3. Inele de polinoame.pdf

CAPITOLUL III
Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp
comutativ
CONŢINUTURI
Forma algebrică a unui polinom , operații ( adunarea , înmulțirea
, înmulțirea cu un scalar )
Teorema împărțirii cu rest ; împărțirea polinoamelor ,
împărțirea prin X a , schema lui Horner .
Divizibilitatea polinoamelor , teorema lui Bezout , c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c. al unor polinoame , descompunerea unui polinom în
factori ireductibili .
Rădăcini ale polinoamelor ; relațiile lui Viete pentru polinoame
de grad cel mult 4 .
Rezolvarea ecuațiilor algebrice cu coeficienți în , , , ,
ecuații binome , ecuații reciproce , ecuații bipătrate .
COMPETENŢE SPECIFICE
1. Recunoașterea structurilor algebrice , a mulțimilor de numere , de
polinoame și de matrice
3.2 Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea
ecuațiilor algebrice
5.2 Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc
condiții date
6.1 Exprimarea unor probleme practice , folosind structuri algebrice
sau calcul polinomial
6.2. Aplicarea , prin analogie , în calcule cu polinoame , a metodelor de
lucru din aritmetica numerelor
42
Lecția nr. 21 : Forma algebrică a unui polinom , operaţii cu
polinoame
DEF.
Fie ( K , , ) un corp comutativ .
Un polinom de gradul n cu coeficienți în K are forma
2
n
algebrică f a a X a X a X sau
0 1 2 ...
f a X a X a X a X a
n n 1
2
... unde n n 1
2 1 0
0 1 1 43
n
a , a ,..., a K și
n
a K n
se numesc coeficienții polinomului f .
a este coeficientul dominant iar a este termenul liber .
n
0
NOT.
Mulțimea polinoamelor cu coeficienți în K se notează K
X
.
DEF.
2
n
Două polinoame f a a X a X a X și
g b b X b X b X
0 1 2 ...
2
m
... sunt egale dacă au același grad
0 1 2 m
n m și a b , a b , a b
0 0 1 1 2 2
DEF.
Numărul 2
a b .
,..., m n
f a a a a
n
... se numește valoarea
0 1 2 n
polinomului f în K .
Elementul K este o rădăcină a polinomului f dacă f 0
2
n
Funcția f : K K , f x a a x a x a x se
0 1 2 ...
numește funcția polinomială atașată polinomului f .
Polinomul cu toți coeficienții nuli se numește polinom nul .
DEF.
Suma a două polinoame f și g se efectuează adunând termenii
asemenea .
Are loc relația grad ( f g)
max( grad ( f ), grad ( g ))
n
n

Produsul a două polinoame se efectuează înmulțind fiecare termen
din primul polinom cu fiecare termen din al doilea polinom .
Are loc relația grad ( f g ) grad ( f ) grad ( g)
Exerciții
1) Să se calculeze f g , f g , 3f 2g
pentru polinoamele
f , g
X
:
2
a) f 4 3X 2X
, g 4X 1 ;
2
b) f 1 2X 3X
, g X
2
3 2 ;
2 4
c) f 3 2X X 4X
, g X X X
2 4
d) f 2 X 2X 4X
,
2 3
3 2 ;
3 2
g X X X
4 4 ;
2) Să se efectueze produsul polinoamelor f , g K
X
și să se
determine grad ( fg ) :
a) f 2 X , g 3 2X
, f , g
X
;
2
b) f 1 3X
X , g X X
2
1 3 2 , ,
ˆ 2 ˆ
44
f g
X
;
c) f 2ˆ
X , g 3X 1 , f , g X 4 ;
2
d) f 1ˆ 6ˆ
2 3
X X , g 4ˆ 5ˆ X 2ˆ
X , f , g X 12 ;
4 3 2
3) Fie polinoamele cu coeficienți reali f X aX 28X bX 96
2 2 2
, g X 2X 24 și h X 2X 24 X 4
.
a) Să se scrie forma algebrică a polinomului h ;
b) Să se determine a, b astfel încât polinoamele f și h să fie egale
4) Fie polinoamele f , g X 5
ˆ 2 ˆ ˆ ˆ
g 2X 2X 3a 2b
.
f 3ˆ a 3ˆ b X 2ˆ X 2ˆ a 3ˆ
b și
, 2
a) Să se determine a, b astfel încât f g ;
5
b) Dacă a b 2ˆ
calculați în suma f (0) ˆ f (1) ˆ f (2) ˆ f (3) ˆ f (4) ˆ ;
5
Lecția nr. 22 Exerciții
3 2
1) Fie f X aX X 1ˆ
și g X 3ˆ
din inelul 5 X
. Pentru
a ˆ1
2
să se arate că f ˆ ˆ
X 1 X 1 .
2) Se consideră polinomul
4 2
f X mX n , unde m, n . Să se
determine m, n , știind că polinomul f admite rădăcinile x 0 și
1
x 1 .
2
3 2
3) Se consideră f X aX 5X 14
X
. Să se determine
a astfel încât f să admită rădăcina x 2 .
1
4) În mulțimea
X
se consideră polinomul
45
2
g X X
arate că dacă y este rădăcină a polinomului g atunci
1 . Să se
3
y 2y 1 .
5 3
5) Se consideră f 3ˆ X 3ˆ X 3ˆ X 4ˆ
X 5 . Să se calculeze
0ˆ ˆ 1
f f .
3 2
6) Se consideră polinomul f X m 1X 3X 3
X
. Să se
determine m astfel încât f să admită rădăcina x 3 .
1
4 3
7) Se consideră polinomul f X aX X 1,
unde a . Să se
determine a știind că x 1 este rădăcină a polinomului f .
2
8) Se consideră polinoamele f , g X 2 , f X 1ˆ
și g X 1ˆ
. Să
se verifice că
2
g f .
9) Se consideră inelul de polinoame 3 X
a) Pentru g X 3
.
, să se calculeze ˆ0 g .
2
, g X 2ˆ ˆ X 1
3
b) Dacă f X 3 , f X 2ˆ
X să se arate că f ( x ) 0ˆ
, x 3
4 3 2 2
10) Se consideră polinomul f 4X 4 mX ( m 7) X 4mX 4 .
Să se determine m știind că x 1 este rădăcină a polinomului f .

4 2
11) Se consideră polinomul f X 12X 35
X
. Să se arate că
2
2
f X 6 1.
2
12) Se consideră polinoamele f X 12X 35 și
2009
g X 6 X 6 . Polinomul g are forma algebrică
2009 2008
g a X a X ... a X a X
2009 2008 1 0 .
a) Să se calculeze f 5 g 5 .
b) Să se arate că numărul a a ... a este negativ .
0 1 2009
3 2
13) Se consideră polinomul f
X
, f X 2X aX 8 . Să se
determine a astfel încât o rădăcină a polinomului f să fie egală
cu 2 .
3 2
14) În mulțimea
X
se consideră polinomul f X pX 1 . Să se
calculeze f ( p)
.
2
15) Se consideră mulțimea M f X f X aX b
3
a) Să se calculeze ˆ f (1) pentru a b 1ˆ
.
b) Să se determine a, b pentru care f 3
0ˆ ˆ ˆ
f 1 1
3
16) În inelul
X
se consideră polinomul f X X 5 . Să se
1
calculeze f .
2
3 2
17) Se consideră polinomul f X X mX 1
X
. Să se
determine numărul real m astfel încât 1
46
2 x
3 2
18) Se consideră polinomul f
X
, f X pX qX r . Să se
calculeze f 0 f 1 .
Lecția nr. 23 Teorema împărțirii cu rest , împărțirea polinoamelor
TEOREMA ( Teorema împărțirii cu rest a polinoamelor )
Fie f , g K
X
, g 0 . Atunci există polinoamele unice
q, r K
X
astfel încât f g q r și grad ( r ) grad ( g)
.
Polinomul f se numește deîmpărțit , polinomul g este
împărțitorul , polinomul q este câtul , iar polinomul r se numește
restul .
Dacă r 0 adică f g q atunci spunem că polinomul f se divide
prin polinomul g ( sau că f este multiplu de g ) sau g divide f ( sau
g este divizor al lui f )
Dacă f se divide prin g atunci scriem f g sau g f .
OBSERVAȚIE
Teorema este adevărată și în A
X
, unde A este inel comutativ
cu element unitate cu condiția ca b , coeficientul dominant al lui g , să
m
fie inversabil .
EXEMPLE : 1)
2) Împărțire într-un inel cu coeficientul dominant al împărțitorului
inversabil .
ˆ 3 ˆ 2
f 2X 3X 2ˆ X 1ˆ
2
, g 5ˆ X 2ˆ
X , f , g
X 6
47

2
2ˆ 3ˆ 1ˆ
6
4 2
3) f 4ˆ X 3ˆ X 3ˆ X 2ˆ
, g X X X
b ˆ2 U ⇨ nu funcționează algoritmul de la teorema împărțirii
m
6
cu rest când câtul și restul erau unice .
4 2 2
Totuși scriem egalitatea 4ˆ X 3ˆ X 3ˆ X 2 ˆ (2ˆ X 3ˆ X 1 ˆ)
q r
2
unde grad ( q) grad ( f ) grad ( g ) 4 2 2 ⇨ q aX bX c și
grad ( r ) grad ( g)
2 ⇨ r mX n , a, b, c, m, n 6
ˆ 4 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2
4X 3X 3X 2 (2X 3X 1)( aX bX c) mX n ⇔
4ˆ X 3ˆ X 3ˆ X 2ˆ 2ˆ aX 2ˆ bX 2ˆ cX 3ˆ aX 3ˆ bX 3ˆ
cX aX
4 2 4 3 2 3 2 2
bX c mX n ⇔
Prin identificarea coeficienților obținem sistemul :
4
X
ˆ2 a 4ˆ
3
X 2ˆ b 3ˆ a 0ˆ
2
X 2ˆ c 3ˆ b a 3ˆ
. Sistemul are cel puțin două soluții :
X 3ˆ c b m 3ˆ
0
X
c n ˆ2
a 2, ˆ b 3, ˆ c 2, ˆ m 0, ˆ n 0ˆ
2
⇨ f g(2ˆ X 3ˆ X 2) ˆ
a 2, ˆ b 3, ˆ c 5, ˆ m 3, ˆ n 3ˆ
2
⇨ f g(2ˆ X 3ˆ X 5) ˆ 3ˆ X 3ˆ
48
Lecția nr. 23,24 Exerciții
3 2
1) Se consideră polinomul f X 9X X 9 . Să se determine câtul
2
și restul împărțirii polinomului f la X 1 .
4 3 2
2) În mulțimea
X
se consideră f X X X X 1 și
2
g X X
1 . Să se determine câtul și restul împărțirii lui f la g .
10 10
3) Se consideră f , g
X
, f ( X 1) ( X 2) și
2
g X 3X 2 . Să se determine restul împărțirii lui f la g .
3 2
3ˆ 3ˆ 2ˆ 3ˆ
5
5 3
4) Fie f 3ˆ X 3ˆ X 3ˆ X 4ˆ
, g X X X X . Să
se determine câtul împărțirii lui f la g .
2
5) Se consideră f , g X 2 , f X 1ˆ
și g X 1ˆ
. Să se
determine câtul și restul împărțirii lui f g la f .
2
6) Se consideră polinoamele f X 12X 35 și
2009
g ( X 6) X 6 . Să se determine restul împărțirii polinomului
g la polinomul f .
3 2
7) Se consideră polinomul f
X
, f X 2X aX 8 . Pentru
a 4 să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la
polinomul
2
g X 2X 4
8) Se consideră polinomul
4 3 2
f X X aX bX c , unde a, b, c .
a) Pentru a c 1 și b 1 să se determine câtul și restul împărțirii
2
polinomului f la X 1 .
b) Să se determine numerele a, b, c știind că restul împărțirii lui f la
2
X 1 este X iar restul împărțirii lui f la X 1 este 1 .
4 3 2
9) Se consideră polinoamele f , g
X
, f X X X X 1 și
1 . Să se demonstreze că f X g 1 .
3 2
g X X X
3 2
10) Se consideră polinoamele f X 3X 3X 1 și
Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la g .
49
2
g X 2X 1 .

11) Se consideră polinomul 1004
2 2009
f 1 X X X . Să se determine
2
câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 1 .
12) Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f X 3 ,
3 ˆ 2
f X 2X 2ˆ X 1ˆ
la polinomul g X 3 , g X 1ˆ
.
13) Se consideră polinomul 670
3 2010
f 1 X X X
X
. Să se
2
determine restul împărțirii polinomului f la X 1 .
14) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la g în inelul
precizat :
4 3 2
a) f X X X X 1 ,
5 4 2
b) f 3X 2X 3X 2X 3 ,
1 în
X
;
2
g X X
7 5 4 2
c) f 3X 4X 5X 3X X 2 ,
3 2
g 3X 2X 3X 2 X
50
;
3
g X 1 X
3 2
2
d) f 2iX 4 X (1 i ) X (1 i ) , g iX X (1 i )
X
7 6 5 4 3 2
e) f 2ˆ X X 2ˆ X X 2ˆ X X 2ˆ
X ,
5 3
g X X X X 3
5 4 3 2
f) f 8ˆ X 2ˆ X 4ˆ X 8ˆ X 2ˆ X 5ˆ
2
, g 2ˆ X 5ˆ X 3ˆ
X 11
3 2
15) Fie polinomul f 2X 4X 5X 10 . Determinați polinomul
g
X
astfel încât f împărțit la g să dea câtul q X 2 și
restul r 32 .
16) Determinați polinomul f
X
de gradul al treilea , știind că f
2
2
împărțit la X X dă restul 2X 2 și împărțit la X 3X 2 dă
restul 12X .
4 2
2
17) Fie f , g
X
, f 2X 3X
aX b , g X 2X 3.
Să se
determine a și b astfel încât restul împărțirii lui f la g să fie 0.
4 3 2
18) Se consideră polinomul f X X aX bX c , a, b, c .
Pentru a c 1 și b 1 să se determine câtul și restul împărțirii
2
polinomului f la X 1 .
Lecția nr. 25 Împărțirea cu X a , schema lui Horner ,
TEOREMA (Teorema restului)
Restul împărțirii polinomului f K
X
, f 0 , prin polinomul
g X a K
X
este egal cu f a
SCHEMA LUI HORNER
n n 1
Fie f a X a X ... a X a K X
n n 1 1 0 , g X a K
X
n 1 n 2
și q b X b X ... b X b și r K câtul și respectiv restul
n 1 n 2
1 0
împărțirii lui f la g .
Câtul q și restul r se obțin alcătuind următoarea schemă :
Dacă împărțim polinomul f la g bX a se procedează astfel
a
a
f ( bX a ) q r ⇔ f b( X ) q r ⇔ f ( X ) bq r
b
b
a
Deci aplicăm schema lui Horner pentru polinoamele f și X
b
obținând câtul q bq și restul r r . Din aceste relații se vor afla
1
1
apoi q și r .
51

Exerciții
1) Se consideră polinoamele f , g K
X
. Să se determine restul
împărțirii lui f la g , în cazurile :
3 2
a) f 3X 4X 11 , g X 1 , f , g
X
;
4 2
b) f iX 3X 1 i , g X i , f , g
X
;
4 3
c) f 3ˆ X 2ˆ X 2ˆ X 1ˆ
, g X 2ˆ
, f , g X 5 ;
2) Să se determine restul împărțirii polinomului
3 2
f 3X 7X 2X 3
X
la polinoamele X 1 și X 2 .
3) Să se efectueze împărțirile prin schema lui Horner :
3 2
a) f X 5X 6X 11 , g X 2 , f , g
X
;
4 3 2
b) f X 3X 3X 3X 9 , g X 3 , f , g
X
;
4 2
c) f 3X 11X 7X 1 , g X 1,
f , g
X
;
4 3 2
d) f X (1 i ) X 2iX 2i
, g X i , f , g
X
.
4) Să se determine numerele reale m, n, p știind că polinomul
3 2
f X mX nX p dă același rest când este împărțit cu X 1 ,
X 2 și X 3 și f ( 1) 0 .
5) Fie
3 2
f mX X nX p . Să se determine coeficienții reali
m, n, p astfel încât polinomul f împărțit la X 1 să dea restul 4 ,
împărțit la X 2 să dea restul 5 și împărțit la X 1 să dea restul 0
6) Efectuați folosind schema lui Horner împărțirile de polinoame :
3 2
a) f , g X 3 , f X 2ˆ X 2ˆ X 1ˆ
, g X 1ˆ
;
f , g
4 2
X
, f 2ˆ X 3ˆ X 4ˆ X 2ˆ
, g X 2ˆ
;
f , g
4 2
X
, f 3ˆ X 2ˆ X X 3ˆ
, g X 2ˆ
;
f , g
6 5 2
X
, f X 6ˆ X 2ˆ X 6ˆ X 5ˆ
, g 2ˆ X 1ˆ
;
b) 5
c) 5
d) 7
52
Lecția nr. 26 Teorema lui Bezout , Divizibilitate
DEFINIȚIE
Conform teoremei împărțirii cu rest f g q r , unde f este
deîmpărțitul , g este împărțitorul , q este câtul și r este restul .
Dacă r 0 adică f g q atunci spunem că polinomul f se divide
prin g și scriem f g .
f se divide prin g (f g ) ⇔ f este multiplu de g ⇔ g divide
pe f ( g f ) ⇔ g este divizor al lui f .
TEOREMA FACTORULUI (BÉZOUT)
Un element a K este rădăcină a polinomului f K
X
⇔
X a f
OBS. Dacă grad ( f ) n și f ( a ) 0 adică a rădăcină a lui f , i 1, n ,
i
i
f a( X a )( X a )...( X a )
atunci 1 2
DEFINIȚIE
Elementul a K este rădăcină de ordin p
f K
X
dacă ( ) p
f X a dar
n
f X a
1
( ) p
.
53
pentru polinomul
TEOREMĂ
Funcția f are pe a ca rădăcină multiplă de ordin p ⇔
( p 1)
( p )
f ( a) f ( a) f (
a) ... f ( a)
0 dar f ( a ) 0 , p .
TEOREMĂ
Fie f , g K
X
. f g ⇔ orice rădăcină a lui g este rădăcină și
a lui f având și pentru acesta un ordin de multiplicitate cel puțin egal
cu cel pe care îl are pentru polinomul g .

Exerciții
1) Să se determine parametrul m astfel încât f să se dividă prin g
folosind teorema lui Bézout în cazurile următoare :
3 2
a) f X ( m 1) X 2mX 3m 1 , g X 1 , f , g
X
;
4 3
b) f mX (2m 1) X 3mX m 2 , g X 2,
f , g
X
;
3 2
c) f ( m 1) X (2 m i ) X mX m i , g X i , f , g
X
;
3 2
d) f X mX X 1, g X i , f , g
X
;
6 2
e) f X 4 X mX , g iX 2, f , g
X
;
4 3 2
f) f X 2ˆ X mX m 1, ˆ g X 2, ˆ f , g X 4 ;
5 4 2
g) f 4 ˆX ( m 1) X 3ˆ X 3, ˆ g X 3, ˆ f , g X 5 ;
3 2
2) Fie polinoamele f X aX X 1ˆ
și g X 3ˆ
din inelul 5 X
Să se determine a astfel încât polinomul f să fie divizibil cu g .
5
10 10
3) Se consideră polinoamele f , g
X
, f ( X 1) ( X 2) și
2
g X 3X 2 . Să se demonstreze că f nu este divizibil cu g .
4 3 2
4) Se consideră f X aX bX 5X 6
X
și
3
g X X 2
X
. Să se determine a, b astfel încât f g .
3 2
5) Se consideră polinomul f mX 11X 7X
m
X
. Să se
determine m astfel încât f să fie divizibil cu g X 1 .
6) Se consideră f
X
,
4 3 2
f X aX a X X
3 6 4 . Să se
determine a astfel încât f să fie divizibil cu X 2 .
3 2
7) Fie polinomul f X aX aX 4
X
. Să se determine a
2
astfel încât f să fie divizibil cu X 2 .
3 2
8) În mulțimea
X
se consideră polinomul f X pX 1 . Să se
determine p pentru care polinomul f este divizibil cu X 1 .
54
3 2
9) Se consideră polinomul f
X
, f X pX qX r , cu
rădăcinile x , x , x . Să se calculeze expresia (1 x )(1 x )(1 x )
1 2 3
1 2 3
în funcție de p, q, r .
4 2
10) Se consideră polinomul f X 2X 1 . Să se arate că polinomul
2
f este divizibil cu g X 1 .
11) Se consideră polinomul
4 3
f X aX bX c , cu a, b, c . Să se
demonstreze că nu există valori reale ale coeficienților a, b, c astfel
încât polinomul f să se dividă cu polinomul
55
3
g X X .

Lecția nr. 27 Cmmdc , cmmmc , descompunerea în factori
ireductibili
DEFINIȚII
și h g .
1) Polinomul h este divizor comun al polinoamelor f și g dacă h f
2) Polinomul f este multiplu comun pentru polinoamele g și h
dacă g f și h f .
3) Polinomul d K
X
se numește un cel mai mare divizor
comun al polinoamelor f , g K
X
dacă :
d este divizor comun al polinoamelor f și g .
d K
X
divizor comun pentru f și g atunci d d
4) Polinomul D K
X
se numește un cel mai mic multiplu comun
al polinoamelor f , g K
X
dacă :
D este multiplu comun al polinoamelor f și g
D K
X
multiplu comun pentru f și g atunci D D
OBS.
Are loc relația c. m. m. d . c.( f , g ) c . m. m. m. c.( f , g ) f g .
DEFINIȚIE
Două polinoame f , g K
X
se numesc relativ prime dacă
c. m. m. d . c.( f , g ) 1 .
OBS.
Cel mai mare divizor comun pentru două polinoame se poate calcula
prin algoritmul lui Euclid : c. m. m. d . c.( f , g ) este ultimul polinom nenul
din șirul f , g, r , r ,..., r , 0 unde r este restul împărțirii lui f la g , r
1 2 n
1
2
este restul împărțirii lui g la r , etc .
1
56
DEFINIȚII
1) Polinomul f K
X
se numește reductibil peste corpul K dacă
există polinoamele g, h K
X
de grad cel puțin 1 , astfel încât
f g h .
2) Un polinom f K
X
, grad ( f ) 1 , care nu este reductibil
peste K , se numește ireductibil peste K .
CRITERII DE IREDUCTIBILITATE :
I. Peste corpul K :
1) Orice polinom f K
X
, grad ( f ) 1 este ireductibil peste K
2) Dacă un polinom f K
X
, de grad cel puțin 2 , este
ireductibil peste K atunci el nu are rădăcini în K .
3) Dacă f K
X
are gradul 2 sau 3 și nu are rădăcini în K
atunci el este ireductibil peste K .
II. Peste corpul :
Polinomul f
X
este ireductibil peste ⇔ grad ( f ) 1
III. Peste corpul :
Polinomul f
X
este ireductibil peste ⇔ grad ( f ) 1 sau
grad ( f ) 2 dar 0 ( deci polinomul nu are rădăcini reale )
TEOREMA DE DESCOMPUNERE ÎN PRODUS DE POLINOAME
IREDUCTIBILE :
Polinomul f K
X
se poate scrie ca produs de polinoame
ireductibile peste K .
CONSECINȚE :
1) Dacă f
X
, grad ( f ) n 1 descompunerea ca produs de
polinoame ireductibile peste este f a X x X x X x
57
1 2 ...
n n
unde x , x ,..., x sunt rădăcinile lui f iar a este coeficientul
1 2 n
n
dominant al polinomului f .

2) Dacă m , m , m ,..., m sunt ordinele de multiplicitate ale
1 2 3 k
x x x ale polinomului f
X
atunci
rădăcinilor , ,..., 1 2 k
1 2
m m mk
...
n 1 2 k
f a X x X x X x
polinomului .
3) Dacă f
X
multiplicitate m , m ,..., m atunci
1 2 k
are rădăcinile 1 2
58
este descompunerea peste a
x , x ,..., x cu ordinele de
k
m1 mk
2 1 2
... 1 1 1 ...
p ps
f a X x X x X a X b X a X b
n k s s
unde polinoamele de gradul al doilea nu au rădăcini reale ( 0 )
4) Descompunerea în produs de polinoame ireductibile a unui
polinom f K
X
este unică , mai puțin ordinea de scriere a
factorilor .
Exerciții
1) Aplicând algoritmul lui Euclid să se determine c. m. m. d . c.( f , g ) :
3 2
a) f , g
X
, f X 3X 2 , g X 2X
;
4 2
b) f , g
X
, f X X 1 , g X
2) Se consideră polinomul
3
1 ;
2
g X 3X 2 . Să se descompună
polinomul g în produs de factori ireductibili în
X
.
3) Se consideră polinomul
4 2
f X mX n , unde m, n . Pentru
m 1 și n 1 să se descompună polinomul f în produs de factori
ireductibili în
X
.
4) Se consideră polinoamele cu coeficienți raționali
4 3 2 3
f X aX bX 5X 6 și g X X 2 .
a) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu
polinomul g .
b) Pentru a 3 și b 1 să se descompună polinomul f în produs de
factori ireductibili în
X
.
Lecția nr. 28 Exerciții
4 3 2
1) Se consideră f
X
, f X aX ( a 3) X 6X 4 .
a) Să se determine a astfel încât f să fie divizibil cu X 2 .
b) Pentru a 3 să se descompună f în produs de factori ireductibili
în
X
.
3 2
2) Se consideră f X ( m 1) X 3X 3
X
.
a) Să se determine m astfel încât f să admită rădăcina x 3 .
1
b) Pentru m 0 să se descompună f în factori ireductibili în
X
.
4 2
3) Se consideră polinomul f X 12X 35 , f
X
. Să se
descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în
X
3 2
4) Să se descompună polinomul f X 2X 2X 4 în factori
ireductibili peste
X
.
5) Să se arate că polinoamele f K
X
sunt ireductibile peste K :
2 2
a) 1 1
f X X
X
;
f ( X 1) X 1 1
X
;
b) 3
3
3
c) f X 2ˆ X 2ˆ
X 3 ;
6) Să se descompună în factori ireductibili polinomul f K
X
:
2 3
a) f X 8X 7
X
; b) f X 8
X
;
2
3
c) f 2X 3X 1
X
; d) f X ˆ1 X 2 ;
7) Descompuneți polinomul f în factori ireductibili peste și
respectiv în cazurile :
3 3
a) f X 8 ; b) f X 8 ; c) f X
4 2
6
e) f X X 1 ; f) f X 27 ;
4
16 ; d)
59
f X
4
16;

Lecția nr. 29 Rădăcinile polinoamelor , Relațiile lui Viete
Elementul K este o rădăcină a polinomului f dacă f 0
Elementul a K este rădăcină de ordin p pentru polinomul
f K
X
dacă ( ) p
f X a dar
f X a
1
( ) p
.
TEOREMĂ
Funcția f are pe a ca rădăcină multiplă de ordin p ⇔
( p 1)
( p )
f ( a) f ( a) f (
a) ... f ( a)
0 dar f ( a ) 0 , p .
2
1) Dacă f
X
, f aX bX c , a 0 și x , x sunt
1 2
b
x x
1 2
rădăcinile lui f atunci
a
;
c
x x 1 2 a
3 2
2) Dacă f aX bX cX d
X
, a 0 are rădăcinile
x , x , x atunci
1 2 3
b
x x x
1 2 3
a
c
x
x x x x x ;
1 2 1 3 2 3
a
d
x x x
1 2 3
a
60
4 3 2
3) Pentru polinomul de gradul 4 , f aX bX cX dX e
X
cu rădăcinile x , x , x , x , au loc relațiile :
1 2 3 4
b
x x x x
1 2 3 4
a
c
x x x x x x x x x x x x
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
a
;
d
x x x x x x x x x x x x
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
a
e
x x x x
1 2 3 4
a
61

Lecția nr. 29,30 Exerciții
4 3 2
1) Să se arate că polinomul f X 2X 10X 18X 9 admite
x 3.
rădăcina 0
2) Pentru ce valori ale parametrului real m , polinomul
3 4 11 are rădăcina 0 3 x ?
3 2
f X X X m
3) Determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinilor indicate ale
polinomului g : a)
b)
6 12 8 , 0 2 x ;
3 2
g X X X
2 3 4 4 , x 1 ; 0
4 3 2
g X X X X
4) Pentru polinomul f
X
, să se determine rădăcinile și ordinul de
multiplicitate al acestora :
2 3
3
2 2 2
; b) f X 2X X X 1
a) f X X 2 3X 2
2 2 2
c) f X 4 X 3X 2 2X 3X 1
;
2 3
5) Să se determine care dintre elementele specificate sunt rădăcini
ale polinomului f :
3 2
a) f X 3X 3X 1
X
4 3 2
b) f 2X 5X 3X 4X 2 X
5 2
c) f X 3ˆ X 2ˆ
X X
, 1,2 3, i ;
, 1,1 3,i
6 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
0,1,2,3, 4,5
;
62
;
3 2
6) Se consideră polinomul f X aX 5X 14
X
.
a) Să se determine numărul rațional a astfel încât f să admită
x 2 ;
rădăcina 1
b) Pentru a 4 să se rezolve ecuația f x 0 .
c) Pentru a 4 să se demonstreze egalitatea S 42 4S 5S
3 2 1
n n n
unde S x x x
n 1 2 3
7) Determinați m, n astfel încât polinomul
să aibă rădăcina dublă x 2.
4 2
h X 3X
mX n
8) Se consideră polinomul
4 2
f X mX n , unde m, n . Rădăcinile
polinomului sunt x , x , x , x . Să se determine m astfel încât
1 2 3 4
2 2 2 2
rădăcinile polinomului să verifice relația x x x x .
63
1 2 3 4 2
3 2
9) Se consideră polinomul f X 9X X 9 care are rădăcinile
3 3 3 2 2 2
x , x , x . Să se verifice că x x x 9( x x x ) 18 .
1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 2
10) Se consideră polinomul f mX 11X 7X
m
X
. Pentru
m 9 să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f .
4 3 2
11) Se consideră f
X
, f X aX ( a 3) X 6X 4 care
are rădăcinile x , x , x , x . Să se determine a astfel încât
1 2 3 4
x x x x .
1 2 3 4 3
3 2
12) Se consideră polinomul f X ( m 1) X 3X 3
X
. Să se
determine m astfel încât suma rădăcinilor polinomului să fie egală
cu 1 .
3 2
13) Fie polinomul f X aX aX 4
X
. Să se determine
a astfel încât x x x 2 , unde x , x , x sunt rădăcinile reale
1 2 3 1 2 3
ale polinomului f .
4 3 2 2
14) Se consideră polinomul f 4X 4 mX ( m 7) X 4mX 4 ,
unde m . Să se determine m știind că suma rădăcinilor
polinomului f este egală cu 0.
4 3
15) Se consideră ecuația x ax ax 1 0 cu soluțiile x , x , x , x
1 2 3 4
unde a .
a) Să se determine a astfel încât 1 2 3 4 5
x x x x .
b) Pentru a 1 , să se determine soluțiile reale ale ecuației .
3 2
16) Se consideră polinomul f
X
, f X 2X aX 8 . Să se
demonstreze că , dacă a 2, , atunci f nu are toate rădăcinile
reale .

4 3 2
17) Se consideră polinomul f X X aX bX c , unde
1
a, b, c . Să se demonstreze că dacă a ,
atunci f nu are
2
toate rădăcinile reale .
4 3 2
18) Se consideră polinomul f X 2X
aX bX c
X
, cu
rădăcinile x , x , x , x . Să se calculeze suma x x x x .
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2
19) Se consideră polinomul f
X
, f X 2X
aX b cu
rădăcinile x , x , x .
1 2 3
2 2 2
a) Știind că x x x , să se arate că a 1 .
1 2 3 2
2 2 2
b) Știind că f ( X x )( X x )( X x ) să se determine numerele
1 2 3
reale a și b .
3 2
20) În mulțimea
X
se consideră polinomul f X pX 1 cu
rădăcinile x , x , x și p . Să se calculeze în funcție de p suma
1 2 3
x x x .
4 4 4
1 2 3
21) Se consideră determinantul d x2 x3 x , unde x , x , x
1
1 2 3
x x x
3
sunt soluțiile ecuației x 3x 2 0 .
a) Să se calculeze x x x .
1 2 3
3 3 3
b) Să se arate că x x x .
1 2 3 6
64
x x x
1 2 3
3 1 2
c) Să se calculeze valoarea determinantului d .
x x x
1 2 3
22) Se consideră determinantul d x2 x3 x , unde x , x , x
1
1 2 3
x x x
3
sunt soluțiile ecuației x 2x 0 .
a) Să se calculeze x x x .
1 2 3
2 2 2
b) Să se arate că x x x .
1 2 3
3 1 2
c) Să se calculeze valoarea determinantului d .
Lecția nr. 31 Rezolvarea ecuațiilor algebrice în , , ,
TEOREMĂ
Fie f
X
, f 0 . Dacă x a bi , b 0 este o rădăcină ,
0
complexă a lui f , atunci :
x a bi este de asemenea o rădăcină complexă a lui f .
1) 0
2) 0 x și 0
x au același ordin de multiplicitate .
COROLAR
1) Orice polinom cu coeficienți reali are un număr par de rădăcini
complexe care nu sunt reale .
2) Orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o
rădăcină reală .
TEOREMĂ
Fie f
X
,
f 0 . Dacă x a 0
o rădăcină pătratică a lui f , atunci :
b, a, b , b 0, b este
x a b este , de asemenea , o rădăcină a lui f ( numită
1) 0
conjugata pătratică a lui x ); 0
2) 0 x și 0
x au același ordin de multiplicitate .
TEOREMĂ
n
Fie f a a X ... a X , a 0, f X
0 1 n n .
p
1) Dacă x ( p și q numere prime între ele ) este o rădăcină
0
q
rațională a lui f , atunci :
a) p divide termenul liber ( p a ) ; 0
b) q divide coeficientul dominant al polinomului f ( q a ) . n
2) În particular , dacă x p este o rădăcină întreagă a lui f ,
0
atunci p este divizor al termenului liber ( p a ) ;
0
65

Lecția nr. 31,32 Exerciții
1) Să se determine soluțiile ale ecuațiilor și să se rezolve aceste
ecuații :
3 2
3 2
4 2
a) x 2x 5x 6 0 ; b) x 3x 4 0 ; c) x 2x 3x 2 0 ;
4 2
d) x 9x 4x 12 0 ;
2) Să se determine parametrul a și să se rezolve ecuația , știind că
are soluții numere întregi :
3 2
3 2 2
a) x 3x ax 1 0 ; b) x ( a 1) x a x 2 0 ;
3) Să se determine soluțiile numere raționale ale ecuațiilor :
3 2
4 3 2
a) 12x 8x 13x 3 0 ; b) 2x x x x 1 0 ;
4) Să se rezolve ecuațiile algebrice știind soluția dată :
3 2
a) x 4x 3x 2 0 , x 1 2 ;
1
4 3 2
b) x 4x 2x 4x 1 0 , x 2 3 ;
1
5) Să se rezolve ecuațiile în , în condițiile date :
3 2
a) 2x x 2x 1 0 , x i ; 1
b)
, x 1 i ;
1
4 3 2
3x 5x 3x 4x 2 0
6) Să se determine a, b pentru care
a) are rădăcina x 1 2 ; b) are rădăcina x 1 i ;
1 1
66
3 2
f X X aX b X
7) Să se determine soluțiile întregi ale ecuațiilor :
4 3 2
4 3 2
a) x x 5x x 6 0 ; b) x x x x 2 0 ;
8) Să se determine soluțiile raționale ale ecuațiilor :
3 2
5 4 3 2
a) 2x 3x 6x 4 0 ; b) x 2x 4x 4x 5x 6 0 ;
4 3 2
4 2
c) 4x 8x 7x 8x 3 0 ; d) 4x 7x 5x 1 0 ;
4 3 2
e) 12x 16x x 4x 1 0 ;
3 2
9) Să se rezolve ecuația x ax bx 1 0 știind că a, b și că
admite o soluție dublă număr întreg .
3 2
10) Fie f X X mX 1 . Să se arate că pentru orice număr par
m , polinomul f nu are rădăcini raționale .
DEFINIȚIE
Lecția nr. 33 Ecuații binome , reciproce și bipătrate
n
O ecuație de forma z a 0, n , n 2, a se numește
ecuație binomă .
Metodă de rezolvare pentru ecuația binomă .
n
Se scrie ecuația sub forma z a , iar numărul complex a se
pune sub formă trigonometrică a r (cos i sin )
.
2 2
Dacă a x yi ⇨ r a x y ( este modulul numărului
complex a )
0,2
se numește argumentul redus . Determinarea lui se
face în funcție de poziția punctului M( a ) în plan astfel :
1) Dacă M( a ) I sau M( a) Ox
⇨
67
y
arctg ;
x
2) Dacă M( a ) II , M( a ) Ox
sau M( a ) III ⇨
y
3) Dacă M( a ) IV ⇨ arctg 2
;
x
4) Dacă M( a ) Oy
⇨ iar dacă M( a ) Oy
2
⇨
Funcția arctangentă f : ; , f ( x ) arctgx
2 2
x 3 1
arctgx
TEOREMĂ
3
4
3
3
0
6
0
3
3
6
y
arctg ;
x
3
2
1 3
4
3

n
Rădăcinile ecuației binome z a 0, n , n 2, a sunt
n 2k 2k
numerele complexe z r cos i sin
k
n n
,
k 0, n 1 .
DEFINIȚIE
2n
n
O ecuație de forma az bz c 0, a, b, c , a 0, n se
numește ecuație bipătrată .
Metodă de rezolvare pentru ecuația bipătrată
n
2
Se notează z t și se rezolvă ecuația at bt c 0 . Se obțin
t , t . Se revine la substituție și se rezolvă ecuațiile
soluțiile 1 2
n n
binome z t , z t
1 2
. Reuniunea acestor soluții constituie mulțimea
de soluții a ecuației date .
DEFINIȚIE
n
O ecuație de forma a x a
n 1
x ... a x a 0 , a 0
n n 1
1 0
pentru care a a , 0 i n ( termenii egal depărtați de extremi au
n i i
coeficienții egali ) se numește ecuație reciprocă de gradul n .
EXEMPLE
3 2
ax bx bx a a
0, 0 dacă n 3 ;
4 3 2
ax bx cx bx a a
0, 0 dacă n 4 ;
5 4 3 2
ax bx cx cx bx a a
0, 0 dacă n 5;
Metodă de rezolvare a ecuațiilor reciproce
Dacă gradul ecuației reciproce este impar atunci ea admite
soluția x 1 , iar rezolvarea acestei ecuații se reduce la rezolvarea
ecuației x 1 0 ⇔x 1 și a unei ecuații reciproce de grad par .
Rezolvarea ecuației reciproce de gradul 4 se face împărțind
2
ecuația prin x ( se poate împărți deoarece x 0 nu este soluție a
2 1 1
ecuației ) și obținem : a x b x c 0
2 .
x x
68
n
1
2 1 2
Se notează x y ⇨ x y 2 și se scrie ecuația în
2
x
x
y , y .
funcție de y cu soluțiile 1 2
1
Revenim la substituție și rezolvăm ecuațiile x y și 1
x
1
x y . Toate soluțiile acestor ecuații sunt soluțiile ecuației date .
2
x
69

Lecția nr. 33,34 Exerciții
1) Să se rezolve ecuațiile în mulțimea :
4 2
4 2
4 2
a) 4x 13x 9 0 ; b) 9x 25x 16 0 ; c) 16x 65x 4 0 ;
2) Să se rezolve în mulțimea , ecuațiile reciproce :
3 2
3 2
a) x 7x 7x 1 0 ; b) 2x 3x 3x 2 0 ;
4 3 2
4 3 2
c) x 7x 12x 7x 1 0 ; d) 2x 3x 10x 3x 2 0 ;
3) Să se rezolve ecuația reciprocă de gradul 5 , în mulțimea :
5 4 3 2
2x x x x x 2 0 ;
4) Să se rezolve ecuațiile binome :
3 3
6
a) z 8 0 ; b) 8z 1 0 ; c) z 64 0 ; d)
5) Să se rezolve ecuațiile bipătrate :
70
3
z i ; e)
4
z 1 0 ;
4 2
4 2
4 2
a) x 10x 9 0 ; b) x 17x 16 0 ; c) 6x 5x 1 0 ;
4 2
4 2
4 2
d) 34x 12x 1 0 ; e) x 6x 6 0 ; f) x 4x 3 0 ;
6) Să se rezolve în ecuațiile reciproce de gradul 3 :
3 2
3 2
a) 2x 3x 3x 2 0 ; b) 3x 2x 2x 3 0 ;
3 2
3 2
c) x 5x 5x 1 0 ; d) 6x x x 6 0 ;
3 2
3 2
e) 4x 3x 3x 4 0 ; f) 5x 31x 31x 5 0 ;
3 2
3 2
g) 2x x x 2 0 ; h) 5x 31x 31x 5 0 ;
7) Să se rezolve în ecuațiile reciproce de gradul 4 :
4 3 2
4 3 2
a) 2x 7x 9x 7x 2 0 ; b) 2x x x x 2 0 ;
4 3 2
4 3 2
c) x x 4x x 1 0 ; d) x x 18x x 1 0 ;
4 3 2
4 3 2
e) x 3x 2x 3x 1 0 ; f) x 2x 6x 2x 1 0 ;
8) Să se rezolve în ecuațiile reciproce :
5 4 3 2
a) 2x 3x 2x 2x 3x 2 0 ;
5 4 3 2
b) x 3x 2x 2x 3x 1 0 ;
5 4 3 2
c) 5x 4x 5x 5x 4x 5 0 ;
6 5 4 3 2
d) x x 3x 2x 3x x 1 0 ;
9) Să se rezolve ecuațiile :
7
5
10
18
a) x 1 0 ; b) x 1 0 ; c) x i 0 ; d) x i 0 ;
10
e) x 1 i 0 ;