ⎛4 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 7⎞<br />
7<br />
⎟,<br />
a, b, x, y i m,<br />
⎠<br />
⎛a+ x<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
b+ y⎞ ⎛a y<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝b a+ x⎞ ⎛4 =<br />
b+ y<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 7⎞ ⎛2a+ x<br />
7<br />
⎟⇔ ⎜<br />
⎠ ⎝ x+ b<br />
b+ a+ y+ x⎞<br />
⎛4 =<br />
b+ 2y ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝3 7⎞<br />
7<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎧2a+<br />
x=<br />
4<br />
⎪<br />
⎪x+<br />
b=<br />
3<br />
Rezultă că: ⎨<br />
⎪b+<br />
a+ y+ x=<br />
7<br />
⎪ ⎩b+<br />
2y = 7<br />
Se obţine: a = 4 – y; b = 7 – 2y, x = 2y – 4, y i m.<br />
⎛ 4− y 7−2y⎞ Aşadar A = ⎜<br />
2y−4 y<br />
⎟,<br />
y i m.<br />
⎝ ⎠<br />
4. Rezolvare:<br />
⎛0 AB− BA=<br />
⎜<br />
⎝b a⎞⎛x ⎟⎜ ⋅<br />
0⎠⎝0 0⎞ ⎛x ⎟− ⎜<br />
y⎠ ⎝0 0⎞⎛0 ⎟⎜<br />
y⎠⎝b a⎞ ⎛ 0<br />
⎟= ⎜<br />
0⎠ ⎝bx ay⎞ ⎛ 0<br />
⎟− ⎜<br />
0 ⎠ ⎝by xa⎞ ⎛ 0<br />
⎟= ⎜<br />
0 ⎠ ⎝bx−by ay− ax⎞<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
⎛ 0 ay−ax⎞⎛ 0 ay−ax⎞ ⎛( ay−ax)( bx−by) 0 ⎞<br />
2<br />
( AB− BA)<br />
= ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟<br />
⎝bx−by 0 ⎠⎝bx−by0 ⎠ ⎝ 0 ( bx−by)( ay−ax) ⎠ .<br />
Aşadar (AB – BA) 2 are cel puţin două elemente nule.
Capitolul II. Determinanţi<br />
2.1. Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare<br />
−2 − 5<br />
a) = ( −2) ⋅10−8( − 5) = 20;<br />
8 10<br />
b)<br />
2 −6<br />
= 2⋅ 32 −( −3)( − 6) = 64− 18= 46<br />
−3<br />
32<br />
1, 5<br />
c)<br />
5<br />
−7,<br />
2<br />
= 1,5 ⋅8−5 ⋅( − 7,2) = 12 + 36 = 48 ;<br />
8<br />
2+ i<br />
d) 2<br />
i<br />
−1<br />
2 2 2 2<br />
= (2 + i)(2 −i) −i ( − 1) = 4 ⋅i ( − 1) = 4 − i + i = 4 .<br />
2 − i<br />
E2. Rezolvare.<br />
7<br />
a) 5<br />
9<br />
8<br />
3 =<br />
7<br />
⋅25 −9⋅ 8<br />
= 35 − 24 = 11;<br />
5 3<br />
25<br />
b)<br />
3<br />
2<br />
−<br />
−<br />
32<br />
=<br />
75<br />
3 ⋅( − 75) − 2 ⋅( − 32) =− 225 + 64 =− 15 + 8 =−7;<br />
−− 1 3<br />
c)<br />
1+ 5<br />
5− 1<br />
=− (1+ 3−1 3)( 3−1) − (1+ 5)( 5 − 1) =−−2 − 4 =−6<br />
;<br />
lg100<br />
d)<br />
−8<br />
0,5<br />
= lg100 ⋅ lg 0,1 + 8⋅ 0,5 = 2 ⋅( − 1) + 4 = 2 ;<br />
lg0,1<br />
3!<br />
e)<br />
0!<br />
5!<br />
= 3!4! − 0!5! = 6⋅24 −1⋅ 120 = 24 ;<br />
4!<br />
f)<br />
A A<br />
2 3<br />
4<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2 3 1 3<br />
= A4 ⋅C4 −C5⋅ A3<br />
= 12⋅4−5⋅ 6 = 18;<br />
5 4<br />
x+ 1<br />
2<br />
− y+ 1<br />
2y<br />
3<br />
− x<br />
x+ 1 −x − y+ 1 2y<br />
= 2 ⋅2 −9 ⋅ 3 = 2− 9=− 7;<br />
C C<br />
g)<br />
9 2<br />
2<br />
(1 −i) h)<br />
i<br />
−i<br />
(1 + i)<br />
2<br />
= − i + i −i − i = − i + i = − =<br />
2 2 2 2 2<br />
(1 ) (1 ) ( ) (1 ) 4 1 3<br />
E3. Rezolvare<br />
2<br />
a) det( A) + det( B)<br />
=<br />
7<br />
−1 4<br />
+<br />
4 6<br />
−5<br />
= (8 + 7) + (8 + 30) = 53<br />
2<br />
6<br />
det( A+ B)<br />
=<br />
13<br />
−6<br />
= 48 + 78 = 126 .<br />
8<br />
Rezultă că det(A) + det(B) < det(A + B), pentru matricele date.<br />
54<br />
.
)<br />
2 −12<br />
det( AB)<br />
= =− 54 + 624 = 570<br />
52 −27<br />
det(A) · det(B) = 15 · 38 = 570<br />
Aşadar, det(AB) = det(A) · det(B);<br />
det[ 3( −<br />
⎡<br />
)] = det ⎢<br />
⎣<br />
⎛1 3⋅ ⎜<br />
⎝7 −1⎞⎤ 3<br />
3<br />
⎟⎥<br />
=<br />
⎠⎦<br />
7 3<br />
− 3<br />
= 9 + 21 = 30 .<br />
3 3<br />
⎛4 det( A+ 2 I2)<br />
= det ⎜<br />
⎝7 −1⎞ 4<br />
6<br />
⎟=<br />
⎠ 7<br />
−1<br />
= 24 + 7 = 31.<br />
6<br />
c) A I2<br />
Rezultă că det[ 3( A− I2)] < det( A+ 2 I2)<br />
.<br />
E4. Rezolvare<br />
a) Ecuaţia se scrie sub forma: –2x + 12x = 20 ® 10x = 20 ® x = 2.<br />
b) Se obţine: 5x – 6x + 2 = 10 ® x = –8.<br />
2 2 2<br />
c) Se obţine: 6x −x − x= 4⇔5x −x− 4= 0 cu soluţiile:<br />
x1 = 1, x<br />
4<br />
2 =− ;<br />
5<br />
d) Ecuaţia este: 3x – x 2 – 4x 2 + x – 4x + 1 = x – 5 ® 5x 2 + x – 6 = 0 cu soluţiile:<br />
x =−<br />
6<br />
;<br />
x1 = 1, 2 5<br />
e) Avem: x 2 – xi – 2xi = 9 – xi ® x 2 – 2xi – 9 = 0 cu soluţiile:<br />
f) Se obţine succesiv:<br />
x = 1± 2 2;<br />
1, 2<br />
6 x – x = 36 x – x – 30 ® 36 x – 6 x – 30 = 0.<br />
Notând 6 x = y se obţine ecuaţia y 2 – y – 30 = 0 cu soluţiile:<br />
Se obţine soluţia x = 1.<br />
E5. Rezolvare:<br />
Regula lui Sarrus<br />
3 −1<br />
2<br />
1 4 5<br />
−2 −1 −1<br />
3 −1<br />
2<br />
1 4 5<br />
Regula triunghiului<br />
y1 = 6, y2 = –5.<br />
= 3⋅4( − 1) + 1 ⋅− ( 1) ⋅ 2 + ( −2)( −1) ⋅5−2⋅4( −2) −5( −1) ⋅3 −( −1)( −1) ⋅ 1= 26.<br />
3 −1<br />
2<br />
1 4 5 = 3⋅4 ⋅− ( 1) + 1 ⋅− ( 1) ⋅ 2 +− ( 2) ⋅− ( 1) ⋅5 ⋅− ( 2) −2⋅4 ⋅− ( 2) −− ( 1) ⋅⋅− 1 ( 1) −− ( 1) ⋅5⋅ 3=<br />
−2 −1 −1<br />
=<br />
26<br />
55
Regula minorilor<br />
3<br />
1<br />
−2 −1<br />
4<br />
−1 2<br />
4<br />
5 = 3 ⋅δ 11+ ( −1) ⋅δ 12 + 2⋅δ 13 = 3 ⋅<br />
−1 −1<br />
5 1 1+ 2<br />
+ ( −1) ⋅− ( 1) ⋅<br />
−1 −2 5<br />
+<br />
−1<br />
1+ 3 1 4<br />
+ 2 ⋅( − 1) = 3( − 4 + 5) + ( − 1+ 10) + 2( − 1+ 8) = 26 .<br />
−2 −1<br />
Se procedează analog pentru ceilalţi determinanţi şi se obţin rezultatele:<br />
b) 18; c) –10; d) –4; e) 3; f) 0; g) 0; h) 0.<br />
E7. Rezolvare:<br />
a) Se observă că elementele liniilor „unu” şi „trei” sunt proporţionale.<br />
Rezultă că determinantul este nul.<br />
b) Se dă factor comun 10 de pe coloana I şi se obţine:<br />
1 −1<br />
3<br />
10 5 1 1 = 10(1+ 30−10− 30+ 5− 2) =− 60 ;<br />
10 2 1<br />
c) Se observă că determinantul are prima şi a treia coloană proporţionale, factorul de proporţionalitate<br />
fiind k = –5.<br />
Rezultă că determinantul este nul.<br />
d) Se formează două zerouri scăzând prima linie din celelalte. Avem:<br />
1<br />
0<br />
0<br />
a<br />
b−a c−a m<br />
b−a n− m =<br />
c−a p−m n−m = ( b−a)( p−m) −( n−m)( c−a) ;<br />
p−m e) Se adună coloana a doua şi a treia la prima coloană, se dă factor comun de pe această<br />
coloană şi se obţine:<br />
x + 2y y y 1 y y<br />
x + 2 y x y = ( x+ 2 y)1 x y .<br />
x + 2y y x 1 y x<br />
Se formează zerouri pe prima coloană scăzând prima linie din celelalte linii.<br />
1<br />
Se obţine: ( x+ 2 y) 0<br />
0<br />
y<br />
x− y<br />
0<br />
y<br />
x−y 0 = ( x+ 2 y) 0<br />
x−y 0<br />
2<br />
= ( x+ 2 y)( x−y) ;<br />
x−y f) Se adună toate coloanele la prima coloană şi se dă factor comun pe coloana întâi. Se obţine:<br />
a+ b+ c b c 1 b c<br />
a+ b+ c c a = ( a+ b+ c)1 c a .<br />
a+ b+ c a b 1 a b<br />
Se formează zerouri pe coloana întâi scăzând prima linie din celelalte linii. Se obţine:<br />
1<br />
( a+ b+ c) ⋅0 0<br />
b<br />
c−b a−b c<br />
c−b a− c = ( a+ b+ c)<br />
⋅<br />
a−b b−c a−c =<br />
b−c 2 2 2 2<br />
= ( a+ b+ c)[ −( c−b) −( a−b)( a− c)] = ( a+ b+ c)( ab+ bc+ ca−a −b − c ) .<br />
56
E8. Rezolvare:<br />
6 1+ 1<br />
a) δ 11 = ( − 1) d11<br />
=<br />
5<br />
−3<br />
= 21<br />
1<br />
4 1+ 2<br />
δ 12 =− ( 1) d12<br />
=−<br />
12<br />
−3<br />
=−40<br />
1<br />
4 1+ 3<br />
δ 13 = ( − 1) d13<br />
=<br />
12<br />
6<br />
=− 52<br />
5<br />
−9<br />
2+ 1<br />
δ 21 = ( − 1) d21<br />
=−<br />
5<br />
10<br />
= 59<br />
1<br />
8 2+ 2<br />
δ 22 = ( − 1) d22<br />
=<br />
12<br />
10<br />
= 8− 120=− 112<br />
1<br />
8 2+ 3<br />
δ 23 = ( − 1) d23<br />
=−<br />
12<br />
−9<br />
=− 148<br />
5<br />
−9<br />
3+ 1<br />
δ 31 = ( − 1) d31<br />
=<br />
6<br />
10<br />
=−33<br />
−3<br />
8 3+ 2<br />
δ 32 = ( − 1) d32<br />
=−<br />
4<br />
10<br />
= 64<br />
−3<br />
8 3+ 3<br />
δ 33 = ( − 1) d33<br />
=<br />
4<br />
−9<br />
= 84<br />
6<br />
b) d =−9⋅δ 12 + 6δ 22 + 5δ 32 =−9( − 40) + 6( − 112) + 5⋅ 64 = 8<br />
d = 12⋅δ 31 + 5⋅δ 32 + 1⋅δ 33 = 12( − 33) + 5⋅ 64 + 84 = 8.<br />
c) Înmulţim linia a doua cu –2 şi o adunăm la prima linie, apoi o înmulţim cu –3 şi o adunăm<br />
la a treia linie. Se obţine:<br />
0<br />
4<br />
0<br />
−21<br />
6<br />
−13<br />
16<br />
−21<br />
2+ 1<br />
− 3= 0⋅δ ′ 11+ 4⋅δ ′ 21+ 0⋅δ ′ 31 = 4⋅δ ′ 21 = 4 ⋅( − 1) d′<br />
21 =−4⋅ −13<br />
10<br />
=−4( − 210 + 208) =−4 ⋅( − 2) = 8 .<br />
16<br />
=<br />
10<br />
Sinteză<br />
S1. Rezolvare:<br />
Calculăm cei trei determinanţi şi obţinem:<br />
(25 – 32) – 6(6 + 2 – 20 + 4) – 10 = 31.<br />
S2. Rezolvare:<br />
Calculăm determinanţii şi obţinem:<br />
20<br />
21 24 5<br />
( − ) −( − 3+ 1) + ( − 18+ 20+ 10+ 3) = 14⇔ 16= 14;<br />
fals.<br />
20 15 3<br />
57
S3. Rezolvare:<br />
a) Ecuaţia se scrie sub forma echivalentă:<br />
4x 2 + 8x – 5x – 15 = –14 ® 4x 2 + 3x – 1 = 0, cu soluţiile x1 = –1, 2<br />
58<br />
1<br />
4<br />
x = ;<br />
b) Ecuaţia este echivalentă cu:<br />
2x 2 + 2x – 3x 2 + 6x = –i 2 – (9 – i 2 ) ® x 2 – 8x – 9 = 0 cu soluţiile x1 = –1, x2 = 9.<br />
c) Se obţine ecuaţia:<br />
=<br />
9<br />
; =− 2;<br />
7<br />
2x 2 – 2x – 20 + 5x = –5x 2 – 2x – 2 ® 7x 2 + 5x – 18 = 0 cu soluţiile x1 x2<br />
d) Se obţine succesiv:<br />
3 x+2 – 36 = 2 · 3 x+1 – 3 x ® 3 x (9 – 6 + 1) = 36 ® 3 x = 9 ® x = 2.<br />
S4. Rezolvare:<br />
a) Calculând determinanţii se obţine:<br />
2x 2 + 1 + 1 – x – 2 – x = 315 + 6 – 28 – 126 – 15 + 28 ® x 2 – x – 90 = 0<br />
cu soluţiile x1 = 10, x2 = –9;<br />
b) Calculând determinanţii se obţine:<br />
–x 3 + 2 – x – (3x – x 3 + 2) = 0 ® 4x = 0 ® x = 0;<br />
c) Ecuaţia este echivalentă cu:<br />
–2(2x – 1) – 2(3x + 2) + 24 + 4 + 6(2x – 1) – 4(3x + 2) = 3 – x 2 ® x 2 – 10x + 9 = 0,<br />
cu soluţiile x1 = 1, x2 = 9;<br />
d) Pentru calcule mai restrânse aplicăm de câteva ori proprietăţi ale determinanţilor pentru<br />
determinantul de ordin 3. De exemplu:<br />
Scădem coloana întâi din celelalte şi se obţine ecuaţia:<br />
x 1 2<br />
x+ 3 1 2 = 5( x+ 1) −4x<br />
2x −1 −x−3 Scădem linia întâi din a doua şi o adunăm la a treia şi se obţine:<br />
x 1 2<br />
3 0 0 = x + 5⇔ 3x+ 3= x+<br />
5,<br />
3x 0 −x−1 cu soluţia x = 1.<br />
S5. Rezolvare:<br />
Calculând determinanţii se obţine ecuaţia:<br />
x 3 – 6x 2 + 5x = 0 ® x(x 2 – 6x + 5) = 0,<br />
cu soluţiile x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5.<br />
Rezultă că S = 126.<br />
S6. Rezolvare:<br />
a) Se scade succesiv linia întâi din a doua şi a treia, obţinându-se:<br />
2<br />
a a<br />
2 2<br />
d = b −a b−a 2 2<br />
c −a c−a 1<br />
0 .<br />
0
Se dă factor comun (b – a) şi (c – a) de pe linia a doua, respectiv linia a treia şi se obţine:<br />
2<br />
a<br />
d = ( b−a)( c− a) b+ a<br />
c+ a<br />
a<br />
1<br />
1<br />
1<br />
b+ a<br />
0 = ( b−a)( c− a) c+ a<br />
0<br />
1<br />
= ( b−a)( c−a)( b−c) ;<br />
1<br />
b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se obţine:<br />
a 1 2 a 1 1<br />
d = b 1 2 = 2 b 1 1 = 0 (două coloane sunt identice, deci d = 0);<br />
c 1 2 c 1 1<br />
c) Se scade linia întâi din celelalte apoi se dă factor comun pe linia a doua şi a treia. Se obţine<br />
succesiv:<br />
a<br />
2<br />
a + 1 a+ 1 a<br />
2<br />
a + 1 a+<br />
1<br />
d = b−a 2 2<br />
b −a b− a = ( b−a)( c− a) 1 b+ a 1 .<br />
c−a 2 2<br />
c −a c− a 1 c+ a 1<br />
Se scade coloana întâi din a treia şi se obţin două zerouri pe coloana a treia:<br />
a<br />
d = ( b−a)( c− a) 1<br />
1<br />
2<br />
a + 1<br />
b+ a<br />
c+ a<br />
1<br />
1<br />
0 = ( b−a)( c− a) 1<br />
0<br />
b+ a<br />
= ( b−a)( c−a)( c−b) ;<br />
c+ a<br />
d) Se adună la prima linie celelalte linii obţinându-se:<br />
0 0 0<br />
d = b−c n− p y− z = 0 (o linie are toate elementele nule);<br />
c−a p−m z−x e) Se scade coloana întâi din celelalte coloane, apoi se dă factor comun pe coloana a doua şi a<br />
treia şi se obţine:<br />
x y−x z−x x 1 1<br />
2<br />
d = x<br />
2 2<br />
y −x 2 2<br />
z − x<br />
2<br />
= ( y−x)( z− x) x y+ x z+ x .<br />
yz xz − yz xy − yz yz −z−y Se scade coloana a doua din a treia şi se dă factor comun pe coloana a treia obţinându-se:<br />
x 1 0 x 1 0<br />
2<br />
d = ( y−x)( z−x) ⋅ x y+ x<br />
2<br />
z− y = ( y−x)( z−x)( z− y) x y+ x 1 =<br />
yz −zz− y yz −z1<br />
x 1 0<br />
= ( y−x)( z−x)( z− y) 2<br />
x y+ x 1 =<br />
2<br />
yz−x−x−y−z0 x<br />
= ( y−x)( z−x)( z−y) ⋅− ( 1) ⋅ 2<br />
yz−x 1<br />
= ( x−y)( z−x)( z−y)( −xy−xz− yz)<br />
=<br />
−x−y−z = ( x−y)( x−z)( z− y)( xy+ xz+ yz)<br />
;<br />
f) Se scade coloana întâi din coloana a doua şi se adună la a treia şi apoi se formează două<br />
zerouri pe coloana a doua.<br />
59
Avem:<br />
a+ 1 − 2<br />
2<br />
a + a a+ 1 − 2<br />
2<br />
a + a a+ 1 − 2<br />
2<br />
a + a<br />
d = b+ 1 − 2<br />
2<br />
b + b = b−a 0<br />
2 2<br />
b − a + b− a = ( b−a)( c− a) 1 0 b+ a+<br />
1 =<br />
c+ 1 − 2<br />
2<br />
c + c c−a 0<br />
2 2<br />
c − a + c− a 1 0 c+ a+<br />
1<br />
1 b+ a+<br />
1<br />
= ( b−a)( c−a) ⋅ 2 = 2( b−a)( c−a)( c−b) .<br />
1 c+ a+<br />
1<br />
S7. Rezolvare:<br />
a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c<br />
Se adună linia a doua şi a treia la prima obţinându-se d = b−c−a 2b 2b<br />
.<br />
2c c−a−b 2c<br />
Se dă factor pe linia întâi apoi se fac zerouri pe aceasta. Avem succesiv:<br />
1 1 1 1 0 0<br />
d = ( a+ b+ c) ⋅ b−c− a 2b 2 b = ( a+ b+ c) b−c− a a+ b+ c a+ b+ c .<br />
2c c−a−b 2c 2c −a−b−c 0<br />
Se dă factor pe coloana a doua şi a treia şi se obţine:<br />
1 0 0<br />
3<br />
d = ( a+ b+ c) ⋅ b−c− a 1<br />
3<br />
1 = ( a+ b+ c)<br />
.<br />
2c Aşadar egalitatea este verificată.<br />
−1<br />
0<br />
b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se dă factor comun pe aceste coloane obţinându-se<br />
succesiv:<br />
x+ y z−x z− y x+ y 1 1<br />
2 2<br />
d = x + y<br />
2 2<br />
z −x 2 2<br />
z − y<br />
2 2<br />
= ( z−x)( z− y) x + y z+ x z+ y .<br />
3 3<br />
x + y<br />
3 3<br />
z −x 3 3<br />
z − y<br />
3 3<br />
x + y<br />
2 2<br />
z + xz+ x<br />
2 2<br />
z + zy+ y<br />
Se formează un zerou pe linia întâi, scăzând coloana a doua din a treia.<br />
Avem:<br />
x+ y 1 0<br />
2 2<br />
d= ( z−x)( z− y) x + y z+ x y− x =<br />
3 3<br />
x + y<br />
2 2<br />
z + xz+ x<br />
2 2<br />
z( y− x) + ( y + x )<br />
x+ y 1 0<br />
2 2<br />
= ( z−x)( z−y)( y−x) ⋅ x + y<br />
3 3<br />
x + y<br />
= 2 xyz( x−y)( y−z)( z−x) z+ x<br />
2 2<br />
z + xz+ x<br />
1 = 2 xyz( z−x)( z−y)( y− x)<br />
=<br />
.<br />
x+ y+ z<br />
S8. Rezolvare:<br />
⎛a Fie A=<br />
⎜<br />
⎝x b⎞<br />
⎟∈M<br />
2 ( Z)<br />
. Avem:<br />
y⎠<br />
2 ⎛a A = ⎜<br />
⎝x b⎞⎛a y<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝x 2 b⎞ ⎛a + bx<br />
y<br />
⎟=⎜<br />
⎠ ⎝ax + yx<br />
ab+ by⎞<br />
2 ⎟<br />
bx + y ⎠<br />
60
a b 2<br />
a + ay ab+ by<br />
2<br />
⎛<br />
tr( A) ⋅ A = ( a + y)<br />
⋅ ⎜<br />
⎝x ⎞ ⎛<br />
y<br />
⎟=⎜<br />
⎠ ⎝ax + yx ay + y<br />
⎞<br />
⎟.<br />
⎠<br />
det(A) = ay – bx.<br />
Înlocuind în expresia A 2 – tr(A) · A + det(A) · I2 se obţine matricea O2, ceea ce trebuie arătat.<br />
S9. Rezolvare:<br />
1 −2<br />
1<br />
a) d = 1 − 1 3 =− 4+ 1+ 0− 0+ 8− 3= 2<br />
0 1 4<br />
t = tr(A) = 1 + (–1) + 4 = 4<br />
11 + −1<br />
b) δ 11 = ( − 1) d11<br />
=<br />
1<br />
3<br />
=−4− 3=− 7<br />
4<br />
2+ 2 1<br />
δ 22 = ( − 1) d22<br />
=<br />
0<br />
1<br />
= 4<br />
4<br />
1 3+ 3<br />
δ 33 = ( − 1) d33<br />
=<br />
1<br />
Rezultă că s = –2;<br />
−2<br />
=− 1+ 2= 1<br />
−1<br />
c) Avem:<br />
1+ 2 2+ 2 3+ 2<br />
s1= a13δ12+ a23δ22+ a33δ32= 1 ⋅− ( 1) d12+ 3( − 1) d22+ 4( − 1) d32=<br />
1 3 1 1<br />
=− 1 + 3⋅ 4+ 4( − 1) = 0<br />
0 4 1 3<br />
d) Calculăm mai întâi A 2 şi A 3 obţinând:<br />
⎛1 2<br />
A = A⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝0 −2 −1 1<br />
1⎞⎛1 3<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
1<br />
4⎟⎜ ⎠⎝0 −2 − 1<br />
1<br />
1⎞ ⎛−1 3<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
4⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
−1⎞<br />
10<br />
⎟<br />
⎟<br />
19⎟<br />
⎠<br />
⎛0 3 2<br />
A = A ⋅ A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝4 0<br />
8<br />
14<br />
−2⎞<br />
46<br />
⎟<br />
⎟<br />
86⎟<br />
⎠<br />
Rezultă că:<br />
⎛0 3 2<br />
A −t⋅ A + s⋅A−d⋅ I3=<br />
⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝4 0<br />
8<br />
14<br />
−2⎞ ⎛ 4<br />
46<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
0<br />
86 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 −4 −8 −12 4 ⎞ ⎛−2 − 40<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎜<br />
−2 −76⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
4<br />
2<br />
−2 −2⎞<br />
− 6<br />
⎟<br />
⎟<br />
+<br />
−8⎟<br />
⎠<br />
⎛−2 +<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
− 2<br />
0<br />
0 ⎞ ⎛0 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
−2⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝0 0<br />
0<br />
0<br />
0⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
, ceea ce trebuia găsit.<br />
0⎟<br />
⎠<br />
61
S10. Rezolvare:<br />
−2 1 −4<br />
a) det( A)<br />
= 1 − 1 3 = 0− 4+ 6− 8+ 6= 0.<br />
2 1 0<br />
⎛1 B =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝2 −1 2<br />
1<br />
−2⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎟<br />
şi det(B) = 6 – 2 + 2 + 8 + 3 + 1 = 18.<br />
3 ⎟<br />
⎠<br />
⎛−2 AB ⋅ =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
1<br />
−1 1<br />
−4⎞⎛1 3<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
1<br />
0 ⎟⎜<br />
⎠⎝2 −1 2<br />
1<br />
−2⎞ ⎛−9 − 1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
6<br />
3 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−9⎞<br />
8<br />
⎟<br />
⎟<br />
şi det(AB) = 0, având o coloană cu<br />
−5⎟<br />
⎠<br />
elementele nule;<br />
b) Evident, 0 = 0 · 18;<br />
3+ 1 3+ 2 3+ 3<br />
c) s= b11δ 31 + b12δ 32 + b13δ 33 = 1( ⋅ −1) ⋅ d31 + ( −1)( − 1) d32+ ( −2)( ⋅ − 1) d33=<br />
−1 −2 1 −2 1 −1<br />
= + −2⋅ = 0.<br />
2 −1 1 −1<br />
1 2<br />
Rezultatul corespunde proprietăţii P10.<br />
S11. Rezolvare:<br />
a) Se adună coloana a treia la prima, se dă factor comun pe coloana întâi şi pe coloana a doua<br />
şi se obţin două coloane identice. Avem:<br />
a+ b+ c 3 c 1 1 c<br />
d = a+ b+ c 3 a = ( a+ b+ c) ⋅ 3⋅ 1 1 a = 0.<br />
a+ b+ c 3 b 1 1 b<br />
b) Se adună coloana a treia la prima şi se obţin două coloane proporţionale, factorul de<br />
proporţionalitate fiind (a – b);<br />
c) Se scade coloana întâi din a doua şi se vor obţine coloane proporţionale. Avem:<br />
2<br />
a<br />
2 2<br />
( b+ c) − a b+ c− a<br />
2<br />
a ( a+ b+ c)( b+ c− a) ( b+ c−a) 2<br />
d = b<br />
2 2<br />
( a+ c) − b<br />
2<br />
a+ c− b = b ( a+ b+ c)( a+ c− b) a+ c− b = 0.<br />
2<br />
c<br />
2 2<br />
( a+ b) − c a+ b− c<br />
2<br />
c ( a+ b+ c)( a+ b− c) a+ b−c 62
2.2. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
Ecuaţia dreptei AB are forma:<br />
x y 1<br />
2 − 4 1 = 0,<br />
echivalentă cu 7x + 3y – 2 = 0.<br />
−1<br />
3 1<br />
2 −4<br />
1<br />
Punctele A(2, –4), B(–1, 3), C(5, –11) sunt coliniare dacă − 1 3 1 = 0.<br />
5 −11<br />
1<br />
Calculând determinantul se obţine că este nul, deci punctele sunt coliniare.<br />
E2. Rezolvare:<br />
−1 −9<br />
1<br />
a) Avem: 2 − 3 1 = 3+ 2− 36+ 12+ 18+ 1= 0.<br />
4 1 1<br />
Rezultă că A, B, C sunt coliniare.<br />
b)<br />
2 −3<br />
1<br />
1 − 1 1 =− 2+ 5− 3+ 1+ 3− 10=−6≠ 0.<br />
1 5 1<br />
Rezultă că punctele M, N, P sunt necoliniare;<br />
−4 −2<br />
1<br />
c) 2 1 1 =− 4+ 6−12− 6+ 4+ 12= 0.<br />
6 3 1<br />
Aşadar E, F, G sunt puncte coliniare;<br />
d)<br />
2 −1<br />
1<br />
3 1 1 = 2+ 6m−15−m− m+ 3− 4m+ 10= 0.<br />
m 2m−5 1<br />
Rezultă că punctele T, U, V sunt coliniare, oricare ar fi m i Z.<br />
E3. Rezolvare:<br />
a) Ecuaţia dreptei AC are forma:<br />
x y 1<br />
2 − 3 1 = 0⇔ 8x+ y−<br />
13= 0;<br />
1 5 1<br />
b) Punem condiţia de coliniaritate a trei puncte:<br />
2 −3<br />
1<br />
m+ 1<br />
1<br />
2m 5<br />
1 = 0⇔10m− 5= 0⇔<br />
m=<br />
1<br />
;<br />
2<br />
1<br />
63
c) Folosind formula ariei unei suprafeţe triunghiulare cu ajutorul determinantului se obţine<br />
egalitatea:<br />
2 −3<br />
1<br />
1<br />
⋅∆= 22,5 , unde ∆= m+ 1<br />
2<br />
1<br />
2m 5<br />
1.<br />
1<br />
Aşadar, 1 ⋅10m − 5 = 22,5 sau încă, 10m − 5 = 45 .<br />
2<br />
Rezultă că 10m – 5 = 45 şi m = 5 sau 10m – 5 = –45 şi m = –4.<br />
În concluzie, există două triunghiuri ABC în condiţiile problemei.<br />
E4. Rezolvare:<br />
x y 1<br />
a) AB : −3 − 2 1 = 0⇔ x + 4y+ 11= 0<br />
5 −4<br />
1<br />
x y 1<br />
AC : −3 − 2 1 = 0⇔ x + 2y+ 7= 0<br />
−1 −3<br />
1<br />
x y 1<br />
BC : 5 − 4 1 = 0⇔ x + 6y+ 19= 0;<br />
−1 −3<br />
1<br />
ax0+ by0+ c<br />
• dA ( , BC) = ; A( −3, − 2); BC: x+ 6y+ 19= 0;<br />
2 2<br />
a + b<br />
− 3+ 6 ⋅( − 2) + 19<br />
• dA ( , BC)<br />
= =<br />
2 2<br />
1 + 6<br />
4<br />
;<br />
37<br />
5+ 2( − 4) + 7<br />
• dB ( , AC)<br />
= =<br />
2 2<br />
1 + 2<br />
4<br />
;<br />
5<br />
−+ 1 4( − 3) + 11<br />
• dC ( , BA) = =<br />
2 2<br />
1 + 4<br />
2<br />
.<br />
17<br />
−3 −2<br />
1<br />
c) A<br />
1<br />
( ABC ) = ⋅∆ ,unde ∆= 5<br />
2<br />
−1 Rezultă că A(ABC) = 2.<br />
− 4<br />
−3<br />
1=−4. 1<br />
E5. Rezolvare:<br />
x y 1<br />
a) AB :1 2 1= 0⇔ y = 2<br />
8 2 1<br />
x y 1<br />
BC :8 2 1= 0⇔ x + y − 10= 0<br />
6 4 1<br />
64
)<br />
x y 1<br />
CD :6 4 1= 0⇔ y = 4<br />
3 4 1<br />
x y 1<br />
AD :1 2 1= 0⇔ x − y + 1= 0;<br />
3 4 1<br />
x y 1<br />
AC :1 2 1= 0⇔2x− 5y+ 8= 0<br />
6 4 1<br />
x y 1<br />
BD :8 2 1= 0⇔ 2x+ 5y− 26= 0;<br />
3 4 1<br />
21 ⋅ + 52 ⋅ −26<br />
c) dA ( , BD)<br />
= =<br />
2 2<br />
2 + 5<br />
14<br />
29<br />
26 ⋅ + 54 ⋅ −26<br />
dC ( , BD)<br />
= =<br />
2 2<br />
2 + 5<br />
6<br />
.<br />
29<br />
Rezultă că<br />
14<br />
><br />
29<br />
6<br />
, adică d( A, BD) > d( C , BD)<br />
;<br />
29<br />
d) A( ABCD) = A( ABC) + A(<br />
ACD)<br />
1<br />
2<br />
A ( ABC)<br />
= ⋅ ∆ 1 , unde 1<br />
1<br />
2<br />
A ( ACD)<br />
= ∆ 2 , unde 2<br />
Se obţine A(ABCD) = 10.<br />
Sinteză<br />
1 2 1<br />
∆ = 8 2 1 = 14.<br />
6 4 1<br />
1 2 1<br />
∆ = 6 4 1 = 6.<br />
3 4 1<br />
S1. Rezolvare:<br />
a) Reprezentăm punctele într-un reper cartezian<br />
B<br />
65<br />
C<br />
y<br />
5<br />
3<br />
2<br />
4<br />
1<br />
A<br />
D(3, 5)<br />
x
x y 1<br />
AB : 1 0 1 = 0⇔ 4x+ 3y− 4= 0<br />
−2<br />
4 1<br />
x y 1<br />
BC : − 2 4 1 = 0⇔ y = 4<br />
−1<br />
4 1<br />
x y 1<br />
CD : − 1 4 1 = 0⇔ x − 4y+ 17= 0<br />
3 5 1<br />
x y 1<br />
CA: − 1 4 1 = 0⇔ 2x+ y − 2= 0;<br />
1 0 1<br />
2(2) ⋅− + 4−2 b) dB ( , AC)<br />
= =<br />
2 2<br />
2 + 1<br />
2<br />
5<br />
23 ⋅ + 5−2 dD ( , AC)<br />
= =<br />
2 2<br />
2 + 1<br />
9<br />
;<br />
5<br />
1 0 1<br />
A =<br />
1<br />
∆ , unde ∆ 1 = − 2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
1 =− 23.<br />
Rezultă că A<br />
23<br />
( ABD)<br />
= .<br />
2<br />
1<br />
c) ( ABD)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
A ( BCD)<br />
= ⋅ ∆ 2 , unde 2<br />
1<br />
2<br />
A ( COD)<br />
= ⋅ ∆ 3 , unde 3<br />
În concluzie, A(BCD) < A(COD) < A(ABD).<br />
−2<br />
4 1<br />
∆ = − 1<br />
3<br />
4<br />
5<br />
1 = 1.<br />
Rezultă că A<br />
1<br />
( BCD)<br />
= .<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
4 1<br />
∆ = 0<br />
3<br />
0<br />
5<br />
1 =+ 17.<br />
Rezultă că A<br />
17<br />
( COD)<br />
= .<br />
2<br />
1<br />
d) Din condiţia M, B, C sunt coliniare rezultă:<br />
m m+ 2 1<br />
− 2 4 1 = 0,<br />
rezultă m = 2 şi M(2, 4).<br />
−1<br />
4 1<br />
Rezultă că A<br />
3<br />
( MAD)<br />
= .<br />
2<br />
A<br />
1<br />
( MAD)<br />
= ∆ , unde<br />
2<br />
66<br />
2 4 1<br />
∆= 1 0 1 = 3.<br />
3 5 1
S2. Rezolvare:<br />
Din condiţia de coliniaritate a trei puncte se obţine:<br />
1 1 1<br />
x<br />
2<br />
x+<br />
1<br />
2 − 2 1 = 0,<br />
x+ 1<br />
2 − 2<br />
x<br />
2 1<br />
relaţie echivalentă cu 3 · (2x) 2 – 10 · 2 x + 8 = 0<br />
cu soluţiile: 2 x x<br />
= 2 şi 2 =<br />
4<br />
.<br />
3<br />
Rezultă că x ∈<br />
4 { 1, log2 3}<br />
.<br />
S3. Rezolvare:<br />
A<br />
1<br />
( AOB)<br />
= ⋅ ∆ , unde<br />
2<br />
0 0 1<br />
2<br />
∆= sin a<br />
2<br />
cos a<br />
2 2 2 2<br />
1 = sin a⋅cos b−sinb⋅ cos a=<br />
2<br />
sin b<br />
2<br />
cos b 1<br />
= (sin acosb−sin bcos a) ⋅ (sin acosb+ sin bcos a) = sin( a−b) ⋅ sin( a+ b)<br />
.<br />
Rezultă că A<br />
1<br />
( AOB)<br />
= ⋅ sin( a−b) ⋅ sin( a+ b)<br />
.<br />
2<br />
b) Revinde la a studia că punctele sunt coliniare, oricare ar fi a, b, c i Z. Avem:<br />
2<br />
sin a<br />
2<br />
cos a 1<br />
2<br />
sin a−1 2<br />
cos a 1<br />
2<br />
−cos<br />
a<br />
2<br />
cos a 1<br />
2<br />
sin b<br />
2<br />
cos b<br />
2<br />
1 = sin b− 1<br />
2<br />
cos b<br />
2<br />
1 = − cos b<br />
2<br />
cos b 1 = 0 .<br />
2<br />
sin c<br />
2<br />
cos c 1<br />
2<br />
sin c−1 2<br />
cos c 1<br />
2<br />
−cos<br />
c<br />
2<br />
cos c 1<br />
(două coloane sunt proporţionale).<br />
Aşadar, punctele A, B, C sunt coliniare, ¼a, b, c i Z.<br />
S4. Rezolvare:<br />
a) Punem condiţia ca punctele A, B, C să fie coliniare:<br />
2 m 1<br />
m+ 1 m<br />
2<br />
1 = 0⇔ m − 3m+ 2= 0<br />
1 2 1<br />
cu soluţiile m1 = 1, m2 = 2;<br />
2 m 1<br />
A = 1⇔ 1<br />
⋅ ∆ = 1,<br />
unde ∆= m+ 1<br />
2<br />
1<br />
m<br />
2<br />
2<br />
1 =− m + 3m− 2.<br />
1<br />
b) ( ABC)<br />
2 2<br />
Rezultă că<br />
1<br />
⋅− m + 3m− 2 = 1⇔m − 3m+ 2 = 2.<br />
2<br />
Semnul expresiei m 2 – 3m + 2 este dat în următorul tabel de semn:<br />
m 1 2<br />
m 2 – 3m + 2 + + + 0 – – 0 + + + +<br />
Pentru m i (–∞, 1] N [2, +∞) ecuaţia 1 devine: m 2 – 3m = 0, cu soluţiile m1 = 0, m2 = 3.<br />
67
Pentru m i (1, 2) ecuaţia 1 devine: –m 2 + 3m – 2 = 2 ® m 2 – 3m + 4 = 0 care nu are soluţii reale.<br />
Aşadar, m i {0, 3}.<br />
S5. Rezolvare:<br />
m 2m−1 1<br />
Calculăm A<br />
1<br />
2<br />
( AOB)<br />
= ⋅ ∆ ∆= m+ 1 − m+ 2 1 =− 3m + m+<br />
1.<br />
2<br />
0 0 1<br />
Condiţia din enunţ se scrie sub forma:<br />
1 2 23 2<br />
⋅− 3m + m+ 1 = ⇔3m −m− 1 = 23.<br />
2 2<br />
Tabelul de semn al expresiei 3m 2 – m – 1 este<br />
m –∞<br />
1−13 1+ 13<br />
+∞<br />
2 2<br />
3m 2 – m – 1 + + + + 0 – – – – – 0 + + + +<br />
Pentru m ∈<br />
1 13 1 13<br />
( −∞ ,<br />
− ⎤ ⎡ +<br />
, +∞<br />
2 ⎥ ⎢ 2 )<br />
⎦ ⎣<br />
∪ ecuaţia 2 devine: 3m2 – m – 24 = 0 cu soluţiile<br />
m<br />
8<br />
1=− ; m2<br />
= 3.<br />
3<br />
m∈<br />
1− 13<br />
,<br />
1+ 13<br />
ecuaţia (2) devine:<br />
2 2<br />
Pentru ( )<br />
care nu are soluţii reale.<br />
Aşadar, m∈<br />
8 { − ,3<br />
3 } .<br />
S6. Rezolvare:<br />
a) Avem relaţia<br />
b) Avem condiţia:<br />
m = 2n, n i Z.<br />
S7. Rezolvare:<br />
–3m 2 + m + 1 = 23 ® 3m 2 – m + 22 = 0,<br />
m −1<br />
3 1<br />
m − m = ⇔m − = ⇔ m∈<br />
−<br />
2m− 3 1+ m 1<br />
2<br />
2 1 0 4 0 { 2, 2}<br />
m− m 1+ m 1<br />
m− n = ⇔ mn− m = ⇔ m n− m = ⇔ m=<br />
m n+<br />
1 1<br />
2<br />
2 1 1 0 2 0 (2 ) 0 0<br />
x y 1<br />
BC :0<br />
2−6m 1−<br />
m<br />
1= 0, m ≠1 ⇔ ( m + 1) x + (1 − m) y + 6m− 2= 0, m ≠1.<br />
1<br />
7m−1 m −1<br />
1<br />
dA ( , BC) = 3⇔ m++− 1 1 m+ 6m−2 2<br />
= 3⇔ 6m= 3 2m+ 2.<br />
2 2<br />
( m+ 1) + (1 − m)<br />
= 3<br />
Ridicând la pătrat se obţine ecuaţia m 2 = 1, m @ 1 cu soluţia m = –1.<br />
68<br />
;<br />
sau
S8. Rezolvare:<br />
Fie M(α, β) situat pe dreapta de ecuaţie x – y – 3 = 0. Rezultă că α – β – 3 = 0.<br />
Egalitatea A(OAM) = A(OBM) se scrie sub forma:<br />
1<br />
⋅∆<br />
1<br />
1 = ∆ 2 unde:<br />
2 2<br />
0 0 1<br />
0 0 1<br />
∆ 1 = 3 2 1 = 3β−2α şi ∆ 2 = 2 4 1 = 2β−4α. α β 1<br />
α β 1<br />
Rezultă că 3β−2α = 2β−4α şi α−β− 3= 0.<br />
Înlocuind α = β + 3, ecuaţia cu moduli devine: β− 6 = 2β+ 12 (*)<br />
Tabelul de semn al expresiile din moduli este:<br />
β –∞ –6 6 +∞<br />
β – 6 – – – – – – – 0 + + + + + + +<br />
2β + 12 – – – – 0 + + + + + + + + + +<br />
• Pentru β i (–∞, –6] ecuaţia (*) devine:<br />
– β + 6 = –2β – 12, cu soluţia β = –18 i (–∞, –6]<br />
• Pentru β i (–6, 6) ecuaţia (*) devine:<br />
– β + 6 = 2β + 12, cu soluţia β = – 2 i (–6, 6)<br />
• Pentru β i [6, + β) se obţine ecuaţia:<br />
β – 6 = 2β + 12, cu soluţia β = –18 h [6, + ∞).<br />
Aşadar există două puncte cu proprietatea din enunţ: M1(–15, –18), <strong>M2</strong>(+1, –2).<br />
S9. Rezolvare:<br />
m 1 1<br />
A<br />
1<br />
( ABC ) = ⋅∆ , unde ∆= 1<br />
2<br />
m<br />
Condiţia din problemă se scrie sub forma:<br />
m<br />
m<br />
2<br />
1 =− m + 2m− 1.<br />
1<br />
1 2 2 2<br />
⋅ − m + 2m− 1 = 2⇔ m − 2m+ 1 = 4 ⇔( m−<br />
1) = 4,<br />
2<br />
ecuaţie care are soluţiile m1 = –1, m2 = 3.<br />
69
TESTE DE EVALUARE<br />
TESTUL 1<br />
1. Rezolvare:<br />
Calculăm determinanţii şi obţinem:<br />
E =<br />
1<br />
(12 + 10) − 5(1 + 4 − 6 + 10) + 36 = 2 . Rezultă că răspunsul corect este b).<br />
2<br />
2. Rezolvare:<br />
2 −1<br />
3<br />
−1 4 −5<br />
a) det( A ) = 4 −1<br />
3 = 48+ 6+ 20−48−20− 6= 0 .<br />
2 −1<br />
3<br />
−1 4 −5<br />
c)<br />
d)<br />
2+ 1 2+ 2 2+ 3<br />
det( A) =−1⋅δ 21 + 4 ⋅δ22 −5 ⋅δ 23 = ( −1) ⋅( − 1) d21 + 4 ⋅( −1) d22 −5 ⋅( − 1) d23<br />
=<br />
−1 =<br />
−2 3 2<br />
+ 4<br />
6 4<br />
3 2<br />
+ 5 ⋅<br />
6 4<br />
−1<br />
= ( − 6 + 6) + 4(12 − 12) + 5( − 4 + 4) = 0 .<br />
−2<br />
det( A)<br />
( 1) 4 2 ( 1)( 1)<br />
−1 4<br />
−5<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4<br />
3<br />
6<br />
2 ( 1)<br />
2<br />
−1 3<br />
−5<br />
=− 6 + 20 + 4(12 − 12) + 2( − 10 + 3) = 14 − 14 = 0 ;<br />
1+ 2 3+ 2<br />
= − δ 12 + ⋅δ22 − ⋅δ 32 = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ − =<br />
e) Înmulţim succesiv linia a doua cu 2 şi 4 şi o adunăm la prima, respectiv a treia linie.<br />
0<br />
det( A)<br />
=−1 0<br />
7<br />
4<br />
14<br />
−7<br />
2+ 1 7<br />
− 5 = ( −1) ⋅− ( 1) ⋅<br />
14<br />
−14<br />
−7<br />
= 0 ;<br />
−14<br />
f) Coloana a treia este o combinaţie liniară a celorlalte două coloane:<br />
Rezultă că det (A) = 0.<br />
3 = 2 + (–1) · (–1); –5 = –1 + 4(–1); 6 = 4 + (–2)(–1).<br />
3. Rezolvare:<br />
x+ 3<br />
det( A+ B) =<br />
x+ 4<br />
2x−1 2<br />
=−x − 4x+ 4<br />
x<br />
2 ⎛x C = ⎜<br />
⎝2 1⎞⎛x 3<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝2 2 1⎞ ⎛x + 2<br />
3<br />
⎟=⎜<br />
⎠ ⎝2x+ 6<br />
x+<br />
3⎞<br />
⎟<br />
2+ 9⎠<br />
2<br />
2 x + 2<br />
det( C ) =<br />
2x+ 6<br />
x+<br />
3 2<br />
= 9x − 12x+ 4 .<br />
11<br />
Ecuaţia det(A + B) = det(C 2 ) este echivalentă cu:<br />
–x 2 – 4x + 4 = 9x 2 – 12x + 4 ® 10x 2 – 8x = 0 cu soluţiile x1 = 0, 2<br />
Rezultă că suma soluţiilor ecuaţiei este 4<br />
5 .<br />
70<br />
x =<br />
4<br />
.<br />
5
4. Rezolvare:<br />
cu soluţiile m1 = –3, 2<br />
m =<br />
5<br />
.<br />
2<br />
2m+ 1 3 1<br />
m = ⇔ m + m−<br />
=<br />
−4<br />
2 1<br />
2<br />
1 1 0 2 15 0<br />
TESTUL 2<br />
1. Rezolvare:<br />
Rezolvăm ecuaţia a). Avem succesiv:<br />
−3( x−4) −5(1−3 x) −<br />
2<br />
(56 + 4) =<br />
3<br />
( −5−5) ⇔ 12x= 18 ⇔ x=<br />
3<br />
.<br />
3 2 2<br />
Aşadar S 1 =<br />
3 { 2}<br />
.<br />
Ecuaţia b) se scrie sub forme echivalente astfel:<br />
y(y – 1)(y + 4) – y – 1 – 3(y + 2)(y + 5) – (y 2 – 1)(y + 2) + y(y + 5) + 3(y + 4) = 4y 2 + 2y + 1 ®<br />
® 5y 2 + 19y + 18 = 0 cu mulţimea soluţiile S 2 =<br />
9 { −2, − } .<br />
5<br />
S1 =<br />
3<br />
, S2 = −2, −<br />
9<br />
, S<br />
3 9 3 3 9<br />
1∪ S2 = , −2, − , S1× S2<br />
= { , −2 , , −<br />
2 2 2 5 2 2 5 } .<br />
Aşadar, { } { } { } ( ) ( )<br />
2. Rezolvare:<br />
Soluţia ε a ecuaţiei x 2 + x + 1 = 0 are proprietatea că ε 2 + ε + 1 = 0 şi ε 3 + ε 2 + ε = 0, de unde<br />
se obţine ε 3 = – ε 2 – ε = 1.<br />
det(A) = –ε 3 – ε 3 – ε 3 – ε 6 + ε 3 – 1 = –4<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
⎛ 0 2ε 2ε ⎞ ⎛ 0 ε ε ⎞<br />
0 ε ε<br />
2 ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2⎟<br />
2 2 2 6 6<br />
A = ⎜2ε 0 2ε ⎟= 2⎜ε 0 ε ⎟ şi det<br />
1 ( ⋅ A ) = ε 0 ε =ε +ε = 2.<br />
2<br />
⎜ 2 2 2 2<br />
2ε 2ε 0 ⎟ ⎜ε ε 0⎟<br />
2 2<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
ε ε 0<br />
2<br />
Rezultă că det( A) + det<br />
1 ( A ) =− 4 + 2 =− 2 .<br />
2<br />
3. Rezolvare:<br />
Avem: det(A) = –abz – cyz + z 2 x = z(xz – ab – cy)<br />
det(B) = ab 2 + bcy – bxy = b(ab + cy – xz)<br />
det(C) = –xyz + aby + cy 2 = y(–xz + ab + cy).<br />
Rezultă că<br />
n = xz(–ab – cy + xz) + ab(ab + cy – xz) + yc(–xz + ab + cy) = (ab + cy – xz)(–xy + ab + yc) =<br />
= (ab + cy – xz) 2 .<br />
71<br />
,
4. Ecuaţia dreptei AB este:<br />
x y 1<br />
−<br />
2m 3<br />
1 1= 0 ⇔ x+ m<br />
+ y(3 −m) − 3+ m+ 2m<br />
⋅ y+<br />
x<br />
= 0⇔<br />
6 3 4<br />
3−m− 1<br />
4<br />
1<br />
⇔ 15 x+ (36− 4 m) y+ (14m− 36) = 0<br />
15 + 2(36 − 4 m) + 14m−36 dC ( , AB) = 3⇔ = 3, m∈m ⇔ 6m+ 51 = 3⋅<br />
2<br />
225 + (36 −4<br />
m)<br />
2 2<br />
⋅ 225 + (36 −4 m) , m∈m⇔ 2m+ 17 = 225 + (36 −4 m) , m∈m.<br />
După ridicare la pătrat se obţine ecuaţia de gradul doi: 6m 2 – 178m + 616 = 0 cu soluţia<br />
întreagă m = 4.<br />
72
Capitolul III. Sisteme de ecuaţii liniare<br />
3.1. Matrice inversabile din n( ) M<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
O matrice pătratică este inversabilă dacă şi numai dacă determinantul ei este nenul.<br />
−2<br />
a)<br />
4<br />
5<br />
⎛−2 =−6− 20=−26≠ 0;<br />
matricea<br />
3<br />
⎜<br />
⎝ 4<br />
5⎞<br />
3<br />
⎟ este inversabilă;<br />
⎠<br />
2<br />
b)<br />
3<br />
− 5<br />
⎛2 =− 14+ 15= 1≠0; matricea<br />
−7<br />
⎜<br />
⎝3 −5⎞<br />
−7<br />
⎟ este inversabilă;<br />
⎠<br />
5<br />
c) 2<br />
9<br />
−<br />
2<br />
⎛5 3 = 10 + 6 = 16 ≠ 0 ; matricea ⎜2 4<br />
⎜<br />
⎝9 −<br />
2⎞<br />
3⎟<br />
este inversabilă;<br />
4<br />
⎟<br />
⎠<br />
d)<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
⎛ 2<br />
2<br />
= 1+ 1= 2≠ 0;<br />
matricea ⎜<br />
⎜ 1<br />
2<br />
⎝<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
2<br />
este inversabilă.<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
E2. Rezolvare:<br />
− 1 *<br />
Vom folosi formula: A =<br />
1<br />
⋅ A .<br />
det( A)<br />
2<br />
a) det( A)<br />
=<br />
8<br />
−1<br />
=− 10 + 8 =−2≠0 −5<br />
⎛ 2 t<br />
A= ⎜<br />
⎝−1 8 ⎞ ⎛δ * 11<br />
⎟;<br />
A =⎜<br />
−5⎠<br />
⎝δ21 δ ⎞ 12<br />
⎟<br />
δ22⎠<br />
, unde ij δ sunt complemenţii algebrici ai elementelor aij ale<br />
matricei transpuse t A .<br />
* ⎛−5 Aşadar, A = ⎜<br />
⎝−8 1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ şi<br />
1 5<br />
A<br />
1<br />
2 8<br />
1<br />
2<br />
− ⎛− =− ⋅⎜ ⎝− ⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
−8<br />
6<br />
b) det( A)<br />
= 2<br />
3<br />
1 = 2 − 4 =−2≠0. −<br />
4<br />
⎛<br />
8<br />
t ⎜− A=⎜<br />
⎜<br />
⎝ 6<br />
2 ⎞ ⎛<br />
3 ⎟ −<br />
1<br />
* ⎜ 4<br />
1<br />
⎟şi<br />
A =<br />
⎜<br />
− ⎟ 2<br />
4⎠<br />
⎜− ⎝ 3<br />
−6⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−8⎟<br />
⎠<br />
1<br />
1 4<br />
Rezultă că A<br />
1<br />
2 2<br />
3<br />
6<br />
1<br />
8<br />
8<br />
1<br />
3<br />
3<br />
4<br />
−<br />
⎛− ⎜<br />
=−<br />
⎜<br />
⎜− ⎝<br />
− ⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
− ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1 c) det( A) =<br />
0<br />
0<br />
=−1≠ 0;<br />
1<br />
⎛−1 t<br />
A=⎜ ⎝ 0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
şi<br />
* ⎛1 A = ⎜<br />
⎝0 0 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
−1<br />
* ⎛−1 Rezultă că A =− A = ⎜<br />
⎝ 0<br />
0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
73
3<br />
d) det A= 2 2<br />
2<br />
= 9− 4= 5≠ 0;<br />
3 3<br />
⎛<br />
t<br />
A=⎜ ⎝<br />
3<br />
2<br />
2 2⎞<br />
⎟<br />
3 3⎠<br />
* ⎛ 3 3<br />
A = ⎜<br />
⎝−2 2<br />
− 2⎞<br />
1 3 3<br />
⎟ şi A<br />
1<br />
3 ⎠<br />
5 2 2<br />
2<br />
3<br />
−<br />
⎛<br />
= ⋅⎜<br />
⎝− − ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
1 1 1 ⎛1 1 2⎞ ⎛ 1 0 −1⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A= =− ≠ A= ⎜ ⎟ A = ⎜− − ⎟şi<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2 1 1 ⎝1 0 1⎠ ⎝−1 1 0 ⎠<br />
t<br />
*<br />
det 1 1 0 1 0, 1 1 1 , 1 1 1<br />
⎛−1 0 1 ⎞<br />
−1<br />
*<br />
A =− A =<br />
⎜<br />
1 1 1<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
;<br />
⎜ 1 −1<br />
0 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 1 3 ⎛2 0 0 ⎞ ⎛5 5 7 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A= − = A= ⎜ − ⎟ A = ⎜ − − ⎟şi<br />
A<br />
1<br />
A<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 10<br />
0 0 −5 ⎝3 4 −5⎠ ⎝0 0 −2⎠<br />
t<br />
*<br />
det 0 1 4 10; 1 1 0 , 0 10 8<br />
3 −2<br />
0<br />
det( A)<br />
= 0 2 2 =−18 − 4 + 12 =−10<br />
1 −2 −3<br />
74<br />
− 1 *<br />
= ⋅ .<br />
⎛ 3<br />
t ⎜<br />
A=− ⎜ 2<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
1 ⎞ ⎛−2 ⎟ * ⎜<br />
− 2 ⎟, A = ⎜ 2<br />
⎟ ⎜<br />
−3⎠ ⎝−2 −6 −9 4<br />
−4⎞<br />
⎟ − 1 *<br />
−6⎟şi<br />
A =−<br />
1<br />
⋅ A<br />
⎟ 10<br />
6 ⎠<br />
1<br />
h) det( A) = 2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2 ⎛1 t ⎜<br />
1 = 8+ 3−6− 2= 3, A=<br />
⎜3 ⎜<br />
1 ⎝2 2<br />
0<br />
1<br />
1⎞<br />
⎛−2 ⎟ *<br />
2⎟;<br />
A =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
−1 1⎠<br />
⎜<br />
⎝ 4<br />
1<br />
− 1<br />
1<br />
3 ⎞<br />
−1<br />
1 *<br />
3<br />
⎟<br />
⎟<br />
; A = ⋅A<br />
.<br />
3<br />
−6⎟<br />
⎠<br />
E3. Rezolvare:<br />
Pentru fiecare matrice se pune condiţia ca determinantul să fie nenul.<br />
a) 2 m<br />
=−12−3m≠0⇒m≠−4 ⇒ m∈<br />
\{ −4}<br />
;<br />
3 −6<br />
m 5 2<br />
b) = m + 100≠0⇒m≠± 10 i⇒m∈ \{ −10<br />
i, 10 i}<br />
;<br />
−20<br />
m<br />
m − 3 7 2<br />
c)<br />
= m −m−20 ≠0.<br />
2 m + 2<br />
Dacă m 2 – m – 20 = 0 ⇒ ∆ = 81 şi m1,2 i {–4, 5}.<br />
Rezultă că matricea este inversabilă dacă m i \ {–4, 5}.<br />
2<br />
m −3m<br />
m m m<br />
d) = ( m− 3) = 0, ∀m∈ . Rezultă că m∈Φ.<br />
m−3<br />
1 1 1
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
m m+<br />
1 2<br />
1 1<br />
2<br />
− 3 = 3m + 2m−1≠ 0.<br />
0 m 1<br />
2<br />
Dacă 3m + 2m− 1= 0⇒m∈ 1 { − 1,<br />
3}<br />
.<br />
Rezultă că matricea este inversabilă dacă { } 1<br />
m ∈ −<br />
m<br />
2<br />
4 3<br />
− =− − ≠ .<br />
11 9<br />
2<br />
2<br />
1 0<br />
2<br />
6m6 0<br />
m<br />
75<br />
\ 1, .<br />
3<br />
Dacă –6m 2 – 6 = 0 ⇒ m i {–i, i}.<br />
Rezultă că matricea este inversabilă pentru m i \ {–i, i}<br />
2+ m 1 1<br />
m<br />
2<br />
m− 1 1 = m − 3 m= m( m−3)<br />
≠ 0.<br />
1 m 1<br />
Rezultă că m i \ {0, 3}.<br />
3m+ 1<br />
2<br />
−1<br />
7<br />
m − 7<br />
=<br />
1<br />
2 4<br />
m + m−<br />
≠<br />
2 −1<br />
7<br />
2<br />
4 9 (3 354 357) 0<br />
Dacă 3m 2 + 354m – 357 = 0, împărţind cu 3 rezultă ecuaţia m 2 + 118m – 119 = 0 pentru care<br />
∆ = 118 2 – 476 = 14400.<br />
Se obţine m1 = 1, m2 = –19.<br />
Aşadar, matricea este inversabilă pentru m i \ {1, –19}.<br />
E4. Rezolvare:<br />
a) det(A) = –2 @ 0; det(B) = –1 @ 0.<br />
det(AB) = det(BA) = det(A) · det(B) = 2 @ 0.<br />
Rezultă că matricele A, B, AB, BA sunt inversabile.<br />
t ⎛−1 • A= ⎜<br />
⎝ 2<br />
−4⎞ * ⎛10 , A<br />
10<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝ 4<br />
−2⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ şi<br />
⎛−5 −1<br />
1 *<br />
A =− ⋅ A = ⎜<br />
2 ⎜−2 ⎝<br />
1⎞<br />
1<br />
⎟.<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
⎛7 t<br />
• B= ⎜<br />
⎝5 3⎞ ⎛ 2 *<br />
⎟, B = ⎜<br />
2⎠ ⎝−3 −5⎞ ⎛−2 −1<br />
*<br />
⎟, B =− B = ⎜<br />
7 ⎠ ⎝ 3<br />
5 ⎞<br />
⎟<br />
−7⎠<br />
⎛−1 • AB = ⎜<br />
⎝−4 2 ⎞ ⎛7 10<br />
⎟⋅ ⎜<br />
⎠ ⎝3 5⎞ ⎛−1 =<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
−1⎞<br />
0<br />
⎟,<br />
det(AB) = 2<br />
⎠<br />
⎛− 1 t<br />
( AB) = ⎜<br />
⎝−1 2⎞ ⎛ 0 *<br />
⎟, ( AB)<br />
= ⎜<br />
0⎠ ⎝−2 + 1⎞<br />
⎟<br />
−1⎠<br />
şi<br />
1 0<br />
( AB) 1<br />
2 2<br />
1 0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− ⎛<br />
= ⋅ ⎜<br />
⎝− ⎛<br />
⎞ ⎜<br />
⎟= − ⎜<br />
⎠ ⎜− ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
− ⎟<br />
⎠<br />
.
⎛7 • BA = ⎜<br />
⎝3 5⎞⎛−1 2<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝−4 2 ⎞ ⎛−27 =<br />
10<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−11 64⎞<br />
26<br />
⎟,<br />
det(BA) = 2<br />
⎠<br />
⎛−27 t<br />
( BA) = ⎜<br />
⎝ 64<br />
−11⎞ ⎛26 *<br />
⎟, ( BA)<br />
= ⎜<br />
26 ⎠ ⎝11 −64⎞<br />
⎟<br />
−27⎠<br />
Rezultă că<br />
⎛13 −32<br />
⎞<br />
=<br />
1<br />
⋅ = ⎜ ⎟<br />
2 ⎜ − ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
−1<br />
*<br />
( BA) ( BA)<br />
11 27<br />
b) Se verifică prin calcul, folosind rezultatele de la punctul a)<br />
2 ⎛−1 c) • A = ⎜<br />
⎝−4 2 ⎞⎛−1 10<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝−4 2 ⎞ ⎛ −7<br />
=<br />
10<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−36 18⎞<br />
92<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛−7 2 2 t 2<br />
det A = (det A) = 4; ( A ) =⎜<br />
⎝18 −36⎞<br />
⎟<br />
92 ⎠<br />
2 * ⎛−2 ( A ) = ⎜<br />
⎝36 −18⎞<br />
−7<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
92 2 1<br />
Rezultă că ( A )<br />
1<br />
4 36<br />
18 23<br />
7<br />
9<br />
9<br />
2<br />
7<br />
4<br />
− ⎛<br />
= ⋅ ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
− ⎞ ⎜<br />
⎟= ⎜<br />
− ⎠ ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
− ⎟<br />
⎟<br />
− ⎟<br />
⎠<br />
5<br />
1 2<br />
( A )<br />
2<br />
1 5<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1 23<br />
1<br />
2 9<br />
9<br />
2<br />
7<br />
4<br />
−<br />
⎛− = ⎜<br />
⎜− ⎝<br />
2 −1 −1<br />
2<br />
Aşadar, ( A ) = ( A ) .<br />
⎞⎛− ⎟⎜<br />
⎟⎜− ⎠⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎜<br />
=<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝<br />
− ⎞<br />
⎟<br />
⎟.<br />
− ⎟<br />
⎠<br />
2 ⎛7 • B = ⎜<br />
⎝3 5⎞⎛7 2<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝3 5⎞ ⎛64 2<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝27 45 ⎞ 2 2<br />
;det( B ) = (det( B))<br />
= 1<br />
19<br />
⎟<br />
.<br />
⎠<br />
⎛64 t 2<br />
( B ) = ⎜<br />
⎝45 27⎞ ⎛ 19 2 *<br />
⎟, ( B ) = ⎜<br />
19⎠ ⎝−27 −45⎞<br />
⎟<br />
64 ⎠ .<br />
2 − 1 2 *<br />
Rezultă că ( B ) = ( B ) .<br />
1 2 2<br />
( B )<br />
3<br />
5 2<br />
7 3<br />
5 19<br />
7 27<br />
45<br />
64<br />
− ⎛− = ⎜<br />
⎝<br />
2 −1 −1<br />
2<br />
Aşadar, ( B ) = ( B ) .<br />
⎞⎛− −<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟= −<br />
⎜<br />
⎠ ⎝− − ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
E5. Rezolvare:<br />
Se foloseşte formula (A –1 ) –1 = A.<br />
5<br />
1<br />
a) Determinăm inversa matricei A 3<br />
2<br />
8<br />
1<br />
2<br />
−<br />
⎛ −<br />
= ⎜<br />
⎜− ⎝<br />
1<br />
det( A )<br />
5<br />
12<br />
19<br />
2 2<br />
⎞<br />
⎟.<br />
⎟<br />
⎠<br />
− =− + = .<br />
⎛<br />
5<br />
t −1 ⎜− ( A ) = ⎜<br />
⎝ 8<br />
3⎞ ⎛<br />
−<br />
1<br />
2⎟ −1<br />
* ⎜2 ⎟, ( A ) = ⎜<br />
1 ⎟ ⎜3 2 ⎠ ⎝2 ⎞<br />
−8⎟<br />
⎟.<br />
−5⎟<br />
⎠<br />
76
Rezultă că<br />
( )<br />
b) det(A –1 ) = –2;<br />
−1 −1<br />
A A<br />
⎛1 −8⎞<br />
2 ⎜2⎟ = = ⋅<br />
19 ⎜3⎟. ⎜ −5⎟<br />
⎝2⎠ 1 ⎛ 1 4⎞<br />
( ) = ⎜<br />
0 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
t A − −<br />
1 * 2 0<br />
( A )<br />
4 1<br />
− ⎛ ⎞<br />
= ⎜<br />
− −<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ şi<br />
c) det(A –1 ) = 1;<br />
2 0<br />
−1<br />
0<br />
1 ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟.<br />
2 ⎝−4 −1⎠<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
−1 −1<br />
( A ) = A=−<br />
⋅ ⎜ ⎟=<br />
1<br />
−2<br />
0 1<br />
t −1<br />
( A ) =−1 4 −2<br />
1 −1<br />
0<br />
2<br />
1 *<br />
( A ) 1<br />
4<br />
2<br />
1<br />
5<br />
3<br />
2<br />
8<br />
−<br />
⎛− =<br />
⎜<br />
⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝− −<br />
−<br />
−<br />
− ⎞<br />
⎛−2 −<br />
⎟ −1 −1<br />
⎟<br />
şi ( A ) = A=<br />
⎜<br />
⎜<br />
−1 − ⎟<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝−4 −2 −1 −5 −3⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎟<br />
−8⎟<br />
⎠<br />
1<br />
5<br />
1<br />
d) det A 0<br />
1<br />
5<br />
11<br />
5<br />
2<br />
4<br />
5<br />
7<br />
5 1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
25<br />
3 1<br />
5<br />
11<br />
2<br />
4<br />
7<br />
1<br />
1<br />
( 5)<br />
1<br />
25 5<br />
3<br />
−<br />
= −<br />
−<br />
−<br />
= ⋅ −<br />
−<br />
−<br />
= ⋅ − =− .<br />
1<br />
5<br />
t −1 ( A ) =<br />
11<br />
5<br />
−<br />
7<br />
5<br />
0<br />
−2 1<br />
1 ⎛− 2<br />
5 ⎜ 5<br />
4 ⎜ −1<br />
*<br />
− ; ( A ) =<br />
1<br />
5<br />
⎜<br />
⎜<br />
5<br />
3 ⎜<br />
2<br />
5 ⎝ 5<br />
−<br />
1<br />
5<br />
2<br />
5<br />
3<br />
5<br />
−<br />
3⎞<br />
5⎟<br />
1 ⎟<br />
−<br />
5<br />
⎟.<br />
⎟<br />
−<br />
2 ⎟<br />
5⎠<br />
⎛+ 2<br />
−1 −1 −1<br />
*<br />
Rezultă că ( A ) = A=− 5( A ) =<br />
⎜<br />
⎜<br />
−1 ⎜<br />
⎝−2 + 1<br />
−2<br />
−3<br />
+ 3⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
Sinteză<br />
;<br />
S1. Rezolvare:<br />
x<br />
2<br />
a) x<br />
4<br />
x<br />
5<br />
x<br />
10<br />
x<br />
x x<br />
⎛2 = 20 − 20 = 0 Rezultă că matricea ⎜ x<br />
⎝4 x<br />
5 ⎞<br />
x ⎟ nu este inversabilă.<br />
10 ⎠<br />
lg1<br />
b)<br />
−2 2 0<br />
=<br />
lg5 −2<br />
2<br />
⎛lg1 = 4≠0. Rezultă că matricea<br />
lg5<br />
⎜<br />
⎝−2 2 ⎞<br />
lg5<br />
⎟ este inversabilă.<br />
⎠<br />
0!<br />
c)<br />
8<br />
3<br />
⎛0! = 4! − 24 = 0 . Matricea<br />
4!<br />
⎜<br />
⎝8 3 ⎞<br />
4!<br />
⎟ nu este inversabilă.<br />
⎠<br />
2<br />
C4 d)<br />
−1<br />
2<br />
A 6 3<br />
=<br />
1 −1<br />
6<br />
= 6+ 6= 12≠0; 1<br />
2<br />
⎛C4 Rezultă că matricea ⎜<br />
⎝−1 2<br />
A3<br />
⎞<br />
⎟ este inversabilă.<br />
1 ⎠<br />
77
S2. Rezolvare:<br />
⎛i a) A = ⎜<br />
⎝3 2<br />
−i ⎞ ⎛i ⎟= ⎜<br />
−4i⎠ ⎝3 1 ⎞<br />
−4i<br />
⎟<br />
⎠<br />
det(A) = –4i 2 – 3 = 4 – 3 = 1.<br />
⎛i t<br />
A= ⎜<br />
⎝1 3 ⎞ ⎛−4i *<br />
⎟; A = ⎜<br />
−4i⎠ ⎝−3 −1⎞<br />
⎟<br />
i ⎠ .<br />
Rezultă că A –1 = A * .<br />
⎛<br />
b) A = ⎜<br />
⎝<br />
2+ 3<br />
1+ i<br />
1−i⎞<br />
⎟;<br />
detA = (3 – 2) – (1 – i<br />
3− 2⎠<br />
2 ) = –1.<br />
⎛<br />
t<br />
A= ⎜<br />
⎝<br />
2+ 3<br />
1−i 1+ i ⎞ ⎛<br />
* 3− 2<br />
⎟, A = ⎜<br />
3− 2⎠ ⎝ −1− i<br />
− 1+<br />
i ⎞<br />
⎟<br />
2+ 3⎠<br />
.<br />
Rezultă că A –1 = –A * .<br />
⎛ sin x<br />
c) A = ⎜<br />
⎝−cos x<br />
cos x⎞<br />
sin x<br />
⎟<br />
⎠ , detA = sin2x + cos 2 x = 1<br />
⎛sinx t<br />
A= ⎜<br />
⎝cos x<br />
−cosx⎞ ⎛sinx *<br />
⎟iar A = ⎜<br />
sin x ⎠ ⎝cos x<br />
−cosx⎞<br />
⎟<br />
sin x ⎠<br />
Rezultă că A –1 = A * .<br />
⎛<br />
⎜ −1<br />
d) A = ⎜ 4<br />
⎜<br />
⎜ ⎜− 1<br />
⎝ 2<br />
2<br />
Cm −3<br />
3<br />
1 ⎞<br />
Cm⎟<br />
5 ⎟;<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
21 2<br />
det( A) = ( − m + 3m+ 4) , m i q, m U 2.<br />
4<br />
Din det(A) = 0, rezultă că m = 4.<br />
Aşadar, A este inversabilă dacă şi numai dacă m i q* \ {1, 4} şi A<br />
1<br />
det( A)<br />
A<br />
78<br />
− 1 *<br />
= ⋅ .<br />
S3. Rezolvare:<br />
Pentru fiecare matrice A punem condiţia ca det(A) @ 0, ¼x i Z.<br />
a) detA = (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3.<br />
Punem condiţia ca (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3 @ 0, ¼x i Z.<br />
Rezultă că discriminantul ∆ al ecuaţiei (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3 = 0 este număr negativ.<br />
Aşadar 4 – 4(m – 1)(2m – 3) < 0 ⇔ 2m 2 – 5m + 2 > 0 ( ) 1<br />
m<br />
⇔ ∈ −∞ , ∪ (2, +∞)<br />
.<br />
2<br />
b) detA @ 0, ¼x i Z ⇔ (1 – m)x 2 – x – 3m + 2 @ 0, ¼x i Z ®<br />
⇔ ∆ < 0 ® 1 – 4(1 – m)(2 – 3m) < 0.<br />
Se obţine inecuaţia de gradul doi 12m 2 – 20m + 7 > 0 cu mulţimea soluţiilor<br />
( −∞ ,<br />
1 7 ) ∪ ( ; + ∞<br />
2 6 ) .<br />
c) detA @ 0, ¼x i Z ® (m + 2)x + 7 – 4m @ 0, ¼x i Z ⇔ m + 2 = 0 şi 7 – 4m @ 0.<br />
Rezultă că m = –2.<br />
S4. Rezolvare:<br />
Condiţia A * = A –1 este echivalentă cu faptul că det(A) = 1.
a) det(A) = 1 ® –2m – 13 = 1 ® m = –7;<br />
2<br />
b) det( A) 1 2m 17m 9 1 m<br />
1 { ; 8}<br />
= ⇔ − + = ⇔ ∈ ;<br />
2<br />
c) det( A) = 1⇔10m− 1= 1⇔<br />
m=<br />
1<br />
;<br />
5<br />
d) det(A) = 1 ® –2 · 4 m + 3 · 2 m + 3 = 1 ® –2 · 4 m + 3 · 2 m + 2 = 0.<br />
Notăm 2 m = y şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea: –2y 2 + 3y + 2 = 0 cu soluţiile:<br />
y1 = 2, y<br />
1<br />
2 =− .<br />
2<br />
Revenind la notaţie se obţine m = 1.<br />
S5. Rezolvare:<br />
a) Pornim de la ipoteza AB = BA. Înmulţim egalitatea matriceală cu B –1 , pe partea dreaptă şi<br />
obţinem:<br />
ABB –1 = BAB –1 ® A = BAB –1 . Înmulţim această egalitate în partea stângă cu B –1 şi obţinem:<br />
B –1 A = B –1 BAB –1 ® B –1 A = AB –1 , ceea ce trebuia demonstrat.<br />
b) Înmulţim egalitatea AB = BA, în partea stângă, cu A –1 şi obţinem:<br />
A –1 AB = A –1 BA ® B = A –1 BA.<br />
Înmulţim această ultimă egalitate în partea dreaptă cu A –1 şi se obţine BA –1 = A –1 B, ceea ce<br />
trebuia arătat.<br />
c) În egalitatea de la a) înmulţim în stânga cu A –1 şi se obţine B –1 = A –1 B –1 A.<br />
Înmulţim acum cu A –1 în dreapta şi obţinem B –1 A –1 = A –1 B –1 .<br />
S6. Rezolvare:<br />
⎛1 2 2 2<br />
a) ( I3− A)( I3+ A) = I3 + I3A− AI3− A = I3− A = I3− ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝3 1<br />
2<br />
3<br />
−1⎞⎛1 −2 ⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
2<br />
−3⎟⎜ ⎠⎝3 1<br />
2<br />
3<br />
−1⎞<br />
⎛0 − 2<br />
⎟<br />
I<br />
⎜<br />
⎟<br />
= 3− ⎜<br />
0<br />
−3⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝0 0<br />
0<br />
0<br />
0⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
= I3.<br />
0⎟<br />
⎠<br />
b) Deoarece ( I3− A)( I3+ A) = ( I3+ A)( I3− A) = I3,<br />
rezultă că I3 – A este inversabilă şi<br />
(I3 – A)–1 = (I3 + A).<br />
Observaţie.<br />
Se poate deduce prin calcul că I3 – A este inversabilă şi apoi i se determină inversa după<br />
− 1<br />
regula cunoscută 1 *<br />
( B = ⋅ B<br />
det B ) .<br />
79
3.2. Ecuaţii matriceale<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
⎛1 a) Ecuaţia este de forma XA = B unde A= ⎜<br />
⎝3 2⎞ ⎛2 , B<br />
5<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝3 1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Deoarece det(A) = –1, rezultă că A este inversabilă şi ecuaţia matriceală dată este echivalentă<br />
cu X = B · A –1 .<br />
−1 * 5<br />
Dar 1 ⎛<br />
A = ⋅ A =−<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝−3 −2⎞ ⎛−5 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
2 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛2 Rezultă că X = ⎜<br />
⎝3 1⎞⎛−5 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ 3<br />
2 ⎞ ⎛ −7<br />
=<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−12 3⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛1 b) Ecuaţia este de forma XA = B, unde A= ⎜<br />
⎝3 ⎛2 2 ⎞<br />
, B<br />
⎜<br />
3<br />
5<br />
⎟ =<br />
⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝0 1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
1⎟<br />
⎠<br />
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală este echivalentă cu<br />
X = BA –1 .<br />
−1 * 5<br />
Dar 1 ⎛<br />
A = ⋅ A =−<br />
det A ⎜<br />
⎝−3 −2⎞ ⎛−5 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
2 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛2 Rezultă că X =<br />
⎜<br />
⎜<br />
3<br />
⎜<br />
⎝0 1⎞ 5<br />
1<br />
⎟ ⎛− ⎟<br />
⋅ ⎜<br />
3<br />
1⎟ ⎝<br />
⎠<br />
⎛ −7<br />
2 ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
−12<br />
−1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝ 3<br />
3 ⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−1⎟<br />
⎠<br />
⎛2 c) Ecuaţia este de forma AX = B, unde A= ⎜<br />
⎝3 3⎞ ⎛−1 , B<br />
4<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
1⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi se obţine soluţia X = A –1 B.<br />
−1 * * 4<br />
Dar 1<br />
⎛<br />
A = ⋅ A =− A =−<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝−3 −3⎞ ⎛−4 2<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
3 ⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−4 Rezultă că X = ⎜<br />
⎝ 3<br />
3 ⎞ ⎛−1 ⋅<br />
−2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
1⎞ ⎛ 7<br />
=<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝− 5<br />
−4⎞<br />
+ 3<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 2<br />
d) Ecuaţia este de forma A = BX unde A = ⎜<br />
⎝−1 1 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ şi<br />
⎛ 3i B = ⎜<br />
⎝−5 1⎞<br />
2i<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Deoarece det(B) = –1, rezultă că matricea B este inversabilă şi<br />
−1 1 * * ⎛2i B = ⋅ B =− B =−<br />
det( B) ⎜<br />
⎝ 5<br />
−1⎞ ⎛−2i 3i ⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ −5 1 ⎞<br />
−3i<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
−1 ⎛−2i Rezultă că soluţia ecuaţiei este X = B A=<br />
⎜<br />
⎝ −5 1 ⎞⎛ 2<br />
−3i ⎟⎜<br />
⎠⎝−1 1 ⎞ ⎛ −4i−1 =<br />
−1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝− 10+ 3i −2i−1⎞ − 5+ 3i<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
E2. Rezolvare:<br />
⎛3 a) Ecuaţia este de tipul AXB = C, unde A= ⎜<br />
⎝4 2⎞ ⎛4 , B<br />
3<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝5 1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ şi C = I2. Deoarece det(A) = 1,<br />
det(B) = –1, rezultă că există A –1 şi B –1 , iar soluţia ecuaţiei matriceale este X = A –1 CB –1 .<br />
80
−1<br />
* * 3<br />
Dar 1<br />
⎛<br />
A = ⋅ A = A =<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝−4 −2⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎠ şi<br />
−1 1 * * ⎛ 1<br />
B = ⋅ B =− B =−<br />
det( B)<br />
⎜<br />
⎝−5 −1⎞ ⎛−1 4<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 5<br />
1 ⎞<br />
−4<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 3<br />
Rezultă că X = ⎜<br />
⎝−4 −2⎞⎛1 3<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝0 0⎞⎛−1 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ 5<br />
1 ⎞ ⎛ 3<br />
=<br />
−4 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 −2⎞⎛−1 3<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝ 5<br />
1 ⎞ ⎛−13 =<br />
−4 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 19<br />
11 ⎞<br />
−16<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−1 b) Ecuaţia este de forma A · Y · B = C, unde A= ⎜<br />
⎝ 3<br />
2⎞ ⎛2 ,<br />
1<br />
⎟ B= ⎜<br />
⎠ ⎝0 −1⎞<br />
⎛2 , C =<br />
3<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝8 8 ⎞<br />
−10<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Deoarece det(A) = –7 şi det(B) = 6 rezultă că există A –1 şi B –1 , iar soluţia ecuaţiei matriceale<br />
este de forma: Y = A –1 CB –1 .<br />
−1 * 1<br />
Dar 1 1 ⎛<br />
A = ⋅ A =− ⋅<br />
det( A)<br />
7 ⎜<br />
⎝−3 −2⎞ 1⎛−1<br />
=<br />
−1<br />
⎟ 7 ⎜<br />
⎠ ⎝ 3<br />
2⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1 1 * 1 * 1⎛3<br />
B = ⋅ B = B =<br />
det( B)<br />
6 6⎜ ⎝0 1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Se obţine<br />
1 1⎛−1 Y = ⋅<br />
7 6⎜ ⎝ 3<br />
2⎞ ⎛2 1<br />
⎟⋅⎜ ⎠ ⎝8 8 ⎞ ⎛3 ⋅<br />
−10<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 1⎞ 1 ⎛14 2<br />
⎟= 42⎜ ⎠ ⎝14 −28⎞⎛3 14<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝0 1⎞ 1 ⎛42 =<br />
2<br />
⎟ 42⎜<br />
⎠ ⎝42 −42⎞ ⎛1 =<br />
42<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝1 −1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
c) Ecuaţia se scrie succesiv sub forme echivalente astfel:<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝2 0⎞ ⎛−2 1<br />
⎟⋅X ⋅⎜ ⎠ ⎝ 2<br />
1⎞ ⎛5 0<br />
⎟− ⎜<br />
⎠ ⎝1 4⎞ ⎛−2 2<br />
⎟= ⎜<br />
⎠ ⎝ 6<br />
2⎞ ⎛3 0<br />
⎟−⎜ ⎠ ⎝0 0⎞ ⎛1 ⇔<br />
3<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝2 0⎞ ⎛−2 X<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
1⎞ ⎛0 =<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝7 6 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛1 Ecuaţia s-a adus la forma AXB = C unde A= ⎜<br />
⎝2 0⎞ ⎛−2 ,<br />
1<br />
⎟ B= ⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
1⎞ ⎛0 , C =<br />
0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝7 6 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Deoarece det(A) = 1, det(B) = –2, rezultă că A şi B sunt inversabile şi soluţia ecuaţiei<br />
matriceale este de forma X = A –1 CB –1 .<br />
−1 * * 1<br />
Dar 1<br />
⎛<br />
A = ⋅ A = A =<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝−2 0⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
1 * 1 ⎛ 0<br />
B = ⋅ B =− ⋅<br />
det( B)<br />
2 ⎜<br />
⎝−2 −1⎞<br />
⎛0 = ⎜<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠ ⎜<br />
⎝1 1 ⎞<br />
2 ⎟.<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 1<br />
Se obţine soluţia X = ⎜<br />
⎝−2 0⎞⎛0 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝7 6 ⎞<br />
⎛0 ⎜<br />
−1 ⎟<br />
⎠⎜ ⎝1 1⎞ ⎛0 2⎟= 1<br />
⎟<br />
⎜<br />
7<br />
⎠<br />
⎝<br />
6 ⎞<br />
⎛0 ⎜<br />
−13 ⎟<br />
⎠⎜<br />
⎝1 1⎞ ⎛ 6<br />
2⎟=<br />
⎜<br />
1<br />
⎟ ⎜−13 ⎠ ⎝<br />
6 ⎞<br />
19<br />
⎟.<br />
− ⎟<br />
2 ⎠<br />
E3. Rezolvare:<br />
a) Ecuaţia este de tipul AX = B.<br />
Deoarece det(A) = 3, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = A –1 B.<br />
⎛−2 3 1 ⎞ ⎛10 7 2 ⎞<br />
10 7 2<br />
t ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ 1<br />
Dar A= ⎜ 3 −4 − 1 ⎟, A = ⎜8 5 1 ⎟şi<br />
A<br />
1<br />
8 5 1<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3<br />
⎝−1 2 −2⎠ ⎝1 1 −1⎠<br />
1 1 1<br />
−<br />
⎛ ⎞<br />
= ⋅<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
.<br />
⎜ − ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Rezultă că<br />
⎛10 7 2 ⎞⎛1 ⎞ ⎛6⎞ ⎛2⎞ X =<br />
1<br />
⋅<br />
⎜<br />
8 5 1<br />
⎟⎜<br />
0<br />
⎟ 1⎜<br />
6<br />
⎟ ⎜<br />
2<br />
⎟<br />
3 ⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
=<br />
3⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
.<br />
⎜ 1 1 −1⎟⎜−2⎟ ⎜3⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
b) Ecuaţia este de forma X · A = B.<br />
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = BA –1 .<br />
81
⎛ 1<br />
t<br />
Dar A= ⎜<br />
⎜<br />
−1 ⎜<br />
⎝ 2<br />
1<br />
0<br />
−1 1 ⎞ ⎛−1 *<br />
− 1<br />
⎟<br />
, A<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−2 1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−1 −1<br />
−1<br />
0<br />
1⎞<br />
1<br />
3<br />
⎟ 1<br />
⎟<br />
şi A 2<br />
1⎟<br />
⎠ 1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
3<br />
1<br />
−<br />
⎛<br />
=<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− ⎞<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
− ⎟<br />
⎠<br />
⎛1 Rezultă că X = ⎜<br />
⎝0 −2 −1 ⎛1 1⎞ ⎜<br />
2<br />
3<br />
⎟⋅ ⎠<br />
⎜<br />
⎝1 1<br />
1<br />
0<br />
−1⎞<br />
⎛−2 − 3<br />
⎟<br />
⎟<br />
= ⎜<br />
⎝ 1<br />
−1⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
−1<br />
4⎞<br />
0<br />
⎟.<br />
⎠<br />
c) Ecuaţia matriceală este de tipul AXB = C.<br />
Avem: det(A) = –1 şi det(B) = 1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, deci soluţia<br />
ecuaţiei matriceale se poate scrie sub forma X = A –1 CB –1 . Să calculăm A –1 şi B –1 .<br />
⎛2 t<br />
• Avem A= ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝3 1<br />
− 1<br />
0<br />
−1⎞ ⎛−1 *<br />
2<br />
⎟<br />
, A<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−1<br />
1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
4<br />
5<br />
−6 3 ⎞ 1<br />
3<br />
⎟ 1<br />
⎟<br />
şi A 1<br />
−4⎟<br />
⎠ 1<br />
4<br />
5<br />
6<br />
3<br />
3<br />
4<br />
−<br />
⎛<br />
=<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝− −<br />
−<br />
− ⎞<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 1<br />
t<br />
• B= ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝−3 0<br />
1<br />
2<br />
0⎞ ⎛1 *<br />
0<br />
⎟<br />
, B<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 −2<br />
1<br />
0<br />
7 ⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎟<br />
şi B<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
–1 = B * .<br />
⎛ 1<br />
−1 −1<br />
Rezultă că X = A CB =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝−1 −4 −5 6<br />
−3⎞⎛0 −3 ⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
4 ⎟⎜<br />
⎠⎝0 −1 1<br />
0<br />
−1⎞⎛1 1<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
1 ⎟⎜<br />
⎠⎝0 −2 1<br />
0<br />
7 ⎞ ⎛0 − 2<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 −5 −6 7<br />
−8⎞⎛1 −9 ⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
0<br />
11⎟⎜ ⎠⎝0 −2<br />
1<br />
0<br />
7 ⎞<br />
− 2<br />
⎟<br />
⎟<br />
=<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
⎛0 =<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 −5<br />
−6<br />
7<br />
2 ⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−3⎟<br />
⎠<br />
E4. Rezolvare:<br />
a) Să calculăm det(A) şi det(B). Avem:<br />
det(A) = 2 şi det(B) = –1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, caz în care soluţia<br />
ecuaţiei matriceale se scrie sub forma X = A –1 CB –1 . Să determinăm A –1 şi B –1 .<br />
⎛ 1<br />
t<br />
Avem: A= ⎜<br />
⎜<br />
− 1<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0⎞ ⎛ 1<br />
*<br />
0<br />
⎟<br />
, A<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−1<br />
1⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
−2⎞<br />
0<br />
⎟ − 1 *<br />
⎟<br />
şi A =<br />
1<br />
⋅ A .<br />
2 ⎟<br />
2<br />
⎠<br />
t ⎛2 B= ⎜<br />
⎝3 3⎞ * ⎛ 4<br />
, B<br />
4<br />
⎟ = ⎜<br />
⎠ ⎝−3 −3⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ şi<br />
−1<br />
* ⎛−4 B =− B = ⎜<br />
⎝ 3<br />
3 ⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛ 1<br />
Rezultă că X =<br />
1⎜ 1<br />
2⎜ −<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
−2⎞ ⎛2 0<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
1<br />
2 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 1⎞ 4<br />
0<br />
⎟ ⎛− ⎟<br />
⋅ ⎜<br />
3<br />
1⎟ ⎝<br />
⎠<br />
⎛ 3<br />
3 ⎞<br />
=<br />
1⎜ −1 −2 ⎟<br />
⎠ 2 ⎜<br />
⎝ 0<br />
−1⎞ ⎛−4 −1 ⎟<br />
⎟<br />
⋅ ⎜<br />
3<br />
2 ⎟ ⎝<br />
⎠<br />
⎛−15 3 ⎞<br />
=<br />
1⎜<br />
1<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠ 2 ⎜<br />
⎝ 6<br />
11⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−4⎟<br />
⎠<br />
b) Deoarece A şi B sunt matrice inversabile, soluţia ecuaţiei matriceale BXA = t C este<br />
X = B –1 · t C · A –1 , adică<br />
⎛ 1 1 −2⎞ ⎛ 1 1 −2⎞<br />
⎛−4 3 ⎞ ⎛2 1 0⎞ 1 ⎛−5 −4 3 ⎞ 1 1 ⎛−1 −9<br />
16 ⎞<br />
X =<br />
⎜<br />
1 1 0<br />
⎟ ⎜<br />
1 1 0<br />
⎟<br />
⎜<br />
3 2<br />
⎟⋅⎜ 1 0 1<br />
⎟⋅ 2⎜ −<br />
⎟<br />
= ⎜<br />
4 3 2<br />
⎟⋅ 2⎜ −<br />
⎟<br />
= ⋅<br />
2 ⎜<br />
1 7 12<br />
⎟.<br />
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ − −<br />
0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠<br />
0 0 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
82
3.4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare<br />
Exersare<br />
E1. Rezolvare:<br />
Matricele asociate sistemului de ecuaţii sunt:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
⎛3 5 ⎞ ⎛7⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ; B= ; X =<br />
8 −1<br />
⎟ ⎜<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛1 −2⎞ ⎛ 3⎞<br />
⎛x⎞ A= ⎜<br />
2 4<br />
⎟<br />
; B<br />
⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
; X = ⎜<br />
y<br />
⎟.<br />
⎜ ⎝ ⎠<br />
5 −6⎟ ⎜−8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛1 −2 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜<br />
4 1 3<br />
⎟<br />
; B<br />
⎜<br />
0<br />
⎟<br />
; X<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
.<br />
⎜9 −2 −1⎟<br />
⎜4⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛a⎞ ⎛1 1 −1⎞ ⎛6 ⎞<br />
A= ; B ; X<br />
⎜<br />
b<br />
⎟<br />
⎜<br />
3 2 1<br />
⎟ = ⎜ =<br />
11<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎜c⎟ ⎝ ⎠<br />
⎧4x+<br />
y− z = 1<br />
⎪<br />
e) Sistemul se aduce la forma cea mai simplă: ⎨(1<br />
−ix ) − y+ 3z=−2 ⎪<br />
⎩(<br />
i−2) x− iy+ z =−2<br />
⎛ 4<br />
Matricele asociate sunt: A= ⎜<br />
⎜<br />
1−i ⎜<br />
⎝i−2 1<br />
− 1<br />
−i −1⎞ ⎛1⎞ ⎛x⎞ 3<br />
⎟<br />
; B= ⎜<br />
− 2<br />
⎟<br />
; X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
1 ⎟ ⎜−2⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎧3x−4y−<br />
3z =−11<br />
⎪<br />
f) Forma simplă a sistemului este: ⎨−<br />
3x+ 2y+ 3z =−2<br />
⎪<br />
⎩x−<br />
y− 2z = 0<br />
⎛ 3<br />
Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜<br />
⎜<br />
− 3<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
−4 2<br />
−1 −3⎞ ⎛−11⎞ ⎛x⎞ 3<br />
⎟<br />
; B= ⎜<br />
− 2<br />
⎟<br />
; X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
−2⎟<br />
⎜ 0 ⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
E2. Rezolvare:<br />
a) • Verificăm dacă perechea (–3, –2) este soluţie a sistemului înlocuind x = –3, y = –2.<br />
⎧−6−<br />
2 =−8<br />
(adevărat)<br />
Obţinem: ⎨<br />
⎩9<br />
+ 8 = 10 (fals)<br />
Rezultă că (–3, –2) nu e soluţie a sistemului de ecuaţii.<br />
• Verificăm dacă perechea (–2, –4) este soluţie, înlocuind x = –2, y = –4.<br />
⎧−4−<br />
4 =−8<br />
(adevărat)<br />
Obţinem: ⎨<br />
⎩−<br />
6 + 16 = 10 (adevărat)<br />
Rezultă că perechea (–2, –4) este soluţie a sistemului de ecuaţii.<br />
83
• Verificăm dacă perechea (–6, 2) este soluţie.<br />
⎧− 12+ 2=−8 (fals)<br />
Obţinem: ⎨ .<br />
⎩−18−<br />
8= 10 (fals)<br />
Rezultă că (–6, 2) nu este soluţie.<br />
• Verificăm dacă perechea (i, 1) este soluţie.<br />
Obţinem: 2i + 1 = –8 (fals).<br />
Rezultă că (i, 1) nu este soluţie.<br />
b) Se verifică pe rând fiecare pereche dacă este soluţie înlocuind pe x cu primul număr şi pe y<br />
cu al doilea număr al perechii.<br />
Pentru acest sistem verifică perechea (–6, 2).<br />
c) Soluţia este perechea (i, 1).<br />
d) Soluţia este perechea (i, 1).<br />
E3. Rezolvare:<br />
a) Se înlocuie x = 1 şi y = –2 şi se obţine succesiv<br />
⎧a+ 3+ 6= 8 ⎧a=− 1 ⎧a=−1<br />
⎨ ⇔⎨ ⇔⎨<br />
⎩4 − (2b+ 3) ⋅( − 2) = 18 ⎩4b+ 10= 18 ⎩b=<br />
2<br />
b) Se înlocuie x=− 7<br />
, y =− 5 şi obţinem succesiv:<br />
4<br />
⎧ 7 7<br />
⎪( a + 3) ( − ) + 15= 8 ( 3) 7 3 4 1<br />
4<br />
⎪<br />
⎧−<br />
a + =− ⎧a+ = ⎧a=<br />
⎨ ⇔ ⎨ 4 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨<br />
⎪− 7+ 5(2b+ 3) = 18 ⎪ 5(2b + 3) = 25 ⎩2b+ 3= 5 ⎩b=<br />
1<br />
⎩<br />
⎩<br />
E4. Rezolvare:<br />
a) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este:<br />
⎛3 −4⎞<br />
⎛7⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A= ⎜ ; B= , X =<br />
2 −3<br />
⎟ ⎜<br />
5<br />
⎟ ⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Deoarece det(A) = –1 @ 0, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este:<br />
X = A –1 B.<br />
−1 * * 3 4 3 4<br />
Dar<br />
1<br />
⎛− ⎞ ⎛ − ⎞<br />
A = ⋅ A =− A =−<br />
det( A)<br />
⎜ =<br />
−2 3<br />
⎟ ⎜<br />
2 −3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
⎛3 −4⎞⎛7⎞<br />
⎛1 ⎞<br />
Se obţine soluţia X = ⎜ =<br />
2 −3 ⎟⎜<br />
5<br />
⎟ ⎜<br />
−1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Aşadar, soluţia sistemului este perechea de numere reale (1, –1).<br />
b) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este: AX = B, unde<br />
⎛2 −3⎞<br />
⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ , B= , X =<br />
5 −7<br />
⎟ ⎜<br />
3<br />
⎟ ⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Deoarece det(A) = 1, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este X = A –1 B.<br />
−1<br />
* * 7 3<br />
Dar<br />
1<br />
⎛−⎞ A = ⋅ A = A =<br />
det( A)<br />
⎜<br />
−5<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
84
⎛−7 3⎞⎛1⎞ ⎛2⎞ Rezultă că X = ⎜ =<br />
−5<br />
2<br />
⎟⎜<br />
3<br />
⎟ ⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (2, 1).<br />
⎧x−<br />
y = 5<br />
c) Forma generală a sistemului de ecuaţii este: ⎨ ,<br />
⎩6x−<br />
5y = 2<br />
iar forma matriceală este:<br />
⎛1 −1⎞<br />
⎛5⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A= ⎜ , B= , X =<br />
6 −5<br />
⎟ ⎜<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Deoarece det(A) = 1, rezultă că A este matrice inversaiblă, iar soluţia ecuaţiei matriceale este:<br />
X = A –1 −1<br />
* ⎛−5 1⎞<br />
B, unde A = A = ⎜<br />
−6<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
⎛−5 1⎞⎛5⎞ ⎛−23⎞ Se obţine X = ⎜ =<br />
−6 1<br />
⎟⎜<br />
2<br />
⎟ ⎜<br />
−28<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (–23, –28).<br />
d) Forma matriceală a sistemului este ecuaţia matriceală AX = B unde:<br />
⎛ 2<br />
A= ⎜<br />
⎜<br />
4<br />
⎜<br />
⎝−3 1<br />
1<br />
1<br />
−3⎞ ⎛−6⎞ ⎛x⎞ 1<br />
⎟<br />
, B= ⎜<br />
10<br />
⎟<br />
, X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
2 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 1<br />
−1<br />
*<br />
Avem că det(A) = –30, deci există A =<br />
1<br />
A =−<br />
1 ⎜<br />
11<br />
det( A)<br />
30 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 7<br />
Soluţia ecuaţiei matriceale este:<br />
−5<br />
−5 −5 4 ⎞<br />
−14<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
−2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ 1<br />
−1<br />
X = A ⋅ B=−<br />
1 ⎜<br />
11<br />
30 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 7<br />
−5 −5 −5 4 ⎞⎛−6 ⎞ ⎛−60⎞ ⎛ 2⎞<br />
− 14<br />
⎟⎜<br />
10<br />
⎟ 1 ⎜<br />
30<br />
⎟ ⎜<br />
1<br />
⎟<br />
⎟⎜ ⎟<br />
=− = −<br />
30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
−2 ⎟⎜−1 ⎟ ⎜−90⎟ ⎜ 3⎟<br />
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere reale (2, –1, 3).<br />
e) Forma generală a sistemului de ecuaţii este:<br />
iar forma matriceală este AX = B, unde<br />
⎧6x−<br />
3y+ 5z = 3<br />
⎪<br />
⎨4x+<br />
6y− 5z = 3 ,<br />
⎪<br />
⎩2x−<br />
3y+ 10z = 2<br />
⎛6 A= ⎜<br />
⎜<br />
4<br />
⎜<br />
⎝2 −3<br />
6<br />
−3<br />
5 ⎞ ⎛3⎞ ⎛x⎞ − 5<br />
⎟<br />
, B= ⎜<br />
3<br />
⎟<br />
, X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
10⎟ ⎜2⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 45<br />
−1<br />
*<br />
Avem că det(A) = 300 @ 0, deci există A =<br />
1<br />
⋅ A =<br />
1<br />
⋅<br />
⎜<br />
50<br />
det A 300 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝−24 85<br />
15<br />
50<br />
12<br />
−15⎞<br />
50<br />
⎟<br />
⎟<br />
,<br />
48 ⎟<br />
⎠
iar soluţia ecuaţiei matriceale este:<br />
⎛1⎞ ⎛ 45 15 −15⎞<br />
⎛3⎞ ⎛150⎞ ⎜2⎟ 1 1<br />
50 50 50 3<br />
1 ⎜ −<br />
X A B<br />
100<br />
1⎟<br />
= ⋅ =<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
300 ⎜<br />
−<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
300 ⎜ ⎟<br />
=⎜<br />
3<br />
⎟.<br />
⎜ 24 12 48 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 60⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜<br />
1 ⎟<br />
⎝5⎠ Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul<br />
1 ( ,<br />
1<br />
,<br />
1<br />
2 3 5 ) .<br />
f) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este:<br />
⎛1 AX = B unde A= ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝1 1<br />
5<br />
3<br />
1 ⎞ ⎛a⎞ ⎛x⎞ − 3<br />
⎟<br />
, B= ⎜<br />
b<br />
⎟<br />
, X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
−2⎟<br />
⎜c⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛−1 −1<br />
* *<br />
Avem că det(A) = 1, deci există A =<br />
1<br />
⋅ A = A =<br />
⎜<br />
1<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
5<br />
−3<br />
−2<br />
−8⎞<br />
5<br />
⎟<br />
⎟<br />
, iar soluţia ecuaţiei<br />
3 ⎟<br />
⎠<br />
⎛−1 −1<br />
⎜<br />
matriceale este X = A B= ⎜ 1<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
5<br />
−3 −2 − 8⎞⎛a⎞ ⎛a+ 5b−8c⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
5 ⎟⎜ ⋅ b⎟= ⎜a− 3b+ 5c⎟.<br />
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
3 ⎠⎝c⎠ ⎝a− 2b+ 3c⎠<br />
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere<br />
(– a + 5b – 8c, a – 3b + 5c, a – 2b + 3c).<br />
E5. Rezolvare:<br />
Un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute este de tip Cramer dacă determinantul matricei<br />
sistemului este nenul.<br />
⎛1 a) Matricea sistemului este A = ⎜<br />
⎝3 −8⎞<br />
⎟ cu det(A) = 33 @ 0.<br />
9 ⎠<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia unică:<br />
dx dy<br />
5<br />
x= , y = , unde dx =<br />
det( A) det( A )<br />
11<br />
133 4<br />
Rezultă că: x= , y =− .<br />
33 33<br />
−8<br />
1<br />
= 133 şi dy =<br />
9<br />
3<br />
5<br />
=−4.<br />
11<br />
b) Matricele asociate sistemului sunt:<br />
⎛−1 −5⎞<br />
⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟,<br />
X = ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 15⎠ ⎝4⎠ ⎝y ⎠<br />
.<br />
Avem că det(A) = 0.<br />
Rezultă că sistemul nu este de tip Cramer.<br />
86
⎛3 ⎜<br />
c) Avem că A =<br />
⎜<br />
5<br />
⎜<br />
⎝1 −4<br />
1<br />
−6<br />
2⎞<br />
⎛ 3⎞<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3<br />
⎟<br />
, cu det(A) = 3 @ 0 şi B =<br />
⎜<br />
6<br />
⎟<br />
.<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠<br />
−4⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia:<br />
dx d y dz<br />
x= , y = , z = , unde:<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
3 −4 2 3 3 2 3 −4<br />
3<br />
dx= 6 1 3 = 65; dy= 5 6 3 =− 4, dz=<br />
5 1 6 =−101.<br />
−4 −6 1 1 −4 1 1 −6 −4<br />
Rezultă că<br />
65 4 101<br />
x= , y =− , z =− .<br />
3 3 3<br />
⎛1 ⎜<br />
d) Matricea sistemului de ecuaţii este A =<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝1 de tip Cramer.<br />
−2<br />
−1 1<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
⎟<br />
cu det(A) = 6 @ 0, deci sistemul este<br />
−1⎟<br />
⎠<br />
10 −2 2 1 10 2 1 −2<br />
10<br />
dx = 2 −1 − 1 = 36, dy = 2 2 − 1 = 24, d z = 2 − 1 2 = 36.<br />
4 1 −1 1 4 −1<br />
1 1 4<br />
Rezultă că soluţia sistemului este:<br />
d d<br />
x y<br />
dz<br />
x= = 6; y = = 4, z = = 6.<br />
det( A) det( A) det( A)<br />
E6. Rezolvare:<br />
⎧x+<br />
2y = 4<br />
a) ⎨<br />
⎩2x+<br />
5y = 9<br />
⎛1 Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜<br />
⎝2 2⎞ ⎛4⎞ ⎛x⎞ ⎟, B= ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟<br />
5⎠ ⎝9⎠ ⎝y ⎠<br />
.<br />
4<br />
Avem că det(A) = 1, dx =<br />
9<br />
2 1<br />
= 2; d y =<br />
5 2<br />
4<br />
= 1.<br />
9<br />
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este dată de formulele lui Cramer:<br />
dx dy<br />
x= = 2, y = = 1.<br />
det( A) det( A)<br />
⎧−<br />
2x+ 5y =−1<br />
b) ⎨<br />
⎩3x−<br />
7y = 2<br />
⎛−2 Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜<br />
⎝ 3<br />
5 ⎞<br />
⎟ cu det(A) = –1.<br />
−7⎠<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x<br />
y<br />
x= , y = , unde d x<br />
det( A) det( A )<br />
−1<br />
=<br />
2<br />
5<br />
=−3,<br />
d y<br />
−7<br />
−2 =<br />
3<br />
−1<br />
=−1.<br />
2<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este x = 3, y = 1.<br />
87
⎧ 4x+ 3y= 17<br />
c) ⎨ .<br />
⎩6x+<br />
5y=−3 ⎛4 3⎞<br />
Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜ ⎟ cu det(A) = 2. Rezultă că sistemul este de tip<br />
⎝6 5⎠<br />
Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x<br />
y<br />
x= , y =<br />
det( A) det( A )<br />
,<br />
unde:<br />
17 3 4 17<br />
dx = = 94, d y = =−114<br />
.<br />
−3 5 6 −3<br />
Se obţine soluţia sistemului de ecuaţii: x = 47, y = –57.<br />
⎧x+<br />
y+ z = 2<br />
⎪<br />
d) ⎨2x+<br />
3y− z = 5<br />
⎪<br />
⎩3x+<br />
y+ 3z = 4<br />
⎛1 ⎜<br />
Matricea sistemului este A =<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝3 1<br />
3<br />
1<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
⎟<br />
cu det(A) = –6.<br />
3 ⎟<br />
⎠<br />
Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află folosind formulele lui<br />
Cramer:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z =<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
,<br />
unde<br />
2 1 1 1 2 1 1 1 2<br />
dx = 5 3 − 1 =− 6; dy = 2 5 − 1 =− 6; d y = 2 3 5 = 0.<br />
4 1 3 3 4 3 3 1 4<br />
Rezultă că soluţia sistemului este: x = y = 1, z = 0.<br />
⎧x+<br />
2y− 4z =−2<br />
⎪<br />
e) ⎨−<br />
3x+ 4y+ z = 13<br />
⎪<br />
⎩2x−<br />
y+ 3z = 9<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
Matricea sistemului este: A =<br />
⎜<br />
−3<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
2<br />
4<br />
−1<br />
−4⎞<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
cu det(A) = 55.<br />
3 ⎟<br />
⎠<br />
Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z = , unde<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
−2 2 −4 1 −2 −4<br />
1 2 −2<br />
dx = 13 4 1 = 110; d y = − 3 13 1 = 220,<br />
d z =− 3 4 13 = 167.<br />
9 −1<br />
3 2 9 3<br />
2 −1<br />
9<br />
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 2, y = 4, z = 3.<br />
88
⎧−<br />
2x+ y+ 3z =−1<br />
⎪<br />
f) Sistemul de ecuaţii are următoarea formă generală: ⎨x+<br />
3y+ 2z = 4 .<br />
⎪<br />
⎩x−<br />
3y+ 2z = 10<br />
⎛−2 1 3⎞<br />
⎜ ⎟<br />
Matricea sistemului de ecuaţii este A =<br />
⎜<br />
1 3 2<br />
⎟<br />
cu det(A) = –42.<br />
⎜ 1 −3<br />
2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z = , unde:<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
−1 1 3 −2 −1 3 −2 1 −1<br />
dx = 4 3 2 =− 126; dy = 1 4 2 = 42, d z = 1 3 4 =−84<br />
.<br />
10 −32110 2 1 −310<br />
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 3, y = –1, z = 2.<br />
E7. Rezolvare:<br />
−3<br />
2 1<br />
a) Calculăm det( A ) = 4 − 1 2 = 9 + 8 −20 −5− 24 + 12 =−20.<br />
−5<br />
2 3<br />
⎛ −7 −1<br />
1 * 1 ⎜<br />
Rezultă că A este matrice inversabilă şi A = ⋅ A =− ⋅ −22 det( A)<br />
20 ⎜<br />
⎝ 3<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este X = A<br />
−4<br />
−4<br />
−4 5 ⎞<br />
⎟<br />
10<br />
⎟<br />
.<br />
−5⎟<br />
⎠<br />
–1 B, adică:<br />
⎛ −7 1 ⎜<br />
X =− 22<br />
20 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 3<br />
−5 −4 −4 5 ⎞ ⎛4⎞ ⎛−20⎞ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
10<br />
⎟<br />
⋅<br />
⎜<br />
8<br />
⎟<br />
=− − 40 = 2<br />
20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
−5⎟ ⎜8⎟ ⎜−60⎟ ⎜3⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
b) Sistemul de ecuaţii este:<br />
c) Matricea sistemului este<br />
Avem că det(A) = –20.<br />
⎧− 3x+ 2y+ z=<br />
4<br />
⎪<br />
⎨4x− y+ 2z= 8 .<br />
⎪<br />
⎩−<br />
5x+ 2y+ 3z= 8<br />
⎛−1 2 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A=<br />
⎜ 4 −1<br />
2⎟.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−5 2 3⎠<br />
d d<br />
x y dz<br />
Formulele Cramer sunt: x= , y = , z =<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
,<br />
unde<br />
4 2 1 −3 4 1 −3<br />
2 4<br />
dx = 8 − 1 2 =− 20, dy = 4 8 2 =− 40, d z = 4 − 1 8 =−60.<br />
8 2 3 −5 8 3 −5<br />
2 8<br />
Se obţinem soluţia: x = 1; y = 2, z = 3.<br />
89
E8. Rezolvare:<br />
⎧⎪ x+ y=<br />
4 ⋅− ( 2)<br />
a) ⎨<br />
.<br />
⎪ ⎩2x+<br />
3y= 9<br />
Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi adunând-o la a<br />
doua.<br />
Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧x+ y = 4 ⎧x= 4− y ⎧x=<br />
3<br />
⎨ ~ ⎨ ~ ⎨ .<br />
⎩ y = 1 ⎩y = 1 ⎩y<br />
= 1<br />
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (3, 1).<br />
⎧2x+<br />
y = 3<br />
b) ⎨<br />
⎩x+<br />
2y = 0<br />
⎧⎪ x+ 2y= 0 ⋅− ( 2)<br />
Permutăm cele două ecuaţii şi observăm sistemul: ⎨<br />
⎪ ⎩2x+<br />
y=<br />
3<br />
Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi aduând-o la<br />
cealaltă.<br />
⎧ x+ 2y= 0<br />
Se obţine: ⎨ .<br />
⎩ − 3y= 3<br />
Rezultă că y = –1 şi x = 2. Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (2, – 1).<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
1 ⋅− ( 1)<br />
⎪<br />
c) ⎨ x+ 2y+ 2z=−1 .<br />
⎪<br />
⎩x−<br />
y+ 2z= 2<br />
Eliminăm x din ecuaţia a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată.<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
1<br />
⎪<br />
Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨ y+ 2z=−2 ⋅2<br />
⎪<br />
⎩−<br />
2y+ z=<br />
1<br />
Eliminăm y din ecuaţia a treia înmulţind ecuaţia a doua cu 2 şi adunând-o la ultima ecuaţie.<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
1<br />
⎪<br />
Se obţine: ⎨ y+ z=−2<br />
⎪<br />
⎩ 3z=−3 Pornind de la ultima ecuaţie a sistemului spre prima ecuaţie se obţine: z = –1, y = –1, x = 3.<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (3, –1, –1).<br />
d) Permutăm ecuaţia întâi cu a patra şi se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
6 ⋅− ( 4); ⋅− ( 6); ⋅− ( 2)<br />
⎪<br />
⎪4x− 6y− 3z= 0<br />
⎨ (1)<br />
⎪6x+<br />
10y− 10z= 8<br />
⎪<br />
⎩2x+<br />
5y+ 3z= 17<br />
Eliminăm necunoscuta x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie, păstrând prima ecuaţie neschimbată.<br />
Pentru aceasta înmulţim succesiv prima ecuaţie cu –4, –6, –2 şi o adunăm la a doua, a treia,<br />
respectiv a patra ecuaţie a sistemului (1).<br />
90
⎧ x+ y+ z=<br />
6<br />
⎪ −10y− 7z=−24 Se obţine sistemul echivalent: ⎨<br />
.<br />
⎪ 4y− 16z=−28 :4<br />
⎪<br />
⎩ 3y+ z=<br />
5<br />
Împărţim ecuaţia a treia cu 4 şi o permutăm cu a doua ecuaţie după care procedăm la<br />
eliminarea necunoscutei y din ultimele două ecuaţii raportându-se la a doua ecuaţie a<br />
sistemului. Se obţin sistemele echivalente:<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
6<br />
⎪ y− 4z=−7 ⋅10; ⋅− ( 3)<br />
⎨<br />
⎪ −10y− 7z=−24 ⎪<br />
⎩ 3y+ z=<br />
5<br />
⎧ x+ y+ z=<br />
6<br />
⎪ y− 4z=−7 ⎨<br />
.<br />
⎪ − 47z =−94<br />
⎪<br />
⎩ 13z = 26<br />
Din ultimele două ecuaţii se obţine z = 2, apoi se obţine y = 1 şi x = 3.<br />
Aşadar soluţia sistemului este tripletul (3, 1, 2).<br />
e) Eliminăm necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra înmulţind prima ecuaţie cu<br />
(–2), (–2) şi (–1) şi adunând-o respectiv la a doua, a treia şi a patra ecuaţie.<br />
Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧ x+ y− 3z=−1 ⎪ − y+ 4z= 3<br />
⎨<br />
.<br />
⎪ y+ 4z= 6<br />
⎪<br />
⎩ y = 0<br />
Înlocuind y = 0 în ecuaţia a doua şi a treia se obţin două ecuaţii contradictorii: 4z = 3 şi 4z = 6.<br />
Rezultă că sistemul este incompatibil.<br />
f) • Eliminăm x din ecuaţia a doua, a treia şi a patra. Se obţine sistemul echivalent.<br />
⎧ x+ y+ 2z= 4<br />
⎪ −y− 3z=−2 ⎨<br />
⎪ y− 3z=−2 ⎪<br />
⎩ y− 3z=−2 • Eliminăm y din ecuaţia a treia şi a patra, raportându-ne la ecuaţia a doua. Se obţine:<br />
⎧ x+ y+ 2z= 4<br />
⎪ −y− 3z=−2 ⎨<br />
⎪ 0⋅ z = 0<br />
⎪<br />
⎩ 0⋅ z = 0<br />
Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex. Notăm z =α, α∈ şi se obţine:<br />
y = 3α− 2 şi x =−5α+ 6<br />
Aşadar sistemul este simplu nedeterminat şi mulţimea soluţiilor este:<br />
S = ( −5α+ 6, 3α−2, α) α∈<br />
{ }<br />
91
g) Permutăm prima şi a doua ecuaţie între ele. Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧ x+ 2y− 3z= 0 ⋅− ( 2); ( −2); ⋅− ( 4)<br />
⎪<br />
⎪2x− 3y+ z=−1<br />
⎨<br />
⎪2x−<br />
10y+ 8z=−1 ⎪<br />
⎩4x−<br />
15y+ 9z= 0<br />
Eliminăm x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧ x+ 2y− 2z= 0<br />
⎧ x+ 2y− 3z= 0 ⎪<br />
1<br />
⎪ ⎪ − y+ z=−<br />
⎪− 7y+ 7z=−1 ⎪<br />
7<br />
⎨ ~ ⎨<br />
.<br />
⎪ − 14y+ 14z=−1⎪ 1<br />
⎪<br />
− y+ z=−<br />
⎩ − 23y+ 21z= 0 ⎪<br />
14<br />
⎪<br />
⎩ 23y− 21z= 0<br />
Se observă că a doua şi a treia ecuaţie sunt contradictorii.<br />
Rezultă că sistemul este incompatibil.<br />
h) Sistemul se scrie sub forme echivalente astfel:<br />
⎪⎧x− y− 2z=−3 ⋅− ( 2) ⎧x−y−<br />
2z=−3 ⎨ ~ ⎨<br />
⎪⎩ 2x−3y− z=<br />
1 ⎩ − y+ 3z= 7<br />
Se consideră z necunoscută secundară, notată parametric z=α, a∈<br />
şi se obţine<br />
y= 3α− 7, x=α−<br />
10.<br />
Soluţia sistemului este mulţimea S = { (5α−10, 3α−7, α) α∈ }<br />
i) Sistemul se scrie sub forma echivalentă succesiv:<br />
⎧ a− 2b+ c= 10 ⎧a−<br />
2b+ c=<br />
10<br />
⎨ ~ ⎨<br />
.<br />
⎩3a−2b− c= 7 ⎩ 4b− 4c=−23 4x−23 2α−3 Se ia c =α, α∈ şi se obţine b= , a=<br />
.<br />
4 2<br />
⎧⎛2α−3 4α−23 ⎞ ⎫<br />
Aşadar, mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii este S = ⎨⎜ , , α⎟ α∈<br />
⎬.<br />
⎩⎝ 2 4 ⎠ ⎭<br />
j) Sistemul este echivalent cu:<br />
Rezultă că y = 0, z = 0 şi x = 1.<br />
⎧x+ y+ z= 1 ⎧x+<br />
y+ z=<br />
1<br />
⎪ ⎪<br />
⎨−3y− z= 0~ ⎨ z+ 3y= 0.<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 2y− 2z= 0 ⎩ 8y= 0<br />
Aşadar, sistemul este compatibil determinat cu soluţia tripletul (1, 0, 0).<br />
92
Sinteză<br />
S1. Rezolvare:<br />
a) Sistemul este de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nenul.<br />
Aşadar, avem condiţia:<br />
1 −m<br />
1<br />
det( A) = 1 − 2 1<br />
2<br />
= 4 −m<br />
.<br />
m<br />
2<br />
m −2<br />
Din condiţia 4 – m 2 @ 0 rezultă că m i Z \ {–2, 2}.<br />
d d<br />
x y dz<br />
Soluţia sistemului se calculează cu formulele lui Cramer: x= , y = , z =<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
2m −m<br />
1<br />
unde dx= −1 − 2 1<br />
3 2 2 2<br />
=−2m − m + 8m+ 4 =− m (2m+ 1) + 4(2m+ 1) = (2m+ 1)(4 −m<br />
) .<br />
2<br />
2<br />
m −2<br />
1 2m 1<br />
dy= 1 − 1 1<br />
2<br />
= 2m + 5m+ 2 = (2m+ 1)( m+<br />
2) ,<br />
m 2 −2<br />
1 −m<br />
2m<br />
dz= 1 −2 3 2 2<br />
− 1 = 2m + 6m + 2m− 4 = ( m+ 2)(2m + 2m−2) .<br />
m<br />
2<br />
m 2<br />
Se obţine soluţia sistemului:<br />
2<br />
2m+ 1 2m + 2m−2 x= 2m+ 1, y = , z =<br />
2−m 2−m<br />
b) Punem condiţia: det(A) @ 0, adică:<br />
1 m −1<br />
2 −1 2<br />
− 2 =−2m −3m− 1 =− (2m+ 1)( m+<br />
1) .<br />
m 2 1<br />
⎧ 1 ⎫<br />
Sistemul este de tip Cramer dacă m∈Z \ ⎨− , −1⎬<br />
şi soluţia se calculează cu formulele:<br />
⎩ 2 ⎭<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z = , unde<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
8 m −1 1 8 −1<br />
1 m 8<br />
dx = 6 −1− 2 =− 14m+ 8, dy = 2 6 − 2 =− 10( m+ 1), dz = 2 − 1<br />
2<br />
6 = 6m + 16 .<br />
4 2 1 m 4 1 m 2 4<br />
Se obţine soluţia:<br />
2<br />
14m−810 −6m −16<br />
x= , y= , z=<br />
( m+ 1)(2 m+ 1) 2m+ 1 ( m− 1)(2 m+<br />
1)<br />
.<br />
93<br />
.
S2. Rezolvare:<br />
Sistemul de n ecuaţii cu n necunoscute nu este de tip Cramer dacă determinantul matricei<br />
sistemului este nul: det(A) = 0.<br />
a) Avem:<br />
1 m + 1 1<br />
det( A) = m 1<br />
3 2 2 2<br />
− 1 = m + m −4m− 4 = m ( m+ 1) − 4( m+ 1) = ( m+ 1)( m − 4) =<br />
1 −2 −m<br />
= ( m+ 1)( m− 2)( m + 2) .<br />
Condiţia det(A) = 0 conduce la m i {–2, –1, 2}.<br />
2 3 m + 2<br />
19<br />
b) det A= 0 ⇔ 3 1 m = 0 ⇔5m− 19 = 0 ⇔ m = .<br />
5<br />
3 −1<br />
1<br />
S3. Rezolvare:<br />
a) Forma simplă a sistemului de ecuaţii este:<br />
⎧5x−<br />
6y =−28<br />
⎨<br />
.<br />
⎩ 4x− y =−11<br />
Matricele asociate sistemului sunt:<br />
⎛5 −6⎞ ⎛−28⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ⎟, B= ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟<br />
⎝4 −1⎠ ⎝−11⎠ ⎝y ⎠<br />
.<br />
• Rezolvarea sistemului prin metoda matriceală:<br />
Forma matriceală a sistemului este AX = B. det(A) = 19 @ 0.<br />
− 1 1 *<br />
−1<br />
1 ⎛−1 6⎞<br />
Rezultă că există A = ⋅A<br />
, adică A = ⋅⎜ ⎟ şi soluţia ecuaţiei matriceale este<br />
det A<br />
19 ⎝−4 5⎠<br />
1 ⎛−1 6⎞ ⎛−28⎞ matricea X = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟.<br />
19 ⎝−4 5⎠ ⎝−11⎠ 1 ⎛−38⎞ ⎛−2⎞ Se obţine X = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟.<br />
19 ⎝ 57⎠ ⎝ 3⎠<br />
Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (–2, 3).<br />
• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Cramer.<br />
Avem că det(A) = 19, deci sistemul este de tip Cramer şi soluţia lui se calculează cu<br />
formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x<br />
y<br />
x= , y =<br />
det( A) det( A )<br />
unde<br />
−28 −6 5 −28<br />
dx= =− 38, dy=<br />
= 57.<br />
−11 −1 4 −11<br />
Rezultă că soluţia sistemului este:<br />
x = –2; y = 3.<br />
• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Gauss.<br />
Forma simplă a sistemului este:<br />
⎧ ⎛ 4⎞<br />
⎪5x− 6y=−28 ⋅⎜− ⎟<br />
⎨<br />
⎝ 5⎠<br />
.<br />
⎪<br />
⎩4x−<br />
y=−11<br />
94
Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie, înmulţind prima ecuaţie cu 4<br />
− şi adunând-o la a<br />
5<br />
doua. Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧5x−<br />
6y =−28<br />
⎪<br />
⎨ 19 57 .<br />
⎪ ⋅ y =<br />
⎩ 5 5<br />
Din a doua ecuaţie rezultă y = 3 iar din prima ecuaţie se obţine x = –2.<br />
S4. Rezolvare:<br />
⎛1 ⎜<br />
a) Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜1 ⎜<br />
⎝i Determinantul matricei A este det(A) = i @ 0.<br />
1<br />
i<br />
0<br />
− 2+ i⎞ ⎛− 2+ 2i⎞<br />
⎛x⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−1 − i⎟; B= ⎜ − 1 ⎟; X = ⎜y⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−i ⎠ ⎝−1−i ⎠ ⎝z⎠ Sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z = , unde<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
− 2+ 2i 1 − 2+<br />
i<br />
1 − 2+ 2i − 2+<br />
i<br />
1 1 − 2+ 2i<br />
dx= −1 i −1− i =−1;<br />
dy= 1 −1 −1− i = 0;<br />
dz= 1 i − 1 = i.<br />
−− 1 i 0 −i<br />
i −1−i −i<br />
i 0 −1−i Se obţine soluţia x = i, y = 0, z = 1.<br />
b) Forma simplă a sistemului este:<br />
⎧ 3x− 3y+ 4z= 2 ⎧3x−<br />
3y+ 4z= 2<br />
⎪ ⎪<br />
⎨10x− 4y+ 10z= 6 ~ ⎨5x−<br />
2y+ 5z= 3<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 6x− 6y+ 6z= 0 ⎩ x− y+ z=<br />
0<br />
Matricele asociate sunt:<br />
⎛3 −3<br />
4⎞ ⎛2⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A= ⎜<br />
5 − 2 5<br />
⎟<br />
, B= ⎜<br />
3<br />
⎟<br />
, X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
.<br />
⎜1 −1<br />
1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝z⎠ Avem că det(A) = –3 @ 0. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu<br />
formulele:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y = , z =<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
unde dx = 3, dy = –3, dz = –6.<br />
Se obţine soluţia: x = –1, y = 1, z = 2.<br />
S5. Rezolvare:<br />
a) Formula simplă a sistemului este:<br />
⎧2x+<br />
4y− 3z = 11<br />
⎪<br />
⎪7x−<br />
3y+ 5z = 6<br />
⎨<br />
⎪3x+<br />
y− 8z = 15<br />
⎩<br />
⎪6x− 5y+ 11z =−4<br />
Pentru uşurinţa calculelor vom permuta în cadrul fiecărei ecuaţii termenii cu necunoscutele x<br />
şi y şi totodată vom schimba între ele prima şi a treia ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent:<br />
95
⎧ y+ 3x− 8z= 15 ⋅−4; ⋅3; ⋅5<br />
⎪ 4y+ 2x− 3z= 11<br />
⎨ .<br />
⎪−<br />
3y+ 7x+ 5z= 6<br />
⎪<br />
⎩−<br />
5y+ 6z+ 11z=−4 ⎧ y+ 3x− 8z= 15<br />
⎪<br />
⎪− 10x+ 29z=−49 Eliminăm necunoscuta y din ecuaţiile a II-a, a III-a, a IV-a, obţinând ⎨<br />
.<br />
⎪ 16x− 19z= 51<br />
⎪<br />
⎩ 21x− 29z= 71<br />
Din ecuaţia a doua şi a patra se obţine, după adunarea lor, 11x = 22, deci x = 2.<br />
Pentru x = 2 din ecuaţia a doua se obţine z = –1.<br />
Perechea x = 2, z = –1 verifică şi ecuaţia a treia şi a patra.<br />
Din prima ecuaţie se obţine y = 17.<br />
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (2, 1, –1).<br />
⎧ 2x+ y+ z=<br />
2<br />
⎪ x+ 3y+ z=<br />
5<br />
b) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă: ⎨ .<br />
⎪ x+ y+ 5z=−7 ⎪<br />
⎩2x+<br />
3y− 3z= 14<br />
Schimbăm prima ecuaţie cu a doua şi apoi eliminăm din celelalte ecuaţii necunoscuta x:<br />
⎧ x+ 3y+ z=<br />
5 ( −2); ( −1); ( −2)<br />
⎧ x+ 3y+ z=<br />
5<br />
⎪ ⎪<br />
⎪2x+ y+ z=<br />
2<br />
⎪ −5y− z=−8<br />
⎨ ~ ⎨ ~<br />
⎪ x+ y+ 5z=−7 ⎪ − 2y+ 4z=−12 ⎪<br />
2x 3y 3z 14<br />
⎪<br />
⎩ + − =<br />
⎩ −3y− 5z= 4<br />
⎧ x+ z+ 3y= 5 ⎧ x+ z+ 3y= 5<br />
⎪ ⎪<br />
⎪ z+ 5y= 8 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5) ⎪ z+ 5y= 8<br />
~ ⎨ ~ ⎨ .<br />
⎪ 2z− y=−6<br />
⎪ − 11y =−22<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 5z+ 3y=−4 ⎩ − 22y =−44<br />
Din ultimele două ecuaţii se obţine y = 2, apoi z = –2, x = 1.<br />
Aşadar soluţia sistemului iniţial este tripletul (1, 2, –2).<br />
c) Sistemul se scrie în următoarea formă echivalentă:<br />
⎧ x+ y− 3z=−1 ⋅− ( 2); ( −1); ⋅− ( 1)<br />
⎪ 2x+ y− 2z= 1<br />
⎨<br />
⎪ x+ y+ z=<br />
3<br />
⎪<br />
⎩ x+ 2y− 3z= 1<br />
Se elimină necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra şi se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧x+<br />
y− 3z =−1<br />
⎪ − y+ 4z = 3<br />
⎨<br />
⎪ 4z= 4<br />
⎪<br />
⎩ y+ 0⋅ z = 2<br />
Din ultimele două ecuaţii se obţine că: y = 2, z = 1 soluţii care nu verifică ecuaţia a doua.<br />
Rezultă că sistemul este incompatibil.<br />
96
d) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă:<br />
⎧ 4 ⎛ 11⎞<br />
⎪ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⋅ ; ⋅⎜− ⎟<br />
⎪<br />
3 ⎝ 3 ⎠<br />
⎪<br />
⎨− 4x+ 5y+ 7z= 8<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪⎩ 11x−31y− 47z=−68 Eliminăm x din a doua şi a treia ecuaţie obţinând sistemul echivalent:<br />
⎧ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⎪<br />
⎪ ⎧ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⎪ 23 37 8<br />
⎪<br />
⎨ y+ z= ~ ⎨ 23y+ 37z= 8<br />
⎪ 3 3 3<br />
⎪<br />
⎪ ⎩ 23y+ 37z= 32<br />
115 185 160 ⎛ 3⎞<br />
⎪− y− z=−<br />
⋅⎜− ⎟<br />
⎩ 3 3 3 ⎝ 5⎠<br />
Se observă că ultimele două ecuaţii sunt contradictorii.<br />
Rezultă că sistemul de ecuaţii este incompatibil.<br />
e) Sistemul se scrie sub următoarele forme echivalente:<br />
⎧ ⎛ 5⎞<br />
⎪ 2x+ 7y− 4z= 0 ⋅⎜− ⎟ ; ⋅− ( 6) ⎧2x+<br />
7y− 4z= 0<br />
⎪<br />
⎝ 2⎠<br />
⎪<br />
⎪ ⎪ 39<br />
⎨ 5x−2y− 8z= 0 ~ ⎨−<br />
y+ 2z= 0 ~<br />
⎪ ⎪ 2<br />
⎪12x+ 3y− 20z= 0<br />
⎪− ⎩ 39y+ 4z= 0<br />
⎪⎩<br />
⎧2x+ 7y− 2z= 0 ⎧2x+<br />
7y− 4z= 0<br />
⎪ ⎪<br />
~ ⎨ − 39y+ 2z= 0~ ⎨ − 39y+ 2z= 0<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ − 39y+ 2z= 0 ⎩ 0⋅ z=<br />
0<br />
Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex.<br />
2α 71α<br />
Notăm z ∈α, α∈ şi apoi se obţine că y= ; x=<br />
.<br />
39 39<br />
⎧x− 4 y+ (2m+ 3) z=<br />
0<br />
⎪<br />
f) • Eliminăm necunoscutele x şi obţinem: ⎨ (4 −my ) − (2m+ 4) z=<br />
0<br />
⎪<br />
⎩ 9y− 2(2m+ 3) z=<br />
8<br />
⎧ x− 4 y+ (2m+ 3) z = 0<br />
⎪<br />
m − 4<br />
Rescriem sistemul sub forma: ⎨ 9y− 2(2m+ 3) z = 8 / ⋅<br />
⎪ 9<br />
⎩(4<br />
−my ) − (2m+ 4) z=<br />
0<br />
⎧<br />
⎪x− 4 y+ (2m+ 3) z = 0<br />
⎪<br />
• Eliminăm y din ecuaţia a treia: ⎨ 9y− 2(2m+ 3) z = 8<br />
⎪ 2<br />
⎪<br />
−4m −8m−12 8( m−4)<br />
⋅ z =<br />
⎪⎩ 9 9<br />
2<br />
2(4 − m)<br />
4( m + 2) 2(2m + 3m+ 4)<br />
Se obţine: z =<br />
; y =<br />
; x= , m∈Z<br />
.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
m + 2m+ 3 m + 2m+ 3 m + 2m+ 3<br />
97
S6. Rezolvare:<br />
a) Sistemul este compatibil determinat dacă şi numai dacă determinantul matricei sistemului<br />
este nenul.<br />
2 1 m + 1<br />
Avem: 1 m−1 m ≠0.<br />
5 4 3( m + 1)<br />
Se obţine m 2 – 2m @ 0 ® m i Z \ {0, 2}.<br />
b) Pentru m = 0 se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧ 2x+ y+ z = 0 ⎛2 1 1⎞<br />
⎪<br />
⎜ ⎟<br />
⎨ x− y = 0 şi A =<br />
⎜<br />
1 −1<br />
0<br />
⎟<br />
.<br />
⎪<br />
⎩5x+<br />
4y+ 3z = 3 ⎜5 4 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Se găseşte că det(A) = 0, deci sistemul nu este de tip Cramer.<br />
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss.<br />
Rescriem sistemul sub următoarea formă:<br />
⎧ x− y = 0 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5)<br />
⎪<br />
⎨ 2x+ y+ z=<br />
0<br />
⎪<br />
⎩5x+<br />
4y+ 3z= 3<br />
Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând prima ecuaţie neschimbată.<br />
Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧x− y = 0<br />
⎪<br />
⎨ 3y+ z=<br />
0 ( −3)<br />
⎪<br />
⎩ 9y+ 3z= 3<br />
Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuaţie înmulţind pe a doua cu (–3) şi adunând-o la a<br />
treia:<br />
⎧ x− y = 0<br />
⎪<br />
Avem sistemul: ⎨ 3y+ z=<br />
0<br />
⎪<br />
⎩ 0⋅ z = 3<br />
Se observă că ultima ecuaţie este contradictorie (0 = 3) şi ca urmare sistemul este incompatibil.<br />
• Pentru m = –1 sistemul de ecuaţii devine:<br />
⎧ 2x+ y =−1<br />
⎪<br />
⎨x−2y−<br />
z =−2<br />
⎪<br />
⎩ 5x+ 4y = 3<br />
⎧ z+ 2y− x=<br />
2<br />
⎪<br />
Rescriem sistemul sub următoarea formă: ⎨ y+ 2x=−1 ⋅− ( 4)<br />
⎪<br />
⎩ 4y+ 5x= 3<br />
⎧z+<br />
2y− x=<br />
2<br />
⎪<br />
Eliminăm pe y din ultima ecuaţie raportându-ne la ecuaţia a doua şi obţinem: ⎨ y+ 2x=−1 ⎪<br />
⎩ − 3x= 7<br />
7 11 23<br />
Se obţin soluţiile: x=− , y = , z =− .<br />
3 3 3<br />
98
⎧ 2x+ y+ 3z= 2<br />
⎪<br />
• Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine: ⎨ x+ y+ 2z= 4<br />
⎪<br />
⎩5x+<br />
4y+ 9z= 3<br />
Determinantul matricei sistemului este zero, deci sistemul nu este de tip Cramer.<br />
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss.<br />
Sistemul de ecuaţii se scrie sub următoarea formă echivalentă:<br />
⎧ x+ y+ 2z= 4 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5)<br />
⎪<br />
⎨ 2x+ y+ 3z= 2<br />
⎪<br />
⎩5x+<br />
4y+ 9z= 3<br />
Eliminăm x din ecuaţiile a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată. Se obţine:<br />
⎧x+<br />
y+ 2z = 4<br />
⎪<br />
⎨ − y− z =−6<br />
⎪<br />
⎩ − y− z =−17<br />
Se observă deja că din ultimele două ecuaţii rezultă că 6 = 17, ceea ce este fals.<br />
Aşadar, pentru m = 2 sistemul de ecuaţii este incompatibil.<br />
S7. Rezolvare:<br />
1 1 1<br />
Determinantul matricei sistemului este d = a b c = ( b−a)( c−a)( c−b) (vezi exerciţiul<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
c<br />
rezolvat de la pagina 51 din manual).<br />
Deoarece a @ b @ c rezultă că d @ 0 şi sistemul este de tip Cramer.<br />
Aplicăm formulele lui Cramer şi obţinem:<br />
• = x d<br />
x<br />
d<br />
Rezultă că<br />
• = y d<br />
y<br />
d unde<br />
Se obţine<br />
• = z d<br />
z<br />
d<br />
Se obţine<br />
1 1 1<br />
, unde dx= 2<br />
4<br />
b<br />
2<br />
b<br />
c<br />
2<br />
c<br />
= ( b−2)( c−2)( c−b) (determinant Vandermonde de ordinul 3)<br />
, unde<br />
( b−2)( c−2)<br />
x =<br />
( b−a)( c−a )<br />
.<br />
1 1 1<br />
dy= a 2 c = (2 −a)( c−a)( c−2)<br />
.<br />
2<br />
a 4<br />
2<br />
c<br />
(2 −a)( c−2)<br />
y =<br />
( b−a)( c−b )<br />
.<br />
1 1 1<br />
dz= a b 2 = ( b−a)(2 −a)(2 −b)<br />
.<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b 4<br />
(2 −a)(2 −b)<br />
z =<br />
( c−a)( c−b )<br />
.<br />
99
S8. Rezolvare:<br />
⎛2m−1 ⎜<br />
a) A= ⎜<br />
3<br />
⎜<br />
⎝ m−2 3<br />
2m−1 m−2<br />
−m<br />
⎞<br />
⎟<br />
m−1<br />
⎟<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
; det( A) = 0 ⇔6 m( m− 2) = 0 ⇔ m ∈{0,<br />
2} .<br />
b) Sistemul nu este de tip Cramer dacă det(A) = 0, deci pentru m i {0, 2}.<br />
c) Pentru m i Z \ {0, 2} soluţia sistemului este dată de formulele lui Cramer:<br />
d d<br />
x y dz<br />
xm = , ym = , z =<br />
det( A) det( A) det( A )<br />
unde<br />
1<br />
dx= 3<br />
2<br />
3<br />
2m−1 m − 2<br />
−m<br />
m− 1 = 3(5m−6) 1<br />
2m−1 1 −m<br />
2m−1 3 1<br />
dy= 3 3 m− 1 =− 3( m+<br />
2) , dz= 3 2m− 1 3 = 24( m−2)<br />
.<br />
m − 2 2 1<br />
m−2 m−2<br />
2<br />
Se obţine soluţia:<br />
5m−6 −m−2 4<br />
xm = ; ym = , zm<br />
=<br />
2 mm ( −2) 2 mm ( −2)<br />
m .<br />
2m−4) 5m− 6 m+ 2 4 5m−6−2m− 8m+ 16<br />
d) xm + 2ym − zm<br />
> 1⇔ − −<br />
2 mm ( −2) mm ( −2) m<br />
> 1⇔ 2 mm ( −2)<br />
> 1⇔<br />
2<br />
− 5m+ 6 −2m − m+<br />
6<br />
⇔ − 1> 0⇔<br />
> .<br />
2 mm ( −2) 2 mm ( −2)<br />
Tabelul de semn pentru expresia fracţionară este:<br />
m – –2 0 3<br />
2 +<br />
2<br />
–2m 2 – m + 6 – – – – 0 + + + + + + 0 – – – – – – –<br />
2m(m – 2) + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +<br />
2<br />
−2m − m+<br />
6<br />
2 mm ( − 2)<br />
– – – 0 + + + | – – – –0 + + | – – – –<br />
Soluţia inecuaţiei este mulţimea: S ( )<br />
S9. Rezolvare:<br />
a) Determinantul matricei sistemului este:<br />
⎛3⎞ = −2, 0 ∪ ⎜ , 2⎟.<br />
⎝2⎠ 2 1 1<br />
d = 1 1 1 = 1.<br />
1 1 2<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele:<br />
1<br />
d d<br />
x y dz<br />
a<br />
xa ( ) = , ya ( ) = , za ( ) = , unde d x = 2<br />
d d d<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
a<br />
1 = 1− 2 ,<br />
2<br />
2 1 1<br />
2 1 1<br />
d y = 1<br />
a<br />
2<br />
a a<br />
1 =− 4 + 3⋅2 − 1,<br />
d z = 1 1<br />
a<br />
2<br />
a a<br />
= 4 − 2 .<br />
1<br />
a<br />
4 2<br />
1 1<br />
a<br />
4<br />
Se obţine soluţia: x(a) = 1 – 2 a , y(a) = –4 a + 3 · 2 a – 1, z(a) = 4 a – 2 a , a i Z.<br />
100
) y(a) > 1 ® –a 4 + 3 · 2 a – 1 > 1 ® –4 a + 3 · 2 a – 2 > 0.<br />
Notăm 2 a = m şi se obţine inecuaţia –m 2 + 3m – 2 > 0.<br />
Dar –m 2 + 3m – 2 = 0 pentru m i {1, 2}.<br />
Tabelul de semn pentru expresia –m 2 + 3m – 2 este:<br />
m – 1 2 +<br />
–2m 2 + 3m – 2 – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – –<br />
Soluţia inecuaţiei cu necunoscuta m este: m i (1, 2).<br />
Revenind la notaţia făcută se obţine că 2a i (1, 2) adică a i (0, 1).<br />
S10. Rezolvare:<br />
Sistemul este compatibil determinat dacă determinantul matricei sistemului este nenul.<br />
Aşadar, avem condiţia:<br />
α 1 1<br />
α + 1 β + 1 2 ≠0⇔ − αβ + β ≠0 ⇔ β(1 −α) ≠0⇔ β ≠ 0 şi α ≠ 1.<br />
1 2β1 Rezultă că răspunsul corect este b)<br />
S11. Rezolvare:<br />
Matricele asociate sistemului sunt:<br />
⎛2 1 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A= ⎜<br />
1 − 1 1<br />
⎟<br />
; B= ⎜<br />
− 1<br />
⎟<br />
; X =<br />
⎜<br />
y<br />
⎟<br />
; det(A) = –3m + 6 = –3(m – 2).<br />
⎜1 2 m⎟ ⎜m ⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
• Dacă m @ 2, atunci det(A) @ 0, atunci det(A) @ 0 şisistemul este compatibil determinat cu<br />
soluţia dată de formulele:<br />
d d<br />
x y dz<br />
x= , y= , z=<br />
, unde dx = 4(m – 2), dy = –2(m – 2), dz = –3(m – 2).<br />
det( A) det( A) det( A)<br />
4 2<br />
Se obţine soluţia x=− , y = , z = 1, m≠<br />
2.<br />
3 3<br />
⎧2x+<br />
y+ 3z = 1<br />
⎪<br />
• Dacă m = 2 sistemul devine: ⎨x−<br />
y+ z =−1<br />
⎪<br />
⎩x+<br />
2y+ 2z = 2<br />
Deoarece det(A) = 0, sistemul nu este de tip Cramer.<br />
Pentru rezolvare aplicăm metoda lui Gauss.<br />
Sistemul este echivalent cu următoarele sisteme:<br />
⎧ x− y+ z=−1 ⋅− ( 2) ⎧x− y+ z=−1<br />
⎧x−<br />
y+ z=−1<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎨2x+ y+ 3z= 1 ∼ ⎨ 3y+ z= 3 ⋅− ( 1)~ ⎨ 3y+ z=<br />
3 .<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩x+<br />
2y+ 2z= 2 ⎩ 3y+ z=<br />
3 ⎩ 0⋅ z=<br />
0<br />
3−α 4α<br />
Rezultă că z =α, α∈ , y = , x=−<br />
.<br />
3 3<br />
Aşadar, pentru m = 2 sistemul este compatibil nedeterminat cu mulţimea soluţiilor:<br />
⎧⎛ 4α 3−α<br />
⎞ ⎫<br />
S = ⎨⎜− , , α⎟ α∈<br />
⎬.<br />
⎩⎝ 3 3 ⎠ ⎭<br />
101
S12. Rezolvare:<br />
Dacă sistemul de ecuaţii are numai soluţia nulă rezultă că este de tip Cramer şi se pune<br />
condiţia ca det(A) @ 0, unde A este matricea sistemului.<br />
m 1 1<br />
Avem det( A) = 1 m 2<br />
2<br />
=− m + m+<br />
2 .<br />
1 −1 −1<br />
Dacă –m 2 + m + 2 = 0, rezultă că m i {–1, 2}, iar det(A) @ 0 pentru m i Z \ {–1, 2}.<br />
Răspunsul corect este a).<br />
S13. Rezolvare:<br />
Notăm cu x, y, z debitul robinetului I, debitul robinetului II, respectiv debitul robinetului III.<br />
Se obţine sistemului de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute:<br />
⎧2x+<br />
3y+ 6z = 220<br />
⎪<br />
⎨3x+<br />
2y+ 6z = 210<br />
⎪<br />
⎩2x+<br />
2y+ 3z = 145<br />
Matricea sistemului are determinantul d = 9. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia<br />
d d<br />
x y dz<br />
este dată de formulele x= , y= , z=<br />
.<br />
d d d<br />
Se obţine x = 20 hl, y = 30 hl, z = 15 hl.<br />
S14. Rezolvare:<br />
Notăm cu t, f, F vârstele tatălui, fiului mic şi fiului mare.<br />
1 1<br />
Din datele problemei se obţin următoarele relaţii între t, f, F. f = ( t+ 7); F + 15 = ( t+<br />
15) ,<br />
6 2<br />
t −15<br />
adică F = şi f + 18 + F + 18 = t + 18.<br />
2<br />
Aceste relaţii se constituie în sistemul de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute f, F, t.<br />
⎧6f<br />
− t = 7<br />
⎪<br />
⎨2F<br />
− t =−15<br />
.<br />
⎪<br />
⎩ f + F − t =−18<br />
Matricea A a sistemului are det(A) = –4 @ 0, deci sistemul este de tip Cramer.<br />
Se obţin soluţiile f = 7, F = 10, t = 35.<br />
S15. Rezolvare:<br />
a) Pentru m = 1 şi n = 5 se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧ x+ y− 2z = 2<br />
⎪<br />
⎨ 2x+ y+ z = 5.<br />
⎪<br />
⎩x+<br />
2y+ 3z = 1<br />
1 1 −2<br />
Matricea A a sistemului are det( A)<br />
= 2 1 1 =− 10 .<br />
1 2 3<br />
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele lui Cramer.<br />
102
dx −30<br />
d y 10 dz<br />
0<br />
x= = = 3; y = = =− 1; z = = = 0.<br />
det( A) −10 det( A) −10 det( A)<br />
−10<br />
b) Fie A matricea sistemului de ecuaţii:<br />
⎛1 m −2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A= ⎜<br />
2 2m−1 1<br />
⎟<br />
cu det(A) = 5(m – 3).<br />
⎜1 2 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Se observă că det(A) = 0 dacă m = 3.<br />
• Dacă m i Z \ {3}, det(A) @ 0 şi sistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de<br />
formulele lui Cramer:<br />
dx 17m−4n−3mn−12 x = =<br />
det( A) 5( m−3)<br />
d y 5( n−3) dz<br />
mn−4m− 2n+ 9<br />
y= = , z= = , n∈Z<br />
.<br />
det( A) 5( m−3) det A 5( m−3)<br />
• Dacă m = 3, det(A) = 0, caz în care vom rezolva sistemul cu metoda lui Gauss.<br />
Avem următorul sistem:<br />
⎧ x+ 3y− 2z= 2 ⋅− ( 2), ⋅− ( 1)<br />
⎪<br />
⎨ 2x+ 5y+<br />
z= n<br />
.<br />
⎪<br />
⎩ x+ 2y+ 3z= 1<br />
Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând pe prima neschimbată.<br />
Se obţine sistemul echivalent:<br />
⎧x+<br />
3y− 2z = 2<br />
⎪<br />
⎨ − y+ 5z = n−4.<br />
⎪<br />
⎩ − y+ 5z =−1<br />
Din acest moment se poate începe discuţia compatibilităţii sistemului referindu-ne la ultimele<br />
două ecuaţii (n – 4 = –1 etc.) sau, încă, eliminăm y din ultima ecuaţie raportându-ne la a doua.<br />
Se obţine sistemul echivalent.<br />
⎧x+<br />
3y− 2z = 2<br />
⎪<br />
⎨ − y+ 5z = n−4.<br />
⎪<br />
⎩ 0⋅ z = n−3<br />
Dacă n – 3 @ 0, adică n = 3, sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Se ia z =α, α∈Z<br />
şi se obţine y= 5α+ 1, x=−13α−<br />
1.<br />
Aşadar, pentru m = 3, n = 3, mulţimea soluţiilor este S = { ( −13α−1, 5α+ 1, α) α∈R } .<br />
103
TESTE DE EVALUARE<br />
Testul 1.<br />
1. Rezolvare:<br />
a) A nu este inversabilă dacă det( A ) = 0.<br />
Se obţine ecuaţia<br />
x = 5, x = 4<br />
1 2<br />
− 9 + 20= 0 cu sluţiile:<br />
2<br />
x x<br />
⎛2 ⎜<br />
b) Pentru x = 2, se obţine matricea A =<br />
⎜<br />
5<br />
⎜<br />
⎝8 0<br />
1<br />
−2<br />
1⎞<br />
⎟<br />
2<br />
⎟<br />
, cu det(A) = 6 şi<br />
8⎟<br />
⎠<br />
⎛ 12<br />
−1<br />
1 * 1 ⎜<br />
A = ⋅ A = ⋅ 24<br />
6 6 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝−18 −2 8<br />
4<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
.<br />
2 ⎟<br />
⎠<br />
2. Rezolvare:<br />
a) Sistemul are soluţie unică dacă determinantul matricei A a sistemului este nenul.<br />
Avem: det(A) @ 0 ® –m 2 + 10m – 9 @ 0.<br />
Se obţine m i Z \ {1, 9}.<br />
b) Pentru m = 3 se obţine sistemul de ecuaţii:<br />
⎧ x+ 2y+ z=<br />
1 ⋅− ( 1); ⋅− ( 6)<br />
⎪<br />
⎨ x− y+ 2z= 2<br />
⎪<br />
⎩6x+<br />
9y+ 3z= 9<br />
Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss.<br />
Obţinem succesiv următoarele sisteme echivalente:<br />
⎧x+ 2y+ z = 1 ⎧x+<br />
2y+ z = 1<br />
⎪ ⎪<br />
⎨ − 3y+ z = 1~ ⎨ − 3y+ z = 1 .<br />
⎪ 3y 3z 3 ⎪<br />
⎩− − = ⎩ 4z =−2<br />
1 1 5<br />
Se obţine soluţia: z =− , y =− ; x=<br />
.<br />
2 2 2<br />
3. Rezolvare:<br />
Modelul matematic al problemei este următorul sistem liniar de ecuaţii:<br />
⎧3x+<br />
y+ 7z = 45<br />
⎪<br />
⎨5x+<br />
3y+ 2z = 28<br />
⎪<br />
⎩4x+<br />
5y+ 5z = 42<br />
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss reordonând mai întâi necunoscutele în cadrul fiecărei<br />
ecuaţii.<br />
Se obţin succesiv următoarele sisteme echivalente:<br />
⎧ y+ 3x+ 7z= 45 ⋅− ( 3); ⋅− ( 5) ⎧y+ 3x+ 7z= 45 ⎧y+<br />
3x+ 7z= 45<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎨3y+ 5x+ 2z= 28 ~ ⎨ −4x− 19z=− 107 ∼ ⎨ 4x+ 19z= 107<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩5y+<br />
4x+ 5z= 42 ⎩ −11x− 30z=− 183 ⎩ 89z= 445<br />
Începând cu ultima ecuaţie a sistemului se obţine: z = 5, x = 3, y = 5.<br />
104
Testul 2.<br />
1. Rezolvare:<br />
1 1<br />
⎛<br />
−<br />
* * 2<br />
A = ⋅ A =− A =− ⎜<br />
det( A)<br />
⎜<br />
⎝ −1 −3⎞ ⎛− 2<br />
⎟= ⎜<br />
2⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 1<br />
3 ⎞<br />
⎟<br />
− 2⎟<br />
⎠<br />
⎛ 4<br />
−1<br />
1 * 1 ⎜<br />
B = ⋅ B = ⋅ 2<br />
det( B)<br />
10 ⎜<br />
⎝−4 −4 3<br />
−1<br />
−2⎞<br />
⎟<br />
−1<br />
⎟<br />
.<br />
7 ⎟<br />
⎠<br />
⎛0 C = ⎜<br />
⎝1 1⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
şi<br />
−1 * ⎛ 1<br />
C =− C =− ⎜<br />
⎝−1 −1⎞ ⎛−1 ⎟= ⎜<br />
0 ⎠ ⎝ 1<br />
1⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
.<br />
2. Rezolvare:<br />
⎛1 ⎜<br />
A =<br />
⎜<br />
4<br />
⎜<br />
⎝6 −1 2<br />
15<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
−2<br />
⎟<br />
cu det(A) = 12 @ 0.<br />
3 ⎟<br />
⎠<br />
Rezultă că soluţia ecuaţiei matriceale este matricea<br />
⎛ 36<br />
−1<br />
1 * 1 ⎜<br />
X = A ⋅ B= ⋅A ⋅ B=<br />
⋅ 24<br />
12 12 ⎜<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 48<br />
−12 9<br />
−21<br />
4 ⎞⎛−4⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎟⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
− 2<br />
⎟⎜<br />
2<br />
⎟<br />
= − 168 = −14<br />
12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
.<br />
6 ⎟⎜45 ⎟ ⎜ 36⎟ ⎜ 3⎟<br />
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
3. Rezolvare:<br />
m + 1 1 1<br />
a) Dacă A este matricea sistemului, atunci det( A) = 1 m+ 1 1<br />
3 2<br />
= m + 3m<br />
.<br />
1 1 m + 1<br />
b) Sistemul de ecuaţii este compatibil determinat dacă det(A) @ 0.<br />
Dar det(A) = 0, dacă m 2 (m + 3) = 0, adică m = 0, m = –3.<br />
c) Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine:<br />
⎧3x+<br />
y+ z = 1 ⎛3 ⎪ ⎜<br />
⎨x+<br />
3y+ z = 2 cu A =<br />
⎜<br />
1<br />
⎪<br />
⎩x+<br />
y+ 3z = 4 ⎜<br />
⎝1 Prin regula lui Cramer se obţine:<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1⎞<br />
⎟<br />
1<br />
⎟<br />
şi detA = 20.<br />
3⎟<br />
⎠<br />
d 4 1 d x<br />
y 6 3 dz<br />
26 13<br />
x = =− =− ; y = = = ; z = = = .<br />
det( A)<br />
20 5 det( A) 20 10 det( A)<br />
20 10<br />
⎧x+<br />
y+ z = 1<br />
⎪<br />
d) Pentru m = 0 sistemul devine: ⎨x+<br />
y+ z = 0<br />
⎪<br />
⎩x+<br />
y+ z = 0<br />
Se observă că prima şi a doua ecuaţie sunt contradictorii (ar rezulta că 1 = 0). Rezultă că<br />
pentru m = 0 sistemul obţinut este incompatibil.<br />
105
Probleme recapitulative<br />
Soluţii<br />
⎛7 2<br />
1. Avem A = ⎜<br />
⎝10 15⎞ ⎛37 3<br />
⎟, A = ⎜<br />
22⎠ ⎝54 81⎞<br />
⎧b+<br />
7a=−37 ⎟.<br />
Se obţine sistemul de ecuaţie ⎨<br />
cu<br />
118⎠<br />
⎩3b+<br />
15a=−81 soluţia a = –5, b = –2.<br />
2 2<br />
⎛ 2 x + y<br />
2. A = ⎜<br />
⎝ 2 xy<br />
2 xy ⎞<br />
⎟ 2 2<br />
x + y<br />
⎟<br />
şi se obţine egalitatea:<br />
⎠<br />
2 2<br />
⎛x+ y<br />
⎜<br />
⎝ 2 xy<br />
2xy ⎞ ⎛4 ⎟+ 2 2 ⎜<br />
x + y<br />
⎟<br />
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛4x =<br />
4<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4y 4y⎞<br />
4x<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 2<br />
⎧ x + y + 4= 4x<br />
de unde rezultă sistemul de ecuaţii ⎨<br />
.<br />
⎩2xy<br />
= 4y<br />
Se deosebesc cazurile:<br />
⎧y<br />
= 0<br />
⎛2 • ⎨ deci x = 2, y = 0, A= ⎜ 2<br />
⎩x<br />
+ 4= 4x<br />
⎝0 0⎞ ⎟,<br />
2⎠ ⎛ n<br />
n 2<br />
A = ⎜<br />
⎝ 0<br />
0⎞<br />
⎟ n<br />
2 ⎠ .<br />
• y ≠ 0 şi astfel x = 2 .<br />
Din prima ecuaţie se află y = 0 fals.<br />
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞<br />
2 3<br />
3. A =<br />
⎜<br />
2a 1 0<br />
⎟<br />
, A<br />
⎜<br />
3a 1 0<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜ ⎟<br />
. Din relaţia dată, pentru a, b, c∈Z* se<br />
⎜2b+ ac 2c 1⎟ ⎜3ac+ 3b 3c 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
obţine că ⎧α+β= 0<br />
⎨ şi α= 3, β=−3.<br />
⎩2α+β=<br />
3<br />
Pentru a = c = b = 0, A = I3 şi vom avea că ( α+β )I3 = O 3,<br />
deci α+β=0 . Soluţia α=m ,<br />
β=−m, m∈Z .<br />
4.<br />
⎛a 0 a⎞ ⎛a+ 4 −4a<br />
a ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
1 1<br />
⎟<br />
, ( )<br />
⎜<br />
3 4 3<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜<br />
− + −<br />
⎟<br />
. Se obţine a = –1.<br />
⎜1 a 1⎟ ⎜ − 3 a+<br />
4 −3⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2<br />
A a E A a<br />
⎛0 2<br />
5. Fie B = I3+ A.<br />
Avem A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 0<br />
0<br />
0<br />
1⎞<br />
3<br />
0<br />
⎟<br />
n<br />
⎟<br />
, A = O3şi<br />
astfel A = O3 , ∀nU 3.<br />
0⎟<br />
⎠<br />
Cu formula binomului lui Newton se obţine:<br />
⎛<br />
⎜1 ⎜ n 0 3 1 2 2 nn ( −1)<br />
2<br />
B = CnIn + CnA+ CnA = I3+ nA+ A = ⎜0 2<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎝<br />
n<br />
1<br />
0<br />
nn ( −1)<br />
⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎟<br />
n ⎟,<br />
n∈q*. 1 ⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
106
⎛1 2<br />
6. A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 0<br />
1<br />
0<br />
−2⎞ ⎛1 3<br />
0<br />
⎟<br />
, A<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
0<br />
1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0 0<br />
1<br />
0<br />
−3⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
⎛1 n<br />
Prin inducţie se obţine că A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
⎝0 0<br />
1<br />
0<br />
−n<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
⎟<br />
etc.<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
7. a)<br />
Se obţine<br />
⎛ 2<br />
+ + ⎞ ⎛ 2<br />
a bd 0 b( a e) a + ae 0 b( a+ e)<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2 2 2<br />
A = ⎜ 0 c 0 ⎟= ⎜ 0 c 0 ⎟.<br />
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝d( a+ e ) 0 e + bd ⎠ ⎝d( a+ e ) 0 e + ae ⎠<br />
2<br />
x a e, y c ac ce<br />
= + = − − .<br />
b) Folosim metoda inducţiei matematice.<br />
Pentru n = 1, a1 = x, b1 = y.<br />
k<br />
Presupunem că A = x ⋅ A+ y I 3 . Atunci:<br />
k k<br />
k+<br />
1 2<br />
A = ( xA+ yI) A= xA+ yA= x( xA+ yI) + yA= ( xx ⋅ + y) A+ yxI<br />
k k 3 k k k 3 k k k k 3<br />
Aşadar există xk+ 1 = x⋅ xk k + 1<br />
+ yk , yk+ 1 = y⋅ xk<br />
cu proprietatea că A = xk+ 1A+ yk+ 1I3 deci<br />
egalitatea are loc şi pentru k + 1. Aşadar are loc pentru oricare n∈q*.<br />
⎛ 1<br />
8. C =<br />
⎜<br />
⎜<br />
1<br />
⎜<br />
⎝−1 0<br />
2<br />
−2 −1⎞ ⎛ 4<br />
2<br />
− 1<br />
⎟<br />
, C<br />
⎜<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
4<br />
1 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝−4 8<br />
8<br />
−8<br />
−4⎞<br />
− 4<br />
⎟<br />
⎟<br />
= 4C.<br />
4 ⎟<br />
⎠<br />
3 2 2<br />
n<br />
C = 4C = 4 C şi prin inducţie C<br />
n−1<br />
= 4 C.<br />
9. Folosim metoda reducerii sau substituţiei.<br />
a) B = I2− A şi din a doua ecuaţie se obţine că:<br />
⎛ 1 1⎞<br />
2A+ 3I2− 3A=<br />
⎜<br />
−1<br />
1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ sau ⎛ 1 1⎞ ⎛2 A= 3I2−<br />
⎜<br />
1 1<br />
⎟= ⎜<br />
⎝−⎠ ⎝1 −1⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛−1 Rezultă B = ⎜<br />
⎝−1 1 ⎞<br />
−1<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
10. Egalitatea se scrie:<br />
⎛1 ⎜<br />
⎝1 a⎞⎛1 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝a 1⎞ ⎛1 1<br />
⎟+ ⎜<br />
⎠ ⎝a 1⎞⎛1 1<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝1 a⎞<br />
⎛4 =<br />
1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝4 4⎞<br />
4<br />
⎟<br />
⎠ sau<br />
2<br />
⎛1+ a<br />
⎜<br />
⎝ 1+ a<br />
1+<br />
a⎞<br />
⎛ 2<br />
⎟+ ⎜<br />
2 ⎠ ⎝a+ 1<br />
a + 1⎞ ⎛4 = 2 ⎟ ⎜<br />
a + 1⎠<br />
⎝4 4⎞<br />
4<br />
⎟ sau<br />
⎠<br />
⎛ 2<br />
a + 3<br />
⎜ ⎝2a+ 2<br />
2a+ 2⎞ ⎛4 ⎟⎟=⎜ 2<br />
a + 3⎠<br />
⎝4 4⎞<br />
⎟.<br />
4⎠<br />
Rezultă că a = 1.<br />
107
⎛x 11. Fie A = ⎜<br />
⎝z y ⎞<br />
t<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Avem succesiv<br />
⎛x ⎜<br />
⎝z y⎞⎛1 ⎟⎜<br />
t⎠⎝0 i⎞ ⎛1 ⎟+ ⎜<br />
1⎠ ⎝0 i⎞⎛x ⎟⎜<br />
1⎠⎝z y⎞ ⎛2 ⎟= ⎜<br />
t⎠<br />
⎝0 4i⎞<br />
⎟⇒<br />
2⎠<br />
⎛x ⎜<br />
⎝z y+ ix⎞ ⎛x ⎟+ ⎜<br />
t+ iz⎠ ⎝z y+ it⎞ ⎛2 ⎟= ⎜<br />
t ⎠ ⎝0 4i⎞<br />
⎟⇒<br />
2⎠<br />
⎛2x ⎜<br />
⎝2z 2 y+ i( x+ t) ⎞ ⎛2 ⎟= ⎜<br />
2t+ iz ⎠ ⎝0 4i⎞<br />
⎟.<br />
2⎠<br />
Se obţine x = 1, z = 0, t = 1 şi 2y+ 2i = 4i<br />
deci y = i.<br />
2<br />
∆= 4x + x−<br />
5 şi soluţiile { } 5<br />
12. a) Se obţine<br />
x ∈ 1, −<br />
4<br />
.<br />
3 2<br />
b) ∆= x + 2x+ 3 = ( x+ 1)( x − x+ 3), x =−1.<br />
x 1 1 x 1−x 1−x<br />
x −1 −1<br />
c) ∆= 1 x 1 = 1 x− 1 0<br />
2<br />
= ( x−1)<br />
⋅ 1 1 0<br />
2 2<br />
= ( x− 1) ( x + 2x+ 2), x∈{1}<br />
1 0 x+<br />
1<br />
2 2<br />
1 1 x 1 0 x −1<br />
1 x ab 1 x ab<br />
13. a) ∆= 0 a−x b( x− a) = ( a−x)( b−x) 0 1 − b = ( a−x)( b−x)( b−a) .<br />
0 b−x a( x−b) 0 1 −a<br />
Se obţine x ∈ { a, b}<br />
.<br />
2x+ 1 x+ 1 x+<br />
2<br />
b) ∆= 6 3 3 = 0, ∀x∈Z .<br />
12 6 6<br />
0<br />
c) ∆= b−x 2 2<br />
x −b 0<br />
b− a<br />
2 2<br />
a −b<br />
1<br />
b−x x+ a = 2 2<br />
x −b 2<br />
b<br />
b−a 2 2<br />
a −b<br />
1<br />
= ( b−x)( b− a)<br />
−x−b 1<br />
=<br />
−a−b = ( b−x)( b−a)( x− a)<br />
.<br />
Soluţie x ∈ { a, b}<br />
.<br />
14. Se pune condiţia ca determinantul să fie nenul:<br />
3<br />
a) det( A) = a , deci a ∈ Z \{0} .<br />
3 2<br />
b) det( A) = a (1 + a)(1 + a ) , deci a∈Z \{0, −1}<br />
.<br />
2 2<br />
16. det( A) = ( x+ m)( x+ 2 m) −m(1 − m) = x + 3mx+ 3m<br />
− m.<br />
2 2<br />
Se pune condiţia ca det( A) ≠0, ∀x∈Z deci ∆= 9m −4(3 m − m ) < 0.<br />
Se obţine m∈( −∞ ,0)<br />
4 ( , +∞)<br />
∪ .<br />
3<br />
108
1 2 1<br />
17. Avem A<br />
1 1<br />
− ⎛ − ⎞<br />
4 −1 −1<br />
4<br />
= ⎜<br />
−<br />
⎟,<br />
iar ( A ) = ( A ) .<br />
⎝ ⎠<br />
18.<br />
19. a)<br />
b)<br />
−1 −1 −1<br />
−1 −1 −1 −1<br />
⎡ ⎛3 2⎞⎤ ⎛3 2⎞ ⎛3 2⎞ ⎛−1 2 ⎞<br />
B = ⎢A ⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ ( A ) = ⎜ ⎟ A= ⎜ ⎟⋅<br />
A =<br />
⎣ ⎝2 1⎠⎦ ⎝2 1⎠ ⎝2 1⎠ ⎝ 2 −3⎠<br />
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1<br />
2 1 2 1 0<br />
= ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 −3⎠⎝1 1⎠ ⎝−1 1 ⎠<br />
.<br />
⎛1 3 −1⎞<br />
A= ⎜<br />
2 1 4<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
,det( A)<br />
= 1 deci sistemul este un sistem Cramer.<br />
⎜1 1 −2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Se obţine x = 1, y = 1, z = 1.<br />
⎛1 A= ⎜<br />
⎜<br />
2<br />
⎜<br />
⎝4 1<br />
1<br />
1<br />
1 ⎞<br />
− 3<br />
⎟<br />
⎟<br />
,det( A)<br />
=−6.<br />
deci sistemul este un sistem de tip Cramer.<br />
−5⎟<br />
⎠<br />
Se obţine x = 0, y = 1, z = 0.<br />
⎛1 1 1⎞<br />
⎜<br />
2 1 2<br />
⎟<br />
1 1 1<br />
c) A = ⎜ ⎟.<br />
Deoarece ∆= 2 1 2 =− 1 rezultă că rang(A) = 3.<br />
⎜3 1 4⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3 1 4<br />
⎝1 −1<br />
3⎠<br />
Primele 3 ecuaţii sunt ecuaţii principale, iar x, y, z necunoscute principale.<br />
Sistemul principal are soluţia x = 4, y = 1, z = –3 care nu verifică ecuaţia a patra. Aşadar<br />
sistemul este incompatibil.<br />
Altfel, se arată că rang ( A) = 4 ≠ rang ( A)<br />
.<br />
⎛ 2<br />
20. A= ⎜<br />
⎜<br />
m<br />
⎜<br />
⎝2m−1 1<br />
1<br />
2<br />
3 ⎞<br />
−2<br />
⎟<br />
⎟<br />
. Sistemul este nedeterminat dacă det(A) = 0. Se obţine m = 3.<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
Pentru m = 3 se pune condiţie ca rang ( A) = rang ( A)<br />
= 2.<br />
⎛2 Se obţine că A =<br />
⎜<br />
⎜<br />
3<br />
⎜<br />
⎝5 1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
−2<br />
1<br />
1⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
n⎟<br />
⎠<br />
2 1 1<br />
Punem condiţia ca 3 1 1 = 0.<br />
Se obţine n = 2 şi α= 9+ 4= 13.<br />
5 2 n<br />
109
⎛ 1<br />
⎜<br />
1<br />
21. A = ⎜<br />
⎜ m<br />
⎜<br />
⎝2m −m<br />
−2<br />
2<br />
m<br />
0<br />
1 ⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎟.<br />
Calculând determinanţii de ordinul 3 se obţin rezultatele:<br />
−1<br />
⎟<br />
⎟<br />
m+<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
∆ 1 = ( m+ 1)( m−<br />
2) , ∆ 2 =−( m−1)( m−<br />
2) , ∆ 3 = 4m .<br />
Se observă că nu pot fi nuli toţi cei 3 determinanţi deci rang(A) = 3.<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
1<br />
A = ⎜<br />
⎜ m<br />
⎜<br />
⎝2m −m<br />
−2 2<br />
m<br />
0<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
m+ 1<br />
0 ⎞<br />
m −2<br />
⎟<br />
⎟.<br />
2<br />
2m<br />
⎟<br />
⎟<br />
2<br />
2m<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 −m<br />
1 0<br />
det( A)<br />
=<br />
1<br />
m<br />
−2 2<br />
m<br />
1<br />
−1<br />
m −2<br />
. 2<br />
2m<br />
2m 0 m+ 1<br />
2<br />
2m<br />
Înmulţim cu m prima coloană şi adunăm rezultatul la a doua coloană. Rezultă:<br />
1 0 1 0<br />
det( A)<br />
=<br />
1<br />
m<br />
m−2 2<br />
2m 1<br />
−1<br />
m−2<br />
= 0 2<br />
2m<br />
2m 2<br />
2m m+ 1<br />
2<br />
2m<br />
deoarece există două coloane egale.<br />
Aşadar rang ( A) = 3 = rang ( A)<br />
deci sistemul este compatibil pentru oricare m∈Z .<br />
Răspuns corect c) A =∅.<br />
110
PARTEA a II-a<br />
ELEMENTE DE<br />
ANALIZ~ <strong>MATEMATIC~</strong><br />
Capitolul 1. Limite de func\ii<br />
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`<br />
1.4. Calculul limitelor de func\ii<br />
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice<br />
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii<br />
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii<br />
1.6.4. Limite fundamentale [n calculullimitelor de func\ii<br />
1.7 Asimptotele func\iilor reale<br />
Teste de evaluare<br />
Capitolul 2. Func\ii continue<br />
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct<br />
2.2. Opera\ii cu func\ii continue<br />
2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval<br />
Teste de evaluare<br />
Capitolul 3. Func\ii derivabile<br />
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct<br />
3.2. Derivatele unor func\ii elementare<br />
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile<br />
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse<br />
3.4. Derivata de ordinul doi<br />
3.5 Regulire lui l'Hôspital<br />
Teste de evaluare<br />
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor<br />
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor<br />
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor<br />
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor<br />
Teste de evaluare<br />
Probleme recapitulative<br />
111
PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`<br />
Capitolul 1. Limite de func\ii<br />
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 113 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se determine mul\imile de minoran\i ]i majoran\i pentru mul\imile:<br />
a) A 3, 5;<br />
b) A ( 2,<br />
3); c) A 5, 4;<br />
d) A ( 2,<br />
1) ( 3, 5);<br />
e) A 1, 5 6, 11;<br />
f) A 1, 1 3.<br />
E2. S` se determine mul\imea minoran\ilor ]i mul\imea majoran\ilor pentru mul\imile:<br />
a) A x x x <br />
2<br />
3 0 ; b) A x x x <br />
2<br />
3 0<br />
c) A x x 3T<br />
2;<br />
d) A x x 3<br />
T 1;<br />
x<br />
e) A x <br />
<br />
(0 2 0 25 A x T<br />
x<br />
T<br />
T ;<br />
3<br />
T , ; f) 0 125 4 0 25<br />
, , ;<br />
A x log 2 ( x 1)<br />
T 2 ; h) A x log 2 ( x 1) Tlog<br />
4 ( 3x<br />
) .<br />
g) <br />
E3. S` se arate c` urm`toarele mul\imi sunt mul\imi m`rginite:<br />
a) A sin x<br />
2n<br />
<br />
x <br />
;<br />
b) A n <br />
;<br />
n1<br />
<br />
c) A n1 n n <br />
;<br />
d) A n <br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
48 <br />
;<br />
1 <br />
2 <br />
x 1<br />
<br />
e) A <br />
x <br />
;<br />
f) A <br />
x <br />
.<br />
2<br />
2<br />
x<br />
1<br />
<br />
x<br />
x 1<br />
<br />
E4. S` se scrie cu ajutorul intervalelor mul\imile:<br />
a) A x x T3 ;<br />
b) A x x 1<br />
T 2;<br />
c) A x <br />
x 2<br />
U 1;<br />
d) A x <br />
<br />
x <br />
1 T 1 ;<br />
<br />
e) A x <br />
<br />
x 1<br />
<br />
<br />
x 4<br />
<br />
0<br />
<br />
U ; f) A x <br />
2<br />
<br />
2<br />
x 4<br />
<br />
<br />
<br />
x 9<br />
<br />
1 T ;<br />
x1 x x1<br />
g) A x 2 T16 (<br />
0, 25)<br />
;<br />
h) A x x 3T x 3<br />
.<br />
E5. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i ale num`rului x 0 0,<br />
respectiv x1 1;<br />
a) V 1<br />
d) V 4<br />
( 5,<br />
7);<br />
b) V2 ( 1,<br />
0);<br />
c) V3 ( 0,<br />
);<br />
( 1, );<br />
e) V5 ; f) V6 ;<br />
g) V7 ; h) V8 ; i) 0 112<br />
V 9<br />
.
E6. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i pentru :<br />
a) V 1<br />
( 6, );<br />
b) V2 ( 100,<br />
);<br />
c) V3 ( 2,<br />
);<br />
d) V4 ( ,<br />
10);<br />
e) V5 ; f) V6 ;<br />
g) V 7 ; h) V 8 ; i) V 9 ;<br />
E7. S` se determine punctele de acumulare [n pentru mul\imile:<br />
a) A 0, 3;<br />
b) A 0, 3<br />
; c) A ( ,<br />
3);<br />
d) A ( 2,<br />
2) ( 3, 5);<br />
e) A 0, 1<br />
; f) A ( 1, 2) 5<br />
.<br />
E8. S` se demonstreze c` urm`toarele mul\imi sunt nem`rginite (inferior sau superior):<br />
a) A , 3 ;<br />
b) A ( 1, );<br />
n<br />
c) A ( 1) n n <br />
;<br />
d) A<br />
x x<br />
1<br />
<br />
<br />
( 0, 1)<br />
;<br />
<br />
e) A x x<br />
x 1U<br />
2;<br />
f) A <br />
x<br />
x<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
( 2,<br />
)<br />
;<br />
<br />
g) A x 7 divide x.<br />
113
1.4. Calculul limitelor de func\ii<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 134 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze limitele:<br />
3<br />
3<br />
a) lim 3 ;<br />
b) lim 5 ;<br />
c) lim 3 ;<br />
d) lim( 2x 1);<br />
x3 x0<br />
x 2<br />
x2<br />
x <br />
e) lim <br />
<br />
2<br />
1 ; f) lim( 3x x 2<br />
); g) lim ( );<br />
x<br />
x1<br />
x<br />
<br />
3<br />
5 1 h) lim ln 3.<br />
x1<br />
E2. S` se calculeze:<br />
2<br />
2<br />
lim ( x ) ; lim 2x ( x 1)<br />
; c) lim ( x ); <br />
2<br />
2<br />
3 d) lim ( 3x 2 x );<br />
a) 1 1 b) <br />
x1<br />
2<br />
e) lim ( 5x 7x<br />
);<br />
x<br />
x<br />
f) lim( x );<br />
x9<br />
x<br />
x<br />
g) lim log 3 x ; h) lim log 0, 3 x .<br />
E3. S` se calculeze:<br />
log x<br />
a) lim( );<br />
x1<br />
2 2 log ( x 1)<br />
b) lim 3 ;<br />
x0<br />
3<br />
2<br />
x<br />
<br />
x<br />
c) lim log 5 2 ; d) lim log .<br />
x5<br />
x<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
3<br />
E4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f [n punctele specificate:<br />
2<br />
2x 3,<br />
xT1<br />
a) f : ,<br />
f ( x ) <br />
, x 0 1<br />
, 2;<br />
5x<br />
1, x 0<br />
b) f : D ,<br />
x<br />
3, f ( x ) x<br />
4<br />
,<br />
x (0, 1)<br />
, x 0 1 , 0,<br />
<br />
.<br />
x ( 1,<br />
)<br />
Sintez`<br />
x<br />
x<br />
0 0<br />
S1. S` se determine parametrii reali pentru care:<br />
a) lim ( a1) x 3 6 ;<br />
b) lim( 5 6ax ) 23;<br />
x1<br />
x3<br />
c) lim( ax 3x 3) 5<br />
;<br />
d) lim 3;<br />
xa x a x<br />
<br />
3<br />
e) lim( a x 2ax 11) a14<br />
; f) lim x 3;<br />
x1<br />
2 2<br />
xa1 ax<br />
g) lim x a1<br />
;<br />
h) lim 2 16.<br />
xa1 xa S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D pe domeniul de defini\ie:<br />
a) f :( 0, 1)<br />
,<br />
2<br />
f ( x )<br />
1<br />
2x 2,<br />
x ,<br />
2 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
log , 0,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2x x<br />
<br />
<br />
;<br />
<br />
<br />
<br />
b) f :( 0, 2) 3 ,<br />
x<br />
2 , x (0, 1)<br />
<br />
f ( x ) log<br />
2 x , x 1,<br />
2<br />
.<br />
<br />
0,<br />
x 3<br />
114<br />
x<br />
x<br />
0 0
S3. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f are limit` [n punctele specificate:<br />
a) f : ,<br />
2 ax<br />
( a2 ) x,<br />
xT1<br />
f ( x ) <br />
, x ;<br />
3<br />
0 1<br />
x , x 1<br />
b) f : ,<br />
2<br />
2<br />
( x + a) ( x 1)<br />
,<br />
f ( x ) <br />
(<br />
x 1a) ( x 4 a), xT1<br />
, x 0 1;<br />
x 1<br />
<br />
ax<br />
+ b, xT2<br />
<br />
c) f : ,<br />
f ( x ) log 2 x , x ( 2, 4)<br />
, x 0 2, 4;<br />
<br />
2<br />
ax<br />
bx 6,<br />
xU4<br />
a<br />
bx<br />
d) f : ,<br />
f ( x ) , x ( , ) , x<br />
( a ) x<br />
<br />
,<br />
<br />
x<br />
2 , xT1<br />
4 1 3 0 1 , 3<br />
.<br />
2<br />
8 xU3<br />
S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:<br />
f : ,<br />
f ( x ) x , x 1,<br />
0, 1 ;<br />
a) 0 <br />
b) f : ,<br />
f ( x ) x 3 , x 0 0,<br />
3, 4<br />
;<br />
c) f f x x 3 x x 5 3 5<br />
: , ( ) , 0 , , ;<br />
f : ,<br />
<br />
x , xT1<br />
f ( x ) <br />
, x 0 <br />
x , x 1<br />
0, 1 ;<br />
f : ,<br />
2<br />
x<br />
1,<br />
xT2<br />
f ( x ) <br />
, x 0 1,<br />
1, 2<br />
2<br />
x 1, x 2<br />
.<br />
d) <br />
e) <br />
115
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 140 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze:<br />
a) lim sin x ; b) lim cos x ; c) lim sin x ; d) lim cos x ;<br />
x<br />
<br />
6<br />
x<br />
<br />
6<br />
x<br />
<br />
4<br />
x<br />
<br />
6<br />
e) lim sin x ; f) lim cos x ; g) lim sin x ; h) lim cos x .<br />
x<br />
x<br />
<br />
E2. S` se calculeze:<br />
x<br />
x<br />
<br />
x<br />
x<br />
2 2 <br />
x<br />
x<br />
<br />
a) lim tg x ; b) lim tg x ; c) lim tg x ; d) lim tg x ;<br />
x<br />
<br />
3<br />
x<br />
<br />
3<br />
x<br />
<br />
4<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
3<br />
2<br />
d) lim tg x ; f) lim ctg x ; g) lim ctg x ; h) lim x ;<br />
ctg<br />
x<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
i) lim ctg x ; j) lim ctg x .<br />
x<br />
x<br />
<br />
x<br />
x<br />
2 2 <br />
x<br />
<br />
4<br />
E3. S` se calculeze:<br />
a) lim arcsin x ;<br />
b) lim arccos x ; c) lim arccos x ;<br />
x<br />
1<br />
2<br />
x<br />
1<br />
2<br />
x<br />
3<br />
2<br />
d) lim arcsin x ; e) lim arccos x ; f) lim arcsin x .<br />
x<br />
3<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
E4. S` se calculeze:<br />
a) lim arctg x ;<br />
b) lim arcctg x ; c) lim arctg x ;<br />
x<br />
3<br />
3<br />
x<br />
3<br />
3<br />
x<br />
3<br />
3<br />
d) lim arcctg x ; e) lim arctg x ; f) lim arctg x .<br />
Sintez`<br />
x<br />
3<br />
3<br />
x<br />
3<br />
S1. S` se determine valorile parametrului a pentru care au loc egalit`\ile:<br />
<br />
a) lim arcsin x ;<br />
xa 2<br />
b) lim arccos x 0; xa <br />
c) lim arctg x ;<br />
xa 4<br />
<br />
d) lim arcsin x ;<br />
xa 4<br />
e) lim arccos x ;<br />
xa <br />
f) lim arctg x .<br />
xa 4<br />
S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:<br />
sin<br />
x, xT0<br />
,<br />
2<br />
x<br />
, x 0<br />
0 , , ;<br />
f : ,<br />
sin<br />
x, xT<br />
f ( x ) <br />
, x <br />
2<br />
0<br />
3(<br />
x ) , x <br />
0, , 2<br />
;<br />
a) f : ,<br />
f ( x ) <br />
x 0 <br />
b) <br />
116<br />
x<br />
x<br />
3<br />
3
arccos<br />
x, <br />
c) f : 1, 1<br />
, f ( x ) <br />
2 <br />
x<br />
2x ,<br />
2<br />
x 1, 0<br />
, x 0 1 , 0, 1<br />
;<br />
x 0,<br />
1<br />
arctg<br />
x, xT0<br />
<br />
d) f : ,<br />
f ( x ) arcsin x , x ( 0, 1)<br />
,<br />
<br />
arcctg<br />
x, x 1, <br />
x 0 , 0, 1,<br />
<br />
.<br />
S3. S` se determine valorile parametrilor reali, pentru care func\ia f : D are limit` pe<br />
domeniul de defini\ie.<br />
sin<br />
x, xT0<br />
<br />
a) f : ,<br />
f ( x ) ax b, x ( 0, 1)<br />
<br />
arctg<br />
x, xU1<br />
a,<br />
x 2, 1<br />
<br />
b) f : 2, 2<br />
,<br />
f ( x ) arcsin<br />
x , x 1, 1<br />
;<br />
<br />
b,<br />
x 1,<br />
2<br />
S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:<br />
a) f f x x x 1 0 1<br />
: , ( ) sin , 0 , , ;<br />
<br />
b) f : , ,<br />
<br />
<br />
<br />
f ( x ) sin x , x , , ;<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 <br />
0 <br />
0<br />
2<br />
c) f : ,<br />
f ( x ) cos x , x , , ;<br />
<br />
0 <br />
2 <br />
0 <br />
2<br />
d) f f x arctg x x 0 1 0 1<br />
: , ( ) , , , .<br />
117
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 151 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze:<br />
<br />
2<br />
x <br />
a) lim x 3 x x;<br />
b) lim2 x 1ln ;<br />
x4<br />
x3<br />
3<br />
c) lim(sin x cos x );<br />
x<br />
x x x<br />
3 d) lim 2 3 4<br />
;<br />
x1<br />
2<br />
x x 3<br />
3x 27 x x<br />
f) 2 3 x<br />
e) lim ( log );<br />
x9<br />
E2. S` se calculeze:<br />
lim<br />
2<br />
x <br />
2<br />
x ;<br />
3<br />
lim .<br />
x1<br />
2<br />
x<br />
a) 2 3 b) limx log 3 x;<br />
c) 2<br />
<br />
x1<br />
x x<br />
d) lim<br />
2<br />
3 <br />
<br />
<br />
;<br />
x3<br />
8 27 <br />
E3. S` se calculeze:<br />
x 1<br />
a) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
x x 1<br />
3<br />
x x<br />
d) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
x<br />
E4. S` se calculeze:<br />
x1<br />
x 3<br />
e) x x<br />
lim x x ;<br />
x0<br />
2 3<br />
lim 2 1 ; f) lim ( 1cos x ) ( 1sin<br />
x ).<br />
x0<br />
2<br />
x 4x 10<br />
b) lim ;<br />
x2<br />
2x 3<br />
e) lim sin x tg<br />
x<br />
;<br />
x<br />
sin x 2<br />
a) lim( x ) ; 1<br />
b) lim(sin x ) ;<br />
x1<br />
x<br />
cosx<br />
x0<br />
x0<br />
1x<br />
x2<br />
sin x cos<br />
x<br />
c) lim ;<br />
x0<br />
sin x x<br />
x0<br />
1<br />
arcsin x arccos<br />
x<br />
f) lim .<br />
x1<br />
arctg<br />
x<br />
2<br />
c) x x 1<br />
lim ;<br />
x2<br />
d) lim( sin x ) ;<br />
1 e) lim(sin x tg<br />
x ) ; f) lim( x ) .<br />
x1<br />
arctg<br />
x<br />
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze:<br />
3<br />
a) x x<br />
lim ;<br />
x1<br />
2<br />
x<br />
x<br />
3<br />
b) x x<br />
x<br />
x<br />
x1<br />
lim 2 3 ; c) lim (sin x cos<br />
x ) ;<br />
x0<br />
4<br />
x2<br />
<br />
x1<br />
d) lim (sin x tg x ) ; e) lim <br />
2x 1<br />
<br />
x x <br />
x x<br />
x<br />
; f) lim 2 3 1<br />
;<br />
x0<br />
x1<br />
2<br />
x x 1<br />
x1<br />
x arctg x<br />
g) lim( 2 arcsin x arccos<br />
x ) ; h) lim ; i) lim<br />
1<br />
x<br />
3 arcctg x<br />
arccos<br />
arcsin .<br />
x<br />
x0<br />
1<br />
x<br />
x<br />
2<br />
118<br />
2
S2. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile:<br />
2 2<br />
a arcsin<br />
x<br />
( x 1) ( x 2)<br />
a) lim<br />
2;<br />
b) lim 1;<br />
x1<br />
arccos<br />
x<br />
x1<br />
3<br />
a x<br />
x x<br />
x 2x<br />
<br />
c) lim 1<br />
;<br />
d) lim .<br />
xa 2<br />
x<br />
xa x x<br />
<br />
2 4 3<br />
2 2 3 4 8<br />
S3. S` se studieze existen\a limitelor func\iei f : D [n punctele specificate:<br />
x x, x ,<br />
a) f ( x ) <br />
, x<br />
sin x , x ,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tg 0 <br />
2 <br />
<br />
0 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
0, ;<br />
2 <br />
<br />
(<br />
x1) x , x ( 0, 1)<br />
b) f ( x ) , x 0,<br />
1<br />
;<br />
3<br />
0<br />
1 x, x , 01, <br />
<br />
3<br />
x <br />
<br />
1<br />
, x , 0<br />
c) f ( x ) <br />
2<br />
x x 1<br />
, x 0 0.<br />
<br />
3<br />
(<br />
1sin x ) , x ( 0,<br />
)<br />
S4. S` se calculeze:<br />
a) limsin 3<br />
x x ;<br />
c) lim( ) lg( x );<br />
2<br />
1 b) x x x 1<br />
<br />
lim ln( ) ;<br />
x1<br />
x0<br />
x<br />
2<br />
x2<br />
1<br />
3<br />
8 d) 7x<br />
<br />
x1<br />
5<br />
x<br />
x1<br />
3<br />
e<br />
e) lim ;<br />
x1<br />
x1<br />
12 g) lim<br />
x0<br />
1<br />
arcsin ( sin )<br />
sin (arccos ) ;<br />
x x<br />
x<br />
S5. S` se calculeze:<br />
2<br />
1 <br />
a) lim x ;<br />
x<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
0<br />
2<br />
d) lim cos x x<br />
;<br />
x<br />
2<br />
x<br />
lim ;<br />
x 2 x 6<br />
f) lim ;<br />
x2<br />
2 3<br />
x 12 10<br />
x<br />
h) 2 x 9<br />
<br />
lim log log ( ) .<br />
x0<br />
2 3<br />
x b) lim ;<br />
c) lim<br />
x<br />
x<br />
sin x<br />
;<br />
x<br />
2<br />
x<br />
e) lim cos x x<br />
;<br />
x<br />
x <br />
2<br />
1 f)<br />
x 3x lim .<br />
x<br />
x<br />
119<br />
2
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 160 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze:<br />
2<br />
x<br />
x x 1<br />
a) lim ; b) lim ;<br />
x2<br />
x 1<br />
x0<br />
3x 1<br />
2x<br />
c) lim ;<br />
x2<br />
2<br />
3x x 1<br />
E2. S` se calculeze:<br />
2 x<br />
3x 1<br />
a) lim ;<br />
b) lim ; c) lim ;<br />
x<br />
x<br />
x12x<br />
2<br />
x1<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
0 0<br />
2x<br />
d) lim ;<br />
x4<br />
2<br />
x 16<br />
x4<br />
x1<br />
2x 3x 4<br />
e) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
x 3x 2<br />
x1<br />
E3. S` se calculeze:<br />
1<br />
2<br />
a) lim ; b) lim ;<br />
x1 2<br />
( x 1)<br />
x1 2<br />
( x 1)<br />
6x<br />
d) lim ;<br />
x3<br />
2<br />
x 6x 9<br />
e) lim ( ) ;<br />
3x 11<br />
x0<br />
2<br />
x x 1<br />
2<br />
2<br />
x1<br />
3x 2<br />
d) lim .<br />
x1<br />
2<br />
4x 3<br />
5x 19<br />
f) lim .<br />
x2<br />
2<br />
x 3x 2<br />
x2<br />
3x 4<br />
c) lim ;<br />
x2<br />
2<br />
x 4x 4<br />
4x 3<br />
f) lim .<br />
x1<br />
2<br />
12x x<br />
E4. S` se calculeze:<br />
2<br />
2<br />
4x 4<br />
x 1<br />
x 4<br />
a) lim ; b) lim<br />
; c) lim<br />
x1<br />
2<br />
9x 9<br />
x1<br />
2<br />
x 3x 2<br />
x2<br />
2<br />
x 3x 2<br />
;<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x 3x<br />
( x 2)<br />
x 4x 4<br />
d) lim<br />
; e) lim ; f) lim<br />
.<br />
x3<br />
2<br />
x 7x 12<br />
x2<br />
2<br />
x 2<br />
x<br />
x2<br />
2<br />
2x 4x<br />
E5. S` se calculeze:<br />
2x 3<br />
a) lim ;<br />
xx<br />
4<br />
2<br />
x<br />
d) lim ;<br />
x<br />
2<br />
3x 4x 11<br />
3x 2<br />
g) lim ;<br />
x<br />
2<br />
4x 6x 1<br />
E6. S` se calculeze:<br />
2 x 1<br />
a) lim ;<br />
x<br />
3x<br />
3<br />
x x<br />
d) lim ;<br />
x<br />
2x 3<br />
3x 1<br />
g) lim ;<br />
x<br />
2<br />
9x x 7<br />
2<br />
4<br />
x<br />
b) lim ;<br />
x<br />
2<br />
2x x 1<br />
2<br />
3x 6x 3<br />
e) lim ;<br />
x<br />
2x 1<br />
2x<br />
h) lim<br />
x<br />
( x 1) ( x 1)<br />
2<br />
2 2<br />
x x<br />
b) lim ;<br />
x<br />
2<br />
4x 3<br />
2<br />
x 12x e) lim ;<br />
x<br />
2<br />
2 x 1 x<br />
2<br />
2x 3x 5<br />
h) lim .<br />
x<br />
3x 4<br />
2<br />
120<br />
.<br />
2x 11<br />
c) lim ;<br />
x<br />
6x 11<br />
2<br />
6x 3x 11<br />
f) lim ;<br />
x<br />
2x 6<br />
x x<br />
c) lim ;<br />
x<br />
3x 2 x 1<br />
x 2 x 1<br />
f) lim ;<br />
x<br />
3 x 1 4x 1<br />
2
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze:<br />
2 2<br />
( x 1) a) lim<br />
x1<br />
( x 1) 2<br />
x 1<br />
4<br />
( x 1) x 1 8<br />
; b) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
x 3x 2<br />
2 2<br />
( 2x 1) ( x 1) 10<br />
c) lim ;<br />
x2<br />
2 2<br />
( x 2) ( x 1) 1<br />
d) lim 2<br />
x 9<br />
;<br />
x3<br />
2 2<br />
( x 3) x 9<br />
2 2 2<br />
( x 2) ( x 1) x 2<br />
e) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
2x 3x 1<br />
f) lim<br />
x1<br />
3<br />
( x 1) ( x 1) 4<br />
.<br />
2 2<br />
4x ( x 3)<br />
3<br />
2 2<br />
S2. S` se determine limitele func\iei f : D [n punctele specificate:<br />
x<br />
1<br />
x 1<br />
, x ( ,<br />
2)<br />
, x ( ,<br />
1)<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
x 2<br />
a) f ( x ) <br />
2<br />
, x 0 2<br />
; b) f ( x ) <br />
, x<br />
x<br />
2<br />
0 1.<br />
, x ( 2,<br />
)<br />
x<br />
4x 3<br />
<br />
2<br />
, x ( 1,<br />
)<br />
x 4<br />
<br />
9( x 1)<br />
S3. S` se studieze constantele reale pentru func\ia f : D are limit` finit` [n punctele<br />
specificate:<br />
x a<br />
a) f ( x ) , x ;<br />
x<br />
2<br />
x ax<br />
0 1<br />
b) f ( x ) , x ;<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
0 3<br />
3<br />
2<br />
( x a) 4<br />
x a x a<br />
c) f ( x ) , x ;<br />
2<br />
0 1 d) f ( x ) , x .<br />
x 1<br />
x x<br />
<br />
2 2<br />
2 <br />
<br />
2 0 1<br />
1 1<br />
S4. S` se calculeze limitele de func\ii:<br />
x x x<br />
a) lim ;<br />
x<br />
x x x x<br />
<br />
2<br />
2<br />
1 6 5<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
b) lim<br />
x 2<br />
x 6x 8<br />
<br />
<br />
;<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
5 3 4 3 1<br />
x2<br />
2<br />
2<br />
5x<br />
4x 12 x 16<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
( x ) x ( x ) x<br />
c) lim<br />
1 1<br />
1 3 1<br />
<br />
<br />
<br />
x1<br />
2<br />
2 <br />
x 3x 2<br />
2x 3x 1<br />
<br />
.<br />
S5. S` se calculeze:<br />
x <br />
a) lim<br />
x<br />
x x <br />
x<br />
;<br />
x<br />
<br />
<br />
2 1<br />
2<br />
3<br />
4 1<br />
<br />
<br />
2 <br />
1<br />
2 <br />
3x 4x<br />
<br />
c) lim<br />
;<br />
x<br />
2 <br />
(<br />
x 1) x 1<br />
2<br />
x<br />
b) lim<br />
4 3<br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
;<br />
x<br />
2 <br />
2x<br />
6x 1 2<br />
x 4<br />
<br />
d) lim<br />
x<br />
121<br />
2<br />
3x 4x<br />
.<br />
2<br />
( x 1) x 1
1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 167 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze:<br />
a) lim sin ( ) 5x<br />
sin( )<br />
; b) lim<br />
x0<br />
6x<br />
( ) ;<br />
6x<br />
x0<br />
x 1<br />
c) lim sin ( ) 2<br />
2x<br />
sin ( )<br />
; d) lim<br />
x0<br />
2<br />
3x<br />
sin ( ) ;<br />
2x<br />
x0<br />
4x<br />
e) lim sin ( ) 2<br />
x 1<br />
; f) lim<br />
x1<br />
x 1<br />
sin ( ) x 2<br />
; g) lim<br />
x2<br />
2<br />
x 4<br />
sin ( ) 2<br />
1x<br />
sin ( )<br />
; h) lim<br />
x1<br />
2x 2<br />
sin ( ) .<br />
3x 3<br />
x1<br />
2<br />
x 1<br />
E2. S` se calculeze:<br />
tg2x<br />
a) lim ;<br />
x0<br />
3x<br />
sin ( )<br />
d) lim<br />
( ) ;<br />
x <br />
x<br />
tg x <br />
E3. S` se calculeze:<br />
a) lim arcsin ( ) 3x<br />
;<br />
x0<br />
5x<br />
arcsin ( )<br />
d) lim<br />
sin ( ) ;<br />
5x<br />
x0<br />
10x<br />
E4. S` se calculeze:<br />
a) lim ln ( ) 2<br />
1x<br />
;<br />
x0<br />
2<br />
5x<br />
6x<br />
d) lim ;<br />
x0<br />
ln ( 18x )<br />
E5. S` se calculeze:<br />
x<br />
3 1<br />
a) lim ;<br />
x0<br />
6x<br />
x1<br />
<br />
2 8<br />
d) lim ;<br />
x2<br />
x 2<br />
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze:<br />
sin x sin<br />
9x<br />
a) lim ;<br />
x0<br />
3x<br />
d) lim (sin ) tg x<br />
;<br />
x0<br />
2x<br />
tg ( x 1)<br />
tg ( 3x 9)<br />
b) lim ; c) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
( x 1)<br />
x3<br />
2<br />
x 9<br />
( )<br />
e) lim<br />
sin ( ) ;<br />
tg x 1<br />
x1<br />
2<br />
x x<br />
b) lim arcsin ( ) x<br />
;<br />
x0<br />
2 3<br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
arctg x <br />
4 <br />
e) lim ;<br />
<br />
2<br />
16 <br />
2<br />
x<br />
x<br />
4<br />
b) lim ln ( ) 16x ;<br />
x0<br />
8x<br />
e) lim ln ( ) 1<br />
x<br />
;<br />
x0<br />
3<br />
5x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
( )<br />
f) lim<br />
( )sin ( ) ;<br />
tg x 1<br />
x1<br />
2<br />
x 1 x 1<br />
arcsin( )<br />
c) lim<br />
arcsin ( ) ;<br />
10x<br />
x0<br />
5x<br />
f) lim<br />
1<br />
x<br />
3<br />
2<br />
2<br />
( )<br />
arcsin( ) .<br />
arctg 9x 1<br />
3x 1<br />
c) lim ln ( ) 15x ;<br />
x0<br />
2 3<br />
x x<br />
ln ( )<br />
f) lim<br />
ln ( ) .<br />
2<br />
1x<br />
x0<br />
2<br />
13x 3 1<br />
8 8<br />
b) lim ; c) lim ;<br />
x0<br />
2 3<br />
x x<br />
x1<br />
x 1<br />
x x<br />
x x<br />
2 3<br />
3 2<br />
e) lim ; f) lim .<br />
x0<br />
x<br />
x0<br />
x<br />
2 1<br />
sin 2x 3sin 5x<br />
x<br />
b) lim ;<br />
x0<br />
2<br />
x x<br />
sin ( )<br />
e) lim<br />
sin ( ) ;<br />
2<br />
x 4x 3<br />
x1<br />
3x 4x 1<br />
122<br />
x<br />
2<br />
c) lim sin( ) tg x<br />
;<br />
x0<br />
x<br />
f) lim<br />
x2<br />
2<br />
( )<br />
( ) ;<br />
tg x x 2<br />
2<br />
tg x 5x 6
g) lim arcsin<br />
x1<br />
arcsin<br />
2 x <br />
2 x x<br />
1 arctg<br />
; h) lim<br />
x1<br />
arcsin<br />
2 x 6x 5<br />
2 x 4x 5<br />
S2. S` se calculeze:<br />
a) lim<br />
cos 1 2 x<br />
cos 4x cos<br />
2x<br />
;<br />
b) lim ;<br />
x0<br />
2<br />
x<br />
x0<br />
sin 5x sin 3x<br />
sin 3x 5sin<br />
x<br />
(arcsin )<br />
c) lim ; d) lim<br />
x0<br />
sin 4x 2sin<br />
3 x<br />
sin ( ) .<br />
tg x<br />
x0<br />
arctg x<br />
S3. S` se calculeze:<br />
ln ( 1sin 3x<br />
)<br />
a) lim ;<br />
x0<br />
sin 5x<br />
ln ( sin )<br />
c) lim<br />
ln ( sin ) ;<br />
1x<br />
x<br />
x0<br />
1x 5x<br />
ln ( 2 3 )<br />
b) lim ;<br />
x0<br />
sin x<br />
ln ( ln ( ))<br />
d) lim<br />
ln ( ln ( )) .<br />
x 1 x 1<br />
x0<br />
2<br />
1 x 1<br />
2 2<br />
a b<br />
S4. S` se calculeze valoarea expresiei E <br />
a b<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x<br />
.<br />
tg ax sin<br />
ax 1<br />
, dac` lim<br />
.<br />
x0<br />
tg bx sin<br />
bx 8<br />
S5. Pentru care valori ale lui n * sin x 2sin 2x...<br />
nsin<br />
nx<br />
, lim 14<br />
?<br />
x0<br />
2<br />
x x<br />
S6. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile:<br />
2<br />
x x<br />
a) lim<br />
1<br />
<br />
<br />
ax<br />
<br />
x x a<br />
<br />
<br />
b;<br />
x<br />
x <br />
3 b) lim<br />
<br />
bx<br />
<br />
a;<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
sin xa<br />
c) lim x x ax b ; d) lim<br />
2;<br />
x<br />
2 x0<br />
( x 2)sin<br />
3x<br />
aln ( 4<br />
x ) 2 8<br />
e) lim lim ;<br />
x3 x 3<br />
x3<br />
2<br />
x 9<br />
x<br />
x2<br />
2 16<br />
2<br />
f) lim lim x a<br />
.<br />
x2<br />
x 4<br />
4 2 x1<br />
123
1.7 Asimptotele func\iilor reale<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 176 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se determine asimptotele orizontale ale func\iei f : D Z, [n cazurile:<br />
a) f ( x ) <br />
x<br />
1 1<br />
x<br />
; b) f ( x ) ; c) f ( x ) ;<br />
x 3<br />
4<br />
x<br />
3x<br />
x<br />
2x<br />
d) f ( x ) ; e) f ( x ) ; f) f ( x ) <br />
2x 1<br />
2<br />
x 1<br />
3x 5<br />
;<br />
2<br />
x<br />
3x 1<br />
x x<br />
g) f ( x ) ; h) f ( x ) ; i) f ( x ) <br />
2x 1<br />
2<br />
2<br />
2x x 1<br />
x x 1<br />
.<br />
E2. S` se determine asimptotele verticale ale func\iei f : D Z, [n cazurile:<br />
1<br />
1<br />
x<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x ) <br />
x 1<br />
2 2<br />
( x 1)<br />
x 1<br />
;<br />
2<br />
x<br />
d) f ( x ) <br />
x<br />
1<br />
x x 1<br />
; e) f ( x ) ; f) f ( x ) ln ( x 1 ) ;<br />
2<br />
2<br />
4<br />
x 3x 2<br />
1<br />
2<br />
g) f ( x ) ; h) f ( x ) <br />
x<br />
x 1<br />
2 1<br />
.<br />
E3. S` se determine asimptotele oblice ale func\iei f : D Z, [n cazurile:<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2x<br />
x<br />
x<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x ) <br />
x 2<br />
x 1<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
;<br />
2<br />
x x<br />
d) f ( x ) <br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
x x<br />
x x<br />
; e) f ( x ) ; f) f ( x ) <br />
1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 1<br />
.<br />
Sintez`<br />
S1. S` se determine asimptotele func\iiilor f : D Z, [n cazurile:<br />
2<br />
x<br />
x x<br />
x<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x ) <br />
( x 1)( x 3<br />
)<br />
2<br />
x 1<br />
( x 1)( x 5<br />
)<br />
;<br />
x<br />
d) f ( x ) <br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
; e) f ( x ) ; f) f ( x ) <br />
1<br />
2<br />
x 1<br />
x 1<br />
;<br />
2<br />
x<br />
x<br />
g) f ( x ) ; h) f ( x ) <br />
2<br />
2<br />
x x<br />
x 1<br />
.<br />
S2. S` se determine asimptotele func\iilor f : D Z, [n cazurile:<br />
1<br />
<br />
a) f ( x ) x2 x ; b) f ( x ) x ln<br />
1 <br />
e<br />
;<br />
x <br />
<br />
c) f ( x ) ( x ) ln<br />
1 <br />
1 1<br />
;<br />
d) f ( x ) <br />
x <br />
2<br />
3<br />
124<br />
3 1<br />
x <br />
x 1<br />
.
x 1<br />
S3. S` se determine parametrii reali pentru func\ia f : D Z, f ( x ) <br />
are o<br />
2<br />
x ax a1 singur` asimptot` vertical`.<br />
S4. S` se determine parametrii reali pentru care func\ia f : D Z, admite asimptota indicat`:<br />
2<br />
ax 2a bx 2<br />
( x a)( x a1) a) f ( x ) <br />
, y a x 2;<br />
b) f ( x ) , y x a 3.<br />
x 1<br />
x a 2<br />
pag. 177 manual<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
2<br />
2<br />
x 6x 9<br />
x 3<br />
1. Dac` 1 lim , <br />
x3<br />
2<br />
2 lim , atunci <br />
2<br />
1 2 este egal cu:<br />
x 9<br />
x<br />
x 3<br />
a) 1; b) 3; c) ; d) <br />
2. S` se calculeze:<br />
2<br />
sin( x 5x 4)<br />
a) lim ; b) lim<br />
x1<br />
sin( x 1)<br />
x<br />
*<br />
x<br />
3. Fie f : Z Z, f ( x ) <br />
atunci<br />
ax<br />
x<br />
a) a b<br />
3; b) a b<br />
2<br />
<br />
1. S` se calculeze limitele de func\ii:<br />
2<br />
x 3x<br />
2x 1<br />
.<br />
3<br />
. Dac` dreapta y bx 2 este asimptot` a func\iei f,<br />
2 2<br />
3; c) 2a b<br />
3;<br />
d) a b 3.<br />
Testul 2<br />
a) lim arcsin x x<br />
; b) lim<br />
x0<br />
sin x arctg x<br />
x<br />
x x<br />
<br />
2<br />
x x 1<br />
.<br />
3x 1<br />
3<br />
2. Dac` l1<br />
lim<br />
x0<br />
a x<br />
1,<br />
atunci:<br />
a) a = 2; b) a = 4; c) a e 1<br />
3 ; d) a = 1.<br />
2<br />
ax 1<br />
3. Func\ia f : D Z, f ( x ) <br />
are o singur` asimptot` dac`:<br />
2<br />
x 2bx 1<br />
a) a b<br />
0; b) a b1;<br />
c) a Z, b ( 1,<br />
1 ) ; d) b Z, a<br />
7.<br />
125<br />
2
2<br />
Testul 3<br />
x x<br />
3x 4x 4<br />
( 2 3<br />
)<br />
1. S` se calculeze: a) lim<br />
; b) lim<br />
x2<br />
2<br />
x 4<br />
x0<br />
x sin x<br />
2 2<br />
x a<br />
2. S` se determine a Z pentru care lim<br />
xa x a<br />
4.<br />
3. S` se determine valorile parametrului real a ]tiind c` dreapta y ax a1 este asimptot` a<br />
func\iei f : Z Z, f ( x ) <br />
2 2<br />
x a<br />
2<br />
4. S` se studieze dac` func\ia f : Z Z,<br />
cu proprietatea c` 2 f ( x ) 3 f ( x ) x 1,<br />
x Z,<br />
are limit`<br />
[n oricare punct x 0 Z.<br />
Testul 4<br />
3 3<br />
x a , x a<br />
1. Se consider` func\ia f : Z Z, f ( x ) <br />
. S` se determine a Z pentru care<br />
x<br />
1, x a<br />
func\ia f are limit` [n oricare x 0 Z.<br />
2<br />
x ax 3, x 1<br />
<br />
2. Se consider` func\ia f : Z Z, f ( x ) <br />
3x<br />
b<br />
, x 1<br />
2<br />
x 2<br />
.<br />
f ( x ) f ( 1)<br />
S` se determine a, bZ<br />
astfel [nc@t f s` aib` limit` [n x 1 ]i s` existe lim .<br />
x1<br />
x 1<br />
2<br />
3. Fie f : D Z, f ( x ) ax bx cx 1, a, b ( 0 , ), c Z.<br />
S` se deter- mine parametrii<br />
a, b, c astfel [nc@t dreapta y 2x 1<br />
s` fie asimptot` oblic` spre , iar y 1 s` fie asimptot`<br />
spre .<br />
126<br />
2<br />
.
Capitolul 2. Limite de func\ii<br />
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 183 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z [n punctele specificate:<br />
2<br />
f ( x ) x x, x , , ; f ( x ) x 2 x , x 1,<br />
0, 2 ;<br />
a) 7 1 0 1 b) <br />
2<br />
x<br />
<br />
x 1<br />
0<br />
c) f ( x ) , x 2, 1 ;<br />
c) f x x x x 0<br />
4<br />
0<br />
( ) , , .<br />
E2. S` se studieze continuitatea func\iilor [n punctele specificate:<br />
<br />
2<br />
sin x<br />
x , x 1<br />
, x 0<br />
a) f : Z Z, f ( x ) <br />
, x 0 1;<br />
b) f : Z Z, f ( x ) <br />
x , x<br />
2x<br />
1, x 1<br />
<br />
<br />
x 1, x 0<br />
3x 1, x 0<br />
<br />
arcsin<br />
x<br />
c) f : Z Z, f ( x ) <br />
, x ( 0, 1), x 0 0,<br />
1,<br />
x<br />
<br />
ln x, x 1<br />
<br />
3,<br />
x 1<br />
<br />
d) f : 1 ( 0,<br />
) Z, f ( x ) 3x,<br />
x ( 0, 1), x 0 1, 1.<br />
<br />
x 3<br />
,x 1<br />
2x<br />
1<br />
E3. S` se studieze natura punctelor de discontinuitate pentru func\ia f : D Z:<br />
2<br />
x x 2, x 1<br />
x 2<br />
2, x 0<br />
a) f ( x ) <br />
; b) f ( x ) <br />
;<br />
x x<br />
2x<br />
1, x 1<br />
3 2 , x 0<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
ln x, x 0<br />
, x <br />
c) f ( x ) 1<br />
<br />
x 1<br />
;<br />
d) f ( x ) 2,<br />
x 0 .<br />
<br />
<br />
3x<br />
1, x 1<br />
1<br />
, x 0<br />
x<br />
E4. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z, [n func\ie de parametrii reali:<br />
x<br />
a, x 1<br />
x a<br />
2 2 , x 0<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) <br />
;<br />
2<br />
x<br />
x 1, x 1<br />
ax<br />
3, x 0<br />
sin(<br />
ax )<br />
, x 0<br />
<br />
2x<br />
2ax<br />
1, x 0<br />
2<br />
<br />
c) f ( x ) 2a<br />
, x 0;<br />
d) f ( x ) x<br />
a, x ( 0, 1)<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
3x<br />
b, x 1<br />
<br />
5x 2a, x 0<br />
127<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0
Sintez`<br />
S1. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z:<br />
<br />
2<br />
sin( ax x<br />
)<br />
<br />
<br />
, x 0<br />
2 2<br />
6x 4a 4ax , x 1<br />
a) f ( x ) <br />
x<br />
; b) f ( x ) <br />
;<br />
<br />
2<br />
3<br />
x a, x <br />
ln(<br />
x e ), x 0<br />
4 1<br />
arcsin x<br />
2a<br />
, x 1, 0<br />
x<br />
ln(<br />
1ax<br />
)<br />
x 2<br />
a, x a<br />
c) f ( x ) <br />
, x 0 ; d) f ( x ) <br />
.<br />
x<br />
x<br />
3 a, x a<br />
1sin<br />
a, x 0<br />
<br />
<br />
S2. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f : D Z este continu`, [n cazurile:<br />
ax ax1<br />
9<br />
43 12, x 1<br />
bx 3<br />
2x, x 2a1 a) f ( x ) <br />
; b) f ( x ) <br />
;<br />
2<br />
bx 2<br />
a ax 15x , x 1<br />
9x 4 , x a<br />
ax bx<br />
ax bx<br />
2 3 , x 1<br />
2 3 , x 1<br />
<br />
2<br />
c) f ( x ) 12,<br />
x 1<br />
; d) f ( x ) x<br />
3x 7, x 1,<br />
2<br />
.<br />
ax1 1bx<br />
<br />
ax bx<br />
3<br />
2 , x 1<br />
<br />
2 3 8, x 2<br />
S3. S` se determine a, b Z pentru care func\ia f : D Z este continu` ]i are loc condi\ia data:<br />
2 3x<br />
x, x 1<br />
f ( x ) f ( 1)<br />
a) f ( x ) <br />
]i lim exist`;<br />
2<br />
ax bx 3, x 1<br />
x1<br />
x 1<br />
<br />
2<br />
<br />
ln( 1sin<br />
x )<br />
, x<br />
b) f ( x ) <br />
0<br />
f ( x ) f ( 0 )<br />
x<br />
]i exist` lim .<br />
<br />
x0<br />
x<br />
ax<br />
b, x 0<br />
128
2.2. Opera\ii cu func\ii continue<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 187 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se studieze continuitatea func\iilor f , g : D Z ]i a func\iilor f g,<br />
f g f g f<br />
, , , [n<br />
g<br />
cazurile:<br />
2 2<br />
a) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1;<br />
b) f ( x ) x 1, g ( x ) 3 x x<br />
;<br />
x<br />
c) f ( x ) 2 , g ( x ) x;<br />
d) f ( x ) ln x; g ( x ) ln<br />
x<br />
1 ;<br />
2<br />
x 1, e) f ( x ) <br />
x<br />
1, x 0<br />
,<br />
x 0<br />
g ( x ) x 1<br />
;<br />
2x<br />
1, f) f ( x ) <br />
x<br />
1, x 0<br />
,<br />
x 0<br />
1<br />
x, g ( x ) x<br />
1, x 0<br />
x 0 .<br />
E2. S` se studieze continuitatea func\iilor compuse f g ]i g f [n cazul func\iilor f , g :Z Z.<br />
2<br />
a) f ( x ) x 1, g ( x ) 2x 3<br />
; b) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1<br />
;<br />
2<br />
c) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1<br />
; d) f ( x ) ln( x 1), g ( x ) 2x 1.<br />
Sintez`<br />
S1. Se dau func\iile f , g :Z Z,<br />
f ( x )<br />
2<br />
x<br />
a, x 0 2ax,<br />
x 0<br />
, g ( x ) <br />
.<br />
2 2<br />
x<br />
1, x 0 x<br />
x , x 0<br />
S` se determine a Z pentru care func\ia f g este continu` pe Z.<br />
S2. S` se studieze continuitatea func\iilor f :Z Z ]i f 2 [n cazurile:<br />
1,<br />
x 1<br />
x,<br />
x 1<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) <br />
1,<br />
x 1<br />
1,<br />
x 1<br />
;<br />
x<br />
a, x 1<br />
2x<br />
a, x 2<br />
c) f ( x ) ; d) f ( x ) <br />
2x<br />
1, x 1<br />
x<br />
a, x 2<br />
.<br />
S3. S` se studieze continuitatea func\iei f g [n cazurile:<br />
a) f ( x ) 2x 4, g ( x ) sgn( x ), x Z;<br />
b) f ( x ) 3x 6, g ( x ) x 1, x Z<br />
;<br />
1,<br />
x 1<br />
1x,<br />
x 1<br />
2<br />
a , x 1<br />
c) f ( x ) <br />
, g ( x ) 2x 1, Z<br />
; d) f ( x ) , g ( x ) <br />
.<br />
2,<br />
x 1<br />
0,<br />
x 1<br />
x,<br />
x 1<br />
S4. S` se studieze continuitatea func\iilor f g, g f :<br />
x<br />
e , x 0 ln<br />
x, x 1<br />
a) f ( x ) <br />
, g ( x ) <br />
x<br />
1, x 0 x,<br />
x 1<br />
;<br />
<br />
x , x 2<br />
0 x<br />
, x 0<br />
b) f ( x ) <br />
, g ( x ) <br />
.<br />
3<br />
3<br />
x , x 0 1x , x 0<br />
129
2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 191 manual<br />
Exersare<br />
E1. Fie f : Z Z, f ( x ) 31. S` se arate c` f are proprietatea lui Darboux pe intervalele<br />
( 2,<br />
2)<br />
]i 0, 3.<br />
Exist` intervale pe care f nu are proprietatea lui Darboux?<br />
I 1<br />
I 2<br />
E2. S` se stabileasc` dac` func\ia f : D Z are proprietatea lui Darboux pe intervalul dat:<br />
x,<br />
x 0<br />
a) f ( x ) <br />
, I 1, 1 ;<br />
sin<br />
x, x 0<br />
ln(<br />
1x<br />
)<br />
, x ( 1,<br />
0)<br />
b) f ( x ) <br />
x<br />
, I 1, 2 ;<br />
<br />
x<br />
cos x, x 0, <br />
arcsin x, x , <br />
c) f ( x )<br />
, I ,<br />
x<br />
x , x ( , ) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 0 1 <br />
<br />
<br />
3 0<br />
2 <br />
2 .<br />
E3. S` se stabileasc` semnul func\iei f : D Z:<br />
a) f ( x ) x x<br />
;<br />
3<br />
x<br />
b) f ( x ) 2 1<br />
;<br />
x1<br />
c) f ( x ) 3 9;<br />
d) f ( x ) sin x, x 0, 2 .<br />
Sintez`<br />
S1. S` se arate c` func\iile f : D Z, au proprietatea lui Darboux pe oricare interval din<br />
domeniul de defini\ie:<br />
1<br />
x<br />
, x 1<br />
2<br />
2<br />
1x<br />
x 5x 6, x 1<br />
<br />
<br />
a) f ( x ) 0,<br />
25, x 1<br />
; b) f ( x ) <br />
x 1sin( x 1)<br />
<br />
<br />
, x 1<br />
sin(<br />
4x 4)<br />
2<br />
, x ( 0, 1<br />
3( x 1)<br />
2<br />
<br />
8x 8<br />
;<br />
0,<br />
x 2<br />
<br />
<br />
c) f ( x ) 1<br />
1<br />
<br />
<br />
0, x m<br />
<br />
x ; d) f ( x ) <br />
.<br />
<br />
1<br />
3 2<br />
, x 2<br />
sin(<br />
x<br />
), x Z<br />
S m<br />
<br />
<br />
S2. Folosind consecin\a 1 a propriet`\ii lui Darboux, s` se arate c` urm`toarele ecua\iile au cel<br />
pu\in o solu\ie pe intervalul dat:<br />
3 2<br />
3<br />
a) x 4x 5 0, I 0,<br />
2;<br />
b) x 5x 27 0, I 0,<br />
3<br />
;<br />
x<br />
c) x 2 2 0, I 0,<br />
1<br />
; d) x x I <br />
<br />
1 0<br />
<br />
<br />
2 <br />
0<br />
sin , ,<br />
<br />
;<br />
e) x ln x 0, I ( 0, 1 ) .<br />
130
S3. S` se stabileasc` semnul func\iei f : D Z:<br />
x<br />
x x<br />
a) f ( x ) x ( 2 1<br />
);<br />
b) f ( x ) ( x 1)( 3 2<br />
);<br />
x<br />
c) f ( x ) ( 3 1) log 2 ( x 2);<br />
d) f ( x ) ;<br />
x<br />
2 1<br />
2<br />
x 11 3 4<br />
e) f ( x ) ;<br />
f) f ( x ) ( x x )( x 16<br />
) .<br />
x 3<br />
S4. S` se rezolve inecua\iile:<br />
x 2<br />
3<br />
a) ( 2 1)( x 1) 0;<br />
b) ( x x )( 1 x 1) 0;<br />
2<br />
x x<br />
c) x 1 x 1 x 1 0;<br />
d) ( 2 3 ) 2 log ( x 1) 0.<br />
S5. Se consider` func\ia f , f x x e x<br />
: Z Z ( ) .<br />
a) S` se arate c` func\ia f este strict monoton` pe .<br />
b) Folosind proprietatea lui Darboux, s` se arate c` func\ia f este surjectiv`.<br />
pag. 192 manual<br />
Teste de evaluare<br />
x<br />
Testul 1<br />
1. S` se studieze continuittea func\iei f :Z Z,<br />
x x<br />
<br />
f x x x<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
, Z S 1,<br />
0, 1<br />
2<br />
( ) <br />
<br />
.<br />
<br />
1<br />
, x 1,<br />
0, 1<br />
2. S` se determine parametrul real pentru care func\ia f :Z Z,<br />
este continu` pe Z.<br />
ax x<br />
2 , x 1<br />
f ( x ) ax<br />
4 1, x 1<br />
3. S` se stabileasc` semnul func\iei f :( 0, ) Z,<br />
<br />
x1 x1<br />
f ( x ) 2 1 ( 3 9).<br />
131<br />
2
Testul 2<br />
2<br />
sin 2x<br />
, x ( ,<br />
0)<br />
2<br />
x<br />
<br />
1. S` se studieze continuitatea func\iei f :Z Z,<br />
f ( x ) ax<br />
b, x 0,<br />
1<br />
<br />
sin(<br />
x 1)<br />
, x ( 1, )<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
parametrii reali a ]i b.<br />
x<br />
, x {<br />
<br />
2<br />
x<br />
, x Z<br />
S {<br />
a) Fie I 2, 3.<br />
Exist` valori ale lui x I pentru care f ( x ) 35 , ?<br />
2. Fie f :Z Z, f ( x )<br />
b) Func\ia f are proprietatea lui Darboux pe I?<br />
x<br />
3<br />
3. S` se rezolve inecua\ia ( 2 16)( x x ) 0.<br />
Testul 3<br />
[n func\ie de<br />
1. Se consider` func\ia f :Z Z,<br />
f ( x ) x x..<br />
S` se studieze continuitatea func\iei f [n x 0 m.<br />
2. S` se studieze continuitatea func\iei f :Z Z,<br />
f ( x )<br />
2 x<br />
a x , x a<br />
<br />
pentru a Z.<br />
2<br />
2x<br />
ax , x a<br />
x a<br />
3. S` se stabileasc` semnul func\iei f :Z Z, f ( x ) ( 2 2 )( x a)<br />
[n func\ie de valorile<br />
parametrului real a.<br />
Testul 4<br />
*<br />
1. Se consider` func\ia f :q Z, dat` de rela\ia f ( n)<br />
lim<br />
S` se calculeze suma f ( 1) f ( 2)<br />
... f ( n).<br />
x<br />
2<br />
n 2 3<br />
x x<br />
x x<br />
2 n2<br />
2. S` se arate dac` f : a, b<br />
Z este func\ie continu` ]i f ( x ) a, f ( b) b,<br />
atunci exist`<br />
x 0 a, b<br />
cu proprietatea c` f ( x 0 ) x 0.<br />
3. S` se studieze semnul func\iei f :Z Z, f ( x )<br />
132<br />
x<br />
(<br />
2 2)(log 2 x 1), x 0<br />
<br />
.<br />
3<br />
x x , x 0<br />
.
Capitolul 3. Func\ii derivabile<br />
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 202 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se stabileasc` dac` graficul func\iei f : D Z admite tangent` [n punctul specificat,<br />
dac`:<br />
2 <br />
2<br />
2x 3x , x 0<br />
a) f ( x ) 3x 4x , x 0 2;<br />
b) f ( x ) <br />
, x 0<br />
2 0 ;<br />
5x 3x , x 0<br />
c) f ( x ) x x 1, x 0 1<br />
; d) f ( x ) x x , x 0.<br />
E2. S` se arate c` func\ia f : D Z are derivat` [n punctul specificat ]i s` se calculeze aceasta:<br />
2<br />
a) f ( x ) 3x 11, x 0 1;<br />
b) f ( x ) x 3x 11, x 0 2<br />
;<br />
1<br />
c) f ( x ) , x 0 0;<br />
d) f ( x ) x 1, x 0 0;<br />
x 5<br />
x<br />
e) f ( x ) 2 3, x 0 1;<br />
f) f ( x ) sin x sin 2x, x 0 0.<br />
E3. S` se studieze derivabilitatea func\iei f : D Z [n punctul specificat ]i s` se scrie ecua\ia<br />
tangentei [n acest punct:<br />
2<br />
3<br />
a) f ( x ) 2x x , x 0 0,<br />
1, 2;<br />
b) f ( x ) x , x 0 0, 1, 1<br />
;<br />
x<br />
c) f ( x ) sin x x, x 0 0,<br />
;<br />
d) f ( x ) , x , , <br />
2 0 1 0 1 .<br />
x 1<br />
E4. S` se determine derivatele laterale ale func\iei f : D Z [n punctele date:<br />
a) f ( x ) x 1, x 0 1<br />
; b) f ( x ) x x , x 0 0 ;<br />
x<br />
1, x 1<br />
sin(<br />
x ), x 1<br />
c) f ( x ) , x 1<br />
2 0 d) f ( x ) <br />
, x 0 1.<br />
x<br />
1, x 1<br />
ln<br />
x, x 1<br />
Sintez`<br />
S1. S` se studieze dac` urm`toarele func\ii f : D Z admit tangent` la grafic [n punctele<br />
specificate:<br />
x<br />
x 1, x 0<br />
a) f ( x ) , x 0 1, 0, 1;<br />
cos<br />
x, x 0<br />
x1<br />
e , x 1<br />
<br />
b) f ( x ) <br />
x1<br />
1e<br />
, x 0 1, 0 ;<br />
, x 1<br />
2<br />
x1<br />
e 1, x 0<br />
c) f ( x ) <br />
, x 0 1, 0, 2 .<br />
ln(<br />
12x ), x 0<br />
133<br />
2<br />
0
S2. S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei f : D Z [n punctele specificate:<br />
2<br />
x ax, x 0<br />
a) f ( x ) <br />
, x 0 0;<br />
2x<br />
1, x 0<br />
4x<br />
a, x 2<br />
b) f ( x ) <br />
, x 2<br />
2 0 ;<br />
x<br />
ax b, x 2<br />
c) f ( x ) min( x, 2x 1), x 1<br />
0 ;<br />
<br />
2<br />
x 1 a, x 1<br />
d) f ( x ) <br />
, x 0 1.<br />
arccos x b, x 0,<br />
1<br />
S3. Fie f : D Z ]i x 0 D,<br />
punct de continuitate al func\iei f. Punctul M ( x 0, f ( x 0 )) se nume]te<br />
punct unghiular al graficului func\iei f dac` func\ia f are derivate laterale diferite [n x 0 ]i cel<br />
pu\in una dintre ele este finit`.<br />
S` se studieze dac` punctul de abscis` x 0 este punct unghiular [n cazurile:<br />
2x<br />
1, x 1<br />
2 x<br />
1, x 0<br />
a) f ( x ) <br />
, x 1<br />
2 0 ; b) f ( x ) <br />
, x<br />
x<br />
0 0;<br />
x<br />
x 1, x 1<br />
e , x 0<br />
2<br />
x , x 0<br />
c) f ( x ) <br />
, x 0 0.<br />
sin<br />
x, x 0<br />
S4. Fie f : D Z ]i x 0 punct de continuitate al func\iei f. Punctul M ( x 0, f ( x 0 )) se nume]te<br />
punct de [ntoarcere al graficului func\iei f dac` func\ia f are derivate laterale [n x 0 infinite ]i de<br />
semne contrare.<br />
S` se determine dac` punctul de abscis` x 0 este punct de [ntoarcere [n cazurile:<br />
<br />
1x , x 1<br />
<br />
x 3, x 3<br />
a) f ( x ) <br />
, x 0 1;<br />
b) f ( x ) <br />
, x 0 3.<br />
x 1, x 1<br />
2 3x , x 3<br />
S5. S` se determine parametrii reali pentru care graficele func\iilor f , g :Z Z admit tangent`<br />
comun` [n punctul de abscis` x 0 Z.<br />
2<br />
a) f ( x ) 2x a, g ( x ) x bx b, x 1;<br />
2 2<br />
b) f ( x ) x ax b, g ( x ) 2x x 1, x 1.<br />
0<br />
3 2 2<br />
S6. Se dau func\iile f , g : D Z, f ( x ) x ax b, g ( x ) 3x cx 1.<br />
S` se determine:<br />
a) c Z pentru care tangenta la graficul func\iei g [n punctul de abscis` x 0 1este<br />
paralel`<br />
cu dreapta de ecua\ie y 7x 6.<br />
b) a, b Z, ]tiind c` tangenta [n punctul x 0 1,<br />
la graficul func\iei f este paralel` cu dreapta<br />
y 5x 1,<br />
iar [n punctul de abscis` x 0 1,<br />
tangenta are ecua\ia y x 5.<br />
2 2<br />
S7. Se dau func\iile f , g : Z Z, f ( x ) 2x ax b, g ( x ) x bx a.<br />
S` se determine<br />
a, b Z pentru care graficele celor dou` func\ii admit tangent` comun`.<br />
0<br />
134
3.2. Derivatele unor func\ii elementare<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 209 manual<br />
TEM~<br />
1. Aplic@nd formulele ob\inute, s` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:<br />
a) f ( x ) 2007, x Z;<br />
b) f ( x ) 5 2, x Z;<br />
c) f ( x ) sin 5, x Z;<br />
d) f ( x ) x , x Z;<br />
2007<br />
e) f ( x ) x , x Z;<br />
f) f ( x ) log 3 x, x ( 0 , )<br />
;<br />
x<br />
g) f ( x ) log 0, 3 x, x ( 0 , )<br />
; h) f ( x ) 2 , x ( 0 , )<br />
;<br />
2 x 2 x 2<br />
i) f ( x ) cos sin , x Z;<br />
j) f ( x ) log 3(<br />
5x ) log 3(<br />
5x ), x 0;<br />
2 2<br />
7<br />
k) f ( x ) x 3, x 0; l) f ( x ) e , x Z.<br />
x<br />
2. Pentru func\ia f : Z Z, f ( x ) 4 , s` se calculeze f '( 0), f ( 1) ',<br />
f '( 1)<br />
.<br />
3. Pentru func\ia f : Z Z, f ( x ) x<br />
3<br />
, s` se calculeze<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f ( 1), f ( 1) , f ( 27), f ( 27)<br />
,<br />
1 1 <br />
<br />
f , <br />
f <br />
.<br />
8 8<br />
135<br />
3<br />
2x
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 213 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:<br />
3<br />
4<br />
a) f ( x ) x 3x 1<br />
;<br />
b) f ( x ) 2x x<br />
;<br />
c) f ( x ) x 2 x ;<br />
d) f ( x ) x sin x cos<br />
x ;<br />
e) f ( x ) x ln<br />
x ;<br />
2 3<br />
f) f ( x ) 2 3 x<br />
;<br />
3<br />
x x<br />
g) f ( x ) log2 x log<br />
3 x ; h) f ( x ) 4sin x 5 cos x 3 ;<br />
2<br />
i) f ( x ) x log 3 x sin<br />
x ; j) f ( x ) x 2 tg<br />
x ;<br />
2 2 3 3<br />
k) f ( x ) ( x 1) ( x 1)<br />
; l) f ( x ) 2 x 2 log<br />
x ;<br />
3<br />
4<br />
m) f ( x ) log x log<br />
x ; n) f ( x ) 2tg x ctg<br />
x ;<br />
3<br />
3<br />
2<br />
x1 x1<br />
p) f ( x ) x 2 2x<br />
;<br />
q) f ( x ) 2 3<br />
.<br />
E2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:<br />
a) f ( x ) x log 2 x ;<br />
b) f ( x ) x x ;<br />
2<br />
c) f ( x ) x sin x ;<br />
d) f ( x ) x cos x ;<br />
x x<br />
2<br />
e) f ( x ) ( 2 1)( 3 1<br />
);<br />
f) f ( x ) ( 2ln x 1)<br />
log 2 x ;<br />
g) f ( x ) ( x x )( x x );<br />
3<br />
2 3<br />
h) f ( x ) ( 3x<br />
) ;<br />
3 2<br />
i) f ( x ) ( x x ) ;<br />
j) f ( x ) x ln x ln x ;<br />
2<br />
k) f ( x ) x sin x ;<br />
l) f x x e x<br />
( ) 1 .<br />
2<br />
E3. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:<br />
a) f ( x ) ;<br />
x<br />
1 b) f ( x ) ;<br />
x<br />
1<br />
x<br />
c) f ( x ) ;<br />
2 x<br />
1<br />
x<br />
d) f ( x ) ;<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
x x 1<br />
x<br />
e) f ( x ) ; f) f ( x ) ;<br />
1<br />
2<br />
2<br />
x x 1<br />
x x 1<br />
sin x<br />
cos x<br />
g) f ( x ) ; h) f ( x )<br />
1cos<br />
x<br />
sin x<br />
; tgx<br />
i) f ( x ) ;<br />
1<br />
sin x<br />
1<br />
x ln x<br />
j) f ( x )<br />
x ln x<br />
;<br />
x<br />
1 x x<br />
e<br />
k) f ( x ) ; l) f ( x ) ;<br />
1 x<br />
1<br />
x<br />
e<br />
1<br />
2<br />
tgx<br />
x<br />
m) f ( x ) ; n) f ( x ) .<br />
1tg<br />
x<br />
x<br />
1 tg<br />
1ctg<br />
E4. Pentru func\ia f : D Z s` se rezolve ecua\ia f '( x ) 0 preciz@nd mul\imile D ]i D f [n<br />
fiecare caz:<br />
a) f ( x ) x x ;<br />
3 3 2<br />
12 b) f ( x ) 2x 15x 24x 5;<br />
2<br />
c) <br />
f x x x e x<br />
( ) 6 15 ; d) f ( x ) x ln x ;<br />
2<br />
1<br />
x 3x 3<br />
e) f ( x ) ;<br />
f) f ( x ) ;<br />
2<br />
2<br />
x 6x 8<br />
x 5x 7<br />
sin x 2 x<br />
g) f ( x ) ;<br />
h) f ( x ) .<br />
cos x<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
136<br />
2<br />
0, 5
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:<br />
x sin x cos x<br />
a) f ( x )<br />
x cos x sin x<br />
;<br />
<br />
n<br />
<br />
x x x x<br />
b) f ( x ) e<br />
... n<br />
<br />
! ! n!<br />
,<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1 q .<br />
1 2<br />
2<br />
3x 2<br />
S2. Fie f : Z S1 Z, f ( x ) <br />
x 1<br />
.<br />
a) S` se calculeze derivata func\iei f.<br />
b) S` se determine punctele M ( x 0, f ( x 0 )) de pe graficul func\iei f [n care tangenta ese<br />
paralel` cu dreapta y 2x 1.<br />
c) S` se determine punctele M ( x 0, f ( x 0 )) de pe graficul func\iei f [n care tangenta este<br />
perpendicular` pe dreatpa y x.<br />
x<br />
x a e<br />
S3. Se consider` func\iile f , g : Z Z, f ( x ) , g ( x )<br />
x<br />
x<br />
<br />
. S` se deter- mine a Z<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
x<br />
2g<br />
( x )<br />
pentru care are loc egalitatea e f '( x ) g '( x ) , x Z.<br />
2<br />
x 1<br />
x m<br />
S4. Fie f : Z Z, f ( x ) . S` se determine m Z pentru care f '( x ) 0, Z<br />
.<br />
2<br />
x x 1<br />
x 2<br />
S5. Se consider` f : Z Z, f ( x ) e ( x mx m)<br />
:<br />
a) S` se determine m Z cu proprietatea c` f ( x ) 0 dac` ]i numai dac` x 2, 2.<br />
e<br />
b) Pentru m 1 se noteaz` g ( x ) . S` se calculeze:<br />
f '( x )<br />
Sn g ( 0) g ( 1) ... g ( n), n q.<br />
x<br />
137
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 220 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :<br />
2 3<br />
2<br />
a) f ( x ) ( x 1) , x ;<br />
b) f ( x ) ln( x 1), x ;<br />
x<br />
c) f x<br />
x x<br />
( ) ln , ( , )<br />
<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1 ; d) f x<br />
1<br />
x x<br />
( ) , ( , )<br />
0 ;<br />
1<br />
x<br />
2<br />
e) f ( x ) x e , x ;<br />
f) f ( x ) sin ( x 1), x ;<br />
2<br />
g) f ( x ) cos( x x 1), x ;<br />
h) f ( x ) sin x , x ( 0, ) ;<br />
2<br />
i) f ( x ) x x 1, x ;<br />
j) f ( x ) x e , x ( 0 , )<br />
.<br />
E2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :<br />
2<br />
x<br />
a) f ( x ) ln( 1sin<br />
x ), x ;<br />
b) f ( x ) ln( 1e ), x ;<br />
2<br />
c) f ( x ) 1sin<br />
x , x ;<br />
d) f ( x ) sin( x x ), x ( 0 , )<br />
;<br />
x<br />
e) f ( x ) arcsin , x ( , )<br />
<br />
<br />
<br />
0 2 ; f) f ( x ) arccos <br />
1 <br />
, x ( 3 , )<br />
.<br />
2 <br />
x<br />
1<br />
E3. S` se determine domeniul de derivabilitate pentru func\iile f : D :<br />
a) f ( x ) x 1, x 1 , ;<br />
b) f ( x ) e<br />
x<br />
, x 0 , ;<br />
2<br />
3<br />
c) f ( x ) x 1 , x ;<br />
d) f ( x ) ln( 1e ), x ;<br />
e) f ( x ) arcsin x , x 1, 1 ;<br />
f) f ( x ) arccos x , x 1, 1 .<br />
2<br />
E4. Fie func\iile f : 0, 3, , f ( x ) x 3]i<br />
g: ,<br />
g ( x ) x<br />
3 .<br />
a) S` se arate c` f ]i g sunt bijective. b) S` se calculeze ( f ) ( )<br />
1 4 ]i ( g ) ( )<br />
1 8 .<br />
Sintez`<br />
S1. S` se calculeze derivatele func\iei f : D , specific@nd domeniul de derivabilitate:<br />
a) f ( x ) <br />
2<br />
x 1 , x ;<br />
b) f ( x ) 1ln x , x 0<br />
, e;<br />
2x<br />
1x<br />
c) f ( x ) arcsin , x ;<br />
d) f ( x ) arcsin , x ;<br />
2<br />
2<br />
1x<br />
1x<br />
x<br />
e) f ( x ) x , x 0; f) f ( x ) x , x 0.<br />
S2. S` se rezolve ecua\ia f ( x ) 0 pentru fiecare func\ie f : D , preciz@nd D ]i D f :<br />
2 3 2<br />
a) f ( x ) ( 2x 6x<br />
) ; b) f ( x ) cos x cos 2x, x 0,<br />
;<br />
x<br />
2<br />
x<br />
ln( x1)<br />
2<br />
2<br />
c) f ( x ) x 6x 5;<br />
d) f ( x ) ln( 3x 2x<br />
) ; e) f ( x ) <br />
3<br />
3 2<br />
x<br />
f) f ( x ) arctg ( 4x 3x 1)<br />
; g) f ( x ) 2 1<br />
; h) 2 f ( x ) <br />
x<br />
S3. Se consider` f : ,<br />
f ( x ) x 2 .<br />
e x<br />
2<br />
3 2<br />
x 3x<br />
2<br />
;<br />
x 4<br />
3x 8<br />
.<br />
a) S` se arate c` func\ia f este inversabil`. b) S` se calculeze ( f ) ( )<br />
3 .<br />
S4. Se consider` func\ia f :( 1, ) , f ( x ) x ln( x 1)<br />
.<br />
a) S` se arate c` func\ia f este inversabil`. b) S` se calculeze ( f ) ( )<br />
1 1 2 ]i ( f ) ( e2<br />
) .<br />
138<br />
1
3.4. Derivata de ordinul doi<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 224 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se stuieze dac` func\ia f : D este de dou` ori derivabil` [n punctele specificate:<br />
3<br />
f ( x ) x x, x ,<br />
x<br />
f ( x ) x e , x 0, 1<br />
a) 0 1 0 ;<br />
b) 0 <br />
c) f ( x ) sin x cos x, x 0 0,<br />
;<br />
d) f ( x ) x x, x 0 <br />
, <br />
1 4 ;<br />
x<br />
x<br />
e) f ( x ) , x <br />
, <br />
2 0 0 1 ; f) f x<br />
<br />
x 1<br />
x x<br />
sin<br />
( ) , ,<br />
sin 0 0 ;<br />
1<br />
x<br />
e<br />
2<br />
g) f ( x ) , x , <br />
x 0 0 1 ; h) f ( x ) x ln x, x 0 1<br />
, e.<br />
1e<br />
E2. S` se arate c` func\ia f : este derivabil` de dou` ori [n punctul specificat:<br />
3 x<br />
, x T0<br />
sin<br />
x, x T0<br />
a) f ( x ) <br />
, x <br />
4<br />
0 0;<br />
b) f ( x ) <br />
, x 0<br />
3<br />
0<br />
5x , x 0<br />
x<br />
x, x 0<br />
3 <br />
3<br />
x ln x, x 0<br />
c) f ( x ) x x , x 0 0; d) f ( x ) <br />
, x <br />
3<br />
0 0<br />
x , x T0<br />
E3. Folosind regulile de calcul cu derivate, s` se calculeze derivata de ordinul doi pentru<br />
f : D :<br />
2<br />
a) f ( x ) 2x 5x;<br />
b) f ( x ) x x<br />
3<br />
x<br />
4 ; c) f ( x ) e x;<br />
d) f ( x ) x ln x;<br />
e) f ( x ) x ln x;<br />
f) f x x e x<br />
( ) 2<br />
;<br />
g) f ( x ) x ln x<br />
2<br />
; h) f ( x ) sin x<br />
2<br />
j) f ( x ) x sin x cos x;<br />
k) f ( x ) x x , x <br />
x<br />
m) f ( x ) <br />
x<br />
1<br />
x<br />
; n) f ( x ) <br />
2<br />
2<br />
x 1<br />
.<br />
Sintez`<br />
2<br />
; i) f ( x ) cos x;<br />
0; l) f ( x ) x tg x;<br />
S1. S` se arate c`:<br />
a) dac` f : f x <br />
sin x,<br />
atunci:<br />
<br />
<br />
<br />
f ( x ) sin x , 2 <br />
f ( x ) sin( x <br />
) .<br />
b) dac` f : f x <br />
cos x,<br />
atunci:<br />
<br />
<br />
<br />
f ( x ) cos x , 2 <br />
f ( x ) cos ( x <br />
) .<br />
2x S2. S` se verifice dac` func\ia f : ,<br />
f ( x ) e ( 34 x ) verific` egalitatea:<br />
2x<br />
f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) e ( 4x 11), x <br />
x<br />
S3. Fie f : ,<br />
f ( x ) e sin x.<br />
S` se determine a cu proprietatea c`:<br />
f ( x ) af ( x ) af ( x ) 0, x <br />
139<br />
3
2x<br />
S4. S` se determine a, b ]tiind c` func\ia f : ,<br />
f ( x ) e (sin x cos<br />
x ) verific`<br />
egalitatea:<br />
f ( x ) ( a b) f ( x ) ( ab2) f ( x ) 0, x .<br />
2<br />
S5. S` se determine func\ia polinomial` de gradul doi f : ,<br />
f ( x ) ax bx c<br />
care verific`<br />
rela\iile: f ( 2) 9, f ( 1) 2 ]i f ( 0) 8.<br />
3 2<br />
S6. Exist` o func\ie polinomial` de gradul trei f : ,<br />
f ( x ) ax bx cx 1,<br />
care s` verifice<br />
condi\iile f ( 1) 6, f ( 1) 3<br />
]i f ( 2) 4?<br />
S7. S` se determine a, b, c dac` f : D este de dou` ori derivabil` pe D.<br />
3 x<br />
ax,<br />
a) f ( x ) <br />
3 2<br />
x bx c, x T 0<br />
3 x<br />
3x a1, ; b) f ( x ) <br />
2<br />
x 0<br />
ax bx c, x T 2<br />
;<br />
x 2<br />
asin<br />
x b<br />
cos x, c) f ( x ) <br />
2 2<br />
c<br />
sin x x ,<br />
3 2<br />
2x cx 8x b,<br />
x < 0<br />
x T <br />
; d) f ( x ) <br />
3, x 0.<br />
x 2<br />
x<br />
ax b, x 0<br />
140
3.5 Regulile lui l'Hôspital<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 229 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se calculeze<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2006<br />
x 3x 2<br />
x 4<br />
x 1<br />
x 1<br />
a) lim ; b) lim ; c) lim<br />
; d) lim<br />
x1<br />
2<br />
x 1<br />
x2<br />
3<br />
x 8<br />
x1<br />
2<br />
x 4x 3<br />
x1<br />
2007<br />
x 1<br />
;<br />
3<br />
x 27<br />
x sin<br />
x x ln( x 1<br />
) sin x 3sin<br />
8x<br />
e) lim ; f) lim ; g) lim<br />
; h) lim<br />
x3<br />
2<br />
x 4x 3<br />
x0<br />
2<br />
x sin<br />
x x0<br />
x sin x<br />
x0<br />
sin 7x sin<br />
2 x<br />
.<br />
E2. S` se calculeze:<br />
a) lim sin<br />
2<br />
x<br />
; b) lim<br />
x0<br />
2 2<br />
x sin<br />
x<br />
cos 1 3x<br />
x sin<br />
x<br />
; c) lim ;<br />
x0<br />
1cos<br />
x<br />
x0<br />
3<br />
x<br />
x<br />
2<br />
e cos<br />
x<br />
x sin<br />
x<br />
d) lim ; e) lim<br />
x0<br />
2<br />
x x<br />
x0<br />
x<br />
2e 22x x<br />
2<br />
nx ( n1) x x<br />
; f) lim<br />
.<br />
x1<br />
2<br />
( x 1)<br />
x1<br />
n2 n1<br />
E3. S` se calculeze:<br />
3<br />
2<br />
2x 4x 9<br />
3x<br />
x ln<br />
x ln(sin 2 x )<br />
a) lim<br />
; b) lim<br />
; c) lim ;<br />
x<br />
3<br />
x 3x 16<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
x ln<br />
x x<br />
ln(sin x )<br />
x<br />
0 0<br />
ln( 2x<br />
)<br />
ln( 1sin 2x<br />
) ln( x x 1<br />
)<br />
d) lim ; e) lim ; f) lim .<br />
x0<br />
ctg(<br />
3x<br />
)<br />
x0<br />
ln( 1sin<br />
x ) x<br />
x<br />
x0<br />
E4. S` se calculeze:<br />
x<br />
a) lim x ln ; b) lim( x ) x<br />
x<br />
x 1 x<br />
<br />
x<br />
ctg ; c) lim x ln<br />
<br />
x0<br />
2<br />
x 1<br />
;<br />
x0<br />
d) lim arcsin x ln x;<br />
e) lim e x ln x;<br />
f) lim ( x 2<br />
) e x2<br />
.<br />
x<br />
x<br />
0 0<br />
pag. 230 manual<br />
x0<br />
x0<br />
1<br />
<br />
x2<br />
x2<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
3<br />
1. Fie f : ,<br />
f ( x ) x ax 1.<br />
S` se determine a pentru care tangenta la graficul<br />
func\iei f [n punctul x 0 1trece<br />
prin punctul M ( 2, 1 ) .<br />
x<br />
,<br />
2. S` se determine derivatele laterale ale func\iei f : ,<br />
f ( x ) x 1<br />
<br />
<br />
sin x, x 0 0.<br />
3. S` se calculeze derivatele de ordinul doi pentru func\ia f, [n cazurile:<br />
x U 0<br />
[n punctul<br />
x 0<br />
a) f :( 0, ) , f ( x ) x ln( x 1)<br />
; b) f : ,<br />
2<br />
f ( x ) arctg x ln( x 1<br />
) .<br />
141<br />
2<br />
1
Testul 2<br />
x<br />
sin x, x 0<br />
1. S` se determine derivabilitatea func\iei f : ,<br />
f ( x ) <br />
pe mul\imea .<br />
2 2<br />
ax<br />
a 1,<br />
x T 0<br />
2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :<br />
2<br />
x x 2<br />
2<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) x x x 2.<br />
2<br />
x x 2<br />
3. S` se calculeze:<br />
a) lim<br />
x0<br />
2<br />
x x 11 2x ln( x 1)<br />
; b) lim<br />
x 11 x<br />
3x ln( 2x 1<br />
)<br />
.<br />
Testul 3<br />
1cos xcos 2xcos 3 x<br />
e cos<br />
x<br />
1. S` se calculeze: a) lim ; b) lim .<br />
x0<br />
2<br />
x<br />
x0<br />
2<br />
sin x<br />
2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :<br />
2x<br />
a) f ( x ) arcsin<br />
1x<br />
2<br />
; b) f ( x ) ln<br />
1x<br />
1x<br />
3. S` se determine valorile parametrilor a, b, c pentru c are func\ia f : D este de dou` ori<br />
derivabil` pe D.<br />
x<br />
a x 1,<br />
xT<br />
0<br />
3<br />
x ln x a, x 0<br />
a) f ( x ) <br />
; b) f ( x ) <br />
bsin<br />
x c, x 0<br />
b<br />
cos x 1,<br />
xT<br />
0<br />
.<br />
142<br />
2<br />
2 .<br />
x<br />
2
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor<br />
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 239 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se studieze dac` se poate aplica teorema lui Lagrange func\iilor:<br />
2<br />
a) f : 3, 2 , f ( x ) 2x 3x<br />
; b) f : 1, e , f ( x ) ln x;<br />
x 1<br />
c) f : 1, 2<br />
, f ( x ) <br />
x 1<br />
<br />
; c) f : 0, 1 , f ( x ) x 2x 1<br />
.<br />
<br />
E2. S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei f : D :<br />
a) f ( x ) x x<br />
2<br />
3 4 2<br />
4 ; b) f ( x ) 3x<br />
x<br />
; c) f ( x ) x 8<br />
x ;<br />
d) f x x e x<br />
( ) ; e) f ( x ) x ln x;<br />
f) f ( x ) x ln x;<br />
2<br />
x<br />
g) f ( x ) <br />
x<br />
1<br />
x<br />
; h) f ( x ) <br />
1<br />
x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
.<br />
E3. S` se determine punctele de extrem pentru func\ia f : D :<br />
a) f ( x ) x x<br />
3<br />
6 ; b) f x x e x<br />
2<br />
x 4x 1<br />
( ) ( 1 ) ; c) f ( x ) ;<br />
x 1<br />
x1<br />
x<br />
d) f ( x ) ; e) f ( x ) x 2arctg x;<br />
f) f ( x ) ;<br />
2<br />
x x 1<br />
ln x<br />
g) f x x x e x<br />
( ) ( )<br />
<br />
2<br />
1 ; h) f ( x ) x 1.<br />
Sintez`<br />
S1. S` se determine constantele reale pentru care se poate aplica teorema lui Lagrange func\iei f:<br />
a) f : 1, 2<br />
,<br />
2 x<br />
ax,<br />
xT<br />
1<br />
f ( x ) <br />
;<br />
2<br />
5x bx , x 1<br />
b) f : 0, 2<br />
,<br />
a sin x, x <br />
f ( x ) <br />
acos x bx, x <br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
<br />
.<br />
<br />
S2. S` se studieze monotonia func\iei f : D ]i s` se determine punctele de extrem, [n<br />
cazurile:<br />
2 2<br />
x 4x 1<br />
x<br />
2<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x ) x ln x;<br />
x 1<br />
4<br />
x 4<br />
d) f ( x ) x x 1; e) f ( x ) x 2 2<br />
x 1;<br />
f) f ( x ) ln x x<br />
5<br />
arctg ;<br />
2<br />
g) f ( x ) x x<br />
3 3<br />
3 ; h) f ( x ) ln1<br />
2<br />
x 1;<br />
i) f ( x ) arctgx <br />
2<br />
1x<br />
;<br />
j) f ( x ) arcsin<br />
2x<br />
143<br />
1x<br />
2 .
S3. S` se determine valoarea parametrului m pentru care func\ia f : D este monoton`<br />
pe D.<br />
a) f ( x ) x mx<br />
3<br />
; b) f x x m e x<br />
( ) ( )<br />
2 2 ;<br />
3 2<br />
c) f ( x ) 2x 5mx 6x 1;<br />
d) f ( x ) x x m<br />
ln x.<br />
S4. S` se determine m pentru care func\ia f : ,<br />
f x x mx e x<br />
2 2<br />
( ) ( 1)<br />
are dou` puncte de extrem.<br />
m x<br />
S5. Fie f : 1 2 ,<br />
f ( x ) . S` se determine m pentru care func\ia f nu<br />
2<br />
x 3x 2<br />
admite puncte de extrem.<br />
2<br />
x 2bx 5<br />
S6. Fie f : a ,<br />
f ( x ) . S` se determine a, b pentru care func\ia f<br />
x a<br />
admite puncte de extrem punctele x 1 ]i x 3<br />
3 2<br />
S7. Se d` func\ia f : ,<br />
f ( x ) mx nx p( x 1<br />
) . S` se determine m, n, p pentru<br />
care punctul A( 1, 1 ) este punct de extrem al func\iei, iar tangenta la graficul func\iei f [n punctul<br />
B( 0 , p)<br />
formeaz` cu axa Ox un unghi cu m`sura de 45 .<br />
x ax b<br />
S8. Se consider` func\ia f : b ,<br />
f ( x ) . S` se studieze monotonia func\iei<br />
x b<br />
f ]i s` se determine punctele de extrem, ]tiind c` dreptele x 1 ]i y x 4 sunt asimptote ale<br />
func\iei f.<br />
S9. S` se determine dreptunghiul de perimetru maxim [nscris [ntr-un cerc dat.<br />
S10. Dintre toate dreptunghiurile care au aceea]i arie, s` se determine cel de perimetru minim.<br />
S11. Un triunghi isoscel cu perimetrul 3P se rote]te [n jurul bazei. S` se determine triunghiul<br />
care genereaz` un corp de volum maxim.<br />
S12. Se consider` func\ia f :( 0, ) , f ( x ) ln x ]i intervalele:<br />
*<br />
I n, n1, n <br />
n<br />
a) S` se arate c` func\iei f i se poate aplica teorema lui Lagrange pe intervalul I n .<br />
b) S` se aplice teorema lui Lagrange func\iei f pe intervalul I n . Dac` cn I n are<br />
proprietatea c` f ( cn ) f ( n1 ) f ( n)<br />
, s` se determine cn .<br />
c) S` se arate c` pentru orice n * are loc inegalitatea<br />
1<br />
1<br />
ln( n1) ln n<br />
.<br />
n1<br />
n<br />
d) S` se demonstreze c` pentru oricare n * are loc:<br />
1 1 1 1<br />
... ln n.<br />
1 2 3 n<br />
144<br />
2<br />
2
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 246 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile f : D :<br />
a) f ( x ) x x ;<br />
2<br />
2<br />
3 b) f ( x ) 3x 6x 11;<br />
c) f ( x ) x x ;<br />
3 2 3<br />
12 d) f ( x ) 3x 2x<br />
;<br />
x<br />
x<br />
e) f ( x ) ;<br />
f) f ( x ) ;<br />
x 3 2<br />
x 4<br />
x<br />
g) f ( x ) ;<br />
h) f x x e<br />
3<br />
x 1<br />
x 2 <br />
( ) ;<br />
3<br />
x<br />
i) f ( x ) x ln x ;<br />
j) f ( x ) arctg x .<br />
3<br />
E2. S` se determine punctele de inflexiune pentru func\iile f : D :<br />
a) f ( x ) x ;<br />
3 4 3<br />
1 b) f ( x ) x 4x<br />
;<br />
c) f x x e x<br />
( ) ( ) ;<br />
2<br />
1<br />
1 d) f ( x ) ;<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
e) f ( x ) ln ( x );<br />
2<br />
1 f) f x xe x<br />
( ) ;<br />
g) f ( x ) arctg ;<br />
x<br />
1 h) f ( x ) sin<br />
x.<br />
E3. S` se determine intervalele de convexitate, de concavitate ]i punctele de inflexiune pentru<br />
f : D :<br />
2 x<br />
3x 2,<br />
xT<br />
1<br />
3 x<br />
x 1,<br />
xT0<br />
a) f ( x ) <br />
; b) f ( x ) <br />
;<br />
2<br />
2<br />
2x 5x 3, x 1<br />
x ln ( x 1), x 0<br />
x xe<br />
, xT0<br />
c) f ( x ) <br />
.<br />
2<br />
x x , x 0<br />
Sintez`<br />
S1. S` se determine intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate pentru func\iile<br />
f : D :<br />
4 2<br />
x x<br />
a) f ( x ) x 4x 1<br />
; b) f ( x ) ;<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
c) f ( x ) x arcsin<br />
x ;<br />
2<br />
d) f ( x ) x x ;<br />
2 1 e) f x x x e x<br />
2<br />
( ) ( 2<br />
) ; f) f ( x ) x ln x .<br />
3<br />
S2. Se consider` func\ia f : ,<br />
f x x ax b e x<br />
2<br />
( ) ( ) .<br />
a) S` se determine a, b ]tiind c` x 1 este punct de extrem, iar x 2, este punct de<br />
inflexiune pentru func\ia f.<br />
b) Pentru valorile lui a, b g`site, s` se determine intervalele de monotonie, convexitate,<br />
concavitate ]i punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f.<br />
145<br />
2
S3. S` se determine punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f : ,<br />
5 3<br />
f ( x ) x ax 85x 2<br />
, ]tiind c` f ( 3) 0.<br />
S4. Se consider` func\ia f : ,<br />
f ( x ) ax b arctg x .<br />
a) S` se determine a, b ]tiind c` f ( 1) 2<br />
]i f ( 1) 1.<br />
b) Pentru valorile lui a ]i b g`site, determina\i intervalele de monotonie, convexitate ]i<br />
concavitate ]i punctele de inflexiune ale func\iei f.<br />
x<br />
S5. Fie f : ,<br />
f ( x ) , a ( 0,<br />
).<br />
2 2<br />
x a<br />
a) S` se determine a ]tiind c` ecua\ia tangentei la graficul func\iei f [n punctul de inflexiune<br />
cu abscisa pozitiv` este x 24y 9 0.<br />
b) Pentru a 3, s` se studieze monotonia func\iei, intervalele de convexitate-concavitate ]i s`<br />
se afle punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei.<br />
146
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor<br />
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 255 manual<br />
Exersare<br />
E1. S` se reprezinte grafic func\iile f : D :<br />
3 2<br />
3 3 2<br />
a) f ( x ) x 3<br />
x ; b) f ( x ) 8 x ; c) f ( x ) 2x 3x<br />
;<br />
5 4<br />
4 2<br />
3 2<br />
d) f ( x ) x 5<br />
x ; e) f ( x ) x 5x 4<br />
; f) f ( x ) 2x 3x 5;<br />
4 4 2<br />
2<br />
g) f ( x ) 16 x ; h) f ( x ) x 2x 1<br />
; i) f ( x ) ( x 1) ( x 1);<br />
3 3<br />
j) f ( x ) x ( 1 x<br />
); k) f ( x ) ( 1x<br />
) x;<br />
2 2<br />
l) f ( x ) ( x 1) ( x 2)<br />
.<br />
E2. S` se reprezinte grafic func\iile f : D :<br />
x<br />
a) f ( x ) ;<br />
x<br />
1<br />
x<br />
b) f ( x ) ;<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
c) f ( x ) ;<br />
2<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
3<br />
x<br />
x<br />
x<br />
d) f ( x ) ; e) f ( x ) ; f) f ( x ) ;<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 1<br />
x<br />
g) f ( x ) ;<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
h) f ( x )<br />
2<br />
9<br />
( x ) ( x ) .<br />
3<br />
1 2<br />
E3. S` se reprezinte graficul func\iei f : D :<br />
a) f ( x ) x x ; b) f ( x ) x 1<br />
; c) f ( x ) x 1;<br />
d) f x xe x<br />
( ) ; e) f x x e x<br />
( ) ;<br />
2<br />
2<br />
2<br />
f) f ( x ) x ln x ;<br />
g) f ( x ) ln( x );<br />
2<br />
1 h) f ( x ) ln( x );<br />
2 1 i) f ( x ) x ln x ;<br />
2<br />
ln x<br />
j) f ( x ) 2arctg x ; k) f ( x ) x ln x ; l) f ( x ) .<br />
x<br />
Sintez`<br />
S1. S` se reprezinte grafic func\ia f : D :<br />
a) f ( x ) x x ;<br />
b) f ( x ) x x 1 ;<br />
2 x<br />
, xT<br />
1<br />
x<br />
xe , xT0<br />
c) f ( x ) <br />
; d) f ( x ) <br />
;<br />
3<br />
2x 1, x 1<br />
x<br />
ln x 1, x 0<br />
3<br />
x , xT<br />
0<br />
2<br />
e) f ( x ) ; f) f ( x ) x ln ( x ).<br />
1 x 1, x 0<br />
x ax<br />
S2. Se consider` f : 1 ,<br />
f ( x ) , a .<br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
S` se reprezinte graficul func\iei f ]tiind c` are asimptota y x 1.<br />
S3. S` se reprezint` graficul func\iei <br />
[n x 3.<br />
2<br />
2<br />
x ax<br />
f : 1 ,<br />
f ( x ) ,<br />
x<br />
<br />
]tiind c` are un extrem<br />
1<br />
147
2<br />
x 4x 3<br />
S4. Se consider` func\ia f : D , f ( x ) .<br />
ax 3<br />
a) S` se determine a pentru care func\ia are o asimptot` paralel` cu a doua bisectoare.<br />
b) S` se determine a pentru care func\ia are un punct de extrem situat pe axa Oy.<br />
c) Pentru a4, s` se reprezinte grafic func\ia f.<br />
3<br />
x<br />
S5. Fie f : ,<br />
f ( x ) x sin<br />
x . S` se reprezinte grafic func\ia f .<br />
3<br />
x a<br />
S6. Fie f : ,<br />
f ( x ) .<br />
x b<br />
<br />
S` se reprezinte grafic func\ia f ]tiind c` tangenta [n origine<br />
2 2<br />
<br />
este prima bisectoare.<br />
2<br />
ax 2<br />
S7. Se consider` f : D , f ( x ) .<br />
x 1<br />
a) Pentru care a , graficul func\iei este tangent dreptei y2x 10?<br />
b) S` se traseze graficul func\iei f pentru a1.<br />
pag. 256 manual<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
x a<br />
1. S` se studieze monotonia func\iei f : ,<br />
f ( x ) ,<br />
2<br />
x x 1<br />
]tiind c` f ( 1) 0.<br />
2<br />
2. S` consider` func\ia f : ,<br />
f ( x ) ln ( x 4x m).<br />
a) S` se determine m pentru care func\ia este definit` pe .<br />
b) Pentru ce valori ale lui m , punctul A ( 2, 0 ) este punct de extrem al graficului<br />
func\iei f.<br />
c) Pentru m 9, s` se studieze monotonia func\iei f ]i s` se afle punctele de extrem ale<br />
acesteia.<br />
3. Studia\i convexitatea ]i concavitatea func\iei<br />
2<br />
f : ,<br />
f ( x ) arctg x ln ( x 1).<br />
Testul 2<br />
1. Fie f : ,<br />
f ( x ) x .<br />
5<br />
a) S` se arate c` f este derivabil` pe .<br />
b) S` se arate c` f ( 0) 0 . Este x 0 un punct de extrem al func\iei f ?<br />
2x<br />
2. Fie f : ,<br />
f ( x ) arcsin .<br />
2<br />
1x<br />
a) S` se studieze derivabilitatea func\iei f.<br />
b) S` se precizeze extremele func\iei f.<br />
c) S` se arate c` semitangentele laterale [n punctul x 1 sunt perpendiculare.<br />
2<br />
x<br />
3. Fie f ; 1 ,<br />
f ( x ) . S` se determine punctele [n care tangenta la graficul<br />
x 1<br />
func\iei este paralel` cu prima bisectoare.<br />
148
1. Se consider` func\ia f : ,<br />
f ( x )<br />
Testul 3<br />
2<br />
x a,<br />
xT2<br />
<br />
.<br />
ax<br />
b, x 2<br />
a) S` se determine a, b pentru care f este continu` pe .<br />
b) Exist` valori ale lui a pentru care f este derivabil` pe ?<br />
c) Dac` f ( 1) 5]i<br />
f ( 3) 4 b,<br />
s` se traseze graficul func\iei g: ,<br />
g ( x ) f ( x ).<br />
2<br />
1<br />
2x<br />
2. Fie f : 0, , f ( x ) ln ( 1x<br />
) .<br />
x 2<br />
a) S` se calculeze f ( x ), x 0 , .<br />
b) S` se studieze monotonia func\iei f.<br />
2<br />
c) S` se arate c` ln ( 1<br />
) , 0, .<br />
2 x<br />
x<br />
U x<br />
x<br />
x 2<br />
3. Se dau func\iile f : D1<br />
, g: D2<br />
, f ( x ) x 2 , g ( x ) e ( x x 6).<br />
a) S` se afle D1 ]i D2 .<br />
b) S` se studieze derivabilitatea func\iilor f ]i g ]i s` se calculeze f ]i g .<br />
( )<br />
c) S` se calculeze lim<br />
( ) .<br />
g x<br />
x<br />
f x<br />
x<br />
2 2<br />
Testul 4<br />
3<br />
x<br />
1. Se consider` func\ia f : 0, , f ( x ) arctg x x .<br />
3<br />
a) S` se calculeze f ]i f .<br />
b) S` se studieze monotonia func\iei f.<br />
3<br />
x<br />
c) S` se arate c` arctgxUx , x 0, .<br />
3<br />
2 x<br />
2. S` se reprezinte grafic func\ia f : ,<br />
f ( x ) x 1 .<br />
2<br />
x<br />
3. Fie f : ,<br />
f ( x ) <br />
x<br />
1<br />
2 ]i M a f a ( , ( )) G f , a 0, 2, 3.<br />
Not`m cu N punctul<br />
[n care tangenta la grafic [n punctul M intersecteaz` din nou graficul func\iei. S` se determine<br />
valorile parametrului a pentru care coeficientul unghiular al tangentei la grafic [n punctul N este<br />
egal cu 3.<br />
149
pag. 258 manual<br />
Probleme recapitulative<br />
1. S` se determine limitele de func\ii:<br />
20 10<br />
x 2x 1<br />
a) lim ;<br />
x1<br />
2<br />
( x 1)<br />
sin x sin 2x...<br />
sin<br />
nx<br />
c) lim ;<br />
x0<br />
tg x tg2x ... tg<br />
nx<br />
b) lim<br />
x1<br />
x 1 x 2 <br />
2<br />
;<br />
3<br />
arcsin( 8x<br />
)<br />
d) lim ;<br />
x0<br />
sin ( 2x<br />
)<br />
x x x<br />
1cos x cos2<br />
x<br />
2 3 4 3<br />
e) lim ;<br />
f) lim .<br />
x0<br />
2<br />
x<br />
x0<br />
x x<br />
5 6 2<br />
2. Fie L lim<br />
x<br />
2 x x ln<br />
x<br />
3x 1<br />
. Atunci:<br />
a) L 3; b) L 0; c) L ln 2 ; d) L 1<br />
; e) L 1.<br />
3<br />
3. S` se determine a b<br />
2<br />
, pentru care x x ax b<br />
lim 1 0.<br />
x<br />
Facultatea de Chimie Constan\a, 1997<br />
acos x b cos2x<br />
c 4. S` se determine a, b, c pentru care lim 1.<br />
x0<br />
4<br />
x<br />
5. S` se studieze continuitatea func\iilor f : D :<br />
<br />
2<br />
1<br />
5x 3,<br />
xT<br />
1<br />
x<br />
sin , x < 0<br />
a) f ( x ) <br />
; b) f ( x ) <br />
x<br />
;<br />
a<br />
x , x 1<br />
<br />
<br />
a ln ( x1), xU<br />
0<br />
2<br />
x ax b,<br />
xT1<br />
<br />
c) f ( x ) 2x<br />
a, x ( 1, 2)<br />
.<br />
3<br />
x<br />
ax 2,<br />
xU2<br />
6. S` se studieze continuitatea func\iei f : ,<br />
x<br />
a e , xT0<br />
<br />
f ( x ) <br />
x 4 b .<br />
<br />
, x 0<br />
x<br />
Universitatea Pite]ti, 1995<br />
7. S` se determine parametrii reali a, b, c pentru care func\ia f : ,<br />
x e<br />
, xT0<br />
f ( x ) f ( o)<br />
f ( x ) <br />
este continu` ]i lim <br />
.<br />
2<br />
ax bx c , x 0<br />
x0<br />
x<br />
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 2004<br />
8. S` se determine a, b, c , pentru care func\ia f : ,<br />
2x<br />
ae ,<br />
xT<br />
0<br />
f ( x ) este derivabil` pe .<br />
2<br />
sin x b cos 4x , x 0<br />
150
9. Se consider` func\ia 1 1<br />
x x <br />
f ; , ,<br />
f ( x ) max , .<br />
x<br />
1 x 1<br />
a) S` se expliciteze f ( x ).<br />
b) S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei f.<br />
<br />
<br />
3x 1, x 1, 0<br />
10. Fie f : 1, 1<br />
,<br />
f ( x ) <br />
.<br />
2<br />
x bx c , x 01<br />
, <br />
<br />
a) S` se determine a, b, c , pentru care func\ia este derivabil` pe ( 1, 1 ) ]i<br />
f ( 1) f ( 1).<br />
b) Perntru valorile g`site, s` se studieze derivabilitatea func\iei<br />
x<br />
g: , , g ( x ) f<br />
2 <br />
1 1 <br />
.<br />
2<br />
1x<br />
<br />
x<br />
11. Se consider` f :( 1, ) , f ( x ) ln ( x 1)<br />
]i<br />
x 1 F:( 1, 0) ( 0, ) ,<br />
c bx a ln ( x 1)<br />
F ( x ) .<br />
x<br />
2<br />
Dac` lim F ( x ) 1<br />
]i x F( x ) f ( x ), x ( 1, 0) ( 0,<br />
),<br />
iar F ( 2 ), atunci:<br />
x0<br />
a) ln 3 ; b) 2; c) ln 6 ; d) 1; e) 2 ln 2.<br />
<br />
2 2<br />
2x x m mx 1,<br />
12. Fie f : ,<br />
f ( x ) <br />
x 1 m x ,<br />
xT1<br />
.<br />
x 1<br />
Dac` A m <br />
2<br />
f este continu` pe ]i m , atunci:<br />
a) 1; b) 34<br />
25<br />
; c) 25<br />
4<br />
13. Se consider` func\ia f : ,<br />
mA 58 81<br />
; d) ; e) <br />
9 64 .<br />
( ) ( ) b ,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 unde a, b .<br />
2 <br />
<br />
f x x a x<br />
x<br />
1 <br />
ASE Bucure]ti, 2001<br />
Dac`<br />
A ( a, b) <br />
f este periodic` de perioad` 2 ]i este continu` [n x 1 ,<br />
iar<br />
<br />
S ( a b),<br />
atunci:<br />
( a, b) A<br />
a) S 2; b) S 1; c) S 0; d) S 3; e) S 4.<br />
14. Se consider` func\ia f : 0, 2 ,<br />
px,<br />
x 0,<br />
1<br />
<br />
f ( x ) m,<br />
x 1<br />
3<br />
x<br />
q, x 1,<br />
2<br />
]i mul\imea A ( p, m, q) f este derivabil` pe ( 0, 2)<br />
.<br />
151<br />
ASE Bucure]ti, 2002
Dac` S ( p m q),<br />
atunci:<br />
( p, m, q) A<br />
a) S 7; b) S 1; c) S 0; d) S 10; e) S 8.<br />
15. S` se determine asimptotele func\iei f : D :<br />
2<br />
x 3x 2<br />
a) f ( x ) ; b) f ( x ) x x ;<br />
x 1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
x 3x 2<br />
c) f ( x ) .<br />
x ( x 1)<br />
ASE Bucure]ti, 1998<br />
6x x 4 ln x 2<br />
16. Se consider` func\ia f :( 0,<br />
) ,<br />
f ( x ) .<br />
2x<br />
a) S` se calculeze limitele func\iei f [n punctele x 0 0 ]i x 0 .<br />
b) S` se determine asimptota oblic` a func\iei f la .<br />
c) S` se afle punctele [n care tangenta la grafic este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.<br />
Bacalaureat, 1997<br />
4 ln x<br />
17. Fie f :( 0, ) , f ( x ) 2 x . S` se determine coordonatele punctului [n care<br />
x<br />
tangenta la graficul func\iei este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.<br />
2<br />
2x<br />
ax b<br />
18. Fie f : D ,<br />
f ( x ) <br />
.<br />
x 1<br />
a) S` se afle parametrii a, b pentru care dreapta y 2x 3<br />
este asimptot` a func\iei.<br />
b) Pentru a5, s` se determine b astfel [nc@t func\ia f s` admit` asimptot` vertical`.<br />
Facultatea de }tiin\e Economice Timi]oara, 1995<br />
19. Pentru ce valori ale lui m , func\ia f : ,<br />
are domeniul de derivabilitate ?<br />
20. Se consider` func\ia 1 1<br />
2<br />
3 f ( x ) x ( m2) x 2 m<br />
f ; , ,<br />
ax x<br />
f ( x ) e , a .<br />
x<br />
1 2<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
a) S` se calculeze lim x f ( x ).<br />
x<br />
2<br />
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990<br />
b) Pentru care valori ale lui a exist` egalitatea 3 f ( 0) f ( 0) 11?<br />
33 33<br />
( x 2) ( x 2)<br />
21. Fie f : ,<br />
f ( x ) ]i T f ( 2) f ( 0) f (<br />
2 ). Atunci:<br />
33 33<br />
( x 2) ( x 2)<br />
a) T 1 33<br />
3 22<br />
; b) T ; c) T 1; d) T ; e) T <br />
2 2 2 3 .<br />
ASE Bucure]ti, 2000<br />
152
ln<br />
( 1x ), xT<br />
0<br />
22. Fie f : ,<br />
f ( x ) <br />
. S` se determine valorile lui a, b, c pentru<br />
2<br />
ax<br />
bx c, x 0<br />
care func\ia f este de dou` ori derivabil` pe .<br />
ASE Bucure]ti, 1990<br />
23. Pentru ce valori ale parametrilor a, b, c , func\ia f : ,<br />
este de dou` ori derivabil` pe .<br />
3 2<br />
x ax bx c<br />
, xT1<br />
f ( x ) <br />
arctg(<br />
x 1), x 1<br />
24. Se consider` func\ia f : ,<br />
f ( x ) x sin x.<br />
a) S` se arate c` func\ia f este derivabil` [n x .<br />
b) Func\ia f este de dou` ori derivabil` [n x ?<br />
x x<br />
25. Fie f : ( 1, ), f ( x ) 4 2 1.<br />
a) S` se arate c` f este func\ie inversabil`.<br />
b) S` se determine f 1 1<br />
]i f <br />
26. Fie <br />
<br />
( 3).<br />
f ; 2, 1, 0 ,<br />
f ( x )<br />
x ( x ) ( x ) .<br />
<br />
1<br />
1 2<br />
a) S` se arate c` exist` numerele a, b, c pentru care:<br />
a b c<br />
f ( x ) .<br />
x x 1 x 2<br />
b) S` se calculeze S f ( 1) f ( 2) ... f (<br />
10).<br />
27. S` se calculeze lim sin x tg<br />
x<br />
.<br />
x0<br />
2<br />
x tg x<br />
x sin x<br />
e e<br />
28. S` se calculeze lim .<br />
x0<br />
x sin<br />
x<br />
x cos x sin<br />
x <br />
29. Fie M n <br />
lim .<br />
Dac` m <br />
x<br />
n<br />
n,<br />
atunci:<br />
0<br />
x <br />
nM a) m 3; b) m 6; c) m 4; d) m 15; e) m 10.<br />
30. Se consider` func\ia f : 1, ,<br />
f ( x ) x 5 4 x 1 x 10 6 x 1<br />
.<br />
153<br />
ASE Bucure]ti, 1994<br />
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1987<br />
ASE Bucure]ti, 1990<br />
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990<br />
ASE Bucure]ti, 2000
Dac` B x ( 1, )<br />
f nu este derivabil` [n <br />
a) S 1<br />
4<br />
0<br />
; b) S 13<br />
36<br />
; c) S 1<br />
9<br />
31. Se consider` func\ia fa: ,<br />
( ) ( ) ,<br />
x 0 ]i S f b f b <br />
bB 11<br />
3<br />
; d) S ; e) S <br />
36 2 .<br />
f ( x ) 4( e x 1) x ( a 3)<br />
x , a .<br />
a<br />
3 x<br />
3 2<br />
<br />
Dac` A a fa este derivabil` [n x 0 ,<br />
atunci:<br />
<br />
a) A 1<br />
3, ;<br />
b) A <br />
2<br />
<br />
<br />
1 3<br />
, ;<br />
c) A <br />
2 2<br />
<br />
<br />
5 <br />
<br />
2<br />
<br />
5 , ;<br />
d) A <br />
<br />
9 13<br />
, ;<br />
e) A ( 7, 15).<br />
2<br />
2 <br />
2<br />
32. Se consider` func\ia f : ,<br />
f ( x ) x x a x b, a, b <br />
.<br />
d s<br />
2 2<br />
Fie A ( a, b) <br />
f este derivabil` pe ]i S ( a b<br />
), atunci:<br />
( a, b) A<br />
a) S 13; b) S 26; c) S 17; d) S 5; e) S 4.<br />
33. Fie func\ia f : ,<br />
f ( x )<br />
x<br />
xe , xT1<br />
<br />
.<br />
ax<br />
b, x 1<br />
Dac` f este derivabil` pe ]i A f (<br />
k ), atunci:<br />
10<br />
k1<br />
a) A 20 e;<br />
b) A 0; c) A 100 e;<br />
d) A 11 e;<br />
e) A e.<br />
34. S` se determine num`rul de elemente ale mul\imii:<br />
<br />
2n<br />
n<br />
x 2x a<br />
<br />
A a <br />
lim b .<br />
x1<br />
2<br />
( x 1)<br />
<br />
5 5<br />
x 35. Fie a lim<br />
x<br />
x<br />
x<br />
ln ( ) ln ( ) 1<br />
0<br />
1<br />
. Atunci:<br />
6<br />
a) a 5 5<br />
; b) a ; c) a<br />
2 6<br />
e<br />
ln ( )<br />
36. S` se calculeze lim<br />
ln ( ) .<br />
x e<br />
x<br />
4 2x<br />
x e<br />
2<br />
2 ; d) a 6<br />
5<br />
x<br />
154<br />
; e) a 3<br />
2 .<br />
2 atunci:<br />
ASE Bucure]ti, 1998<br />
ASE Bucure]ti, 2000<br />
ASE Bucure]ti, 2001<br />
ASE Bucure]ti, 2001
ax bx 2<br />
f : 1 ,<br />
f ( x ) <br />
.<br />
x 1<br />
37. Fie <br />
2<br />
a) S` se determine a, b, c pentru care func\ia admite asimptota y x 2.<br />
b) S` se reprezinte graficul func\iei f pentru a1 ]i b1.<br />
c) Pentru a b1,<br />
s` se determine aria triunghiului determinat de axa Ox ]i asimptotele<br />
func\iei f.<br />
x<br />
38. Se consider` func\ia f : 1, 2 ,<br />
f ( x )<br />
( x ) ( x ) .<br />
2<br />
1 2<br />
a) S` se traseze graficul func\iei f.<br />
x<br />
b) S` se determine [n ce raport [mparte dreapta y aria patrulaterului determinat de axa<br />
2<br />
Ox ]i asimptotele func\iei f.<br />
39. S` se demonstreze c` pentru oricare m , func\ia f : ,<br />
f x x mx e x<br />
2 <br />
( ) ( ) ,<br />
admite un maxim ]i un minim local.<br />
40. Se consider` func\ia f : D ,<br />
2<br />
f ( x ) ax bx cx 1, a, b, c ( 0,<br />
).<br />
a) S` se determine a, b, c ]tiind c` func\ia admite o asimptot` oblic` la paralel` cu<br />
dreapta y 4x 5,<br />
iar c`tre o asimptot` orizontal` y 1.<br />
b) S` se construiasc` graficul func\iei pentru valorile lui a, b, c determinate.<br />
2<br />
x ax<br />
41. Se d` func\ia f : D , f ( x ) .<br />
bx<br />
<br />
2<br />
a) S` se determine a, b pentru care extremele func\iei se ob\in pentru x 8 ]i x 4.<br />
b) Pentru valorile lui a, b determinate, s` se reprezinte graficul func\iei f.<br />
m x<br />
42. Fie f : D , f x<br />
x x m m<br />
( )<br />
*<br />
( ) , <br />
.<br />
2<br />
<br />
a) Pentru ce valori ale lui m func\ia admite dou` asimptote paralele cu axa Oy?<br />
b) Pentru ce valori ale lui m func\ia este monoton` pe ?<br />
c) Pentru m 1, s` se reprezinte graficul func\iei f.<br />
d) Fie A, B punctele [n care graficul func\iei f, pentru m 1, intersecteaz` axele de<br />
coordonate. {n ce puncte graficul func\iei admite tangente paralele cu dreapta AB?<br />
1 3<br />
155
REZOLVĂRI<br />
Partea a II-a. Elemente de analiză matematică<br />
Capitolul I. Limite de funcţii<br />
1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
Mulţimile de minoranţi şi majoranţi sunt respectiv:<br />
a) m = (–∞, –3], M = [5, +∞), b) m = (–∞, –2], M = [3, +∞),<br />
c) m = (–∞, –5], M = [4, +∞), d) m = (–∞, –2], M = [5, +∞),<br />
e) m = (–∞, 1], M = [11, +∞), f) m = (–∞, –1], M = [3, +∞).<br />
E2. Soluţie:<br />
Mai întâi se rezolvă ecuaţiile şi inecuaţiile de gradul 2, cu radicali, cu modul, exponenţiale şi<br />
logaritmice.<br />
a) x 2 – 3x = 0 ± x(x – 3) = 0 ± x i {0, 3}.<br />
Aşadar A = {0, 3} şi avem: m = (–∞, 0], M = [3, +∞).<br />
b) Alcătuim tabelul de semn pentru f(x) = x 2 – 3x.<br />
Se obţine x i [0, 3], deci A = [0, 3].<br />
Rezultă m = (–∞, 0] şi M = [3, + ∞).<br />
x –∞ 0 3 + ∞<br />
x 2 – 3x + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + +<br />
c) Condiţii impuse: x – 3 U 0, deci domeniul de lucru este D = [3, +∞).<br />
Prin ridicare la pătrat obţinem succesiv<br />
x−3T2⇒ x−3T4⇒ xT<br />
7⇒<br />
x i (–∞, 7].<br />
Aşadar A = (–∞, 7) O D = [3, 7] şi se obţine: m = (–∞, 3], M = [7, +∞).<br />
d) Folosim proprietatea modulului: E() x TM ⇔−M<br />
T E() x T M .<br />
Se obţine succesiv:<br />
x−3 T1⇔ −1T x−3T1⇔ 2T xT<br />
4.<br />
Rezultă că x [2, 4], A = [2, 4], iar m = (–∞, 2], M = [4, +∞).<br />
e) Avem succesiv<br />
x−3 x−3 25 x−3 1 x−3<br />
−2<br />
2 T0,25⇔2 T ⇔2 T ⇔2 T2 ⇔ x−3T−2⇔ xT<br />
1.<br />
100 4<br />
Aşadar x i (–∞, 1] iar A = (0, +∞) O (–∞, 1] = (0, 1].<br />
Rezultă că: m = (–∞, 0], M = [1, +∞).<br />
3<br />
f) Deoarece 125 1 1 −<br />
0,125 = = = = 2 , iar 1 −2<br />
0, 25 = = 2 se obţine:<br />
3<br />
1000 8 2<br />
4<br />
2 –3 T 4 x T 2 –2 ® 2 –3 T 2 2x T 2 –2 ® –3 T 2x T –2 ⇔−<br />
3<br />
T x T −1.<br />
2<br />
Aşadar A= ⎡ 3<br />
, 1 ⎤, m<br />
3 ( , ⎤<br />
⎢<br />
− − = −∞ −<br />
⎣ 2 ⎥⎦ 2⎥<br />
, M = [–1, +∞).<br />
⎦<br />
156
g) Condiţii: x – 1 > 0 ± x > 1 ± D = (1, + ∞).<br />
Folosim proprietatea logaE(x) T b, a > 1 ± E(x) T a b .<br />
Se obţine succesiv:<br />
log2(x – 1) T 2 ± x – 1 T 2 2 ± x T 5.<br />
Aşadar A = (–∞, 5) O D = (1, 5), iar m = (–∞, 1], M = [5, + ∞).<br />
⎧x<br />
− 1> 0<br />
h) Condiţii de existenţă pentru logaritmi: ⎨<br />
⎩3x><br />
0<br />
Se obţine domeniul de existenţă: D = (1, +∞) O (–∞, 3) = (1, 3).<br />
log<br />
Folosim formula de schimbare a bazei pentru logaritmi log<br />
log b N<br />
a N = .<br />
b a<br />
Se obţine succesiv:<br />
log 2(3<br />
− x)<br />
log( 2 x−1) Tlog(3 4 −x) ⇔log( 2 x−1)<br />
T ⇔<br />
log2 4<br />
⇔log 1<br />
2( x−1) T log 2(3 −x) ⇔log 2( x−1) Tlog2<br />
3−x<br />
2<br />
Din monotonia logaritmilor rezultă că x −1T 3−x.<br />
2 2 2<br />
Cum x – 1 > 0, prin ridicare la pătrat avem ( x−1) T3−x⇒ x − 2x+ 1T3−x⇒ x −x−2T 0.<br />
Tabelul de semn pentru f(x) = x 2 – x – 2 este:<br />
x –∞ –1 2 + ∞<br />
x 2 – x – 2 + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + +<br />
Soluţia inecuaţiei este x i [–1, 2].<br />
Rezultă A = [–1, 2] O (1, 3) = (1, 2], iar m = (–∞, 1], M = [2, +∞).<br />
E3. Soluţie:<br />
a) Avem că –1 T sinx T 1, ¼x i Z, deci A = [–1, 1], care este interval mărginit.<br />
2( 1)<br />
b) Avem: 2n 2n 2 2 n +<br />
=<br />
+ −<br />
= −<br />
2<br />
= 2− 2<br />
< 2,<br />
deci M = 2 este un majorant pentru<br />
n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+<br />
1<br />
mulţimea A. Deoarece n∈q⇒<br />
2n<br />
U 0 , ¼n i q deci m = 0 este un minorant pentru A.<br />
n + 1<br />
Aşadar A este mulţime mărginită.<br />
c) n+ 1 −<br />
(<br />
n =<br />
n+ 1 − n)( n+ 1 +<br />
n+ 1+ n<br />
n) =<br />
n+ 1−n =<br />
n+ 1+ n<br />
1<br />
n+ 1+<br />
.<br />
n<br />
Aşadar 0< 1<br />
n+ 1 +<br />
< 1,<br />
deci A _ (0, 1).<br />
n<br />
d) Deoarece 48<br />
n 1<br />
∈<br />
+ q, rezultă că n + 1 este divizor pozitiv pentru 48.<br />
Dar D48 = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48}.<br />
Rezultă că n + 1 i {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} şi astfel<br />
n i {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47}.<br />
Aşadar A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47} _ [0, 47].<br />
e) Deoarece<br />
2 2<br />
x U0⇒ x + 1U1⇒ 0< 1<br />
T1⇒ 0< 2<br />
T 2,<br />
deci A _ [0, 2].<br />
2 2<br />
x + 1 x + 1<br />
157
f) Fie y= x+<br />
1<br />
2 ∈ A.<br />
Rezultă, după aducerea la acelaşi numitor: yx<br />
x + x+<br />
1<br />
2 + (y – 1)x + y – 1 = 0.<br />
Ecuaţia are soluţie dacă ∆ U 0. Se obţine ∆ = (y – 1) 2 – 4y(y – 1) = (y – 1)(–3y – 1).<br />
Soluţiile inecuaţiei ∆ U 0 sunt<br />
y ∈⎡ 1<br />
,1⎤<br />
⎢<br />
−<br />
⎣ 3 ⎥⎦<br />
. Aşadar A = ⎡ 1<br />
,1⎤<br />
⎢<br />
−<br />
⎣ 3 ⎥⎦<br />
.<br />
E4. Soluţie:<br />
a) Avem: x T3⇔−3T xT<br />
3.<br />
Aşadar x i [–3, 3] = A.<br />
b) Avem: x−1 T2⇔ −2T x−1T2⇔−1T xT<br />
3.<br />
Aşadar x i [–1, 3] = A.<br />
⎧x−2,<br />
dacă x−2U<br />
0<br />
⎧x−2,<br />
dacă xU<br />
2<br />
c) Avem: x − 2 =⎨ . Rezultă că x − 2 =⎨ .<br />
⎩−<br />
x+ 2, dacă x−<br />
2< 0<br />
⎩−<br />
x+ 2, dacă x<<br />
2<br />
• Pentru x U 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie x – 2 U 1 cu soluţia x U 3, deci x i [3, + ∞).<br />
• Pentru x < 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie –x + 2 U 1 şi are soluţia x T 1, deci x i (–∞, 1].<br />
Rezultă că x −2 U 1 ⇔ x∈( −∞ ,1] ∪[3,<br />
+∞ ) = A.<br />
d) Avem succesiv: 1<br />
T1⇔ 1<br />
−1T0⇔ 1−x<br />
T 0.<br />
x x x<br />
Alcătuim tabelul de semn pentru f() x =<br />
1−<br />
x .<br />
x<br />
Se obţine că x i (–∞, 0) N [1, +∞) = A.<br />
e) Tabelul de semn pentru f() x =<br />
x −1<br />
2<br />
x − 4<br />
este<br />
x –∞ 0 1 + ∞<br />
1 – x + + + + + 0 + + + + + 0 – – – – – –<br />
x – – – – – 0 + + + + + + + + + + +<br />
f(x) – – – – – | + + + + + 0 – – – – –<br />
x –∞ –2 1 2 +∞<br />
x – 1 – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + +<br />
x 2 – 4 + + + + + 0 – – – – – – – – – – 0 + + + + + +<br />
f(x) – – – – – | + + + + + 0 – – – | + + + + + +<br />
Se obţine: x i (–2, 1] N (2, +∞) = A.<br />
2 2<br />
2<br />
f) Avem că: x −4 T1⇔ x −4<br />
−1T0⇔ 5<br />
T 0⇔ x − 9< 0.<br />
2 2 2<br />
x −9 x −9 x −9<br />
Se obţine că x i (–3, 3) = A.<br />
g) Deoarece 0,25 = 2 –2 obţinem că:<br />
2 x+1 T 2 4x · 2 –2(x+1) ® 2 x+1 T 24x–2x–2 ® 2 x+1 T 2 2x–2 ® x + 1 T 2x – 2 ® 3 T x.<br />
Aşadar, x i [3, +∞) = A.<br />
h) Condiţiile de existenţă pentru radical: x – 3 U 0.<br />
Deoarece x − 3U 0 ± că x−3U x−3U<br />
0 deci domeniul de existenţă este x i [3, + ∞).<br />
Prin ridicare la pătrat se obţine:<br />
(x – 3) T (x – 3) 2 sau x 2 – 7x + 12 U 0, cu soluţia x i (–∞, 3] N [4, + ∞).<br />
Aşadar, A = {(–∞, 3] N [4, +∞)) ∩ [3, +∞) = [4, +∞) N {3}.<br />
158
E5. Soluţie:<br />
Vecinătăţi pentru x0 = 0 sunt: V1, V4, V8, iar vecinătăţi pentru x = –1 sunt: V1, V8, V9.<br />
b) V2 nu este vecinătate pentru x0 şi x1 deoarece nu conţine aceste puncte.<br />
c) 0 h V2, –1 h V2.<br />
d) –1 h V4,<br />
e) –1 h q, iar 0 nu aparţine unui interval inclus în q.<br />
e), f) m şi { nu conţine intervale deschise care să conţină pe 0 şi –1.<br />
i) 0 h V9.<br />
E6. Soluţie:<br />
O mulţime V _ Z este vecinătate pentru + ∞, dacă există a i Z, astfel încât V = (a, + ∞).<br />
Vecinătăţi ale lui + ∞ sunt. V1, V2, V3, V9.<br />
E7. Soluţie:<br />
a) A′ = [0, 3], d) A′ = [–2, 2] N [3, 5],<br />
b) A′ = l, deoarece A este mulţime finită; e) A′ = {+∞},<br />
c) A′ = (–∞, 3] N {– ∞} = [–∞, 3], f) A′ = [1, 2].<br />
Numărul x = 5 este punct izolat al mulţimii A.<br />
E8. Soluţie:<br />
a), b) Mulţimea A este interval nemărginit.<br />
c) Mulţimea A este nemărginită şi superior şi inferior deoarece conţine toate numerele pare<br />
pozitive şi numerele impare negative.<br />
d) A = (1, +∞). Într-adevăr dacă y i A, atunci rezultă că există x i (0, 1) cu y =<br />
1 .<br />
x<br />
Dar, atunci x =<br />
1<br />
< (0, 1) 0< 1<br />
< 1.<br />
y<br />
y<br />
Rezultă că y > 0 şi 1 1<br />
y < . Cum y este pozitiv, rezultă că din 1 < 1 se obţine y > 1.<br />
y<br />
Aşadar y i (1, +∞) = A.<br />
e) Inecuaţia x −1 U 2 conduce la x – 1 U 2 sau –x + 1 U 2, deci x∈[3, + ∞) au x∈(–∞, –1].<br />
Aşadar x i (–∞, –1] N [3, + ∞) = A.<br />
f) Fie y i A. Atunci există x i (2, + ∞) cu y<br />
x −1<br />
2y−1 = . Se obţine că x = iar din condiţia<br />
x − 2<br />
y − 1<br />
x > 2 rezultă că 2 1 y −<br />
> 2 , inecuaţie cu soluţia y i (1, + ∞). Aşadar A = (1, + ∞).<br />
y −1<br />
Observaţie.<br />
Deoarece x−1 =<br />
x−<br />
2+ 1<br />
= 1+<br />
1<br />
x −2 x−2 x−<br />
2<br />
şi x – 2 > 0 rezultă că x − 1<br />
> 1, ∀x∈ (2, +∞)<br />
etc.<br />
x − 2<br />
g) A = {0, 7, 14, ...} = {7n | n i q}. Dacă M i Z ar fi un majorant pentru A, atunci 7n T M,<br />
¼n i q, sau nT M<br />
, ∀n∈q, ceea ce ar însemna că mulţimea q ar fi mărginită superior de<br />
7<br />
M , absurd. Aşadar A este nemărginită superior.<br />
7<br />
159
1.4. Calculul limitelor de funcţii<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) 3; b) 125; c) 3 3 ; d) = 2 · 2 + 1 = 5;<br />
e) =−<br />
π<br />
+ 1= 0,<br />
f) = 3 · 1<br />
π<br />
2 – 1 + 2 = 4; g) = 5 3 + 1 = 126, h) = ln3.<br />
E2. Soluţie:<br />
a) = (1 + 1) 2 + 1 = 5, b) = ∞ + ∞ 2 = + ∞, c) = (–∞) 2 – 3 = +∞,<br />
d) = 3 · ∞ + 1 + ∞ 2 = +∞, e) = –7 · ∞ 2 = –∞,<br />
g) = log3(0+) = –∞, h) = log0,3(0+) = +∞.<br />
f) = 9= 3,<br />
E3. Soluţie:<br />
Aplicăm proprietăţi ale logaritmilor.<br />
2<br />
a) =<br />
lim x = 1;<br />
b) =<br />
lim( + 1) = 1<br />
x→1<br />
x→0<br />
d) =<br />
lim x ⋅ log<br />
1<br />
3 ( ) =−∞⋅− ( 1) =+∞.<br />
x→−∞<br />
3<br />
x ; c) =<br />
5 = 5<br />
x→5<br />
lim( x log 2) 5log 2 .<br />
E4. Soluţie:<br />
Funcţia f are limită în x0 i D′ dacă limitele laterale f(x0 – 0) şi f(x0 + 0) există şi sunt egale.<br />
a) f(1 – 0) = 2 · 1 2 + 3 = 5, f(1 + 0) = 5 · 1 – 1 = 4, f(2 – 0) = f(2 + 0) = 5 · 2 – 1 = 9.<br />
Funcţia f nu are limită în x0 = 1, iar în x0 = 2 limita este l = 9.<br />
b) Avem:<br />
De asemenea,<br />
x<br />
lim f( x) = lim( x+ 3) = 3, lim f( x)<br />
= lim (4 ) =+∞.<br />
x→0 x→0 x><br />
0<br />
x→+∞ x→+∞<br />
x<br />
f(1 − 0) = lim( x+ 3) = 4 , f(1<br />
+ 0) = lim 4 = 4 .<br />
x→1 x→1<br />
x< 1 x><br />
1<br />
Aşadar f are limită în x0 i {0, 1, + ∞}.<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
a) Avem: 6 = a – 1 + 3 ± a = 4;<br />
b) 5 + 6a · 3 = 23 ± a = 1;<br />
c) a 2 + 2a – 3 = 5 ± a 2 + 2a – 8 = 0 ± a i {2, –4};<br />
d) a= 3⇒ a = 9;<br />
e) a 2 + 3a + 11 = a + 14 ± a 2 + 2a – 3 = 0 ± a i {–3, 1];<br />
f) 3 a+ 1= 3⇒ a+ 1= 27⇒ a=<br />
26;<br />
g) a− 1= a−<br />
1.<br />
Condiţia de existenţă a – 1 U 0 deci a U 1.<br />
h)<br />
Se obţine a – 1 = (a – 1) 2 cu soluţia a i {1, 2};<br />
2 2<br />
a a 4 2<br />
2 16 2 2 a 4 a { 2, 2}<br />
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ∈ − .<br />
160
S2. Soluţie:<br />
a) Pe mulţimea ( 0,<br />
1) ∪<br />
1 ( ,1<br />
2 2 ) funcţia f are limite.<br />
Studiem existenţa limitei funcţiei f în x<br />
1<br />
0 = .<br />
2<br />
Rezultă că: f<br />
1 ( 0) limlog2x log<br />
1<br />
2(<br />
) 1<br />
2 x→<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Aşadar f are limită şi în x<br />
1<br />
0 = .<br />
2<br />
− = = =− , iar ( ) 1<br />
161<br />
f<br />
1<br />
+ 0 = lim(2x− 2) = 2⋅ 1<br />
− 2=− 1.<br />
2 2<br />
b) Pentru x0 i (0, 1) N (1, 2) f are limită.<br />
x<br />
Avem: f(1− 0) = lim 2 = 2, f(1+ 0) = limlog2x= log21= 0 .<br />
x→1 x→1<br />
Aşadar f nu are limită în x0 = 1.<br />
Punctul x0 = 3 este punct izolat pentru domeniul de definiţie şi în el nu se pune problema<br />
existenţei limitei.<br />
S3. Soluţie:<br />
2<br />
3<br />
a) Avem: f(1 − 0) = lim[ ax + ( a+ 2) x] = a+ a+ 2 = 2a+ 2 şi f(1+ 0) = lim x=<br />
1 .<br />
x→1<br />
Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine că 2a + 2 = 1 deci<br />
x→<br />
2<br />
x→1<br />
a =−<br />
1 .<br />
2<br />
2 2 2<br />
b) Avem: f(1 − 0) = lim[( x+ a) + ( x− 1) ] = ( a+<br />
1) şi f (1 + 0) = lim( x− 1 + a)( x+ 4 − a) = a⋅(5 − a)<br />
.<br />
x→1<br />
x→1<br />
Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine ecuaţia (a + 1) 2 = a(5 – a) sau 2a 2 – 3a + 1 = 0 cu<br />
soluţia a ∈<br />
1 { ,1<br />
2 } .<br />
c) Avem:<br />
f (2− 0) = lim( ax+ b) = 2 a+ b ,<br />
x→2<br />
f(2+ 0) = limlog2 x=<br />
1,<br />
x→2<br />
,<br />
f(4− 0) = limlog x=<br />
log 4= 2,<br />
x→4<br />
2 2<br />
2<br />
f(4+ 0) = lim( ax + bx+ 6) = 16a+ 4b+ 6 .<br />
x→4<br />
Din egalităţile f(2 – 0) = f(2 + 0) şi f(4 – 0) = f(4 + 0) rezultă sistemul de ecuaţii<br />
⎧2a+<br />
b=<br />
1<br />
⎨<br />
cu soluţia a = –1, b = 3;<br />
⎩16a+<br />
4b+ 6 = 2<br />
d) Avem: f(1 – 0) = 2 a , f(1 + 0) = 4 b , f(3 – 0) = 4 3b , f(3 + 0) = 8 3(a+2) .<br />
⎧⎪<br />
a b<br />
2 = 4 ⎧a=<br />
2b<br />
Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨ sau<br />
3b 3( a+ 2) ⎨ cu soluţia a = –3,<br />
⎪ ⎩4<br />
= 8 ⎩6b=<br />
9( a+<br />
2)<br />
b =−<br />
3 .<br />
2<br />
S4. Soluţie:<br />
a) f( −1− 0) = − 1 = 1, f( − 1+ 0) = −1 , f(0− 0) = 0 = f(0+<br />
0) , f(1− 0) = 1 = 1 = f (1+ 0) .<br />
Aşadar f are limite în x0 i {–1, 0, 1};<br />
b) f(0 – 0) = 3 = f(0 + 0), f(3 – 0) = 0 = f(3 + 0), f(4 – 0) = 1 = f(4 + 0);<br />
d) f(–5 – 0) = 8 – 5 = 3 = f(–5 + 0), f(3 – 0) = 3 = f(3 + 0), f(5 – 0) = 7 = f(5 + 0);<br />
2 2<br />
e) Avem: lim f( x) = lim x − 1 = 0, lim f( x) = lim x − 1 = 0 ,<br />
x→−1 x→−1 x→1 x→1<br />
2 2<br />
x→2 x→2<br />
f(2− 0) = lim x − 1 = 3, f(2+ 0) = lim x + 1= 3.
1.4.3. Limitele funcţiilor trigonometrice<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
Se obţine:<br />
a) = sin<br />
π<br />
=<br />
1<br />
, b) = cos<br />
π<br />
=<br />
6 2<br />
6<br />
3<br />
, c) = sin− π<br />
=−<br />
2<br />
, d) = cos<br />
2<br />
4 2<br />
( −<br />
π) = cos<br />
π<br />
=<br />
6 6<br />
3<br />
,<br />
2<br />
e) = sin π= 0 , f) = cos π=−1,<br />
g) = sin 2π= 0,<br />
h) = cos( −π ) = cos π=−1.<br />
E2. Soluţie:<br />
a) = tg<br />
π<br />
=<br />
3<br />
3 , b) = tg( −<br />
π) =− tg<br />
π<br />
=−<br />
3 3<br />
3 , c) = tg( −<br />
π) =− tg<br />
π<br />
=−1;<br />
4 4<br />
d) =−∞;<br />
e) = tgπ= 0 , f) = ctg<br />
π<br />
= 0 ;<br />
2<br />
g) = ctg( −<br />
π) =− ctg<br />
π<br />
=−1;<br />
h) = ctg<br />
3π<br />
4 4<br />
( ) = 0 ; i) =−∞;<br />
j) =+∞.<br />
2<br />
E3. Soluţie:<br />
a) = arcsin<br />
1 1<br />
( − ) =− arcsin<br />
π<br />
2 ( 2) = ; d)<br />
6<br />
( ) 3<br />
= arcsin − =−<br />
π<br />
;<br />
2 3<br />
b) = arccos<br />
1 1 2<br />
( − ) =π− arccos<br />
π π<br />
2 ( 2) =π− = ; e) = arccos<br />
2 3<br />
3 3<br />
( −<br />
π<br />
2 ) = ;<br />
4<br />
c) = arccos<br />
3 3 5<br />
( − ) =π− arccos<br />
π π<br />
2 ( 2 ) =π− = f)<br />
6 6<br />
( ) 2<br />
= arcsin =<br />
π<br />
.<br />
2 4<br />
E4. Soluţie:<br />
; d) = arcctg<br />
3 3 5<br />
( − ) =π− arcctg<br />
π π<br />
3 ( 3 ) =π− = ;<br />
6 6<br />
a) ( ) 3<br />
= arctg =<br />
π<br />
3 6<br />
b) ( ) 3<br />
= arcctg =<br />
π<br />
3 3<br />
c) arctg<br />
3 ( ) arctg<br />
3 ( )<br />
; e) = arctg( − 3) =−<br />
π<br />
;<br />
3<br />
= − =− =−<br />
π<br />
; f) = arctg( 3) =<br />
π<br />
.<br />
3 3 6<br />
3<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţi:.<br />
a) Se obţine egalitatea arcsin a =<br />
π<br />
şi rezultă că a = sin<br />
π<br />
= 1;<br />
2<br />
2<br />
b) arccosa = 0 ± a = cos0 = 1; c) arctg a= π<br />
⇒ a = tg<br />
π<br />
= 1;<br />
4 4<br />
d) arcsin a= π<br />
⇒ a = sin<br />
π<br />
=<br />
2<br />
;<br />
4 4 2<br />
f) arctg a=− π<br />
⇒ a = tg( −<br />
π)<br />
=−1.<br />
4 4<br />
e) arccos a=π⇒ a = cos π=−1;<br />
162
S2. Soluţie:<br />
a) f(0 – 0) = sin 0 = 0, f(0 + 0) = 0 2 = 0, deci<br />
b)<br />
• lim f ( x) ]i lim sin x nu există<br />
x→−∞ x→−∞<br />
lim<br />
x→+∞ ( ) lim<br />
x→+∞<br />
2<br />
f x = x =+∞.<br />
lim f( x) = limsin x = 0 ,<br />
x→0 x→0<br />
• f( π− 0) = limsin x = sin π= 0<br />
•<br />
x→π<br />
2<br />
( π+ 0) = lim3( −π ) = 0<br />
x→π<br />
2 2<br />
lim f( x) = lim 3( x −π ) = 3π<br />
x→2π x→2π<br />
lim f( x)<br />
= 0<br />
x→0<br />
f x , deci lim f( x ) = 0 .<br />
x→π<br />
c) lim f( x) = f ( − 1+ 0) = arccos( − 1) =π;<br />
x→−1<br />
• f(0− 0) = lim arccos x = arccos 0 =<br />
π<br />
,<br />
x→∞<br />
2<br />
2<br />
f(0+ 0) = lim( x + 2x<br />
+<br />
π π ) = , deci lim f( x ) =<br />
π<br />
;<br />
x→0<br />
2 2<br />
x→0<br />
2<br />
2<br />
• lim f( x) = lim f( x) = lim( x + 2x +<br />
π) = 3+<br />
π<br />
.<br />
x→1 x→1 x→1<br />
2 2<br />
x<<br />
1<br />
d) lim f( x) = lim arctg x =−<br />
π<br />
;<br />
x→−∞ x→−∞<br />
2<br />
• f(0 – 0) = arctg0 = 0,<br />
f(0 + 0) = arcsin0 = 0, deci lim f( x ) = 0 ;<br />
x→0<br />
• f (1− 0) = arcsin1 =<br />
π<br />
,<br />
2<br />
f (1+ 0) = arctg1=<br />
π<br />
;<br />
4<br />
• lim f( x) = lim arcctg x=<br />
0 .<br />
x→∞ x→+∞<br />
S3. Soluţie:<br />
a) Funcţia are limite pentru x0 i (–∞, 0) N (0, 1) N (1, + ∞).<br />
Punem condiţia să existe limite în x0 i {0, 1}.<br />
Avem: • f(0 – 0) = sin0 = 0, f(0 + 0) = b, deci b = 0;<br />
• f(1 – 0) = a + b, f (1+ 0) = arctg1 =<br />
π<br />
, deci a+ b =<br />
π<br />
şi se obţine<br />
4<br />
4<br />
b) Funcţia are limită pentru x0 i [–2, –1) N (–1, 1) N (1, 2].<br />
Punem condiţia să existe limite şi în x0 i {–1, 1}.<br />
Avem:<br />
• f(–1 – 0) = a,<br />
f ( −+ 1 0) = arcsin( − 1) =−<br />
π<br />
, deci a =−<br />
π<br />
;<br />
2<br />
2<br />
• f (1− 0) = arcsin1 =<br />
π<br />
,<br />
2<br />
f (1+ 0) = b , deci b =<br />
π<br />
.<br />
2<br />
163<br />
a =<br />
π<br />
.<br />
4
S4. Soluţie:<br />
⎧−sin<br />
x, xT<br />
0<br />
a) Avem, după explicitarea modulului: f() x = ⎨<br />
.<br />
⎩sin<br />
x, x><br />
0<br />
Se obţine:<br />
• lim f( x) = lim( − sin x)<br />
=−sin( − 1) = sin1;<br />
x→−1 x→−1<br />
• lim f( x) = limsin x=<br />
sin1 ;<br />
x→1 x→1<br />
• f(0− 0) = lim( − sin x) = 0, f(0+ 0) = limsin x=<br />
0 , deci lim f( x)<br />
= 0 .<br />
x→0 x→0<br />
164<br />
x→0<br />
x→0<br />
⎧<br />
⎪−sin x, x∈<br />
⎡<br />
−<br />
π<br />
, 0<br />
⎤<br />
b) f() x = ⎨ ⎣ 2 ⎦.<br />
⎪⎩ sin x, x∈(0,<br />
π]<br />
Rezultă că:<br />
• lim f( x ) =−sin ( −<br />
π)<br />
= 1;<br />
x→−<br />
π<br />
2<br />
2<br />
• lim f( x) = limsin x = sin<br />
π<br />
= 1;<br />
x→ π<br />
x→<br />
π 2<br />
2 2<br />
• f(0 – 0) = –sin0 = 0, f(0 + 0) = sin0 = 0, deci lim f( x ) = 0 .<br />
c) • f x<br />
π ( )<br />
lim<br />
x→−<br />
π<br />
2<br />
( ) = cos −<br />
2<br />
= 0,<br />
• lim f( x ) = cos<br />
π<br />
= 0 ,<br />
x→<br />
π 2<br />
2<br />
• lim f( x ) = cos 0= 1.<br />
x→0<br />
⎧−arctg<br />
x, xT<br />
0<br />
d) Avem: f() x = ⎨<br />
.<br />
⎩ arctg x, x><br />
0<br />
Se obţine:<br />
• lim f( x ) =−arctg ( − 1) =<br />
π<br />
,<br />
x→−1<br />
4<br />
• lim f( x ) = arctg 0= 0 ,<br />
x→0<br />
• lim f( x)<br />
= arctg1=<br />
π<br />
.<br />
x→1<br />
4
1.5. Operaţii cu limite de funcţii<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
2<br />
a) = lim x − lim3x+ lim<br />
x→4 x→4 x→4<br />
b) = 23 ⋅ − 1+ ln<br />
3<br />
= 5;<br />
3<br />
c) = –3;<br />
d) = 2 + 3 – 4 = 1;<br />
e) = 2;<br />
f) =<br />
1<br />
+<br />
1<br />
+ 1=<br />
11<br />
.<br />
2 3 6<br />
2<br />
x = 4 −3⋅ 4+ 4 = 6 ;<br />
E2. Soluţie:<br />
2 2<br />
a) = lim( x −2) ⋅lim( x − 3) = ( −1) ⋅− ( 2) = 2 ;<br />
x→1 x→1<br />
2<br />
b) ( ) ( )<br />
= lim x<br />
x→1 c) = 0;<br />
⋅ lim log3x x→1<br />
= 1⋅ log31= 0 ;<br />
⎛ x<br />
d)<br />
2 ⎞⎛ x<br />
lim lim<br />
3 ⎞<br />
= ⎜ ⎟⎜ ⋅ ⎟=<br />
8<br />
⋅<br />
27<br />
= 1;<br />
⎝ x→3 8 ⎠⎝ x→3<br />
27⎠ 8 27<br />
e) = 0;<br />
f) = 0.<br />
E3. Soluţie:<br />
lim( x−1)<br />
x→1<br />
a) =<br />
0<br />
2 = = 0 ;<br />
lim( x + x+<br />
1) 3<br />
x→1<br />
2<br />
lim( x + 4x−10) x→2<br />
b) = =<br />
2<br />
= 2 ;<br />
lim(2x−3) 1<br />
x→2<br />
c) = 1; d) =<br />
2<br />
;<br />
3<br />
e) = 0; f) =<br />
2<br />
.<br />
5<br />
E4. Soluţie:<br />
lim<br />
x<br />
x→1<br />
1<br />
x 0<br />
a) = ( lim( x + 1) ) = 2 = 2 ; b) ( )<br />
limsin<br />
0<br />
lim(1 )<br />
→ 1<br />
0 0<br />
+<br />
x→<br />
x<br />
<br />
= x = = ;<br />
x→1<br />
c) = 5 3 = 125; d) = 1; e) = 0; f) =<br />
π<br />
.<br />
4<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
lim( )<br />
2<br />
lim lim<br />
2<br />
(1<br />
2<br />
1) 4<br />
x→1 x→1 x→1<br />
3 3<br />
a) ( ) ( )<br />
= x+ x = x+ x = + = ; b) = 0; c) = 1;<br />
d) = 0; e) = 4; f) = 0; g) ( )<br />
165<br />
1<br />
2<br />
= 2⋅ π<br />
+<br />
π<br />
=<br />
2π<br />
; h) = 2; i) =<br />
π<br />
.<br />
6 3 3<br />
2<br />
S2. Soluţie:
Folosim operaţiile cu limite de funcţii. Se obţine:<br />
aπ+<br />
π<br />
a) 2 = 2⇒ a+ 1<br />
= 2⇒<br />
a =<br />
3<br />
;<br />
π+ 0 2 2<br />
b) 9<br />
= 1⇒a− 1= 9⇒ a=<br />
10;<br />
a−1<br />
c)<br />
a+ 2a<br />
= 1⇒ 2a+ a= a+ 2⇒ a=<br />
1;<br />
2+<br />
a<br />
a a<br />
2 1 2<br />
d)<br />
2 + 4 3<br />
a a a a a a+ a<br />
a a = ⇒82 ⋅ + 84 ⋅ = 62 ⋅ + 94 ⋅ ⇒22 ⋅ = 4⇒ 2 = 2 ⇒<br />
22 ⋅ + 34 ⋅ 8<br />
⇒ a+ 1= 2a⇒ a = 1.<br />
S3. Soluţie:<br />
a) • lim f( x) = lim f( x) = lim( x⋅ tg x ) = 0 ;<br />
b) •<br />
x→0 x→0 x><br />
0<br />
x→0<br />
• f<br />
π ( − 0) = lim x⋅ tgx =<br />
π<br />
( +∞ ) =+∞,<br />
iar ( )<br />
2 2<br />
x→<br />
π<br />
2<br />
x<<br />
π<br />
2<br />
Aşadar f nu are limită în x 0 =<br />
2<br />
3<br />
f(0− 0) = lim(1 − x)<br />
= 1,<br />
x→0<br />
•<br />
x→0<br />
π<br />
166<br />
f<br />
π<br />
+ 0 = 1.<br />
2<br />
f(0+ 0) = lim( x− 1) x = 0 , deci f nu are limită în x0 = 0.<br />
f(1− 0) = lim( x− 1) x = 0 ,<br />
(1 0)<br />
x→1<br />
lim(1<br />
x→1<br />
3 ) 0<br />
f + = − x = , deci = 0.<br />
c) • ( ) 3<br />
f<br />
x−1<br />
(0− 0) = lim<br />
x→0<br />
2<br />
x + x+<br />
1<br />
=−1,<br />
3<br />
f(0+ 0) = lim( − 1+ sin x ) =−1,<br />
deci = –1.<br />
S4. Soluţie:<br />
x→0<br />
= limsin x lim x− 1 = (sin1) ⋅ lim( x − 1) = (sin1) ⋅ 0= 0 ;<br />
a) ( )( 3 )<br />
b) ( ) 2<br />
<br />
3<br />
x→1 x→1 x→1<br />
= lim x + lim x⋅ lim ln( x + 1) = (0+ 0) = 0 ;<br />
2 2<br />
x→0 x→0 x→0<br />
c) = 3 · log10 = 3;<br />
= 3 7+ 1 = 8;<br />
0<br />
e) =<br />
e 1<br />
0 = ;<br />
1+ 2 2<br />
f) =<br />
3 4+ 8<br />
3 = 2 ;<br />
16− 8<br />
g) =<br />
arcsin 0<br />
= 0 ;<br />
1+ sin<br />
π<br />
2<br />
= log (2+ log 9) = log 4= 2 .<br />
d) ( ) 3<br />
h) 2 3 2
S5. Soluţie:<br />
a) Din definiţia părţii întregi se obţine că:<br />
1<br />
< ⎡ 1 ⎤ T<br />
1<br />
.<br />
2 2 2<br />
x −1<br />
⎢⎣x ⎥⎦<br />
x<br />
2 2<br />
Rezultă că: x<br />
1 ( − 1<br />
1<br />
2 ) < x ⎡ ⎤ 1 2<br />
x ⎢⎣x ⎥⎦<br />
T sau 1 – x2 < f(x) T 1.<br />
2 2<br />
Aşadar, cu criteriul cleştelui se obţine lim(1 − x ) Tlim x ⎡ 1 ⎤ T 1,<br />
deci = 1.<br />
2<br />
x→0 x→0<br />
⎢⎣x⎥⎦ b) Avem: x – 1 < [x] T x şi astfel<br />
Rezultă că:<br />
1 [] x<br />
( )<br />
x − 1 [] x<br />
< T 1, ∀ x > 0 .<br />
x x<br />
lim 1− T lim T 1,<br />
deci l = 1.<br />
x→∞ x x→∞<br />
x<br />
c) Deoarece –1 T sinx T 1, ¼x i Z se va obţine inegalitatea:<br />
−<br />
1<br />
T<br />
sinx T<br />
1<br />
şi lim<br />
sin x<br />
= 0 .<br />
2 2 2<br />
2<br />
x x x x→∞<br />
x<br />
d) Deoarece –1 T cosx T 1, ¼x i Z, rezultă că –1 + x T cosx + x T 1 + x.<br />
Se obţine inegalitatea<br />
x − 1<br />
T<br />
cosx+ x<br />
T<br />
1+<br />
x<br />
sau<br />
1<br />
−<br />
1<br />
T<br />
cosx+ x<br />
T<br />
1<br />
+<br />
1<br />
.<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
x x x x x x x x<br />
Rezultă că = 0.<br />
e) Se obţine că<br />
este = 0.<br />
f) Deoarece:<br />
xcos x<br />
=<br />
x<br />
⋅ cos x T 2 2<br />
x + 1 x + 1<br />
x<br />
x<br />
şi cum lim = 0 rezultă că limita cerută<br />
2<br />
2<br />
x + 1<br />
x→∞<br />
x + 1<br />
x – 1 < [x] T x şi 3x – 1 < [3x] T 3x se obţine că 4x – 2 < [x] + [3x] T 4x, ¼x i Z.<br />
[] [3]<br />
Aşadar, pentru x > 0 avem inegalitatea 4<br />
2 x + x<br />
− < T 4,<br />
din = 4.<br />
x x<br />
167
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) =<br />
2<br />
=<br />
2<br />
; b) =<br />
0+ 0+ 1<br />
= 1;<br />
c) =<br />
2⋅4 =<br />
8<br />
; d) =<br />
− 3+ 2<br />
=−1.<br />
2+ 1 3<br />
30 ⋅ + 1<br />
6+ 4+ 1 11<br />
4−3 E2. Soluţie:<br />
a) =<br />
2<br />
=+∞;<br />
b) =<br />
−1<br />
=−∞;<br />
c) =<br />
4<br />
=−∞;<br />
d) =<br />
8<br />
=+∞;<br />
0 +<br />
20 ⋅ +<br />
0− 0 +<br />
2<br />
2<br />
e) = lim<br />
2x + 3x−4 =<br />
1<br />
=<br />
1<br />
=+∞;<br />
f) = lim<br />
5x−19 =<br />
1<br />
=+∞.<br />
x 1 ( x−1)( x−2)<br />
(0 ) ⋅− ( 1) 0<br />
x 2 ( x+ 2)( x+<br />
3) 0 ⋅1<br />
→ − +<br />
x<<br />
1<br />
168<br />
→− +<br />
x>−2<br />
E3. Soluţie:<br />
a) =<br />
1<br />
=+∞;<br />
0 +<br />
b) =<br />
2<br />
=+∞;<br />
0 +<br />
c) =<br />
2<br />
=+∞;<br />
0 +<br />
d) = lim<br />
6x18 2 = =−∞;<br />
e) =<br />
11<br />
=+∞;<br />
x→3<br />
−( x−3)<br />
0−<br />
0 +<br />
f) =<br />
−1<br />
=−∞.<br />
0 +<br />
E4. Soluţie:<br />
Cazuri de nedeterminare 0<br />
. Se aduc expresiile date la forme mai simple.<br />
0<br />
a)<br />
4x− 4 4( x−1) 4( x−1)<br />
4 2<br />
2 = 2 = = , = ;<br />
9x −9 9( x −1)<br />
9( x− 1)( x+ 1) 9( x+<br />
1) 9<br />
2<br />
b)<br />
x −1 ( x− 1)( x+<br />
1) 1<br />
2 = =<br />
x−<br />
, =−2;<br />
x + 3x+ 2 ( x+ 1)( x+ 2) x+<br />
2<br />
2<br />
c)<br />
x − 4 ( x− 2)( x+<br />
2) 2<br />
2 = =<br />
x+<br />
, = 4;<br />
x − 3x+ 2 ( x−1)( x−2) x−1<br />
2<br />
d)<br />
x −3x<br />
xx ( −3)<br />
2 = =<br />
x<br />
, =−3;<br />
x − 7x+ 12 ( x−3)( x−4) x−4<br />
2 2<br />
( x−2) ( x−2) e)<br />
2<br />
2 = =<br />
x−<br />
, = 0;<br />
x −2x<br />
xx ( −2)<br />
x<br />
2<br />
2<br />
f)<br />
x + 4x+ 4 ( x+<br />
2) 2<br />
2 = =<br />
x+<br />
, = 0.<br />
2x + 4x<br />
2( xx+ 2) 2x<br />
E5. Soluţie:<br />
Caz de nedeterminare ∞<br />
. Fiind limite de funcţii raţionale se compară gradele numitorului şi<br />
∞<br />
numărătorului.<br />
a) =<br />
2<br />
=−2;<br />
−1<br />
b) =<br />
−1<br />
;<br />
2<br />
c) =<br />
−2<br />
=−<br />
1<br />
;<br />
6 3<br />
d) =<br />
−1<br />
;<br />
3<br />
e) =<br />
3<br />
⋅+∞ ( ) =+∞;<br />
2<br />
f) =<br />
6<br />
⋅−∞ ( ) =−∞;<br />
2<br />
g) = 0 ; h) = 0 .
E6. Soluţie:<br />
Cazuri de nedeterminare ∞<br />
. Se foloseşte metoda factorului comun forţat.<br />
∞<br />
2 x(<br />
1+ 1) 1<br />
x<br />
2 1+<br />
a) = lim = lim<br />
x<br />
=<br />
2⋅ 1+ 0<br />
= 2;<br />
x→∞ 3<br />
x→∞<br />
x<br />
3 0 1<br />
( + 1)<br />
+ 1<br />
+<br />
x<br />
x<br />
( )<br />
( 4+<br />
2 )<br />
2<br />
x 1+ 1 1 1<br />
x<br />
x 1+ 1+<br />
b) = lim = lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
=<br />
1+ 0<br />
=<br />
1<br />
;<br />
x→−∞ 2 3 x→−∞3 x→−∞<br />
3 4 0 2<br />
x<br />
x ⋅ 4+ 2 4+<br />
+<br />
2<br />
x<br />
x x<br />
x(<br />
1+ 1 ) 1+<br />
1<br />
c) Avem:<br />
x+ x<br />
=<br />
x<br />
=<br />
x<br />
, =<br />
1<br />
;<br />
3x+ 2 x+<br />
1 2 1 2 1 3<br />
x⋅<br />
( 3+<br />
+ ) 3+<br />
+<br />
x x x x<br />
⎛ 1 ⎞<br />
x⋅<br />
⎜ + 1⎟ 1<br />
3<br />
3 2 + 1 3 2<br />
d)<br />
x+ x ⎝ x ⎠<br />
= =<br />
x<br />
, =<br />
1<br />
;<br />
2x+ 3<br />
x⋅<br />
3 3 2<br />
( 2+<br />
) 2+<br />
x x<br />
( )<br />
2 1 ( 2 )<br />
( )<br />
( 1− 1<br />
2 + 1)<br />
2<br />
2 x 1+ 1<br />
2 + 2x x<br />
e)<br />
x ++ 1 2x =<br />
x<br />
= 2<br />
2 x − 1+ x<br />
2 x 1−<br />
+ x x<br />
x<br />
1+ 1<br />
2+<br />
2<br />
x<br />
x<br />
=<br />
1+ 1<br />
2 + 2<br />
x<br />
, =<br />
3<br />
;<br />
1 2<br />
1− 2 + 1<br />
x<br />
1+ 2 1+<br />
1<br />
f)<br />
x+ 2 x+ 1<br />
=<br />
x<br />
, =<br />
1+ 2<br />
=<br />
3<br />
;<br />
3 x−+ 1 4x+ 1 1 1 3 4 5<br />
3⋅ 1− + 4+<br />
+<br />
x x<br />
x⋅( 3− 1) x(<br />
3− 1) 3<br />
1<br />
g)<br />
3 1<br />
x x<br />
−<br />
x −<br />
= = = x<br />
2<br />
9x − x+ 7 2 1 7 1 7 1 7<br />
x ( 9 − + 2 ) x 9− + 2 − 9−<br />
+ 2<br />
x x<br />
x x x x<br />
, pentru x < 0, =−1;<br />
h)<br />
2 x 2− 3<br />
+<br />
5<br />
2 −<br />
2x − 3x+ 5 x<br />
=<br />
x<br />
=<br />
3x−4 x<br />
4 ( 3 −<br />
x)<br />
2−<br />
3<br />
+<br />
5<br />
2 x x<br />
, pentru x < 0, =−<br />
2<br />
.<br />
3 −<br />
4<br />
3<br />
x<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
Se aduc funcţiile raţionale la forma cea mai simplă.<br />
2 2 2<br />
f() x =<br />
x + 2x+ 1+ x − 2x+ 14 2x 2<br />
2 =<br />
−<br />
2 = 2.<br />
Limita este = 2 .<br />
x −1 x −1<br />
3 2 2 2<br />
( x+ 1) −8 −( x−1) | x−1| ( x− 1)( x + 2x+ 1−2x− 2+ 4) −( x−1) | x−1|<br />
b) f() x = = =<br />
( x−1)( x−2) ( x−1)( x−2)<br />
2<br />
x 3 ( x−1)| x−1|<br />
=<br />
+<br />
− ; =<br />
4<br />
=−4;<br />
x−2 x−2<br />
−1<br />
2 ( 2)(5 4)<br />
c) ()<br />
5x 6x 8 x− x+<br />
f x =<br />
− − 5 4<br />
2 = =<br />
x+<br />
; = 7;<br />
2x − 6x+ 4 2( x−1)( x−2) 2( x−1)<br />
169
d)<br />
e)<br />
f)<br />
( x− 3)( x+ 3) ( x− 3)( x+ 3)<br />
f() x = = =<br />
x+<br />
3<br />
, = 1;<br />
( x−3)( x− 3+ x+ 3) ( x−3) ⋅2x<br />
2x<br />
2 2<br />
2 1 ( 1)<br />
()<br />
x x x−<br />
f x =<br />
− +<br />
= =<br />
x−1<br />
, = 0;<br />
(2x−1)( x−1) ( x−1)(2x−1) 2x−1 2 2( 1)( 1) 2( 1)<br />
()<br />
2x2 x− x+ x−<br />
f x =<br />
−<br />
1<br />
2 = = , = .<br />
3x −6x−9 3( x+ 1)( x−3) 3( x−3)<br />
3<br />
S2. Soluţie:<br />
a) f (2− 0) = lim<br />
x−1<br />
=<br />
1<br />
=−∞;<br />
x→2<br />
x−2a b)<br />
x<<br />
2<br />
f (2+ 0) = lim = lim =<br />
4<br />
=−∞.<br />
( − 2)( + 2) 0 ⋅4<br />
Aşadar<br />
x→2<br />
2<br />
−x 2<br />
−x −<br />
2<br />
x→2 x −4<br />
x> 2<br />
x→<br />
2<br />
x><br />
2<br />
x x<br />
+<br />
lim f( x)<br />
=−∞.<br />
f (1 − 0) = lim<br />
x −1<br />
= lim<br />
1<br />
=<br />
1<br />
,<br />
( x− 1)(2x+ 1) 2x+ 1 3<br />
x→1 x→1<br />
x<<br />
1<br />
4 3 ( x−1)( x−3)<br />
f (1 + 0) = lim<br />
− +<br />
= lim = lim<br />
−3<br />
=−<br />
2<br />
.<br />
9( 1) 9( 1) 9 9<br />
2<br />
x x x<br />
x→1 x> 1<br />
x− x→1 x><br />
1<br />
x−<br />
x→1<br />
Aşadar f nu are limită în x0 = 1.<br />
S3. Soluţie:<br />
⎧±∞<br />
,dacăa+ 2≠0 a) lim<br />
2x+ a 2 a ⎪<br />
=<br />
+<br />
=⎨<br />
x→1<br />
x 1 0 0<br />
.<br />
− − ,dacăa+ 2= 0<br />
x<<br />
1<br />
⎪⎩ 0<br />
Aşadar limita poate fi finită numai în cazul a = –2.<br />
2( 1)<br />
Pentru a = –2 obţinem: lim<br />
2x2 x−<br />
=<br />
−<br />
= lim = 2 .<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
2<br />
b) lim<br />
3x+ ax<br />
=<br />
9+ 9a<br />
. Limita poate fi finită dacă 9 + 9a = 0, deci a = –1. Obţinem:<br />
x→3<br />
x − 3 0<br />
x<<br />
3<br />
−<br />
2 (3 )<br />
lim<br />
3x<br />
x x −x<br />
=<br />
−<br />
= lim = lim( − x)<br />
=−3.<br />
x→3 x−3 x→3 x−3<br />
x→3<br />
2<br />
(1 −a) −4<br />
c) Se obţine: = , deci este necesar ca (1 – a)<br />
0±<br />
2 = 4, deci a i {–1, 3}.<br />
2<br />
( x+ 1) − 4 ( x+ 3)( x− 1)<br />
• Pentru a = –1 se obţine: = lim = lim = lim<br />
x+<br />
3<br />
= 2 .<br />
x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1<br />
x+<br />
1<br />
2<br />
( x−3) −4 ( x−5)( x−1) • Pentru a = 3 se obţine: = lim = lim = lim<br />
x−5<br />
=−2.<br />
x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1<br />
x+<br />
1<br />
2 2<br />
d) Se aduce f la forma: f() x =<br />
x + 3x−a<br />
x<br />
.<br />
2<br />
x −1<br />
Se pune condiţia ca 1 2 + 3 · 1 – a 2 = 0, deci a 2 = 4 şi a i {–2, 2}.<br />
Avem:<br />
2<br />
3 4 ( 1)<br />
()<br />
x x x xx−<br />
f x =<br />
+ −<br />
= =<br />
x<br />
( x − 1)( x+ 1) ( x− 1)( x+ 1) x+<br />
1<br />
şi =<br />
1<br />
.<br />
2<br />
170
S4. Soluţie:<br />
Cazuri de nedeterminare 0<br />
. Este necesar să se aducă funcţiile raţionale la forme mai simple.<br />
0<br />
( x− 1)( x+ 1) ( x− 1)(6x+ 5)<br />
a) f() x = + =<br />
x+ 1<br />
+<br />
6x+ 5<br />
( x −1)(2x−3) ( x− 1)(4x+ 1) 2x− 3 4x+ 1<br />
; =<br />
1<br />
;<br />
5<br />
( 2)( 4)<br />
b) ()<br />
x 2 x− x−<br />
f x =<br />
−<br />
− =<br />
1<br />
−<br />
x−2<br />
; =<br />
1<br />
;<br />
( x− 2)(5x+ 6) ( x− 4)( x+ 4) 5x+ 6 x+<br />
4 16<br />
2 2<br />
c) f() x =<br />
2x + 2x +<br />
x + x<br />
=<br />
2x<br />
+<br />
x<br />
, =−1.<br />
( x+ 1)( x+ 2) ( x+ 1)(2x+ 1) x+ 2 2x+ 1<br />
S5. Soluţie:<br />
a) = lim<br />
2x+ 1<br />
2 ⋅ lim<br />
x<br />
= 0⋅ 1= 0 ;<br />
x→∞ 2<br />
3x + 4x+ 1 x→∞<br />
x + 1<br />
2 x(<br />
1+<br />
1 )<br />
b) = lim<br />
4x+ 3 4 1<br />
2 ⋅ lim<br />
x<br />
= ⋅ = 2 ;<br />
x→∞ 2x + 6x+ 1 x→∞<br />
4 21<br />
x(<br />
1+<br />
2 ) x<br />
2<br />
c) = lim<br />
3x + 4x ⋅ lim<br />
x→∞ xx ( + 1) x→∞<br />
x<br />
=<br />
3<br />
⋅ 1= 3;<br />
2<br />
x + 1 1<br />
2<br />
d) l = lim<br />
3x + 4x ⋅ lim<br />
x→−∞ xx ( + 1) x→−∞ x<br />
= 3⋅ lim 2<br />
x + 1 x→−∞ x<br />
x<br />
=−3⋅ lim<br />
1<br />
1 x→−∞<br />
+ 2<br />
x<br />
1<br />
=−3.<br />
1+<br />
1<br />
2<br />
x<br />
171
1.6.4. Limite fundamentale în calculul limitelor de funcţii<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) = lim<br />
sin 5x 5 5<br />
( ) ⋅ = ;<br />
x→0<br />
5x6 6<br />
⎛sin(6 x)<br />
b) lim<br />
6 ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⎟=<br />
1⋅ 6= 6 ;<br />
x→0⎝<br />
6x x+<br />
1⎠<br />
⎛ 2<br />
sin(2 x )<br />
c)<br />
2⎞ = lim<br />
2<br />
⎜ 2 ⋅ =<br />
x→0<br />
2x<br />
3<br />
⎟ ;<br />
⎝ ⎠ 3<br />
d) = lim<br />
sin 2x 4 2 1<br />
( ⋅<br />
x<br />
⋅ ) = ;<br />
x→0<br />
2x sin4x 4 2<br />
⎛ 2<br />
sin( x − 1)<br />
e) lim<br />
x 1⎞<br />
=<br />
+<br />
⎜ 2 ⋅ = 1⋅ 2= 2<br />
x→1<br />
x 1 1<br />
⎟ ;<br />
⎝ − ⎠<br />
⎛ 2<br />
sin(1 −x )<br />
g) lim<br />
1 x⎞<br />
=<br />
− 2<br />
⎜ 2 ⋅ 1<br />
1<br />
2<br />
⎟=<br />
= ;<br />
x→−<br />
⎝ 1−<br />
x ⎠ 2<br />
⎛sin( x−2)<br />
f) lim<br />
1 ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⎟=<br />
1<br />
;<br />
x→2⎝<br />
x− 2 x+<br />
2⎠ 4<br />
⎛ 2<br />
sin(3x−3) h) lim<br />
x 1 3 ⎞<br />
=<br />
−<br />
3 3<br />
⎜ ⋅ 2 ⋅ = 1⋅1⋅ =<br />
x→1<br />
3( x 1) sin( x 1) x 1<br />
⎟ .<br />
⎝ − − + ⎠ 2 2<br />
E2. Soluţie:<br />
tg2x a) l = lim<br />
⎛ 2⎞ 2<br />
⎜ ⋅ =<br />
x→0<br />
2x3 ⎟ ;<br />
⎝ ⎠ 3<br />
tg( x −1) π<br />
b) l = lim<br />
⎛ π ⎞ π<br />
⎜ ⋅ =<br />
x→1<br />
( x 1) x 1<br />
⎟ ;<br />
⎝ − π + ⎠ 2<br />
tg(3x − 9)<br />
c) l = lim<br />
⎛ 3 ⎞ 3 1<br />
⎜ ⋅<br />
x→3<br />
3( x 3) x 3<br />
⎟=<br />
= ;<br />
⎝ − + ⎠ 6 2<br />
sin( x −π)<br />
d) l = lim<br />
⎛ x −π ⎞<br />
⎜ ⋅ = 1<br />
x→π<br />
x−π tg( x−π)<br />
⎟ ;<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ 2 2 2 2<br />
tg( x −1) ( 1)( 1)<br />
e) lim<br />
x x x 1⎞ 1<br />
2 2 2 1 1 lim<br />
x x− x+<br />
=<br />
− − −<br />
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
⋅ ⋅ 2 = lim<br />
=<br />
x→1⎝ x −1 sin( x −x) x −x⎠ x→1 x −x<br />
x→1<br />
xx ( −1)<br />
= lim<br />
x + 1<br />
= 2 ;<br />
x→1<br />
x<br />
⎛ 2 2<br />
tg( x−1) f) lim<br />
x 1 1 ⎞<br />
=<br />
−<br />
1<br />
⎜ 2 ⋅ 2 ⋅ =<br />
x→1<br />
( x 1) sin( x 1) x+<br />
1<br />
⎟ .<br />
⎝ − − ⎠ 2<br />
E3. Soluţie:<br />
⎛arcsin(3 x)<br />
a) lim<br />
3⎞ = ⎜ ⋅ ⎟=<br />
3<br />
;<br />
x→0⎝<br />
3x5⎠ 5<br />
⎛ 2<br />
arcsin( x )<br />
b)<br />
1 ⎞<br />
= lim<br />
1<br />
⎜ 2 ⋅ = = 1<br />
x→0<br />
x 1+ x<br />
⎟ ;<br />
⎝ ⎠ 1<br />
⎛arcsin(10 x) c) lim<br />
5x10⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
2 ;<br />
x→0⎝<br />
10x arcsin(5 x)<br />
5 ⎠<br />
⎛arcsin(5 x) d) lim<br />
10x 5 ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
1<br />
;<br />
x→0⎝<br />
5x sin(10 x)<br />
10⎠ 2<br />
⎛<br />
arctg(<br />
x<br />
π) 4<br />
e)<br />
4<br />
x<br />
π ⎞<br />
x−π<br />
⎜ − −<br />
lim 4 ⎟<br />
= 4<br />
1 1<br />
2 2 1 lim lim<br />
x<br />
π⎜ ⋅<br />
16x<br />
⎟=<br />
⋅ ⋅ = = ;<br />
→ x<br />
π (4 x )(4 x ) x<br />
π 4(4 x ) 8<br />
4⎜ x−<br />
π −π ⎟ → −π +π → +π π<br />
4 4<br />
⎝ 4<br />
⎠<br />
E4. Soluţie:<br />
⎛ 2<br />
ln(1 + x ) 1⎞ 1<br />
a) = lim⎜<br />
2 ⋅ ⎟=<br />
;<br />
x→0⎝<br />
x 5⎠ 5<br />
⎛ln(1+ 6 x)<br />
6⎞ 6 3<br />
b) = lim⎜<br />
⋅ ⎟=<br />
= ;<br />
x→0⎝<br />
6x8⎠ 8 4<br />
⎛ 2<br />
ln(1+ 5 x ) 5 ⎞ 5<br />
c) = lim⎜ 2 ⋅ ⎟=<br />
lim = 5 ;<br />
x→0⎝ 5x 1+ x⎠ x→01+<br />
x<br />
⎛ 8x6⎞ 6 3<br />
d) = lim⎜ ⋅ ⎟=<br />
= ;<br />
x→0⎝ln(1+<br />
8 x)<br />
8⎠ 8 4<br />
⎛ 3 ln(1 + x)<br />
1 ⎞ 1<br />
e) = lim ⎜ ⋅ ⎟<br />
x→0<br />
3 3 ⎟=<br />
;<br />
3<br />
⎝ x 5⎠ 5<br />
⎛ 2 2<br />
ln(1 + x ) 3x 1⎞ 1<br />
f) = lim⎜<br />
2 ⋅ 2 ⋅ ⎟=<br />
.<br />
x→0⎝<br />
x ln(1+ 3 x ) 3⎠ 3<br />
172
E5. Soluţie:<br />
⎛ x<br />
a)<br />
3 1 1⎞ = lim ⎜<br />
−<br />
⋅ ⎟=<br />
(ln 3) ⋅<br />
1<br />
=<br />
ln3<br />
;<br />
x→0⎝ x 6⎠ 6 6<br />
2<br />
⎛ x<br />
b)<br />
3 1 1 ⎞<br />
= lim<br />
−<br />
1<br />
⎜ 2 ⋅ = (ln 3) ⋅ = ln 3<br />
x→0 x 1+ x<br />
⎟<br />
;<br />
⎝ ⎠ 1<br />
x−1<br />
8(8 −1)<br />
c) = lim = 8⋅ln 8 ;<br />
x→1 x−1<br />
x+ 1 3 2<br />
3 3<br />
d)<br />
2 2 ⎛ x−<br />
lim lim 2<br />
2 1⎞<br />
=<br />
−<br />
= ⎜ ⋅<br />
−<br />
⎟=<br />
2 ⋅ln<br />
2 ;<br />
x→2 x−2 x→2⎝<br />
x−2<br />
⎠<br />
x x<br />
e)<br />
2 1 1 3 ⎛ x x<br />
lim lim<br />
2 1 3 1⎞ =<br />
−+−<br />
= ⎜<br />
−<br />
−<br />
−<br />
⎟=<br />
ln 2− ln 3= ln<br />
2<br />
;<br />
x→0 x x→0⎝<br />
x x ⎠<br />
3<br />
⎛ x x<br />
3 −1 2 −1<br />
⎞<br />
x x<br />
f) lim<br />
3 1 1 2 ⎜ −<br />
lim<br />
x x ln3 ln2⎟<br />
=<br />
−+−<br />
x = x =<br />
−<br />
x→0 2 −1 ⎜ x→0<br />
2 −1<br />
ln 2 ⎟.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x<br />
⎠<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
a) = lim<br />
1 ( ⋅<br />
sinx +<br />
sin9x 1 sin9 1 10<br />
) = + lim<br />
x ( ⋅ 3) = + 3=<br />
;<br />
x→0 3 x 3x 3 x→0<br />
9x 3 3<br />
⎛<br />
b) lim<br />
sin 2x 3sin 5x x ⎞<br />
= ⎜ + + ⎟=<br />
lim<br />
sin 2x 2 sin 5 15<br />
( ⋅ ) + lim<br />
x ( ⋅ ) +<br />
x→0⎝xx ( + 1) xx ( + 1) xx ( + 1) ⎠ x→0 2xx+ 1 x→0<br />
5xx+ 1<br />
+ lim<br />
1<br />
= 2 + 15 + 1 = 18 ;<br />
x→0 x + 1<br />
⎛sin(tg x) tg x⎞<br />
c) = lim⎜ ⋅ ⎟=<br />
1⋅ 1= 1;<br />
x→0⎝<br />
tg x x ⎠<br />
⎛tg (sin x) d) lim<br />
sin x 1⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
1⋅1⋅ 1<br />
=<br />
1<br />
;<br />
x→0⎝<br />
sin x x 2⎠ 2 2<br />
⎛ 2 2 2 2<br />
sin( x − 4x+ 3)<br />
e) lim<br />
3x 4x 1 x 4x 3⎞ =<br />
− + − + 4 3<br />
2 2 2 1 1 lim<br />
x − x+<br />
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
⋅ ⋅ 2 =<br />
x→1⎝ x − 4x+ 3 sin(3x − 4x+ 1) 3x − 4x+ 1⎠ x→1<br />
3x − 4x+ 1<br />
( x−1)( x−3) = lim = lim<br />
x − 3<br />
=−1;<br />
x→1( x−1(3x−1) x→13x−1<br />
⎛ 2 2 2 2<br />
tg ( x + x− 2)<br />
f) lim<br />
x 5x 6 x x 2 ⎞<br />
=<br />
+ + + − 2<br />
2 2 2 1 1 lim<br />
x + x−<br />
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
⋅ ⋅ 2 =<br />
x→−2⎝ x + x− 2 tg( x + 5x+ 6) x + 5x+ 6⎠ x→−2<br />
x + 5x+ 6<br />
( x+ 2)( x−1) = lim = lim<br />
x−1<br />
=−3;<br />
x→−2( x+ 2)( x+ 3) x→−2x+<br />
3<br />
⎛ 2 2 2 2<br />
arcsin( x −1) ( 1)( 1)<br />
g) lim<br />
x x x 1⎞ 1<br />
2 2 2 lim<br />
x x− x+<br />
=<br />
+ − −<br />
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
2 = lim<br />
=<br />
x→−1⎝ x − 1 arcsin( x + x) x + x⎠ x→−1x + x x→−1<br />
x⋅ ( x+<br />
1)<br />
= lim<br />
x−1<br />
= 2 ;<br />
x→−1<br />
x<br />
2 2 2 2<br />
arctg( x − 6x+ 5) ⎛arctg( x − 6x+ 5)<br />
h) lim<br />
4 5 6 5<br />
2 lim<br />
x x x x ⎞<br />
= =<br />
+ − − +<br />
⎜ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⎟=<br />
x→1 arcsin( x + 4x−5) x→1⎝<br />
x − 6x+ 5 arcsin( x + 4x− 5) x + 4x−5⎠ 2<br />
( 1)( 5)<br />
lim<br />
x 6x 5 x− x−<br />
=<br />
− + 5 4 2<br />
1<br />
2 = lim = lim<br />
x−<br />
=<br />
−<br />
=− .<br />
x→ x + 4x−5 x→1( x− 1)( x+ 5) x→1<br />
x+<br />
5 6 3<br />
173
S2. Soluţie:<br />
a) Folosim formula trigonometrică: cos2x = 1 – 2sin 2 x.<br />
Rezultă că ( ) 2<br />
2 2<br />
= lim<br />
1−+ 1 2sin x sin sin<br />
2 = lim 2<br />
x<br />
2 = 2lim<br />
x<br />
= 2 ;<br />
x→0 x x→0 x x→0<br />
x<br />
b) Folosim formula trigonometrică:<br />
cos a− cosb=−2sin a+ b<br />
⋅ sin<br />
a−b .<br />
2 2<br />
Se obţine: = lim<br />
−2sin 3x⋅sin x<br />
=− 2lim<br />
sin x<br />
=−2⋅lim sin x 5 1 2<br />
( ⋅<br />
x<br />
⋅ ) =− ;<br />
x→0 sin 5x⋅sin 3x x→0 sin 5x x→0<br />
x sin 5x 5 5<br />
sin 3x ( ) ⋅3x−5⋅ sin x ( ) ⋅x 3⋅ sin 3x sin<br />
( ) −5<br />
x<br />
3x x 3x ( x )<br />
c) = lim = lim =<br />
3−5 = 1;<br />
x→0 sin 4x sin 3 x 0 sin 4 sin 3 4 6<br />
( ) 4 2<br />
x →<br />
⋅ x− ⋅( ) ⋅3x 4<br />
x ( ) −6⋅ x −<br />
4x 3x 4x ( 3x<br />
)<br />
⎛tg(arcsin x) arctg x<br />
d) lim<br />
arcsin x⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
1⋅1⋅ lim<br />
arcsin x<br />
=<br />
x→0⎝ arcsin x sin(arctg x) arctg x ⎠ x→0<br />
arctg x<br />
⎛<br />
lim<br />
arcsin x x ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⎟=<br />
1⋅ 1= 1.<br />
x→0⎝<br />
x arctg x⎠<br />
S3. Soluţie:<br />
⎛ln(1+ sin 3 x) a) lim<br />
sin3x⎞ = ⎜ ⋅ ⎟=<br />
1⋅ lim<br />
sin3x sin3 5 3 3 3<br />
( ) = lim<br />
x ( ⋅<br />
x<br />
⋅ ) = 1⋅1⋅ = ;<br />
x→0⎝ sin3x sin9x⎠ x→0 sin5x x→0<br />
3x sin5x 5 5 5<br />
⎛ x x<br />
ln(1+− 1 3 )<br />
b) lim<br />
x 1 3 ⎞<br />
=<br />
−<br />
⎜ x ⋅ ⋅ = 1⋅1 ⋅− ( ln 3) =−ln<br />
3<br />
x→0<br />
1 3 sin x x<br />
⎟<br />
;<br />
⎝ −<br />
⎠<br />
⎛ln(1+ xsin x) c) lim<br />
x sin 5x sin x ⎞<br />
= ⎜ ⋅<br />
⋅<br />
⋅ ⎟=<br />
1⋅1⋅ lim<br />
sin x<br />
=<br />
x→0⎝ x⋅ sin x ln(1+ xsin5 x) sin 5x⎠ x→0<br />
sin 5x<br />
= lim<br />
sin x 5 1 1 1<br />
( ⋅<br />
x<br />
⋅ ) = 1⋅1⋅ = ;<br />
x→0<br />
x sin 5x 5 5 5<br />
⎛ 2<br />
ln(1+ ln( x+ 1)) ln( x + 1) xln( x+ 1) ⎞ x⋅ ln( x+<br />
1)<br />
d) = lim⎜ ⋅ 2 ⋅ 2 1 1 lim 2<br />
x→0 ln( x 1)<br />
⎟=<br />
⋅ ⋅ =<br />
⎝ + ln(1+ ln( x + 1)) ln( x + 1) ⎠ x→0<br />
ln( x + 1)<br />
⎛ 2<br />
ln( x + 1) x ⎞<br />
2<br />
x→0<br />
⎜ ⎟<br />
= lim ⋅ = 1⋅ 1 = 1.<br />
⎝ x ln(1 + x ) ⎠<br />
S4. Soluţie:<br />
sin ax 1 cos<br />
sin (sin ax)<br />
− ax<br />
− ax<br />
( )<br />
cos<br />
cos ax<br />
= lim<br />
ax<br />
= lim = lim<br />
sin ax cos 1 cos<br />
( ⋅<br />
bx<br />
⋅<br />
bx<br />
⋅<br />
− ax<br />
⋅<br />
a)<br />
=<br />
x→0 sin bx x→0 1 cos x 0<br />
sin bx (sin bx)<br />
bx →<br />
−<br />
−<br />
ax sin bx cos ax 1−cosbx b<br />
cosbx ( cosbx<br />
)<br />
2<br />
2<br />
2sin<br />
ax ⎛ sin<br />
ax bx ⎞<br />
2<br />
a 1−cosax a 2 a ⎜a 2 2 ⎟ a a a<br />
x 0 0 2<br />
0<br />
2<br />
b → 1 cosbx<br />
b x→ bx b x→<br />
b ax bx b b<br />
= 111 ⋅ ⋅ ⋅ lim = ⋅ lim = lim ⋅ = ⋅ =<br />
−<br />
2sin ⎜ sin ⎟ b<br />
2 ⎝ 2 2 ⎠<br />
Dar =<br />
1<br />
şi se obţine că<br />
a<br />
=<br />
1<br />
, deci b = 2a.<br />
8<br />
b 2<br />
2 2 2 2<br />
Avem: E =<br />
a −b =<br />
a −4a =<br />
−3<br />
.<br />
2 2 2 2<br />
a + b a + 4a<br />
5<br />
174<br />
( )<br />
3<br />
.
S5. Soluţie:<br />
<br />
1 sin 2sin 2 ... sin sin 2sin 2 sin<br />
n = lim( ⋅<br />
x+ x+ + n nx) = 1⋅ lim<br />
x x ( + + ... + n<br />
nx)<br />
=<br />
x→0 x+ 1<br />
x x→0<br />
x x x<br />
2 2 2 ( 1)(2 1)<br />
lim<br />
sin x sin 2 sin<br />
( 4<br />
x<br />
...<br />
nx<br />
nn+ n+<br />
= + ⋅ + + n ) = 1+ 2 + ... + n = = 14 .<br />
x→0<br />
x 2x nx<br />
6<br />
Se obţine 1 = 1, 2 = 1 + 22 = 5, 3 = 1 + 4 + 9 = 14, deci n = 3.<br />
S6. Soluţie:<br />
2 2<br />
2x+ 3 x+ a−bx( x−1) (2 − b) x + ( b+ 3) x+ a<br />
a) = lim = lim<br />
.<br />
x→∞ x−1 x→∞<br />
x−1<br />
Pentru ca limita să fie finită trebuie ca numărătorul să aibă gradul cel mult egal cu gradul<br />
numitorului. Se impune condiţia 2 – b = 0, deci b = 2. Atunci:<br />
= lim<br />
5x+<br />
a<br />
= 5.<br />
x→∞<br />
x−1<br />
Aşadar = a şi = 5.<br />
2 2<br />
x + x+ 1 − axx ( + 2) (1 − ax ) + (1− 2 ax ) + 1<br />
a) Avem: = lim = lim<br />
.<br />
x→∞ x+ 2 x→∞<br />
x+<br />
2<br />
Limita este finită dacă numărătorul are cel mult gradul 1.<br />
Se impune condiţia 1 – a = 0, deci a = 1. Rezultă că:<br />
= lim<br />
−+ x 1<br />
=−1,<br />
dar l = 3 + b şi se obţine că –1 = 3 + b deci b = –4;<br />
x→∞<br />
x+<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2<br />
(1 )<br />
c) lim( ) lim<br />
x x a x<br />
− a x + x<br />
=− b+ x + x− ax =− b+ + −<br />
=− b+<br />
lim<br />
.<br />
x→∞ x→∞ 2<br />
x<br />
2<br />
x + x+ ax →∞ x + x+ ax<br />
Limita poate fi finită dacă 1 – a 2 = 0, deci a = 1 sau a = –1.<br />
2<br />
• Pentru a=−1⇒ =− b+ lim( x + x+ x)<br />
=+∞.<br />
x→∞<br />
• Pentru a= 1⇒ =− b+ lim<br />
x<br />
=<br />
1<br />
−b.<br />
Se obţine că<br />
1<br />
− b =<br />
3<br />
deci b = –1.<br />
x→∞<br />
2<br />
x + x+ x 2<br />
2 2<br />
Aşadar a = 1, b = –1.<br />
d) = lim<br />
sin ax 3 1<br />
( ⋅<br />
x<br />
⋅<br />
a<br />
⋅ ) = 1⋅1⋅ a<br />
=<br />
a<br />
. Rezultă că<br />
a<br />
= 2 şi a = 12.<br />
x→0<br />
ax sin 3x 3 x+<br />
2 6 6<br />
6<br />
ln(1+ 3 −x)<br />
e) 1 = alim =−a,<br />
iar<br />
x→3<br />
x−3<br />
x−3 x−3<br />
8(2 −1) ⎛2 1 8 ⎞<br />
<br />
8 4<br />
2 = lim = lim ⎜<br />
−<br />
⋅ ⎟=<br />
(ln 2) ⋅ = ln 2 .<br />
x→3 ( x− 3)( x+ 3) x→3⎝<br />
x− 3 x+<br />
3⎠ 6 3<br />
Rezultă a =−<br />
4ln2<br />
;<br />
3<br />
x−2 x−2<br />
16(2 −1) ⎛<br />
f)<br />
2 1 2 ln2 ln2 1<br />
1 lim 2 lim<br />
x ⎞<br />
= x− = ⎜<br />
−<br />
⋅<br />
−<br />
x−2<br />
⎟=<br />
= = , iar<br />
x→216(4 −1) x→2⎝<br />
x−2<br />
4 −1⎠<br />
ln4 2ln2 2<br />
2 = lim<br />
x→1<br />
2<br />
x− a =<br />
2<br />
1−a<br />
.<br />
1<br />
= −<br />
2<br />
se obţine<br />
Din egalitatea<br />
2<br />
1<br />
a<br />
2<br />
a =<br />
3<br />
, deci<br />
4<br />
175<br />
a =±<br />
3<br />
.<br />
2
1.7. Asimptotele funcţiilor reale<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) D = ( −∞,0) ∪ (0, +∞ ) . Aşadar ±∞ sunt puncte de acumulare pentru D. Rezultă că:<br />
• lim f( x)<br />
= lim<br />
1<br />
= 0 şi lim f( x)<br />
= lim<br />
1<br />
= 0.<br />
x→+∞ x→+∞<br />
x<br />
x→−∞ x→−∞x<br />
Aşadar dreapta y = 0 este asimptotă orizontală la –∞, şi la +∞.<br />
b) D =−∞ ( ,3) ∪ (3, +∞. ) Se obţine:<br />
lim f( x)<br />
= lim<br />
1<br />
= 0 şi lim f( x)<br />
= lim<br />
1<br />
= 0 ,<br />
x→−∞ x→−∞<br />
x − 3 x→+∞ x→+∞<br />
x − 3<br />
deci dreapta y = 0 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.<br />
c) D = ( −∞,4) ∪ (4, +∞ ) . Se obţine: lim f( x)<br />
= lim<br />
x<br />
=−1şi<br />
lim f( x)<br />
= lim<br />
x<br />
=−1.<br />
x→−∞ x→−∞<br />
4 − x<br />
x→∞ x→∞4−x<br />
Dreapta y = –1 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.<br />
d) D =−∞ ( ,<br />
1 1 ) ( , +∞)<br />
2<br />
∪<br />
2<br />
.<br />
Se obţine: lim<br />
x→−∞ f ( x) =<br />
3<br />
= lim<br />
2 x→+∞<br />
f( x)<br />
. Dreapta y =<br />
3<br />
este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.<br />
2<br />
e) D = Z, iar lim f( x) = lim f( x)<br />
= 0 . Asimptota orizontală la –∞ şi la +∞ este dreapta y = 0;<br />
x→∞ x→−∞<br />
f) D = ( −∞, −<br />
5 5 ) ( − , +∞)<br />
∪ . Asimptota orizontală la –∞ şi la +∞ este y =<br />
2<br />
.<br />
3 3<br />
3<br />
g) D = [0, +∞). În acest caz numai +∞ este punct de acumulare pentru D.<br />
Se obţine lim f( x)<br />
= 0 şi asimptota orizontală la +∞, dreapta y = 0.<br />
x→∞<br />
h) D = Z, y =<br />
3<br />
la ±∞.<br />
2<br />
x x 2<br />
i) D = Z. Se obţine: lim f( x)<br />
= lim 2 = lim<br />
x<br />
2 = 1,<br />
x→−∞ x→−∞x+ x+ 1 x→−∞<br />
x + x+<br />
1<br />
2<br />
lim f( x)<br />
= lim<br />
−x<br />
2 =−1.<br />
x→−∞ x→−∞<br />
x + x+<br />
1<br />
Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞, iar y = –1 este asimptotă orizontală la –∞<br />
E2. Soluţie:<br />
a) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. ) Avem: f(1 − 0) = lim<br />
1<br />
=<br />
1<br />
= −∞ , f(1<br />
+ 0) = lim<br />
1<br />
=<br />
1<br />
= +∞ .<br />
x−1 0 x−1<br />
0<br />
x→1 −<br />
x→1<br />
+<br />
x< 1 x><br />
1<br />
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.<br />
Dacă x0 i Z \ {1}, atunci lim<br />
1<br />
=<br />
1<br />
∈Z<br />
, deci nu mai există alte asimptote verticale.<br />
x→x x−1 x −1 0 0<br />
b) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. ) Rezultă lim f( x)<br />
= lim<br />
1<br />
=<br />
1<br />
=+∞.<br />
x→1 x→1<br />
2<br />
( x −1)<br />
0+<br />
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală;<br />
c) D = ( −∞, −1) ∪( − 1,1) ∪ (1, +∞)<br />
. Se obţine:<br />
176
( −1− 0) = lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
=<br />
−1<br />
=−∞şi<br />
( x− 1)( x+<br />
1) −2⋅0 • f<br />
x→−1 2<br />
x −1<br />
x→−1<br />
x
d) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. )<br />
• Asimptota oblică la +∞.<br />
2 2<br />
f() x x + 2 x<br />
Avem: m=<br />
lim = lim = lim<br />
x + 2x<br />
= 1,<br />
x→+∞ x x→+∞ x( x−1) x→+∞<br />
x( x−1)<br />
⎛ 2<br />
lim( ( ) ) lim<br />
x 2x ⎞<br />
n= f x − x = ⎜<br />
+<br />
− x⎟=<br />
lim<br />
3x<br />
= 3 .<br />
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→+∞<br />
x−1<br />
Dreapta y = x + 3 este asimptotă oblică spre +∞.<br />
• Asimptotă oblică spre –∞.<br />
2<br />
f() x<br />
Avem: m=<br />
lim = lim<br />
x −2x<br />
= 1 şi<br />
x→−∞ x x→−∞x(<br />
x−1)<br />
2<br />
n= lim ( f( x) − x) = lim<br />
⎛x −2x x<br />
⎞<br />
lim<br />
−x<br />
⎜ − 1<br />
x→−∞ x→−∞ x 1<br />
⎟=<br />
=− .<br />
⎝ − ⎠ x→−∞<br />
x−1<br />
Dreapta y = x – 1 este asimptotă oblică spre –∞.<br />
e) D = [0, +∞). Problema determinării asimptotei oblice se pune numai la +∞.<br />
Se obţine:<br />
f() x<br />
m = lim = lim<br />
x<br />
= 1,<br />
x→+∞ x x→+∞1+<br />
x<br />
n= lim ( f( x) − x) = lim<br />
x x ( − x)<br />
= lim<br />
−x<br />
=−∞.<br />
x→+∞ x→∞ 1+ x x→∞1+<br />
x<br />
Rezultă că nu există asimptotă oblică.<br />
f) D = ( −∞ ,<br />
1 1 ) ( , +∞)<br />
2<br />
∪<br />
2<br />
.<br />
Avem: m=<br />
lim<br />
x→−∞ 2<br />
f() x ⎛<br />
lim<br />
x 2x ⎞<br />
= ⎜<br />
+<br />
⎟=<br />
1<br />
,<br />
x x→−∞⎝x(2x−1)<br />
⎠ 2<br />
2<br />
1 ⎛<br />
lim<br />
2 5 5<br />
( ( ) ) lim<br />
x x x⎞ n= f x − x = ⎜<br />
+<br />
− ⎟=<br />
lim<br />
x<br />
= .<br />
x→−∞ 2 x→−∞⎝ 2x−1 2⎠ x→−∞2(2x−1)<br />
4<br />
Dreapta y =<br />
x<br />
+<br />
5<br />
este asimptotă oblică spre –∞.<br />
2 4<br />
Analog: m=<br />
lim<br />
x→+∞ 2<br />
f() x<br />
= lim<br />
x −2x<br />
=<br />
1<br />
,<br />
x x→+∞<br />
x(2x−1) 2<br />
2<br />
lim<br />
2 3 3<br />
( ( )<br />
x ⎛ ) lim<br />
x x x⎞<br />
n= f x − = ⎜<br />
−<br />
− ⎟=<br />
lim<br />
−<br />
=<br />
−<br />
.<br />
x→∞ 2 x→+∞⎝ 2x−1 2⎠ x→∞<br />
2(2x−1) 4<br />
Dreapta y =<br />
x<br />
−<br />
3<br />
este asimptotă oblică spre +∞.<br />
2 4<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
a) D = (–∞, 1) N (1, 3) N (3, +∞)<br />
Avem: lim f( x) = lim f( x)<br />
= 0 , deci y = 0 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.<br />
•<br />
x→−∞ x→+∞<br />
f (1− 0) = lim<br />
x<br />
=<br />
1<br />
=+∞<br />
( x−1)( x−3)<br />
0 ⋅− ( 2)<br />
x→1<br />
−<br />
x<<br />
1<br />
f (1+ 0) =<br />
1<br />
=−∞<br />
,<br />
0<br />
−<br />
178
f (3− 0) = lim<br />
x<br />
=<br />
3<br />
=−∞,<br />
( x−1)( x−3)<br />
2⋅0 x→3<br />
−<br />
x<<br />
3<br />
f (3 + 0) = +∞.<br />
Rezultă că dreptele x = 1, x = 3 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
b) D = (–∞, –1) N (–1, 1) N (1, +∞).<br />
• Asimptote orizontale.<br />
Se obţine:<br />
2<br />
2<br />
lim f( x)<br />
= lim<br />
−x<br />
2 =−1şi<br />
lim f( x)<br />
= lim<br />
x<br />
x→−∞ x→−∞<br />
2 = 1,<br />
deci y = –1 este asimptotă orizontală<br />
x −1<br />
x→+∞ x→∞x−1<br />
la –∞, iar y = 1 este asimptotă orizontală la +∞.<br />
• Asimptote verticale<br />
x x<br />
Se obţine: f( −+ 1 0) = lim f( x)<br />
= lim =<br />
−1<br />
=+∞,<br />
( x− 1)( x+<br />
1) −2⋅0 x→−1 x→−<br />
1<br />
+<br />
x>− 1 x>−1<br />
f ( −− 1 0) =−∞,<br />
xx<br />
f (1− 0) = lim =<br />
−1<br />
=−∞,<br />
( x− 1)( x+<br />
1) 0 ⋅2<br />
x→1<br />
−<br />
x<<br />
1<br />
f(1 + 0) = +∞.<br />
Aşadar dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
Nu există asimptote oblice, deoarece la ambele ramuri există asimptote orizontale;<br />
c) D =−∞ ( ,1) ∪(1,5) ∪ (5, +∞. ) Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞,<br />
iar dreptele x= 1, x=<br />
5 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
d) Se pune condiţia 1+<br />
x<br />
U 0,<br />
x−1<br />
• Asimptote orizontale.<br />
x−≠<br />
1 0 . Se obţine D =−∞− ( , 1] ∪ ( 1, +∞. )<br />
Avem lim f( x)<br />
= lim<br />
x→−∞ x→−∞<br />
x+<br />
1<br />
=<br />
x−1<br />
1= 1 şi lim f( x)<br />
= 1.<br />
x→+∞<br />
Rezultă că y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.<br />
• Asimptote verticale<br />
Avem lim f( x)<br />
= lim<br />
x+<br />
1<br />
=<br />
x−1<br />
2<br />
0<br />
=+∞,<br />
deci x− 1 este asimptotă verticală.<br />
x→1 x→1<br />
x><br />
1<br />
+<br />
e) D =−∞− ( , 1) ∪− ( 1,1) ∪ (1, +∞. ) Avem, după explicitarea modulului:<br />
⎧ 2<br />
x<br />
⎪ 2 , x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)<br />
⎪x −1<br />
f( x)<br />
= ⎨<br />
2<br />
⎪ x<br />
⎪⎩ 2 , x ∈− ( 1,1)<br />
1−<br />
x<br />
• Asimptote orizontale.<br />
Se obţine:<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
lim f( x)<br />
= lim 2 = 1 şi lim f( x)<br />
= lim 2 = 1<br />
x→−∞ x→−∞x−1x→∞<br />
x→∞<br />
x −1<br />
deci y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.<br />
179
• Asimptote verticale<br />
2<br />
Avem: f ( −− 1 0) = lim<br />
x<br />
=<br />
1<br />
=+∞,<br />
f(–1 + 0) = +∞, f(1 + 0) = + ∞, f(1 – 0) = + ∞.<br />
x→−<br />
1<br />
2<br />
x −1<br />
0+<br />
Dreptele x = 1 şi x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
f) D = ( −∞, 1) ∪ (1, +∞ ) .<br />
Deoarece lim f( x) =+∞ , lim f( x)<br />
=+∞ nu există asimptote orizontale la –∞ şi la +∞.<br />
x→∞ x→−∞<br />
• Asimptote verticale<br />
2<br />
Avem: lim f( x)<br />
= lim<br />
x<br />
=<br />
1<br />
=+∞.<br />
x→1 x→1<br />
x −1<br />
0+<br />
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.<br />
• Asimptote oblice<br />
2<br />
f() x<br />
m=<br />
lim = lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
= 1,<br />
x→∞ x x→∞x⋅x−1x→∞ x−1<br />
⎛ 2 2<br />
lim<br />
x ⎞<br />
n= x lim<br />
⎛ x<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
x→∞⎜ −<br />
x 1 ⎟= ⎜ −<br />
x→∞ x 1<br />
⎟=<br />
= .<br />
x→∞<br />
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ x−1<br />
Aşadar y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞.<br />
2<br />
f() x x x<br />
• m = lim = lim = lim =−1,<br />
x→−∞ x x→−∞ xx−1<br />
x→−∞1−<br />
x<br />
⎛ 2 2<br />
lim<br />
x ⎞<br />
n= x lim<br />
⎛ x<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
x→−∞⎜ +<br />
( x 1)<br />
⎟= ⎜ +<br />
x→−∞1 x<br />
⎟=<br />
=− .<br />
x→−∞<br />
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ 1−x<br />
Dreapta y = –x – 1 este asimptotă oblică spre –∞.<br />
g) D = (–∞, –1) N (–1, 0) N (0, 1) N (1, + ∞).<br />
Asimptote orizontale<br />
2 2<br />
Avem: lim f( x) = lim<br />
x<br />
= 1, lim f( x)<br />
= lim<br />
⎛ x ⎞<br />
1<br />
x x<br />
2 ⎜<br />
→+∞ →∞ x x<br />
2 ⎟=<br />
, deci y = 1 este asimptotă<br />
x − x →−∞ →−∞⎝x<br />
+ x⎠<br />
orizontală la –∞ şi la + ∞.<br />
• Asimptote verticale<br />
Avem:<br />
f(1+ 0) = lim f( x)<br />
= lim = lim =<br />
1<br />
=+∞,<br />
1 0<br />
2<br />
x x<br />
x→1 x> 1<br />
2<br />
x→1 x − x<br />
x> 1<br />
x→1<br />
x −<br />
x><br />
1<br />
f(1 − 0) = −∞, f(<br />
− 1 + 0) = lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
=<br />
−1<br />
= −∞ , f(–1 – 0) = +∞.<br />
x + 1 0<br />
2<br />
x→−1 2<br />
x + x x→−1<br />
x>− 1 x>−1<br />
Aşadar x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
2<br />
Deoarece lim f( x)<br />
= lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
= 0,<br />
f(0 + 0) = 0, dreapta x = 0 nu este asimptotă<br />
x→0 x→0 2<br />
x + x x→0<br />
x + 1<br />
x< 0 x< 0 x<<br />
0<br />
verticală;<br />
h) D =−∞− ( , 1) ∪− ( 1,1) ∪ (1, +∞. )<br />
• Nu există asimptote orizontale.<br />
• Asimptote verticale sunt dreptele x = –1 şi x = 1.<br />
• Asimptote oblice.<br />
180<br />
+<br />
+
3<br />
f() x<br />
Se obţine: m = lim = lim<br />
x<br />
= 1,<br />
x→∞ x<br />
2<br />
x →∞ xx ( −1)<br />
⎛ 3<br />
lim ( ( ) ) lim<br />
x ⎞<br />
n= f x − x = ⎜ 2 − x⎟=<br />
lim<br />
x<br />
2 = 0 .<br />
x→+∞ x→+∞⎝x −1 ⎠ x→∞<br />
x −1<br />
f() x<br />
Analog se obţine că lim = 1, lim ( f( x) − x)<br />
= 0 , deci y = x este asimptotă oblică spre<br />
x→−∞ x x→−∞<br />
–∞ şi spre + ∞.<br />
S2. Soluţie:<br />
a) D =−∞ ( , 0) ∪ (0, +∞. )<br />
• Asimptote orizontale<br />
1<br />
x 0<br />
lim f( x) = lim x⋅<br />
2 =∞⋅ 2 =∞,<br />
x→∞ x→∞<br />
lim<br />
x→−∞ f( x) lim x<br />
x→−∞<br />
1<br />
x 2<br />
0<br />
2<br />
= ⋅ =−∞⋅ =−∞.<br />
Aşadar nu există asimptote orizontale.<br />
• Asimptote verticale<br />
x→0<br />
x<<br />
0<br />
1<br />
x<br />
− −∞<br />
f(0− 0) = limx⋅ 2 = 02 ⋅ = 02 ⋅ = 0,<br />
iar<br />
x→0<br />
x><br />
0<br />
1<br />
x<br />
+ +∞<br />
f(0+ 0) = limx ⋅ 2= 02 ⋅ = 02 ⋅ = 0<br />
caz de excepţie.<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x lim x 2 lim lim<br />
x→0 x→0 1 y→∞<br />
x> 0 x><br />
0<br />
Avem: ⋅ =<br />
2<br />
x<br />
=<br />
y<br />
2<br />
=+∞.<br />
y<br />
Rezultă că x = 0 este asimptotă verticală lateral dreapta.<br />
• Asiptote oblice<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
f() x<br />
lim<br />
1<br />
x<br />
lim<br />
x ⋅2<br />
1<br />
x lim 2<br />
0<br />
2 1<br />
x→∞ x→∞ x→∞<br />
m = = = = = ,<br />
x x<br />
1 1<br />
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞<br />
n= lim( f( x) − x) = lim x2x lim x 2 1 lim<br />
2 −1<br />
⎜ − ⎟= ⎜ − ⎟=<br />
= ln 2 .<br />
x→∞ x→∞⎝ ⎠ x→∞ ⎝ ⎠ x→∞1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
f() x<br />
⎛ 1 ⎞ x<br />
x<br />
x<br />
Analog, m = lim = lim 2 = 1 şi n= lim⎜x⋅2− x⎟=<br />
lim<br />
2 −1<br />
= ln2 .<br />
x→−∞ x x→−∞<br />
x→−∞⎝ ⎠ x→−∞1<br />
x<br />
Rezultă că dreapta y = x + ln2 este asimptotă oblică spre –∞ şi spre +∞.<br />
b) Se pune condiţia e +<br />
1<br />
> 0 . Se obţine<br />
xe 1<br />
0<br />
x<br />
x<br />
• Asimptote orizontale.<br />
( ) 1<br />
lim f( x) = lim xln e+ =∞⋅ ln e=∞,<br />
x→∞ x→∞<br />
x<br />
( ) 1<br />
lim f( x) = lim xln e+ =−∞⋅ ln e=−∞.<br />
x→−∞ x→−∞<br />
x<br />
Nu există asimptote orizontale.<br />
+<br />
> cu soluţia: ( ) 1<br />
181<br />
1<br />
x<br />
x ∈ −∞, − ∪ (0, +∞ ) = D .<br />
e
ln( e+ y)<br />
(0+ 0) = lim ln + = lim = 0 ,<br />
x y<br />
• Asimptote verticale f x<br />
1 ( e )<br />
Dreapta<br />
x→0y→∞ x><br />
0<br />
1 1<br />
( ) 1 ( )<br />
ln( e+ y)<br />
f − − 0 = lim xln e+<br />
= lim =<br />
−∞<br />
=+∞.<br />
e x y→−e y −e<br />
x→−<br />
e<br />
x 0.<br />
Rezultă că x i (–∞, –1) (0, +∞) = D.<br />
x<br />
• Asimptote orizontale<br />
1 1<br />
ln(1 + y)<br />
lim f( x) = lim( x− 1) ln ( 1+ ) = lim<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
ln(1 y) lim<br />
⎛<br />
(1 y)<br />
⎞<br />
1 1 1<br />
x→∞ x→∞ x<br />
⎜ −<br />
y→0 y<br />
⎟ + = ⎜ − = ⋅ ⋅<br />
y→0<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
y><br />
0<br />
1 1<br />
( ) 0 0<br />
ln(1 + y)<br />
lim ( x− 1) ln 1+ = lim<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
ln(1 y) lim<br />
⎛<br />
(1 y)<br />
⎞<br />
1<br />
x→−∞ x<br />
⎜ −<br />
y→y ⎟ + = ⎜ ⋅ − =<br />
y→y<br />
⎟ .<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
y<<br />
0<br />
Rezultă că y = 1 este asimptotă orizontală la –∞ şi la + ∞.<br />
• Asimptote verticale<br />
• f x<br />
1 ( )<br />
x→−1<br />
x<br />
x<br />
0<br />
Dreptele x = –1, x = 0 sunt asimptote verticale.<br />
3<br />
d) Condiţii de existenţă:<br />
x + 1<br />
U 0, x −1≠0. x −1 Se obţine x ∈−∞ ( , − 1] ∪ (1, +∞)<br />
.<br />
Deoarece lim f( x)<br />
=+∞ nu există asimptote orizontale.<br />
x→±∞<br />
+<br />
182
• Asimptote verticale<br />
f (1 + 0) = lim<br />
x→1<br />
3<br />
x + 1<br />
=<br />
x −1<br />
2<br />
0<br />
=+∞,<br />
deci dreapta x = 1 este asimptotă verticală.<br />
x><br />
1<br />
+<br />
• Asimptote oblice<br />
f() x<br />
• m = lim = lim<br />
1<br />
x→∞ x x→∞ x<br />
3<br />
x + 1<br />
= lim<br />
x−1 x→∞<br />
3<br />
x + 1<br />
= 1,<br />
2<br />
x ( x−1)<br />
x + 1 x + 1<br />
n= f x − x = − x = = =<br />
3 2<br />
2<br />
3 ⎛ − x<br />
lim( ( ) ) lim<br />
x + 1 ⎞<br />
lim x−1 lim x−1<br />
⎜ x x x 1 ⎟<br />
→∞ →∞ x→∞ 3<br />
x 1 x→∞<br />
⎝ − ⎠ + x<br />
1<br />
+ x ⎛ + ⎞<br />
2<br />
2 ⎜ ⎟<br />
2<br />
= lim<br />
x + 1<br />
⋅<br />
1<br />
= 1⋅<br />
1<br />
=<br />
1<br />
.<br />
x→∞<br />
xx ( −1)<br />
1 2 2<br />
x + 2<br />
x + 1<br />
x −1<br />
183<br />
x − 1 x x<br />
⎜<br />
+ x<br />
x −1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Dreapta y = x+<br />
1<br />
este asimptotă oblică spre +∞.<br />
2<br />
• m = lim<br />
x→−∞ f() x<br />
= lim<br />
1<br />
x x→−∞ x<br />
3<br />
x + 1<br />
= lim −<br />
x−1 x→−∞<br />
3<br />
x + 1<br />
=−1,<br />
2<br />
x ( x−1)<br />
⎛<br />
n= lim ( f( x) + x) = lim⎜ x→−∞ x→−∞⎝ 3<br />
x + 1 ⎞ ⎛<br />
+ x = lim ⎜<br />
x−1 ⎟<br />
⎠ y→+∞⎝ 3<br />
1−y ⎞ ⎛<br />
− y⎟= lim⎜<br />
−y− 1 ⎠ y→∞⎝<br />
3<br />
y −1<br />
⎞<br />
− y⎟=<br />
y+<br />
1 ⎠<br />
3<br />
y −1 2<br />
− y<br />
y+ 1<br />
= lim = lim<br />
y→∞ 3<br />
y −1 y→∞ + y<br />
y+ 1<br />
⎛<br />
2<br />
−y −1<br />
⎜<br />
⎜ 2<br />
y+ 1 −y −1<br />
= lim ⎜ ⋅ 3<br />
y − 1 y→∞⎜yy<br />
( + 1)<br />
+ y<br />
y+<br />
1 ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
1 ⎟=−<br />
1<br />
.<br />
1 2<br />
y+<br />
⎟<br />
2<br />
y ⎟<br />
+ 1⎟<br />
y+<br />
1 ⎠<br />
Dreapta<br />
y =−x− 1<br />
este asimptotă oblică spre –∞.<br />
2<br />
S3. Soluţie:<br />
2<br />
Pentru numitor avem ∆= a −4a− 4.<br />
Deosebim următoarele cazuri:<br />
• ∆< 0 . Atunci domeniul de definiţie pentru funcţia f este D = Z şi nu există asimptote<br />
verticale.<br />
• ∆= 0 . Atunci x 2 – ax + a + 1 = (x – x0) 2 şi dreapta x = x0 este asimptotă verticală.<br />
Se obţine: a ∈{2− 2 2, 2+ 2 2} .<br />
• ∆> 0 . Atunci x 2 ( x− 1)( x+<br />
1)<br />
– ax + a + 1 = (x – x1)(x – x2) şi f() x =<br />
.<br />
( x −x)( x−x )<br />
1 2<br />
Dreptele x = x1 şi x = x2 sunt posibile asimptote.<br />
Pentru a rămâne doar o asimptotă, fracţia f(x) trebuie să se simplifice fie cu x – 1, fie cu x + 1.<br />
Dacă x – x1 = x – 1 atunci x1 = 1 şi 1 2 – a + a + 1 = 2 @ 0.
Dacă x – x1 = x + 1 atunci x1 = –1 şi (–1) 2 2<br />
+ a + a + 1 = 0 ± a = –1, iar f() x =<br />
x −1 x 1<br />
2 =<br />
−<br />
,<br />
x + x x<br />
cu singura asimptotă verticală x = 0.<br />
În concluzie există o singură asimptotă verticală dacă a ∈{2−2 2, − 1, 2+ 2 2} .<br />
S4. Soluţie:<br />
a) Avem:<br />
2<br />
f() x ax + 2a<br />
+ bx<br />
m= lim = lim<br />
= a.<br />
x→∞ x x→∞<br />
x( x−1)<br />
Din egalitatea a = a 2 se obţine a i {0, 1}.<br />
Pentru a = 0, f() x =<br />
bx<br />
, y = 2.<br />
Atunci este necesar ca 2 = lim f ( x) = b.<br />
x −1<br />
x→∞<br />
2<br />
Pentru a = 1, f() x =<br />
x + bx+<br />
2<br />
, y = x+<br />
2.<br />
x −1<br />
⎛ 2 ( 1) 2<br />
Se pune condiţia 2 lim( ( ) ) lim<br />
x bx 2 ⎞ b+ x+<br />
= n= f x − x = ⎜<br />
+ +<br />
− x⎟= lim = b+<br />
1.<br />
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞<br />
x−1<br />
Aşadar b + 1 = 2 ± b = 1.<br />
b) Avem m = 1. Rezultă că<br />
2<br />
⎛( x+ a)( x+ a+ 1) ⎞ ( a− 1) x+ a + a<br />
− a+ 3= n= lim( f( x) − x) = lim⎜ − a⎟= lim = a−1.<br />
x→∞ x→∞⎝ ( x+ a+ 2) ⎠ x→∞<br />
x+ a+<br />
2<br />
Aşadar –a + 3 = a – 1 ± a = 2.<br />
184
Soluţii<br />
1.<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
2<br />
( x−3) x−3<br />
1<br />
x→3 x→3<br />
2 1 2<br />
= lim = lim = 0, = 1, + = 1.<br />
Răspuns: a).<br />
( x− 3)( x+ 3) x+<br />
3<br />
( ) 0<br />
2 0 2<br />
2<br />
sin( x − 5x+ 4) ⎛sin( x − 5x+ 4)<br />
2. a) lim lim<br />
x 1 x 5x 4⎞<br />
= ⋅<br />
−<br />
⋅<br />
− +<br />
=<br />
x→1 1<br />
2<br />
sin( x−1) x→<br />
⎜<br />
x − 5x+ 4 sin( x−1) x−1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
( 1)( 4)<br />
1 1 lim<br />
x 5x 4 x− x−<br />
= ⋅ ⋅<br />
− +<br />
= lim = lim( x − 4) =−3;<br />
x→1 x−1 x→1 x−1<br />
x→1<br />
2 2<br />
b) lim<br />
x + 3x = lim<br />
x + 3x =<br />
1<br />
=<br />
1<br />
.<br />
x→∞ 2<br />
2x+ 1 x→∞<br />
(2x + 1) 4 2<br />
2<br />
f() x<br />
3. b= m=<br />
lim = lim<br />
x + ax+<br />
3<br />
= 1,<br />
2<br />
x→∞ x x→∞<br />
x<br />
2<br />
2 = n= lim( f( x) − x) = lim<br />
⎛x + ax+ 3<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
ax+<br />
3<br />
⎜ − a<br />
x→∞ x→∞ x<br />
⎟=<br />
= .<br />
⎝ ⎠ x→∞<br />
x<br />
Aşadar a = 2, b = 1, a + b = 3. Răspuns corect a).<br />
Soluţii<br />
Testul 2<br />
1. a) lim<br />
xarcsin x ⎛<br />
lim<br />
x arcsin x x ⎞<br />
= ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=<br />
1⋅1⋅ 1= 1;<br />
x→0 sin x⋅arctg x x→0⎝sin<br />
x x arctg x⎠<br />
b)<br />
2. 1<br />
2 x 1+ 1<br />
+<br />
1 1 1<br />
2 − 1+<br />
+ 2<br />
lim<br />
x + x− 1 x x<br />
= lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
=−<br />
1<br />
.<br />
x→−∞ 3x−1 x→−∞ 1 x→−∞<br />
x<br />
1 3<br />
( 3−<br />
)<br />
3−<br />
x<br />
x<br />
x x x x<br />
lim<br />
3 1 1 a ⎛<br />
lim<br />
3 1 a 1⎞ =<br />
−+−<br />
= ⎜<br />
−<br />
−<br />
−<br />
⎟=<br />
ln 3− ln a = ln<br />
3<br />
.<br />
x→0 x x→1⎝<br />
3 x ⎠<br />
a<br />
Aşadar ln<br />
3<br />
= 1⇒ 3<br />
= e deci a =<br />
3<br />
. Răspuns corect c).<br />
a a<br />
e<br />
ax + 1<br />
2<br />
3. Deoarece lim f ( x) = lim 2 = a,<br />
rezultă că dreapta y = a este asimptotă orizontală.<br />
x→∞ x→∞<br />
x + 2bx+ 1<br />
Este necesar ca f să nu mai admită alte asimptote.<br />
Pentru a nu exista asimptote verticale se pune condiţia ca ecuaţia x 2 + 2bx + 1 = 0 să nu aibă<br />
soluţii reale.<br />
Se obţine ∆ = 4b 2 – 4 < 0, deci b i (–1, 1).<br />
Răspuns corect c).<br />
185
Soluţii<br />
1. a)<br />
2.<br />
Testul 3<br />
− − ( x− 2)(3x+ 2) +<br />
2<br />
lim<br />
3x 4x x→2 2<br />
x − 4<br />
4<br />
= lim<br />
x→2 = lim<br />
3x 2<br />
=<br />
8<br />
= 2 ;<br />
( x− 2)( x+ 2) x→2<br />
x+<br />
2 4<br />
x x 2<br />
x x 2 x x 2<br />
(2 −3 ) ⎛2 3 ⎞ ⎛2 1 3 1⎞<br />
2<br />
lim = lim⎜ −<br />
⎟⋅ = lim ⎜<br />
−<br />
−<br />
−<br />
⎟ = (ln 2−ln 3) .<br />
x→0 xsin x x→0⎝ x ⎠ sin x x→0⎝<br />
x x ⎠<br />
b)<br />
x ( )<br />
( x − a)( x+ a) ( x− a)( x+ a)( x+ 4 = lim = lim<br />
x→a x−a x→a ( x−a) a) ( x+ a)( x+ = lim<br />
x→a 1<br />
a)<br />
=<br />
= 2a⋅ 2 a = 4a<br />
a . Rezultă că a a = 1 şi a = 1.<br />
3. Avem:<br />
a= m=<br />
lim<br />
x→∞<br />
2 2<br />
x + a<br />
= 1,<br />
iar<br />
x<br />
1 = n= lim ( f( x) − x) = lim(<br />
x→−∞ x→∞ ceea ce nu se poate.<br />
2 2<br />
2<br />
x + 1 − x)<br />
= lim<br />
x + 1−x = lim<br />
x→∞2 x + 1+ x x→∞<br />
1<br />
= 0 ,<br />
2<br />
x + 1+<br />
x<br />
a= m=<br />
lim<br />
x→−∞<br />
2 2<br />
x + a<br />
=− 1,<br />
deci a = –1, iar a+ = n= x<br />
x + + x =<br />
x + 1−x<br />
=<br />
x + 1 −x<br />
Aşadar a = –1 are proprietatea cerută.<br />
4. Pentru x → –x se obţine egalitate 2f(–x) + 3f(x) = x 2 – 1, ¼x i Z.<br />
2<br />
⎧ ⎪2<br />
f( x) + 3 f( − x) = x −1<br />
Formăm sistemul ⎨<br />
.<br />
2<br />
⎪⎩ 3 f( x) + 2 f( − x) = x −1<br />
Prin scădere se obţine că f(–x) = f(x) deci f este funcţie pară.<br />
2<br />
Aşadar, din prima ecuaţie se obţine: f() x =<br />
x −1<br />
.<br />
5<br />
2<br />
x0<br />
−1<br />
Avem că lim f( x)<br />
= , ¼x0 i Z.<br />
x→x 5<br />
Soluţii<br />
0<br />
Testul 4<br />
1. Funcţia f are limită pentru ¼x i (–∞, a) N (a, + ∞).<br />
Avem:<br />
3 3 3<br />
f ( a− 0) = lim( x + a ) = 2 a ,<br />
x→a .<br />
f( a+ 0) = lim( x+ 1) = a+<br />
1<br />
x→a Funcţia are limită în a dacă f(a – 0) = f(a + 0), deci 2a 3 = a + 1.<br />
2 2<br />
2<br />
1 lim( 1 ) lim 0<br />
x→−∞ x→−∞<br />
2<br />
Avem succesiv:<br />
2a<br />
186<br />
3 – a – 1 = 0 ± a 3 – a + a 3 – 1 = 0 ± a(a – 1)(a + 1) + (a – 1)(a 2 + a + 1) = 0 ±<br />
(a – 1)(a 2 + a + a 2 + a + 1) = 0 de unde a = 1 şi 2a 2 + 2a + 1 = 0, fără soluţii reale.<br />
.
2. Calculăm limitele laterale în x0 = 1.<br />
2<br />
Rezultă că f(1 − 0) = lim( x + ax+ 3) = a+<br />
4 , f (1 + 0) = lim<br />
3x+ b<br />
=<br />
b+<br />
3<br />
.<br />
x→1<br />
x→1<br />
2<br />
x + 2 3<br />
Aşadar a + 4= b<br />
+ 1 deci b = 3a + 9.<br />
3<br />
Avem că:<br />
2<br />
f() x − f(1) 3 4 ( 1)( 1)<br />
lim lim<br />
x ax a x− x+ a+<br />
=<br />
+ + − −<br />
= lim = lim( x+ a+<br />
1) =<br />
x→1 x−1 x→1 x−1 x→1 ( x−1)<br />
x→1<br />
x< 1 x<<br />
1<br />
= a + 2 , iar<br />
3x+ b<br />
−<br />
b+<br />
3<br />
= = =<br />
2<br />
2<br />
f() x − f(1) ( 3) 9 6<br />
lim lim x + 2 3 − b+ x + x+ b−<br />
lim<br />
x→1 1 1<br />
2<br />
x−1 x→ x−1 x→<br />
3( x− 1)( x + 2)<br />
x> 1 x><br />
1<br />
( x−1)[ − ( b+ 3)( x+ 1) + 9] − ( b+ 3)( x+ 1) + 9 9 − 2( b+ 3)<br />
= lim = lim<br />
= =<br />
3−2b .<br />
x→1 2<br />
1<br />
2<br />
3( x− 1)( x + 2) x→<br />
3( x + 2) 9 9<br />
⎧ a 2<br />
3−2b ⎪ + =<br />
Din egalităţile ⎨ 9 se obţine că a=− 11<br />
, b=<br />
12<br />
.<br />
5 5<br />
⎪ ⎩b=<br />
3a+ 9<br />
3. Se obţine:<br />
f() x ax+ 2<br />
bx + cx− 1<br />
2<br />
bx + cx−1<br />
x→+∞ x→∞ x→∞<br />
2<br />
2= m= lim<br />
x<br />
= lim<br />
x<br />
= a+ lim<br />
x<br />
= a+ b.<br />
− 1 = lim<br />
x→−∞ f ( x) = lim ( ax +<br />
x→−∞ 2 2 2<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
( b a ) x cx 1<br />
1) lim<br />
bx cx a x − + −<br />
bx + cx − =<br />
+ − −<br />
= lim<br />
.<br />
x→−∞ 2 2<br />
bx + cx −1− ax x→−∞<br />
bx + cx −1−ax Se impune condiţia b – a 2 = 0, pentru ca limita să fie finită. Rezultă că:<br />
− 1= lim<br />
x→−∞ cx−1 = lim 2<br />
bx + cx−1− ax x→−∞ x<br />
x⋅ 1 ( c− x)<br />
= lim<br />
c 1 x→−∞<br />
b+ − 2− ax<br />
x x<br />
c−<br />
1<br />
x<br />
=<br />
c<br />
b+ c<br />
−<br />
1 a<br />
2−a<br />
−−<br />
x x<br />
.<br />
b<br />
Aşadar se obţine sistemul de condiţii<br />
⎧<br />
⎪a+<br />
b = 2<br />
⎪ 2<br />
⎨a=<br />
b , cu soluţia c = 2, b = 1, a = 1.<br />
⎪ c<br />
⎪ = 1<br />
⎩a+<br />
b<br />
187
Capitolul II. Funcţii continue<br />
1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) Folosind operaţiile cu limite de funcţii se obţine:<br />
2 2 2<br />
lim f ( x) = lim( x − 7 x) = lim x − lim 7x= x − 7x<br />
, ¼x0 i Z.<br />
Deoarece<br />
x→x x→x x→x x→x 0<br />
2<br />
0 0<br />
0 0 0 0<br />
188<br />
0 0<br />
f ( x ) = x − 7x<br />
rezultă că funcţia f este continuă pentru ¼x0 i {–1, 0, 1}.<br />
b) Fie x0 i {–1, 0, 2}. Rezultă că:<br />
lim f ( x) = lim( x+ 2 x) = lim x+ 2 lim x = x + 2 x = f( x ) ,<br />
x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0<br />
deci f este funcţie continuă în x0 i {–1, 0, 2}.<br />
c) Pentru x0 i {–2, 1} se obţine că<br />
0 0<br />
0<br />
0 0 0<br />
2 2<br />
x0<br />
lim f ( x) = lim<br />
x<br />
= = f( x0)<br />
, deci f este continuă în x0;<br />
x→x x→x x+ 1 x + 1<br />
E2. Soluţii:<br />
2<br />
a) Avem: f(1 − 0) = lim x = 1, f(1 + 0) = lim(2 x− 1) = 1, f(1)<br />
= 1 , deci funcţia este continuă în<br />
x0 = 1;<br />
b) Se obţine:<br />
x0 = 0.<br />
x→1 x→1<br />
f(0 − 0) = lim<br />
sin x<br />
= 1, f(0 + 0) = lim( x+ 1) = 1, f(0)<br />
= 1,<br />
deci f este continuă în<br />
x→0 x<br />
x→0<br />
c) Se obţine: f(0 − 0) = lim(3x+ 1) = 1, f(0 + 0) = lim<br />
arcsin x<br />
= 1, f(0)<br />
= 1,<br />
deci f este<br />
x→0 x→0<br />
x<br />
continuă în x0 = 0.<br />
• f(1 − 0) = lim<br />
arcsin x<br />
= arcsin1 =<br />
π<br />
, f(1+ 0) = limln x=<br />
0 , f(1) = 0, deci f este discontinuă<br />
x→1 x<br />
2<br />
x→1<br />
în x0 = 1.<br />
d) Punctul x0 = –1 este punct izolat al domeniului de definiţie, deci funcţia f este continuă în<br />
x0 = –1.<br />
Avem:<br />
f(1 − 0) = lim(3 + x) = 4 , f(1 + 0) = lim<br />
x + 3<br />
= 4 , f(1)<br />
= 4 ,<br />
x→1 x→12x−1<br />
deci funcţia f este continuă în x0 = 1.<br />
E3. Soluţie:<br />
a) Funcţia este continuă pe x0 ∈−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. )<br />
Studiem continuitatea în x0 = 1. Se obţine:<br />
2<br />
f(1− 0) = lim( x − x+ 2) = 2, f(1+ 0) = lim(2x− 1) = 1, f(1)<br />
= 2 .<br />
x→1 x→1<br />
Limitele laterale există, sunt finite, deci punctul de discontinuitate x0 = 1 este de prima speţă.<br />
b) Studiem continuitatea în x0 = 0. Se obţine:<br />
x x x<br />
f(0− 0) = lim(2 − 2) =− 1, f(0+<br />
0) = lim(2 − 3 ) = 0 .<br />
x→0 x→0<br />
Rezultă că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima speţă.
c) Se obţine:<br />
2<br />
f (1− 0) = lim<br />
x<br />
=<br />
1<br />
=−∞,<br />
x−1<br />
0<br />
x→1<br />
−<br />
x<<br />
1<br />
f(1 + 0) = lim(3 x−<br />
1) = 2 , deci x0 = 1 este punct<br />
de discontinuitate de speţa a doua (limitele laterale există şi una este infinită).<br />
d) Avem: f(0 + 0) = lim ln x=−∞, f(0<br />
− 0) = lim<br />
1<br />
=−∞, f(0) = 2. Punctul x0 = 0 este punct<br />
x→0 x→0<br />
x<br />
x> 0 x<<br />
0<br />
de discontinuitate de speţa a doua (deoarece limitele laterale sunt infinite).<br />
E4. Soluţie:<br />
În acest cazuri vom studia continuitatea funcţiilor numai în punctele de legătură, în rest fiind<br />
sigur funcţii continue.<br />
2<br />
f(1 − 0) = lim( x+ a) = 1 + a, f(1+ 0) = lim x + x+<br />
1 = 3 , f(1) = 1 + a.<br />
189<br />
x→1<br />
a) Avem: ( )<br />
x→1 x→1<br />
Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, funcţia f este continuă pe Z, iar pentru a @ 2, domeniul de<br />
continuitate este Z \ {1}.<br />
b) f (0 – 0) = 1 + 2 a , f (0 + 0) = 3, f (0) = 1 + 2 a . Dacă 1 + 2 a = 3, deci a = 1 funcţia f este<br />
continuă pe Z \ {0}.<br />
sin( ax) sin( ax) c) Avem: f (0 − 0) = lim = lim<br />
⎛ a⎞ a<br />
x→0 2x ⎜ ⋅ =<br />
x→0<br />
ax 2<br />
⎟ ;<br />
⎝ ⎠ 2<br />
sin(5x+ 2 a)<br />
2<br />
f (0+ 0) = lim = 2 a, f(0) = 2a<br />
.<br />
x→0<br />
2x<br />
2<br />
Funcţia f este continuă în x0 = 0, dacă şi numai dacă<br />
a<br />
= 2a= 2a<br />
, deci dacă a = 0.<br />
2<br />
• Pentru a = 0, funcţia f este continuă pe Z.<br />
• Pentru a i Z \ {0} funcţia f este continuă pe Z \ {0}.<br />
d) Studiem continuitatea în x0 = 0 şi x0 = 1.<br />
Avem:<br />
• f(0− 0) = lim(2ax+ 1) = 1, f(0+ 0) = lim( x+ a) = a, f(0)<br />
= 1<br />
•<br />
x→0 x→0<br />
f (1 − 0) = lim( x+ a) = 1 + a, f(1+ 0) = lim(3 x+ b) = 3 + b, f(1) = b+<br />
3 .<br />
x→1 x→1<br />
• Pentru a = 1 şi 1 + a = 3 + b, deci a = 1, b = –1, funcţia f este continuă pe Z.<br />
• Pentru a = 1 şi b i Z \ {–1} funcţia este continuă pe Z \ {1}.<br />
• Pentru a @ 1 şi a @ b + 2, funcţia este continuă pe Z \ {0, 1}.<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
Studiem continuitatea funcţiilor în punctele de legătură în celelalte puncte din domeniu de<br />
definiţie, acestea fiind continue.<br />
2 2<br />
sin( ax + x ) ⎛sin( ax + x )<br />
a) (0 0) lim lim<br />
a x⎞<br />
f − = =<br />
+<br />
a<br />
2<br />
x→0 x x→0⎜<br />
⋅ =<br />
ax + x 1 ⎟ ,<br />
⎝ ⎠<br />
3 3<br />
f(0 + 0) = lim ln( x+ e ) = ln e = 3, f(0)<br />
= 3 .<br />
x→0<br />
• Pentru a = 3, domeniul de continuitate este Z.<br />
• Pentru a i Z \ {3} domeniul de continuitate este Z \ {0}.
) f (1− 0) =<br />
2<br />
6+ 4a + 4 a, f(1+ 0) = 1+ 4a.<br />
Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă<br />
2<br />
6+ 4a + 4a = 1+ 4a.<br />
Se obţine a =<br />
1<br />
.<br />
2<br />
• Pentru a =<br />
1<br />
domeniul de continuitate este C = Z, iar pentru a ∈Z \<br />
1<br />
2<br />
{ 2}<br />
avem C = Z \ {1}.<br />
c) Se obţine:<br />
f(0 – 0) = 2a + 1, f(0 + 0) = a, f(0) = –1 + sinaπ.<br />
Funcţia este continuă în x0 = 0 dacă 2a + 1 = a = –1 + sinaπ, adică a = –1.<br />
• Pentru a = –1, avem C = [–1, ∞), iar pentru a i Z \ {–1} se obţine C = [–1, 0) N (0, + ∞)<br />
d) f(a – 0) = 2 a + a, f(a + 0) = 3 a + a. Egalitatea 2 a + a = 3 a + a conduce la a = 0.<br />
• Pentru a = 0 avem C = Z, iar pentru a i Z \ {0} avem C = Z \ {a}.<br />
S2. Soluţie:<br />
Se studiază continuitatea funcţiei f în punctele de legătură, în celelalte puncte ale domeniului<br />
de definiţie, aceasta fiind continuă.<br />
a) f(1 – 0) = 9 a – 4 · 3 a+1 + 12, f(1 + 0) = a – a – 15 = –15.<br />
Condiţia de continuitate în x0 = 1 conduce la ecuaţia exponenţială 9 a – 4 · 3 a+1 + 12 = –15.<br />
Notăm 3 a = y > 0 şi rezultă ecuaţia y 2 – 12y + 27 = 0 cu soluţiile y1 = 3, y2 = 9.<br />
Aşadar 3 a = 3 cu soluţia a = 1 şi 3 a = 9 cu soluţia a = 2.<br />
b) Deosebim cazurile.<br />
• 2a – 1 = a 2 bx<br />
⎧ ⎪3<br />
+ 2 x, xT<br />
1<br />
deci a = 1 când D = Z, iar f() x = ⎨<br />
.<br />
bx<br />
⎪⎩ 9x− 4 , x > 1<br />
Funcţia f este continuă în x = 1, dacă f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1), deci dacă 3 b + 2 = 9 – 4 b .<br />
Rezultă ecuaţia exponenţială 3 b + 4 b = 7 cu soluţia unică b = 1.<br />
• 2a – 1 @ a 2 .<br />
În acest caz avem 2a – 1 < a 2 şi<br />
¼a i Z \ {1}, b i Z.<br />
2<br />
D= ( −∞, 2a− 1] ∪ [ a , +∞)<br />
, iar funcţia este continuă<br />
c) Se obţine: f(1 – 0) = 2 a – 3 b ,<br />
f(1 + 0) = 3 a–1 · 2 1+b , f(1) = 12.<br />
a b<br />
⎧⎪ 2 ⋅ 3 = 12<br />
Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă ⎨<br />
.<br />
a− 1 1+<br />
b<br />
⎪⎩ 3 ⋅ 2 = 12<br />
a b<br />
⎧⎪ 2 ⋅ 3 = 12<br />
Sistemul se scrie sub forma ⎨ .<br />
a b<br />
⎪⎩ 3 ⋅ 2 = 18<br />
Înmulţind şi împărţind cele două ecuaţii ale sistemului se obţine:<br />
a b<br />
⎧6 ⋅ 6 = 12⋅18 ⎧ a+ b 3<br />
⎪<br />
⎪<br />
6 = 6<br />
⎨ a b<br />
2 3 12<br />
sau mai simplu scris: ⎨ a−b ⎪(<br />
3) ⋅ ( 2) =<br />
⎪<br />
2 2<br />
⎩ 18<br />
⎩<br />
=<br />
3 3<br />
⎧a+<br />
b=<br />
3<br />
Aşadar ⎨ şi rezultă soluţia a = 2, b = 1.<br />
⎩a−<br />
b=<br />
1<br />
190<br />
( ) ( )<br />
1<br />
.
d) Obţinem: f(1 – 0) = 2 a + 3 b , f(1 + 0) = 5, f(2 – 0) = 5, f(2 + 0) = 2 2a + 3 2b – 8.<br />
Funcţia f este continuă în x = 1 şi x = 2 dacă 2 a + 3 b = 5 şi 2 2a + 3 2b – 8 = 5.<br />
a b<br />
⎧ ⎪2<br />
+ 3 = 5<br />
Se obţine sistemul de ecuaţii exponenţiale ⎨<br />
.<br />
2a 2b<br />
⎪⎩ 2 + 3 = 13<br />
Se notează 2 a = u, 3 b ⎧u+<br />
v=<br />
5<br />
= v şi avem ⎨ .<br />
2 2<br />
⎩u<br />
+ v = 13<br />
Se substituie v = 5 – u în a doua ecuaţie şi rezultă ecuaţia de gradul 2 în u: u 2 + (5 – u) 2 = 13<br />
cu soluţiile u1 = 2, u2 = 3. Pentru u = 2 se obţine v = 3 iar pentru u = 3 se obţine v = 2.<br />
x<br />
x<br />
⎧ ⎪2<br />
= 2 ⎧ ⎪2<br />
= 3<br />
Aşadar rezultă sistemele de ecuaţii: ⎨ şi<br />
y ⎨ y<br />
⎪⎩ 3 = 3 ⎪⎩ 3 = 2<br />
cu soluţiile x = y = 1, respectiv x = log23, y = log32.<br />
S3. Soluţie:<br />
a) Avem: f(1 – 0) = 2, f(1 + 0) = a + b + 3, f(1) = 2.<br />
Funcţia f este continuă şi în punctul x0 = 1 dacă 2 = a + b + 3, deci a + b = –1.<br />
Avem:<br />
2<br />
f() x − f(1) ( 1)(32) • lim lim<br />
3x x 2 x− x+<br />
=<br />
− −<br />
= lim = lim(3x + 2) = 5.<br />
x→1 x−1 x→1 x−1 x→1 x−1<br />
x→1<br />
•<br />
x<<br />
1<br />
− − + +<br />
lim = lim = lim = lim ax ( + 1) + b=<br />
f() x f(1) 2<br />
ax + bx + 3−a−b−3 ( x 1)(( a x 1) b)<br />
x→1 x><br />
1<br />
x−1 x→1 x−1 x→1 x−1<br />
x→1<br />
= 2a+ b.<br />
Limita dată există dacă 2a + b = 5.<br />
⎧a+<br />
b=−1<br />
Rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ cu soluţia a = 6, b = –7.<br />
⎩2a+<br />
b=<br />
5<br />
2 2 2<br />
ln(1 + sin x) ⎛ln(1+ sin x) b) Obţinem: (0 0) lim lim<br />
sin x ⎞<br />
f − = = 1 0 0, f(0 0) b<br />
2<br />
x→0 x x→0⎜<br />
⋅ = ⋅ = + =<br />
sin x x ⎟<br />
.<br />
⎝ ⎠<br />
Funcţia este continuă şi în punctul x0 = 0 dacă b = 0.<br />
2 2 2<br />
f( x) − f(0) ln(1 + sin x) ⎛ln(1 + sin x) Avem: lim lim lim<br />
sin x ⎞<br />
= = 1 1 1<br />
x→0 x 0<br />
2<br />
x 0<br />
2 2<br />
x → x → ⎜ ⋅<br />
sin x x<br />
⎟=<br />
⋅ = , iar<br />
x<<br />
0<br />
⎝ ⎠<br />
f() x − f(0) lim = lim<br />
ax − 0<br />
= a .<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
x><br />
0<br />
Limita există dacă a = 1. Aşadar a = 1, b = 0.<br />
191
2.2. Operaţii cu funcţii continue<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie.<br />
Toate funcţiile f şi g sunt funcţii continue deci f + g, f – g, f · g şi f<br />
g<br />
domeniul de definiţie.<br />
192<br />
sunt funcţii continue pe<br />
E2. Soluţie:<br />
a) Avem: ( f g)( x) = f( gx ( )) = gx ( ) − 1 = (2x−3) − 1= 2x−4, ( g f)( x) = g( f( x)) = 2 f( x) − 3 = 2( x−1) − 3 = 2x−5. Funcţiile compuse sunt continue pe Z deoarece sunt funcţii elementare (funcţii de gradul 1);<br />
2 2 2<br />
b) Avem: ( f g)() x = f(()) g x = g () x + 1 = ( x− 1) + 1= x − 2x+ 2,<br />
2 2<br />
( g f)() x = g( f()) x = f() x − 1 = ( x + 1) − 1=<br />
x .<br />
Funcţiile obţinute prin compunere sunt funcţii de gradul 2 şi sunt continue pe Z.<br />
c) Avem:<br />
2 2 2<br />
( f g)( x) = f( g( x)) = g ( x) + 1 = ( x− 1) + 1= x − 2x+ 2,<br />
2<br />
( g f)( x) = g( f( x)) = f( x) − 1= x + 1−1. Funcţiile compuse sunt continue deoarece f şi g sunt continue.<br />
d) Funcţiile f, g sunt continue deci şi f g, g f sunt continue.<br />
2 2 2<br />
Avem ( f g)( x) = ln[(2x− 1) + 1] = ln(4x − 4x+ 2), ( g f)( x) = 2ln(1 + x ) −1.<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
Fie h = f + g.<br />
⎧x+ a, xT0 ⎧2<br />
ax, xT0 ⎧ x+ a+ 2 ax, xT<br />
0<br />
hx () = ( f+ g)() x= f() x+ gx () = ⎨ + ⎨ = ⎨<br />
.<br />
2 2<br />
⎩x + 1, x> 0 ⎩x−<br />
x , x><br />
0 ⎩x+<br />
1, x><br />
0<br />
Avem că h(0 – 0) = a şi h(0 + 0) = 1.<br />
Aşadar f + g este continuă şi în x0 = 0 dacă a = 1.<br />
S2. Soluţie:<br />
a) Deoarece f(1 – 0) = –1 şi f(1 + 0) = 1, funcţia f nu este continuă în x0 = 1.<br />
Domeniul său de continuitate este C = Z \ {1}.<br />
Funcţia<br />
2<br />
f : Z → Z este<br />
⎧⎪−<br />
2<br />
( 1) , xT1, ∀x∈Z () = ⎨<br />
şi este continuă pe Z.<br />
2 ⎪ ⎩1,<br />
x > 1<br />
2<br />
f x<br />
b) Avem: f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = –1 deci f este discontinuă în x0 = 1.<br />
2<br />
2<br />
2 ⎧x<br />
, xT<br />
1<br />
Pentru f avem: f () x = ⎨ .<br />
⎩1,<br />
x > 1<br />
2<br />
Se observă că funcţia f este continuă pe Z.
c) Avem: f(1 – 0) = a + 1, f(1 + 0) = 3. Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, atunci funcţia f este<br />
2<br />
continuă pe Z şi se obţine că f este continuă pe Z.<br />
⎧⎪<br />
2<br />
( x+ a) , xT<br />
1<br />
2<br />
Avem gx () = f () x=<br />
⎨<br />
2 ⎪ ⎩(2x+<br />
1) , x><br />
1<br />
2<br />
Studiem continuitatea funcţiei f în x0 = 1.<br />
Se obţine: g(1 – 0) = (1 + a) 2 , g(1 + 0) = 9.<br />
2<br />
Funcţia f este continuă în x0 = 1 dacă (1 + a) 2 = 9 deci dacă a i {2, –4}.<br />
Aşadar:<br />
2<br />
• pentru a = 2, f şi f sunt continue pe Z;<br />
2<br />
• pentru a = –4, f este continuă pe Z \ {1} iar f este continuă pe Z;<br />
2<br />
• pentru a i Z \ {–4, 2} funcţiile f şi f sunt continue pe Z \ {1}.<br />
2<br />
⎧ 2 ⎪(2<br />
x+ a) , xT<br />
2<br />
d) Avem f () x = ⎨ .<br />
2<br />
⎪⎩ ( x+ a) , x><br />
2<br />
Se obţine f(2 – 0) = a + 4, f(2 + 0) = a + 2, deci f este discontinuă în x0 = 2 pentru oricare a i Z.<br />
2<br />
De asemenea,<br />
f (2 – 0) = (a + 4) 2 2<br />
, f (2 + 0) = (a + 2) 2 .<br />
Din egalitatea (a + 4) 2 = (a + 2) 2 se obţine că a = –3.<br />
2<br />
• Pentru a = –3, f este continuă pe Z \ {2}, iar f este continuă pe Z.<br />
2<br />
• Pentru a i Z \ {–3}, funcţiile f şi f sunt continue pe Z \ {2}.<br />
S3. Soluţie:<br />
⎧− 1, x< 0 ⎧−<br />
6, x<<br />
0<br />
⎪ ⎪<br />
a) ( f g)( x) = f( g( x)) = 2sgn( x) − 4= 2⋅ ⎨ 0, x= 0 − 4= ⎨−<br />
4, x=<br />
0.<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 1, x> 0 ⎩−<br />
2, x><br />
0<br />
Rezultă că f g este discontinuă în x0 = 0 şi continuă pe Z \ {0}.<br />
b) f g este continuă pe Z deoarece funcţiile f şi g sunt continue pe Z.<br />
c)<br />
d)<br />
⎧1, gx ( ) T1⎧1, 2x−1T1⎧1, xT<br />
1<br />
( f g)( x) = f( g( x))<br />
= ⎨ = ⎨ = ⎨ .<br />
⎩2, gx ( ) > 1 ⎩2, 2x− 1> 1 ⎩2,<br />
x><br />
1<br />
Rezultă că f g este continuă pe Z \ {1}.<br />
⎧1<br />
− gx ( ), gx ( ) T 1<br />
( f g)( x) = f( g( x))<br />
=⎨<br />
.<br />
⎩0,<br />
gx ( ) > 1<br />
Să rezolvăm inecuaţia g(x) < 1.<br />
• Dacă x T 1, se obţine că g(x) = a 2 şi inecuaţia este a 2 T 1.<br />
Se deosebesc situaţiile:<br />
• a 2 T 1 deci a i [–1, 1], şi soluţia inecuaţiei este x T 1.<br />
• a 2 > 1, deci a i (–∞, –1) N (1, +∞), şi inecuaţia nu are soluţii.<br />
• Dacă x > 1, atunci g(x) = x şi inecuaţia este x > 1, cu soluţia x i (1, + ∞).<br />
Aşadar<br />
• pentru a i [–1, 1], soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i Z, şi obţinem că:<br />
2<br />
⎧1 − a , xT<br />
1<br />
( f g)( x) = 1 − g( x)<br />
=⎨ .<br />
⎩1<br />
− x, x><br />
1<br />
193
− = − + =<br />
Rezultă că ( f g)(10) 1<br />
2<br />
a , ( f g)(1<br />
0) 0 .<br />
Funcţia f g este continuă dacă 1 – a 2 = 0, deci dacă a i {–1, 1}.<br />
• Pentru a i (–∞, –1) N (1, + ∞) soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x > 1, deci x i (1, +∞).<br />
⎧1 − gx ( ), x> 1 ⎧1<br />
− x, x><br />
1<br />
Rezultă că ( f g)( x)<br />
= ⎨ = ⎨ funcţie continuă pe Z.<br />
⎩ 0 , xT1 ⎩0,<br />
xT1<br />
S4. Soluţie:<br />
gx ( )<br />
⎧e<br />
, g( x)<br />
T 0<br />
a) ( f g)( x) = f( g( x))<br />
=⎨<br />
.<br />
⎩gx<br />
() + 1, gx () > 0<br />
Rezolvăm inecuaţia g(x) T 0.<br />
• Pentru x > 1 avem g(x) = lnx şi inecuaţia este ln x T 0, deci x i (0, 1]. Nu sunt soluţii.<br />
• Pentru x T 1, g(x) = x şi inecuaţia este x T 1 cu soluţia x i (–∞, 1].<br />
Aşadar soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i (–∞, 1].<br />
Rezultă că:<br />
gx ( ) x<br />
⎧e , xT1 ⎧e<br />
, xT1<br />
( f g)( x)<br />
= ⎨ = ⎨<br />
iar f g este discontinuă în x = 1 şi<br />
⎩gx ( ) + 1, x> 1, x> 1 ⎩1+<br />
ln x, x><br />
1<br />
continuă pe Z \ {1}.<br />
⎧ln<br />
f( x), f( x)<br />
> 1<br />
• Avem ( gf)( x) = g( f( x))<br />
=⎨<br />
⎩ f(), x f() x T 1<br />
.<br />
Rezolvăm inecuaţia f(x) > 1.<br />
• Pentru x T 0, f(x) = e x şi inecuaţia este e x > 1 care are soluţia x > 0.<br />
Nu există soluţii pentru f(x) > 1.<br />
• Pentru x > 0, f(x) = x + 1 şi inecuaţia este x + 1 > 1, deci x > 0.<br />
⎧ln<br />
f( x), x><br />
0 ⎧ln(<br />
x+ 1), x><br />
0<br />
Aşadar f(x) > 1 dacă x i (0, + ∞). Se obţine că ( gf)( x)<br />
= ⎨ = ⎨ x<br />
⎩ f(), x xT1 ⎩ e , xT<br />
0<br />
şi g f continuă pe Z \ {0}.<br />
b)<br />
( f g)( x)<br />
⎧⎪<br />
⎨<br />
⎩<br />
gx (), gx () U 0<br />
.<br />
gx (), gx () 0<br />
=<br />
⎪ 3 <<br />
Rezolvăm inecuaţia g(x) U 0.<br />
• Pentru x U 0 ⇒ g(x) = x 2 U 0.<br />
• Pentru x < 0 ⇒ g(x) = 1 + x 3 > 0, dacă 1 + x > 0, deci x > –1.<br />
Soluţia este în acest caz x i (–1, 0).<br />
Rezultă că g(x) U 0 dacă x i (–1, 0) N [0, + ∞) = (–1, + ∞).<br />
Aşadar:<br />
3<br />
⎧ gx (), x∈−<br />
(1,0) 1 x , x ( 1, 0)<br />
⎧⎪ gx (), x∈−<br />
(1, +∞)<br />
⎪<br />
⎪ 2<br />
⎨ ⎨ ⎨<br />
3 ⎪⎩ gx (), x∈−∞<br />
( , −1]<br />
⎪3⎪33 ( f <br />
g)() x = = g(), x x∈[0, ∞ ) = x , x∈<br />
[0, +∞) ⇒<br />
⎩ gx (), x∈−∞ ( , − 1]<br />
⎪⎩<br />
1 + x , x∈(<br />
−∞, −1]<br />
194<br />
⎧ + ∈ −
3 3 ⎧ 1 + x , xT−1<br />
⎪ 3<br />
( f g)( x) = ⎨ 1 + x , x∈(<br />
−1,<br />
0) . Rezultă că f g este continuă pe Z \ {0}.<br />
⎪x, x∈<br />
[0, +∞)<br />
⎪⎩<br />
2<br />
⎧⎪ f (), x f() x U 0<br />
• ( gf)( x) = g( f( x))<br />
=⎨ .<br />
3<br />
⎪⎩ 1 + f ( x), f( x)<br />
< 0<br />
Rezolvăm inecuaţia f(x) U 0.<br />
• Pentru x U 0 avem f () x = x şi inecuaţia este x U 0 cu soluţia x U [0, + ∞).<br />
3<br />
• Pentru x < 0 avem f () x = x şi inecuaţia este 3 x U 0 fără soluţii pe (–∞, 0).<br />
Aşadar f(x) U 0 dacă x i [0, +∞).<br />
2 2<br />
⎧⎪f ( x), xU0 ⎧⎪( x) , xU0 ⎧x,<br />
xU0<br />
Rezultă că ( gf)( x)<br />
= ⎨ =<br />
3 ⎨ =<br />
3 3 ⎨ .<br />
⎪⎩1 + f ( x), x< 0 ⎪⎩1 + ( x) , x<<br />
0 ⎩1<br />
+ x, x<<br />
0<br />
Funcţia g f este continuă pe Z \ 0}.<br />
195
2.3. Semnul unei funcţii continue pe un interval<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
Funcţia f este funcţie de gradul 1, deci este funcţie continuă pe Z.<br />
Aşadar f are proprietatea lui Darboux pe oricare interval I _ Z.<br />
E2. Soluţie:<br />
a), b) Se arată că funcţiile sunt continue deci au proprietatea lui Darboux pe I.<br />
c) Funcţia f este discontinuă în x0 = 0, punctul x0 = 0 fiind punct de discontinuitate de prima<br />
speţă. Cum 0 i I rezultă că funcţia f nu are proprietatea lui Darboux pe I.<br />
E3. Soluţie:<br />
a) D = Z. Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0.<br />
Se obţine succesiv: x 3 – x = 0 ⇒ x(x 2 – 1) = 0 ⇒ x i {0, –1, 1}.<br />
Alcătuim tabelul de semn:<br />
x –∞ –1 0 1 + ∞<br />
x 3 – x – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + + + +<br />
Avem: f<br />
1 1 1 ( ) f f<br />
1 ( )<br />
− =− + > 0, ( − 3) =− 24< 0, > 0,<br />
f(3) = 24 > 0.<br />
2 8 2 2<br />
b) D = 0. Ecuaţia f(x) = 0 este 2 x – 1 = 0 cu soluţia x = 0.<br />
Tabelul de semn, având în vedere că f(–1) < 0, f(1) > 0 este:<br />
x –∞ 0 + ∞<br />
f(x) – – – – – – – – 0 + + + + + + + +<br />
c) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie 3 x+1 – 9 = 0 sau 3 x+1 = 3 2 şi are soluţia x = 1.<br />
3 x+1 = 3 2 şi are soluţia x = 1.<br />
Tabelul de semn:<br />
x –∞ 1 + ∞<br />
f(x) – – – – – – – – 0 + + + + + + + +<br />
d) D = [0, 2π]. Ecuaţia f(x) = 0 este sinx = 0 şi are soluţiile x i {0, π, 2 π}. Tabelul de semn:<br />
Sinteză<br />
x 0 π 2π<br />
sinx 0 + + + + + + 0 – – – – – – – 0<br />
S1. Soluţie:<br />
Se arată că funcţiile sunt continue pe Z, deci au proprietatea lui Darboux pe oricare<br />
interval I _ Z.<br />
Vom studia continuitatea funcţiilor doar în punctele de legătură, în rest funcţiile fiind<br />
continue.<br />
a) f (1− 0) = lim<br />
1− x 1 1 1<br />
2 = lim<br />
−x<br />
= lim<br />
= , iar<br />
x→1 1−<br />
x x→1 (1 − x)(1 + x)(1 + x) x→1<br />
(1 + x)(1 + x)<br />
4<br />
sin(4x−4) ⎛sin(4x−4) 4( x−1) ⎞ 4( x−1)<br />
f (1 + 0) = lim = lim lim lim<br />
1 1<br />
2 2<br />
x→1 8x 8 x→1⎜ ⋅<br />
4( x 1) 8( x 1)<br />
⎟=<br />
= = .<br />
− x→18( x 1)( x 1) x→1<br />
⎝ − − ⎠ + − 2( x+<br />
1) 4<br />
196
Având f (1) = 0, 25 =<br />
1<br />
rezultă că funcţia f este continuă în x0 = 1.<br />
4<br />
x−1sin( x−1) ⎛sin( x−1) b) (1 0) 0 , (1 0) lim<br />
1<br />
2 lim<br />
x ⎞<br />
f − = f + = = ⎜ ⋅<br />
−<br />
⎟=<br />
1⋅ 0 = 0 .<br />
x→1 3( x −1)<br />
x→1⎝<br />
x− 1 3( x+<br />
1) ⎠<br />
x> 1 x><br />
1<br />
Rezultă că f este continuă în x0 = 1.<br />
1 1 1<br />
1 −<br />
−<br />
⎛ ⎞<br />
x−2<br />
0+ +∞ −1 −1<br />
⎛<br />
c) f(2) = 0, f (2+ 0) = lim⎜1+ 3<br />
x→2⎝<br />
x><br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= ⎜1+ 3<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
= (1+ 3 ) =∞ =<br />
1<br />
= 0 .<br />
∞<br />
Aşadar f este continuă în x0 = 2.<br />
d) Dacă x0 i m avem că f(x0) = 0 şi<br />
Aşadar f este continuă în x0 i m.<br />
lim f( x) = lim sin π x= sin π x = 0 .<br />
x→x x→x 0 0<br />
.<br />
S2. Soluţie:<br />
a) Fie f : [0, 2] → Z, f(x) = x 3 + 4x 2 – 5. Funcţia f este funcţie continuă, deci are proprietatea<br />
lui Darboux pe I.<br />
Avem că f(0) = –5 < 0, f(2) = 19 > 0, deci există x0 i (0, 2) cu f(x0) = 0.<br />
b) Funcţia f : [0, 3] → Z, f(x) = x 3 + 5x – 27 este continuă şi are proprietatea lui Darboux pe<br />
[0, 3]. Deoarece f(0) = –27 < 0, f(3) = 15 > 0 există x0 i (0, 3) cu f(x0) = 0;<br />
c) Funcţia f : [0, 1] → Z, f(x) = x + 2 x – 2 este continuă şi f(0) · f(1) = (–1) · 1 = –1 < 0.<br />
Din proprietatea lui Darboux rezultă că există x0 i (0, 1) cu f(x0) = 0;<br />
d) Funcţia f : ⎡ π<br />
, 0⎤<br />
⎢<br />
− →<br />
2 ⎥<br />
⎣ ⎦ Z , f(x) = x + 1 + sinx. Avem f ( ) 0, f(0)<br />
1 0<br />
2 2<br />
Din continuitatea funcţiei f rezultă că ∃x0 ∈<br />
π ( − ,0)<br />
cu f(x0) = 0.<br />
2<br />
e) Considerăm f : (0, 1) → Z, f(x) = x + lnx. Funcţia f este continuă.<br />
Avem f(1) = 1 > 0 şi f(0+ 0) = lim f( x) = lim( x+ ln x)<br />
=−∞< 0 .<br />
x→0 x→0<br />
x> 0 x><br />
0<br />
Aşadar există x0 i (0, 1) cu proprietatea că f(x0) = 0.<br />
S3. Soluţie:<br />
a) D = Z.<br />
Ecuaţia f(x) = 0 este x(2 x – 1) = 0 şi are soluţia x = 0.<br />
Tabelul de semn al funcţiei:<br />
x –∞ 0 + ∞<br />
f(x) + + + + + + + 0 + + + + + + + +<br />
b) D = Z. Ecuaţia (x – 1)(3 x – 2 x ) = 0 au soluţiile x = 1, x = 0.<br />
Tabelul de semn:<br />
x –∞ 0 1 + ∞<br />
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + +<br />
197<br />
0<br />
−<br />
π<br />
=−<br />
π<br />
< = > .<br />
x x<br />
c) D = (–2, +∞). Avem: f() x = 0 ⇒(3− 1)log( 2 x+<br />
2) = 0⇒ 3= 1sau<br />
log ( x+ 2) = 0 ⇒ x = 0 sau x + 2 = 1 deci x i {–1, 0}.<br />
2 1
Tabelul de semn:<br />
x –2 –1 0 +∞<br />
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + + +<br />
d) D = Z \ {2}. Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia x = 0.<br />
Tabelul de semn:<br />
x –∞ 0 2 +∞<br />
f(x) + + + + + 0 – – – – | + + + + + + +<br />
e) D = [1, 3) N (3, +∞).<br />
Ecuaţia f(x) = 0 conduce la<br />
Tabelul de semn:<br />
x −1− 1= 0 sau x − 1= 1 cu soluţia x = 2.<br />
x 1 2 3 +∞<br />
f(x) + + + + + 0 – – – – | + + + + + + + + +<br />
f) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie (x 3 – x) (x 4 – 16) = 0 de unde x 3 – x = 0 sau x 4 – 16 = 0.<br />
Se obţin soluţiile x i {–1, 0, 1, –2, 2}.<br />
Tabelul de semn:<br />
x –∞ –2 –1 0 1 2 +∞<br />
f(x) – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
S4. Soluţie:<br />
a) Considerăm f : Z → Z, f(x) = (2 x – 1)(x 2 – 1), funcţie continuă pe Z.<br />
Avem de rezolvat inecuaţia f(x) U 0.<br />
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt x i {–1, 0, 1}. Stabilim semnul funcţiei f.<br />
Se obţine tabelul de semn:<br />
x – ∞ −1 0 1 +∞<br />
f(x) – – – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
Rezultă că f(x) U 0 dacă x i [–1, 0] N [1, + ∞), care reprezintă soluţia inecuaţiei date.<br />
b) Fie f : [–1, +∞) → Z,<br />
3<br />
f() x = ( x−x )(1− x+<br />
1) . Avem de rezolvat inecuaţia f(x) T 0.<br />
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x – x 3 = 0 şi 1− x + 1= 0.<br />
Se obţine x i {0, 1, –1}. Stabilim semnul funcţiei continue f. Se obţine tabelul de semn:<br />
x –1 0<br />
1 +∞<br />
f(x) 0 – – – 0 – – – – 0 + + ++ + + + + +<br />
Rezultă că f(x) T 0 pentru x i [–1, 1], iar soluţia inecuaţiei date este x i [–1, 1].<br />
c) Considerăm funcţia continuă f : [0, + ∞) → Z, f() x = ( x− 1+ 2<br />
x + 1)( x−<br />
1) .<br />
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x − 1= 0 şi x− 1+ 2<br />
x + 1= 0.<br />
Obţinem x = 1, respectiv<br />
2<br />
x + 1= 1−<br />
x .<br />
Punem condiţia 1 – x U 0 şi prin ridicare la pătrat se obţine ecuaţia x 2 + 1 = (1 – x) 2 cu soluţia<br />
x = 0.<br />
Aşadar f(x) = 0 dacă x i {0, 1}. Tabelul de semn al funcţiei f este:<br />
198
x 0 1 +∞<br />
f(x) 0 – – – – 0 + + + + + + +<br />
Rezultă că soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 1].<br />
d) Fie f : (–1, +∞) → Z, f(x) = (2 x – 3 x )(2 – log2(x + 1)).<br />
Funcţia f este continuă.<br />
Din egalitatea f(x) = 0 se obţin ecuaţiile 2 x – 3 x = 0 şi 2 – log2(x + 1) = 0.<br />
Rezultă x = 0 şi respectiv log2(x + 1) = 2, de unde x + 1 = 2 2 = 4 sau x = 3.<br />
Semnul funcţiei f este dat de tabelul:<br />
Soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 3].<br />
x –1 0 3 +∞<br />
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + +<br />
S5. Soluţie:<br />
a) Funcţiile g, h : Z → Z, g(x) = x, h(x) = e x sunt funcţii strict crescătoare pe Z. Atunci şi<br />
suma lor f = g + h este funcţie strict crescătoare pe Z.<br />
x<br />
b) Avem: lim f( x) lim ( x e ) e 0<br />
−∞<br />
= + =−∞+ =−∞+ =−∞ şi lim f( x) e ∞<br />
=∞+ =+∞.<br />
x→−∞ x→−∞<br />
Funcţia f fiind continuă rezultă, folosind proprietatea lui Darboux, că ia toate valorile<br />
intermediare dintre –∞ şi +∞, adică Imf = (–∞, +∞) = Z.<br />
Aşadar funcţia f este surjectivă.<br />
Observaţie.<br />
Funcţia f fiind strict crescătoare pe Z este funcţie injectivă. Aşadar funcţia f este funcţie<br />
bijectivă.<br />
199<br />
x→∞
Soluţii<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
1. Funcţia f este continuă pe mulţimea Z \ {–1, 0, 1} având în vedere operaţiile cu funcţii<br />
continue.<br />
Studiem continuitatea funcţiei f în punctele –1, 0, 1.<br />
Obţinem:<br />
2<br />
x + x 2<br />
• f( −1− 0) = lim f( x)<br />
= lim = lim<br />
x −x = lim<br />
x−1<br />
=<br />
−2<br />
=+∞<br />
x→−1 x→−1 2<br />
x 1<br />
2<br />
x − x →− x + x x→−1x+<br />
1 0<br />
•<br />
•<br />
x
• f este continuă pe Z \ {1} dacă b = 4 şi a @ –3.<br />
• f este continuă pe Z \ {0, 1} dacă b @ 4 şi a + b @ 1.<br />
2. a) Dacă x i {, din f(x) = 3,5 rezultă că x = 3,5 h [2, 3].<br />
Dacă x i Z \ {, din f(x) = 3,5 se obţine x 2 = 3,5 sau x ∈− {<br />
există x cu proprietatea cerută.<br />
b) Avem f(2) = 2 şi f ( 5) = 5.<br />
3,5, 3,5} . Dar 3, 5 < 2 şi nu<br />
Pentru λ = 3,5 i [2, 5], nu există α∈ [2, 5] astfel încât f(α) = 3,5. Aceasta deoarece<br />
[2, 5] ⊂ [2, 3] şi se are în vedere punctul a).<br />
Aşadar f nu are proprietatea lui Darboux.<br />
x<br />
3<br />
f ( x) = (2 −16)( x− x ) . Inecuaţia dată se scrie f( x) T 0 . Vom stabili<br />
x 3<br />
semnul funcţiei continue f. Ecuaţia f( x ) = 0 conduce la ecuaţiile 2 − 16= 0 şi x− x = 0 ,<br />
3. Fie f : Z → Z,<br />
cu soluţiile x ∈{ 4,0,1, − 1}<br />
.<br />
Alcătuim tabelul de semn pentru f:<br />
x –∞ –1 0 1 4 +∞<br />
f(x) – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + + 0 – – –<br />
Soluţia iencuaţiei f(x) T 0 este x i (–∞, –1] N [0, 1] N [4, + ∞).<br />
Soluţii<br />
Testul 3<br />
1. Fie x0 i m. Se obţine:<br />
2<br />
f( x − 0) = lim( x[ x]) = x ( x − 1) şi f ( x + 0) = limx[<br />
x] = x ⋅ x = x .<br />
0<br />
x→x x< x<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
x→x x< x<br />
0 0 0<br />
2<br />
Funcţia f are limită în x0 dacă şi numai dacă x0( x0− 1) = x0<br />
deci numai dacă x0 = 0.<br />
Aşadar f este continuă în x0 = 0 şi discontinuă în oricare x0 i m \ {0}.<br />
2. Avem: f(a – 0) = a 2 + 2a, f(a + 0) = 2a + a 3 .<br />
Din egalitatea f(a – 0) = f(a + 0) se obţine ecuaţia a 2 + 2a = 2a + a 3 cu soluţia a i {0, 1}.<br />
Aşadar:<br />
• pentru a i {0, 1}, funcţia este continuă pe Z,<br />
• pentru a i Z \ {0, 1} funcţia este continuă pe Z \ {a}.<br />
3. Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia x = a.<br />
Funcţia f este continuă pe Z şi are tabelul de semne:<br />
x –∞ a +∞<br />
f(x) + + + + + + + 0 + + + + + + + +<br />
201<br />
0<br />
0
Soluţii<br />
Testul 4<br />
2 x x 2 x x 2<br />
1. Avem: f () n = lim<br />
⎛n 6 + 1 2 ⎞<br />
lim<br />
n ⋅ 12 + 2 n<br />
⎜ ⋅ n<br />
x<br />
x x ⎟=<br />
= = .<br />
→∞<br />
x x<br />
⎝ 3 n⋅ 4 + 1⎠ x→∞n⋅<br />
12 + 3 n<br />
nn ( + 1)<br />
Aşadar: f(1) + f(2) + ... + f( n) = 1+ 2 + ... + n=<br />
.<br />
2<br />
2. Considerăm funcţia g : [a, b] → Z, g(x) = f(x) – x.<br />
Funcţia g este continuă şi avem:<br />
g(a) = f(a) – a U 0, g(b) = f(b) – b T 0. Folosind proprietatea lui Darboux pe [a, b] pentru<br />
funcţia g rezultă că există x0 i [a, b] cu g(x0) = 0, adică f(x0) – x0 = 0.<br />
3. Tabelul de semn:<br />
x –∞ –1 0 1 2 +∞<br />
f(x) – – – – – 0 + + + 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + +<br />
202
Capitolul III. Funcţii derivabile<br />
3.1. Derivata unei funcţii într-un punct<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
a) Studiem existeţa derivatei funcţiei f în punctul x0 = 2.<br />
Rezultă că:<br />
2<br />
3x −4x−4 ( x− 2)(3x+ 2)<br />
f′ (2) = lim = lim = lim(3x+ 2) = 8,<br />
deci funcţia f este derivabilă în<br />
x→2 x−2 x→2 x−2<br />
x→2<br />
x0 = 2, graficul său admite tangentă în x0 = 2, iar tangenta are panta m = 8.<br />
b) Avem:<br />
x→0 x<<br />
0<br />
2<br />
2x − 3x<br />
x x→0<br />
f′ (0) = lim = lim(2x− 3) =− 3 şi<br />
s<br />
În particular se obţine că f (0) = 2, f (1) = 0, f (2) = –2.<br />
203<br />
x→0 x><br />
0<br />
2<br />
5x −3x<br />
x x→0<br />
f′ (0) = lim = lim(5x− 3) =− 3 .<br />
Aşadar f ′ (0) =− 3 şi graficul funcţiei admite tangentă în x0 = 0, panta fiind m = –3.<br />
⎧2x−1,<br />
xU<br />
1<br />
c) Avem: f( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩ 1 , x < 1<br />
2x−1−1 2( x−1)<br />
Se obţine că f ′ s (1) = 0 şi f ′ d (1) = lim = lim = 2 , deci f nu are derivată în<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
x> 1 x><br />
1<br />
x0 = 1 şi graficul său nu admite tangentă în x0 = 1.<br />
2<br />
x x − 0<br />
d) Avem f′ (0) = lim = lim x x = 0 .<br />
x→0 x − 0 x→0<br />
Aşadar graficul funcţiei admite tangentă în x0 = 0.<br />
E2. Soluţie:<br />
3x+ 11− 8 3( x+<br />
1)<br />
a) Se obţine: f ′ ( − 1) = lim = lim = 3;<br />
x→−1 x+ 1 x→−1<br />
x+<br />
1<br />
2 2<br />
x −3x− 11+ 13 x − 3x+ 2 ( x−2)( x−1)<br />
b) f′ (2) = lim = lim = lim = lim( x−<br />
1) = 1.<br />
x→2 x−2 x→2 x−2<br />
x→2 2<br />
x→2<br />
1 1<br />
−<br />
5 5 1 1<br />
c) (0) lim x 5 5 −x− −<br />
f ′ = + = lim = lim =− .<br />
x→0 x x→05( x+ 5) x x→05(<br />
x+<br />
5) 25<br />
x+ 1− 1 ( x+<br />
1) −1<br />
1 1<br />
d) f ′ (0) = lim = lim = lim = .<br />
x→0 x x→0 x( x+ 1+ 1) x→0<br />
x+<br />
1+ 1 2<br />
x −1 x − 1 x+<br />
1<br />
2 + 3−2 −3 2 −2 2 −1<br />
ln2<br />
e) f ′ ( − 1) = lim = lim = lim = .<br />
x→−1 x+ 1 x→−1 x+ 1 x→−12(<br />
x+<br />
1) 2<br />
sin x+ sin 2x ⎛sinx sin 2x⎞<br />
f) f ′ (0) = lim = lim⎜ + 2 ⎟=<br />
1+ 2+ 3.<br />
x→0 x x→0⎝<br />
x 2x<br />
⎠<br />
E3. Soluţie:<br />
a) Avem:<br />
2x−x f ′ ( x ) = lim<br />
− 2x + x 2( x−x ) −( x<br />
= lim<br />
−x<br />
)<br />
= lim[2 − ( x+ x )] = 2 −2x<br />
.<br />
2 2 2 2<br />
0 0 0 0<br />
0<br />
x→x0 x−x0 x→x0 x−x0 x→x0 0 0<br />
d
) Avem<br />
x −x ( x− x )( x + xx + x )<br />
f ′ ( x ) = lim = lim = lim( x + xx + x ) = 3x<br />
.<br />
3 3 2 2<br />
0 0 0 0<br />
2 2 2<br />
0<br />
x→x0 x−x0 x→x0 x−x0 x→x0 0 0 0<br />
În particular se obţine că f′ (0) = 0, f′ (1) = 3, f′<br />
( − 1) = 3.<br />
sin x+ x ⎛sin mx ⎞<br />
c) Avem: f ′ (0) = lim = lim⎜ + 1⎟= 2 şi<br />
x→0 x x→0⎝<br />
x ⎠<br />
sin x+ x−π ⎛ sin x ⎞<br />
f ′ ( π= ) lim = lim⎜1+ ⎟<br />
x→π x−π x→π⎝<br />
x−π<br />
⎠<br />
.<br />
Deoarece sin( x −π ) = sin x⋅cosπ−sin π⋅ cos x=− sin x avem că<br />
sin( x −π)<br />
f ′<br />
⎛ ⎞<br />
( π ) = lim⎜1− ⎟=<br />
1− 1= 0<br />
x→π⎝<br />
x −π ⎠<br />
d) Avem:<br />
f′ ( x ) = lim<br />
x<br />
−<br />
1<br />
−<br />
x<br />
1<br />
= lim<br />
( − )( + 1)(<br />
= lim<br />
+ 1) (<br />
(<br />
− )(<br />
)(1<br />
+ 1)(<br />
)<br />
=<br />
+ 1)<br />
2<br />
x +<br />
0<br />
2<br />
x0+ 2 2<br />
x( x0+ 1 ) − x0( x + 1) x−x0 −xx0<br />
0<br />
x→x0 x x0 x→x0 x x0 2<br />
x<br />
2<br />
x0 x→x0 x x0 2<br />
x<br />
2<br />
x0<br />
2<br />
1−xx0 1−x0<br />
= lim = .<br />
x→x 2 2 2 2<br />
0 ( x + 1)( x0 + 1) ( x0<br />
+ 1)<br />
În particular se obţine: f′ ( − 1) = 0, f′ (1) = 0, f′<br />
(0) = 1.<br />
E4. Soluţie:<br />
x −1−0 1−<br />
x<br />
x −1 x −1<br />
a) Avem f ′ s (1) = lim = lim =−1,<br />
iar f ′ d (1) = lim = lim = 1 .<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
x< 1 x<<br />
1<br />
x><br />
1<br />
x+ x x−x x+ x x+ x<br />
b) fs′<br />
(0) = lim = lim = 0,<br />
iar f ′ d (1) = lim = lim = 2 .<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
x< 0 x<<br />
0<br />
x><br />
0<br />
2<br />
x + 1−0 x −1<br />
c) f ′ s ( − 1) = lim = 1 şi f′ d ( − 1) = lim = lim( x−<br />
1) =−2.<br />
x→−1<br />
x + 1<br />
x→−1 x + 1 x→−1<br />
x−1<br />
d)<br />
πx−π π x+π ⎛ π( x−1)<br />
⎞<br />
2sin ⋅ ⋅cos 2sin<br />
sin( πx) −sin π<br />
(1) lim lim 2 2 ⎜<br />
lim 2 π π x+π⎟<br />
f ′ s = = = ⎜ ⋅ ⋅ cos<br />
x→1 x 1 x→1 x 1 x→1<br />
( x 1)<br />
⎟=<br />
− − π − 2 2<br />
x< 1 x<<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
π<br />
ln x− 0 ln(1+ x−1)<br />
= 21 ⋅ ⋅ ⋅cosπ=−π, iar fd′<br />
(1) = lim = lim = 1 .<br />
2<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
Sinteză<br />
x><br />
1<br />
S1. Soluţie:<br />
Se studiază derivaiblitatea funcţiei în punctele date:<br />
a) f′ ( x)(0) = lim( x+ x+ 1) = 1, f′ (0) = lim cos x=<br />
cos 0= 0 , deci f (0) = 1.<br />
s d<br />
x→0 x→0<br />
x< 0 x><br />
0<br />
•<br />
x+ x + 1−1 x−x f ′ ( − 1) = lim = lim = 0,<br />
x→−1 x+ 1 x−−1<br />
x+<br />
1<br />
204
x− 2 x+<br />
2<br />
sin ⋅sin<br />
cos x − cos 2<br />
• f ′ (2) = lim = lim− 2 2 2 =−1⋅ sin 2 =−sin<br />
2 .<br />
x→2 x−2 x→2<br />
x−2<br />
Aşadar graficul funcţiei f admite tangente în punctele date.<br />
x+<br />
1<br />
1+<br />
e<br />
x+ 1 0 −1<br />
x+<br />
1<br />
e −e 1 1<br />
b) • ( 1) lim ln 1, ( 1) lim 2<br />
e −<br />
f′ s − = = e= f′<br />
d − = = lim = .<br />
x→−1 x+ 1 x→−1 x+ 1 x→−12(<br />
x+<br />
1) 2<br />
x+<br />
1<br />
1+ e 1+<br />
e<br />
−<br />
x+ 1<br />
x<br />
1<br />
• (0) lim<br />
2 2 e −e e e − e<br />
f ′ = = lim = lim = .<br />
x→0 x x→0 2x 2 x→0<br />
x 2<br />
Graficul admite tangentă în x = 0 şi nu admite tangentă în x = –1.<br />
c) Se obţine: f (–1) = e –2 2<br />
, f ′ (2) = , deci graficul admite tangentă în x0 i {–1, 2}.<br />
5<br />
x−1 −1 x−1 −1<br />
x<br />
e −1− e + 1 e −e −1<br />
e −1<br />
1<br />
• f′ s (0) = lim = lim = e ⋅ lim = , iar<br />
x→0 x x→0 x x→0<br />
x e<br />
ln(1+ 2 x) ⎛ ln(1+ 2 x)<br />
⎞<br />
• fd′<br />
(0) = lim = lim⎜2⋅ ⎟=<br />
2 .<br />
x→0 x x→0⎝<br />
2x<br />
⎠<br />
Aşadar graficul funcţiei nu admite tangentă în x0 = 0.<br />
S2. Soluţie:<br />
a) Funcţia este continuă şi derivabilă pe Z \ {0}.<br />
Studiem continuitatea în x0 = 0.<br />
Rezultă că f(0 – 0) = 0, f(0 + 0) = –1 deci f este discontinuă în x0 = 0 pentru oricare a i Z.<br />
Funcţia f nu este derivabilă în x0 = 0 deoarece nu este continuă în x0 = 0.<br />
b) Avem: f(2 – 0) = 4 + 2a + b, f(2 + 0) = 8 – a.<br />
Funcţia este continuă în x0 = 2 dacă 8 – a = 4 + 2a + b deci 3a + b = 4.<br />
Studiul derivabilităţii în x0 = 2.<br />
2 2<br />
x + ax+ b−4−2a−b x − 4 + a( x−2) ( x− 2)( x+ 2 + x)<br />
• f ′ s (2) = lim = lim = lim = 4 + a<br />
x→2 x−2 x→2 x−2 x→2<br />
x−2<br />
4x−a− 8 + a 4( x−2)<br />
• f ′ (2) = lim = lim = 4 .<br />
d<br />
x−2 x−2<br />
x→2 x→2<br />
Funcţia este derivabilă în x0 = 2 dacă 4 + a = 4 deci dacă a = 0.<br />
Din egalitatea 3a + b = 4 se obţine b = 4.<br />
Aşadar:<br />
• dacă a = 0, b = 4 funcţia este continuă şi derivabilă în x0 = 2;<br />
• dacă 3a + b = 4, a @ 0, funcţia este continuă dar nu este derivabilă în x0 = 2;<br />
• dacă 3a + b @ 4 funcţia nu este continuă, deci nici derivabilă în x0 = 2.<br />
⎧x,<br />
xU1<br />
c) Avem: f( x)<br />
= ⎨ .<br />
⎩2x−<br />
1, x < 1<br />
Se obţine f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = 1, f(1) = 1, deci f este continuă pe Z.<br />
2x−− 1 1<br />
x −1<br />
De asemenea fs′<br />
(1) = lim = 2 şi f ′ d (1) = lim = 1,<br />
deci f nu este derivabilă în x0 = 1.<br />
x→1<br />
x−1<br />
x→1<br />
x −1<br />
x<<br />
1<br />
205<br />
.
d) D = [0, + ). Avem f(1 – 0) = arccos1 + b = b, f(1 + 0) = a.<br />
Rezultă că f este continuă în x0 = 0 dacă a = b.<br />
Pentru a = b rezultă că f ′ d (1) = lim<br />
x→1 x> 1<br />
2<br />
x − 1<br />
= lim<br />
x−1 x→1 x> 1<br />
( x− 1)( x+<br />
1)<br />
= lim<br />
( x−1)( x−1)<br />
x→1<br />
x><br />
1<br />
x+<br />
1<br />
=<br />
x−1<br />
2<br />
0+<br />
=+∞.<br />
Aşadar pentru oricare a, b i Z, f nu este derivabilă în x0 = 1.<br />
S3. Soluţii:<br />
a) Deoarece f(1 – 0) = –1 = f(1 + 0) funcţia f este continuă în x0 = 1. Se obţine:<br />
2<br />
2x−1−1 x + x−2 ( x− 1)( x+<br />
2)<br />
f ′ s (1) = lim = 2 şi f ′ d (1) = lim = lim = 3 .<br />
x→1<br />
x −1<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
Rezultă că x0 = 1 este punct unghiular pentru f.<br />
b) Funcţia este continuă în x0 = 0.<br />
2<br />
x +− 1 1<br />
Rezultă că fs′ (0) = lim = lim x=<br />
0 şi<br />
x→0 x x→0<br />
Punctul x0 = 0 este punct unghiular pentru f.<br />
c) Funcţia este continuă în x0 = 0.<br />
2<br />
x −0<br />
Se obţine că fs′<br />
(0) = lim = 0 şi<br />
x→0<br />
x<br />
Aşadar x0 = 0 este punct unghiular.<br />
206<br />
x<br />
e −1<br />
f′ d ( x)<br />
= lim = 1.<br />
x→0<br />
x<br />
sin x<br />
f ′ d (0) = lim = 1.<br />
x→0<br />
x<br />
S4. Soluţie:<br />
a) Funcţia f este continuă în x0 = 1.<br />
1−x 1−x 1<br />
Se obţine că f ′ s (1) = lim = lim =− lim =−∞<br />
x→1 x −1 x→1 2 x→1<br />
(1 − x)<br />
1−<br />
x<br />
x< 1 x< 1 x<<br />
1<br />
f ′ 0(1)<br />
= lim<br />
x→1 x> 1<br />
x−1 = lim<br />
x −1 x→1 x> 1<br />
x−1<br />
2<br />
( x −1)<br />
= lim<br />
x→1<br />
x><br />
1<br />
1<br />
=+∞.<br />
x −1<br />
Aşadar punctul x0 = 1 este punct de întoarcere.<br />
, iar<br />
b) Funcţia f este continuă în x0 = 3.<br />
Se obţine că f′ (3) =−∞ , f′<br />
(3) =+∞ deci x0 = 3 este punct de întoarcere.<br />
x d<br />
S5. Soluţie:<br />
Funcţiile f şi g admit tangentă comună în punctul x0 dacă f(x0) = g(x0) şi f (x0) = g (x0), adică<br />
punctul de abscisă x0 este comun graficelor şi tangentele în x0 la cele două grafice au aceeaşi<br />
pantă.<br />
a) Se obţin condiţiile: f(1) = g(1) şi f (1) = g (1).<br />
Rezultă că 2 + a = 1 + b + b şi 2 = 2 + b, adică b = 0, a = –1.<br />
b) Se pun condiţiile f(1) = g (1), f (1) = g (1) şi rezultă egalităţile:<br />
1 + a + b = 2 – 1 + 1 şi 2 + a = 3, deci a = 1, b = 0.<br />
Observaţie:<br />
Funcţiile f şi g fiind de gradul 1 sau 2 graficele lor sunt tangente în x0 i D, dacă ecuaţia<br />
f(x) = g(x) are o soluţie reală dublă x0.<br />
a) Ecuaţia f(x) = g(x) se scrie x 2 + bx + b = 2x + a sau x 2 + (b – 2)x + b – a = 0.
Se pune condiţia ca x0 = 1 să fie soluţie dublă.<br />
Avem: 1 + (b – 2) + b – a = 0 şi 0 = ∆ = (b – 2) 2 – 4(b – a).<br />
⎧2b−<br />
a = 1<br />
Rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ cu soluţia a = –1, b = 0.<br />
2<br />
⎩b<br />
− 8b+ 4a =−4<br />
S6. Soluţie:<br />
a) Tangenta la graficul funcţiei g în punctul x0 = 1 are panta<br />
2 2<br />
3x + cx+ 1−c−4 3( x − 1) + c( x− 1) [3( x+ 1) + x]( x−1)<br />
g′<br />
(1) = lim = lim = lim<br />
=<br />
x→1 x−1 x→1 ( x−1) x→1<br />
x−1<br />
= lim[3( x + 1) + c] = 6 + c.<br />
x→1<br />
Panta dreptei y = 7x – 6 este m1 = 7.<br />
Cele două drepte sunt paralele dacă m = m1 deci 6 + c = 7, adică pentru c = 1.<br />
b) Panta tangentei în x0 = 1 la graficul lui f este egală cu<br />
3 2 3 2<br />
x + ax + b−1 −a−b ( x − 1) + a( x −1)<br />
m= f′<br />
(1) = lim = lim<br />
=<br />
x→1 x−1 x→1<br />
x−1<br />
2<br />
= lim ⎡⎣( x + x+ 1) + a( x+ 1) ⎤⎦=<br />
3+ 2a<br />
x→1<br />
Condiţia de paralelism a tangentei cu deapta y = 5x + 1 impune egalitatea 3 + 2a = 5, deci<br />
a = 1.<br />
Tangenta în x0 = –1 la graficul funcţiei f are ecuaţia<br />
y – f(x0) = f (x0)(x – x0) adică y – f(–1) = f (–1)(x + 1) sau y + 1 – a – b = (3 – 2a)(x + 1)<br />
care adusă la o formă mai simplă se scrie pentru a = 1 : y = x + 1 + b.<br />
Deoarece tangenta trebuie să aibă ecuaţia y = x + 5 se obţine că 1 + b = 5 deci b = 4.<br />
S7. Soluţie:<br />
Punctele comune ale graficelor sunt date de ecuaţia f(x) = g(x).<br />
2<br />
Se obţine ecuaţia x0 + ( a− b) x0 + b− a=<br />
0(1),<br />
unde x0 i Z reprezintă abscisa punctelor comune.<br />
Tangentele în punctele x0 trebuie să aibă aceeaşi pantă.<br />
Aşadar se pune condiţia f (x0) = g (x0). Se obţine 4x0 + a = 2x0 + b de unde a – b = –2x0.<br />
2<br />
Înlocuind a – b = –2x0 în relaţia (1) se obţine x0 + ( − 2 x0) x0 + 2x0 = 0 cu soluţia x0 i {0, 2}.<br />
Aşadar rezultă a = b, pentru x0 = 0, respectiv a = b – 4, pentru x0 = 2.<br />
Se obţin funcţiile f(x) = 2x 2 + ax + a, g(x) = x 2 + ax + a, cu tangenta comună în x0 = 0,<br />
respectiv f(x) = 2x 2 + ax + a + 4, g(x) = x 2 + (a + 4)x + a cu tangentă comună în x0 = 2.<br />
207
3.3 Operaţii cu funcţii derivabile<br />
Exersare<br />
E1. Soluţii:<br />
a) D = Z, f (x) = 3x 2 + 3, x i Z;<br />
b) D = Z, f (x) = 2 – 4x 3 , x i Z;<br />
c) D = [0, + ),<br />
1<br />
f′ ( x) = 1 + , x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
x<br />
d) D = Z, f (x) = 3x 2 + cosx – sinx, x i Z;<br />
e) D = (0, + ), f x x<br />
1<br />
x<br />
x<br />
f) D = Z, f (x) = 2 x ln2 + 3 x ln3 – 1, x i Z;<br />
g) D = (0, + ),<br />
2 ′ ( ) = 6 + , ∈ (0, +∞ ) ;<br />
1 1<br />
f′ ( x)<br />
= + , x i (0, + );<br />
xln 2 xln<br />
3<br />
h) D = Z, f (x) = 4cos x + 5sin x, x i Z;<br />
i) D = (0, + )<br />
1<br />
f′ ( x) = 2x+ + cos x, x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
x ln 3<br />
⎧ π<br />
⎫ 1 1<br />
D= [0, +∞ ) \ ⎨± + kπ/ k∈ ⎬ ; f′ ( x) = + , x∈D\{0} ⎩ 2 ⎭ 2 x cos x<br />
j) 2<br />
m<br />
k) D = Z, f(x) = 2x 2 + 2, f (x) = 4x, x i Z;<br />
l)<br />
21 ⋅ 1<br />
D= [0, +∞ ), f′ ( x) = + , x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
3 2<br />
3 x x ln 0,5<br />
3 4<br />
D= (0, +∞ ), f( x) = 3log x+ 4log x, f′ ( x) = + , x∈<br />
(0, +∞ );<br />
x ln 3 x ln 2<br />
m) 3 2<br />
⎛⎧ π ⎫<br />
⎞<br />
n) D= Z\ ⎜⎨± + kπ⎬∪{ kπ/ k∈m<br />
⎟,<br />
⎝⎩ 2 ⎭<br />
⎠<br />
2 1<br />
2 2<br />
2sin x+ cos x<br />
2<br />
sin x+<br />
1<br />
2 2 2 2 2 2<br />
f ′ ( x) = + = = ; x∈D; cos x sin x cos x⋅sinx cos x⋅sinx p) D = Z,<br />
q) D = Z,<br />
′ = + ∈Z ;<br />
3<br />
f ( x) 2 2, x<br />
x 1 x x 1 x<br />
f( x) = 2⋅ 2 + ⋅ 3 , f′ ( x) = 2⋅ 2 ln2+ 3 ln3, x∈Z<br />
.<br />
3 3<br />
E2. Soluţii:<br />
1 1<br />
a) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = log2 x+ x⋅ = log 2 x+ , x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
x ln 2 ln 2<br />
208
) D = [0, + ), f′ ( x) = 2x 2 1<br />
x + x ⋅ = 2 x<br />
2 x<br />
1<br />
x + x<br />
2<br />
5<br />
x = x<br />
2<br />
x, x∈ D\{0}<br />
.<br />
2<br />
x x<br />
Pentru x = 0 se obţine: f′ (0) = lim = lim x<br />
x→0 x x→0<br />
x = 0 .<br />
5<br />
Aşadar f′ ( x) = x<br />
2<br />
x, x∈<br />
[0, +∞ ) ;<br />
c) D = Z, f (x) = sinx + xcosx, x i Z;<br />
d) D = Z, f (x) = 2 x cosx – x 2 sinx, x i Z;<br />
x x x x<br />
e) D = Z, f′ ( x)<br />
= 2 ln 2(3 − 1) + (2 −1) ⋅ 3 ln 3,<br />
x i Z;<br />
2 1<br />
f) D = (0, + ), f′ ( x) = log 2 x+ (2lnx+ 1) , x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
x xln<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞ 3<br />
g) D = [0, + ), f′ ( x) = ⎜1 − ⎟(<br />
x+ x) + ( x− ⎝ 2 x ⎠<br />
Pentru x = 0 avem:<br />
⎛ 1<br />
x) ⎜1 +<br />
3 2<br />
⎝ 3 x<br />
⎞<br />
⎟,<br />
x∈<br />
(0, +∞)<br />
;<br />
⎠<br />
( x −<br />
f ′ (0) = lim<br />
x→0 3 2 3 x)( x+ x) x −x = lim<br />
x x→0<br />
x −x x −<br />
x<br />
x − 3 x⋅ x<br />
=<br />
x> 0 x><br />
0<br />
1 1 5<br />
lim( x<br />
x→0 x> 0<br />
3<br />
x x)<br />
2 3 x ⋅ x<br />
lim<br />
x→0 x x> 0<br />
6 x<br />
lim<br />
x→0 x x> 0<br />
lim<br />
x→0<br />
x><br />
0<br />
= − − − = =−<br />
1 1<br />
=− 1<br />
0 6 + x<br />
=−∞;<br />
2 2 2 2<br />
h) D = Z, f′ ( x) = 3 ⋅(3 −x ) ⋅(3 − x ) ′ = 3 ⋅(3 −x ) ⋅( − 2 x) =−6 x(3 −x ), x∈Z<br />
;<br />
i) D = [0, + ), f′ ( x) = 3 ⋅( x− Pentru x = 0 se obţine:<br />
x) ⋅( x− x) ′ = 3( x− x) ⎛<br />
⎜1 −<br />
⎝ 2<br />
⎞<br />
⎟,<br />
x∈<br />
(0, +∞)<br />
.<br />
x ⎠<br />
3 3 2<br />
( x− x) x − 3x f′ (0) = lim = lim<br />
x→0 x x→0 2<br />
x+ 3x<br />
−x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
= lim( x − 3x x→0<br />
x+ 3 x− x)<br />
= 0;<br />
2 2 1<br />
x> 0 x> 0 x><br />
0<br />
1 lnx<br />
j) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = ln x+ x⋅ + 2⋅ ln x(ln x) ′ = ln x+ 1+ 2 , x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
x x<br />
2 2 2<br />
k) D = Z, f′ ( x) = sin x+ x(sin x) ′ = sin x+ x⋅2sin x⋅cos x, x∈Z<br />
;<br />
x 2 x x 2 x<br />
l) D = Z, f′ ( x) = 2( x− 1) e + ( x− 1) e = ( x− 1) e ( x+ 1) = ( x −1) e , x∈Z<br />
.<br />
E3. Soluţie:<br />
1′ ⋅x−1⋅x′ 1<br />
a) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 2 =− 2 , x∈ D;<br />
x x<br />
2 2<br />
1′ ⋅x −1 ⋅(<br />
x ) ′ 2x 2<br />
b) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 4 =− 4 =− 3 , x∈ D;<br />
x x x<br />
( x−1) ′ x−( x−1) x′ x− x+<br />
1 1<br />
c) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 2 = 2 = 2 , x∈ D;<br />
x x x<br />
( x− 1)( ′ x+ 1) −( x− 1)( x+ 1) ′ x+ 1− x+<br />
1 2<br />
d) D = Z \ {–1}, f ′ ( x) = = = , x∈D; 2 2 2<br />
( x+ 1) ( x+ 1) ( x+<br />
1)<br />
2 2 2 2<br />
( x − x+ 1)( ′ x + x+ 1) −( x − x+ 1)( x + x+<br />
1) ′<br />
e) D = Z, f′ ( x)<br />
= 2 2<br />
=<br />
( x + x+<br />
1)<br />
209
2 2 2<br />
(2 x− 1)( x + x+ 1) − (2 x+ 1)( x − x+ 1) 2( − 1 + x )<br />
= 2 2 = 2 2 , x ∈Z<br />
;<br />
( x + x+ 1) ( x + x+<br />
1)<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
f) D = Z, f′ ( x) = , x∈Z<br />
;<br />
2 2<br />
( x − x+<br />
1)<br />
1+ cosx 1<br />
g) D= Z\{ π+ 2 kπ| k∈ m }, f′ ( x) = 2 = , x∈D; (1+ cos x) 1+ cos x<br />
⎧ π ⎫ − (1+ sin x)<br />
−1<br />
h) D= Z\ ⎨− + 2 kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 = , x∈D; ⎩ 2 ⎭ (1+ sin x) 1+ sinx<br />
3 2<br />
⎧ π ⎫ sin x−cos x−sin x⋅cos x<br />
i) D= Z\ ⎨kπ , ± + 2 kπ/ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 2 , x∈D; ⎩ 2 ⎭ sin x⋅cos x<br />
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎜1 + ⎟( x+ 1−ln x) − ( x+ 1+ ln x)<br />
⎜1− ⎟<br />
⎝ x⎠ ⎝ x⎠<br />
2( x+− 1 xln x)<br />
j) D= (0, +∞ ), f′ ( x)<br />
= 2 =<br />
2 ,<br />
( x+− 1 ln x) x( x+− 1 ln x)<br />
x ∈ (0, +∞ ) ;<br />
3 x − 2x<br />
k) D= [0, +∞ ), f′ ( x) = , x∈<br />
[0, +∞)<br />
;<br />
2<br />
2(1 + x)<br />
x<br />
e<br />
l) D = Z, f′ ( x) = x 2 , x∈Z<br />
;<br />
(2 + e )<br />
2<br />
⎧ π ⎫ 1+ tg x<br />
m) D= Z\ ⎨± + kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 , x∈D; ⎩ 2 ⎭ (1+ tg x)<br />
3 4<br />
⎧ π ⎫ 1−2tgx−4tg x−tg x<br />
n) D= Z\ ⎨kπ , ± + kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = , x∈D. 2<br />
⎩ 2 ⎭<br />
(1+ tg x)<br />
E4. Soluţie:<br />
2<br />
a) D= Z, f′ ( x) = 3x −12, x∈Z.<br />
Se obţin soluţiile x ∈{ − 1,1}<br />
.<br />
2 2<br />
b) D= Z, f′ ( x) = 6x − 30x+ 23= 6( x − 5x+ 4), x∈Z.<br />
Mulţimea de soluţii { 1; 4 } .<br />
x 2 x x 2<br />
c) D= Df' = Z , f′ ( x) = (2x+ 6) e + ( x + 6x− 15) e = e ( x + 8x−9) .<br />
Soluţiile: x ∈{ 1, − 9}<br />
.<br />
2 1<br />
d) D= Df'= (0, +∞ ), f( x) = 2xln x+ x = x(2ln x+<br />
1) .<br />
x<br />
1<br />
1<br />
2<br />
Se obţine ecuaţia 2lnx+ 1= 0 sau lnx=−<br />
cu soluţia x e<br />
2<br />
−<br />
= .<br />
−(2x−6) e) D= D { }<br />
f ' = Z − 2, 4 , f′ ( x)<br />
= 2 2 . Soluţia x = 3.<br />
( x − 6x+ 8)<br />
2<br />
−2( x − 4+ 3)<br />
f) D= Df'= Z , f′ ( x)<br />
= 2 2 . Soluţiile x ∈ { 1, 3}<br />
.<br />
( x − 5x+ 7)<br />
210
2 2<br />
⎧ π ⎫ cos x+ sin x+ 2sin x)<br />
g) D= Df'= Z− ⎨± + 2 kπ k∈ Z ⎬ , f′ ( x)<br />
=<br />
.<br />
2<br />
⎩ 2 ⎭<br />
cos x<br />
1<br />
Se obţine ecuaţia 1+ 2sin x= 0sau sin x=−<br />
, cu soluţiile<br />
2<br />
7π 11π<br />
x= + 2 kπ , x= + 2 kπ, k∈Z<br />
.<br />
6 6<br />
2<br />
3( x −1)<br />
h) D= Df'= (0, +∞ ), f′ ( x)<br />
= . Soluţia x = 1.<br />
2x<br />
x<br />
211
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
a) Calculăm mai întâi:<br />
• ( xsin x+ cos x) ′ = sin x+ xcos x− sin x= xcos x<br />
• ( x cos x− sin x) ′ = cos x−xsinx− cos x=− xsinx Rezultă că:<br />
( xsinx+ cos x)( ′ xcosx−sin x) − ( xsinx+ cos x)( xcosx−sin x)<br />
′<br />
f′ ( x)<br />
= =<br />
2<br />
( xcosx−sin x)<br />
2<br />
xcos x( xcos x− sin x) + xsin x( xsinx+ cos x) x<br />
= 2 =<br />
2 ;<br />
( x cos x−sin x) ( xcos x−sin x)<br />
b) Avem:<br />
⎛ 2 n−1 n 2 n 1<br />
n<br />
x x x x x ⎞ ⎛ −<br />
x x x x ⎞<br />
−<br />
− −x<br />
x<br />
f′ ( x) =−e ⎜1 + + + ... + + ⎟+ e ⎜1 + + + ... + ⎟=<br />
e<br />
⎝ 1! 2! ( n−1)! n! ⎠ ⎝ 1! 2! ( n−1)! ⎠ n!<br />
S2. Soluţie:<br />
2 2<br />
6 xx ( −1) − 3x+ 2 3x− 6x+ 2<br />
a) f′ ( x) = {}<br />
2 = 2 , x∈R<br />
− 1 .<br />
( x−1) ( x−1)<br />
b) Tangenta în x0 are panta m = f ′ (x0) şi este paralelă cu y = 2x – 1 dacă m = 2.<br />
2 2<br />
Rezultă ecuaţia f ´(x0) = 2, adică 3x − 6x + 2= 2( x −1) cu soluţiile x ∈ { 0, 2}<br />
.<br />
0 0 0<br />
c) Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor lor este egal cu –1.<br />
Tangenta în x0 are panta m = f ′ ( x0)<br />
iar dreapta y = x are panta m1=1.<br />
2 2<br />
⎧1 3⎫<br />
Se obţine relaţia f ′ ( x0)<br />
= – 1 sau 3x0 − 6x0 + 2 = −( x0<br />
− 1) , cu soluţiile x0<br />
∈ ⎨ , ⎬<br />
⎩2 2⎭<br />
.<br />
S3. Soluţie:<br />
2 x 2<br />
x +− 1 ( x+ a)2 x e ( x +− 1 2 x)<br />
Avem: f′ ( x) = 2 2 , g′ ( x)<br />
= 2 2 .<br />
( x + 1) ( x + 1)<br />
x<br />
Se obţine egalitatea, după reducere: e ( −2ax− 2 x) = 0, ∀x∈Rşi rezultă că a = –1.<br />
S4. Soluţie:<br />
2<br />
x + x+ 1 − ( x+ m)(2x+ 1)<br />
Obţinem f′ ( x) = 2 2 , x∈R<br />
.<br />
( x + x+<br />
1)<br />
2<br />
Condiţia f′ ( x) < 0, ∀x∈Rconduce la −x − 2mx+ 1− m< 0, ∀x∈R .<br />
2<br />
Se impune condiţia ∆< 0 , adică 4( m − m+<br />
1) < 0 şi nu există m cu această proprietate.<br />
S5. Soluţie<br />
x 2<br />
a) Avem f′ ( x) = e ⎡⎣x + ( m+ 2) x+ 2 m⎤⎦, x∈R<br />
.<br />
f ′ ( x ) < 0 are loc pentru x ∈− [ 2, 2]<br />
, dacă x = –2 şi x = 2 sunt soluţii pentru<br />
Inegalitatea 0<br />
f ′ ( x ) = 0. Se obţine m = –2.<br />
0<br />
212<br />
0
)<br />
Sn<br />
x<br />
e<br />
1<br />
gx ( ) = x<br />
=<br />
. Rezultă că<br />
e ( x+ 1)( x+ 2) ( x+ 1)( x+<br />
2)<br />
1 1 1 1<br />
= + + + ... + =<br />
12 ⋅ 23 ⋅ 34 ⋅ ( n+ 1)( n+<br />
2)<br />
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞<br />
= ⎜1 − ⎟+ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟+ ... + ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟=<br />
⎝ 2⎠ ⎝2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝n n+ 1⎠ ⎝n+ 1 n+<br />
2⎠<br />
1 n + 1<br />
= 1−<br />
=<br />
n+ 2 n+<br />
2<br />
.<br />
213
3.3.5. Derivarea funcţiilor inverse (pag...)<br />
Exersare<br />
E1. Soluţii:<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
a) f′ ( x) = 3( x + 1) ( x + 1) ′ = 3 ⋅ ( x + 1) ⋅ 2x= 6 x⋅ ( x + 1) ,<br />
2<br />
( x + 1) ′ 2x<br />
b) f′ ( x) = 2 = 2 , x∈R<br />
;<br />
x + 1 x + 1<br />
1′ 1−x′ 2<br />
c) f′ ⎛ ⎞<br />
( x) = ⋅ , x ( 1,1)<br />
2<br />
1 x<br />
⎜ ⎟ = ∈ − ;<br />
⎛ − ⎞ ⎝1+ x⎠ x −1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1+ x ⎠<br />
x∈R<br />
;<br />
1<br />
d) f′ ( x) =<br />
x<br />
2 2<br />
1+<br />
x<br />
⎛ x ⎞<br />
′<br />
⋅ ⎜ 2 ⎟ =<br />
⎝1+ x ⎠<br />
2 2<br />
1 + x ⋅(1 −x<br />
)<br />
, x∈(0,<br />
∞)<br />
;<br />
2 2<br />
2 x⋅ ( x + 1)<br />
2 2<br />
x x 2 x<br />
2<br />
e) f′ ( x) = e + x⋅e ⋅ ( x ) ′ = e (1+ 2 x ), x∈R<br />
;<br />
2 2 2<br />
f) f′ ( x) = cos( x + 1) ⋅ ( x + 1) ′ = 2xcos( x + 1), x∈R<br />
;<br />
2 2 2<br />
g) f′ ( x) =− sin( x + x+ 1) ⋅ ( x + x+ 1) ′ =− (2x+ 1)sin( x + x+ 1), x∈R<br />
;<br />
1<br />
h) f′ ( x) = ⋅cos x; x∈(0,<br />
π ) ;<br />
2 sinx<br />
2<br />
2 x 2x + 1<br />
i) f′ ( x) = x + 1 + x⋅ = , x∈R<br />
;<br />
2 2<br />
x + 1 x + 1<br />
x<br />
1 x e ( x+<br />
1)<br />
j) f′ ( x) = ⋅ ( xe ) ′ = , x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
x x<br />
2 xe 2 xe<br />
E2. Soluţii:<br />
2<br />
(1+ sin x) ′ 2sin x⋅cosx sin 2x<br />
a) f′ ( x) = 2 = 2 = 2 , x∈R<br />
;<br />
1+ sin x 1+ sin x 1+ sin x<br />
x x<br />
(1 + e ) ′ e<br />
b) f′ ( x) = x = x , x∈R<br />
;<br />
1+ e 1+<br />
e<br />
2<br />
(1+ sin x) ′ sin 2x<br />
c) f′ ( x) = = , x∈R<br />
;<br />
2 2<br />
2 1+ sin x 2 1+ sin x<br />
3<br />
d) f′ ( x) = cos( x x) ⋅ ( x x) ′ = x⋅cos( x x), x∈<br />
(0, +∞ ) ;<br />
2<br />
1 x ′ 1 1<br />
e) f′ ⎛ ⎞<br />
( x) = ⋅ , (0,2)<br />
2 ⎜ ⎟ = = x∈<br />
;<br />
2 2 2<br />
⎛ x ⎞ ⎝ ⎠ 4−x 4−x<br />
1−<br />
⎜ ⎟<br />
2<br />
⎝2⎠ 4<br />
−1 ⎛ 1 ⎞′<br />
−1 −1<br />
1<br />
f′ ( x) = ⋅ = ⋅ = , x∈<br />
(3, +∞)<br />
⎛ 1 ⎞ ⎝x−1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ( x−1) ( x−1) x −2x<br />
1−⎜ ⎟ 1−⎜<br />
⎟<br />
⎝x−1⎠ ⎝x−1⎠ f) ⎜ ⎟<br />
2 2 2<br />
2<br />
214
E3. Soluţii:<br />
1<br />
a) Pentru x0 ∈ (1, +∞) se obţine că f′ ( x0)<br />
=<br />
2 x − 1<br />
, iar pentru x0 = 1, avem:<br />
x − 1 1<br />
lim = lim = +∞.<br />
x→1 x −1 x→1<br />
x> 1 x><br />
1 x −1<br />
Rezultă că domeniul de derivabilitate este (1, +∞ ) .<br />
1 x<br />
b) f ′ ( x) = e , x∈ (0, +∞ ) = Df'.<br />
2 x<br />
⎧ 2 3<br />
⎪(<br />
x −1) , x∈(<br />
−∞− , 1] ∪ [ 1, +∞)<br />
c) f( x)<br />
= ⎨<br />
2 3 ⎪⎩ (1 −x ) , x∈(<br />
−1,1)<br />
Funcţia este derivabilă pe R −− { 1,1}<br />
.<br />
x ∈ − 1,1 .<br />
Studiem derivabilitatea în { }<br />
Analog se obţine că f ′ (1) = 0 .<br />
Aşadar f este derivabilă pe R.<br />
0<br />
2 3<br />
( x −1)<br />
′ d ( − 1) = lim = lim(<br />
x→−1 x + 1 x→−1<br />
x>−1<br />
2<br />
+ 1) ⋅( 3<br />
− 1) = 0<br />
f x x<br />
0<br />
215<br />
şi f ′ s ( − 1) = 0 .<br />
x −x<br />
e −e<br />
d) Pentru x ∈R−{} 0 se obţine că f′ ( x) = x , x> 0 şi f′ ( x) = −x<br />
, x<<br />
0.<br />
1+ e 1+<br />
e<br />
Pentru x = 0 avem<br />
⎛ −x −x<br />
1+ e ⎞ ⎛ ⎛ e −1⎞<br />
⎞<br />
ln ln 1<br />
x ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎟ −x<br />
ln(1 + e ) −ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎝ 2 ⎠ e −1⎟<br />
fs′<br />
(0) = lim = lim = lim −x<br />
x→0 x x→0 x x→0⎜<br />
⋅ =<br />
e −1 2⋅x<br />
⎟<br />
x< 0 x< 0 x<<br />
0⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
⎛ −x<br />
e −1<br />
1⎞ 1 1 1 1<br />
= lim⎜ ⋅ ⎟=<br />
ln =− ln e=−<br />
.<br />
x→0⎝<br />
x 2⎠ 2 e 2 2<br />
⎛ −x<br />
x<br />
e −1⎞ ⎛ ⎛ e −1⎞<br />
⎞<br />
ln 1 ln 1<br />
x ⎜ + ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎟<br />
x<br />
ln(1 + e ) −ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎝ 2 ⎠ e −11⎟<br />
1<br />
f ′ (0) = lim = lim = lim x<br />
x→0 x x→0 x x→0⎜<br />
⋅ ⋅<br />
e 1 x 2⎟ = .<br />
−<br />
2<br />
x> 0 x> 0 x><br />
0⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2<br />
⎠<br />
Aşadar f nu este derivabilă în x0 = 0.<br />
⎧ 1<br />
⎧−arcsin xx , ∈[ −1,0]<br />
⎪<br />
− , x ∈( −1,0)<br />
2<br />
⎪<br />
⎪ 1−<br />
x<br />
e) f( x)<br />
= ⎨ . Avem f′ ( x)<br />
= ⎨ .<br />
⎪⎩ + arcsin xx , ∈(0,1)<br />
⎪ 1<br />
, x ∈(0,1)<br />
⎪ 2<br />
⎩ 1−<br />
x<br />
−arcsin<br />
x<br />
arcsin x<br />
Pentru x = 0, fs′<br />
(0) = lim =−1şi fd′<br />
(0) = lim = 1.<br />
x→0<br />
x<br />
x→0<br />
x<br />
x<<br />
0<br />
Aşadar f nu este derivabilă în x = 0.<br />
De asemenea f nu este derivabilă în x0 = –1.<br />
x><br />
0
f)<br />
⎧arccos( −x), x∈[<br />
−1,0]<br />
⎪⎧<br />
π−arccos xx , ∈[ −1,0]<br />
f( x)<br />
= ⎨ = ⎨<br />
.<br />
⎩arccos xx , ∈ (0,1] ⎪⎩<br />
arccos xx , ∈ (0,1]<br />
Funcţia f nu este derivabilă în<br />
x ∈{ − 1,1}<br />
. Pentru x = 0 avem:<br />
0 { 1,1}<br />
0<br />
π π<br />
−arcsin x −<br />
arccos x − arccos 0<br />
f ′ (0) lim lim 2 2<br />
d = = =− 1 şi<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
π<br />
π−arccos x −<br />
2 arcsin x<br />
f ′ s (0) = lim = lim = 1.<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
x<<br />
0<br />
Aşadar f nu este derivabilă în x0 = 0.<br />
x ∈ − deoarece funcţia arccos nu este derivabilă în<br />
E4. Soluţie:<br />
a) Funcţia f este strict crescătoare pe [ 0,+∞ ) , deci este funcţie injectivă.<br />
Deoarece f este funcţie continuă, f(0) = 3 şi lim f( x)<br />
=+∞, din proprietatea lui Darboux<br />
rezultă că f ia toate valorile intermediare de la 3 la +∞.<br />
Aşadar Im f = [3, +∞) şi f este surjectivă. Deci f este bijectivă.<br />
Analog, g este strict crescătoare pe R, deci este injectivă.<br />
Fiind continuă şi având lim gx ( ) =−∞, lim gx ( ) =+∞, rezultă că Imf=(–∞, +∞)= R , deci g<br />
x→−∞<br />
x→∞<br />
216<br />
x→∞<br />
este surjectivă.<br />
În concluzie g este bijectivă.<br />
− 1 1<br />
b) Rezultă: ( f<br />
′ ) (4) = , unde f( x0)<br />
= 4.<br />
f '( x0)<br />
Din relaţia f( x 0 ) = 4 se obţine că x 2 + 3 = 4, deci x0 = 1.<br />
− 1 1 1<br />
Aşadar ( f<br />
′ ) (4) = = .<br />
f '(1) 2<br />
− 1 1 1 1<br />
Analog: ( g ) ′<br />
(8) = = = .<br />
g′<br />
(2) 3⋅4 12<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
⎧<br />
⎪<br />
a) D= R , f( x)<br />
= ⎨<br />
⎪⎩ 2<br />
x −1, x∈(<br />
−∞− , 1] ∪[<br />
1, +∞)<br />
.<br />
2<br />
1 −x , x∈(<br />
−1,1)<br />
⎧<br />
⎪<br />
f′ ( x) = ⎨<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
x<br />
, x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)<br />
2<br />
x −1<br />
, D { 1,1}<br />
f ′ = R<br />
− −<br />
−x<br />
, x ∈− ( 1,1)<br />
2<br />
1−<br />
x
(1−ln x)<br />
′<br />
b) f ′ ( x) = =<br />
2 1−ln x 2x −1<br />
, x∈(0, e)<br />
.<br />
1−ln x<br />
′ =<br />
1 ⎛<br />
⋅⎜ ⎝<br />
2x⎞<br />
′<br />
⎟ .<br />
⎠<br />
⎝1+ x ⎠<br />
2 2 2<br />
⎛ 2x⎞ ′ 2(1 + x ) −4x 2(1 −x<br />
)<br />
Dar ⎜ 2 ⎟ = = .<br />
2 2 2 2<br />
⎝1 + x ⎠ (1 + x ) (1 + x )<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞⎛ 2 x ⎞ ( x− 1) ( x+ 1) ⎛ x −1⎞<br />
De asemenea: 1− ⎜ 1 1<br />
2 ⎟ = ⎜ − 2 ⎟⎜ + 2 ⎟ = =⎜ 2 2 2 ⎟ .<br />
⎝ x + 1⎠ ⎝ x + 1⎠⎝ x + 1 ⎠ ( x + 1) ⎝ x + 1⎠<br />
Aşadar f′ ( x)<br />
=<br />
2<br />
1 2(1 −x )<br />
⋅ = 2 2 2<br />
x −1 ( x + 1)<br />
2<br />
x + 1<br />
⎧ 2<br />
2 , x ∈− ( 1,1)<br />
2<br />
2(1 −x ) ⎪ x + 1<br />
=⎨ .<br />
2 2<br />
x − 1( x + 1) ⎪ −2<br />
, x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)<br />
2 ⎪ ⎩ x + 1<br />
Aşadar D { 1,1}<br />
′ = R − − .<br />
c) f ( x)<br />
2<br />
2<br />
⎛ 2x<br />
⎞<br />
1+<br />
x<br />
1−<br />
⎜ 2 ⎟<br />
d)<br />
f<br />
2<br />
1 ⎛1−x⎞ ′<br />
f′ ( x)<br />
= ⋅⎜ 2<br />
2 ⎟ .<br />
2<br />
⎛1−x⎞ ⎝1+ x ⎠<br />
1−<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝1+ x ⎠<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
⎛1−x ⎞ ⎛ 1−x ⎞ ⎛ 1− x ⎞ 4x<br />
Avem: 1− ⎜ ⎟ = ⎜1− ⎟⋅ ⎜1+ ⎟ =<br />
⎝1+ x ⎠ ⎝ 1+ x ⎠ ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x )<br />
Rezultă că:<br />
⎧ −1<br />
2 , x > 0<br />
2<br />
(1 + x ) −4x ⎪ 1 x<br />
f′ +<br />
( x)<br />
= ⋅ =⎨ .<br />
2 2<br />
4 x (1 + x ) ⎪ 1<br />
, x < 0<br />
2 ⎪ ⎩1+<br />
x<br />
Aşadar f D<br />
∗<br />
′ =R .<br />
e)<br />
2 2 2 2 2<br />
x<br />
x ln( x ) xln x<br />
f( x) = x = e = e , iar<br />
217<br />
⎛ 2<br />
1−x⎞′ 4x<br />
şi ⎜ ⎟=−<br />
⎝1 + x ⎠ (1 + x )<br />
2 2 2<br />
xln x<br />
f '( x) = e (<br />
⎛ x 1<br />
x⋅ ln x)'= x ⎜<br />
ln x+ ⎝2 x<br />
x ⎞<br />
⎟ x<br />
x ⎟<br />
=<br />
⎠<br />
lnx+ 2<br />
x , x > 0 .<br />
2 x<br />
ln( x+ 1) ln x<br />
ln( x+ 1) ln( x+ 1) ⎛ ln x ln( x+<br />
1) ⎞<br />
f) f( x) = e şi f '( x) = x ( ln( x+ 1)(ln x) ) ' = x ⎜ + ⎟,<br />
x > 0 .<br />
⎝ x+ 1 x ⎠<br />
S2. Soluţii:<br />
2 2<br />
a) D= R, f′ ( x) = 3 ⋅(2x −6 x) ⋅(4x−6), x∈R.<br />
Ecuaţia f′ ( x)<br />
= 0are<br />
soluţiile<br />
b) [ ]<br />
⎧ 3⎫<br />
x ∈ ⎨0,3, ⎬<br />
⎩ 2⎭<br />
.<br />
D= 0, π , f '( x) =− 2sin xcosx+ 2sin 2x= sin 2 x, x∈ D.<br />
.
⎧ ⎫<br />
Soluţiile ecuaţiei sin 2x = 0 sunt x 0, ,<br />
2<br />
π<br />
∈⎨ π⎬<br />
⎩ ⎭ .<br />
x + 3<br />
c) D = ( −∞, −5] ∪[ − 1, +∞ ), f '( x) = , x∈(<br />
−∞, −5) ∪ ( − 1, +∞)<br />
. Soluţiile x ∈∅.<br />
2<br />
x + 6x+ 5<br />
⎛ 2⎤ 6x+ 2<br />
d) D=−∞− ⎜ , (0, ), f ( x) 2 , x D<br />
3<br />
⎥∪ +∞ ′ = ∈ . Ecuaţia f′ ( x)<br />
= 0 nu are soluţii.<br />
⎝ ⎦<br />
3x + 2x<br />
3 2<br />
2 x −3x<br />
e) D= R, f′ ( x) = (3x −6 x) ⋅3 ln3, x∈R.<br />
Soluţiile sunt x ∈ { 0, 2}<br />
.<br />
2<br />
12x −6x<br />
⎧ 1 ⎫<br />
f) D= R, f′ ( x) = 3 2 2 , x∈R.<br />
Soluţiile ecuaţiei sunt x ∈ ⎨0, ⎬<br />
1 + (4x − 3x + 1)<br />
⎩ 2⎭<br />
.<br />
2 2 2<br />
−x −x −x<br />
2<br />
⎧ 1 ⎫<br />
g) D= R , f′ ( x) = 2 ⋅ e + (2x+ 1) e ⋅( − 2 x) = e ( −4x − 2x+ 2) . Soluţiile x ∈⎨−1, ⎬<br />
⎩ 2⎭<br />
.<br />
2<br />
'<br />
2<br />
⎛ 8 ⎞ 1 ⎛x + 4⎞ 3x + 16x− 12 3x+ 8<br />
h) D=− ⎜ , +∞ ⎟,<br />
f '( x) = ⋅ ⎜ ⎟=<br />
2<br />
2 ⋅ 2 , x∈D. ⎝ 3 ⎠ x + 4 ⎝3x+ 8⎠ 2(3x+ 8) x + 4<br />
2<br />
3x+ 8<br />
2<br />
2<br />
Soluţiile ecuaţiei f’(x)=0 sunt date de ecuaţia 3x + 16x− 12= 0.<br />
Rezultă că x = ∈ D .<br />
3<br />
S3. Soluţii:<br />
a) Funcţia f este strict crescătoare pe R ca sumă de funcţii strict crescătoare pe R, deci este<br />
funcţie injectivă.<br />
Funcţia f este continuă, lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=+∞. Din proprietatea lui Darboux rezultă<br />
x→−∞ x→+∞<br />
că Im f = R , deci f este surjectivă. Aşadar f este bijectivă, deci inversabilă.<br />
b) ( ) '<br />
−1<br />
1<br />
x<br />
f (3) = , unde f (x0) = 3. Ecuaţia x + 2 = 3 are soluţia unică x = 1 (din<br />
f '( x0<br />
)<br />
monotonia lui f ).<br />
Se obţine că ( ) 1 − 1 1<br />
f<br />
′<br />
(3) = = .<br />
f '(1) 1+ 2 ln 2<br />
S4. Soluţii:<br />
a) Funcia f este bijectivă. Într-adevăr, fiind strict crescătoare pe (1,+∞) ea este injectivă.<br />
Fiind continuă şi având: lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=+∞, rezultă că mulţimea de valori a<br />
x→1x→∞ x><br />
1<br />
funcţiei este Im f = R , deci f este surjectivă.<br />
b) ( ) 1<br />
f<br />
− ′ 1<br />
(2) = = 2<br />
f '(2)<br />
1 − 1 1<br />
f<br />
′<br />
( e+<br />
2) = = 1+<br />
.<br />
f '( e+ 1) e<br />
( )<br />
218
3.4 Derivate de ordinul doi<br />
Exersare<br />
E1. Soluţii:<br />
2<br />
a) D= R = D f ′ . Se obţine f '( x) = 3x + 1 şi<br />
În particular f ′ ( − 1) =− 6, f ′ ( x)<br />
= 0.<br />
2<br />
f ( x) (3x 1) 6x<br />
219<br />
′ = + ′ = .<br />
x<br />
b) D= R, f '( x) = e ( x+ 1), x∈ R, Se obţine f ′ (0) = 2, f ′ (1) = 3e.<br />
x<br />
f ′ ( x) = e ( x+ 2), x∈R.<br />
c) D= R, f′ ( x) = cos x− sin x, f ′ ( x) =−sinx−cos x, x∈Rşi<br />
f ′ (0) =−1, f ′ ( π ) = 1.<br />
1 1<br />
d) D= [ 0, +∞ ), f′ ( x) = + 1, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) =− , x><br />
0.<br />
2 x 4x<br />
x<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
e) D= R, f′ ( x) = 2 2,<br />
x∈R.<br />
Funcţia f ' este funcţie derivabilă pe R, fiind obţinută<br />
(1 + x )<br />
prin operaţii cu funcţii derivabile pe R . Aşadar f este de două ori derivabilă în x0.<br />
⎧ π<br />
⎫<br />
cos x<br />
f) D= R −⎨− + 2 kπ/ k∈ Z⎬<br />
, f′ ( x) = 2 , x∈D. ⎩ 2 ⎭ (1+ sin x)<br />
Funcţia f’ este derivabilă pe D, (operaţii cu funcţii derivabile).<br />
x<br />
e<br />
g) D= R, f′ ( x) = x 2 , x∈R.<br />
Funcţia este de două ori derivabilă.<br />
(1 + e )<br />
E2. Soluţii:<br />
a) Avem: f(0 − 0) = 0 = f(0<br />
+ 0) deci f este continuă în x=0. De asemenea,<br />
x<br />
f (0) = lim = 0şi f (0) = 0deci<br />
f este derivabilă în x0=0.<br />
3<br />
' '<br />
s<br />
x→0<br />
2<br />
x x<<br />
0<br />
d<br />
2<br />
⎧⎪ 3 x , x ≤ 0<br />
Obţinem f '( x)<br />
= ⎨ şi rezultă că:<br />
3<br />
⎪⎩ 20 x , x > 0<br />
este de două ori derivabilă în x0=0.<br />
3x 20x<br />
f (0) = lim = 0, f (0) = lim = 0,<br />
deci f<br />
2 3<br />
'' ''<br />
s<br />
x→0 x< 0 x<br />
d<br />
x→0<br />
x><br />
0 x<br />
⎧cos<br />
xx , ≤ 0<br />
b) Avem că f este continuă şi derivabilă în x0=0 şi f '( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
2<br />
⎩3x<br />
+ 1, x > 0<br />
Funcţia f’ este şi ea derivabilă în x0=0, avînd f ′ (0) = 0 .<br />
4 3<br />
⎧⎪−x , x ≤0 ⎧⎪−4<br />
x , x ≤0<br />
c) f( x) = ⎨ , f '( x) = , f ''(0) 0<br />
4 ⎨<br />
= .<br />
3<br />
⎪⎩x , x > 0 ⎪⎩4<br />
x , x > 0<br />
2<br />
⎧ ⎪x<br />
(3ln x+ 1), x > 0<br />
d) Funcţia f este continuă şi derivabilă pe (0,+∞) şi f '( x)<br />
= ⎨<br />
. Se obţine<br />
2<br />
⎪⎩ 3 x , x ≤ 0<br />
apoi că f ′ (0) = 0 .
E3. Soluţii:<br />
a) D= R, f′ ( x) = 4x+ 5, x∈ R, f ′ ( x) = 4, x∈R.<br />
b)<br />
= R ′ = − ∈ R ′ = ∈R.<br />
2<br />
D , f ( x) 3x 4, x , f ( x) 6 x, x<br />
x x<br />
c) D= R, f′ ( x) = e + 1, x∈ R, f ′ ( x) = e , x∈R.<br />
1 1<br />
D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 1 + , x> 0, f ′ ( x) =− , x><br />
0 .<br />
x x<br />
d) 2<br />
1<br />
e) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = lnx+ 1, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) = , x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
x<br />
x 2 x 2<br />
f) D= R, f′ ( x) = e ( x + 2 x), x∈ R, f ′ ( x) = e ( x + 4x+ 2), x∈R.<br />
g) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2xln x+ x, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) = 2lnx+ 3, x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
h) D= R, f′ ( x) = 2sin xcosx= sin 2 x, x∈ R, f ′ ( x) = 2cos 2 x, x∈R.<br />
i)<br />
= R ′ =− ∈ R ′ = − ∈R.<br />
2 2 3<br />
D , f( x) 3cos xsin xx , , f ( x) 6sin xcos x 3cos xx ,<br />
j) D= R, f′ ( x) = xcos xx , ∈ R, f′ ( x) = cos x−xsin xx , ∈R.<br />
k)<br />
5 15<br />
D = (0, +∞ ), f '( x) = x x, x∈ (0, +∞ ), f ''( x) = x, x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
2 4<br />
⎧ π<br />
⎫<br />
x<br />
⎨ 2 ⎬ ′ ( ) tg ,<br />
⎩ 2 ⎭<br />
cos x<br />
l) D= R− ± + kπ k∈ Z f x = x+<br />
2<br />
2<br />
1 cos x+ xsin2x f ′ ( x) = 2 + 4 , x∈ D.<br />
cos x cos x<br />
3 −6<br />
m) D= R −{ − 2 } , f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 3 , x∈D. ( x+ 2) ( x+<br />
2)<br />
n)<br />
2<br />
1−x 2<br />
2 x( x −3)<br />
2 2 2 3<br />
D= R, f′ ( x) = , f ′ ( x) = , x∈R.<br />
( x + 1) ( x + 1)<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
Folosim formulele trigonometrice:<br />
• sin( x + y) = sin xcosy+ sin ycosx, • cos( x+ y) = cos x⋅cosy−sin x⋅ sin y<br />
⎛ π⎞ π π<br />
a) Avem • sin⎜x+ ⎟=<br />
sin xcos+ sin cos x= cos xşi<br />
⎝ 2⎠ 2 2<br />
• sin( x+π ) = sin xcos π+ sin π cos x=− sin x.<br />
⎛ π ⎞<br />
Aşadar f '( x) = cos x = sin ⎜x+ ⎟,<br />
f ''( x) = − sin x = sin( x+<br />
π ) .<br />
⎝ 2 ⎠<br />
220
⎛ π ⎞<br />
b) Se arată că au loc relaţiile: cos⎜x+ ⎟ = −sinxşi<br />
cos( x + π ) = − cos x .<br />
⎝ 2 ⎠<br />
S2. Soluţie:<br />
2x 2x<br />
Avem f′ ( x) = e (8x+ 10), f ′ ( x) = e (16x+ 28), x∈Rşi<br />
relaţia este verificată.<br />
S3. Soluţie:<br />
x x<br />
Avem f′ ( x) = e (sin x+ cos x), f ′ ( x) = e 2cos x, x∈R<br />
.<br />
x<br />
Înlocuind în relaţia dată se obţine că e ⋅cos x⋅(2 − a) = 0, ∀x∈R , deci a=2.<br />
S4. Soluţie:<br />
−2x −2x<br />
Avem f′ ( x) = e ( −3sinx− cos x)şi f ′ ( x) = e (7sinx−cos x), x∈R<br />
. Înlocuind în relaţia<br />
e (9+ ab− 3( a+ b))sin x+ ( ab−a−b− 1)cos x = 0, x∈R<br />
.<br />
−2x<br />
dată rezultă că [ ]<br />
Pentru x = 0 se obţine ab – ( a + b) = 1, iar pentru x<br />
2<br />
π<br />
= se obţine ab – 3(a + b) = –9.<br />
⎧ab<br />
− ( a + b)<br />
= 1<br />
⎧a+<br />
b = 5<br />
Sistemul ⎨<br />
conduce la ⎨ cu soluţiile a=2, b=3, şi a=3, b=2.<br />
⎩ab<br />
− 3( a + b)<br />
= −9<br />
⎩ab<br />
= 6<br />
S5. Soluţie:<br />
Obţinem f′ ( x) = 2 ax+ b, f ′ ( x) = 2 a, x∈R<br />
şi 4a + 2b + c = 9, 2a + b = 2, 2a = 8.<br />
2<br />
Aşadar a = 4, b = –6 , c = 5 şi f( x) = 4x − 6x+ 5.<br />
S6. Soluţie:<br />
2<br />
Avem f ′ ( x) = 3ax + 2 bx+ c, f ′ ( x) = 6ax+ 2 b, x ∈Rşi se obţine sistemul<br />
cu soluţia a = 1, b = –4, c = 2, iar<br />
S7. Soluţie:<br />
⎧−<br />
a+ b− c+<br />
1= −6<br />
⎪<br />
⎨3a+<br />
2b+ c = −3<br />
⎪<br />
⎩12a+<br />
2b = 4<br />
3 2<br />
f ( x) = x − 4x + 2x+ 1.<br />
Se pune condiţia ca funcţiile să fie continue, derivabile în x0 şi ca s 0 d 0<br />
a) f (0 − 0) = 0, f(0 + 0) = c,<br />
deci f este continuă dacă c = 0.<br />
•<br />
•<br />
s (0)<br />
3<br />
x + ax<br />
lim<br />
x→0 x<br />
x<<br />
0<br />
lim(<br />
x→0<br />
2<br />
)<br />
fd(0) 3 2<br />
x + bx<br />
lim<br />
x→0 x<br />
x><br />
0<br />
2<br />
lim( x<br />
x→0<br />
bx)<br />
0<br />
f ′ = = x + a = a,<br />
′ = = + = ,<br />
deci f este derivabilă în x0 = 0 pentru a = 0.<br />
3 2<br />
⎧⎪x , x ≤0 ⎧⎪3<br />
x , x ≤0<br />
Se obţine f( x) = ⎨ , f '( x)<br />
=<br />
3 2 ⎨<br />
.<br />
2<br />
⎪⎩x + bx , x > 0 ⎪⎩3x<br />
+ 2 bx, x > 0<br />
221<br />
f ′ ( x ) = f′ ( x ) .
2<br />
3x<br />
• f′ s (0) = lim = lim3x= 0 şi<br />
x→0 x x→0<br />
x<<br />
0<br />
2<br />
3x 2bx<br />
• f ′<br />
+<br />
d (0) = lim = lim(3x+ 2 b) = 2b.<br />
x→0 x<br />
x→0<br />
Rezultă că 2b = 0 deci b = 0.<br />
Aşadar f este de două ori derivabilă în x0 = 0 dacă a = 0, b = 0, c = 0 şi deci f ( x) x<br />
c) f( 0) b, f(<br />
0)<br />
f′ s ( ) a, f ′<br />
d ( ) 2<br />
⎧⎪−<br />
2<br />
2πsinx−πcos x, x≤π,<br />
Avem: f( x)<br />
= ⎨<br />
2 2<br />
⎪ ⎩csin<br />
x+ x , x>π<br />
Se obţine:<br />
2<br />
π− =− π+ =π , deci f este continuă pentru<br />
π=− π= π, deci f este derivabilă în 0<br />
şi<br />
222<br />
2<br />
b =− π .<br />
x = π dacă a =− 2π<br />
.<br />
3<br />
= .<br />
⎧−<br />
2<br />
2π cosx+π sin x, x≤π,<br />
f′ ( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩2csinxcosx+<br />
2 x, x>π<br />
2 2<br />
2 cos x sin x 2 ⎛ sin( x ) 1 cos x⎞<br />
• f ′<br />
− π +π − π π −π +<br />
s ( π= ) lim = lim⎜ −2π ⎟=<br />
x→π x−π x→π⎝<br />
x−π x−π<br />
⎠<br />
x 2<br />
Se obţine că<br />
2 2<br />
3x 3 15 3( x 4)<br />
• f ′<br />
+ − −<br />
s (2) = lim = lim = lim3( x+<br />
2) = 12 şi<br />
x→2 x−2 x→2 x−2<br />
x→2<br />
x<<br />
2<br />
2ax b 15 2ax b 4ab 2 a( x 2)<br />
• f ′<br />
+ − + − − −<br />
d (2) = lim = lim = lim = 2a<br />
.<br />
x→2 x−2 x→2 x−2 x→2<br />
x−2<br />
Rezultă că 2a = 12 şi a = 6, apoi b = –9.<br />
d) f(0− 0) = b, f(0+ 0) = b, f(0)<br />
= 3 , deci f este continuă pentru b = 3.<br />
2<br />
2x + cx+ 8x+ 3− 3<br />
2<br />
x(2x + cx+<br />
8)<br />
x→0 x< 0<br />
x x→0<br />
x<<br />
0<br />
x<br />
f ′ (0) = lim = lim = 8 ,<br />
s
x→0 x><br />
0<br />
2<br />
x + ax+<br />
3−3 x<br />
x→0<br />
f ′ (0) = lim = lim x+ a= a,<br />
deci f este derivabilă pentru a = 8.<br />
d<br />
Se obţine:<br />
Avem:<br />
⎧ + + ≤<br />
f′ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎩2x+<br />
8, x><br />
0<br />
2<br />
6x 2cx 8, x 0<br />
x→0 x<<br />
0<br />
2<br />
6x + 2c+ 8−8 x<br />
x→0<br />
f ′ (0) = lim = lim(6x+ 2 c) = 2cşi<br />
s<br />
Rezultă că 2c = 2 deci c = 1.<br />
.<br />
223<br />
2x8 8<br />
f ′<br />
+ −<br />
d (0) = lim = 2 .<br />
x<br />
x→0<br />
x><br />
0
3.5 Regulile lui L’Hôspital<br />
Exersare<br />
E1. Soluţii:<br />
Cazuri 0<br />
0<br />
3 2<br />
( x − 3x+ 2)' 3x −3<br />
0<br />
a) = lim 2 = lim = = 0 ;<br />
x→1 ( x −1)'<br />
x→1<br />
2x 2<br />
2<br />
( x −4)<br />
′ 2x 1<br />
b) = lim 3 = lim 2 = ;<br />
x→2 ( x −8)<br />
′ x→2<br />
3x 3<br />
2<br />
3x3 c) = lim = ;<br />
x→−1<br />
2x+ 4 2<br />
2005<br />
2006⋅x 2006<br />
d) = lim 2006 = ;<br />
x→1<br />
2007⋅x 2007<br />
2<br />
3x27 e) = lim = ;<br />
x→3<br />
2x−4 2<br />
1+ cosx2 f) = lim = = 2 ;<br />
x→0<br />
2x+ cosx1 1<br />
1<br />
1−<br />
2<br />
0 ( 1) 1<br />
g) lim<br />
x 1 ⎛ ⎞ x+<br />
=<br />
+<br />
= ⎜ ⎟=<br />
lim<br />
= ;<br />
x→0 sin x+ cos x ⎝0⎠ x→0<br />
cos x+ cos x−xsin x 2<br />
cos x+ 24cos8x 25<br />
h) = lim = = 5.<br />
x→0<br />
7cos7x−2cos2x 5<br />
E2. Soluţii:<br />
Cazuri de nedeterminare 0<br />
0<br />
2sin xcosx sin 2x ⎛0⎞ 2cos 2x 2 1<br />
a) = lim = lim = ⎜ ⎟=<br />
lim = = .<br />
x→0 2x+ 2sinxcosx x→0 2x+ sin2x ⎝0⎠ x→0<br />
2+ 2cos2x 4 2<br />
3sin3x 9cos3x<br />
b) = lim = lim = 9 .<br />
x→0 sin x x→0<br />
cos<br />
1−cosx sinx 1<br />
c) = lim 2 = lim = .<br />
x→0 3xx→0 6x6 2<br />
x<br />
e 2x+ sinx<br />
d) = lim = 0 .<br />
x→0<br />
2x+ 1<br />
1−cos x sin x cos x 1<br />
e) = lim = lim = lim =<br />
x x x .<br />
x→0 2e −2−2x x→0 2x −2<br />
x→0<br />
2e 2<br />
n+ 1 2 n n 2 n−1<br />
nn ( + 2) x − ( n+ 1) x + 1 nn ( + 2)( n+ 1) x − nn ( + 1) x<br />
f) = lim = lim<br />
=<br />
x→1 2( x−1)<br />
x→1<br />
2<br />
x><br />
1<br />
2<br />
nn ( + 1)( n+ 2) − nn ( + 1) nn ( + 1)<br />
= = .<br />
2 2<br />
224
E3. Soluţii:<br />
Cazuri de nedeterminare ∞<br />
∞<br />
2<br />
6x + 4 12x<br />
a) = lim 2 = lim = 2 .<br />
x→∞ 3x+ 3 x→∞6x<br />
1<br />
6x−+ 1<br />
2<br />
6 1 12 1 12 3<br />
b) lim<br />
x x − x+ x−<br />
= = lim 2 = lim = lim = .<br />
x→∞ 1 x→∞4x + x− 1 x→∞ 8x+ 1 x→∞8<br />
2<br />
4x+− 1<br />
x<br />
cos 2x<br />
⋅2<br />
2sin cos2<br />
c) lim<br />
sin 2x<br />
⎛ x x ⎞ sin x cos x 2<br />
= = lim⎜<br />
⋅ ⎟=<br />
2lim = 2lim = = 1.<br />
x→0 cos x x→0⎝sin<br />
2x cos x ⎠ x→0 sin 2x x→0<br />
2cos 2x 2<br />
x><br />
0<br />
sin x<br />
1<br />
2<br />
1 sin 3x<br />
d) = lim<br />
x<br />
=− lim = 0 .<br />
x→0 3 3 x→0<br />
x<br />
x><br />
0 − 2<br />
sin 3x<br />
2cos2x<br />
e) = lim<br />
1+ sin2x<br />
= 2 .<br />
x→0<br />
cos x<br />
1+ sinx<br />
2x+ 1<br />
2<br />
2 1<br />
f) lim<br />
x x 1 x+<br />
=<br />
+ +<br />
= lim 2 = 0<br />
x→∞ 1 x→∞<br />
x + x+<br />
1<br />
E4. Soluţii:<br />
Cazuri de nedeterminare 0· ∞.<br />
1 1<br />
−<br />
2<br />
ln x− ln( x+ 1)<br />
a) l lim lim<br />
x x+<br />
1 −x<br />
x<br />
= = = lim =− lim =−1.<br />
x→∞ ⎛1⎞ x→∞<br />
1 x→∞ xx ( + 1) x→∞x+<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
− 2<br />
⎝ x ⎠<br />
x<br />
x − π 1<br />
b) l = lim = lim = 1.<br />
x→π tgx<br />
x→π<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝cos x ⎠<br />
1 2x<br />
2 − 2<br />
2 2 2<br />
ln x− ln( x + 1)<br />
c) l lim lim<br />
x x + 1 −(1 −x ) x x( x −1)<br />
= = = lim 2 = lim 2 = 0<br />
x→0 ⎛1⎞ x→0<br />
1 x→0 xx ( + 1) x→0<br />
x+<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
− 2<br />
⎝ x ⎠<br />
x<br />
1<br />
⎛arcsin x ⎞<br />
ln x<br />
d) l= lim ⎜ ( xln x) ⎟=<br />
lim xln x=<br />
lim = lim<br />
x<br />
= lim( − x)<br />
= 0 .<br />
x→0⎝ x ⎠ x→0<br />
x→0⎛1⎞ x→0 1 x→0<br />
x> 0 x><br />
0<br />
x> 0⎜ ⎟ x><br />
0 − 2<br />
⎝x⎠ x<br />
225
⎛1⎞ 1<br />
−<br />
x<br />
ln x<br />
⎜ ⎟<br />
x e<br />
e) l = lim = lim<br />
⎝ ⎠<br />
= lim =<br />
x→0 1 x→0 1<br />
x→0<br />
1<br />
x> 0 x 0 1<br />
x > x ⎛ ⎞ x><br />
0<br />
e e ⎜− −<br />
2 ⎟<br />
⎝ x ⎠ x<br />
1 '<br />
− 1 x ⎛ ⎞<br />
e ⎜−⎟ 1<br />
x<br />
−<br />
x −∞<br />
= lim<br />
⎝ ⎠<br />
= lim e = e = 0 .<br />
x→0 '<br />
x→0<br />
x> 0 ⎛ 1 ⎞ x><br />
0<br />
⎜−⎟ ⎝ x ⎠<br />
1<br />
1 1<br />
x+<br />
2 ⎛ ⎞<br />
e<br />
x+<br />
2<br />
1<br />
e<br />
⎜ ⎟<br />
x + 2<br />
x+<br />
2 ∞<br />
f) l = lim = lim<br />
⎝ ⎠<br />
= lim e = e = +∞<br />
x→−2 2<br />
'<br />
1 x→− x→−2<br />
x>− 2 x>− 2 ⎛ 1 ⎞ x>−2<br />
x + 2 ⎜ ⎟<br />
⎝ x + 2 ⎠<br />
Soluţii<br />
'<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
1. Tangenta la graficul funcţiei f în punctul ( , ( ) )<br />
x f x are ecuaţia<br />
0 0<br />
M dacă f x0 f x0 x0<br />
y− f( x0) = f '( x0) ⋅( x− x0)<br />
. Aceasta trece prin (2,1) 1 − ( ) = '( )(2 − ) .<br />
Deoarece f( x0) =<br />
unde a =− 2 .<br />
f(1) = a+<br />
2şi<br />
f′ ( x0) = f′ (1) = a+<br />
3 se obţine că: 1 − ( a+ 2) = ( a+<br />
3) ⋅ 1 de<br />
2.<br />
x<br />
sin x 1 1<br />
f (0) = lim = 1, f (0) = lim<br />
x +<br />
= lim = 1,<br />
deci f este derivabilă în x0=0.<br />
x x x+<br />
1<br />
' '<br />
s<br />
x→0 x< 0<br />
d<br />
x→0 x><br />
0<br />
x→0<br />
3.<br />
x 1 1 x+<br />
2<br />
a) f′ ( x) = ln( x+ 1) + , f ′ ( x) = + = , x∈<br />
(0, +∞)<br />
.<br />
2 2<br />
x+ 1 x+ 1 ( x+ 1) ( x+<br />
1)<br />
2 2<br />
1 2x 1−2x − 2( x + 1) −(1−2 x)2x x −2x−2 b) f′ ( x) = 2 − 2 = 2 , f ′ ( x) = 2 2 = 2 2 , x∈<br />
R.<br />
x + 1 x + 1 x + 1 ( x + 1) ( x + 1)<br />
226
Soluţii<br />
Testul 2<br />
1. Funcţia este continuă şi derivabilă pe R −{}<br />
0 . Studiem continuitatea şi derivabilitatea în<br />
x0=0.<br />
2<br />
Avem: f(0+ 0) = 0, f(0− 0) = a − 1.<br />
Funcţia este continuă în x0=0 dacă a 2 –1=0, deci dacă<br />
a ∈− { 1,1}<br />
.<br />
Pentru<br />
±<br />
a=± 1, f (0) = lim = 0, f (0) = lim = 0 , deci f este derivabilă în x0=0.<br />
2<br />
′<br />
x<br />
′<br />
xsin x<br />
s d<br />
x→0 x x→0<br />
x<br />
x< 0 x><br />
0<br />
Aşadar<br />
Pentru a ∈R −{ −1,1}<br />
, f nu este continuă în x0=0, iar f este derivabilă pe R −{}<br />
0 .<br />
Pentru a ∈− { 1,1}<br />
, f este derivabilă pe R .<br />
2 2 2<br />
(2x− 1)( x + x+ 2) −( x − x+ 2)(2x+ 1) 2x −4<br />
2. a) f '( x) = 2 2 = 2 2 , x∈R<br />
.<br />
( x + x+ 2) ( x + x+<br />
2)<br />
2 2<br />
2<br />
2x+ 1 2( x + x+ 2) + 2x<br />
+ x<br />
b) D= R , f′ ( x) = x + x+ 2+<br />
x<br />
= =<br />
2 2<br />
2 x + x+ 2 2 x + x+<br />
2<br />
2<br />
4x + 3x+ 4<br />
= , x ∈R<br />
.<br />
2<br />
2 x + x+<br />
2<br />
3. a) Caz de nedeterminare 0<br />
. Aplicăm regula lui L’Hôspital.<br />
0<br />
2x+ 1 1<br />
2<br />
= lim<br />
x→0<br />
2<br />
x + x+<br />
1<br />
=<br />
2<br />
= 1;<br />
1 1<br />
2 x+<br />
1 2<br />
b) Caz de nedeterminare ∞<br />
. Se obţine:<br />
∞<br />
1<br />
2+<br />
1 2 0 2<br />
lim<br />
x +<br />
=<br />
+<br />
= = .<br />
x→∞<br />
2 3+ 0 3<br />
3+<br />
2x+ 1<br />
227
Capitolul IV. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor<br />
4.1. Rolul derivatei întâi în studiul funcţiilor<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie:<br />
Se verifică continuitatea şi derivabilitatea funcţiei f pe intervalul [a, b], respectiv (a, b).<br />
a) Funcţia este restricţia unei funcţii de gradul 2 pe [–3,2], deci este continuă şi derivabilă.<br />
Aşadar se poate aplica teorema lui Lagrange.<br />
Avem că ∃c∈( −3,2) astfel încât<br />
f(2) − f(<br />
−3)<br />
f '( c)<br />
= , adică :<br />
5<br />
2−27 1<br />
4c− 3 = de undec<br />
= − .<br />
5 2<br />
b) Funcţia este continuă şi derivabilă pe [1, e] şi se poate aplica teorema lui Lagrange.<br />
ln e−ln1<br />
1 1<br />
Rezultă că există c∈ (1, e) cu f′ ( c)<br />
= sau = deci c= e−1 ∈(1,<br />
e)<br />
.<br />
e−1<br />
c e−1<br />
c) Se poate aplica teorema lui Lagrange funcţiei f.<br />
f(2) − f(1)<br />
1<br />
Se obţine că f′ () c = = .<br />
2−1 3<br />
2 2 1<br />
Dar f '( x) = deci = de undec = 6 −1.<br />
2 2<br />
( x+ 1) ( c+<br />
1) 3<br />
1<br />
d) Funcţia f nu este derivabilă în x 0 = , deci nu se poate aplica teorema lui Lagrange.<br />
2<br />
E2. Soluţie:<br />
Funcţiile sunt derivabile pe domeniul de definiţie. Se studiază semnul primei derivate.<br />
a) D= R, f′ ( x) = 2x−1, x∈R.<br />
Alcătuim tabelul de semn şi de monotonie pentru f.<br />
x – ∞<br />
1<br />
2<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + + +<br />
f (x) 1 0<br />
b)<br />
= R ′ = − ∈R.<br />
Tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – –<br />
f (x) 1 0 1<br />
2<br />
D , f ( x) 3 3 x , x<br />
3<br />
c) D= R, f′ ( x) = 4x −16 x, x∈R.<br />
Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)<br />
= 0 sunt x ∈{0, − 2,2} .<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ –2 0 2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
f (x) 1 0 1 0<br />
x<br />
d) D= R, f′ ( x) = ( x+ 1) e , x∈R.<br />
Avem tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ –1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + + +<br />
f (x) 1 0<br />
228
e) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = ln x+ 1, x∈<br />
(0, +∞ ) . Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 este ln x = –1, cu soluţia<br />
−1<br />
x = e . Tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ e –1<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 +<br />
+ ∞<br />
+ + + + +<br />
f (x) 1 0<br />
1 x −1<br />
f) D = ( 0,<br />
+ ∞),<br />
f ′ ( x)<br />
= 1−<br />
= , x∈<br />
( 0,<br />
+ ∞)<br />
. Rezultă tabelul:<br />
x x<br />
x 0 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + + +<br />
f (x) 1 0<br />
2<br />
g) D= R \{ − 1}, f′ ( x) = 2 , x∈D. ( x+<br />
1)<br />
Tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ –1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + | + + + + + +<br />
f (x) 0 | 0<br />
Funcţia f este crescătoare pe fiecare din intervalele ( −∞ ,1) şi ( − 1, +∞ ) .<br />
4x<br />
h) D= R, f′ ( x) = 2 2 , x∈R.<br />
( x + 1)<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + + +<br />
f (x) 1 0<br />
E3. Soluţie<br />
Se alcătuieşte tabelul de semn al primei derivate şi de monotonie pentru funcţia f.<br />
2<br />
a) D= R, f′ ( x) = 3x −6 x, x∈R.<br />
Avem tabelul:<br />
x – ∞ − 2<br />
2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
f (x) 0 M 1 m 0<br />
Punctul x = − 2 este punct de maxim local, iar x = 2 este punct de minim local.<br />
x<br />
b) D= R, f′ ( x) = xe , x∈R.<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + +<br />
f (x)<br />
Punctul x = 0 este punct de minim.<br />
1 m 0<br />
229
2<br />
x −2x−3 c) D= R \{1}, f′ ( x) = , x∈D. x−1<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ –1 1 3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – | – – – 0 + + + +<br />
f (x) 0 M 1 | 1 m 0<br />
Rezultă că x =− 1 este punct de maxim local, iar x = 3 este punct de minim local.<br />
2<br />
−x −2x<br />
d) D= R, f′ ( x) = 2 2 , x∈R.<br />
( x + x+<br />
1)<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ –2 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – –<br />
f (x) 1 m 0 M 1<br />
Rezultă că x = −2<br />
este punct de minim local, iar x = 0 este punct de maxim local.<br />
e) D= R, 2<br />
2 x −1<br />
f′ ( x) = 1 − 2 = 2 , x∈R.<br />
x + 1 x + 1<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
f (x) 0 M 1 m 0<br />
Aşadar, x =− 1 este punct de maxim local, iar x = 1 este punct de minim local.<br />
ln x−1<br />
f) D= (0,1) ∪ (1, +∞ ), f′ ( x) = 2 , x∈D. (ln x)<br />
Avem tabelul:<br />
x 0 1 e + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – | – – – 0 + + + +<br />
f (x) 1 | 1 m 0<br />
Punctul x = e este punct de minim local.<br />
2<br />
x<br />
g) D= R, f′ ( x) = ( − x + 3x−2) e , x∈R.<br />
Avem tabelul:<br />
x – ∞ +1 2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – –<br />
f (x) 1 m 0 M 1<br />
h) D = [ 1,<br />
+ ∞),<br />
f ′ ( x)<br />
=<br />
2<br />
1<br />
, x ∈(<br />
1,<br />
+ ∞)<br />
.<br />
x −1<br />
Se obţine tabelul:<br />
x 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
| + + + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 0<br />
Punctul x = 1 este de minim relativ.<br />
230
Sinteză<br />
S1. Soluţie:<br />
a) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x = 0. Avem:<br />
• f (1− 0) = 1 + a, f(1 + a) = 5 + b,<br />
deci este necesar ca a= 4+<br />
b.<br />
• fs′ (1) = 2 + a, fd′ (1) = 5+ 2b.<br />
Se pune condiţia ca 2+ a= 5+ 2b.<br />
⎧ a= 4+<br />
b<br />
Rezultă sistemul: ⎨ , cu soluţia a = 5, b = 1.<br />
⎩a=<br />
3+ 2b<br />
b) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x 0 =π.<br />
• f ( π− 0) = a, f( π+ 0) =− a+ bπ,<br />
deci rezultă că 2a= bπ.<br />
π<br />
• fs′ ( π=− ) 1, fd′ ( π= ) b.<br />
Aşadar, b =− 1 şi a = − .<br />
2<br />
S2. Soluţii<br />
2<br />
x + 2x−3 a) D= R \{ − 1}, f′ ( x) = 2 , x∈D. ( x+<br />
1)<br />
Se obţine tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ –3 –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – | – – – 0 + + + +<br />
f (x) 0 M 1 | 1 m 0<br />
Funcţia este monoton crescătoare pe intervalele ( −∞, − 3) şi (1, +∞ ) , descrescătoare pe<br />
intervalele ( −3, − 1) şi ( − 1, 1), x =−3este punct de maxim local, iar x = 1 este punct de<br />
minim local.<br />
5 4<br />
− 2x + 8x −2 x( x −2)<br />
b) D= R, f′ ( x) = 4 2 = 4 2 , x∈R.<br />
( x + 4) ( x + 4)<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ − 2<br />
0<br />
2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – 0 + + + 0 – – – –<br />
f (x) 0 M 1 m 0 M 1<br />
c) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2xln x+ x= x(2ln x+ 1), x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
Se obţine tabelul:<br />
1<br />
x 0<br />
2 e − + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + +<br />
f (x) 1 m 0<br />
d) D= [1, +∞ ), f′ ( x) =<br />
Se obţine tabelul:<br />
x− 1 + x⋅ 2<br />
1 3x−2 = , x∈<br />
(1, +∞)<br />
.<br />
x−1 2 x−1<br />
x 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
| + + + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 0<br />
Punctul x = 1 este punct de minim local.<br />
231
e)<br />
2x<br />
2<br />
D= R, f′ ( x) = 1 − , x∈R.<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 conduce la x + 1 = 2x,<br />
cu soluţia<br />
2<br />
x + 1<br />
3<br />
x = . Se obţine tabelul:<br />
3<br />
x – ∞<br />
3<br />
3<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – –<br />
f (x) 0 M 1<br />
1 5<br />
2<br />
2x − 5x+ 2<br />
2 2<br />
f) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = −<br />
x 2( x<br />
=<br />
+ 1) 2 x( x + 1)<br />
+ 2, x∈<br />
(0, +∞)<br />
.<br />
Se obţine tabelul:<br />
x 0<br />
1<br />
2<br />
2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
f (x) 0 M 1 m 0<br />
2 2<br />
3( x −1) x −1<br />
g) D= , f′ ( x) = = , x∈R<br />
\{0,<br />
3 3 2 3 3 2<br />
3 ( x −3 x) ( x −3<br />
x)<br />
Se obţine tabelul de monotonie:<br />
3, − 3} .<br />
x – ∞ − 3 –1 0 1 3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + | + + + + 0 – – – – | – – – – 0 + + + | + + + +<br />
f (x) 0 0 M 1 1 m 0 0<br />
h) D= R, f′ ( x) =<br />
1+ 1<br />
⋅ ( 1+ 2<br />
x + 1<br />
′<br />
2<br />
x + 1 ) =<br />
( 1+ x<br />
2<br />
x + 1) , x∈R.<br />
2<br />
x + 1<br />
Rezultă tabelul de monotonie:<br />
x −∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + +<br />
f (x) 1 m 0<br />
1 ⎛<br />
i) D=− [ 1,1 ] , f′ ( x) = 2⋅⎜1 −<br />
2<br />
1+ ( x+ 1−x ) ⎝<br />
Se obţine tabelul de monotonie:<br />
x ⎞<br />
⎟=<br />
2<br />
1−x<br />
⎠<br />
2<br />
1−x<br />
−x<br />
[ ]<br />
2 , x∈−1,1<br />
.<br />
2 2<br />
1− x<br />
⎡<br />
1+ ( x+ 1−x<br />
⎤<br />
⎣ ) ⎦<br />
x – 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – –<br />
f (x) π<br />
− 0<br />
4<br />
M<br />
π<br />
1<br />
4<br />
Punctele x = – 1, x = 1 sunt puncte de minim local, iar x =<br />
2<br />
, de maxim local.<br />
2<br />
232
j) D= R ,<br />
⎧ −2<br />
2 ,<br />
⎪ x + 1<br />
f′ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪ 2<br />
⎪⎩ 2 ,<br />
x + 1<br />
x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, ∞)<br />
.<br />
x ∈− ( 1,1)<br />
Se obţine tabelul de monotonie:<br />
x – ∞ –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – | + + + + | – – – –<br />
f (x) 1 m 0 M 1<br />
S3. Soluţie<br />
2<br />
a) D= R, f′ ( x) = 3 x + m, x∈R.<br />
Funcţia este monotonă pe R dacă f ′ (x)<br />
are semn constant<br />
pe R . Cum f ′ este funcţie de gradul 2, punem condiţia ∆≤ 0 şi se obţine m ∈ [0, +∞ ) .<br />
b)<br />
D= f′ x = x e + x + m e = e x + x+ m x∈<br />
2x 2 2x 2x 2<br />
R, ( ) (2 ) 2( ) 2 ( ), R.<br />
Punem condiţia ca<br />
c)<br />
⎡1<br />
⎞<br />
+ + U 0, ∀ ∈Rşi<br />
se obţine că ∆ = 1 − 4m<br />
≤ 0 , deci m ∈ ⎢ , + ∞⎟<br />
.<br />
⎣4<br />
⎠<br />
2<br />
x x m x<br />
D= f′ x = x + mx+ x∈<br />
2<br />
R, ( ) 6 10 6, R.<br />
Condiţiile f′ ( x)<br />
≥ 0 şi x ∈R conduc la<br />
2<br />
∆= 100m −144≤ 0 , de unde ∈ ⎢ , ⎥<br />
⎣ 5 5⎦<br />
2<br />
m 2x<br />
x m<br />
233<br />
⎡ 6 6⎤<br />
m − .<br />
d) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2x+ 1 − =<br />
x<br />
+ −<br />
x<br />
, x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
2<br />
Este necesară condiţia 2x + x−m≥0, ∀x∈ (0, +∞ ) .<br />
Avem că 2 , ( 0,<br />
)<br />
2 2<br />
m ≤ x + x ∀x<br />
∈ + ∞ , deci m este cel mult valoarea, minimă a expresiei<br />
2<br />
2x + x pe (0, +∞ ) .<br />
Se obţine m≤0, deci m∈(<br />
−∞ , 0) .<br />
S4. Soluţie<br />
2x 2x 2 2 2x<br />
Se obţine că f′ ( x) = (2 x+ m) e + 2 e ( x + mx+ 1) = (2x + 2mx+ 2x+ m+ 2) e , x∈R<br />
. Se<br />
2<br />
pune condiţia ca ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 , deci 2x + 2mx+ 2x+ m+<br />
2= 0 să aibă două soluţii reale<br />
2<br />
diferite. Rezultă că ∆= 4( m+ 1) − 8( m+<br />
2) > 0,<br />
cu soluţia m ∈−∞− ( , 3) ∪ ( 3, +∞. )<br />
S5. Soluţie<br />
2 2<br />
−( x − 3x+ 2) −( m−x)(2x−3) x − 2mx+ 3m−2 Se obţine f′ ( x) = 2 2 = 2 2 , x∈R<br />
\{1,2} .<br />
( x − 3x+ 2) ( x − 3x+ 2)<br />
Se impune condiţia f D x<br />
m mx x ∈ ∀ ≠ − + − , 0 2 3 2<br />
2<br />
.<br />
Rezultă că 4 4(<br />
3 2)<br />
0<br />
2<br />
∆ = m − m − < , cu soluţia m ∈(<br />
1,<br />
2).<br />
Pentru x = 1 obţinem 1 2 3 2 0 1,<br />
2<br />
− m + m − = ⇒ m = iar pentru x = 2 se obţine m = 2.<br />
În concluzie, mulţimea valorilor lui m este [ 1,<br />
2]<br />
.<br />
S6. Soluţie<br />
′<br />
( x − a)<br />
ab − 5<br />
.<br />
( x − a)<br />
2<br />
2<br />
( 2x<br />
+ 2b)(<br />
x − a)<br />
− x − 2bx<br />
− 5 x − 2ax<br />
− 2<br />
Avem: f ( x)<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2
Punem condiţiile: f ′ ( −1)<br />
= 0 şi f ′ ( 3)<br />
= 0.<br />
⎧ a− ab=<br />
2<br />
Se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ , deci a = 1, b = – 1.<br />
⎩3a+<br />
ab=<br />
2<br />
Se verifică apoi că funcţia obţinută<br />
2<br />
x − 2x<br />
− 5<br />
f ( x)<br />
=<br />
verifică proprietăţile cerute.<br />
x −1<br />
S7. Soluţie<br />
Punem condiţiile f ( 1)<br />
= 1,<br />
f ′ ( 1)<br />
= 0 pentru ca A(1, 1) să poată fi punct de extrem.<br />
Avem: f ′ ( x) = 3mx+ 2nx+<br />
p şi se obţin egalităţile m + n +2p = 1, 3m + 2n + p = 0 (1).<br />
Panta tangentei la grafic în B(0, p) este m = f ′ ( 0)<br />
= tg 45°<br />
= 1.<br />
Se obţine că p = 1. Din relaţiile (1) va rezulta că m = 1, n = –2.<br />
S8. Soluţie<br />
• Dreapta x = 1 este asimptotă verticală. Rezultă că b = 1.<br />
• Dreapta y = x + 4 este asimptotă oblică.<br />
f ( x)<br />
⎛ 2<br />
x + ax+ 1 ⎞ ( a+ 1) x+<br />
1<br />
Se obţine 1= m = lim = 1 şi 4= n= lim⎜ − x⎟= lim = a+<br />
1,<br />
deci<br />
x→∞<br />
x<br />
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞<br />
x−1<br />
a = 3.<br />
2<br />
x + 3x+ 1<br />
Funcţia este f( x) = , x∈R<br />
\{1}<br />
x−1<br />
S9. Soluţie<br />
Fie ABCD dreptunghiul înscris în cercul de centru O şi rază R.<br />
Notăm x lungimea laturii AD, cu x∈ [ 0,<br />
2R]<br />
. (fig. 1)<br />
Rezultă că AB =<br />
2 2<br />
4R − x , deci perimetrul dreptunghiului<br />
ABCD este dat de relaţia f ( x)<br />
= 2⎜⎛<br />
x +<br />
⎝<br />
Se obţine că:<br />
2 2<br />
4R<br />
− x ⎟⎞ .<br />
⎠<br />
⎛<br />
f ′ ( x) = 2⎜1− ⎝<br />
x ⎞<br />
⎟=<br />
2<br />
2 2<br />
4R −x ⎠<br />
2 2<br />
4R<br />
−x −x<br />
, x∈[0,2 R)<br />
.<br />
2 2<br />
4R<br />
−x<br />
Determinăm punctele de extrem ale funcţiei f.<br />
Avem tabelul:<br />
x 0 R 2 2R<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – –<br />
f (x) 4R 0 M 1 4R<br />
Rezultă că x = R 2 este punct de maxim şi se obţine că AB = R 2 , deci ABCD este un pătrat.<br />
S10. Soluţie<br />
Fie ABCD un dreptunghi de arie S.<br />
Notăm cu x lungimea laturii AD (fig. 2).<br />
S<br />
Obţinem că x ⋅ AB = S , deci AB = ,<br />
x<br />
⎛ S ⎞<br />
iar perimetrul dreptunghiului este f( x) = 2 ⎜x+ ⎟,<br />
x><br />
0.<br />
⎝ x ⎠<br />
234<br />
A<br />
x<br />
O<br />
R<br />
B C<br />
A<br />
x<br />
Figura 1<br />
S<br />
D<br />
D<br />
B C<br />
Figura 2
⎛ S ⎞<br />
Avem f ′ ( x)<br />
= 2⎜1<br />
− ⎟ şi rezultă tabelul de monotonie:<br />
2<br />
⎝ x ⎠<br />
x 0 S + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + +<br />
f (x) 1 m 0 ∞<br />
Rezultă că x = S este punci de minim şi AB =<br />
S<br />
=<br />
S<br />
S .<br />
Aşadar, patrulaterul ABCD este pătrat.<br />
S11. Soluţie<br />
Fie O mijlocul bazei [BC] a triunghiului ABC.<br />
3P − 2x<br />
Notăm x = OB. Rezultă că AB = .<br />
2<br />
Prin rotaţie în jurul bazei [BC] se obţine un corp format din<br />
două conuri cu aceeaşi bază (fig. 3).<br />
Înălţimea conului este x, iar raza sa este<br />
2<br />
2 2 ⎛ 3P<br />
⎞ 2<br />
= AB − x = − x x .<br />
OA ⎜ ⎟ −<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Volumul corpului este<br />
πRh 2π 2π ⎛3P⎞ f ( x) = 2⋅<br />
= OA⋅ x= x⋅ ⎜ −x⎟ −x<br />
3 3 3 ⎝ 2 ⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
2π Aşadar f′ ( x) =<br />
⎜<br />
3 ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
9p −3Px− 4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
3Px ⎟ π<br />
=<br />
2<br />
9P ⎟ 6<br />
−3Px ⎟<br />
4 ⎠<br />
9 P( P−2 x)<br />
.<br />
2<br />
9P<br />
−3Px<br />
4<br />
Tabelul de monotonie este:<br />
x 0<br />
P<br />
2<br />
3P<br />
2<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – –<br />
f (x) 0 M 1<br />
Punctul de maxim pentru f(x) este<br />
echilateral.<br />
A<br />
x x<br />
B C<br />
O<br />
P<br />
x = când BC = P, AB = AC = P, deci triunghiul ABC este<br />
2<br />
S12. Soluţie<br />
a) Funcţia f este derivabilă pe In, deci i se poate aplica teorema lui Lagrange.<br />
b) Avem că există cn ∈( n,<br />
n + 1)<br />
, cu proprietatea că f ′ ( cn<br />
) = f ( n + 1)<br />
− f ( n)<br />
şi se obţine că:<br />
1<br />
1<br />
= ln ( n + 1)<br />
− ln n , deci cn = .<br />
ln ( n + 1)<br />
− ln n<br />
c n<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
1 1 1<br />
c) Deoarece cn ∈( n,<br />
n + 1)<br />
rezultă că ∈⎜<br />
, ⎟ şi astfel < < deci<br />
cn ⎝ n + 1 n ⎠ n + 1 cn<br />
n<br />
1 1<br />
*<br />
< ln ( n+ 1) − ln n< , ∀n∈N (1)<br />
n+ 1<br />
n<br />
235<br />
2<br />
2<br />
Figura 3<br />
.
d) În relaţia (1) dăm lui n valori şi rezultă că avem:<br />
1<br />
1<br />
< ln 2 − ln1<br />
<<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
< ln 3 − ln 2 <<br />
3<br />
2<br />
...................................<br />
1<br />
1<br />
< ln ( n + 1)<br />
− ln n <<br />
n + 1<br />
n<br />
Prin adunarea acestor inegalităţi obţinem, după reduceri:<br />
1<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
Aşadar +<br />
+ + ... > ln ( n + 1)<br />
> ln n<br />
1 2 3 n<br />
1 1 1<br />
1 1 1<br />
+ + ... + < ln ( n + 1)<br />
< + + ... +<br />
3 n n + 1<br />
1 2 n<br />
236
4.2. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie<br />
Se stabileşte semnul derivatei a doua a funcţiei f.<br />
a) D= R, f′ ( x) = 2x− 3, f ′ ( x) = 2, x∈R.<br />
Rezultă că funcţia f este convexă pe R .<br />
b) D= R, f′ ( x) =− 6x+ 6, f ′ ( x) =− 6< 0, x∈R.<br />
Rezultă că funcţia f este concavă pe R .<br />
c)<br />
= R ′ = − ′ = ∈R.<br />
2<br />
D , f ( x) 3x 12, f ( x) 6 x, x<br />
Tabelul de convexitate:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – –<br />
f (x)<br />
0 + + + + +<br />
2<br />
d) D= R, f′ ( x) = 6x− 6 x , f ′ ( x) = 6−12 x, x∈R.<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞<br />
1<br />
2<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + +<br />
f (x)<br />
0 – – – – –<br />
3<br />
D= R \{ − 3}, f′ ( x) =<br />
( x+ 3)<br />
−6<br />
, f ′ ( x) =<br />
( x+<br />
3)<br />
, x∈D. Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ –3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + | – – – – –<br />
f (x) |<br />
e) 2 3<br />
2<br />
4−x 2<br />
2 x( x −12)<br />
2 2 2 3<br />
f) D= R, f′ ( x) =<br />
( x<br />
Rezultă tabelul:<br />
+ 4)<br />
, f ′ ( x) =<br />
( x + 4)<br />
, x∈R.<br />
x – ∞ – 12 0 12 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – –<br />
f (x)<br />
0 + + + 0 – – – – 0 + + + +<br />
3<br />
1−2x 2 3<br />
6 x ( x −2)<br />
3 2 3 3<br />
g) D= R \{ − 1}, f′ ( x) =<br />
( x + 1)<br />
Se obţine tabelul:<br />
, f ′ ( x) =<br />
( x + 1)<br />
, x∈D. x – ∞ –1 0 3<br />
2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
f (x)<br />
+ + + + | – – – 0 – – – 0 + + + +<br />
237
2 −x 2 −x<br />
h) D= R, f′ ( x) = (2 x− x ) e , f ′ ( x) = (2− 4 x+ x ) e , x∈R<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ 2 − 2<br />
2 + 2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + +<br />
f (x)<br />
0 – – – – – – 0 + + + +<br />
1<br />
i) D = ( 0,<br />
+ ∞),<br />
f ′ ( x)<br />
= ln x + 1,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= , x∈<br />
( 0,<br />
+ ∞)<br />
.<br />
x<br />
Funcţia este convexă pe D.<br />
2 2 3 2<br />
1 2<br />
2 x ( x + 1) − 1 2 x ( x + 2)<br />
j) D= R, f′ ( x) = 2 + x , f ′ ( x) = 2x− 2 2 = 2 x 2 2 = 2 , x∈R<br />
x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – –<br />
f (x)<br />
0 + + + + +<br />
E2. Soluţii<br />
2<br />
a) D= R, f′ ( x) = 3 x , f ′ ( x) = 6 x, x∈R.<br />
Avem tabelul:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – 0 + + + + +<br />
f (x) i<br />
Punctul x = 0 este punct de inflexiune.<br />
3 2 2<br />
b) D= R, f′ ( x) = 4x − 12 x , f ′ ( x) = 12x −24 x, x∈R.<br />
x – ∞ 0 2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – – – 0 + + + +<br />
f (x) i<br />
Punctele de inflexiune sunt x = 0 şi x = 2 .<br />
i<br />
c)<br />
= R ′ = − + − ′ = − + ∈R.<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ 1 3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – – – 0 + + + +<br />
f (x) i i<br />
2 −x −x<br />
2<br />
D , f ( x) ( x 2x 1) e , f ( x) e ( x 4x 3), x<br />
2<br />
− 2x 6x + 2)<br />
d) D= R \{ − 1,1}, f′ ( x) = 2 2 , f ′ ( x) = 2 3 , x∈D. ( x −1) ( x −1)<br />
Rezultă tabelul:<br />
x – ∞ –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + | – – – – – – | + + + +<br />
f (x) | |<br />
Funcţia nu are puncte de inflexiune.<br />
238
2x 2<br />
2(1 −x<br />
)<br />
2 2 2<br />
e) D= R, f′ ( x) =<br />
x<br />
Se obţine tabelul:<br />
, f ′ ( x) =<br />
+ 1 ( x + 1)<br />
, x∈R.<br />
x – ∞ –1 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + 0 – – – – – –<br />
f (x) i i<br />
2 2<br />
2 −x f) D= R, f′ ( x) = (1− 2 x ) e<br />
Se obţine tabelul:<br />
−x<br />
, f ′ ( x) = e<br />
3<br />
(4x −6 x), x∈R.<br />
x – ∞ − 3<br />
0 3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +<br />
f (x) i i i<br />
−1<br />
2 x)<br />
g) D= R \{0}, f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 2 2 , x∈D. x + 1 ( x + 1)<br />
Se obţine tabelul:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – 0 + + + + +<br />
f (x) i<br />
h) D= R, f′ ( x) = sin 2 x, f ′ ( x) = 2cos 2 x, x∈R.<br />
⎧ π ⎫<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 , adică cos 2x = 0, are soluţiile x∈ ⎨± + kπ k∈Z<br />
⎬.<br />
Alcătuim tabelul de<br />
⎩ 4 ⎭<br />
semn pentru a doua derivată:<br />
x – ∞<br />
5π<br />
. . . . . −<br />
4<br />
3π<br />
−<br />
4<br />
π<br />
−<br />
4<br />
π<br />
4<br />
3π<br />
4<br />
5π<br />
4<br />
7π<br />
. . .<br />
4<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + +<br />
f (x) i i i i i i i<br />
π<br />
Punctele de inflexiune sunt xk =± + kπ, k ∈ Z .<br />
4<br />
E3. Soluţii<br />
⎧2x<br />
− 3,<br />
x ≤1<br />
⎧2,<br />
x < 1<br />
a) Se obţine f ′ ( x)<br />
= ⎨ , f ′<br />
( x)<br />
= ⎨ . Rezultă că funcţia este convexă pe fiecare<br />
⎩4x<br />
− 5,<br />
x > 1 ⎩4,<br />
x > 1<br />
din intervalele (–∞, 1) şi (1, ). Nu există puncte de inflexiune.<br />
2 ⎧3x<br />
+ 1,<br />
x < 0<br />
⎧6x,<br />
x < 0<br />
⎪<br />
⎪<br />
b) Se obţine f ′ ( x)<br />
= ⎨ 2x<br />
, ′<br />
2<br />
f ( x)<br />
= ⎨2(<br />
1 − x ) .<br />
⎪1<br />
+ , x > 0<br />
2<br />
⎪ , x > 0<br />
2 2<br />
⎩ x + 1<br />
⎩(<br />
x + 1)<br />
Tabelul de semn pentru a doua derivată este:<br />
x – ∞ 0 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – | + + + + 0 – – – – – –<br />
f (x) i<br />
Punct de inflexiune este x = 1;<br />
punctul x = 0 nu este de inflexiune deoarece f nu este<br />
continuă în x 0 = 0 .<br />
239
x<br />
x<br />
⎧(<br />
x + 1)<br />
e , x ≤ 0 ⎧(<br />
x + 1)<br />
e , x ≤ 0<br />
c) Se obţine f ′ ( x)<br />
= ⎨<br />
, f ′<br />
( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩2x<br />
+ 1,<br />
x > 0 ⎩2,<br />
x > 0<br />
Tabelul de semn pentru f ′ (x)<br />
este:<br />
x – ∞ –2 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + + + + + + + +<br />
f (x) i<br />
Sinteză<br />
S1. Soluţii:<br />
3 2<br />
a) D= R, f′ ( x) = 4x − 8 x, f ′ ( x) = 12x −8, x∈R.<br />
Se obţine tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ − 2<br />
6<br />
− 0<br />
3<br />
240<br />
6<br />
3<br />
2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – 0 + + + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + +<br />
f (x) 1 m 0 M 1 m 0<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + 0<br />
i<br />
– – – – – 0<br />
i<br />
+ + + + + + + + +<br />
2<br />
−x − 4x+ 8 −24<br />
b) D= R \{ − 2}, f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 3 , x∈D. ( x+ 2) ( x+<br />
2)<br />
Se obţine tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ −2− 12 –2 − 2+ 12<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – – – 0 + + + + + | + + 0 – – – – – – – – – –<br />
f (x) 1 m 0 | 0 M 1<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + + + + + + | – – – – – – – – – – – –<br />
c). D=− [ 1,1], f′ ( x) = 1 −<br />
Tabelul de variaţie:<br />
1<br />
2<br />
1 −x x<br />
, f ′ ( x) =−<br />
2 2<br />
(1 −x ) 1−x<br />
, x∈−<br />
( 1,1)<br />
x – 1 0 1<br />
f ′ (x)<br />
(– ∞) – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – – – – – – – – ( – )<br />
f (x) 1 1 1 0 1 1 1<br />
f ′<br />
(x)<br />
+ + + + + + + + + + + + 0<br />
i<br />
– – – – – – – – – – – – – –<br />
x<br />
1<br />
d) D= R, f′ ( x) = 1 + , f ′ ( x) = , x∈R.<br />
2 2 2<br />
x + 1 ( x + 1) x + 1<br />
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 0 0 0<br />
f ′<br />
(x)<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
2 x x 3<br />
e) D= R, f′ ( x) = ( x + x+ 1) e , f ′ ( x) = e ( x + 3x+ 2), x∈R.<br />
Rezultă tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ –2 –1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 0 0 0 0<br />
f ′<br />
(x)<br />
+ + + + + + + + + 0<br />
i<br />
– – – – – 0<br />
i<br />
+ + + + + + + + +<br />
2<br />
f) D = ( 0,<br />
+ ∞),<br />
f ′ ( x)<br />
= x ( 3ln<br />
x + 1),<br />
f ′<br />
( x)<br />
= x(<br />
6ln<br />
x + 5),<br />
x∈<br />
( 0,<br />
+ ∞)<br />
.<br />
Rezultă tabelul de variaţie:<br />
5<br />
x 0 −<br />
e 6<br />
e<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – 0 + + + + +<br />
f (x)<br />
f ′<br />
(x)<br />
1 1 1 1 m 0 0<br />
– – – – – – – 0 + + + + + +<br />
i<br />
241<br />
1<br />
−<br />
3<br />
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +<br />
S2. Soluţie<br />
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .<br />
x 2 x 2<br />
Se obţine: f′ ( x) = e [ x + ( a+ 2) x+ a+ b], f ′ ( x) = e [ x + ( a+ 4) x+ 2a+ b+ 2], x∈R<br />
.<br />
Condiţiile f ′ ( 1)<br />
= 0,<br />
f ′<br />
( −2)<br />
= 0 conduc la sistemul de ecuaţii:<br />
⎧2a<br />
+ b = −3<br />
5<br />
⎨ , cu soluţia a = − , b = 2 .<br />
⎩b<br />
= 2<br />
2<br />
1 2<br />
x<br />
Rezultă că f ( x) = (2x − 5x+ 4) e ,<br />
2<br />
⎛ x 2 x 1⎞ 1 2<br />
x<br />
f ′ ( x) = e ⎜x − − ⎟=<br />
(2x −x−1) e ,<br />
⎝ 2 2⎠ 2<br />
1 2<br />
x<br />
f ′ ( x) = (2x + 3x−2) e ,<br />
2<br />
x∈R<br />
.<br />
b) Avem tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ –2<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 M 1 1 m 0<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – 0 + + + + + + + + +<br />
i<br />
i<br />
S3. Soluţie<br />
Funcţia este de două ori derivabilă pe R .<br />
4 2 3<br />
Avem: f′ ( x) = 5x + 3ax + 85, f ′ ( x) = 20x + 6 ax, x∈R<br />
.<br />
Condiţia f ′<br />
( −3)<br />
= 0 conduce la a = −30<br />
.<br />
4 2 3<br />
Rezultă că f′ ( x) = 5x − 90x + 85, f ′ ( x) = 20x −180 x, x∈R<br />
.<br />
• Rezolvăm ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 .<br />
Notând x 2 = y obţinem 5 90 85 0<br />
2<br />
y − y + = , de unde y = 1, y = 17 şi se obţine x ∈ { ± 1, ± 17 } .<br />
• Rezolvăm ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 .<br />
Se obţine că 20 180 0<br />
3<br />
2<br />
x − x = sau 20x<br />
( x − 9)<br />
= 0 , cu soluţiile x ∈{ 0, − 3, 3}<br />
.<br />
Se obţine tabelul de variaţie:
x – ∞ − 17 –3 –1 0 1 3 17 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + 0 – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + +<br />
f (x) 0 M 1 m 0 M 1 m 0<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – –<br />
0<br />
i<br />
+ + 0<br />
i<br />
242<br />
– – – – 0<br />
i<br />
+ + + + +<br />
S4. Soluţie<br />
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .<br />
Se obţine:<br />
( ) 2<br />
b<br />
− 2bx<br />
f ′ ( x)<br />
= a + , f ′<br />
( x)<br />
= , x R .<br />
2<br />
x + 1<br />
2<br />
x + 1<br />
b 2b<br />
Din condiţiile date se obţin relaţiile: a + = 2,<br />
= 1,<br />
deci b = 2, a = 1.<br />
2 4<br />
b) Rezultă că f(x) = x + 2 arctg x,<br />
( ) ,<br />
2<br />
− 4x<br />
f ′ ( x)<br />
= 1 + , f ′′ ( x)<br />
= x R .<br />
2<br />
2<br />
x + 1<br />
2<br />
x + 1<br />
Rezultă tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + + + + + +<br />
f (x) 0 0 0 0 0 0<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + 0<br />
i<br />
– – – – – –<br />
S5. Soluţie<br />
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .<br />
2 2<br />
3 2<br />
a − x<br />
2x<br />
− 6a<br />
x<br />
Se obţine: f ′ ( x)<br />
= , f ′<br />
( x)<br />
=<br />
, x R .<br />
2 2 2<br />
2 2 3<br />
( x + a ) ( x + a )<br />
3 2<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 conduce la 2x<br />
− 6a<br />
x = 0 , cu soluţiile x∈ { 0, ± a 3}<br />
.<br />
Ecuaţia tangentei la grafic în x 0 = a 3 este: y − f ( a 3) = f ′ ( a 3)<br />
⋅ ( x − a 3)<br />
.<br />
Deoarece f ( a<br />
3<br />
3)<br />
= , f ′ ( a<br />
4a<br />
1<br />
3)<br />
= − , se obţine ecuaţia tangentei:<br />
2<br />
8a<br />
x 3 3<br />
y =− 2 + .<br />
8a 8a<br />
3<br />
Identificând cu ecuaţia dată y = −x<br />
+ se obţine că<br />
8<br />
3 3 3 1 1<br />
= şi 2 8a<br />
8 8 24<br />
= , deci a =<br />
a<br />
b)<br />
( ) ( )<br />
3 .<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
x<br />
3 − x<br />
2x<br />
−18x<br />
f ( x)<br />
= , f ′ ( x)<br />
= , f ′<br />
( x)<br />
= , x R .<br />
2<br />
2 2<br />
x + 3<br />
2<br />
x + 3<br />
x + 3<br />
Rezultă tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ –3 − 3 0 3 3 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – 0 + + + 0 – – – – – – –<br />
f (x) m M<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – 0 + + 0 – – 0 + + + + +<br />
i<br />
i<br />
i
4.3 Reprezentarea grafică a funcţiilor<br />
Exersare<br />
E1. Soluţie<br />
Funcţiile sunt de două ori derivabile pe D.<br />
a) Domeniul de definiţie: D ∈R .<br />
3 2<br />
Se obţine că lim f ( x)<br />
= lim ( x − 3x<br />
) = −∞,<br />
lim f ( x)<br />
= +∞<br />
x→−∞<br />
x→−∞<br />
x→∞<br />
Asimptote. Funcţia este polinomială şi nu are asimptote.<br />
Intersecţia cu axele de coordonate<br />
3<br />
Ecuaţia f(x) = 0 este x − 3x= 0 şi are soluţiile x ∈{<br />
0,<br />
3}<br />
.<br />
Graficul intersectează Ox în O(0, 0) şi A(3, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
Se obţine: f ′ ( x)<br />
= 3x<br />
− 6x,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= 6x<br />
− 6 , x ∈R .<br />
Rezultă că f′ ( x) = 0 ⇒x∈ {0,2}, iar f ′ ( x) = 0⇒ x=<br />
1.<br />
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ 0 1 2 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + + +<br />
f (x) – ∞ 0<br />
M<br />
(0)<br />
1 1 1<br />
(– 4)<br />
m<br />
0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – – – 0<br />
i(– 2)<br />
+ + + + + + + +<br />
Graficul funcţiei:<br />
−2<br />
y<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
b) D ∈R . lim f( x) =+∞ , lim f( x)<br />
=−∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Intersecţia cu axele: A(0, 8) şi B(2, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
Avem: f ′ ( x)<br />
= −3x<br />
, f ′<br />
( x)<br />
= −6x<br />
, x ∈R .<br />
i<br />
243<br />
1 2<br />
x
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – 0 – – – – – –<br />
f (x) 1 1 1 8 1 1 1<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + +<br />
Graficul funcţiei:<br />
y<br />
0<br />
i(8)<br />
– – – – – – – – – – –<br />
i<br />
0<br />
8<br />
244<br />
1 2<br />
c) D ∈R . lim f( x) =+∞ , lim f( x)<br />
=−∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A 3 ⎛ ⎞<br />
⎜ ,0⎟<br />
⎝2⎠ .<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
Avem: f ′ ( x)<br />
= −6x<br />
Tabelul de variaţie:<br />
+ 6x,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= −12x<br />
+ 6 , x ∈R .<br />
x – ∞ 0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – 0 + + + + + + 0 – – – –<br />
f (x) + ∞ 1<br />
(0)<br />
m<br />
0 0<br />
M<br />
(1)<br />
1<br />
– ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + 0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
i ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
– – – – – – –<br />
Graficul funcţiei:<br />
y<br />
−2<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
i<br />
M<br />
1<br />
A<br />
x<br />
x
d) D ∈R . lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=+∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A(5, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
4 3<br />
Avem: f ′ ( x)<br />
= 5x<br />
− 20x<br />
,<br />
Tabelul de variaţie:<br />
3 2<br />
f ′′ ( x)<br />
= 20x<br />
− 60x<br />
, x ∈R .<br />
x – ∞ 0 3 4 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + +<br />
f (x) – ∞ 0<br />
M<br />
(0)<br />
1 1<br />
-4 4<br />
m<br />
0<br />
– ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – 0 – – – – – – 0<br />
i<br />
+ + + + + + + + + +<br />
e) D ∈R , lim f( x)<br />
=+∞<br />
x→±∞<br />
Intersecţia cu axa Ox:<br />
4 2<br />
2 2<br />
Ecuaţia f(x) = 0 se scrie x − 5x<br />
+ 4 = 0 sau ( x −1)(<br />
x − 4)<br />
= 0 şi are soluţiile x ∈− { 1,1, − 2,2} .<br />
Graficul intersectează axa Oy în punctul A(0, 4).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
3<br />
2<br />
Se obţine: f ′ ( x)<br />
= 4x<br />
−10x,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= 12x<br />
−10<br />
, x ∈ R .<br />
⎪⎧<br />
10 ⎪⎫<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x ∈⎨0,<br />
± ⎬ , iar<br />
⎪⎩ 2 ⎪⎭<br />
ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x = ±<br />
Tabelul de variaţie:<br />
10<br />
= ±<br />
12<br />
30<br />
.<br />
6<br />
x – ∞ −<br />
10<br />
2<br />
−<br />
30<br />
6<br />
0<br />
30<br />
6<br />
10<br />
2<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – 0 + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +<br />
f (x) + ∞ 1 m 0<br />
M<br />
(4)<br />
1 1 m 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + 0 – – – – – – – 0 + + + + + + + +<br />
i<br />
i<br />
⎛<br />
Punctele de extrem sunt: ⎜−<br />
⎜<br />
⎝<br />
10 9 ⎞<br />
, − ⎟,<br />
( 0,<br />
4)<br />
şi<br />
2 4 ⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜−<br />
⎜<br />
⎝<br />
30 19 ⎞ ⎛<br />
, ⎟,<br />
⎜<br />
6 36 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
30 19 ⎞<br />
, ⎟ .<br />
6 36 ⎟<br />
⎠<br />
Graficul funcţiei este simetric faţă de Oy.<br />
245<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
10 9 ⎞<br />
, − ⎟ , iar cele de inflexiune sunt<br />
2 4 ⎟<br />
⎠
f) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=+∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Intersecţia cu axele de coordonate<br />
Punctul A(0, 5) este intersecţia cu Oy.<br />
3 2<br />
Ecuaţia f ( x)<br />
= 0 se scrie 2x − 3x + 5= 0 sau<br />
3 2<br />
2x<br />
+ 2x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− 5x<br />
+ 5 = 0 ⇒ 2x<br />
( x + 1)<br />
− 5(<br />
x −1)<br />
⇒ ( x + 1)(<br />
2x<br />
− 5x<br />
+ 5)<br />
= 0 , cu soluţia x = –1.<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
f ′ ( x)<br />
= 6x<br />
− 6x,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= 12x<br />
− 6 , x ∈R .<br />
1<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x ∈{<br />
0,<br />
1}<br />
, iar ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţia x = .<br />
2<br />
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ 0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + +<br />
f (x) – ∞ 0 M 1 1 m 0 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – –– – – – 0<br />
i<br />
+ + + + + + + + + + + + +<br />
⎛ 1 9 ⎞<br />
Punctele de extrem sunt: (0, 5) şi (1, 4), iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟ .<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
Graficul funcţiei<br />
y<br />
g) D ∈R , lim f( x)<br />
=−∞<br />
x→±∞<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
M<br />
−1<br />
O<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Intersecţia cu axele<br />
Se obţin punctele A(0, 16), B(–2, 0), C(2, 0).<br />
Funcţia este pară, deci graficul este simetric faţă de Oy.<br />
3<br />
Studiul folosind derivatele: f ′ ( x)<br />
= −4x<br />
,<br />
Tabelul de variaţie:<br />
2<br />
f ′<br />
( x)<br />
= −12x<br />
, x ∈R .<br />
x – ∞ 0 1 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – –<br />
f (x) – ∞ 0 0<br />
M<br />
(16)<br />
1 1 – ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – –<br />
1<br />
246<br />
i<br />
m<br />
x<br />
s
Graficul funcţiei<br />
y<br />
M 16<br />
−2 2<br />
h) D ∈R , lim f( x)<br />
=+∞, funcţia este pară.<br />
x→±∞<br />
O<br />
Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(–1, 0), C(1, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
3<br />
2<br />
f ′ ( x)<br />
= 4x<br />
− 4x,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= 12x<br />
− 4 , x ∈ R . Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)<br />
= 0 sunt x ∈− { 1,0,1} , iar<br />
⎪⎧<br />
ale ecuaţiei f ′ ( x)<br />
= 0 sunt x ∈⎨±<br />
⎪⎩<br />
Tabelul de variaţie:<br />
3 ⎪⎫<br />
⎬ .<br />
3 ⎪⎭<br />
x – ∞ –1 −<br />
3<br />
3<br />
0<br />
3<br />
3<br />
1<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – 0 + + + + + + 0 – – – – – 0 + + + +<br />
f (x) + ∞ 1 m 0 M 1 m 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + +<br />
Graficul funcţiei<br />
+ + 0 – –<br />
i<br />
y<br />
i<br />
1 M<br />
i<br />
m m<br />
−2 −1 O 1 2<br />
247<br />
x<br />
– – – – – 0 +<br />
i<br />
⎛<br />
Punctele de extrem sunt: (–1, 0), (0, 1), (1,0), iar cele de inflexiune: ⎜−<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
+ + + + + + +<br />
3 4 ⎞ ⎛<br />
, ⎟,<br />
⎜<br />
3 9 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
3 4 ⎞<br />
, ⎟ .<br />
3 9 ⎟<br />
⎠
i) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=+∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(1, 0), C(–1, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
3 2<br />
f ( x)<br />
= x − x − x + 1,<br />
2<br />
f ′ ( x)<br />
= 3x<br />
− 2x<br />
−1,<br />
f ′<br />
( x)<br />
= 6x<br />
− 2 , x ∈R .<br />
1<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x ∈{<br />
0,<br />
1}<br />
, iar ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţia x = .<br />
2<br />
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞<br />
1<br />
−<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + + + + +<br />
f (x) – ∞ 0 0 M 1 m 0 0 + ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – – – – – –<br />
0<br />
i<br />
248<br />
+ + + + + + + + + – – –<br />
⎛ 1 32 ⎞<br />
⎛ 1 16 ⎞<br />
Punctele de extrem sunt: ⎜−<br />
, ⎟,<br />
( 1,<br />
0)<br />
, iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟⎠ .<br />
⎝ 3 27 ⎠<br />
⎝ 3 27<br />
Graficul funcţiei<br />
j) D ∈R , lim f( x)<br />
=−∞.<br />
x→±∞<br />
−1<br />
−1<br />
3<br />
M<br />
y<br />
Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
3 4<br />
f ( x)<br />
= x − x ,<br />
2 3<br />
2<br />
f ′ ( x)<br />
= 3x<br />
− 4x<br />
, f ′<br />
( x)<br />
= 6x<br />
−12x<br />
, x ∈ R .<br />
Tabelul de variaţie:<br />
x – ∞ 0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
+ ∞<br />
f ′ (x)<br />
+ + + + + + + + 0 + + + + + 0 – – – – – – – – – – –<br />
f (x) – ∞ 0 0 0 M 1 1 1 – ∞<br />
f ′ (x)<br />
– – – – – –<br />
– – 0 + +<br />
i<br />
0<br />
i<br />
1<br />
i<br />
1<br />
3<br />
m<br />
1<br />
x<br />
– – – – – – – – – – – –
⎛3 27 ⎞<br />
⎛1 1 ⎞<br />
Punctele de extrem: ⎜ , ⎟iar<br />
de inflexiune (0, 0) şi ⎜ , ⎟<br />
⎝4256⎠ ⎝2 16⎠<br />
.<br />
Graficul funcţiei<br />
y<br />
k) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)<br />
=−∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
O<br />
i<br />
Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0).<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
f ′ ( x) = ( 1−x) ( 1− 4 x) , f ′ ( x) = 2( x−1)( 3− 6x) = 6( x−1)( 1− 2x)<br />
, x ∈R .<br />
⎧ 1⎫<br />
⎧1 ⎫<br />
Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)<br />
= 0 sunt x ∈⎨1, ⎬,<br />
iar ale ecuaţiei f ′ ( x)<br />
= 0 sunt x ∈⎨ ,1⎬.<br />
⎩ 4⎭<br />
⎩2⎭ Tabele de variaţie<br />
i<br />
x<br />
−∞ 1<br />
4 1<br />
1 +∞<br />
2<br />
f ′ ( x ) + + + + + + + + 0 – – – – 0 – – –<br />
f(x) −∞ M – ∞<br />
f ′′ ( x)<br />
– – – – – – – – – – – – 0 + + 0 – – – –<br />
i i<br />
Punctele de extrem:<br />
1 27 ( , )<br />
Graficul funcţiei:<br />
4 256 iar cele de inflexiune: 1 ( ,<br />
1 ) ,(1,0) .<br />
2 16<br />
y<br />
249<br />
1<br />
2<br />
M i<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
M<br />
3<br />
4<br />
i<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x
E2. Soluţie<br />
a) D= R \{ − 1}, lim f ( x) = 1, lim f ( x)<br />
= 1.<br />
x→−∞ x→−∞<br />
Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞ şi la −∞ .<br />
Asimptotele funcţiei<br />
Avem<br />
x−1<br />
f ( −− 1 0) = lim =<br />
−2<br />
=+∞şi<br />
lim f ( x)<br />
=−∞.<br />
x+<br />
1 0<br />
x→−1<br />
x−1<br />
Dreapta x = –1 este asimptotă verticală bilaterală.<br />
Intersecţie cu axele: A(0, –1), B(1, 0)<br />
Studiul folosind derivatele f ′ ( x) =<br />
2<br />
, f ′′ ( x) =<br />
−4<br />
, x∈D. 2 3<br />
( x+ 1) ( x+<br />
1)<br />
Tabelul de variaţie<br />
Graficul<br />
x −∞ –1 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + | + + + + +<br />
f(x) 1 +∞ | −∞ 1<br />
f ′′ ( x)<br />
+ + + + | – – – – –<br />
–1<br />
c) D= R ,lim f ( x)<br />
= 0.<br />
Dreapta y = 0 este asimptotă la −∞ şi la +∞.<br />
x→±∞<br />
1<br />
y<br />
–1<br />
1<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
f′ ( x) =<br />
1−x , 2 2<br />
( x + 1)<br />
3<br />
f ′ ( x) =<br />
2x −6x<br />
, x∈R<br />
.<br />
2 3<br />
( x + 1)<br />
Ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x ∈− { 1,1} iar f ′′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x ∈ {0, +<br />
Tabelul de variaţie<br />
3, − 3} .<br />
x −∞ − 3 –1 0 1 3 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + + 0 – – – –<br />
f(x) m M <br />
f ′′ ( x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + +<br />
i i i<br />
250<br />
x
Punctele de extrem sunt ( − 1,<br />
−1<br />
1 ) , ( 1, )<br />
2 2<br />
⎛<br />
iar cele de inflexiune: ⎜− ⎝<br />
3⎞ ⎛<br />
3, − ⎟, (0, 0), ⎜<br />
4 ⎠ ⎝<br />
3,<br />
3⎞<br />
⎟<br />
4 ⎠ .<br />
Graficul funcţiei<br />
Graficul funcţiei este simetric în raport cu punctul 0.<br />
–<br />
i<br />
3<br />
–1<br />
m<br />
d) D= R ,lim f ( x)<br />
= 1,<br />
deci y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi +∞.<br />
x→±∞<br />
Studiul folosind derivatele:<br />
2<br />
f′ ( x) =<br />
2x , f ′ ( x) = 2<br />
1−3x , x∈R<br />
.<br />
2 2 2 3<br />
( x + 1) ( x + 1)<br />
Tabelul de variaţie<br />
Graficul funcţiei<br />
1<br />
2<br />
x<br />
3<br />
−∞ − 0<br />
3<br />
3<br />
3 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – – – 0 + + + + + + + +<br />
f(x) 1 1 0<br />
<br />
4 m <br />
1<br />
1<br />
4<br />
f ′′ ( x)<br />
– – – – 0 + + + + 0 – – – – – –<br />
i i<br />
Graficul este simetric faţă de Oy, deoarece funcţia f este pară.<br />
i<br />
3<br />
3<br />
y<br />
y<br />
C<br />
251<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
i<br />
3<br />
3<br />
M<br />
1<br />
i<br />
3<br />
x<br />
x
e) D= R \{ − 1,1}, lim f ( x) = 0, lim f ( x)<br />
= 0.<br />
x→∞ x→−∞<br />
Rezultă că y = 0 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.<br />
Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale.<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
2<br />
2 ( 5)<br />
( )<br />
1 3x<br />
x x +<br />
f ′ x =<br />
− −<br />
, f ′′ ( x) = , x∈D 2 2 2 3<br />
( x −1) ( x −1)<br />
Tabelul de variaţie<br />
x −∞ –1 0 1 −∞<br />
f ′ ( x ) – – – | – – – – – – | – – – – – –<br />
f(x) 0 −∞ | +∞ −∞ | +∞ 0<br />
f ′′ ( x)<br />
– – – – | – – – 0 + + + + | + + + + + +<br />
i<br />
Graficul funcţiei<br />
y<br />
f) D= R \{–1,1}, lim f ( x) =−∞ , lim f ( x)<br />
=+∞<br />
x→−∞ x→∞<br />
Intersecţiile cu axele de coordonate: O(0, 0)<br />
Asimptote<br />
Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale<br />
f ( x) 2 3<br />
lim lim<br />
x ⎛<br />
1, lim<br />
x ⎞<br />
m= = = n= ⎜ −x⎟= lim<br />
x<br />
= 0 .<br />
x→±∞ x<br />
2 2 2<br />
x →±∞ x −1 x→±∞⎝x −1 ⎠ x→±∞<br />
x −1<br />
Rezultă că dreapta y = x este asimptotă oblică spre −∞ şi spre +∞.<br />
Studiul folosind derivatele<br />
4 2<br />
Avem f ′ ( x) =<br />
x −3x<br />
, x∈D. 2 2<br />
( x −1)<br />
Tabelul de variaţie<br />
x −∞ − 3 –1 0 1 3 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + 0 – – | – – 0 – – | – – 0 + + +<br />
f(x)<br />
3 3<br />
3 3<br />
−∞ − −∞ | +∞ | +∞ − +∞<br />
2<br />
2<br />
M m<br />
0<br />
252<br />
1<br />
x<br />
.
Graficul<br />
E3. Soluţie:<br />
a) D= [0, +∞ ),lim f ( x)<br />
=+∞.<br />
x→∞<br />
M<br />
Intersecţia cu axele O(0, 0)<br />
Studiul folosind derivatele<br />
f′ ( x) =<br />
3<br />
x, f ′ ( x) =<br />
3<br />
, x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
2 4 x<br />
Funcţia nu este de două ori derivabilă în x = 0 şi f ′ (0) = fd′<br />
(0) =+∞.<br />
Tabelul de variaţie<br />
Punctul x = 0 este punct de minim local.<br />
Graficul<br />
y<br />
x 0 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + + + + + +<br />
f(x) 0 +∞<br />
f ′′ ( x)<br />
| + + + + + + + + +<br />
1<br />
y<br />
0<br />
i<br />
1<br />
253<br />
1<br />
m<br />
x<br />
x
) D= R , lim f( x) =+∞ , lim f( x)<br />
=+∞.<br />
x→+∞ x→−∞<br />
Punctul de intersecţie cu axele A(0, 1).<br />
Asimptotele oblice:<br />
2<br />
f( x) x + 1<br />
2<br />
m=<br />
lim = lim = 1,<br />
n= lim ( x + 1− x<br />
1<br />
) = lim = 0 .<br />
x→∞ x x→∞<br />
x<br />
x→∞ x→∞<br />
2<br />
x + 1+<br />
x<br />
Dreapta y = x este asimptotă oblică spre +∞.<br />
Analog y = –x este asimptotă la −∞ .<br />
Studiul folosind derivatele<br />
f ′ ( x) =<br />
x<br />
, f ′′ ( x) =<br />
1<br />
, x∈Z<br />
2 2 2<br />
x + 1 ( x + 1) x + 1<br />
Tabelul de variaţie<br />
Graficul<br />
x −∞ 0 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – – 0 + + + + +<br />
f(x)<br />
+∞ (1)<br />
+∞<br />
m<br />
f ′′ ( x ) + + + + + + + + +<br />
c) D= ( −∞, − 1] ∪ [1, +∞ ), lim f ( x)<br />
=+∞.<br />
y = –x y = x<br />
x→±∞<br />
Intersecţiile cu axele. A(1, 0), B(–1, 0)<br />
Asimptote oblice<br />
f ( x) m = lim = lim<br />
x→−∞ x x→−∞ 2<br />
x −1 = lim −<br />
x x→−∞<br />
2<br />
x −1<br />
=− 1<br />
2<br />
x<br />
n= lim (<br />
x→−∞ 2<br />
x − 1 + x)<br />
= lim<br />
x→−∞<br />
−1<br />
= 0 .<br />
2<br />
x −1−x Rezultă că dreapta y = –x este asimptotă oblică spre −∞ .<br />
Analog rezultă că y = x este asimptotă oblică spre +∞ .<br />
Studiul folosind derivatele<br />
f ′ ( x) =<br />
x<br />
, f ′′ ( x) =<br />
−1<br />
, x∈(<br />
−∞, − 1) ∪ (1, +∞)<br />
.<br />
2 2 2<br />
x −1 ( x −1) x −1<br />
Se obţine că f ′ ( − 1) =−∞ , f ′ (1) =+∞.<br />
s d<br />
0<br />
254<br />
y<br />
1<br />
x
Tabelul de variaţie<br />
x −∞ –1 1 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – | | + + +<br />
f(x) +∞ 0 0 +∞<br />
f ′′ ( x )<br />
– – – – – | | + + +<br />
Punctele x = –1 şi x = 1 sunt puncte de minim.<br />
În x = –1 şi x = 1 graficul este tangent dreptelor x = –1, respectiv x = 1.<br />
Graficul<br />
y<br />
y = –x<br />
–1<br />
0<br />
1<br />
255<br />
1<br />
y = x<br />
d) D= R , lim f ( x)<br />
= lim<br />
x<br />
x→−∞ x→−∞ −x e<br />
= lim<br />
1<br />
x→−∞<br />
−x<br />
−e<br />
= 0 . lim f ( x)<br />
=+∞.<br />
x→+∞<br />
Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ .<br />
Studiul folosind derivatele<br />
x<br />
f′ ( x) = ( x+ 1) e ,<br />
x<br />
f ′ ( x) = ( x+ 2) e , x∈R<br />
.<br />
Tabelul de variaţie<br />
Punctele de extrem: ( ) 1<br />
1,<br />
Graficul<br />
x −∞ –2 – 1 0 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – – – 0 + + + + + +<br />
f(x) 0 m +∞<br />
f ′′ ( x)<br />
– – – – – 0 + + + + + + + + +<br />
i<br />
− − şi de inflexiune<br />
⎛<br />
2,<br />
2 ⎞<br />
⎜− − 2 ⎟<br />
e<br />
⎝ e ⎠ .<br />
–2<br />
i<br />
–1<br />
m<br />
y<br />
0<br />
x<br />
x
f)<br />
D= (0, +∞ ), lim f ( x) =+∞ , lim xln x=<br />
0 .<br />
x→∞ x→ 0<br />
x><br />
0<br />
Intersecţia cu axele A(1, 0)<br />
Studiul folosind derivatele<br />
f′ ( x) = lnx+ 1, f ′ ( x) =<br />
1<br />
, x∈<br />
(0, +∞ ) .<br />
x<br />
Tabelul de variaţie<br />
Graficul<br />
x 1<br />
0<br />
e − +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + + + +<br />
f(x)<br />
1<br />
e<br />
0 <br />
m<br />
−<br />
−<br />
+∞<br />
f ′′ ( x)<br />
+ + + + + + + + +<br />
y<br />
0<br />
e –1<br />
e –1<br />
– m<br />
Graficul este tangent axei Oy deoarece f ′ d (0) =−∞.<br />
h) D=−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞ ), lim f ( x)<br />
=+∞.<br />
x→±∞<br />
Asimptote verticale<br />
2 2<br />
lim ln( x − 1) =−∞, lim ln( x − 1) =−∞, deci dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote<br />
x→1 x→−1<br />
x> 1 x
Graficul<br />
–<br />
2<br />
257<br />
y<br />
–1 1<br />
S2. Soluţie<br />
2<br />
Obţinem<br />
x + ax<br />
1= m=<br />
lim<br />
x→∞<br />
x( x−<br />
1)<br />
şi<br />
⎛ 2<br />
1 lim<br />
x ax ⎞<br />
− = n= ⎜<br />
+<br />
−x⎟= lim<br />
ax+ x<br />
= a+<br />
1.<br />
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞<br />
x−1<br />
2<br />
x −2<br />
x<br />
Aşadar a = –2 şi f ( x)<br />
=<br />
x−<br />
1<br />
.<br />
Intersecţiile cu axele de coordonate O(0, 0), A(2, 0)<br />
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2<br />
f ′ ( x) =<br />
x − 2x+ 2<br />
, x∈ D, 2<br />
( x−1) Tabelul de variaţie<br />
f ′ ( x) =<br />
−2<br />
, x∈D 3<br />
( x−1)<br />
Graficul<br />
x −∞ 1 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + | + + + + +<br />
f(x) −∞ +∞ |−∞ +∞<br />
f ′′ ( x)<br />
+ + + + | – – – – –<br />
y<br />
1 2<br />
2<br />
x<br />
x
S3. Soluţie<br />
Funcţia este derivabilă pe Z \{ −1}<br />
şi se obţine<br />
Condiţia f ′ ( − 3) = 0 conduce la a = –3, deci<br />
258<br />
f ′ ( x)<br />
=<br />
f ( x)<br />
=<br />
+ +<br />
( x + 1)<br />
2<br />
x 2 x a<br />
2<br />
+ 2 −3<br />
, etc.<br />
x + 1<br />
2<br />
x x<br />
S4. Soluţie<br />
a) A doua bisectoare a sistemului de coordonate are ecuaţia y = –x, deci are panta m = –1.<br />
Rezultă că panta asimptotei oblice este m = –1. Se obţine:<br />
2<br />
− 1= m = lim<br />
x − 4x+ 3<br />
=<br />
1<br />
, deci a = –1.<br />
x→∞<br />
x( ax + a) a<br />
b) Funcţia f este derivabilă pe D.<br />
2<br />
Se obţine că f ′ ( x) =<br />
ax + bx −3a−12 , x∈D. 2<br />
( ax + 3)<br />
Din condiţie f ′ (0) = 0,<br />
rezultă că a = –4, deci<br />
f ( x)<br />
=<br />
− 4 + 3<br />
.<br />
3−4x 2<br />
x x<br />
S5. Soluţie<br />
Funcţia f este de două ori derivabilă pe Z .<br />
2<br />
Se obţine f ′ ( x) = x + 1− cos x,<br />
f ′′ ( x) = 2x+ sin x, x∈Z<br />
.<br />
Avem: lim f ′′ ( x) =−∞ , lim f ′′ ( x)<br />
=+∞.<br />
x→−∞ x→∞<br />
Notăm g( x) = 2x+ sin x, x∈R<br />
.<br />
Se obţine: g′ ( x) = 2+ cosx > 0, ∀x∈Z deci g este strcit crescătoare pe Z .<br />
Deoarece g(0) = 0, rezultă că x = 0 este singura soluţie a ecuaţiei g(x) = 0.<br />
Asimptotele oblice.<br />
f ( x) Avem m = lim = lim<br />
2x+ sinx<br />
( ) = 2,<br />
n= lim(2 x+ sin x− 2 x) = lim sin x=<br />
nu există.<br />
x→∞ x x→∞x<br />
x→∞ x→∞<br />
Se obţine că g nu are asimptote.<br />
Studiul folosind derivatele<br />
Funcţia g este de două ori derivabilă pe R şi avem g′ ( x) = 2+ cos x, g′′ ( x) =−sin x, x∈Z<br />
Ecuaţia g′ ( x)<br />
= 0 nu are soluţii, iar ecuaţia g′′ ( x)<br />
= 0 are soluţiile x= kπ, k∈Z<br />
.<br />
Tabelul de variaţie<br />
x −∞ –3 –2 – 0 2 3 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + + + + + + + + +<br />
f(x) −∞ +∞<br />
f ′′ ( x)<br />
– – 0 + – 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + +<br />
i i i i i i i<br />
.
Graficul<br />
–3π<br />
–2π<br />
–π<br />
y<br />
259<br />
π 2π<br />
Graficul are o infinitate de puncte de inflexiune de coordonate ( kπ,2 kπ), k∈Z<br />
şi este<br />
simetric în raport cu originea O.<br />
S6. Soluţie<br />
2 2<br />
Derivata funcţiei este f ′ ( x) =<br />
−x − 2ax+<br />
b<br />
, x∈Z<br />
.<br />
2 2 2<br />
( x + b )<br />
Panta tangentei în origine este m= f ′ (0) =<br />
1<br />
şi trebuie să fie egală cu 1.<br />
2<br />
b<br />
2<br />
Se obţine b = 1.<br />
Tangenta are ecuaţia y− f (0) = 1( x−<br />
0) sau y = x+ f (0) .<br />
Rezultă că f(0) = 0. Se obţine<br />
a<br />
= 0 deci a = 0.<br />
2<br />
b<br />
Aşadar f ( x)<br />
=<br />
x<br />
2<br />
x + 1<br />
.<br />
S7. Soluţie<br />
a) Fie x0 ∈ D punctul de tangentă.<br />
y − f ( x ) = f ′ ( x )( x− x ) sau, altfel scrisă :<br />
Tangenta în x0 are ecuaţia 0 0 0<br />
y = f ′ ( x0 ) x+ f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0<br />
) .<br />
⎧ f ′ ( x0)<br />
= 2<br />
Identificând cu ecuaţia dată y =− 2x+ 10 se obţine sistemul ⎨<br />
.<br />
⎩ f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0<br />
) = 10<br />
2<br />
Dar f ′ ( x)<br />
=<br />
ax −2ax −2<br />
. 2<br />
( x −1)<br />
2 2<br />
⎧ax0 −2ax0 − 2=−2( x0<br />
−1)<br />
⎪<br />
Sistemul se scrie: 2<br />
⎨ ax0<br />
+ 2 .<br />
⎪ + 2x0= 10<br />
⎩ x0<br />
−1<br />
Din prima ecuaţia se obţine că x0( x0 − 1)( a+<br />
2) = 0.<br />
Avem cazurile:<br />
• Pentru x0 = 0 din a doua ecuaţie se obţine că –2 = 10, fals.<br />
• Pentru x0 = 2 din a doua ecuaţie rezultă că a = 1.<br />
• Pentru a = –2, din a doua ecuaţie rezultă că x0 = 1, fals.<br />
Aşadar a = 1 şi tangenta este dusă în punctul de abscisă x0 = 2.<br />
b) Funcţia este<br />
2<br />
f ( x)<br />
=<br />
x + 2<br />
, etc.<br />
x − 1<br />
x
Soluţii<br />
Teste de evaluare<br />
Testul 1<br />
1. Soluţie<br />
Funcţia f este derivabilă pe Z .<br />
2<br />
Se obţine că f ′ ( x)<br />
=<br />
−x− 2ax + 1−a<br />
. Din condiţia f ′ (1) = 1 rezultă că a = 0, deci<br />
2 2<br />
( x + x+<br />
1)<br />
2<br />
f ( x)<br />
=<br />
x<br />
, iar f′ ( x) =<br />
1−<br />
x<br />
, x∈Z<br />
.<br />
2<br />
2 2<br />
x + x + 1<br />
( x + x+<br />
1)<br />
Tabelul de monotonie<br />
x −∞ –1 1 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + 0 – – – –<br />
f(x) m M <br />
2. Soluţie<br />
2<br />
a) Condiţia pusă: x + 4x+ m> 0, ∀x∈R .<br />
Rezultă că ∆= 16 - 4m < 0,<br />
deci m∈ (4, +∞ ) .<br />
b) Avem: f ′ ( x)<br />
=<br />
2x+ 4<br />
.<br />
2<br />
x + 4 x+ m<br />
Deoarece f ′ ( − 2) = 0 rezultă că m∈ (4, +∞ ) .<br />
2<br />
2( x + 2)<br />
c) Avem: f ( x) = ln( x + 4xc+ 9), f ′ ( x) = , x∈π.<br />
2<br />
x + 4x+ 9<br />
Tabelul de variaţie.<br />
Punctul de minim x = –2.<br />
x −∞ –2 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – – 0 + + + + +<br />
f(x) m <br />
3. Soluţie<br />
Funcţia este de două ori derivabilă pe Z .<br />
1 2x 1−2x 2<br />
2( x −x−1) 2 2 2 2 2<br />
Avem: f ′ ( x) =<br />
x<br />
−<br />
+ 1 x<br />
=<br />
+ 1 1 + x<br />
, f ′′ ( x)<br />
=<br />
( x + 1)<br />
Tabelul de convexitate<br />
x<br />
1− 5 1+ 5<br />
−∞ +∞<br />
2<br />
2<br />
f ′ ( x)<br />
+ + + + + 0 – – – – 0 + + +<br />
f(x) i i<br />
260<br />
.
1. Soluţie<br />
4<br />
Avem f ′ ( x) = 5 x , x∈Z<br />
.<br />
Semnul derivatei<br />
Punctul x = 0 nu este de extrem.<br />
Testul 2<br />
x −∞ 0 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + + 0 + + + + +<br />
f(x) <br />
2. Soluţie<br />
⎧ −2<br />
, x ∈( −∞, − 1) ∪ (1, +∞)<br />
⎪ 2<br />
x 1<br />
a) f ′<br />
+<br />
( x)<br />
= ⎨ .<br />
⎪ 2<br />
, x ∈( −1,1)<br />
2<br />
⎩ x + 1<br />
Funcţia nu este derivabilă în x ∈{ − 1,1} .<br />
b) Semnul derivatei<br />
x −∞ –1 1 +∞<br />
f ′ ( x ) – – – – – | + + | – – – –<br />
f(x) m M <br />
c) Semitangentele în x = 1, au pantele 1 s 2 d<br />
3. Soluţie<br />
Avem f ′ ( x)<br />
=<br />
+<br />
( x + 1)<br />
2<br />
x 2 x<br />
2<br />
m = f ′ (1) = 1, m = f ′ (1) = 1,<br />
deci m1 · m 2 =− 1.<br />
. Se pune condiţia f′ ( x0)<br />
=− 1.<br />
Se obţine ecuaţia x + 2 x + ( x + 1) = 0 sau 2x 4x 1 0<br />
2 2<br />
0 0 0<br />
261<br />
+ + = cu soluţiile x<br />
− 2± 2<br />
0 { }<br />
2<br />
0 0<br />
∈ .<br />
2
Testul 3.<br />
1. Soluţie<br />
a) Punem condiţia f (2− 0) = f (2+ 0) = f (2) .<br />
Rezultă egalitatea 4+ a= 2a+<br />
b,<br />
deci a + b = 4. Putem lua a =α∈Z şi b = 4 −α.<br />
b) Funcţia f este derivabilă pe Z \{2} .<br />
Studiem derivabilitatea în x 0 = 2 .<br />
Avem f ′ s (2) = 4, f ′ d (2) = a , deci a = 4.<br />
Din continuitate se obţine b = 0.<br />
c) Avem 5 = f (1) = 1+<br />
a deci a = 4.<br />
De asemenea 4 + b= f ′ (3) = a=<br />
4 deci b = 0.<br />
Rezultă că funcţia f este<br />
2<br />
⎧ x + 4, xT<br />
2<br />
f ( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩2<br />
x, x > 2<br />
2. Soluţie<br />
a) Funcţia f este derivabilă pe [0, +∞ ) .<br />
2<br />
Avem f ′ ( x)<br />
=<br />
1<br />
−<br />
4<br />
=<br />
x<br />
x + 1 ( x+ 2) ( x+ 1)( x+<br />
2)<br />
b) Tabelul de monotonie<br />
2 2<br />
x −∞ +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + + + + + + +<br />
f(x) 0 +∞<br />
c) Din monotonia funcţiei f se obţine că x = 0 este punct de minim. Atunci vom avea că<br />
f ( x) U f (0) = 0, ∀x∈ [0, +∞)<br />
deci ln(1 + x) U<br />
2 x<br />
, ∀x∈ [0, +∞)<br />
.<br />
x + 2<br />
3. Soluţie<br />
a) D1 = [2, +∞ ), D2<br />
=Z<br />
b) Funcţia f este derivabilă pe (2, +∞ ) şi f ′ ( x)<br />
=<br />
1<br />
, iar<br />
2 x − 2<br />
2<br />
g este derivabilă pe Z şi ( ) ( 3 5) x<br />
g′ x = x + x− e .<br />
2 x 2<br />
x<br />
( x + x− 6) e 2<br />
c)<br />
0 ( x + 3x−5) e<br />
x<br />
lim = ( ) = lim = lim(2 x−2 ⋅ ( x + 3x− 5) e ) = 0 .<br />
x→2 x−2<br />
0 x→2 1<br />
x→2<br />
x> 2 x> 2 x><br />
2<br />
2 x−2<br />
.<br />
262
Testul 4<br />
a) Funcţia f este de două ori derivabilă pe [0, +∞ ) şi<br />
4<br />
5 3<br />
1<br />
2<br />
f ′ ( x) = − 1+<br />
x =<br />
x<br />
f ′′ ( x) =<br />
2x + 4x<br />
, xU<br />
0.<br />
2 2<br />
2 2<br />
x + 1 x + 1 ( x + 1)<br />
b) Tabelul de monotonie<br />
x 0 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + + + + + + + +<br />
f(x) 0 +∞<br />
c) Din tabelul de monotonie se obţine că x = 0 este punct de minim pentru f.<br />
3<br />
Aşadar f ( x) U f (0) = 0, ∀x∈ [0, +∞)<br />
sau arctgx U x −<br />
x<br />
.<br />
3<br />
3. Tangenta în M are ecuaţia y - f ( a) = f′ ( a)( x− a)<br />
sau<br />
2<br />
y =<br />
1−a +<br />
a −2a ( x− a) =<br />
a−2 x+<br />
3−2a .<br />
2 4 3 2<br />
a a a a<br />
Punctele de intersecţie ale graficului cu tangenta sunt date de sistemul<br />
⎧ y =<br />
1−<br />
x<br />
⎪ 2<br />
x<br />
⎨<br />
⎪y −<br />
1−a =<br />
a−2<br />
( x−a) 2 3<br />
⎩ a a<br />
A doua ecuaţie, după substituţia lui y, se scrie:<br />
1−x 1−a a−2<br />
( x−a)( ax−x−a) − = ( x − a)<br />
sau =<br />
a − 2<br />
( x − a)<br />
.<br />
2 2 3<br />
2 2 3<br />
x a a<br />
xa a<br />
2<br />
Se obţine x – a = 0 cu soluţia x = a şi ecuaţia de gradul 2, aax ( −x− a) = ( a− 2) x cu<br />
soluţiile x∈{ a, a<br />
a − 2}<br />
.<br />
Rezultă că N<br />
a ( , f<br />
a ( ) )<br />
a−2 a−2<br />
.<br />
f ′ a<br />
a − 2<br />
= .<br />
u =<br />
a<br />
şi se obţine ecuaţia<br />
a − 2<br />
Se pune condiţia ca ( ) 3<br />
Notăm<br />
2<br />
( u+ 1)(3u − 3u+ 2) = 0 cu soluţia u = –1.<br />
Aşadar<br />
a<br />
=−1<br />
şi a = 1.<br />
a − 2<br />
u − 2<br />
= 3 sau<br />
3<br />
u<br />
263<br />
3<br />
3u u 2 0<br />
− + = care se scrie
Soluţii<br />
Probleme recapitulative<br />
1. Vom aplica regula lui l’Hospital.<br />
19 9 18 8<br />
a)<br />
20 x −20 x 20⋅19 x −20⋅9⋅x = lim = lim = 10⋅19−10⋅ 9= 100 ;<br />
x→1 2( x−1)<br />
x→1<br />
2<br />
1<br />
2 x+<br />
1 3<br />
b) = lim = ;<br />
x→1<br />
1 2<br />
2 x+<br />
2<br />
cos x+ 2cos x+ ... + ncosnx 1+ 2 + ... + n<br />
c) = lim = = 1;<br />
n→0<br />
1<br />
+<br />
2<br />
+ ... +<br />
n 1+ 2 + ... + n<br />
2 2 2<br />
cos x cos x cos nx<br />
8⋅<br />
1<br />
2<br />
1 −(8<br />
x)<br />
d) = lim = 4 ;<br />
x→0<br />
2cos2x<br />
e) = lim<br />
sin xcos2 x+ 2sin 2x⋅cos x<br />
= lim<br />
cos xcos2 x− 2sin xsin2x+ 4cos2 xcos x−2sin2xsinx =<br />
x→0 2xx→0 2<br />
=<br />
5<br />
.<br />
2<br />
x x x<br />
f) = lim<br />
2 ln2+ 3 ln3+ 4 ln4<br />
=<br />
ln2+ ln3+ ln4<br />
.<br />
x→0<br />
x x<br />
5 ln5+ 6 ln6 ln5+ ln6<br />
2. Din proprietatea părţii întregi se obţine că<br />
x +<br />
2<br />
x+ ln x− 1< ⎡<br />
⎣x+ 2<br />
x+ ln x⎤ ⎦T x+ 2<br />
x+ ln x şi astfel<br />
x +<br />
2 2<br />
2<br />
x+ ln x− 1 [ x+ x+ ln x]<br />
x+ x+ ln x<br />
<<br />
T .<br />
3x+ 1 3x+ 1 3x+ 1<br />
Din criteriul cleşte se obţine că =<br />
1<br />
.<br />
3<br />
2 2<br />
⎛ 2 2 2<br />
(1 ) 1<br />
3. lim<br />
x x 1 a x ⎞ −a x − x+<br />
=<br />
− + −<br />
⎜ − b⎟=− b+<br />
lim<br />
.<br />
x→∞ 2 2<br />
⎝ x − x+ 1+ ax ⎠<br />
x→∞<br />
x − x+ 1+<br />
ax<br />
2<br />
Se pune condiţia ca 1− a = 0.<br />
Se obţine a = 1, a = –1.<br />
Valoarea a = –1 nu este convenabilă deoarece se obţine că =+∞.<br />
Pentru a = 1 se obţine = lim<br />
− x+<br />
1<br />
− b=− 1<br />
−b.<br />
x→∞<br />
2<br />
x − x+ 1+<br />
x 2<br />
Din 1<br />
1<br />
2 b − − = se obţine b =−<br />
3<br />
.<br />
2<br />
4. Avem =<br />
a+ b+ c<br />
. Se pune condiţia ca a + b + c = 0, astfel limita ar fi infinită.<br />
0+<br />
Rezultă = lim<br />
−asin x−2bsin 2 x<br />
= lim<br />
−acosx−4bcos 2 x<br />
=<br />
−a−4b .<br />
x→0 3<br />
0<br />
2<br />
4x x→<br />
12x<br />
0+<br />
Se pune condiţia ca –a – 4b = 0.<br />
264
asin x+ 8bsin 2 x acos x+ 2bcos 2 x a+ 16b<br />
Rezultă că = lim = lim = = 1.<br />
l→0 24 x<br />
l→0<br />
24 24<br />
⎧a+<br />
b+ c=<br />
0<br />
⎪<br />
Se obţine sistemul ⎨a+<br />
4b= 0 cu soluţia a = –8, b = 2, c = 6.<br />
⎪<br />
⎩a+<br />
16b= 24<br />
5. Se studiază continuitatea în punctele de legătură în rest funcţiile fiind continue.<br />
a) f (1− 0) = 2, f (1+ 0) = a−<br />
1.<br />
Funcţia este continuă în x 0 = 1 dacă a = 3.<br />
b) Funcţia este continuă pentru a = 0.<br />
⎧1+<br />
a+ b= a+<br />
2<br />
c) Se obţine că f este continuă dacă ⎨ deci a = 2, b = 1.<br />
⎩4+<br />
a= 10−2a 6. Funcţia este continuă pe Z \{0} . În x = 0 este continuă dacă<br />
265<br />
a+ 1 =<br />
1<br />
, b=<br />
4.<br />
4<br />
7. Condiţiile de continuitate şi derivabilitate în x 0 = 0 conduc la b = c = 1, a∈Z .<br />
8. Se obţine că a = b şi 2a = –2, deci a = b = –1.<br />
10. a) Din continuitate se obţine că c = –1. Avem:<br />
⎧2ax<br />
−3, x ∈[ −1,0)<br />
f ′ ( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩2<br />
x+ b, x∈[0,1]<br />
Funcţia este derivabilă dacă b = –3.<br />
Egalitatea f(–1) = f(1) implică a + 4 = 1 + b – c.<br />
Se obţine că a = –5, b = –3, c = –1.<br />
b) Funcţia g este continuă fiind obţinută prin compunerea a două funcţii continue f şi g,<br />
g( x)<br />
=<br />
2 x<br />
. 2<br />
1+<br />
x<br />
ax<br />
c+ aln( x+ 1) ′ − [ c+ aln( x−1)]<br />
1<br />
f ( x)<br />
F′ ⎛ ⎞<br />
( x) = b+<br />
=<br />
x +<br />
= .<br />
⎝ x ⎠<br />
x x<br />
Aşadar trebuie cu a = 1 şi c = 0.<br />
bx + ln( x + 1)<br />
Se obţine că F( x)<br />
= .<br />
x<br />
Deoatece lim F( x) = b+<br />
1,<br />
se obţine că b = 0.<br />
x→0<br />
ln(3)<br />
Astfel α= F (2) = = ln 3.<br />
2<br />
11. Obţinem ⎜ ⎟<br />
2 2<br />
12. Condiţia ca f să fie continuă pe Z este ca<br />
2<br />
Obţinem că m + m+ 1= 2 −| m|<br />
U 0 .<br />
2<br />
2 m m 1 | m|<br />
− + + = .
2 2<br />
Prin ridicare la pătrat avem ecuaţia m + m+ 1= 4− 4| m| + m sau m + 4|m| = 3 cu soluţia<br />
m =<br />
3<br />
şi m = –1.<br />
5<br />
Se obţine că α=<br />
9<br />
+ 1=<br />
34<br />
.<br />
25 25<br />
13. Funcţia f are perioada T = 2 dacă f ( x+ 2) = f ( x), ∀x∈Z .<br />
Avem:<br />
[ x+ 2] x+ 2<br />
[ x]<br />
+ 2 x<br />
f ( x+ 2) = ( − 1) ( x+ a<br />
⎡ ⎤<br />
b) 3 ( 1) ( x a<br />
⎡<br />
1<br />
⎤<br />
⎣ ) 3<br />
2 ⎦<br />
+ + = − +<br />
⎣<br />
+<br />
2 ⎦<br />
+ b + =<br />
[ x] x [ x] x<br />
[ x]<br />
=− ( 1) ( x+ a<br />
⎡ ⎤<br />
b a) 3 ( 1) ( x a<br />
⎡ ⎤<br />
⎣<br />
+ + + =− + + b) + 3 +− ( 1) a=<br />
2⎦ ⎣2⎦ [ ]<br />
( ) ( 1) x<br />
= f x + − a<br />
deci a = 0.<br />
[ x ]<br />
Rezultă că f ( x) =− ( 1) ( x+ b)<br />
+ 3.<br />
0<br />
Avem: f (1− 0) = ( − 1) (1 + b) + 3 = b+<br />
4 , iar f (1 + b) = ( − 1)[1 + b]<br />
+ 3 şi se obţine că:<br />
b+ 4=−1− b+<br />
3 deci b = –1.<br />
Aşadar S = 0 – 1 = – 1.<br />
Răspuns corect b).<br />
14. Continuitatea funcţiei în x0 = 1<br />
• f (1− 0) = p, f (1) = m, f (1+ 0) = 1+<br />
q deci p= m= 1+<br />
q.<br />
Derivabilitatea funcţiei în x0 = 1<br />
x<br />
p p<br />
• f′ −<br />
s (1) = lim , f ′<br />
d (1) = 3 , deci p = 3 = m şi q = 2.<br />
x→1<br />
x−1<br />
Se obţine S = m + p + q = 8.<br />
Răspuns corect e).<br />
15. a) x = 1 este asimptotă verticală.<br />
Asimptote oblice<br />
2<br />
f ( x) x −3( x−2)<br />
• m = lim = lim = 1,<br />
iar<br />
x→∞ x<br />
2<br />
x →∞ x − x<br />
⎛ 2<br />
lim<br />
x 3x 6 ⎞<br />
n= ⎜<br />
− +<br />
−x⎟= lim<br />
− 2x+ 6<br />
=−2.<br />
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞<br />
x−1<br />
Aşadar dreapta y = x – 2 este asimptotă oblică spre +∞ .<br />
2<br />
x + 3( x−2)<br />
• m = lim = 1,<br />
iar<br />
x→−∞<br />
2<br />
x − x<br />
2<br />
n= lim<br />
⎛x + 3x−6 x<br />
⎞<br />
lim<br />
4x−6 ⎜ − ⎟=<br />
= 4 .<br />
x→−∞⎝ x−1 ⎠ x→−∞<br />
x−1<br />
Aşadar dreapta y = x – 4 este asimptotă oblică spre −∞ .<br />
b) Asimptote orizontale<br />
•<br />
x −1−x x −1−x 2 2<br />
2<br />
lim f ( x) = lim ( x − 1 + x)<br />
= lim = 0<br />
x→−∞ x→−∞ x→−∞<br />
2<br />
• lim f ( x)<br />
=+∞<br />
x→∞<br />
266<br />
.
Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ .<br />
Asimptotă oblică spre +∞<br />
• m = lim<br />
x+ x→∞ 2<br />
x −1 ⎛<br />
= lim 1<br />
x<br />
⎜ +<br />
x→∞⎝<br />
2<br />
x −1⎞<br />
= 2<br />
x<br />
⎟ iar<br />
⎠<br />
n= ( x+ x − − x) = x − − x =<br />
x<br />
−1<br />
=<br />
− 1+<br />
x<br />
Dreapta y = 2x este asimptotă oblică spre +∞ .<br />
2 2<br />
lim 1 2 lim ( 1 ) lim 0<br />
x→∞ x→∞ x→∞<br />
2<br />
c) D = Z \{0,1} .<br />
Asimptote verticale<br />
• Dreptele x = 0, x = 1 sunt asimptote verticale.<br />
Asimptote oblice<br />
3<br />
f ( x) x −3( x−2)<br />
• m = lim = lim = 1 iar<br />
x→∞ x 2<br />
x →∞ x ( x−1)<br />
3 2<br />
n= lim ( f ( x) − mx) = lim<br />
⎛x − 3x+ 6<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
x − 3x+ 6<br />
⎜ − 1<br />
x→∞ x→∞ 2 ⎟=<br />
= .<br />
x 2<br />
⎝ x −x ⎠ →∞ x −x<br />
Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞ .<br />
3<br />
f ( x) x + 3( x−2)<br />
• m = lim = lim = 1,<br />
iar<br />
x→−∞ x 2<br />
x →−∞ x ( x−1)<br />
3 2<br />
n= lim<br />
⎛x + 3x− 6<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
x + 3x−6 ⎜ − 1<br />
x→−∞ 2 ⎟=<br />
=<br />
x<br />
2<br />
⎝ x −x ⎠ →−∞ x −x<br />
Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre −∞ .<br />
16. a)<br />
2<br />
lim f ( x)<br />
lim<br />
6x− x + 4lnx−2 0−∞−2 1<br />
x→0 x→0<br />
2x0 0<br />
x> 0 x><br />
0<br />
+ +<br />
= = =−∞ =−∞<br />
⎛ 4 ⎞<br />
2 LH ' − 2x+ 6+<br />
− x + bx+ 4lnx−2 ⎜ x⎟<br />
• lim f ( x)<br />
= lim =<br />
∞ ( ) = lim<br />
=−∞<br />
x→∞ x→∞ 2x∞ ⎜ x→∞<br />
2<br />
⎟ ;<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
4<br />
2 LH ' − 2x+ 6+<br />
2<br />
− x + 6x+ 4lnx−2 x − 2x + 6x+ 4<br />
b) m=<br />
lim = lim = lim<br />
=−<br />
2<br />
=−<br />
1<br />
iar<br />
x→∞ 2 2<br />
2xx→∞ 4xx→∞ 4x4<br />
2<br />
⎛ 2<br />
lim<br />
x 6x 4lnx 2 x⎞ n=<br />
⎜<br />
− + + −<br />
+ ⎟= lim<br />
6x+ 4lnx−2 = 3<br />
x→∞⎝ 2x 2⎠ x→∞2x<br />
Asimptota oblică este y =−<br />
x<br />
+ 3.<br />
2<br />
c) Panta tangentei trebuie să fie m =−<br />
1<br />
.<br />
2<br />
Se obţine egalitatea f′ ( x<br />
1<br />
0 ) =− .<br />
2<br />
2<br />
( 6− 2x+ 4)<br />
2x−2(6x− x + 4lnx−2) 2<br />
x<br />
Avem că f′ ( x)<br />
= =<br />
−2x − 8lnx+ 12<br />
.<br />
2 2<br />
4x4x Din egalitatea f′ ( x<br />
1<br />
0 ) =− rexultă ecuaţia logaritmică 8lnx − 12= 0 cu soluţia<br />
2<br />
267<br />
.<br />
3<br />
2<br />
x = e .
17. Avem: m = lim<br />
⎛2 1<br />
4lnx<br />
⎞<br />
⎜ − − 1<br />
x→∞<br />
2 ⎟=−<br />
, iar<br />
⎝xx⎠ n= lim<br />
4ln 4ln<br />
( 2 −x− x<br />
+ x)<br />
= lim ( 2 −<br />
x)<br />
= 2 .<br />
x→∞ x x→∞<br />
x<br />
Asimptota oblică spre +∞ este y = –x + 2.<br />
Tangenta are panta f ′ ( x0<br />
) şi se obţine egalitatea f ′ ( x0)<br />
=− 1.<br />
Dar f ′ ( x)<br />
=−1− 4<br />
1−lnx .<br />
2<br />
x<br />
1−lnx0 Ecuaţia f ′ ( x0)<br />
=− 1 se scrie − 4 = 0 deci x 2<br />
0 = e .<br />
x<br />
Punctul de tangenţă este ( ) 4<br />
M e,2 e<br />
0<br />
− − .<br />
e<br />
⎛ 2 ( 2)<br />
18. a) Avem 3 lim<br />
2 x ax b ⎞ a− x+ b<br />
= n= ⎜<br />
+ +<br />
−2x⎟= lim = a−2,<br />
deci a = 5.<br />
x→∞⎝ x+ 1 ⎠ x→∞<br />
x+<br />
1<br />
Aşadar a= 5, b∈Z<br />
.<br />
2<br />
b) f ( x) =<br />
2x + 5x+<br />
b<br />
, D=<br />
Z \{ −1}<br />
.<br />
x + 1<br />
Funcţia poate avea dreapta x = –1 asimptotă verticală dacă 2− 5+ b ≠ 0,<br />
deci dacă b ≠ 3.<br />
19. Avem: f ′ ( x)<br />
=<br />
2x+ m−2<br />
.<br />
3 2 2<br />
3 ( x + ( m− 2) x+ 2 −m)<br />
2<br />
f ′ ( x ) are sens pe Z dacă x + ( m− 2) x+ 2−m≠0, ∀x∈Z .<br />
2<br />
Rezultă că ∆= ( m−2) −4(2 − m)<br />
< 0 şi se obţine că m∈( − 2,2) .<br />
2<br />
x (1 ax) 2x 2x<br />
20. a) Se obţine lim e lim (1 ax) e lim<br />
1 ax<br />
0<br />
x 2 2x<br />
1 x x x e −<br />
⎛ + ⎞<br />
+<br />
⎜ ⎟=−<br />
+ =− = .<br />
→−∞ −<br />
→−∞ →−∞<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
2 1<br />
2 x<br />
b) f ′ ( x) =<br />
ax + x+ a<br />
+<br />
+ ax<br />
⋅2 e , x∈D. 2 2 2<br />
(1 −x ) 1−x<br />
Se obţine că f ′ (0) = a+ 2, f (0) = 1 şi egalitatea 3( a + 2) − 1= 11 cu soluţia a = 2.<br />
21. Se obţine 32 32 33 33 33 33 33 32<br />
[33( x+ 2) + 33( x− 2) ][( x+ 2) −( x−2) ] − [( x+ 2) + ( x− 2) ][33( x+ 2) −33( x−2)<br />
]<br />
f′ () x =<br />
33 33 2<br />
[( x+ 2) −( x−2)<br />
]<br />
Rezultă că f ′ (0) =<br />
33<br />
, f ′ (2) = 0, f ′ ( − 2) = 0.<br />
2<br />
Aşadar T =<br />
33<br />
.<br />
2<br />
268
22. Din continuitatea în x 0 = 0 se obţine că c = ln1 = 0 .<br />
Din derivabilitatea funcţiei în x 0 = 0 se obţine că –1 = b, iar derivata este:<br />
⎧ 1<br />
⎪ , x T 0<br />
f ′ ( x)<br />
= ⎨x −1.<br />
⎪⎩ 2ax − 1, x > 0<br />
1<br />
+ 1<br />
2ax 1 1<br />
Rezultă că fd′ −+<br />
(0) = lim = 2a<br />
şi f ′′ 1<br />
s (0) = lim<br />
x− = lim<br />
x<br />
=−1<br />
x→0<br />
x<br />
x→0 x x→0(<br />
x−1) x<br />
Aşadar 2a = –1 şi<br />
a =−<br />
1<br />
.<br />
2<br />
23. Continuitatea în x = 1 implică 1+ a+ b+ c=<br />
0.<br />
Din derivabilitatea funcţiei f în x 0 = 1 avem f ′ s (1) = f ′ d (1) .<br />
arctg ( x −1)<br />
Dar f ′ s (1) = 3+ 2a+<br />
b,<br />
iar f ′ d (1) = lim = 1.<br />
x→1<br />
x −1<br />
Aşadar 2a+ b=−<br />
2.<br />
⎧ 2<br />
⎪<br />
3x + 2ax−2− 2 a, x<<br />
1<br />
Derivata funcţiei f se scrie: f′ ( x)<br />
= ⎨ 1<br />
.<br />
⎪ , x > 1<br />
⎩ 2<br />
x − 2x+ 2<br />
Se obţine că<br />
2<br />
2<br />
3( 1) 2 ( 1)<br />
(1) lim<br />
3x 2ax 2 2a 1 x − + a x−<br />
f ′′ s =<br />
+ − − −<br />
= lim = lim 3( x+ 1) + 2a= 6 + 2a.<br />
x→1 x −1 x→1 x −1<br />
x→1<br />
1<br />
−1<br />
2<br />
2<br />
( 1) ( 1)<br />
De asemenea (1) lim<br />
x 2x 2<br />
− x− − x−<br />
fd′<br />
=<br />
− +<br />
= lim = lim = 0 .<br />
x→1 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
x−1 x→ ( x−1)( x − 2x+ 2) x→<br />
x − 2x+ 2<br />
Aşadar 6+ 2a= 0 şi a = –3, apoi b = 4 şi c = –2.<br />
24. a) Avem<br />
Aşadar f ′ ( π ) = 0.<br />
| x−π|sin x −( x−π)sinx fs′<br />
( π ) = lim = lim =−sin π= 0 .<br />
x→π x−π x→π<br />
x−π<br />
x
x x<br />
25. a) Funcţia f este sumă de funcţie strict crescătoare pe Z ,( h( x) = 4 , g( x)<br />
= 2<br />
este funcţie strict crescătoare şi injectivă.<br />
+ 1) , deci<br />
Funcţia f este continuă, iar lim f ( x) =+∞ , lim f ( x)<br />
= 0+ 0+ 1= 1.<br />
x→∞ x→−∞<br />
Din proprietatea lui Darboux se obţine că mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = (1, +∞ ) ,<br />
deci f este surjectivă.<br />
În concluzie f este bijectivă şi inversabilă.<br />
x<br />
b) Fie f(x) = y deci 4<br />
x<br />
+ 2 + 1=<br />
y .<br />
x<br />
Cu notaţia t = 2 > 0 se obţine ecuaţia de gradul 2 în t:<br />
2<br />
− 1+ t + t+ 1− y = 0 cu soluţie acceptabilă t =<br />
4y−3 .<br />
2<br />
Rezultă că 2 x<br />
= t .<br />
−1 Aşadar f :(1, +∞) → Z ,<br />
−1 − 1+ f ( x)<br />
= log2<br />
4x−3 .<br />
2<br />
− 1<br />
Avem ( f ) ′ (3) =<br />
1<br />
unde<br />
f ′ ( x0<br />
)<br />
f ( x 0 ) = 3.<br />
x0 Din egalitatea 4<br />
x0<br />
+ 2 + 1= 3⇒ x0<br />
= 0.<br />
− 1<br />
Astfel, ( f ) ′ (3) =<br />
1<br />
=<br />
1<br />
=<br />
1<br />
.<br />
f ′ (0) ln4+ ln2 ln8<br />
26. a) f ( x)<br />
=<br />
1 1 2 1<br />
( − + )<br />
2 x x+ 1 x+<br />
2<br />
, deci<br />
1⎡ 1 2 1 ⎤<br />
′ =<br />
2<br />
⎢− + − ⎥;<br />
⎣ x ( x+ 1) ( x+<br />
2) ⎦<br />
b) f ( x)<br />
2 2 2<br />
a= c= 1<br />
, b=−<br />
1.<br />
2<br />
1⎡ 2 4 2 ⎤<br />
f ′′ ( x)<br />
=<br />
1 2 1<br />
3 3 3 3 3 3<br />
2<br />
⎢ − + ⎥ = − + .<br />
⎣x ( x+ 1) ( x+ 2) ⎦ x ( x+ 1) ( x+<br />
2)<br />
S =<br />
⎛ 1 1 1<br />
⎜ + + ... +<br />
⎝1210 ⎞<br />
2<br />
⎛ 1 1<br />
...<br />
1 ⎞ ⎛ 1 1<br />
...<br />
1<br />
⎟− ⎜ + + + ⎟+ ⎜ + + +<br />
⎠ ⎝2311 ⎠ ⎝3412 ⎞<br />
= 1− 1<br />
−<br />
1<br />
⎟<br />
⎠ 8 11<br />
+<br />
1<br />
12<br />
27.<br />
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3<br />
( −<br />
1 )<br />
sin x 1<br />
cos x sin x(cos x−1)<br />
= lim = lim = lim<br />
sin x<br />
lim<br />
cos x−1<br />
=<br />
x→0 0<br />
3<br />
0 0<br />
2<br />
3 tgx x→ x cos x x→ x x→<br />
x<br />
x<br />
x<br />
= lim<br />
cos x−1 = lim<br />
−sin<br />
x<br />
=−<br />
1<br />
.<br />
x→0 2<br />
x x→0<br />
2x2 sin x x−sin x<br />
e ( e −1)<br />
0<br />
28. = lim = e ⋅ ln e=<br />
1.<br />
x→0<br />
x−sin x<br />
270<br />
.
29. Pentru n = 0, l = 0.<br />
• Pentru nU 1 este caz de nedeterminare<br />
e<br />
.<br />
0<br />
Aplicăm regula lui L’Hospital. lim<br />
x sin x<br />
x 0<br />
n 1<br />
nx −<br />
=<br />
−<br />
.<br />
→<br />
• Pentru n = 1, = 0 ,<br />
sin x<br />
pentru n = 2, = lim =<br />
1<br />
.<br />
x→0<br />
2x2 • Pentru nU 3 avem: = lim<br />
−sin x<br />
= lim<br />
−cos<br />
x<br />
.<br />
x→0 n−2 x 0<br />
n−3<br />
nx → n( n−2) x<br />
• Pentru n = 3, =<br />
−1<br />
, iar<br />
3<br />
pentru nU 4 , =<br />
−1<br />
deci nu se mai obţine limită finită.<br />
0 ±<br />
Aşadar n∈ {0,1, 2 ,3}<br />
şi m = 6.<br />
30. Notăm<br />
2 2<br />
+ 1= ⇒ + 1= ⇒ = − 1.<br />
x t x t x t<br />
2 2<br />
Rezultă E() t = t + 4− 4t+ 9+ t − 6 t = | t− 2 | + | t−3| ⇒ f ( x) = | x+ 1− 2| + | x+<br />
1− 3| =<br />
⎧5−<br />
2 x+ 1, x∈(<br />
−1,3]<br />
⎪<br />
= ⎨1,<br />
x ∈(3,<br />
8)<br />
.<br />
⎪<br />
⎩2<br />
x+ 1−9, x∈<br />
[8, +∞)<br />
5− 2 x+<br />
1−1 2(2− x+ 1) 2(3 −x)<br />
Avem f (3) lim lim lim<br />
1<br />
s′<br />
= = = =− , iar<br />
x→3 x−3 x→3 x−3 x→3<br />
( x− 3)(2+ x+<br />
1) 2<br />
x< 3 x<<br />
3<br />
f ′ (3) lim<br />
1 1<br />
d =<br />
−<br />
= 0,<br />
deci f nu este derivabilă în x 0 = 3.<br />
x→3<br />
x − 3<br />
Analog rezultă că f nu este derivabilă în x 0 = 8.<br />
Avem: f ′ (3)<br />
1<br />
, (3) 0, (8) 0, (8)<br />
1<br />
s =− f ′ d = f ′ s = f ′ d = .<br />
2 3<br />
Se obţine S =<br />
1<br />
+<br />
1<br />
=<br />
13<br />
.<br />
4 9 36<br />
3 x 3 2 x<br />
3 2<br />
4( e −x−1) − x + ( a−3) x 4( e −x−1) − x + ( a−3) x<br />
31. f ′ (0) = lim = 3 lim<br />
.<br />
x→0 x 0<br />
3<br />
x →<br />
x<br />
Limita de sus radical o calculăm folosind regula lui L’Hospital. Avem:<br />
x 2<br />
x<br />
4( e −1) − 3x + 2( a−3) x 4e − 6x+ 2( a−3) 4−2( a−3)<br />
l = lim = lim<br />
= .<br />
x→0 2<br />
3x<br />
x→0<br />
6x0± Se pune condiţia 4= 2( a − 3) deci a = 5.<br />
x<br />
Rezultă că l = lim<br />
4e−6 =−<br />
1<br />
.<br />
x→0<br />
6 3<br />
32. Funcţia este derivabilă dacă a= b∈{<br />
− 1,1} . Se obţine S = 4.<br />
271
33. Funcţia este derivabilă pe Z dacă a = 2e, b = –e.<br />
⎧ x<br />
xe , xT<br />
1<br />
Rezultă f ( x)<br />
= ⎨<br />
.<br />
⎩2<br />
ex− e, x > 1<br />
⎧ x<br />
( x+ 1) e , xT<br />
1<br />
f′ ( x)<br />
= ⎨<br />
şi astfel, A= 2e⋅ 10= 20e.<br />
⎩2<br />
e, x><br />
1<br />
34.<br />
Avem<br />
35.<br />
2 n n<br />
lim<br />
x −2x −n −1−a x→1<br />
2<br />
( x −1)<br />
0+<br />
l = =<br />
deci este necesar ca a = –1.<br />
2n−1 n−1<br />
2n−2 n−2<br />
2 2 2 (2 1) 2 ( 1)<br />
lim<br />
nx nx n n− x − n n− x<br />
l =<br />
−<br />
= lim<br />
=<br />
x→1 2( x −1)<br />
x→1<br />
2<br />
2 n(2n−1) −2 n( n−1)<br />
2<br />
= = n .<br />
2<br />
4<br />
5x<br />
4<br />
5 5 5 5 − 5x<br />
ln(1 + x ) −x x − ln (1 + x) 5<br />
a = lim + lim = lim<br />
1+<br />
x<br />
+<br />
x→0 6 x 0 6 x 0 5<br />
x → x → 6 x<br />
⎛ 4 3 4<br />
x− ln( x+ 1) x + x ln( x+ 1) + ... + ln ( x+ 1) ⎞<br />
5<br />
+ lim lim<br />
1−− 1 x<br />
⎜ ⋅ ⎟=<br />
⋅ 5+<br />
x→0 2 4<br />
x 0<br />
5<br />
⎝ x x ⎠ → (1 + x )6 x<br />
2 3 4<br />
x− ln( x+ 1) ⎡ ln( x+ 1) ⎛ln( x+ 1) ⎞ ⎛ln( x+ 1) ⎞ ⎛ln( x+<br />
1) ⎞ ⎤<br />
lim lim 1<br />
x→0 2 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥<br />
x→0<br />
+<br />
x<br />
⋅<br />
⎢⎣ +<br />
x<br />
+<br />
⎝ x ⎠<br />
+<br />
⎝ x ⎠<br />
+<br />
⎝ x ⎠<br />
=<br />
⎥⎦<br />
1−<br />
1<br />
= 0 + 5lim<br />
x+ 1<br />
= 5lim<br />
x<br />
=<br />
5<br />
.<br />
x→0 2x x→0<br />
2 x( x+<br />
1) 2<br />
36. Caz de nedeterminare ∞<br />
. Se obţine cu regula lui l’Hospital<br />
∞<br />
x<br />
2 x+ e<br />
2 x x 2x 4<br />
x + e ⎛e + 2x⎞ e + 3x = lim = lim⎜ ⎟ lim =<br />
1<br />
.<br />
x→∞ 2 2x x 2 2x 2<br />
3x + 2e x→∞⎝e + x ⎠x→∞<br />
2e + 3x<br />
2<br />
4 2x<br />
x + e<br />
f ( x)<br />
37. a) Avem 1= m= lim = a,<br />
deci a = 1.<br />
x→∞<br />
x<br />
2<br />
Apoi 2 = n= lim ( f ( x) − mx) = lim<br />
⎛x + bx+ 2<br />
x<br />
⎞<br />
lim<br />
bx+ x+<br />
2<br />
⎜ − ⎟=<br />
= b+<br />
1,<br />
deci b = 1.<br />
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞<br />
x−1<br />
b)<br />
2<br />
f ( x) =<br />
x + x+<br />
2<br />
, x∈Z<br />
\{1} .<br />
x −1<br />
c) Asimptotele sunt y = x + 2, şi x = 1.<br />
Triunghiul are vârfurile A(–2, 0), B(1, 0), C (1, 3), iar<br />
272<br />
S =<br />
9<br />
.<br />
2
− x 2<br />
39. Avem: f ′ ( x) = e [ − x + x(2 − m) + m], x∈Z<br />
.<br />
2 2<br />
Se obţine ∆= (2 − m) + 4m= m + 4 > 0, ∀m∈Z .<br />
Aşadar ecuaţia f ′ ( x)<br />
= 0 are două soluţii distincte, iar din semnul funcţiei f ′ se deduce că<br />
are două puncte de extrem.<br />
⎛ax+ 40. a) m= lim⎜ x→∞⎝<br />
2<br />
bx + cx+<br />
1⎞<br />
⎟=<br />
a+ x ⎠<br />
b=<br />
4 .<br />
Pentru asimptota orizontală la −∞ se obţine că:<br />
− 1= lim ( ax+ x→−∞ 2 2<br />
2<br />
x ( b− a ) + cx+<br />
1<br />
bx + cx+<br />
1) = lim<br />
x→−∞2<br />
bx + cx+ 1−<br />
ax<br />
2<br />
Se pune condiţia b− a = 0 şi rezultă că:<br />
− 1= lim<br />
x→−∞<br />
cx + 1<br />
=<br />
c<br />
2<br />
bx + cx + 1−ax<br />
−a− =<br />
−c<br />
deci c = 4.<br />
b 4<br />
⎧⎪ a+ b = 4<br />
Din sistemul ⎨ se obţine a = 2, b = 4.<br />
2<br />
⎪⎩ a= b<br />
b) Funcţia f este<br />
⎧ 4x+ 1, xU−<br />
1<br />
⎪<br />
f ( x) = 2 x+ |2x+ 1| =⎨<br />
2<br />
.<br />
⎪− 1, x 0 deci m <<br />
1<br />
.<br />
4<br />
3<br />
( x + 1)<br />
b) f ( x) = , f : Z→Z. Graficul intersectează axele în A(0, 1) şi B(–1, 0).<br />
2<br />
x + x+<br />
1<br />
Asimptote oblice.<br />
3 3<br />
( x+ 1) ⎛ ( x+ 1) ⎞<br />
2<br />
• m= lim = 1, n= lim x lim<br />
2x + 2x+ 1<br />
2<br />
x 2 ⎜ − 2 ⎟=<br />
= deci dreapta<br />
→±∞ 2<br />
x( x + x+ 1) x→±∞x x 1 x→±∞<br />
⎝ + + ⎠ x + x+<br />
1<br />
y = x+<br />
2 este asimptotă oblică la ±∞ .<br />
Studiul folosind derivatele<br />
2 2<br />
( x + 2)( x+<br />
1)<br />
• f′ ( x) = , x∈<br />
2 2<br />
( x + x+<br />
1)<br />
− 6 x( x+<br />
1)<br />
f′ ( x) = , x∈Z<br />
.<br />
( x + x+<br />
1)<br />
Z ; 2 3
Tabelul de variaţie<br />
x −∞ –1 0 +∞<br />
f ′ ( x ) + + + 0 + + + + +<br />
f(x) −∞ +∞<br />
f ′′ ( x)<br />
– – – 0 + + + 0 – –<br />
–2<br />
–1<br />
Graficul este tangent axei Ox în x = –1<br />
y<br />
2<br />
1<br />
i i<br />
274<br />
x