Temele 1-10.pdf

VARIANTA 1 . TEMĂ 

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. 

Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, 

specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. 

• Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. 

• La toate subiectele se cer rezolvări complete. 

Subiectul I_(30 puncte)___________________________________________________________________ 

3 

C 5 + P5 . 

1. (5p) Să se calculeze 

2. (5p) Se dau punctele A(4,-5) , B(-6, -2). Determinaţi coordonatele vectorului AB = ai + b j . 

3. (5p) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei lg(6x – 8) = 1. 

4. (5p) Să se calculeze 

1 

x + 

1 

1 

x ştiind că x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x 2 – x – 6 = 0. 

2 

5. (5p) Se consideră funcţia f : [0, 1]→R, f(x) = 2x 2 – 3x + 5. Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f. 

6. (5p) În triunghiul ABC se cunosc: AB = 5, AC = 5 , BC = 7 . Calculaţi cos C. 

Subiectul II_(30 puncte)__________________________________________________________________ 

1. Se consideră determinantul d = 

a. (5p) Să se calculeze x1 + x2 + x3. 

b. (5p) Să se calculeze x1 3 + x2 3 + x3 3 . 

c. (5p) Să se calculeze valoarea determinantului d. 

x 

x 

x 

1 

2 

3 

x 

x 

x 

2 

3 

1 

x 

x 

x 

3 

1 

2 

, unde x1, x2, x3 sunt soluţiile ecuaţiei x 3 – 3x – 2 = 0. 

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prin x◦y = xy + 5 x + 5 y + 20. 

a. (5p) Să se verifice că x ◦ y = (x + 5)(y + 5) − 5, oricare ar fi x,y∈ R . 

b. (5p) Să se calculeze x ◦ (–5). 

c. (5p) Ştiind că operaţia „ ◦ ” este asociativă, să se calculeze (−2011) ◦ (−2010) ◦ …… ◦ 2010 ◦ 2011 

Subiectul III_(30 puncte)__________________________________________________________________ 

1. Se consideră funcţia f : R \ {-2}→R, f(x) = 

a. (5p) Să se calculeze derivata funcţiei f. 

2 

x 

x + 

b. (5p) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. 

c. (5p) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f. 

2. Se consideră funcţiile fn : [ 0, +∞)→R, fn(x) = e x · x n 1 

şi In = ∫ 

0 

a. (5p) Să se calculeze ∫ e ⋅ f ( x) 

dx 

x 

. 

b. (5p) Să se calculeze 

1 

0 

x→∞ 

1 

1 

lim ∫ 

0 

f ( t dt . 

1 ) 

c. (5p) Să se demonstreze că In = e – n · In-1. 

2 

. 

f n ( x) 

dx pentru orice n ∈ N * .








3x 

+ 1 

1. (5p) Să se determine soluţiile reale ale inecuaţiei 

≥ -1. 

2 

x + x + 2 

2. (5p) Se dau punctele A(2,-4) , B(-5, -3). Determinaţi ecuaţia dreptei AB. 

3. (5p) Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = x 2 – 49.Să se calculeze f(-7) · f(-6) · …· f(0) · … · f(6) · f(7) . 

4. (5p) Să se demonstreze că dacă x1 este soluţie a ecuaţiei x 2 – 2010 x +1 = 0 atunci x1 + 

5. (5p) Să se rezolve ecuaţia 

2 

C n = 36 , n∈ R. 

1 

x 

1 

= 2010. 

6. (5p) În triunghiul ABC se cunosc: AB = 5, AC = 8, m( ∧ 

A ) = 30 o .Să se calculeze aria triunghiului ABC. 


⎛1 

⎜ 

1. Se consideră matricele A = ⎜1 

⎜ 

⎝1 

a. (5p) Să se verifice că A = I3 + B. 

b. (5p) Să se calculeze suma A 2 + B 2 . 

c. (5p) Să se calculeze inversa matricei A 2 . 

0 

1 

1 

0⎞ 

⎛1 

⎟ ⎜ 

0⎟ 

, I3 = ⎜0 

1⎟ 

⎜ 

⎠ ⎝0 

0 

1 

0 

0⎞ 

⎛0 

⎟ ⎜ 

0⎟ 

, B = ⎜1 

1⎟ 

⎜ 

⎠ ⎝1 

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prin x◦y = xy + 9 x + 9 y + 72. 

a. (5p) Să se verifice că x ◦ y = (x + 9)(y + 9) − 9, oricare ar fi x,y∈ R . 

b. (5p) Să se calculeze 5 ◦ (– 5). 

c. (5p) Ştiind că legea de compoziţie „ ◦ ” este asociativă, să se rezolve în R ecuaţia x◦x◦x = x 


1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ )→R, definită prin f(x) = x 2 – ln x . 


b. (5p) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f. 

c. (5p) Să se studieze concavitatea şi convexitatea funcţiei f. 

2. Se consideră funcţiile fm : [ 0, 1]→R, fm(x) = m 2 x 2 + (m 2 – 3m + 2) x + 1 unde m ∈ R . 

a. (5p) Să se calculeze ∫ f 1 ( x) 

dx . 

b. (5p) Să se calculeze ∫ e ⋅ f ( x) 

dx 

x 

. 

1 

0 

0 

1 

c. (5p) Să se determine m ∈ R astfel încât ∫ f m ( x) 

dx = 3 

0 

_______________________________________________________________________________________ 

0 

0 

1 

0⎞ 

⎟ 

0⎟ 

0⎟ 

⎠








1. (5p) Să se calculeze sin 150 0 şi cos 150 0 . 

2. (5p) Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = x 2 – 14x + 42 şi dreapta de ecuaţie y = - 7. Se cere Gf ∩ y . 

3. (5p) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei ln (4x – 5) = 0. 

4. (5p) Să se determine câte numere de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii M = {1,2,3,4}. 

5. (5p) Se dau vectorii OA (-3,2) şi OB (7,4). Să se determine coordonatele medianei OM . 

6. (5p) Să se determine soluţiile întregi ale inecuaţiei 1 ≤ 

3x − 5 

2 


1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-2,-2), B(m,m), C(4,-5) unde m ∈ R. 

a. (5p) Să se calculeze aria triunghiului ABC pentru m = 0. 

b. (5p) Pentru m = 3 să se determine ecuaţia dreptei BC. 

≤ 4 

c. (5p) Să se x ∈ R pentru care M(x, 3) este coliniar cu punctele A şi C.. 

2. Se consideră polinomul f∈ R[x], f = X 4 + a·X 3 + (a+2)·X 2 + 20·x – 15 cu rădăcinile x1, x2, x3, x4 ∈ R. 

a. (5p) Să se determine a∈ R astfel încât x1 + x2 + x3 + x4. 

b. (5p) Să se determine a∈ R astfel încât polinomul f să fie divizibil cu X – 5 

c. (5p) Pentru a = – 4 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în R[x]. 


1. Se consideră funcţia f : R → R, definită prin f(x) = x 2 · e x . 

a. (5p) Să se studieze monotonia funcţiei f. 

b. (5p) Să se studieze concavitatea şi convexitatea funcţiei f. 

c. (5p) Să se calculeze 

⎛ f '( 

x) 

⎞ 

lim x · ⎜ −1⎟ 

x→∞ 

⎝ f ( x) 

⎠ 

1 

2. Se consideră funcţiile f, F : [ 1, ∞)→R, definite prin f(x) = 2 

x + ln x şi F(x) = x· ( ln x –1) – 1 

. 

x 

a. (5p) Să se arate că F este o primitivă a funcţiei f. 

2 

x 

b. (5p) Să se calculeze ∫ f ( e ) dx . 

1 

x 

lim ∫ 

c. (5p) Să se calculeze f ( t) 

dt 

x→∞ 

1 

_______________________________________________________________________________________








1. (5p) Să se rezolve inecuaţia (3x – 2) 2 ≤ 4. 

2. (5p) Se consideră funcţia f: R →R, f(x) = x – 3. Să se calculeze f(0) + f(1) + f(2) + …..+ f(10). 

3. (5p) Să se rezolve ecuaţia logaritmică log5(x 2 – 8x + 115) = log5(3x + 1). 

4. (5p) Să se determine probabilitatea ca alegând unul din numerele 

3 

C 5 , P5, 

5. (5p) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A(4,-1), B(-4,1). 

3 

A 5 , acesta să fie divizibil cu 3. 

6. (5p) În triunghiul ABC se cunosc: AB = 8, AC = 6, m( ∧ 

A ) = 45 o .Să se calculeze aria triunghiului ABC. 


⎧⎛ 

a b⎞ 

⎫ * 

⎛1 

3⎞ 

1. Se consideră mulţimea M = ⎨⎜ 

⎟ a, 

b ∈ R ⎬ şi matricea A = ⎜ ⎟ , X 

⎩⎝b 

a⎠ 

⎭ 

⎝6 

9⎠ 

t = transpusa matricei X. 

a. (5p) Să se calculeze A t · A. 

b. (5p) Să se arate că pentru orice matrice X∈ M are loc egalitatea det (A t · A) = [(a–b) · (a+b)] 2 . 

c. (5p) Să se arate că pentru orice matrice X∈ M cu det (A t · A) = 0 are loc relaţia a = b sau a = − b. 

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prin x◦y = xy + x + y . 

a. (5p) Să se arate că legea de compoziţie „ ◦ ” este asociativă . 

b. (5p) Să se arate că mulţimea M = [−1, ∞) este parte stabilă în funcţie de legea de compoziţie „ ◦ ”. 

c. (5p) Să se determine a∈Z cu proprietatea că x ◦ a = a oricare ar fi x∈Z. 


1. Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = e x · (x 2 + x + 3) . 


b. (5p) Să se studieze monotonia funcţiei f . 

f ( x) 

− f ( 1) 

c. (5p) Să se determine lim 

x→1 x −1 

2. Se consideră funcţiile f, g : (0, +∞)→R, definite prin f(x) = 2x · ln x + x + 1 şi g(x) = x 2 · ln x + x 

a. (5p) Să se arate că g este o primitivă a funcţiei f 

e 

b. (5p) Să se calculeze ∫ f ( x) 

⋅ g( 

x) 

dx . 

1 

c. (5p) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între Gf , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e . 

_______________________________________________________________________________________








1. (5p) Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : R →R, f(x) = 2x 2 – 3x + 5. 

2. (5p) Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = 2x + 5. Să se calculeze f(1) + f(2) + f(3) + ……….+ f(10). 

3. (5p) Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log5(4x – 7) = 2. 

4. (5p) Să se rezolve ecuaţia 

2 

A n = 30 . 

5. (5p) În reperul xOy se consideră punctele A(4,1), B(2,5), C(-2,-1). Să se calculeze perimetrul Δ ABC. 

6. (5p) Să se determine probabilitatea ca alegând la întâmplare un element din mulţimea 

A = {cos30 0 , cos45 0 , cos60 0 }, acesta să fie număr raţional. 


⎛a 

b⎞ 

⎛1 

0⎞ 

1. Se consideră matricele A = ⎜ ⎟ şi I2 = ⎜ ⎟ din M2( R ). Se notează A 

⎝b 

a⎠ 

⎝0 

1⎠ 

2 = A·A 

a. (5p) Să se calculeze A 2 . 

b. (5p) Să se verifice dacă A 2 = 2a·A – (a 2 – b 2 ) · I2. 

c. (5p) Să se determine inversa matricei A. 

2. Se consideră polinomul f = X 3 – 4X 2 + aX + b cu rădăcinile x1, x2, x3, unde a,b ∈ R. 

a. (5p) Pentru a = 4, b = 0 să se determine rădăcinile x1, x2, x3 . 

b. (5p) Ştiind că x1 2 + x2 2 + x3 2 = 8, să se arate că a = 4 . 

c. (5p) Să se descompună polinomul f = (X-x1)·(X-x2)·(X-x3) pentru a = 4, b = 0. 


1. Se consideră funcţia f , g: R →R, f(x) = (x + 2) · e x şi g(x) = (x + 3) · e x . 

a. (5p) Să se verifice dacă f’(x) = g(x) pentru orice x∈ R. 

b. (5p) Să se determine ecuaţia asimptotei spre -∞ la graficul funcţiei f. 

c. (5p) Să se studieze monotonia, concavitarea şi convexitatea funcţiei f. 

x 

2. Se consideră funcţiile f, g : [ 1, +∞)→R, f(x) = 

ln x 

a. (5p) Să se arate că f este o primitivă a funcţiei g. 

b. (5p) Să se calculeze ∫ f ( x) 

⋅ g( 

x) 

dx . 


e 

1 

x 

x→∞ lim ∫ 

e 

g ( t) 

dt . 

şi g(x) = 

1 

– 

ln x 

1 

. 2 

ln x 

_______________________________________________________________________________________








1. (5p) Să se determine punctul de intersecţie al dreptelor de ecuaţii 2x – 7y – 2 = 0 şi 4x + 5y – 9 = 0 . 

( n + 2)! 

2. (5p) Să se rezolve ecuaţia = 72 , n ∈ N. 

n! 

log 27 

3 3 

3. (5p) Să se arate că numărul ( 3 ) este natural. 

4. (5p) În triunghiul ABC se cunosc: AB = 5, AC = 12, BC = 13. Calculaţi cos B. 

5. (5p) Să se determine valorile parametrului real m, ştiind că soluţiile x1, x2 ale ecuaţiei 

x 2 - (m 2 –5m + 2) x + 5 = 0 verifică egalitatea x1 + x 2 + x1x2 = 3 

6. (5p) Să se arate că în orice triunghi dreptunghic ABC are loc relaţia sin 2 B + sin 2 C = 1. 


⎛2 

− 6⎞ 

1. 1. Se consideră matricea A = ⎜ ⎟ 

⎝1 

− 3⎠ 

a. (5p) Să se calculeze det (A). 

b. (5p) Să se calculeze A 3 unde A 3 = A· A · A . 

c. (5p) Să se demonstreze că A · B = 02 unde B = A 2 – I 2 . 

2. Se consideră polinoamele f, g ∈ R[X] , f = X 4 – X 3 + X 2 – X + 1 şi g = X 3 – X 2 + X – 1. 

a. (5p) Să se demonstreze că f = X·g + 1 . 

b. (5p) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului g. 

c. (5p) Să se calculeze f(a), ştiind că a este o rădăcină a polinomului g. 


1. Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = e x + x + 1 . 


b. (5p) Să se determine intervalele de monotonie şi punctele de extrem ale funcţiei f. 


x→∞ lim 

f '( 

x) 

f '' 

( x) 

2. Se consideră funcţiile f , g: [ 0, +∞)→R, f(x) = 

a. (5p) Să se calculeze ∫ ⋅ 

2 

x f ( x) 

dx . 

1 

3 

x + 1 

, g(x) = f ’’(x ). 

x 

2 

b. (5p) Să se calculeze ∫ g ( x) 

dx . 

1 

c. (5p) Să se determine primitiva funcţiei g a cărei asimptotă spre + ∞ este dreapta de ecuaţie y = 2x. 

_______________________________________________________________________________________








2 

1. (5p) Să se calculeze C 7 + P4 . 

2. (5p) Se dă funcţia f : R→ R , f(x) = x 2 – 4.Să se determine punctele de intersecţie ale Gf cu axele Ox şi Oy. 

3. (5p) În triunghiul ABC se cunosc: AC = 8, m( ∧ 

B ) = 60 0 , m( ∧ 

A ) = 45 0 . Să se calculeze BC. 

4. (5p) Se dau punctele A(6,-2), B(-4, 8). Să se calculeze lungimea AM unde M este mijlocul segmentului. 

5. (5p) Să se arate că pentru orice m∈R, ecuaţia x 2 – (m+2) x + (m 2 +1) = 0 are două soluţii reale distincte. 

6. (5p) Să se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii geometrice în care se cunosc 

⎧a2 

− a1 

= 2 

⎨ . 

⎩a2 

+ a1 

= 6 


1. Se consideră sistemul 

a. (5p) Pentru a = – 6 să se rezolve sistemul . 

⎧ax 

+ 4y 

= 0 ⎛a 

4⎞ 

⎛0 

0⎞ 

⎛1 

0⎞ 

⎨ 

, A = ⎜ ⎟ , 02 = ⎜ ⎟ , I2 = ⎜ ⎟ şi A 

⎩8x 

+ 2y 

= 0 ⎝8 

2⎠ 

⎝0 

0⎠ 

⎝0 

1⎠ 

2 = A·A. 

b. (5p) Să se verifice egalitatea A 2 ⎛32 

4 ⎞ 

– (a+1) · A+ (a-8) · I2 – ⎜ 

⎟ 

⎝ 6 34 − 2a⎠ 

c. (5p) Să se rezolve sistemul pentru a = 16. 

2. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie prin x◦y = x + y – 2. 

a. (5p) Să se arate că legea de compoziţie este asociativă. 

b. (5p) Să se rezolve ecuaţia 1x 

o42 

x o x.... 

43 4o 

x = 1 . 

de 10 ori 

c. (5p) Să se demonstreze că (Z, ◦) este grup comutativ. 


1. Se consideră funcţia f ,g : R →R, f(x) = x 3 – x 2 – x + 1 şi g(x) = x 3 – 3x 2 – 2x + 4 . 

a. (5p) Să se calculeze derivata funcţiei f’(x) – g’(x). 

f ( x) 

b. (5p) Să se calculeze lim 

x →1 

g( 

x) 

c. (5p) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. 

2. Se consideră funcţiile f, F : ( 0, + ∞)→R, f(x) = e x 2x 1 

+ 

x 

2 + x 2 

, F(x) = e + x + ln x. 

a. (5p) Să se demonstreze că F este o primitivă a funcţiei f. 

2 

2 

b. (5p) Să se calculeze ∫ x ⋅[ 

F( 

x) 

− x − ln x] 

dx . 

1 

c. (5p) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între Gf , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e. 

_______________________________________________________________________________________ 

= 02








2 

P 4 + C5 

1. (5p) Să se calculeze . 2 

A 

6 

2. (5p) Să se determine x∈ R, ştiind că numerele x-4, x+3, 2x+1 sunt în progresie aritmetică. 

⎛ 1 ⎞ 

3. (5p) Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = ⎜ ⎟ . Să se calculeze f(0) + f(1) + f(2) + f(3). 

⎝ 3 ⎠ 

x 

4. (5p) Să se determine m∈ R, ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 + ( m – 7 ) – 2m = 0 verifică relaţia: 

x1 + x2 = 3(x1 + x2) – 2 

5. (5p) Să se determine ecuaţia dreptei determinate de punctele A(4,1) şi B(2,5). 

6. (5p) Să se demonstreze că în Δ ABC cu m( ∧ 

A ) = 90 0 are loc relaţia AD 2 = AB·AC ·cos B·cos C 

unde D este piciorul înălţimii din A. 


⎧⎛ 

a − 2 b + 2⎞ 

⎫ 

1. În mulţimea M2( R ) se consideră mulţimea G = ⎨⎜ 

⎟ a, 

b ∈ Z ⎬ . 

⎩⎝b 

+ 2 a − 2⎠ 

⎭ 

a. (5p) Dacă A, B ∈ G, să se demonstreze că A + B ∈ G. 

b. (5p) Să se verifice că matricea C∈ G obţinută pentru a = 7 şi b = 1 verifică relaţia C 2 = 10 C – 16 I2. 

c. (5p) Pentru a, b ∈ N, să se determine o matrice D∈ G care are proprietatea det D = 2011. 

2. Se consideră polinomul f= (X+1) 2011 – (X–1) 2011 cu forma algebrică f = a2011X 2011 + ….+ a1X + a0. 

a. (5p) Să se determine a0. 

b. (5p) Să se arate că f(1) + f(–1) este număr întreg par. 

c. (5p) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului f. 


x + 

1. Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = . 2 

x 

a. (5p) Să se calculeze f’(x). 

b. (5p) Să se determine ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f. 

c. (5p) Să se studieze monotonia funcţiei f. 

2. Se consideră funcţiile f, g : [ 0, +∞)→R, f(x) = 3 x şi g(x) = ( x+ 1 ) · e x . 

a. (5p) Să se găsească o primitivă a funcţiei f. 

b. (5p) Să se calculeze aria determinată de Gg , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = e. 

x 

∫ 0 

f ( t) 

dt 

2 1 

c. (5p) Să se calculeze lim 

x→∞ 

x 

. 

_______________________________________________________________________________________








1. (5p) Să se calculeze suma 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 . 

2. (5p) Să se rezolve inecuaţia ( x 2 – 4 )( x + 3 ) ≤ 0. 

3. (5p) Să se arate că suma soluţiilor ecuaţiei mx 2 – 4mx + 2011 = 0 

4. (5p) Să se determine valorile naturale ale numărului n care verifică relaţia 

5. (5p) Se consideră pătratul ABCD. Să se arate că AB + AD = AC 

6. (5p) Să se calculeze lg(ctg40 0 ) + lg(ctg41 0 ) + ……+ lg(ctg45 0 ) 

n 

C n + 

C = 2011 


∧ ⎛ 

⎜1 

∧ 

1. În mulţimea M3( Z6 ) se consideră matricele A = 

⎜ 

0 

⎜ ∧ 

⎜0 

⎝ 

Se notează X 2 = X· X, pentru oricare X ∈ M3( Z6 ). 

a. (5p) Să se calculeze A 2 . 

b. (5p) Să se calculeze ( B – A ) 2 

c. (5p) Să se găsească inversa matricei A. 

2. Pe Z se defineşte legea de compoziţie x ◦ y = xy + 7x + 7y + 42. 

a. (5p) Să se determine elementul neutru al legii. 

2 

b. (5p) Să se rezolve în R inecuaţia x ◦ x ≤ – . 

3 

c. (5p) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea. 

∧ 

0 

∧ 

3 

∧ 

0 

∧ 

∧ ⎞ ⎛ 

0⎟ 

⎜1 

∧ 

∧ 

0 

⎟ 

, I3 = 

⎜ 

2 

∧ ⎟ ⎜ ∧ 

5⎟ 

⎜3 

⎠ ⎝ 

∧ 

0 

∧ 

3 

∧ 

4 

n−1 

n 

∧ 

∧ ⎞ ⎛ 

0⎟ 

⎜1 

∧ 

∧ 

0 

⎟ 

, B = 

⎜ 

0 

∧ ⎟ ⎜ ∧ 

5⎟ 

⎜0 

⎠ ⎝ 


1. Se consideră funcţia f : R →R, f(x) = 4x 3 – 6x 2 + 3. 

a. (5p) Să se calculeze f’(1). 

b. (5p) Să se studieze monotonia şi să se determine punctele de extrem ale funcţiei f. 


2. Se consideră funcţiile f, g : [ 0, 1]→R, f(x) = ( x + 2 ) · e x şi g(x) = ( x + 1) · e x . 

a. (5p) Să se arate că g este o primitivă a funcţiei f. 

b. (5p) Să se calculeze aria determinată de Gf , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1. 

c. (5p) Să se arate că [ f ( x) 

− g( 

x) 

] dx ≥ 0. 

1 

∫ 

0 

_______________________________________________________________________________________ 

∧ 

0 

∧ 

1 

∧ 

0 

∧ ⎞ 

0⎟ 

∧ 

0 

⎟ 

. 

∧ ⎟ 

1⎟ 

⎠








1. (5p) Să se determine produsul primilor 3 termeni ai progresiei geometrice cu a1 = 2 şi q = -3. 

2. (5p) Să se consideră funcţia f : (0, ∞) → R , f(x) = 3 x + log2x. Să se calculeze f(1) + f(4). 

3. (5p) Să se rezolve în R ecuaţia 3 4 − x = – 3 . 

4. (5p) Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : (0, ∞) → R, f(x) = 2x 2 – 18x +1. 

5. (5p) Se dau punctele A(5,4), B(4,5) şi M mijlocul segmentului AB. Să se determine lungimea [OM]. 

6. (5p) Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că AB = 8 şi m( ∧ 

C ) = 60 0 . 


⎛2 

4⎞ 

⎛1 

0⎞ 

1. În mulţimea M2( R) se consideră matricele A = ⎜ ⎟ , I2 = ⎜ ⎟ şi X(a) = I2 + a·A , unde a∈R. 

⎝1 

2⎠ 

⎝0 

1⎠ 

a. (5p) Să se arate că A 2 = 4·A. 

b. (5p) Să se calculeze det X(a). 

c. (5p) Să se verifice dacă X(a) · X(b) = X(a + b + 4ab) oricare ar fi a, b∈ R. 

2. Se consideră polinomul f = (1 + X + X 2 ) 1005 ∈ Z[X] cu forma algebrică f = a2010X 2010 + …..+ a1X + a0. 

a. (5p) Să se calculeze f(0) + f(–1). 

b. (5p) Să se arate că suma a2010 + …..+ a1 + a0 este număr natural divizibil cu 3. 

c. (5p) Să se determine restul împărţirii polinomului f la x 2 – 1. 


1. Se consideră funcţia f : R \{1}→R, f(x) = 

a. (5p) Să se calculeze f’(x). 

2 

x 

. 

x −1 

b. (5p) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice la ∞ pentru graficul funcţiei f. 


2. Se consideră funcţiile f, g : [ 0, 1]→R, f(x) = x n+1 · e x pentru orice n∈ N. 

a. (5p) Să se determine ∫ f 0 ( x) 

⋅e 

-x dx, unde x∈ [ 0, 1]. 

b. (5p) Să se calculeze aria determinată de graficul funcţiei f1, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1. 

1 

c. (5p) Să se arate că ∫ 

0 

1 

1 

f 2009 (x) 

dx + ∫ f 2011 (x) 

dx ≥ 2 ·∫ 

0 

0 

f (x) 

dx 

_______________________________________________________________________________________ 

2010

Temele 1-10.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?