CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

ILEA MIHAIL-OVIDIU
NOTE DE CURS
Matematica
Semestrul 1

1.SPAŢII VECTORIALE
Noţiunea de spaţiu vectorial constituie obiectul de studiu al algebrei liniare şi
reprezintă una dintre cele mai importante structuri algebrice utilizată în diferite ramuri ale
matematicii precum şi în disciplinele aplicate.
Definiţie. O mulţime nevidă V se numeşte spaţiu vectorial (liniar)
peste câmpul K (pe scurt K-spaţiu vectorial) dacă sunt
indeplinite următoarele condiţii:
I. (V, +) formează o structură de grup abelian (de tip aditiv), adică
a) (x+y)+z = x+(y+z) , x, y, z V
b) 0 V astfel încât x V , x + 0 = 0 + x
c) x V , x V , x + (-x) = (-x) + x = 0
d) x, y V , x
y y x
II. Legea de compoziţie externă : K V, ( , x) = x, satisface axiomele:
a) (x + y) = x + y
b) ( + ) x = x + x
c) ( x) = ( ) x
d) 1 x = x, , K, x, y V.
Condiţiile I şi II reprezintă axiomele spaţiului vectorial peste câmpul K.
Elementele mulţimii V se numesc vectori, elementele câmpului K se numesc scalari,
iar legea de compoziţie externă se numeşte înmulţirea cu scalari.

Dacă corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau complexe C, vom vorbi
atunci despre un spaţiu vectorial real, respectiv spaţiu vectorial complex.
În majoritatea cazurilor vom întâlni spaţii vectoriale peste corpul numerelor reale şi
le vom numi simplu "spaţii vectoriale", iar în celelalte cazuri vom indica câmpul scalarilor.
Dacă notăm cu 0V vectorul nul al grupului aditiv V şi cu 0K scalarul nul, atunci din
axiomele care definesc spaţiul vectorial V peste câmpul K avem următoarele proprietăţi:
Corolar Dacă V este un spaţiu vectorial peste câmpul K, atunci
pentru, x V, K au loc proprietăţile:
Exemple
1) 0K x = 0V
2) 0V = 0V
3) (-1) x= -x .
1° Fie K un corp comutativ. Ţinând cont de structura aditivă abeliană a câmpului K,
atunci mulţimea K reprezintă un K-spaţiu vectorial. Mai mult dacă K' K este un subcorp,
atunci K este un K'-spaţiu vectorial. Mulţimea numerelor complexe C poate fi privită ca un Cspaţiu
vectorial sau R-spaţiu vectorial respectiv Q-spaţiu vectorial.
2° Mulţimea K n = K K … K, unde K este un corp comutativ, este un K-spaţiu
vectorial, numit spaţiul aritmetic (standard),în raport cu operaţiile : x,y V , K , x=
(x1, x2,..,xn), y = (y1, y2,..,yn)
x
y
x
: ( x y1,
x2
y2,...,
xn
1 n
: ( , 2,...,
x x
x
1 n
)
y
)
3° Mulţimea matricelor Mm n(K), este un K-spaţiu vectorial în raport cu operaţiile:
A
B
: ( ij ij)
b a
A ( a ) , A = (aij), B = (bij) Mm n(K), K.
: ij
4° Mulţimea K[X] a polinoamelor cu coeficienţi din câmpul K este un K-spaţiu
vectorial în raport cu operaţiile:
f g ( a b , a b ,...) , f ( a , a ,...) ,
: 0 0 1 1
: 0 1
f = (a0, a1,..), g = (b1, b2,..) K[X], K.
5° Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene formează un spaţiu
vectorial peste câmpul K al coeficienţilor acestui sistem. Soluţiile unui sistem de m ecuaţii cu
n necunoscute, privite ca elemente din K n (n-uple), pot fi însumate şi înmulţite cu un scalar

espectând adunarea şi produsul cu scalari definite pe K n .
6° Mulţimea vectorilor liberi V3 din spaţiul punctual al geometriei elementare este un
R-spaţiu vectorial
În concluzie,cele două operaţii definite pe V3 , satisfăcând axiomele grupei I şi II,
înzestrează mulţimea vectorilor liberi cu o structură de spaţiu vectorial real.
2. Subspaţii vectoriale
Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K.
Definiţie. O submulţime nevidă U V se numeşte subspaţiu
vectorial al lui V dacă operaţiile algebrice de pe V induc
pe U o structură de K-spaţiu vectorial.
Teoremă. Dacă U este o submulţime a K-spaţiului vectorial V,
atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
Exemple
1° U este subspaţiu vectorial în V
2° x, y U, K avem
a) x + y U
b) x U
3° x, y U , , U x + y U.
1° Mulţimea {0} V este subspaţiu în V, numit subspaţiul nul al lui V. Orice
subspaţiu diferit de spaţiul vectorial V şi de subspaţiul nul {0} se numeşte subspaţiu propriu.
2° Mulţimea matricelor simetrice (antisimetrice) de ordinul n este un subspaţiu al
mulţimii matricelor pătratice de ordinul n.

3° Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali de grad n, R[X] = {f
R[X]/grad f n} reprezintă un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al polinoamelor cu
coeficienţi reali.
4° Submulţimile Rx = {(x, 0)/x R} R 2 Ry = {(0, y)/x R} R 2 .sunt subspaţii
vectoriale ale spaţiului aritmetic R 2 . Mai general, mulţimea punctelor de pe orice dreaptă ce
trece prin originea spaţiului R 2 , determină un subspaţiu vectorial. Aceste subspaţii vectoriale
reprezintă mulţimea soluţiilor unor ecuaţii liniare şi omogene în două necunoscute.
Propoziţie. Fie V1 şi V2 două subspaţii în K-spaţiul vectorial V.
Submulţimile V1 V2 V şi V1 + V2 = =
{ v V / v v1
v2,
v1
V1,
v2
V2}
V sunt subspaţii
vectoriale.
Observaţie. Submulţimea V1 V2 V nu este un subspaţiu vectorial.
Exemplu. Subspaţiile vectoriale Rx şi Ry definite în exemplul 4°, verifică relaţiile:
Rx Ry = {0} şi Rx + Ry = R 2 .
În adevăr, dacă (x, y) Rx Ry (x, y) Rx şi (x, y) Ry y = 0 şi x = 0, ceea ce
dovedeşte că subspaţiul Rx Ry este format numai din vectorul nul.
Pentru (x, y) R 2 , (x, 0) Rx , (0, y) Ry , astfel încât (x, y) = (x, 0) + (0,
y) ceea ce demonstrează că R 2 Rx + Ry. Incluziunea inversă este evidentă.
Observaţie. Noţiunile de sumă şi sumă directă pot fi extinse la un număr finit de termeni.
Consecinţă. Dacă V1 şi V2 sunt două subspaţii vectoriale ale
spaţiului vectorial V atunci L(V1 V2)=V1 + V2.
Definiţie. O submulţime S V se numeşte sistem de generatori
pentru spaţiul vectorial V dacă subspaţiul generat de
submulţimea S coincide cu V, L (S)=V.
astfel încât
Dacă submulţimea S este finită, şi pentru orice vector v V, i K, i 1,
n
v
n
i 1
i i x
, atunci spunem că spaţiul vectorial V este finit generat.

3.Vectori liniari independenti. Vectori liniari dependenti.
Fie V un K-spaţiu vectorial şi submulţimea S = {x1,x2,…,xp} V.
Definiţie. Submulţimea de vectori S = {x1, x2, …, xp} V se
numeşte liniar independentă ( liberă sau vectorii
x1, x2, …, xn sunt liniar independenţ) dacă
egalitatea 1 1 2x
2 ... p x p 0 ,
x i K, i 1,
p ,
are loc numai dacă ... 0 .
1 2
p
O mulţime (finită sau nu) de vectori dintr-un spaţiu vectorial este liniar independentă
dacă orice sistem finit de vectori este un sistem de vectori liniar independenţi.
Definiţie. Submulţimea de vectori S = {x1, x2, …, xp} V se
numeşte liniar dependentă (legată sau vectorii x1, x2,.., xn
sunt liniar dependenţi), dacă ( ) 1, 2, …, p K
nu toţi nuli pentru care x
x ... 0 .
1 1 2 2
p x p
Remarcă: Dacă anularea unei combinaţii liniare finite, formată cu vectorii x1, x2, …, xn V,
permite exprimarea unui vector în funcţie de ceilalţi (adică existenţa măcar a unui coeficient
nenul) atunci vectorii x1, x2, …, xp sunt liniar dependenţi, în caz contrar aceştia sunt liniar
independenţi.
Teoremă. Dacă S = {x1, x2, …, xp} V este o mulţime liniar
independentă şi L(S) acoperirea liniară a lui S, atunci
orice mulţime de p + 1 elemente din L(S) este liniar
dependentă.

Fie V un K-spaţiu vectorial
4. Bază şi dimensiune
Definiţie. O submulţime B (finită sau nu) de vectori din V se
numeşte bază a spaţiului vectorial V dacă:
1) B este liniar independentă
2) B reprezintă un sistem de generatori pentru V.
Spaţiul vectorial V se zice că este finit generat sau finit dimensional dacă există un
sistem finit de generatori.
Teoremă. (de existenţă a bazelor) Dacă V {0} este un spaţiu
vectorial finit generat şi S este un sistem de generatori
pentru V, atunci există o bază B S a spaţiului vectorial
V. (Din orice sistem finit de generatori al unui spaţiu
vectorial se poate extrage o bază).
Consecinţă. Dacă V {0} şi S V un sistem finit de generatori şi
L1 S un sistem liniar independent, atunci există o
bază B a spaţiului vectorial V, aşa încât L1 B S.
Un spaţiu vectorial V este finit dimensional dacă are o bază finită sau dacă V = {0},
în caz contrar se numeşte infinit dimensional.
Exemple
1°În spaţiul aritmetic K n submulţimea vectorilor B={e1,e2,…, en}, unde e1={1, 0, …,
0}, e2={0, 1, …, 0},…, en={0, 0, …, 0, 1}, reprezintă o bază a spaţiului vectorial K n , numită
baza canonică.
2° În spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi reali R[X] submulţimea B = {1,
x, x 2 ,..,x n ,..}, constituie o a bază. R[X] este un spaţiu infinit dimensional.

Propoziţie. Într-un K-spaţiu vectorial V finit generat, orice două
baze au acelaşi număr de elemente.
Propoziţia precedentă permite introducerea noţiunii de dimensiune a unui spaţiu
vectorial.
Definiţie. Se numeşte dimensiune a unui spaţiu vectorial finit
generat, numărul de vectori dintr-o bază a sa, notat cu
dimV. Spaţiul nul {0} are dimensiunea 0.
Observaţie Dacă V este un spaţiu vectorial cu dimV = n atunci:
a) un sistem de n vectori este bază este liber independent.
b) un sistem de n vectori este bază este sistem de generatori.
c) Orice sistem de m > n vectori este liniar dependent.
Vom nota un K-spaţiu vectorial n-dimensional cu Vn, dimVn = n.
Propoziţie. Dacă B ={e1, e2,…, en} este o bază a K-spaţiului
vectorial Vn atunci orice vector x Vn admite o
f: V n
exprimare unică x λ e , λ .
Scalarii 1, 2,…, n se numesc coordonatele vectorului x în baza B, iar bijecţiile
K ,
(λ , λ ,..., λ ) se numeşte sistem de coordonate pe V.
x 1 2 n
Teoremă. (Grassmann - teorema dimensiunii). Dacă V1 şi V2 sunt
două subspaţii vectoriale ale K-spaţiului vectorial Vn
atunci
din (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 – dim(V1 V2)
n
i 1
i i i K
5. Matricea de trecere de la o baza la alta
Să considerăm un K-spaţiu vectorial Vn şi B = {e1, e2,…, en} respectiv B = {e 1, e 2,…, e n}
două baze în Vn. Orice vector din B poate fi exprimat în funcţie de elementele celeilalte baze.
Aşadar avem relaţiile:

e'
e'
e'
1
2
n
a
a
a
12
e
11 1
e
e
1
a
a
a
e
...
...
a
n1
n2
.......... .......... .......... .......... ..
1n
1
21
22
e
e
2
2
2n
2
...
a
a
e
n
e
e
n
nn n
sau
e'
j
n
i 1
a e ,
Notând cu B = t [e1, e2,…, en], B = t [e 1, e 2,…, e n] şi cu
ij
i
j
1 ,n
A
a
a
a
11
21
n1
, a
, a
, a
12
22
n2
,...,a
,..., a
,..., a
1n
2n
.......... .......... ..
nn
matricea de
tip n n, care are drept coloane coordonatele vectorilor e j, j 1 ,n , relaţiile (4.2) pot fi
scrise sub forma
B = t AB
Fie acum un vector x Vn, exprimat în cele două baze ale spaţiului vectorial Vn prin relaţiile:
x
n
i 1
i i e x
şi respectiv
x
n
j 1
Ţinând seama de relaţiile obţinem
x
n
j 1
j
j
n
j 1
j
n
i 1
ij
i
x'
j j e'
x'
e'
x' a e
a x' e .
Cum B este bază, egalitatea
x
i
n
j 1
a
ij
x'
j
n
n
i 1 j 1
, i 1 ,n
a
ij
n
n
i 1 j 1
x'
j
e
i
ij
n
i 1
j
x e
i
i
i
este echivalentă cu
relaţii ce caracterizează transformarea de coordonate ale unui vector la o schimbare a bazei
spaţiului vectorial Vn .
Dacă notăm cu X = t [x1, x2,…,xn] matricea coloană a coordonatelor vectorului x Vn
în baza B şi respectiv cu X = t [x 1, x 2,…,x n], matricea coordonatelor aceluiaşi vector x Vn
în baza B , putem scrie

X = AX
Matricea A = (aij) se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza B . În
concluzie,într-un spaţiu vectorial finit dimensional avem teorema de schimbare a bazei :
Teoremă. Dacă în spaţiul vectorial Vn, schimbarea bazei B cu
baza B este dată de relaţia B = t AB, atunci relaţia
între coordonatele unui vector x Vn, în cele două
baze ,este dată de X = AX .
Fie Vn un spaţiu vectorial şi B = {e1, e2,…,en} o bază a sa. Dacă vectorii v1,
v2,…, vp Vn, p n sunt exprimaţi prin relaţiile vj =
n
i 1
a ijei , atunci matricea A =
(aij), având drept coloane coordonatele vectorilor v1, v2,…,vp, va fi numită matricea de
trecere de la vectorii e1, e2,...,en la vectorii v1, v2,…, vp .
Consecinţă. Dacă B = {e1, e2,…, en} este o bază în Vn , atunci
mulţimea B = {e 1, e 2,…, e n},
e'
j
n
i 1
a e ,
ij
i
j
1,n
este bază a lui Vn dacă şi numai dacă matricea de
trecere A = (aij) este nesingulară.
Fie V un spaţiu vectorial real.
6.. Spaţii vectoriale euclidiene
Definiţie. O aplicaţie g: V V R, g( ( x, y)
) x,y cu
proprietăţile:
a) x,y z y,x x,z , x, y, z V
b) < x, y> =
, x, y V, R
c) = , x, y V

d) 0, = 0 x = 0 , x V
se numeşte produs scalar pe spaţiul vectorial V.
Corolar Dacă V este un spaţiu vectorial euclidian atunci au loc
relaţiile:
1) = +
2) = , x, y, z V, R
Definiţie. Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs
scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian (sau V
posedă o structură euclidiană).
Teoremă. Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial
euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:
Exemple
2
egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar
dependenţi.
1° În spaţiul aritmetic R n pentru orice două elemente x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,...,
yn), operaţia
=: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn
defineşte un produs scalar. Produsul scalar astfel definit, numit produsul scalr uzual
,înzestrează spaţiul aritmetic R n cu o strcutură euclidiană.
2° Mulţimea C([a, b]) a funcţiilor continue pe intervalul [a, b] este un spaţiu
vectorial în raport cu produsul scalar definit de

f, g
b
a
f(x)
g(x) dx
Teoremă. Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: V R+
definită prin
|| x ||
x,x
este o normă pe V, adică satisface axiomele:
a) || x || > 0, x 0 şi || x || = 0 x = 0
b) || || = | | || x ||, x V, R
,
c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).
Un spaţiu pe care s-a definit o funcţie “normă” se numeşte spaţiu normat.
Norma definită de un produs scalar se numeşte normă euclidiană.
Exemplu: În spaţiul aritmetic R n norma unui vector x = (x1, x2,…xn) este dată de
|| x ||
x
x
...
x
x
2 2
2
1 2
n
Un vector e V se numeşte versor dacă ||e|| = 1. Noţiunea de versor permite ca x
V să fie scris sub forma x ||x|| e , ||e|| 1,
unde direcţia lui e este aceeaşi cu direcţia
lui x.
Inegalitatea Cauchy-Schwarz, || ||x|| ||y|| ne permite să definim unghiul
dintre doi vectori, ca fiind unghiul [0, ], dat de
cos θ
x,y
|| x || || y ||
Produsul scalar definit pe un spaţiu vectorial V permite introducerea noţiunii de
ortogonalitate.
V

Definiţie. In spaţiul vectorial V vectorii x, y V se numesc
ortogonali dacă < x, y > = 0 .
O mulţime S V se spune că este ortogonală dacă vectorii săi sunt ortogonali doi
câte doi.O mulţime ortogonală se numeşte ortonormată dacă fiecare element al său are norma
egală cu unitatea.
Propoziţie. Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime
ortogonală, formată din elemente nenule, este liniar
independentă.
Consecinţă. Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn,
orice mulţime ortogonală formată din n vectori este o
bază în Vn.
Dacă în spaţiul vectorial euclidian Vn considerăm bază ortogonală B = {e1, e2,…, en},
atunci orice vector x Vn poate fi scris în mod unic sub forma
x
n
i 1
i i e
, unde
În adevăr, înmulţiind vectorul
n
i 1
λ
i
e ,e
i
k
λ
k
e
k
,e
k
λ
i
x, e
i
i
e , e
x
din care rezultă
Dacă B este ortonormată avem
i
n
i 1
i i x
ei,e j i j
fi numite coordonatele euclidiene ale vectorului x.
cu ek, obţinem =
x, e
k
λ k
, k , n
ek
, ek
1
0
, i
, i
1 .
7. Procesul de ortonormare Gramm-Schimdt
Fie Vn un spaţiu vectorial euclidian finit dimensional.
Teoremă. (Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în
spaţiul vectorial euclidian Vn atunci există o bază
ortonormată {e1, e2, ..., en} V astfel încât sistemele
j
, iar i = şi vor
j

de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează
acelaşi subspaţiu Up V, pentru p 1 , n .
8. Vectori si valori proprii. Teorema Cayley-Hamilton
Definiţie. Matricea nenulă X Mn(K) se numeşte vector propriu
al matricei A dacă K astfel încât AX = X.
Scalarul K se numeşte valoare proprie a matricei A.
Ecuaţia matriceală AX = X poate fi scrisă sub forma (A - I )X = 0 şi este echivalentă
cu sistemul de ecuaţii liniare şi omogene:
( a
a
21
11
) x
( a
) x
.......... .......... .......... .......... .........
a
n1
x
x
2
1
a
1
12
n1
x
2
a
12
...
x
2
2
( a
...
...
nn
care admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă
a
a
1n
a
2n
x
x
n
) x
a21
a22-
... a2n
P( ) = det(A - I ) = 0
.......... .......... ..........
a
11
n1
a
n2
n
n
a
12
...
Definiţie. Polinomul P( ) = det(A - I ) se numeşte polinomul
caracteristic al matricei A iar ecuaţia P( ) = 0
se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A .
Se poate demonstra că polinomul caracteristic are forma
P( ) = (-1) n [ n - 1 n-1 + ... + (-1) n n ] ,
unde i reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A.
Observaţii
0
0
0
...
a
nn
a
1n

1° Soluţiile ecuaţiei caracteristice det(A - I ) = 0 sunt valorile proprii ale matricei A.
2° Dacă câmpul K este un câmp închis atunci toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice
sunt în corpul K şi deci vectorii proprii corespunzători se vor găsi în K-spaţiul vectorial
Mn 1(K).
În cazul în care K nu este închis, de exemplu K = R, ecuaţia caracteristică poate avea şi
rădăcini complexe iar vectorii proprii corespunzători se vor găsi în complexificatul spaţiului
vectorial real.
3 o Pentru o matrice reală şi simetrică se poate demonstra că valorile proprii sunt reale.
4° Două matrice asemenea au acelaşi polinom caracteristic.
În adevăr, dacă A şi A sunt asemenea, A = C -1 AC cu C nesingulară, atunci
P ( ) = det(A - I ) = det(C -1 AC - I ) = det[C -1 (A - I)C] =
= det(C -1 ) det(A - I) detC= det(A - I) = P( )
Dacă A Mn(K) şi P(x) = a0x n + a1x n-1 + ... + an K[X] atunci polinomul P(A) = a0A n
+ a1A n-1 + ... + anI se numeşte polinom de matrice.
Teoremă. (Hamilton – Cayley)
Dacă P( ) este polinomul caractersitic al matricei A,
atunci P(A) = 0.
Consecinţă. Orice polinom în A Mn(K) de grad n poate fi
exprimat printr-un polinom de grad n – 1.
Consecinţă. Inversa matricei A poate fi exprimată prin puteri ale
matricei A, inferioare ordinului acesteia.
Să considerăm acum un K-spaţiu vectorial n-dimesional Vn , o bază B şi să notăm cu A
Mn(K), matricea asociată endomorfismului T în această bază. Ecuaţia T x = x este
echivalentă cu ecuaţia (A - I )X = 0.
9. Diagonalizare

Vn.
Fie endomorfismul T : Vn Vn definit pe K-spaţiul vectorial, n-dimensional
Definiţie. Endomorfismul T: Vn Vn se numeşte diagonalizabil
dacă există o bază B = {e1, e2, ..., en} în spaţiul vectorial
Vn astfel încât matricea corespunzătoare lui T în această
bază să aibă forma diagonală.
Teoremă. Un endomorfism T: Vn Vn este diagonalizabil dacă şi
numai dacă există o bază a spaţiului vectorial Vn formată
numai din vectori proprii corespunzători endomorfismului T.
În condiţiile teoremei precedente, matricele din clasa de asemănare ce corespund
endomorfismului diagonalizabil T , pentru diferite baze la care raportăm spaţiul vectorial Vn ,
se numesc diagonalizabile.
Consecinţă. Dacă endomorfismul T are n valori propri distincte,
atunci vectorii proprii corespunzători determină o bază
în Vn şi matricea asociată lui T în această bază este o
matrice diagonală având pe diagonala principală
valorile proprii ale lui T .
Consecinţă. Dacă A Mn(K) este diagonalizabilă atunci
detA = 1 2 ... n.
O valoare proprie K , ca rădăcină a ecuaţiei caracteristice P( ) = 0, are un
ordin de multiplicitate pe care îl vom numi multiplicitate algebrică, iar dimensiunea
subspaţiului propriu corespunzător dimS va fi numită multiplicitate geometrică a
valorii proprii .
Teoremă. Dimensiunea unui subspaţiu propriu al endomorfismului
T este cel mult egală cu ordinul de multiplicitate al
valorii proprii corespunzătoare (multiplicitatea
geometrică este cel mult egală cu multiplicitatea
algebrică).
Teoremă. Un endomorfism T : Vn Vn este diagonalizabil dacă şi
numai dacă polinomul caracteristic are toate rădăcinile

în câmpul K şi dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu
este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii
corespunzătoare.
Etapele diagonalizarii
1° Scriem matricea A , asociată endomorfismului T în raport cu o bază dată în
spaţiul vectorial Vn.
2° Se rezolvă ecuaţia caracteristică det(A - I ) = 0, determinând valorile proprii 1, 2,
..., p cu multiplicităţile lor m1, m2, ..., mp.
3° Se aplică rezultatul teoremei şi avem cazurile:
I) Dacă i K, i = 1 , p se determină dimensiunile subspaţiilor proprii S . i
Dimensiunea subspaţiului propriu S , adică dimensiunea spaţiului vectorial al
i
soluţiilor sistemului omogen (A - iI )X = 0, este dată de dim S = n - rang(A - iI ).
i
Dimensiunea subspaţiului S se poate afla prin determinarea efectivă a subspaţiului
i
S . i
a) dacă dim S = mi , i = 1 , n , atunci T este diagonalizabil. Matricea asociată
i
lui T , în raport cu baza formată din vectori propri, este o matrice diagonală având pe
diagonala principală valorile proprii scrise în ordine de atâtea ori cât le este ordinul de
multiplicitate.
Putem verifica acest rezultat construind matricea T = { t v1, t v2, ..., t vn}, având
drept coloane coordonatele vectorilor proprii (matricea diagonalizatoare) şi reprezintă
matricea de trecere de la baza considerată iniţial la baza formată din vectori propri, bază în
raport cu care T are ca matrice asociată matricea diagonală D, dată de
D = T -1 AT =
1
0
.
.
b) dacă i K astfel încât dim S < mi , atunci
i
T nu este diagonalizabil. În paragraful următor vom analiza acest caz.
Dacă A Mn(K) este matricea asociată endomorfismului T în raport cu o bază în Vn ,
atunci A poate fi diagonalizată dacă sunt indeplinite condiţiile teoremei 3.13.
0
p
.

În cazul în care valorile proprii corespunzătoare endomorfismului T sunt din
câmpul K, i K , iar multiplicitatea geometrică este diferită de multiplicitatea algebrică dim
S < mi ,măcar pentru o valoare proprie i K , endomorfismul T nu este diagonalizabil, în
i
schimb se poate determina o bază în spaţiul vectorial Vn în raport cu care endomorfismul T
să aibă o formă canonică mai generală, numită forma Jordan.
Pentru K, matricele de forma :
( ),
0
1
,
1
0
0
1
0
0
1
, ... ,
se numesc celule Jordan ataşate scalarului , de ordinul 1, 2, 3, ...,n .
Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K .
0
.
.
0
1
.
.
0
0
1
.
.
.
...
...
...
...
...
10. Forme Biliniare
Definiţie Se numeşte formă biliniară pe spaţiul vectorial V o
aplicaţie g:V V K, care satisface condiţiile:
1) g(αx + βy,z) = α g(x,z) + β g(y,z)
2) g(x,αy + βz) = α g(x,y) + β g(x,z)
x , y,
z V şi α, β K .
Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicaţie g : V V K, liniară în ambele
argumente.
Exemplu 1. Produsul scalar canonic pe spaţiu vectorial R n
< , > : R n
R n
R n ,având în baza canonică B = { e1,e2,…,en} ,expresia analitică < x,y >
= x1y1 + x2y2 + … xnyn, este o formă biliniară.
Mulţimea formelor biliniare definite pe spaiul vectorial V formează un spaţiu vectorial
peste K , în raport cu operatiile de adunare şi înmulţire a funcţiilor .
0
0
.
1

Definiţie O formă bilibiară g: V V K se numeşte
a) simetrică dacă g(x,y) = g(y,x) , x ,y V
b) antisimetrică dacă g(x,y) = - g(y,x). x ,y V.
Fie Vn un spaţiu vectorial n-dimensional , B ={e1,e2,…,en} o bază
n
în spaţiul vectorial Vn şi doi vectori oarecare x = i i e x şi yj = n
Expresia formei biliniare g , pentru vectorii x şi y,va fi dată de
g(x,y)=g( i i e x
n
i 1
n
, j j
j
e y
1
n
n
i 1
) = x i y j g ei
, e j
i 1 j 1
Notând cu aij = g(ei,ej), i,j = 1,2,…,n , se scrie sub forma
g(x,y) = aijx
i y j
n
i,
j 1
,
.
j
j j e y
1
numită expresia analitică a formei biliniare g ,iar matricea A = (aij) se numeşte matricea
formei biliniare g , în raport cu baza B .
t
Dacă notăm cu X = x , x2
,..., xn
t
1 şi cu Y = y 1,
y2
,..., yn
expresia se scrie matriceal sub forma g(x,y) = t XAY
atunci
Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este
un izomorfism de spaţii vectoriale.In plus ,unei forme biliniare simetrice (antisimetrice),întro
bază dată în spaţiul vectorial Vn , i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).
Teoremă Dacă Ω Mn ( K ) este matricea de trecere de la bazaB
la bazaB' , in spaţiul vectorial Vn , iar A şi A' sunt
matricele associate formei biliniare g în raport cu cele
două baze ,atunci A' = t ΩAΩ
Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la
schimbarea de bază . In aceste conditii, se justifică notiunea de formă biliniară nedegenerată
(degenerată), ca fiind acea formă biliniară g:V V K a cărei matrice A, în raport cu o
bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată) .
.

11. Forme Patratice
Definiţie Se numeşte formă pătratică pe K- spaţiul vectorial
V o aplicaţie h: V K cu proprietatea că există o
formă biliniară simetrică g :V V K aşa încât
h(x) = g(x,x) , x V .
Forma biliniară simetrică g ce defineşte în mod unic forma pătratică h se numeşte
forma polară sau forma dedublată asociată lui h .
Dacă se cunoaşte forma pătratică h atunci forma polară asociată este dată de expresia
1
g(x,y) = [ h(x + y) – h(x) – h(y)]
2
Exemplu. Produsul scalar canonic definit pe spaţiul aritmetic R n defineşte în mod unic
forma pătratică
h(x) =< x,x > = ║x║ 2 , x R n ,
care reprezintă pătratul normei euclidiene .
Să considerăm acum un spaţiu vectorial finit dimensional Vn ,
B ={e1,e2,…,en} o bază a sa şi x =
n
i 1
x
i ei un vector oarecare din Vn .
Expresia analitică a formei pătratice h este dată de
h(x) = g(x,x) =
n
n
i 1 j 1
a ijxixj = t XAX,
unde A = (aij) , i,j = 1,2, …,n este matricea asociată formei biliniare simetrice g .
Matricea şi rangul formei biliniare simetrice g definesc matricea, respectiv rangul
formei pătratice h .
Definiţie Vectorii x,y V se numesc ortogonali în raport cu
forma biliniară simetrică g (sau cu forma pătratică h )
dacă g(x,y) = 0 .

O mulţime U V se zice ortogonală în raport cu forma biliniară simetrică g dacă
orice doi vectori ai săi sunt ortogonali, adică g(x,y) = 0 x,y U, x y .
Dacă submulţimea B ={e1,e2,…,en} Vn este o bază ortogonală a spaţiului vectorial
Vn , în raport cu g , atunci matricea formei biliniare g este o matrice diagonală .In adevăr,
aij = g(ei,ej) = 0 , i j .
In acest caz, expresia analitică a formei biliniare simetrice g este
g(x,y) = n
i 1
aii xi yi
iar expresia analitică a formei pătratice h este dată de
h(x) =
n
i 1
aii xi 2
Expresiile sunt numite forme canonice .
12. Aducerea unei forme patratice la forma canonica
Fie Vn un K-spaţiu vectorial , h : Vn K o formă pătratică pe Vn şi A matricea simetrică
ce reprezintă forma pătratică h în raport cu baza B Vn. Expresia analitică a formei
pătratice h în această bază este :h(x)= aijxixj
n
i , j 1
sau matriceal h(x) = t XAX
La o schimbare de bază în spaţiul vectorial Vn ,forma pătratică h este caracterizată de
matricea A ' = t A , unde este matricea de trecere de la baza B la baza B ' . Se pune în
mod natural problema găsirii unei baze în raport cu care forma pătratică h are expresia cea
mai simplă. Dacă corpul K este de caracteristică diferită de doi atunci matricea simetrică A
admite formă diagonală,adică h admite formă canonică.
Teoremă
(Gauss)
Fie h(x) =
n
i 1 j 1
Expresia oricărei forme pătratice pe un spaţiu vectorial
Vn poate fi redusă ,printr-o schimbare de bază ,la forma
canonică .
n
a ijxixj , expresia analitică a formei pătratice nenule h . Pentru început
considerăm cazul aii = 0 , i = 1 , n . Cum h nu este identic nulă, există măcar un element
aij 0 , i j.

Efectuând transformarea de coordonate :
xi
x
xj
k
x
x
'
i
xi
'
'
k , k
xj
xj
'
'
i,
j
Expresia formei pătratice devine
h(x) =
n
i, j 1
a ’ ijx ’ i x ’ j
în care cel puţin unul din elementele a ’ ii este nenul .Deci orice formă pătratică printr-o
transformare de coordonate, adică o schimbare de bază în spaţiul vectorial Vn ,dacă este cazul
, poate fi exprimată analitic printr-o expresie , în care cel puţin un element de pe diagonala
principală a matricei A, să fie nenul .
In cele ce urmează vom demonstra prin inducţie după n că o formă pătratică , cu cel
puţin un element nenul de pe diagonala principală, poate fi redusă la formă canonică, prin
schimbări succesive de bază în spaţiul vectorial Vn .
Fără a restrănge generalitatea,presupunem că a ’ 11 0 , caz în care expresia analitică a
lui h o scriem sub forma
h(x) =a ’ 11 x ’ 1 2 + 2
n
k 2
a’1k x ’ 1 x’k +
n
i, j 2
a’ij x’i x ’ j
Adăugăm în expresia analitică precedentă termenii necesari pentru formarea pătratului
expresiei a ’ 11 x ’ 1 + a ’ 12 x ’ 2 + …+ a ’ 1nx ’ n şi obţinem
h(x) =
1
a '11
( a’ 11 x ’ 1 + a ’ 12 x ’ 2 + …+ a ’ 1nx ’ n ) 2 n
+ a"
ijx' ix'
j
ij 2
Efectuând schimbarea de coordonate
x’’1 = a ’ 11 x ’ 1 + a ’ 12 x ’ 2 + …+ a ’ 1nx ’ n
x’’j = x’j , j= 2 , n ,
echivalentă cu o schimbare de bază în spaţiul vectorial Vn ,expresia formei pătratice în această
bază se scrie sub forma
h(x ) =
1
a'11 x’1 2 +
n
i, j 2
a”ij xi ’ xj ’ .
.

Expresia h (x) =
n
i, j 2
a”ij xi ’ xj ’ este o formă pătratică în n – 1 variabile. Repetănd
procedeul de mai sus ,după cel mult n-1 paşi vom obţine o bază B * ,în raport cu care forma
pătratică h se scrie ca o sumă de r = rang h n pătrate . Această expresie reprezintă forma
canonică a formei pătratice h . c.c.t.d.
Teoremă
(Jacobi)
Fie h este o formă pătratică pe Vn şi A=( aij)
matricea asociată într-o bază B Vn .
Dacă toţi determinanţii principali
1 = a11 , 2 =
a11
a 21
a12
,…,
a 22
n=det.A
sunt nenuli, atunci există o bază B în Vn în raport cu
care forma pătratică h admite expresia canonică
n
h( x) = ( i)
i 1
n
n
1
x 2 ,
în care 0=1 iar x i , i= 1 , n , sunt coordonatele
vectorului x în baza B .
Fie o formă pătratică h : Vn R n şi forma ei canonică
h(x) = a1X1 2 + a2X2 2 + . . . +arXr 2 , r = rang h,
obţinută prin una din metodele prezentate mai sus.
Dacă notăm cu p, numărul coeficienţilor strict pozitivi din expresia canonică (3.6), numit
indice pozitiv de inerţie al lui h, cu q = r - p numărul coeficienţilor strict negativi din (3.6),
numit indice negativ de inerţie , atunci numărul întreg s = p – q va fi numit signatura
formei pătratice h .
Teoremă
(Sylvester)
(legea de inerţie ) Signatura unei forme pătratice h este
aceeaşi în orice expresie canonică a sa (signatura nu
depinde de metoda prin care se obţine expresia
canonică).
Definiţii O formă pătratică h se numeşte :
a) pozitiv definită dacă h(x) 0 , x V
b)negativ definită dacă h(x) 0 , x V

Observaţie:
c)semidefinită pozitiv dacă h(x) 0, x V
negativ dacă h(x) 0, x V
şi y V aşa încât h(y) = 0
d)nedefinită dacă x, y V aşa încât h(x) 0 şi h(y) 0 .
Din definiţia precedentă, obţinem că o formă pătratică este pozitiv (negativ) definită
dacă şi numai dacă p = n ( q = n ) .
Teoremă
(Criteriul
lui Sylvester )
Dacă sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Jacobi,
atunci o formă pătratică h este:
pozitiv definită i 0 , i = 1 , n
negativ definită (-1) k
k 0 , k = 1 , n .
13. Planul în spaţiu
În spaţiul geometriei euclidiene E3, un plan este în mod unic determinat de
următoarele condiţii:
1) trei puncte necoliniare
2) un punct şi două drepte neparalele
3) un punct şi o dreaptă perpendiculară pe plan.
1. Planul prin trei puncte
Fie M0, M1, M2 E3 trei puncte necoliniare (afin independente). Subspaţiul afin
E3 generat de punctele M0, M1, M2 are ca spaţiu vectorial director un subspaţiu de
dimensiune doi în spaţiul vectorial V3,
dat de
V2 = { M M V | , R
, astfel încât M 0 0M
M 0M1
M 0M
2 }

Un punct M dacă şi numai dacă M 0 M V2.
Dacă notăm cu r = OM , ri = OM i , i = 0, 1, 2 vectori de poziţie ai punctelor M şi respectiv
M0, M1, M2 în reperul cartezian R (O; i , j , k ), (Oxyz) atunci mulţimea punctelor planului
va fi caracterizat de relaţia vectorială
r r r r ) ( r r ) , , R
0
( 1 0 2 1
numită ecuaţia vectorială a planului prin trei puncte.
Dacă (x, y, z), (xi, yi, zi) R 3 , i = 0, 1, 2 sunt coordonatele punctelor M şi respectiv
Mi, i = 0, 1, 2 atunci ecuaţia vectorială (1.1) scrisă în reperul cartezian Oxyz este echivalentă
cu ecuaţiile
x
y
z
x
y
z
0
0
0
( x
1
( y
1
( z
1
x
y
z
0
0
0
)
)
)
( x
( y
( z
2
2
2
x
z
0
0
0
)
y ) ,
numite ecuaţiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte.
Relaţia M
M 0 = 0 1 M
)
,
R
M + 0 2 M M reprezintă condiţia de coplanaritate a vectorilor
M 0 M , M 0M1
, M 0M 2 echivalentă cu anularea produsului mixt, adică
M 0 , 1
( M
O
M0
r0
r2
M2 M
M 0M , M 0M 2 ) = 0 sau ( 0 r r , r 1 r0
, r 2 r0
)
În coordonate carteziene ecuaţia (1.3) se scrie sub forma
r2
r
M1

x
x
x
1
2
x
x
0
x
0
0
y
y
y
1
2
y
y
0
y
0
0
z
z
z
1
2
z
z
0
z
0
0
0
1
x0
y0
z0
1
sau 0
x y z 1
numită ecuaţie carteziană a planului prin trei puncte.
x
x
1
2
În particular, punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) situate pe axele de coordonate
ale reperului Oxyz determină un plan , iar coordonatele punctelor sale satisfac ecuaţia
x
x
a
a
a
a
y
b
y
b
0
z
c
z
0
c
1
0
0
, sau după dezvoltare
numită ecuaţia prin tăieturi a planului .
Remarcă. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca patru puncte Mi(xi,yi, zi), i 1,
4 să fie
situate într-un plan este
x
x
x
x
1
2
3
4
y
y
y
y
1
2
3
4
z
z
z
z
1
2
3
4
1
1
1
1
0
2. Planul printr-un punct, paralel cu două direcţii date
Fie punctul M0 E3 şi dreptele distincte d1, d2 E3. Considerăm în punctul M0
reprezentanţii vectorilor v 1(l1,
m1, n1) , v 2 (l2, m2, n2) paraleli dreptelor d1 respectiv d2 (fig.2)
Vectorii v 1 şi v 2 , liniar independenţi generează subspaţiul vectorial
v V , astfel încât v v1
v2
}.
V2 = { | , R
y
y
1
2
z
z
1
2
1

Punctul M0 E3 şi subspaţiul vectorial V2 determină subspaţiul afin bidimensional
E3. Un punct M dacă şi numai dacă M 0 M V2, adică vectorii M 0 M , v 1 şi v 2 sunt
coplanari.
Utilizând vectorii de poziţie r şi 0 r corespunzători punctelor M şi respectiv M0,
relaţia de coplanaritate M 0M
v1
v2
se scrie sub forma
r
r
0
v
1
v
2
numită ecuaţia vectorială a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii.
Proiectând ecuaţia pe axele sistemului cartezian de coordonate Oxyz obţinem:
x
y
z
x
y
z
0
0
0
l
1
m
n
1
1
l
2
m
n
2
2
, , R
numite ecuaţiile carteziene sub formă parametrică ale planului printr-un punct, paralel cu
două direcţii.
Relaţia de coplanaritate a vectorilor M 0 M
, v 1 şi v 2 este caracterizată de anularea
produsului mixt al celor trei vectori, adică ( 0 r r , v 1,
v 2 ) = 0. Obţinem astfel ecuaţia
x
l
l
1
2
x
0
y
m
m
1
2
y
0
O
z
r0
n
n
d2
M0
1
2
z
0
0
numită ecuaţia carteziană a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii.
v 2
Remarcă. În particular, ecuaţia (1.9) poate fi adaptată şi pentru alte situaţii cunoscute din
geometria elementară, în care un plan este perfect determinat. Anume: planul determinat de o
dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă, planul determinat de două drepte concurente şi
respectiv planul determinat de două drepte paralele.
d1
r
v1
M

3. Planul printr-un punct, perpendicular pe o dreaptă
Primele două cazuri de determinare a unui plan sunt specifice unui spaţiu afin, planul
fiind gândit ca mulţimea suport a unui subspaţiu afin de dimensiunea doi al spaţiului afin E3.
Punând în valoare proprietăţile oferite de structura euclidiană a spaţiului vectorial V3, putem
caracteriza algebric punctele unui plan printr-un punct şi care să fie perpendicular pe o
direcţie dată.
Se ştie din geometria elementară că există un singur plan şi numai unul care trece
printr-un punct şi este perpendicular pe o dreaptă dată. Din punct de vedere algebric acest fapt
se exprimă în felul următor: dacă V2 este un subspaţiu vectorial de dimensiune doi în spaţiul
vectorial euclidian al vectorilor liberi V3 atunci există un unic complement ortogonal V1,
subspaţiu de dimensiune unu, care permite scrierea în sumă directă a spaţiului vectorial al
vectorilor liberi, sub forma V3 = V2 V1.
Deci, determinarea planului afin printr-un punct având ca spaţiu vectorial director
pe V2 este echivalentă cu determinarea planului printr-un punct având direcţia normalei
paralelă cu subspaţiul V1 ortogonal subspaţiului V2.
Un vector cu direcţie perpendiculară pe un plan va fi numit vectorul normal al
planului sau pe scurt normala planului.
Fie un punct M0 (xo, y0, z0) E3 şi vectorul nenul N (A, B, C) V3 în spaţiul
punctual euclidian E3 dotat cu reperul cartezian ortonormat R (O; i , j , k ), (fig.3).
Un punct M(x, y, z) este situat în planul , planul prin punctul M0 perpendicular pe
dreapta d || N , dacă şi numai dacă vectorul M 0 M este ortogonal pe vectorul N , adică
M 0 M N = 0. Folosind expresia analitică a produsului scalar obţinem:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
d
M0
N
M

numită ecuaţia planului printr-un punct şi de normală dată.
Prelucrând membrul stâng al ecuaţiei şi notând cu D = - (Ax0 + By0 + Cz0)
obţinem:
Ax + By + Cz + D = 0
numită ecuaţia carteziană generală a unui plan.
Observaţii
1. Orice plan E3 este caracterizat într-un reper cartezian Oxyz de o ecuaţie
polinomială de gradul I în nedeterminatele x, y, z şi reciproc.
2. În ecuaţia (1.11) coeficienţii nedeterminatelor reprezintă coordonatele vectorului
normal la plan. În consecinţă, două plane ale căror ecuaţii diferă prin termenul liber sunt plane
paralele, deci ecuaţia
Ax + By + Cz = , R
reprezintă familia planelor paralele din spaţiu de normală dată N (A, B, C). Pentru = 0
ecuaţia reprezintă ecuaţia unui plan prin origine.
3. Ecuaţiile planelor de coordonate. Aceste plane conţin originea, deci = 0 şi au ca
normale vectorii reperului R (O; i , j , k ), i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Obţinem:
z = 0 – ecuaţia planului xOy
y = 0 – ecuaţia planului xOz
x = 0 – ecuaţia planului yOz
4. Ecuaţia normală a unui plan. Să considerăm planul E3 şi punctul M0 proiecţia
originii reperului R (O; i , j , k ) pe planul . Dacă notăm cu p distanţa de la origine la planul
, cu , , unghiurile pe care le face vectorul OM 0 cu axele de coordonate atunci putem
scrie:
OM 0 = || OM 0 || e = p (cos i + cos j + cos k ),

|| e || = 1 cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1
Un punct M (x, y, z) este situat în planul dacă şi numai dacă vectorii OM 0 = p
cos i + p cos j + p cos k şi M 0 M = OM - OM 0 = = (x - p cos ) i + (y – p cos ) j + (z
– p cos ) k sunt ortogonali, adică OM 0 M 0 M = 0. În coordonate condiţia de ortogonalitate este
echivalentă cu:
x cos + y cos + z cos - p = 0
numită ecuaţia normală a planului sau ecuaţia planului sub forma lui Hess.
În ecuaţia p R+ reprezintă distanţa originii la planul , iar cantităţiile cos , cos ,
cos cu proprietatea cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 reprezintă coordonatele versorului e al
direcţiei normale la planul şi vor fi numite cosinusurile directoare ale direcţiei e .
Dacă considerăm planul dat prin ecuaţia generală Ax + By + Cz +D =
2 2 2
0, având normala N = (A, B, C) şi împărţim ecuaţia prin||
N || A B C obţinem:
Ax
A
By
2
B
Cz
2
C
D
2
0
numită ecuaţia normalizată a planului . Alegem semnul + sau - după cum D este
negativ sau pozitiv, întrucât comparând ecuaţia (1.14) cu ecuaţia (1.13) avem
A
B
C
cos , cos , cos , şi termenul
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A B C
A B C
A B C
D
liber p , în care p > 0, reprezintă o distanţă.
2 2 2
A B C
4. Poziţia relativă a două plane
Studiul poziţiilor geometrice a două plane 1, 2 E3:
plane ce se interesectează după o dreaptă
plane paralele (strict)
plane confundate,
se reduce la studiul mulţimii soluţiilor sistemului format cu ecuaţiile celor două plane.
Să considerăm în reperul cartezian ortonormat R (O; i , j , k ) planele ( 1): A1x +
B1y + C1z + D1 = 0 şi ( 2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

A1
B1
C1
Dacă notăm cu M matricea sistemului
A B C
( S
)
A x
2
1
A x
avem următoarele cazuri:
B y
B
1
2
y
2
C z
C
1
2
z
2
D
D
- rang M = 2 sistemul (S ) este compatibil simplu nedeterminat.
1
2
2
0
0
Mulţimea soluţiilor sistemului caracterizează locul geometric al punctelor comune
celor două plane, adică dreapta de intersecţie a celor două plane d = 1 2 .
,
rang M = 1 şi c = 0 – sistemul (S ) este compatibil dublu nedeterminat,
adică cele două plane coincid, 1 2.
rang M = 1 şi c 0 – sistemul (S ) este incompatibil. Cele două plane nu au
nici un punct comun, 1 || 2.
5. Poziţia relativă a trei plane
În spaţiul punctual euclidian 3 dotat cu reperul cartezian
R (O; i , j , k ) considerăm planele:
( 1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(S ) ( 2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Notăm cu
( 3): A3x + B3y + C3z + D3 = 0
A
A
1
2
3
B
M A B C ,
B
1
2
3
matricea sistemului format cu ecuaţiile celor trei planuri.
Avem următoarele cazuri:
C
C
1
2
3

ang M = 3 sistemul (S ) este compatibil determinat. Soluţia sistemului
reprezintă coordonatele punctului comun celor trei plane. Vom spune că cele
trei plane sunt concurente (snop de plane).
rang M = 2 şi c = 0 sistemul (S ) este compatibil simplu nedeterminat.
Mulţimea soluţiilor reprezintă coordonatele punctelor situate pe o dreaptă
comună celor trei plane. Spunem că cele trei plane formează un fascicul de
plane.
Condiţiile rang M = 2 şi c = 0 sunt echivalente cu faptul că o ecuaţie a sistemului (S
) este o combinaţie liniară a celorlalte. Dacă planele ( 1) şi ( 2) determină o dreaptă (d)
atunci orice plan prin dreapta de intersecţie este reprezentat analitic ca o combinaţie a
ecuaţiilor celor două plane. Ecuaţia fasciculului de plane prin dreapta de intersecţie a planelor
1 şi 2, numită axa fasciculului, este dată de
(A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0
, R, 2 + 2 0
Ecuaţia A1x + B1y + C1z + D1 + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0, R
reprezintă ecuaţia fasciculului prin dreapta (d) din care lipseşte planul 2.
În particular, axa Ox gândită ca intersecţia planelor xOy şi xOz, determină fasciculul
planelor prin Oz caracterizat de
y + z = 0
rang M = 2 şi c 0 sistemul (S ) este incompatibil. Două plane se
intersectează după o dreaptă, al treilea plan fiind paralel cu dreapta de
intersecţie a primelor două plane ( planele formează o prismă)
rang M = 1 şi 1 c = 2 c = 0 sistemul (S ) este compatibil dublu
nedeterminat. Cele trei plane sunt confundate.
rang M = 1 şi i c 0 sistemul (S ) este incompatibil. Planele sunt
paralele (strict sau două pot fi confundate).

14. Dreapta în spaţiu
Fie R (O; i , j , k ), un reper cartezian ortonormat în spaţiul punctual euclidian E3 =
(E3, V3, ). Oricărui punct M E3 îi putem asocia vectorul de poziţie r OM xi
yj
zk
,
unde terna (x, y, z) R 3 , coordonatele vectorului OM în baza { i , j,
k } vor fi numite
coordonatele punctului M.
În spaţiul geometric E3, o dreaptă este unic determinată de următoarele condiţii:
- un punct şi de o direcţie dată
- două puncte distincte
- intersecţia a două plane
1. Dreapta determinată de un punct şi o direcţie
Fie un punct M0 E3 şi vectorul nenul v V3. Vectorul nenul v generează
subspaţiul vectorial unidimensional V1 = {u V3 /u = v , R}.
d
În aceste condiţii subspaţiul afin ce conţine punctul M0 şi care admite pe V 1 ca
spaţiu director ,va avea drept mulţime suport dreapta (d) ale cărei puncte sunt date de
{ M E3
M 0M
1
V }
O
M0
v
M
Condiţia M 0 M V 1 are loc dacă şi numai dacă R aşa încât M 0 M = v .
Scriind M 0 M = 0 r r
obţinem
d

0
v , R
numită ecuaţia vectorială a dreptei (d) prin punctul M0 având direcţia dată de vectorul v .
Dacă proiectăm relaţia pe axele reperului cartezian R(O, i , j , k ) obţinem:
x
y
z
x
y
z
0
0
0
l
m
n
,
R
numite ecuaţiile parametrice ale dreptei d prin punctul M0(x0, y0, z0) având direcţia dată de
vectorul v li
mj
nk
.
Vectorul v = (l, m, n) V3 va fi numit vectorul director al dreptei (d) iar coordonatele l,
m, n R vor fi numite parametrii directori ai dreptei (d).
Dacă vectorul director este versorul e , care formează unghiurile
, , cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz, atunci parametrii directori:
cos , cos , cos , coordonatele versorului e , se vor numi cosinusurile directoare ale dreptei
(d).
Cosinusurile directoare ale unei direcţii în spaţiu satisfac relaţia
cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1
Observaţie: ecuaţiile sau forma echivalentă ) guvernează mişcarea rectilinie şi uniformă a
unui punct material.
Eliminând parametrul din ecuaţiile (2.2) se obţin ecuaţiile:
x x0
y y0
z z0
,
l m n
numite ecuaţiile carteziene canonice (sub formă de rapoarte) ale dreptei d prin punctul M0(x0,
y0, z0) şi cu direcţia dată de vectorul v = (l, m, n)
Observaţie. Ecuaţiile canonice se scriu şi când unul sau doi parametri directori sunt nuli,
convenind în acest caz că numărătorul corespunzător este nul şi că ecuaţiile sunt date efectiv
de egalarea produsului mezilor cu produsul extremilor în proporţiile formate.

2. Dreapta determinată de două puncte distincte
Fie M1, M2 E3 două puncte distincte. Subspaţiul afin generat de aceste puncte va
avea ca spaţiu vectorial director subspaţiul unidimensional V1 V3 dat de
V1 = { M1 M V3 | R astfel încât M
M 1M }
M 1 = 2
Cu alte cuvinte un punct M E3 aparţine mulţimii suport a subspaţiului afin generat
de punctele M1 şi M2, adică M este situat pe dreapta prin cele două puncte, dacă şi numai dacă
vectorii M
M1 şi 1 2 M
caracterizată de relaţia vectorială
sau
M sunt coliniari. Astfel, mulţimea punctelor dreptei prin M1 şi M2 va fi
r ( 1 ) r r , R
( r r1
) ( r2
r1
)
1
2
numită ecuaţia vectorială a dreptei prin două puncte.
0
În reperul cartezian R (O; i , j , k ) , considerând M(x, y, z) , M1(x1, y1, z1) şi
M2(x2, y2, z2), vom obţine:
x
y
z
( 1
( 1
( 1
) x
) y
) z
1
1
1
O
x
z
y
2
2
2
numite ecuaţiile parametrice ale dreptei prin două puncte.
,
M1
M2
R
M
Observaţie: Pentru (0, 1) ecuaţiile ne procură mulţimea punctelor de pe dreapta (d)
cuprinse între punctele M1 şi M2, iar pentru R \ [0, 1] obţinem punctele dreptei (d), puncte
1
exterioare segmentului M1M2. Pentru obţinem coordonatele mijloacelor segmentului
2
M1M2.

Eliminarea parametrului R în ecuaţiile sau impunând proporţionalitatea
coordonatelor a doi vectori coliniari, obţinem
x
x
2
x1
x
1
y
y
2
y1
y
1
z
z
2
z1
z
1
numite ecuaţiile carteziene sub formă canonică ale unei drepte prin două puncte.
3. Dreapta ca intersecţie a două plane
Se ştie din geometria elementară că două plane neparalele se intersectează după o
dreaptă (d). În paragraful precedent această situaţie geometrică este caracterizată analitic de
un sistem de ecuaţii liniare compatibil nedeterminat, format cu ecuaţiile celor două plane.
Astfel, ecuaţiile sistemului
A x
2
1
A x
B y
B
1
2
y
C z
C
1
2
z
D
1
D
2
vor fi numite ecuaţiile dreptei (d) dată de intersecţia a două plane.
0
0
O soluţie (x0, y0, z0) a sistemului (2.7) va caracteriza un punct al dreptei (d) iar
vectorul v N1
N2
, unde N 1 ( A1,
B1,
C1)
şi N 2 ( A2
, B2,
C2)
sunt normalele celor două
plane ce determină dreapta (d).
4. Poziţia relativă a două drepte
Fie dreptele (d1) şi (d2) date de ecuaţiile
x x
(d1)
l
1
x
x
(d2)
l
2
1
2
y y
m
1
2
1
y y
m
2
z z
n
1
2
1
z z
n
2

Considerăm vectorii v 1 = (l1, m1, n1), v 2 = (l2, m2, n2) – vectori directori ai dreptelor
(d1) respectiv (d2) şi vectorul M 1M 2 , unde M1(x1, y1, z1) d1 respectiv M2(x2, y2, z2)
d2.
Avem cazurile:
a) dacă ( v 1,
2 v , 1 2 M M ) 0 – dreptele (d1) şi (d2) sunt necoplanare sau drepte
oarecare în spaţiu (strâmb aşezate în spaţiu)
În acest caz există o direcţie comună normală unică pe cele două drepte, dată de v =
v 1×
v 2 şi deci o unică dreaptă care se sprijină pe cele două drepte având direcţia v , numită
perpendiculara comună a dreptelor (d1) şi (d2).
Perpendiculara comună (d) este dată de intersecţia planelor 1 şi 2; 1 - planul prin
dreapta (d1) paralel cu v şi 2 - planul prin (d2) paralel cu v . Ecuaţiile perpendicularei
comune sunt:
x
x
l
1
l
2
l
x
1
2
y
m
m
1
m
2
m
unde (l, m, n) = v = v 1×
v 2
l
x
y
y
y
1
2
z
z
n
n
1
n
2
n
z
z
1
2
0
0
b) dacă ( v 1,
v 2 , 1 2 M M ) = 0 – dreptele (d1) şi (d2) sunt coplanare
b1) v 2 v 1 - drepte concurente
b2) v 2 = v 1 - drepte paralele (strict)
b3) v 2 = v 1 şi 1 2 M M = v 1 - drepte confundate

15. Unghiuri şi distanţe
Fie (d) o dreaptă în spaţiul punctual euclidian E3. Pe dreapta (d) se pot stabili două
sensuri de parcurs. O dreaptă (d) împreună cu o alegere a unui sens de parcurs se numeşte
dreaptă orientată.
Dacă v este vectorul director al dreptei (d), atunci vom alege sensul de parcurs pe
dreaptă sensul lui v (sens pozitiv).
Fie planul E3 având vectorul normal N . Planul are două feţe iar alegerea unui
sens pe dreapta normală este echivalentă cu alegerea unei feţe a planului. Un plan împreună
cu o alegere a sensului pe normală se numeşte plan orientat. Vom alege sensul pe normală sensul
dat de vectorul N .
1. Unghiul a două drepte în spaţiu
(l2, m2, n2).
Fie dreptele (d1) şi (d2) orientate de vectori directori v 1 = (l1, m1, n1) şi respectiv v 2 =
Prin unghiul dreptelor (d1) şi (d2) vom înţelege unghiul [0, ], unghiul dintre
vectorii v 1 şi v 2 , dat de
cos =
2
1
l
l l
m
1 2
2
1
În particular avem:
m m
n
2
1
1
2
2
2
l
n n
1
2
m
2
2
n
2
2
d1 d2 v1 2 v = 0 l1l2+m1m2+n1n2 = 0
d
1
d
2
v 1 × v 2 = 0
l1
l
2
m
m
1
2
n
n
1
2

2. Unghiul a două plane
Fie planele neparalele 1 şi 2, date de
( 1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0
( 2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0
În geometria elementară unghiul a două plane neparalele este definit ca fiind unghiul
diedru al celor două plane. Acest unghi este congruent sau suplementar cu unghiul vectorilor
N A , B , C ) şi A , B , C )
1
( 1 1 1
N 2 ( 2 2 2 , vectorii normali planelor 1 respectiv 2.
Acceptăm ca unghiul diedru determinat de planele orientate 1 şi 2 să fie măsurat
prin unghiul dintre N 1 şi N 2 . Acest unghi este dat de
cos =
A
2
1
A A
B
1
2
1
2
C
B B
2
1
1
2
A
2
2
C C
1
2
B
2
2
C
2
2
În particular 1 2 A1A2+B1B2+C1C2 = 0
3. Unghiul dintre o dreaptă şi un plan
Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este definit în geometria elementară ca fiind
unghiul dintre dreaptă şi proiecţia ortogonală a acesteia pe plan.
Fie dreapta (d) orientată de vectorul director v = (l, m, n) şi palnul orientat de
normala N ( A,
B,
C)
(fig. 5)
N
d
d

Unghiul [0, 2 ] dintre dreapta (d) şi planul este legat de unghiul , unghiul
vectorilor v şi N , prin relaţiile = ,deci sin cos .Astfel obţinem :
2
sin
În particular:
| vN
|
=
|| v || || N ||
l
2
m
| lA
2
n
mB
d || v N = 0 lA + mB + nC = 0,
d v N = 0
m
B
4 Distanţa de la un punct la o dreaptă
l
a
2
n
C
.
A
nC |
Reamintim că distanţa dintre două submulţimi S1 şi S2 într-un spaţiu metric este dată
de ( S1, S2) = inf { ( M1, M2) | M1 S1, M2 S2}.
În spaţiul punctual euclidian E3 dotat cu metrică euclidiană distanţa dintre două
submulţimi se reduce la distanţa dintre două puncte. Astfel, distanţa de la un punct la o
dreaptă este dată de distanţa dintre punct şi proiecţia ortogonală a acestuia pe dreaptă (fig. 6)
M0
Fie dreapta (d) prin punctul M0, orientată prin vectorul director v , punctul A exterior
dreptei şi A proiecţia acestuia pe dreapta (d). Determinând punctul A , ca intersecţia dreptei
(d) cu planul prin A ortogonal dreptei, obţinem (A, d) = (A, A ). Altfel, construind
paralelogramul determinat de vectorii M0 A şi v , obţinem
(A, d) = (A, A ) =
A
A
|| 0
v
v M A ||
|| v ||
d
2
B
2
C
2

5. Distanţa de la un punct la un plan
Distanţa de la un punct M0 la un plan ( ) Ax + By + Cz + D = 0 este dată de distanţa
dintre punctul M0(x0, y0, z0) şi punctul M (x , y , z ), proiecţia ortogonală a acestuiape planul
.Determinăm coordonatele (x , y , z ) ale punctului M , rezolvând sistemul format de ecuaţia
planului şi ecuaţiile dreptei prin punctul M0 ortogonală pe plan, adică:
Ax
By
x
y
z
x
y
z
0
Cz
0
0
A
B
C
D
0
Parametrul pe dreaptă corespunzător punctului M , notat cu , este dat de
Ax0
By 0 Cz0
= - 2 2 2
A B C
(M0,M ) =
=
D
şi obţinem
( z
2
2
2
x x0
) ( y y0)
( z 0)
=
2 2 2 2 2 2
A B C =
iar distanţa de la punctul M0 la planul este dată de
(M0, ) =
Ax
0
A
By
2
0
B
2
Cz
0
C
2
D
Observaţie: Distanţa de la un punct M0 la un plan se obţine luând modulul expresiei
obţinute prin înlocuirea coordonatelor punctului dat în membrul stâng al ecuaţiei normalizate
a planului.
6. Distanţa dintre două drepte oarecare în spaţiu
Fie dreptele oarecare în spaţiu
x
x
(d1)
l
1
1
y y
m
1
1
z z
n
1
1
A
2
B
2
C
2

x x
(d2)
l
2
2
y y
m
2
2
z z
n
2
2
Fie (d) perpendiculara comună a dreptelor (d1) şi (d2) iar P1 respectiv P2 punctele de
contact ale acesteia cu (d1) respectiv (d2).
Construim paralelipipedul determinat de vectorii 1 2 M M = = (x2-x1, y2-y1, z2-
z1), v 1 = (l1, m1, n1) şi v 2 = (l2, m2, n2).
N
P2
P1
d
M1
M2
v 1
Distanţa dintre dreptele (d1) şi (d2) este dată de distanţa dintre punctele de contact ale
perpendicularei comune cu cele două drepte, distanţa ce reprezintă înălţimea paralelipipedului
construit. Astfel, obţinem
| ( v1,
v2,
M1M
2)
|
(d1, d2) = (P1, P2) =
|| v v ||
1
v
2
2
16. Vectori liberi
Mulţimea vectorilor liberi V3 din spaţiul punctual al geometriei elementare este un Rspaţiu
vectorial
Pentru a construi această mulţime să considerăm spaţiul geometric E3 şi mulţimea M =
E3 E3 = {(A, B)/ A, B E3}. Elementele mulţimii M sunt numite bipuncte sau segmente
orientate şi vor fi notate prin AB . Punctul A va fi numit originea iar B va fi numit
extremitatea segmentului AB . În cazul în care originea şi extremitatea coincid se obţine
segmentul nul (A, A). Dreapta determinată de punctele A şi B se numeşte dreapta suport a
d1
d2

segmentului AB . Două segmente orientate au aceeaşi direcţie dacă dreptele suport sunt
paralele sau coincid.
Două segmente orientate nenule AB şi CD cu aceeaşi direcţie, au acelaşi sens dacă
extremităţile lor se află în acelaşi semiplan determinat de dreapta ce uneşte originile celor
două segmente,
Lungimea (modulul sau norma) unui segment orientat AB se defineşte ca fiind lungimea
geometrică a segmentului neorientat [AB], adică distanţa de la punctul A la punctul B şi va fi
notată cu | AB | (|| AB ||). Segmentul nul are lungimea zero .
Pe mulţimea M introducem relaţia de echipolenţă "~".
Două segmente orientate AB şi CD se zic echipolente dacă acestea au aceeaşi direcţie
,acelaşi sens şi aceeaşi lungime, (fig.2) :
A
C
Se verifică uşor că relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pe
mulţimea M ( este reflexivă, simetrică şi tranzitivă).
Mulţimea claselor de echivalenţă, în raport cu această relaţie:
M/~ = {( A, B ) | A,B E3 } = V3
defineşte mulţimea vectorilor liberi ai spaţiului geometric E3. Clasa de echivalenţă a
segmentului orientat AB va fi notată cu AB v şi va fi numită vector liber iar segmentul
orientat AB AB va fi numit reprezentantul vectorului liber v în punctul A. Direcţia,
sensul şi lungimea care sunt comune tuturor elementelor unei clase de echivalenţă definesc
direcţia, sensul şi lungimea vectorului liber. Pentru lungimea unui vector liber vom folosi
notaţiile | v | sau || v ||. Vectorul liber de lungimea zero se numeşte vectorul nul şi se notează cu
0 . Un vector liber de lungime unu se numeşte vector unitate sau versor.
Doi vectori liber u şi v sunt egali u v dacă reprezentanţii lor sunt două segmente
orientate echipolente.
A
C
B
B D
Doi vectori liberi care au aceeaşi direcţie se numesc vectori coliniari. Doi vectori
coliniari cu aceeaşi lungime şi de sensuri opuse se numesc vectori opuşi.
D

Trei vectori liberi se numesc coplanari dacă segmentele orientate corespunzătoare
sunt paralele cu un plan.
Mulţimea V3 poate fi organizată ca un grup aditiv abelian.
Dacă vectorii liberi u şi v sunt reprezentaţi de segmentele orientate AB şi respectiv
AC , atunci vectorul reprezentat de segmentul orientat AD defineşte suma vectorilor u şi v
şi se notează cu w u v (fig. 3)
Regula ce defineşte suma a doi vectori liberi u şi v este numită regula
paralelogramelor (sau regula triunghiului).
Suma a doi vectori liberi “+”: V3 V3
V3, ( u, v)
u v este o lege de
compoziţie internă bine definită (nu depinde de alegerea reprezentanţilor). Axiomele de grup
aditiv abelian sunt uşor de verificat.
Legea de compoziţie externă
: K V3
A
B D
u w
V3, ( , v) v
unde vectorul v este caracterizat de aceeaşi direcţie cu v , acelaşi sens dacă 0 , sens
opus dacă
vectorial.
0 şi || v || = | | || v ||, satisface axiomele grupei a II-a din definiţia unui spaţiu
În concluzie,cele două operaţii definite pe V3 , satisfăcând axiomele grupei I şi II,
înzestrează mulţimea vectorilor liberi cu o structură de spaţiu vectorial real.
17. Produs Scalar
Fie V3 spaţiul vectorial real al vectorilor liberi
Teoremă. Funcţia :V3 V3 R, definită prin
v
C

u
v
u
v
cos
u , v
u , v
0 pentru a 0sau
/ si b
,
V3\
{ 0}
defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.
Pentru cazul în care cel puţin un factor al produsului scalar este vectorul nul proprietăţile
rezultă imediat.
Consecinţă. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi V3 înzestrat cu
produsul scalar (2.1) este un spaţiu vectorial euclidian
real.
Consecinţă. Spaţiul afin A3 = ( E3, V3, ) având ca spaţiu vectorial
asociat spaţiul euclidian V3 , devine un spaţiu punctual
euclidian pe care-l vom nota cu 3.
Observaţii.
1° În paragraful precedent au fost evidenţiate bijecţiile naturale dintre spaţiile E3, V3 şi R 3 .
Astfel, având fixat un reper cartezian R (O; e 1 , e2,
e3
) în spaţiul afin A3, funcţia de
coordonate f: V3 R 3 , definită prin f (u ) = ( x1, x2, x3) R 3 , u V3 , realizează o
bijecţie între cele două spaţii vectoriale. Această bijecţie reprezintă un izomorfism de spaţii
vectoriale care permite transportul structurii euclidiene canonice definită pe R 3 pe spaţiul
vectorial al vectorilor liberi V3.
Se verifică uşor că aplicaţia :
< ,> :V3 V3 R, (u , v ) < u , v > =: R
este un produs scalar pe V3, unde < , >R este produsul scalar definit pe R 3 .
Cu ajutorul acestui produs scalar se defineşte în mod natural norma || u || = u, v
= u),
f( v)
f( R
Dacă considerăm două puncte arbitrare A, B E3 şi vectorii de poziţie OA şi OB
caracterizaţi de ternele ( x1, x2, x3) R 3 , şi respectiv ( y1, y2, y3) R 3 , atunci vectorul
AB OB OA va fi caracterizat de terna (y1 – x1, y2 – x2, y3 – x3) şi va avea norma dată de
|| AB || = AB, AB = f ( AB),
f ( AB)
R =
=
( x
2
2
2
y 1 x1)
( y2
x2
) ( y3
3)
= ( , B)
0
A = | AB |.

Acest rezultat arată că norma || AB || definită de produsul scalar (2.2) coincide cu
lungimea geometrică | AB | , a vectorului AB .
Unghiul a doi vectori nenuli OA şi OB V3 definit de produsul scalar < , > coincide
cu unghiul (geometric) definit de direcţiile semidreptelor |OA şi |OB . În adevăr,
cos
OA,
OB
|| OA ||
|| OB ||
=
pr OAOB
|| OB ||
=
pr OAOB
| OB |
= cos( OA , OB)
.
În consecienţă, produsul scalar , indus de bijecţia f, pe spaţiul vectorial V3 al
vectorilor liberi, coincide cu produsul scalar .
2° Cunoaşterea produsului scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi permite
calculul lungimii vectorilor şi a unghiului dintre doi vectori:
|| a || = a a ,
cos
a b
, ( a, b )
|| a || || b |
3° Doi vectori nenuli sunt ortogonali produsul lor scalar este nul.
Fie B = { e 1 , e2,
e3
} o bază în spaţiul vectorial V3.
Dacă a a1e1
a2e2
a3e3
şi b b1e1
b2e2
b3e3
, atunci obţinem:
ab
a b e e
1 1 1 1
a b
2
2
e e
2
( a b
2
1
2
( a b
2
a b ) e e
3
2
1
3
1
2
2
a b ) e e
2
( a b
3
1
3
a b
3
a b ) e e
Deci, produsul scalar a doi vectori este perfect determinat dacă se cunoaşte înmulţirea
scalară a vectorilor bazei B.
O bază în V3 formată din vectori ortogonali doi câte doi este numită bază
ortonormată iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate
euclidiene.
În geometria euclidiană se demonstrează că printr-un punct există trei drepte
perpendiculare două câte două de unde rezultă existenţa unui reper cartezian ortonormat în
spaţiul punctual euclidian 3.
3
3
Dacă B = { i , j , k } este o bază ortonormată în V3 atunci i j j kk
1
i j ik
jk
0 , adică produsul scalar al vectorilor bazei B este dat de tabelul
1
3
1
e e
3
i j k
i 1 0 0
3
i ,

j 0 1 0
k 0 0 1
Produsul scalar a doi vectori oarecare a
expresia canonică
a1
i a2
j a3k
şi b b1
i b2
j b3k
va avea
a b
a b
1
1
a b
2
2
a b
3
3
Proiecţia ortogonală a vectorului a pe direcţia vectorului i este dată de
pr i a
ai
i
ii
( ai
) i a1i
, analog pr ja a2
j şi pr k a a3
k .
Astfel coordonatele euclidiene ale vectorului a reprezintă mărimile proiecţiilor ortogonale
ale lui a pe cele trei axe ale reperului cartezian ortonormat . Expresiile analitice ale
normei unui vector şi respectiv unghiului a doi vectori vor fi date de
|| a || =
a
2
1
cos( a , b ) =
a
2
2
a
2
1
a
2
3
a b
a
1
2
2
1
a
a
2
3
2
b
2
b
a b
2
1
3
3
b
2
2
b
2
3
, [0, ]
În particular vectorii a şi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă
a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
18. Produs vectorial
Fie vectorii a şi b V3. Pentru a 0 şi b 0 notăm cu [0, ] unghiul dintre
a şi b .
Definiţie. Se numeşte produs vectorial, operaţia binară internă
“ ”:V3 V3 V3 , care asociază perechii ordonate (
a , b ) vectorul c notat cu a b , caracterizat de
1° || a b || = || a || || b || sin
2° c = a b este ortogonal pe a şi b
3° Sensul vectorului c = a b este dat de regula mâinii drepte când
a
b
b
a

otim pe a peste b sub un unghi ascuţit (regula burghiului drept) (fig. 4)
Dacă notăm cu e versorul direcţiei ortogonale pe a şi b atunci
a b = || a || || b || sin e .
Propoziţie. Produsul vectorial are următoarele proprietăţi:
1. a b = - b a
2. a ( b + c ) = a b + a c
(anticomutativitatea)
(distributivitatea)
3. ( a ) b = a ( b ) = a b (omogenitatea)
4. pentru a ,b 0 , a b 0 b a
5. pentru b a , norma || a b || reprezintă aria paralelogramului
construit pe reprezentanţii într-un punct ai vectorilor a şi b .
Dacă B ( i , j , k ) este o bază ortonormată în V 3 atunci folosind definiţia produsului
vectorial şi proprietăţile acestuia, obţinem tabelul
i j k
i 0 k - j
j - k 0 i
k j - i 0
Astfel, produsul vectorial a doi vectori a şi b , a a1
i a2
j a3k
şi
b b1
i b2
j b3k
, va avea expresia canonică
a b ( a2
b3
a3b2
) i ( a3b1
a1b3
) j ( a1b2
a2b1
) k ,
Expresia canonică se poate obţine dezvoltând după prima linie determinantul formal

a
b
i
a
b
1
1
a
b
j
2
2
k
a
b
3
3
Doi vectori sunt coliniari ( a b = 0 ) dacă şi numai dacă
a
b
1
1
a
b
2
2
a
b
3
3
Propoziţie. Pentru doi vectori oarecare a şi b este satisfăcută
identitatea lui Lagrange:
( a b ) 2 + ( a b ) 2 = || a || 2 || b || 2
19. Produs mixt.
Definiţie. Fie vectorii a , b , c V3. Se numeşte produsul mixt
al vectorilor a , b şi c numărul real ( a , b , c ) dat de
( a , b , c ) = : a ( b c )
Teorema. Produsul mixt are următoarele proprietăţi:
1) ( a 1 a2,
b,
c ) = ( a 1,
b , c ) + ( a 2 , b , c )
2) ( a , b , c ) = ( a , b , c )
3) ( a 1,
2 a , 3 a ) = ( a , a , a ) , S3, = 1.
( 1)
( 2)
( 3)
4) ( a , b , c ) = 0 a , b , c sunt liniar dependenţi (coplanari)
5) |( a , b , c )| = Vol a,
b , c
. , pentru a , b , c V 3 \ {0}
Proprietăţile 1) şi 2) , aditivitatea şi respectiv omogenitatea, rezultă din definiţia
produsului mixt şi se extinde pentru orice factor.
Proprietatea 3) se poate exprima echivalent prin proprietăţile:

3) ( a , b , c ) = ( b , a , c ) = ( c , a , b )
ce exprimă invarianţa produsului mixt la permutări circulare, adică = + 1 ( S3 -
permutare pară) şi
3) ( a , b , c ) = - ( b , a , c ) ,
şi celelalte relaţii corespunzătoare permutărilor impare care exprimă proprietatea de
anticomutativitate pentru orice doi factori alăturaţi.
Echivalenţa 4) rezultă imediat pentru cel puţin un factor egal cu vectorul nul, iar
pentru a , b , c V 3\ {0}, anularea produsului mixt este echivalentă cu ortogonalitatea
vectorilor a şi b c , adică coplanaritatea vectorilor a , b şi c .
Dacă notăm cu Vol . volumul paralelipipedului format de reprezentanţii vectorilor
a,
b , c
a , b , c într-un punct O E3 (fig.7 ) şi notând cu = < ( b , c ) , cu = < ( a , b c ),
obţinem
( a,
b,
c)
|| a || || b c || cos
h
A
( b , c )
Vol.
a,
b , c
(|| a || cos
) || b c ||
Dacă B = ( i , j , k ) este o bază ortonormată în spaţiul vectorial al vectorilor liberi V 3, iar a
= a1 i + a2 j + a3 k , b b1
i b2
j b3k
şi c c1
i c2
j c3k
sunt expresiile analitice ale
vectorilor a , b şi respectiv c , atunci produsul mixt are expresia canonică dată de
( a , b , c
)
b
a
b
c
1
1
1
c
O
a
b
c
2
2
2
A
a
h
c
a
b
c
3
3
3
C
b
B
Ţinând seama de proprietăţile determinanţilor şi de expresia analitică canonică a produsului
mixt pot fi uşor de verificat proprietăţile 1-5.

Spunem că o bază B = { a , b , c } V 3 este pozitiv (negativ) orientată dacă produsul mixt (
a , b , c ) este pozitiv (negativ).
20. Sfera
).
Fie în spaţiul punctual euclidian E3 reperul ortonormat R (O; i , j , k
Reamintim că distanţa dintre două puncte în spaţiu , M(x1,y1,z1) şi respectiv
N(x2,y2,z2), este dată de
(M,N) =
( x
Sfera. Fie C E3 un punct dat .
2
2
2
2 x1
) ( y2
y1
) ( z2
z1
)
Definiţie. Se numeşte sferă de centru C şi rază r R mulţimea
punctelor M E3 cu proprietatea ( M,C ) = r .
Mulţimea punctelor M(x,y,z) E3 care aparţin sferei (S) de centru C(a,b,c) şi rază r
satisfac relaţia :
(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r 2
numită ecuaţia carteziană implicită a sferei (sub formă de pătrate restrânse).
Dezvoltând ecuaţia obţinem
x 2 + y 2 + z 2 –2ax –2by – 2cz + a 2 + b 2 +c 2 – r 2 = 0,
care ne sugerează studiul ecuaţiei
A(x 2 + y 2 +z 2 ) + Bx + Cy + Dz + E = 0,
ce reprezintă ecuaţia unei sfere, numită ecuaţia carteziană generală a unei sfere. Ecuaţia
poate fi pusă sub forma
x 2 + y 2 +z 2 + 2m x + 2ny + 2pz + q = 0 ,
numită ecuaţia carteziană generală a sferei sub formă normală, în care

coordonatele centrului C sunt date de : a = -m, b = -n, c = -p şi raza
2 2 2
r = m n p q .
Să considerăm în sistemul de coordonate carteziene Oxyz punctul M(x,y,z) , vectorul
de poziţie corespunzător OM
r , r r
, proiecţia Mo(x,y,0) a punctului M pe planul
xOy, u [0,2 ) –unghiul dintre OMo şi direcţia pozitivă a axei Ox, respectiv v [0, ] –
unghiul dintre OM şi direcţia pozitivă a axei Oz (fig.1) . Obţinem
OMo = r cos(90 o - v ) = r sin v , de unde rezultă
Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în punctul C(a,b,c) şi rază r pot fi scrise sub forma
x
y
z
a
b
c
r cos u
r sin u sin v
r cos v
sin v
Fie o dreaptă oarecare prin punctul M0(xo,yo,zo) : x = xo+ l t ,
y = yo+m t , z = zo + n t şi sfera dată de ecuaţia . Intersecţia dintre sferă şi dreaptă se reduce
la studiul sistemului format din ecuaţiile acestora.
Obţinem ecuaţia de gradul al doilea în t
(l 2 +m 2 +n 2 ) t 2 + 2[l(xo-a)+m(yo-b)+n(zo-c)] t + (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 -r 2 =0,
care ne permite să concluzionăm că o dreaptă intersectează o sferă în cel mult două puncte.
Dacă notăm t1, t2 rădăcinile reale ale ecuaţiei de mai sus, valori corespunzătoare punctelor
de intersecţie M1, M2, ale sferei cu dreapa ,printr-un calcul direct obţinem că produsul
distanţelor punctului Mo la punctele de intersecţie M1 respectiv M2 este constant , adică
Numărul real
MoM1 MoM2 = t1t2 (l 2 + m 2 + n 2 ) = (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 - r 2
= (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 - r 2 = d 2 – r 2
d desemnând distanţa punctului Mo la centrul sferei, este numit puterea punctului Mo faţă
de sferă .
Fie sferele
(S1) x 2 + y 2 +z 2 + 2m1 x + 2n1 y + 2p1 z + q 1 = 0
(S2) x 2 + y 2 +z 2 + 2m2 x + 2n2 y + 2p2 z + q 2 = 0

Locul geometric al punctelor din spaţiu cu aceeaşi putere faţă de sferele (S1) şi (S2) este un
plan perpendicular pe linia centrelor celor două sfere,numit planul radical. Ecuaţia planului
radical a două sfere se obţine scăzând ecuaţiile acestora,adică
2(m1-m2)x + 2(n1-n2)y + 2(p1-p2)z +q1-q2 = 0
21.Elipsoidul.
Definiţie. Se numeşte elipsoid suprafaţa (E) caracterizată de
ecuaţia
2 2 2
x y z
(E) 1 0
2 2 2
a b c
Forma elipsoidului o putem determina studiind intersecţiile acestuia cu plane paralele
cu planele de coordonate.Astfel , intersecţiile cu plane paralele cu planele de coordonate sunt
elipsele:
x
a
z
2
2
y
b
2
2
c
2
1
0
,
x
a
y
2
2
z
c
2
2
reale pentru c , b , respectiv a sau mulţimea vidă pentru c ,
b, respectiv a .
b
2
1
0
,
Planele de coordonate (plane principale)sunt plane de simetrie ale elipsoidului, axele
de coordonate sunt axe de simetrie,iar segmentele pe axele de coordonate de lungime egale cu
a,b,respectiv c , sunt numite semiaxe. Intersecţiile elupsoidului cu axele de simetrie vor fi
y
b
x
2
2
z
c
2
2
a
2
1
0
,

numite vârfuri.Dacă două semiaxe sunt egale ,vom obţine un elipsoid de rotaţie, iar pentru a
= b = c se obţine sfera.
Originea reperului este centru de simetrie pentru mulţimea punctelor
elipsoidului,numit centrul elipsoidului.
Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt
x
y
z
a cos u sin v
b sin u sin v
c cos v
, u [0, 2 ) , v [0, ]
22.Hiperboloizi
Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu o pânză suprafaţa (H1)
caracterizată de ecuaţia
2 2 2
x y z
(H1) 1 0
2 2 2
a b c
Intersecţiile hiperboloidului (H1) cu plane paralele cu planele de coordonate sunt
curbele date de ecuaţiile:
2 2 2
x y
1 0
2 2 2
a b c , - elipse
z
x
a
y
2
2
z
c
2
2
b
2
2
1
0
, - hiperbole
2 2 2
y z
1 0
2 2 2
b c a , - hiperbole
x
Hiperboloidul cu o pânză are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul.Elipsa obţinută prin
intersecţia hiperboloidului cu planul z = 0 este numită colierul hiperboloidului cu o pânză.
Hiperboloidul cu o pânză este caracterizat parametric de ecuaţiile :
x
y
z
a chu
bchu
c sh u
cos v
sin v , u R, v [0,2 )

Dacă scriem ecuaţia hiperboloidului cu o pânză sub forma
x
a
z
c
x
a
z
c
y y
1 1 şi
b b
considerăm următoarele familiile de drepte
unde
d d si d d ,
d :
x
a
z
c
x
a
z
c
y
1
b
y
1
b
d
x
:
a
z
c
1
y
b
0
d
x
a
z
c
x z
a c
1
: d :
1
y
b
y
b
, R , obţinem următorul rezultat :
Teoremă Orice punct al hiperboloidului (H1) este situat pe o
dreaptă din familia ,respectiv şi reciproc.
x
a
z
c
In adevăr, dacă punctul Mo(xo,yo,zo) este situat pe (H1) , atunci coordonatele sale verifică
ecuaţia de unde rezultă satisfacerea relaţiilor şi reciproc .
Dreptele fiecăreia din familiile , respectiv sunt conţinute în întregime de
hiperboloid. Mai mult, hiperboloidul cu o pânză poate fi gândit ca reuniunea tuturor
dreptelor uneia dintre cele două familii şi că prin orice punct al hiperboloidului cu o pânză
trece câte o dreaptă din fiecare familie.
Definiţie. Se numeşte suprafaţă riglată , o suprafaţă E3
generată de o dreaptă care se sprijină pe o curbă dată.
Dreapta care generează suprafaaţa se numeşte generatoare rectilinie, iar curba pe
care se sprijină se numeşte curbă directoare .
1
y
b
0

Dacă prin orice punct al unei suprafeţe riglate trec două drepte distincte conţinute în
suprafaţă ,spunem că suprafaţa este dublu riglată. Pentru o suprafaţă dublu riglată
,generatoarele care trec printr-un punct determină planul tangent la suprafaţă în acest punct.
In concluzie, hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă dublu riglată.
Definiţie. Se numeşte hiperboloid cu două pânze suprafaţa (H2)
caracterizată de ecuaţia
2 2 2
x y z
(H2) 1 0
2 2 2
a b c
Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze, fig.4, cu plane paralele cu planele de
coordonate sunt date de :
x
a
z
x
a
y
y
b
x
2
2
2
2
2
2
y
b
z
c
z
c
2
2
2
2
2
2
c
b
a
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
,
,
elipse ,
punctele
multimea
hiperbole
hiperbole
pentru
c
A(
0,
0,
c)
, B(
0,
0,
vid a , pentru
c)
,
pentru
c
Axele şi planele sistemului de coordonate sunt axe, respectiv, plane de simetrie.
Punctele A(o,o,c) şi B(0,0,-c) vor fi numite vârfurile hiperbo-loidului cu două pânze .
z
c

Hiperboloidul cu două pânze este caracterizat parametric de ecuaţiile :
x
y
z
a sh u
b sh u
c chu
cos v
sin v
u R , v [0,2 )
23.Paraboloizi
Definiţie. Se numeşte paraboloid eliptic suprafaţa (Pe) caracterizată
de ecuaţia
2 2
x y
(Pe) z
2 2
a b
Intersecţia paraboloidului eliptic cu plane paralele cu axa Oz sunt parabole,iar
intersecţia cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse pentru
z > 0,originea (vârful paraboloidului) pentru z = 0,respectiv , mulţimea vidă pentru z
< 0.
Paraboloidul eliptic este caracterizat parametric de ecuaţiile :

x
y
z
a u cos v
bu
sin v
u
2
u R , v [0,2 )
Definiţie. Se numeşte paraboloid hiperbolic ( şa ) suprafaţa (Ph),
caracterizată de ecuaţia
2 2
x y
(Ph) z
2 2
a b
Paraboloidul hiperbolic are aceleaşi axe şi plane de simetrie ca şi paraboloidul eliptic.
Intersecţiile paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu planele de coordonate
sunt date de curbele :
x
a
z
2
2
x
a
y
2
2
y
b
b
2
2
2
2
z
hiperbole, pentru 0
drepte concurente
parabole
2
2
a
x
2
y
2
b
z
parabole
Paraboloidul hiperbolic este caracterizat de ecuaţiile parametrice
x a u chv
y
z
bu
shv
2
u
- u,v R

24.Conul, cilindrul, perechi de plane
Definiţie. Se numeşte con suprafaţa (C), caracterizată de ecuaţia
2 2 2
x y z
(C) 0
2 2 2
a b c
Intersecţiile conului, cu plane paralele cu planul xOy sunt elipse şi
intersecţiile conului cu plane paralele cu axa Oz sunt hiperbole.
Ecuaţiile parametrice ale conului sunt date de
x a u sin v
y
z
bu
cos v
u
u R , v [0,2 )
Definiţie. Se numeşte suprafaţă cilindrică suprafaţa ( )
caracterizată, în spaţiul E3, de o ecuaţie în două
nedeterminate
( ) F(x,y) =0 ( F(y,z) =0 sau F(x,z) =0 )
In particular , avem :
2 2
x y
1 0 - cilindrul eliptic , iar pentru b = a obţinem
2 2
a b
x 2 + y 2 = a 2 - cilindrul circular
2 2
x y
1 0 - cilindrul hiperbolic
2 2
a b
y 2 = 2px - cilindrul parabolic
Aceste suprafeţe cilindrice au generatoarele paralele cu axa Oz .
Alte suprafeţe algebrice de ordinul al doilea sunt:

x
a
2
2
y
b
2
2
0
- plane secante
x 2 – a 2 = 0 - plane paralele (confundate, pentru a = 0)
x
a
x
a
2
2
2
2
y
b
y
b
2
2
2
2
0
z
c
2
2
- dreaptă dublă
0
- punct dublu
a 2 x 2 +b 2 y 2 +c 2 z 2 +1 = 0 - mulţimea vidă .
25. Integrale improprii
Integrala Riemann s-a definit pe intervale compacte din R şi orice funcţie integrabilă
în mod necesar este mărginită. O extensiune a integralei Riemann se obţine înlăturând un
dintre aceste două condiţii: interval de integrare compact (închis şi mărginit), funcţia de
integrat mărginită. Vom defini un alt concept de integrală considerând funcţii de integrat
arbitrare (adică mărginite sau nemărginite în vecinătatea unui punct) şi intervale de integrat
arbitrare (mărginite, nemărginite sau închise, neînchise). Sensul geometric al noului concept
de integrală este determinat de calculul ariilor unor mulţimi din plan mărginite de graficul
unei funcţii, asimptote orizontale, asimptote verticale, drepte paralele cu Oy şi axa Ox. Acest
nou concept de integrală se va numi integrală improprie sau integrală generalizată sau
integrală pe interval necompact.
Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue,
pozitivă şi o asimptotă orizontală, avem cazurile:
x = a
lim A u lim f x dx R .
u 0 u 0 a
y
f : ( , b] R continuă, f > 0
u
y =
[
]
A(a,0) 0 M(u,0) x
f : [a, ) R continuă, f > 0
şi y = asimptotă orizontală
a
u
A u f x dx şi cercetăm
dacă există:

şi y = asimptotă orizontală
v
b
A v f x dx şi cercetăm
dacă există: lim
v
b
Av
lim f x dx R
v v
cercetăm dacă există
u
lim f x dx lim A v, u R .
u v
u
v v
f : R R, f continuă, f > 0 şi y = asimptotă
orizontală
u
A v, u f x dx şi
Fie f : I {c} R şi punctul x = c I este punct singular al lui f
dacă există V V (c) a. î. f este nemărginită pe V I; în acest caz graficul lui f admite
asimptotă verticală x = c. Vom considera intervale necompacte din R de forma: [a, c) cu c
+ , (c, b] cu c şi (a, b) cu a , b + .
Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue, pozitivă, axa
Ox şi o asimptotă verticală; avem cazurile:
[ A(a,0)
[
N(v,0)
0
y
y
]
0 M(u,0)
]
M(u,0)
y =
x
x = c
x
v
f : [a, c) R, x = c punct singular şi dreapta x =
c asimptotă verticală
A
y
N(v,0) 0 B(b,0) x
u
v, u f x dx
şi cercetăm dacă există
v
y =

x = a
x = a
b
lim f x dx lim A v R
v c c
v c
v c b v c
( [
[
N(v,0)
N(v,0)
Observaţii
1. Prin schimbarea de variabilă x t , t
lim A u lim f x dx R
u c u c a
u c a u c
u
f : (c, b] R, x = c punct singular şi dreapta x = c
asimptotă verticală
v
b
A v f x dx şi cercetăm dacă există
f : (a, b) R, x1 = a, x2 = b puncte singulare şi
dreptele x1 = a şi x2 = b asimptote verticale
u
A u, v f x dx şi cercetăm dacă
există
v
lim A v, u lim f x dx R
v a v a v
u b u b
a v u b a v u b
t c a
c t
1
: a, c a, şi C a, c se aplică intervalul necompact şi mărginit [a, c) pe
intervalul închis şi nemărginit [a, ).
2. Din acest motiv vom studia un singur tip de integrală improprie pentru f : [a, ) R cu
interval de integrare nemărginit (tip I); cazul
f : [a, c) R cu x = c punct singular (tip II) se va reduce prin
x t la primul caz.
0
y
y
0
]
M(u,0)
B(b,0)
3. După discuţia precedentă şi exemplele rezolvate se constată cerinţa
]
)
x
x = b
x
obligatorie pentru f de a fi local integrabilă (integrabilă pe orice compact din mulţimea sa de
definiţie) pe mulţimea sa de definiţie.
cu
u

4. Dacă f : [a, ) R este local integrabilă pentru u > a asociem lui f integrala parţială:
1
u
a
f
not
x dx F u , u a
care este o integrală Riemann. La fel pentru f : ( , b] R, avem:
1' G v
b
v
f x dx, v b şi cazul f : R R,
u
1'' H u, v f x dx pentru u, v R cu v u .
Definiţie
v
1] Fie f : [a, ) R local integrabilă şi u > a. Dacă există limita finită
u
2 lim f x dx lim F u I R
u a
u
prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, ), notată,
1
a
f x dx
este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este I1 f x dx . Dacă limita (2) nu
există sau este infinită integrala improprie
a
a
f x dx este divergentă sau nu are sens.
2] Fie f : ( , b] local integrabilă şi v < b variabil. Dacă există limita finită:
b
3 lim f x dx lim G V I R
v V
v
prin definiţie, integrala improprie din f pe ( , b], notată
are sens în R şi valoarea ei este
2
b
2
b
f x dx este convergentă sau
I f x dx . Dacă limita (3) nu există sau este infinită integrala improprie
b
f x dx este divergentă sau nu are sens.
3] Fie f : R R local integrabilă şi u, v R variabili cu v < u. Dacă există limita finită

u
4 lim f x dx lim H u, v I R ,
v v
v
u u
3
prin definiţie, integrala improprie din f pe R = ( , ), notată, f x dx este
convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este f x dx I 3 .
Definiţie
1 o ] Fie f : [a, c) R cu x = c punct singular, f local integrabilă şi u variabil cu
a < u < c. Dacă există limita finită:
u
5 lim f x dx lim F u J R
u c a
u c
u c u c
prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, c), notată,
1
a
c
f x dx
este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este f x dx J 1.
Dacă limita (5) nu
există sau este infinită, integrala improprie
a
c
a
c
f x dx este divergentă sau nu are sens.
2 o ] Fie f : [a, c) R cu x = a, punct singular, f local integrabilă şi v variabil cu a < v < c.
Dacă există limita finită:
c
6 lim f x dx limG v J R
v a v
v a
v a v a
prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c], notată,
2
c
a
c
f x dx este convergentă sau
are sens în R şi valoarea ei este f x dx J 2 . Dacă limita (6) nu există sau este
infinită, integrala improprie
a
c
a
f x dx este divergentă sau nu are sens.
3o ] Fie f : (a, c) R cu x1 = a, x2 = c puncte singulare, f local integrabilă şi u, v (a, c)
variabili cu a < v < u < c. Dacă există limita finită:

u
7 lim f x dx lim H u, v J R
v
u
a
c
v
v
u
a
c
a v u c
prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c), notată,
c
3
a
c
f x dx este convergentă sau
are sens în R şi valoarea ei este f x dx J 2 . Dacă limita (7) nu există sau este
infinită, integrala improprie
Observaţii.
a
c
a
f x dx este divergentă sau nu are sens.
1. Integralele improprii sau pe interval necompact cu f : [a, c) R, c + sunt de două
tipuri:
I pentru c = , avem
a
f x dx de tip I sau integrală pe interval nemărginit
II pentru c R finit şi x = c punct singular al lui f, avem
integrală improprie din funcţie nemărginită (în x = c limita superioară).
a
c
f x dx de tip II sau
2. Prin schimbarea de variabilă x t , t
t c
c
a
t
cu
[a, c) este aplicat pe [a, ) şi la fel t
1
x
x
cx
c
aplică [a,
a
) pe [a, c). Se va
studia numai teoria integralelor improprii cu interval nemărginit (de tip I).
b
1
C a, c intervalul
3. Pentru I2 f x dx convergentă prin schimbarea de variabilă x = t se obţine
b
f t dt I care este de forma
4. Prin teorema de reducere:
1
a
f x dx .

Teorema (Teorema de reducere)
Fie f : R R o funcţie local integrabilă pe R.
(i) Dacă I3 f x dx este convergentă, atunci pentru a R sunt convergente
I f x dx şi I f x dx şi are loc formula de reducere:
integralele: 1 2
a
8
a
f x dx f x dx f x dx I I I
a
a
3 2 1
(ii) Dacă există a R a.î. integralele improprii I2 f x dx şi
I f x dx sunt convergente atunci f x dx I 3 este convergentă şi are loc
1
a
formula de reducere (8).
5. Dintre integralele improprii cu interval nemărginit se vor studia numai cele de tipul
a
notat
f x dx I .
1
6. Integralele improprii mixte, cu intervalul de integrare nemărginit şi integrandul are cel
puţin un punct singular se vor descompune în integrale improprii de tip I şi de tip II, izolând
punctul singular.
Definiţie
Fie f : [a, ) R funcţie local integrabilă.
1] Integrala improprie
a
f x dx este prin definiţie absolut
convergentă dacă şi numai dacă, integrala improprie a
a
f x dx este convergentă.

2] Integrala improprie
semiconvergentă, dacă şi numai dacă,
convergentă (
a
a
f x dx este divergentă).
f x dx este prin definiţie simplu convergentă sau
a
f x dx este convergentă şi nu este absolut
Teorema (Criteriul general al lui Cauchy sau teorema lui Cauchy)
Fie f : [a, ) R funcţie local integrabilă. Integrala improprie
a
9
f x dx este convergentă
0
0, u oricât de mare dorim a.î. u ', u '' [ a,
) cu
0
u''
u u ' u '' f x dx
Consecinţa
u'
Fie f : [a, ) R funcţie local integrabilă şi care are limita la (+ ).
Dacă
a
f x dx este convergentă, atunci (în mod necesar) lim f x 0 .
x
Consecinţa
Fie f : [a, ) R funcţie local integrabilă. Dacă integrala improprie
absolut convergentă, atunci ea este convergentă.
a
f x dx este
Demonstraţie. Aplicând teorema lui Cauchy şi folosind o proprietate a integralei definite,
avem: u', u'' > a cu u' < u'', avem
Observaţii
u''u'' f x dx f x dx .◄
u' u'
1. Dacă f : [a, ) R funcţie local integrabilă şi există lim f x l 0 , atunci
x
a
f x dx este divergentă (condiţie suficientă).
2. În cazul [a, b] R interval compact are loc situaţia: f integrabilă pe [a, b] | f | integrabilă
pe [a, b].

În cazul [a, ) R interval compact are loc situaţia:
a
a
f x dx convergentă
f x dx convergentă; reciproca nu este în general adevărată, conform definiţiei 5.4 o
integrală simplu convergentă nu este şi absolut convergentă.
Teorema
Dacă integrala
a
f x dx este convergentă, atunci pentru orice şir
crescător şi cu lim n
0 1
n
convergentă şi are loc egalitatea:
10
b a b b seria numerică
n 1
f x dx f x dx .
a b
n 0
Observaţii
b
n
n
n b
0
b
b [ a , )
n 1
n
n n 1
f x dx este
1. Teorema pune în evidenţă legătura dintre Teoria integralelor improprii şi Teoria seriilor
numerice.
2. Din acest motiv se va pune în evidenţă o analogie între criteriile de convergenţă pentru
integrale improprii şi criteriile de convergenţă pentru serii numerice.
3. Studiul integralelor improprii cuprinde două probleme:
I natura integralei improprii: fie convergentă, fie divergentă
II valoarea numerică a unei integrale improprii convergentă.

26.Criterii de convergenţă pentru integrale improprii
Vom prezenta criterii de convergenţă pentru integrale improprii cu integrantul de semn
constant (pozitiv) şi cu integrantul de semn oarecare pe intervalul de integrare. Fie f 0, x
a şi f local integrabilă pe [a, ); atunci f = |f | şi convergenţa a
fdx coincide cu convergenţa
u
absolută. În acest caz pentru u > a variabil, integrala parţială F(u) = f ( x) dx şi u10) şi g( x) dx divergentă f ( x) dx divergentă;
a
a
a

3 ) pentru 0 < l < + , integralele f ( x) dx şi g( x) dx au aceeaşi natură.
a
a
Teorema (Criteriul în )
Fie f : [a, ) R pozitivă şi local integrabilă.
(i) Dacă există > 1 a. î. (3 ) lim x f ( x) l atunci: f ( x) dx convergentă;
x
a
(ii) Dacă există 1 a. î. (4 ) lim x f ( x) l 0 atunci: f ( x) dx divergentă.
x
a
Teorema (Criteriul în )
Fie f : [a, c) R cu x = c punct singular şi f pozitivă şi local integrabilă pe [a, c).
(i) Dacă există

2 ) g este monoton descrescătoare şi lim g( x) l R , atunci f ( x) g( x) dx este
x
convergentă.
Consecinţa
Fie f , g: [a, ) R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:
1 ) f ( x) dx are integralele parţiale mărginite;
a
2 ) g este monoton descrescătoare şi lim gx ( ) 0,
atunci f ( x) g( x) dx este convergentă.
x
a
a

REFERINTE BIBLIOGRAFICE
1.Goian, I., Marin, V., Spatii vectoriale si operatori liniari, Ed. Lumina, Chisinau, 1993
2. Kostrikin, A., Introduction ŕ l'algébre, Ed. Mir, 1981
3. V. Brinzanescu, O. Stanasila, Matematici Speciale –teorie, exemple,aplicatii-,Ed. ALL
1994.
4. H. Anton, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1984.
5. M. Steecher, Linear Algebra, Hearper & Row, Publishers, New Yprk, 1988.
6. V. Pop, Algebra liniara, Ed. Mediamira, 2005
7. Udriste C. , Probleme de algebra,geometrie , ecuatii diferentiale, Bucuresti, 1994
8. R.Bronson, LinearAlgebra, Acad. Press,1995
9. Gh.Ivan, Bazele algebrei liniare,.Ed.Mirton,Timisoara,1996.
10. Ilea M. , M.Turnea „ Elemente de algebră liniară şi geometrie analitică” ,
Ed. Venus,2002, ISBN:973-8174-57-0 .