Axiomele geometriei in plan si in spatiu
Axiomele geometriei in plan si in spatiu
Axiomele geometriei in plan si in spatiu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Cunoşt<strong>in</strong>Ńele de geometrie acumulate în clasele gimnaziale pot fi încadrate într-un<br />
<strong>si</strong>stem logic de propoziŃii matematice: axiome, def<strong>in</strong>iŃii, teoreme, consec<strong>in</strong>Ńe, leme, etc.<br />
Am<strong>in</strong>tim că noŃiunile geometrice ce nu se def<strong>in</strong>esc se numesc noŃiuni geometrice<br />
primare. De regulă, acestea sînt: punct, dreaptă, <strong>plan</strong>. Puncetele, dreptele şi <strong>plan</strong>ele se notează<br />
respectiv cu literele A , B , C , ...; a , b , c , ...; α , β , γ , ... eventual cu <strong>in</strong>dici. NoŃiunile ce<br />
se def<strong>in</strong>esc cu ajutorul noŃiunilor primare se numesc noŃiuni derivate. Segment, semidreaptă,<br />
unghi, triunghi, ş. a. sînt noŃiuni derivate.<br />
Punctele, dreptele şi <strong>plan</strong>ele se află în nişte relaŃii numite relaŃii primare. Acestea se<br />
numesc „<strong>in</strong>cidenŃă” (apartenenŃă), „între”, „congruenŃă”.<br />
Natura obiectelor primare (punct, dreaptă, <strong>plan</strong>) şi a relaŃiilor primare poate fi arbitrară<br />
cu condiŃia că ele sînt legate pr<strong>in</strong>tr-un <strong>si</strong>stem de axiome.<br />
<strong>Axiomele</strong> sînt propoziŃii cu caracter de ipoteză (care nu se demonstrează) care descriu<br />
legătura d<strong>in</strong>tre noŃiunile primare şi relaŃiile primare. Ele reprez<strong>in</strong>tă proprietăŃile de bază ale<br />
obiectelor de bază şi se con<strong>si</strong>deră adevărate. <strong>Axiomele</strong> sunt ca nişte reguli de conduită, ca<br />
nişte reguli ale unui joc, ş. a. Sistemul de axiome (reguli) ales trebuie să verifice următoarele<br />
condiŃii:<br />
• axiomele trebuie să nu se contrazică;<br />
• axiomele să fie suficient de numeroase, astfel încât porn<strong>in</strong>d de la ele să se poată<br />
studia, explica toate <strong>si</strong>tuaŃiile po<strong>si</strong>bile.<br />
În geometria elementară se iau ca axiome proprietăŃi ale punctelor şi dreptelor deja<br />
familiarizate şi amplu utilizate în gimnaziu. La ele se mai adaugă şi alte cîteva proprietăŃi<br />
importante sugerate de observaŃii şi experimentări.<br />
MenŃionăm că una şi aceeaşi proprietate poate fi con<strong>si</strong>derată într-un <strong>si</strong>stem de<br />
proprietăŃi drept axiomă, iar în alt <strong>si</strong>stem de axiome drept o consec<strong>in</strong>Ńă d<strong>in</strong> axiomele<br />
acceptate, adică drept teoremă.<br />
<strong>Axiomele</strong> sînt propoziŃii cu caracter de ipoteză (care nu se demonstrează) care descriu<br />
legătura d<strong>in</strong>tre noŃiunile primare şi relaŃiile primare. Teorema este o propoziŃie adevărul căreia<br />
se demonstrează.<br />
Teoremele sunt propoziŃii care descriu proprietăŃile noŃiunilor primare şi derivate şi se<br />
demonstrează cu ajutorul axiomelor, def<strong>in</strong>iŃiilor, lemelor sau teoremelor deja demonstrate.<br />
Lema este o propoziŃie adevărul căreia se demonstrează şi se aplică la demonstrarea unei<br />
teoreme.<br />
Def<strong>in</strong>iŃia este o propoziŃie sau un grup de propoziŃii pr<strong>in</strong> care se explică o noŃiune<br />
nouă. Astfel, propoziŃia „Dacă două puncte A şi B ale dreptei a aparŃ<strong>in</strong> <strong>plan</strong>ului α , atunci<br />
dreapta a aparŃ<strong>in</strong>e <strong>plan</strong>ului α ” este o axiomă (după cum vom vedea), iar afirmaŃia „Suma<br />
măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°” este o teoremă.<br />
Această teoremă se demonstrează cu ajutorul următoarelor propoziŃii matematice:<br />
P1. axioma paralelelor a lui Euclid (oricare ar fi o dreaptă şi un punct exterior acestei<br />
drepte, în <strong>plan</strong>ul determ<strong>in</strong>at de punct şi dreaptă, există cel mult o paralelă la dreapta dată, care<br />
să conŃ<strong>in</strong>ă punctul dat);<br />
P2. teorema de existenŃă a paralelei (pr<strong>in</strong>tr-un punct exterior unei drepte există cel<br />
puŃ<strong>in</strong> o paralelă la dreapta dată);<br />
1
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
P3. teorema despre egalitatea unghiurilor alterne <strong>in</strong>terne, formate la <strong>in</strong>tersecŃia a două<br />
drepte paralele cu o secantă;<br />
P4. def<strong>in</strong>iŃia sumei unghiurilor;<br />
P5. def<strong>in</strong>iŃia unghiului alungit;<br />
P6. teorema despre măsura unghiului alungit.<br />
Convenim ca atunci când ne referim la mai multe obiecte (puncte, drepte, <strong>plan</strong>e, ş.a.)<br />
şi le notăm cu <strong>si</strong>mboluri diferite, să le con<strong>si</strong>derăm dist<strong>in</strong>cte.<br />
Iată câteva exemple de def<strong>in</strong>iŃii care vor fi folo<strong>si</strong>te în cont<strong>in</strong>uare:<br />
Trei puncte A , B , C se numesc col<strong>in</strong>iare dacă există o dreaptă a ce le conŃ<strong>in</strong>e. În<br />
caz contrar, punctele se numesc necol<strong>in</strong>iare.<br />
Se spune că dreapta a <strong>in</strong>tersectează (este <strong>in</strong>cidentă cu) <strong>plan</strong>ul α dacă există un punct<br />
A , astfel încât A ∈α<br />
şi A∈ a .<br />
Se spune că dreapta a aparŃ<strong>in</strong>e (sau este conŃ<strong>in</strong>ută de <strong>plan</strong>ul α ) <strong>plan</strong>ului α dacă<br />
orice punct al dreptei a aparŃ<strong>in</strong>e şi <strong>plan</strong>ului α .<br />
Patru puncte A , B , C , D se numesc co<strong>plan</strong>are dacă există un <strong>plan</strong> α ce le conŃ<strong>in</strong>e.<br />
În caz contrar, punctele se neco<strong>plan</strong>are.<br />
Alegerea noŃiunilor primare, relaŃiilor primare şi a <strong>si</strong>stemului de axiome respectiv,<br />
astfel încât toată geometria elementară să fie dedusă bazându-ne doar pe ele şi pe legile logicii<br />
se numeşte construcŃie axiomatică a <strong>geometriei</strong> elementare.<br />
Se cunosc mai multe <strong>si</strong>steme de axiome ale <strong>geometriei</strong> elementare. În literatura<br />
şti<strong>in</strong>Ńifică este cel mai des utilizat <strong>si</strong>stemul de axiome al lui D. Hilbert. Geometria organizată<br />
conform acestui <strong>si</strong>stem de axiome corespunde cu geometria spaŃiului d<strong>in</strong> jurul nostru,<br />
observată cu „ochiul liber”. Conform acestei geometrii, oamenii activează în diversele lor<br />
meserii, de exemplu, în arhitectură, construcŃia de poduri, construcŃia de case, de maş<strong>in</strong>i, ş. a.<br />
În afară de această geometrie matematică au mai fost def<strong>in</strong>ite şi alte geometrii, bazate<br />
pe alte axiome, unele d<strong>in</strong> ele contrazic axiomele <strong>geometriei</strong> elementare. Aceste geometrii sînt<br />
utile în explicarea şi prezicerea fenomenelor ce se petrec în Univers: teoria relativităŃii,<br />
evoluŃia stelelor, propagarea lum<strong>in</strong>ii, ş. a.<br />
În cont<strong>in</strong>uare vom exam<strong>in</strong>a schema argumentării <strong>geometriei</strong> elementare conform<br />
axiomaticii lui David Hilbert. Acest <strong>si</strong>stem de axiome constă d<strong>in</strong> 20 de axiome împărŃite în 5<br />
grupe. Pr<strong>in</strong> această cla<strong>si</strong>ficare a axiomelor se reuşeşte cea mai <strong>si</strong>mplă şi laconică formulare a<br />
axiomelor şi în plus, se poate constata cât de con<strong>si</strong>stentă (bogată) poate fi geometria bazată<br />
doar pe una sau câteva grupe de axiome.<br />
<strong>Axiomele</strong> de <strong>in</strong>cidenŃă (Grupa I)<br />
<strong>Axiomele</strong> acestei grupe def<strong>in</strong>esc proprietăŃile de amplasare ale punctelor, dreptelor şi<br />
<strong>plan</strong>elor. Se admit următoarele axiome de <strong>in</strong>cidenŃă:<br />
I1. Oricare ar fi două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B ale spaŃiului, există o dreaptă a care trece<br />
pr<strong>in</strong> aceste puncte.<br />
I2. Oricare ar fi două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B există cel mult o dreaptă a care trece pr<strong>in</strong><br />
aceste puncte.<br />
2
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Figura 1<br />
Deci, două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B ale spaŃiului determ<strong>in</strong>ă o dreaptă şi numai una<br />
s<strong>in</strong>gură. NotaŃie: a = AB (fig. 1).<br />
I3. Pe oricare dreaptă sînt <strong>si</strong>tuate cel puŃ<strong>in</strong> două puncte. Există cel puŃ<strong>in</strong> trei puncte<br />
necol<strong>in</strong>iare.<br />
I4. Oricar ar fi trei puncte necol<strong>in</strong>iare A , B , C , există <strong>plan</strong>ul α ce trece pr<strong>in</strong> aceste<br />
puncte. Pe fiecare <strong>plan</strong> este <strong>si</strong>tuat cel puŃ<strong>in</strong> un punct.<br />
I5. Oricare ar fi trei puncte necol<strong>in</strong>iare A , B , C , există cel mult un <strong>plan</strong> α care trece<br />
pr<strong>in</strong> aceste puncte.<br />
Astfel, trei puncte necol<strong>in</strong>iare A , B , C , determ<strong>in</strong>ă un <strong>plan</strong> α şi numai unul s<strong>in</strong>gur.<br />
NotaŃie: α = (ABC)<br />
(fig. 2).<br />
Figura 2<br />
I6. Dacă două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B ale dreptei a sînt <strong>si</strong>tuate pe <strong>plan</strong>ul α , atunci<br />
fiecare punct al dreptei a este <strong>si</strong>tuat pe <strong>plan</strong>ul α .<br />
Altfel spus, dacă o dreaptă are două puncte comune cu un <strong>plan</strong>, atunci dreapta este<br />
conŃ<strong>in</strong>ută în întregime în acest <strong>plan</strong>.<br />
α<br />
.<br />
A<br />
Figura 3<br />
I7. Dacă două <strong>plan</strong>e α şi β au un punct comun A , atunci ele mai au cel puŃ<strong>in</strong> încă un<br />
punct comun B . Planele se reprez<strong>in</strong>tă pe foaie de caiet pr<strong>in</strong> paralelograme.<br />
Figura 4<br />
I8. Exista cel put<strong>in</strong> patru puncte necol<strong>in</strong>iare.<br />
a<br />
. A . B<br />
· A<br />
A B<br />
a<br />
·B<br />
α<br />
.<br />
C<br />
β<br />
.<br />
B<br />
α<br />
3
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
D<br />
Figura 5<br />
Utilizand aceste axiome pot fi demonstrate urmatoarele teoreme:<br />
T1. Două drepte dist<strong>in</strong>cte au cel mult un punct comun.<br />
Figura 6<br />
T2. Dacă două <strong>plan</strong>e au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care sînt<br />
<strong>si</strong>tuate toate punctele comune acestor <strong>plan</strong>e.<br />
Figura 7<br />
T3. Pr<strong>in</strong>tr-o dreaptă şi un punct ce nu-i aparŃ<strong>in</strong>e trece un <strong>plan</strong> şi numai unul s<strong>in</strong>gur.<br />
Figura 8<br />
T4. Pr<strong>in</strong> două drepte concurente trece un <strong>plan</strong> şi numai unul s<strong>in</strong>gur.<br />
Figura 9<br />
T5. Orice <strong>plan</strong> conŃ<strong>in</strong>e trei puncte necol<strong>in</strong>iare.<br />
α<br />
a<br />
A a<br />
α<br />
C<br />
A B<br />
E<br />
a<br />
A<br />
α<br />
A a<br />
b<br />
β<br />
b<br />
4
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
<strong>plan</strong>.<br />
Aşadar, un <strong>plan</strong> poate fi determ<strong>in</strong>at:<br />
Figura 10<br />
a) de trei puncte necol<strong>in</strong>iare,<br />
b) de o dreaptă şi un punct ce nu-i aparŃ<strong>in</strong>e,<br />
c) de două drepte secante (care se <strong>in</strong>tersectează).<br />
Să demonstrăm de exemplu teoremele 3 şi 4.<br />
Teorema 3. Pr<strong>in</strong>tr-o dreaptă şi un punct ce nu aparŃ<strong>in</strong>e acestei drepte trece un unic<br />
Figura 11<br />
DemonstraŃie. Fie dreapta d dată şi punctul A∉ d . Conform axiomei I3 pe dreapta d<br />
există două puncte dist<strong>in</strong>cte B şi C (fig. 11). Punctele A , B , C sînt necol<strong>in</strong>iare, deci,<br />
conform axiomelor I4-I5, pr<strong>in</strong> aceste puncte trece un <strong>plan</strong> α şi numai unul s<strong>in</strong>gur. Dreapta d<br />
aparŃ<strong>in</strong>e <strong>plan</strong>ului α , deoarece două puncte dist<strong>in</strong>cte ale ei, B şi C , aparŃ<strong>in</strong> <strong>plan</strong>ului α<br />
(axioma I6). Deci, <strong>plan</strong>ul α este s<strong>in</strong>gurul <strong>plan</strong> ce conŃ<strong>in</strong>e punctul A şi dreapta d . ►<br />
Acest <strong>plan</strong> se notează ( A , d)<br />
sau ( d , A)<br />
. Planul ce trece pr<strong>in</strong> punctele necol<strong>in</strong>iare A ,<br />
B , C se notează (ABC ) .<br />
Teorema 4. Există un unic <strong>plan</strong> ce trece pr<strong>in</strong> două drepte concurente.<br />
Figura 12<br />
DemonstraŃie. Fie a şi b două drepte concurente în C . Pe dreapta a , în afară de<br />
punctul C mai există cel puŃ<strong>in</strong> un punct A, A ≠ C (fig. 12). Conform teoremei 3, pr<strong>in</strong><br />
punctul A şi dreapta b trece un <strong>plan</strong> α şi numai unul s<strong>in</strong>gur. Unicitatea <strong>plan</strong>ului rezultă d<strong>in</strong><br />
axioma I6, deoarece orice punct al dreptei AC aparŃ<strong>in</strong>e <strong>plan</strong>ului α . ►<br />
ExerciŃiu. DemonstraŃi teoremele T1, T2, T5.<br />
a<br />
A<br />
d<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
b<br />
C<br />
C<br />
C<br />
α<br />
5
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
<strong>Axiomele</strong> de ord<strong>in</strong>e (grupa II)<br />
<strong>Axiomele</strong> de ord<strong>in</strong>e evidenŃiază relaŃia d<strong>in</strong>tre punctele <strong>si</strong>tuate pe o dreaptă; această<br />
relaŃie se exprimă pr<strong>in</strong> cuv<strong>in</strong>tele „a fi între” şi altele echivalente cu acestea. Dacă punctul B<br />
este <strong>si</strong>tuat (se află) între punctele A şi C notăm A − B − C .<br />
Se admit următoarele axiome de ord<strong>in</strong>e:<br />
II1. Dacă avem A − B − C , atunci A , B , C sînt puncte dist<strong>in</strong>cte col<strong>in</strong>iare şi avem<br />
C − B − A.<br />
A B C<br />
Figura 13<br />
II2 (Axioma punctului exterior). Oricare ar fi două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B există cel<br />
puŃ<strong>in</strong> un punct C astfel încât A − B − C .<br />
A B C<br />
Figura 14<br />
II3. Oricare ar fi trei puncte dist<strong>in</strong>cte col<strong>in</strong>iare A , B , C , unul şi numai unul este <strong>si</strong>tuat<br />
între celelalte două.<br />
A B C B C A C A B<br />
Figura 15<br />
Îna<strong>in</strong>te de a formula axioma II4 def<strong>in</strong>im noŃiunile de segment şi triunghi.<br />
Figura ce constă d<strong>in</strong> două puncte dist<strong>in</strong>cte A , B şi mulŃimea tuturor punctelor dreptei<br />
AB <strong>si</strong>tuate între A şi B se numeşte segment închis determ<strong>in</strong>at de punctele A , B şi se<br />
notează [AB ] :<br />
[ AB] = { A,<br />
B}<br />
∪{<br />
M ∈ AB | A − M − B}<br />
.<br />
Punctele A şi B se numesc capetele (extremităŃile) segmentului. Uneori se spune că<br />
segmental AB uneşte punctele A şi B . Pentru comoditate se exam<strong>in</strong>ează şi segmentele nule<br />
[ AA ], [ BB]<br />
. Punctele segmentului, diferite de capetele lui, se numesc puncte <strong>in</strong>terioare ale<br />
acestui segment.<br />
MulŃimea tuturor punctelor <strong>in</strong>terioare ale segmentului AB se numeşte segment<br />
deschis şi se notează (AB ) . Atât segmentul nenul închis, cât şi segmentul deschis determ<strong>in</strong>ă o<br />
dreaptă, care se numeşte dreapta suport a segmentului respectiv.<br />
Dacă o dreaptă trece pr<strong>in</strong>tr-un s<strong>in</strong>gur punct al unui segment, atunci se spune că dreapta<br />
<strong>in</strong>tersectează segmentul sau că segmentul <strong>in</strong>tersectează dreapta.<br />
Reuniunea a trei puncte necol<strong>in</strong>iare şi a segmentelor ce unesc aceste puncte se<br />
numeşte triunghi.<br />
Fie A , B , C trei puncte necol<strong>in</strong>iare. Triunghiul determ<strong>in</strong>at de aceste puncte se<br />
notează Δ ABC .<br />
Δ ABC = [ AB]<br />
∪[<br />
BC]<br />
∪[<br />
CA]<br />
6
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Figura 16<br />
Punctele A , B , C se numesc vârfurile triunghiului ABC , segmentele<br />
[ AB ], [ BC],<br />
[ CA]<br />
– laturile triunghiului ABC , iar <strong>plan</strong>ul (ABC ) – <strong>plan</strong>ul triunghiului ABC .<br />
II4 (Axioma lui Pasch). Dacă dreapta a este <strong>si</strong>tuată în <strong>plan</strong>ul (ABC ) al Δ ABC şi nu<br />
trece pr<strong>in</strong> nici unul d<strong>in</strong> vârfurile A , B , C ale Δ ABC , dar <strong>in</strong>tersectează o latură a Δ ABC (în<br />
<strong>in</strong>terior), atunci dreapta a <strong>in</strong>tersectează încă una şi numai una d<strong>in</strong> laturile Δ ABC (în <strong>in</strong>terior).<br />
a<br />
A<br />
D<br />
B<br />
C<br />
A C<br />
Figura 17<br />
Cu ajutorul axiomelor de <strong>in</strong>cidenŃă şi de ord<strong>in</strong> se demonstrează mai multe rezultate de<br />
geometrie şi se def<strong>in</strong>esc o serie de figuri geomtrice importante. În primul rand se deduce că<br />
orice segment nenul are cel puŃ<strong>in</strong> un punct <strong>in</strong>terior, iar de aici rezultă că orice dreaptă are o<br />
<strong>in</strong>f<strong>in</strong>itate de puncte.<br />
<strong>Axiomele</strong> de <strong>in</strong>cidenŃă permit să def<strong>in</strong>im semidreapta, semi<strong>plan</strong>ul şi semispaŃiul după<br />
cum urmează.<br />
Mai întîi se formulează şi se demonstrează teoremele de separare a dreptei, <strong>plan</strong>ului şi<br />
spaŃiului, de către un punct, o dreapta, un <strong>plan</strong> respectiv.<br />
Teorema S1. Orice punct O al unei drepte d împarte dreapta d în două submulŃimi<br />
nevide disjuncte de puncte, astfel încât orice două puncte A , B d<strong>in</strong> submulŃimi diferite sînt<br />
separate de punctul O , iar orice două puncte C , D d<strong>in</strong> aceeaşi submulŃime nu sînt separate<br />
de punctul O .<br />
D C A O B<br />
Figura 18<br />
Teorema S2. Orice dreaptă d <strong>in</strong>clusă într-un <strong>plan</strong> α împarte <strong>plan</strong>ul α în două<br />
submulŃimi nevide disjuncte de puncte, astfel încât pentru orice două puncte A , B d<strong>in</strong><br />
submulŃimi diferite, segmentul [AB ] <strong>in</strong>tersectează dreapta d , iar pentru orice două puncte C ,<br />
D d<strong>in</strong> aceeaşi submulŃime segmentul nu <strong>in</strong>tersectează dreapta d .<br />
d<br />
B<br />
7
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
B D<br />
A<br />
C<br />
Figura 19<br />
Teorema S3. Orice <strong>plan</strong> α împarte mulŃimea punctelor spaŃiului în două submulŃimi<br />
nevide disjuncte de puncte astfel încât pentru orice două puncte A , B d<strong>in</strong> submulŃimi diferite<br />
segmentul AB <strong>in</strong>tersectează <strong>plan</strong>ul α , iar pentru orice două puncte C , D d<strong>in</strong> aceeaşi<br />
submulŃime segmentul CD nu <strong>in</strong>tersectează <strong>plan</strong>ul α .<br />
Figura 20<br />
Fiecare d<strong>in</strong> submulŃimile d<strong>in</strong> teorema S1 se numesc semidrepte deschise cu orig<strong>in</strong>ea<br />
în O ale dreptei d (sau cu suportul d ).<br />
Reuniunea semidreptei deschise cu orig<strong>in</strong>ea ei se numeşte semidreaptă închisă.<br />
NotaŃie: (OA , [ OA respectiv sînt semidrepte deschisă, închisă cu orig<strong>in</strong>ea în O care conŃ<strong>in</strong><br />
punctul A .<br />
O A O A<br />
Figura 21<br />
Semidreptele diferite cu acelaşi support d şi aceeaşi orig<strong>in</strong>e O se numesc semidrepte<br />
opuse şi se mai notează pr<strong>in</strong>: (Od ',<br />
(Od ''<br />
.<br />
d<br />
''<br />
α<br />
A<br />
A<br />
Figura 22<br />
Fiecare d<strong>in</strong> submulŃimile d<strong>in</strong> teorema S3 se numesc semispaŃii deschise determ<strong>in</strong>ate<br />
de <strong>plan</strong>ul α (cu frontiera α ).<br />
Reuniunea semispaŃiului deschis cu frontiera sa se numeşte semispaŃiu închis. NotaŃie:<br />
( αA<br />
, ([ αA<br />
este semispaŃiul deschis (închis) cu frontiera α, care conŃ<strong>in</strong>e punctul A .<br />
SemispaŃiile diferite cu aceeaşi frontieră se numesc semispaŃii opuse.<br />
O<br />
E<br />
C<br />
B<br />
D<br />
α<br />
d<br />
d '<br />
8
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Reuniunea a două semidrepte închise cu orig<strong>in</strong>ea comună se numeşte unghi. Fie [ OA<br />
şi [ OB două semidrepte.<br />
<strong>Axiomele</strong> de congruenŃă (grupa III)<br />
<strong>Axiomele</strong> acestei grupe def<strong>in</strong>esc proprietăŃile relaŃiilor de congruenŃă d<strong>in</strong>tre segmente<br />
(unghiuri). Se folosesc notaŃiile: [ AB] ≡ [ CD]<br />
, ∠ AOB ≡ ∠A'O'<br />
B'<br />
, care se exprimă pr<strong>in</strong>:<br />
segmentul AB (respectiv unghiul AOB ) este congruent cu segmentul CD (respectiv cu<br />
unghiul A 'O' B'<br />
). Aceste axiome sînt:<br />
III1. Fi<strong>in</strong>d date segmentul AB şi semidreapta cu orig<strong>in</strong>ea în A ' , există un punct B '<br />
<strong>si</strong>tuat pe această semidreaptă astfel încât [ AB] ≡ [ A'<br />
B']<br />
.<br />
III2. Dacă [ AB] ≡ [ A'<br />
B']<br />
şi [ AB] ≡ [ A"<br />
B"<br />
] , atunci [ A' B']<br />
≡ [ A"<br />
B"<br />
] .<br />
III3. Dacă A − B − C , A'− B − C'<br />
, [ AB] ≡ [ A'<br />
B']<br />
şi [ BC] ≡ [ B'C'<br />
] , atunci<br />
[ AC] ≡ [ A'C'<br />
] .<br />
A B C A’ B’ C’<br />
Figura 23<br />
III4. Fie ∠ AOB , dreapta a şi ( O ' X ' o semidreapta a dreptei a cu orig<strong>in</strong>ea în punctul<br />
O '.<br />
Atunci, în semi<strong>plan</strong>ul α există o unică semidreaptă O 'Y ' astfel încât ∠ AOB ≡ ∠X<br />
'O'Y '.<br />
B<br />
O O '<br />
A<br />
Figura 24<br />
III5. Dacă pentru triunghiurile ABC şi A ' B'C'<br />
au loc relaŃiile [ AB] ≡ [ A'<br />
B']<br />
,<br />
[ AC] ≡ [ A'C'<br />
] , ∠ BAC ≡ ∠B'<br />
A'C'<br />
atunci are loc relaŃia ∠ ABC ≡ ∠A'<br />
B'C'<br />
, sau, schimbând<br />
notaŃiile, ∠ ACB ≡ ∠A'C'<br />
B'<br />
.<br />
C C<br />
'<br />
A B A '<br />
B '<br />
Figura 25<br />
Aducem ca exemplu câteva teoreme ce rezultă d<strong>in</strong> axiomele de congruenŃă şi care le<br />
vom utilize în cont<strong>in</strong>uare.<br />
1) RelaŃia de congruenŃă a segementelor este o relaŃie de echivalenŃă pe mulŃimea<br />
segmentelor.<br />
2) Unghiurile de la baza triunghiului isoscel sînt congruente.<br />
X '<br />
X '<br />
α<br />
9
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Triunghiurile ABC şi A ' B'C'<br />
se numesc congruente dacă există o corespondenŃă f<br />
între vîrfuri, de exemplu f ( A)<br />
= A',<br />
f ( B)<br />
= B',<br />
f ( C)<br />
= C'<br />
, astfel încât<br />
∠ A ≡ ∠A',<br />
∠B<br />
≡ ∠B',<br />
∠C<br />
≡ ∠C',<br />
[ AB]<br />
≡ [ A'<br />
B'],<br />
[ AC]<br />
≡ [ A'C'<br />
], [ BC]<br />
≡ [ B'C'<br />
].<br />
3) Criteriile de congruenŃă ale triunghiurilor:<br />
3a) (Criteriul LUL). Dacă triunghiurile ABC şi A ' B'C'<br />
sînt astfel încât<br />
( AB) = ( A'<br />
B'),<br />
( AC)<br />
= ( A'C'<br />
), ∠A<br />
≡ ∠A',<br />
atunci Δ ABC ≡ ΔA'<br />
B'C'<br />
.<br />
3b) (Criteriul ULU). Dacă triunghiurile ABC şi A ' B'C'<br />
sînt astfel încât<br />
∠ B ≡ ∠B',<br />
( BC)<br />
≡ ( B'C'<br />
), ∠C<br />
≡ ∠C'<br />
, atunci Δ ABC ≡ ΔA'<br />
B'C'<br />
.<br />
3c) (Criteriul LLL). Dacă triunghiurile ABC şi A ' B'C'<br />
sînt astfel încât<br />
( AB ) ≡ ( A'<br />
B'),<br />
( AC)<br />
≡ ( A'C'<br />
), ( BC)<br />
= ( B'C'<br />
) , atunci Δ ABC ≡ ΔA'<br />
B'C'<br />
.<br />
4) CongruenŃa triunghiurilor este o relaŃie de echivalenŃă pe mulŃimea triunghiurilor.<br />
5) CongruenŃa unghiurilor este o relaŃie de echivalenŃă pe mulŃimea unghiurilor.<br />
În cont<strong>in</strong>uare putem formula def<strong>in</strong>iŃiile cunoscute ale noŃiunilor “mai mare” şi “mai<br />
mic” pentru segmente şi unghiuri şi putem deduce proprietăŃile comparaŃiei segmentelor şi<br />
unghiurilor.<br />
De exemplu, spunem că segmentul (AB ) este mai mic decât segmentul (CD ) şi<br />
scriem ( AB ) < ( CD)<br />
dacă există un punct E pe semidreapta (CD , astfel încât C − E − D şi<br />
( AB) ≡ ( CE)<br />
.<br />
A<br />
Figura 26<br />
În acest caz se mai spune că (CD ) este mai mare decât (AB ) şi se scrie ( CD ) > ( AB)<br />
.<br />
Se numesc unghiuri adiacente două unghiuri proprii care au acelaşi vârf, o latură<br />
comună şi <strong>in</strong>terioarele disjuncte. ( ∠ AOB şi ∠ AOC ).<br />
O<br />
B<br />
Figura 27<br />
E D<br />
Două unghiuri adiacente care au laturile necomune opuse se numesc unghiuri<br />
suplementare. Un unghi se numeşte drept dacă el este congruent cu suplementarul său.<br />
C<br />
B<br />
C<br />
A<br />
10
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
C<br />
6) Există un unghi drept.<br />
Figura 28<br />
7) Toate unghiurile drepte sînt congruente între ele.<br />
8) Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât fiecare d<strong>in</strong>tre unghiurile<br />
triunghiului, neadiacent cu acel unghi.<br />
9) În orice triunghi laturii mai mari i se opune un unghi mai mare şi viceversa: unghiului<br />
mai mic i se opune latura mai mică.<br />
<strong>Axiomele</strong> grupelor I-IV permit să dăm def<strong>in</strong>iŃia mijlocului unui segment şi a<br />
bisectoarei unghiului.<br />
Se demonstrează că:<br />
10) Orice segment are un s<strong>in</strong>gur mijloc.<br />
11) Orice unghi are o s<strong>in</strong>gură bisectoare.<br />
<strong>Axiomele</strong> de cont<strong>in</strong>uitate (grupa IV)<br />
IV1 (Axioma lui Arhimede). Fie segmentele AB şi CD astfel încât ( AB ) > ( CD)<br />
.<br />
Atunci pe dreapta AB există un număr f<strong>in</strong>it de puncte<br />
relaŃiile:<br />
A 1 , A 2 , …, A n , astfel încât au loc<br />
a) A A − A A − A − A ,..., A − A − A ;<br />
− 1 2 , 1 2 3 n−<br />
2 n−1<br />
n<br />
b) ) ( A A ) ≡ ... ≡ ( A A ) ≡ ( CD);<br />
( AA1 ≡ 1 2<br />
n − 1 n<br />
c) n A B A − − .<br />
C D<br />
Figura 29<br />
IV2. Fie pe o dreaptă oarecare a un şir <strong>in</strong>f<strong>in</strong>it de segmente<br />
), ( ), ..., ( ), ... A B A B A cu proprietăŃile:<br />
( 1 1 2 2<br />
n n B<br />
a) B ) ( A B ), ∀i<br />
∈ N .<br />
( Ai i ⊃ i + 1 i+<br />
1<br />
A<br />
O B<br />
A A1 A2 An-2 An-1 B An<br />
b) nu există nici un segment <strong>in</strong>clus în toate segmentele şirului con<strong>si</strong>derat.<br />
Atunci pe dreapta a există un s<strong>in</strong>gur punct M care aparŃ<strong>in</strong>e fiecărui segment d<strong>in</strong> acest şir.<br />
Pr<strong>in</strong>cipalele consec<strong>in</strong>Ńe obŃ<strong>in</strong>ute cu ajutorul grupelor I-IV sînt teoria măsurării<br />
segmentelor şi a unghiurilor.<br />
A<br />
C O B<br />
11
<strong>Axiomele</strong> <strong>geometriei</strong> în <strong>plan</strong> şi în spaŃiu<br />
Geometria construită în baza axiomelor grupelor I-IV se numeşte geometrie absolută.<br />
Axioma paralelelor (V)<br />
V (Axioma paralelelor lui Euclid). Fie o dreaptă oarecare a şi un punct A exterior<br />
dreptei a . Atunci în <strong>plan</strong>ul determ<strong>in</strong>at de punctul A şi dreapta a , există cel mult o dreaptă<br />
care trece pr<strong>in</strong> punctul A şi nu <strong>in</strong>tersectează dreapta a .<br />
Figura 30<br />
Două drepte dist<strong>in</strong>cte se numesc paralele dacă ele sînt <strong>si</strong>tuate într-un <strong>plan</strong> şi nu se<br />
<strong>in</strong>tersectează.<br />
Este justă următoarea teoremă.<br />
Teorema. Pr<strong>in</strong>tr-un punct exterior unei drepte, în <strong>plan</strong>ul determ<strong>in</strong>at de punct şi<br />
dreaptă, există o paralelă unică la dreapta dată.<br />
Axioma V este echivalentă cu fiecare d<strong>in</strong> următoarele enunŃuri:<br />
1) Orice secantă s formează cu dreptele paralele a , b unghiuri alterne <strong>in</strong>terne<br />
congruente.<br />
Figura 31<br />
2) Pentru orice triunghi suma unghiurilor este egală cu 180°.<br />
3) Există un patrulater în care suma unghiurilor este egală cu 360°.<br />
4) Există un dreptunghi.<br />
a<br />
În baza axiomelor enunŃate poate fi argumentată toată geometria elementară studiată în<br />
clasele gimnaziale. Se spune că geometria elementară studiată în clasele anterioare este o<br />
<strong>in</strong>terpretare a modelului axiomatic al lui Hilbert de construire a <strong>geometriei</strong>.<br />
A<br />
S<br />
b<br />
α<br />
a<br />
12