Prezentare-2009

Grant PN-II-ID 524/2007: 

Lant¸uri Loewner s¸i subordonări diferent¸iale pentru 

funct¸ii de una s¸i mai multe variabile complexe. 

Extinderi cvasiconforme s¸i aplicat¸ii în mecanica 

fluidelor 

Director: Prof. Dr. Gabriela Kohr 

Faculty of Mathematics and Computer Science 

Babes¸-Bolyai University 

Cluj-Napoca, Romania 

Email: gkohr@math.ubbcluj.ro 

Director: Prof. Dr. Gabriela Kohr (UBB Cluj) Lant¸uri Loewner s¸i subordonări diferent¸iale 1 / 25

Component¸a echipei: 

Prof. Dr. KOHR MIRELA, Facultatea de Matematică s¸i 

Informatică, Universitatea Babes¸-Bolyai 

Conf. Dr. CURT PAULA, Facultatea de S¸ tiint¸e Economice s¸i 

Gestiunea Afacerilor, Universitatea Babes¸-Bolyai 

Asist. Dr. NECHITA VERONICA, Facultatea de Matematică s¸i 

Informatică, Universitatea Babes¸-Bolyai 

Asist. Drd. MĂDĂLINA BĂLĂET¸ I, Facultatea de S¸ tiint¸e, Catedra 

de Matematică- Informatică, Universitatea din Petros¸ani 


I. Stadiul realizării indicatorilor de performant¸ă 

Criterii minime de performant¸ă as¸teptate 

2007 

Nr. articole acceptate spre publicare in reviste indexate ISI: 0; 

Nr. articole acceptate spre publicare in reviste indexate in baze de 

date internationale: 4; 

2008 



date internationale: 2; 

2009 



date internationale: 2. 


Realizări în perioada 2007-2009 

5 publicatii ISI, aparute sau acceptate spre publicare; 

9 publicatii BDI, aparute sau acceptate spre publicare. 


Obiective propuse in perioada 2007-2009 

2007 

Subordonări diferent¸iale în planul complex. Aplicat¸ii 

Caracterizări geometrice ale aplicat¸iilor biolomorfe care admit 

reprezentare parametrică generalizată 

2008 

Extinderi cvasiconforme ale aplicat¸iilor cvasiregulate biolomorfe 

pe bila unitate în C n . 

Superordonări diferent¸iale în planul complex. Aplicat¸ii. 

Introducerea unor noi subclase de funct¸ii univalente precum s¸i 

conservarea unor proprietăt¸i analitice s¸i geometrice, folosind 

teoria subordonărilor diferent¸iale în planul complex. 


2009 

Generalizări ale operatorului lui Roper s¸i Suffridge 

Operatori diferent¸iali s¸i integrali care conservă proprietăt¸i 

geometrice s¸i analitice 

Criterii de injectivitate globală pentru aplicat¸ii olomorfe de una s¸i 

mai multe variabile complexe 


Principalele articole publicate în perioada 2007-2009 

A. Publicat¸ii ISI 

[1] P. Duren, I. Graham, H. Hamada, G. Kohr, Solutions for the 

generalized Loewner differential equation in several complex variables, 

Mathematische Annalen, to appear. DOI 10.1007/s00208-009-0429-2. 

Impact factor/2008: 1.027 

[2] P. Curt, G. Kohr, M. Kohr, Homeomorphic extension of strongly 

spirallike mappings in C n , Science in China Ser. A - Mathematics, to 

appear. Impact factor/2008: 0.408 

[3] H. Hamada, T. Honda, G. Kohr, Bohr’s theorem for holomorphic 

mappings with values in homogeneous balls, Israel Journal of 

Mathematics, 173(2009), 177-234. Impact factor/2008: 0.625 

[4] I. Graham, H. Hamada, G. Kohr, M. Kohr, Spirallike mappings and 

univalent subordination chains in C n , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 

Classe di Scienze, Serie V (Mathematica), vol. 7(2008), 717-740. 

Impact factor/2008: 0.519 


[5] P. Curt, G. Kohr, Some remarks concerning quasiconformal 

extensions in several complex variables, Journal of Inequalities and 

Applications Volume 2008, Article ID 690932, 16 pages (ISI). Impact 

factor/2008: 0.764 

B. Lucrări trimise spre publicare 

[1] P. Duren, H. Hamada, G. Kohr, Two-point distortion theorems for 

harmonic and pluriharmonic mappings, submitted. 

[2] H. Hamada, G. Kohr, On some classes of bounded univalent 

mappings in several complex variables, submitted. 

[3] C.M. Bălăet¸i, V. Nechita, Loewner chains and almost starlike 

mappings of complex order λ, submitted. 


C. Publicat¸ii BDI 

[1] I. Graham, H. Hamada, G. Kohr, On non-normalized subordination 

chains in C n , Mathematica (Cluj), to appear. 

[2] M. Kohr, C. Pintea, W.L.Wendland, On mapping properties of layer 

potential operators for Brinkman equations on Lipschitz domains in 

Riemaniann manifolds, to appear. 

[3] P. Curt, Sufficient conditions for univalence and quasiconformal 

extensions in several complex variables, Studia Univ. Babes-Bolyai 

(Mathematica), to appear. 

[4] P. Curt, Loewner chains and quasiconformal extensions of 

holomorphic mappings in C n , Mathematica (Cluj), 51(74), nr. 2(2009), 

143-151. 


[5] C.M. Bălăet¸i, Differential superordinations defined by an integral 

operator, Journal of Mathematics and Applications (JMA), Rzeszow, 

31(2009), 31-38. 

[6] V. Nechita, Differential sandwich theorems for analytic functions 

defined by the Dziok-Srivastava linear operator, Mathematica (Cluj), 

50(73)(2008), 85-94. 

[7] V. Nechita, On some classes of analytic functions defined by a 

multiplier transformation, Studia Univ. Babes-Bolyai, Mathematica, vol. 

53, no. 3(2008), 69-74. 

[8] C.M. Bălăet¸i, A special differential superordination in the complex 

plane, Studia Univ. Babes-Bolyai (Mathematica), to appear. 

[9] C.M. Bălăet¸i, A general class of holomorphic functions defined by 

an integral operator, General Mathematics, to appear (BDI). 


II. Rezultate relevante obt¸inute în perioada 2007-2009 

• Extinderea unor rezultate semnificative din teoria lant¸urilor 

Loewner de o variabilă complexă la cazul n-dimensional complex 

(lucrările [1], [4] din lista A; [1] din lista C): 

-Problemă actuală: determinarea formei generale a solut¸iilor olomorfe 

f (z, t) = e tA z + · · · pentru ecuat¸ia generalizată Loewner pe bila unitate 

B n în C n , 

∂f 

∂t (z, t) = Df (z, t)h(z, t), a.e. t ≥ 0, ∀z ∈ Bn . 

În particular, se obt¸in solut¸iile univalente ale ecuat¸iei precedente s¸i se 

determină legatura dintre o solut¸ie arbitrară s¸i solut¸ia canonică. Sunt 

prezentate cazuri particulare pentru ecuat¸ia generalizată Loewner 

corespunzătoare lant¸urilor Loewner generate de aplicat¸ii spiralate, 

respectiv stelate, obt¸inute de T. Poreda (1999), respectiv M. Elin- S. 

Reich- D. Shoikhet (2000). Rezultatele obt¸inute în lucrarea [1] din lista 

A sunt generalizări la cazul n-dimensional complex ale unor rezultate 

cunoscute datorate lui J. Becker s¸i C. Pommerenke (1973-1975). 


-Problemă actuală: Abordarea lant¸urilor de subordonare diferent¸ială 

nenormate precum s¸i ecuat¸ia Loewner generalizată pe bila unitate 

euclidiană în C n . Proprietăt¸i fundamentale (lucrările [4] din lista A s¸i [1] 

din lista C). 

-Intoducerea not¸iunii de aplicat¸ie care admite reprezentare 

parametrică generalizată s¸i caracterizarea aceastei not¸iuni din punctul 

de vedere al teoriei lant¸urilor Loewner (lucrarea [4] din lista A). 

Rezultatele obt¸inute în această lucrare extind s¸i generalizează unele 

rezultate obt¸inute recent de I. Graham, H. Hamada, G. Kohr, M. Kohr, 

dar s¸i alte rezultate clasice datorate lui T.J. Suffridge, J.A. Pfaltzgraff, T. 

Poreda, M. Elin, D. Shoikhet, S. Reich. 


-Utilizarea teoriei lant¸urilor de subordonare diferent¸ială la introducerea 

unor noi subclase de aplicat¸ii biolomorfe pe bila unitate B n în C n . 

Conservarea unor proprietăt¸i geometrice s¸i analitice din cazul 

unu-dimensional la cazul n-dimensional complex, prin intermediul unor 

operatori generali de tip Roper-Suffridge (lucrarea [3] din lista B). 

• Operatorul de tip Roper-Suffridge a fost introdus de K. Roper s¸i T. 

Suffridge în 1995. Un rezultat remarcabil dedus de K. Roper s¸i T. 

Suffridge se referă la conservarea not¸iunii de convexitate din unu 

dimensional la cazul n-dimensional complex. I. Graham s¸i G. Kohr 

(2000) au arătat că acest operator conservă s¸i not¸iunea de stelaritate. 

I. Graham, G. Kohr s¸i M. Kohr (2000) au arătat că operatorul 

Roper-Suffridge conservă not¸iunea de reprezentare parametrică. 


• Condit¸ii suficiente de prelungire cvasiconformă pentru aplicat¸ii 

olomorfe cvasiregulare pe bila unitate în C n (lucrările [2], [5] din 

lista A; [3], [4] din lista C): 

-Introducerea familiei aplicat¸iilor tare spiralate în raport cu un operator 

A ∈ L(C n , C n ) s¸i prezentarea unor rezultate ce caracterizează această 

familie de aplicat¸ii biolomorfe pe bila unitate B n din spat¸iul Euclidean 

C n (teoreme de deformare, compactitate). Se arată că aplicat¸iile 

cvasiregulare tare spiralate admit extensii omeomorfe a spat¸iului C n pe 

el însus¸i. Rezultatele obt¸inute se bazează în principal pe aplicabilitatea 

teoriei lant¸urilor Loewner (lant¸uri de subordonare diferent¸ială) (lucrarea 

[2] din lista A). Sunt generalizate rezultate recente datorate lui M. 

Chuaqui (1995); H. Hamada s¸i G. Kohr (2002). 

-Condit¸ii simple de univalent¸ă s¸i extensie cvasiconformă pentru aplicat¸ii 

cvasiregulare olomorfe pe B n (lucrările [5] din lista A; [3], [4] din lista 

C). Rezultatele obt¸inute sunt generalizări ale unor rezultate datorate lui 

J.A. Pfaltzgraff (1975), A. Brodskii (1983), P. Curt (2004), etc. 


• Problemă de actualitate: în lucrarea [1] din lista B sunt obt¸inute 

condit¸ii necesare s¸i suficiente de univalent¸ă (injectivitate globală) 

pentru aplicat¸ii local univalente armonice pe discul unitate U, respectiv 

aplicat¸ii local univalente pluriarmonice pe bila unitate Euclidiană B n în 

C n . În particular, sunt prezentate rezultate de distorsiune (”two-point 

distortion results”) pentru familii afine s¸i liniar invariante de aplicat¸ii 

armonice (pluriarmonice) pe U (respectiv B n ). Aceste rezultate sunt de 

un real interes deoarece, pe de-o parte, generalizează rezultate bine 

cunoscute din literatura de specialitate, din caz analitic, datorate lui S. 

Kim, D. Minda (1994), W. Ma-D. Minda (1997, 1999), J.A. Jenkins 

(2001), D. Kraus-O. Roth (2006), I. Graham, G. Kohr s¸i J.A. Pfaltzgraff 

(2007), iar pe de altă parte, aceste rezultate furnizează atât condit¸ii 

necesare dar s¸i suficiente de univalent¸ă, relativ simple, atât pentru 

familii de aplicat¸ii liniar invariante olomorfe dar s¸i pentru familii afine 

liniar invariante armonice (pluriarmonice). Diverse cazuri particulare 

sunt obt¸inute în lucrarea [1] din lista B pentru familii de aplicat¸ii 

armonice (pluriarmonice) convexe pe discul unitate. 


• Metode moderne din teoria funct¸iilor utile la generalizarea teoremei 

lui Bohr (referitoare la raza Bohr) la cazul n-dimensional complex 

(lucrarea [3] din lista A). Problema a fost recent abordată de Aizenberg 

(2000), Boas-Khavinson (1997), Defant-Garcia-Maestre (2003), 

Liu-Wang (2007), etc. 

• Studiul unor probleme cu valori pe frontieră/transmisie pe domenii 

Lipschitz de pe varietăt¸i Riemanniene compacte, utilizând tehnici ale 

teoriei potent¸ialului s¸i analizei funct¸ionale. Justificarea unor proprietăt¸i 

de continuitate s¸i compactitate a unor operatori important¸i din teoria 

potent¸ialului cu aplicat¸ii practice în mecanica fluidelor (lucrarea [2] din 

lista C) (obiectiv din 2010; part¸ial abordat în 2009). 

• Aplicarea metodei subordonărilor diferent¸iale în planul complex la 

introducerea unor noi subclase de funct¸ii univalente pe discul unitate. 

Conservarea unor proprietăt¸i analitice s¸i geometrice prin intermediul 

unor operatori diferent¸iali s¸i integrali pe clase de funct¸ii analitice în 

discul unitate U (lucrările [5], [6], [7], [8], [9] din lista C). 


Valorificarea rezultatelor 

Vizite s¸i stagii de cercetare la universităt¸i din străinătate 

University of Toronto, Department of Mathematics; invited by Prof. 

I. Graham (Mai 2008, August 2008, Mai 2009); G. Kohr s¸i M. Kohr. 

University of Stuttgart, Department of Applied Mathematics; 

invited by Prof. W.L. Wendland (Martie 2008; Iulie s¸i August 

2009); M. Kohr s¸i G. Kohr. 

Free University of Berlin, Department of Mathematics; invited by 

Prof. H. Begehr (August 2008- P. Curt; Septembrie 2008-C.M. 

Bălăet¸i; Octombrie 2008- G. Kohr; M. Kohr) 

Technical University of Rzeszow, Department of Mathematics; 

invited by Prof. S. Kanas (Mai 2008); C.M. Bălăet¸i. 

University of Turku, Department of Mathematics; invited by Prof. 

M. Vuorinen (August 2009); P. Curt. 


Conferint¸e (fără suport financiar din acest grant), în care au fost 

prezentate rezultate obt¸inute în cadrul proiectului: 

Modern Complex Analysis and Operator Theory and Applications, 

IV, El Escorial (Madrid), June 17-21, 2009: 

G. Kohr, Loewner chains and the generalized Loewner differential 

equation on the unit ball in C n (invited talk). 

International Conference on Complex Analysis and Related 

Topics. The 12-th Romanian-Finnish Seminar, 17-21 August 2009, 

Turku (Finland): 

G. Kohr, Solutions for the generalized Loewner differential 

equation and spirallike mappings in C n (invited speaker). 

M. Kohr, G.P. Raja Sekhar, W.L. Wendland, Boundary integral 

equations for two-dimensional low Reynolds number ow past a 

porous body. 


International Conference on Microfluidics and Complex Flows 

ECM 09, November 5-6, 2009, Tunis: 

M. Kohr, Transmission problems for Stokes and Brinkman 

operators on arbitrary Lipschitz domains. Applications to porous 

media flow problems (invited speaker). 

”Quantitative Models in Economics”, May 15-16, 2009, Faculty of 

Economics and Business Admin., Babes¸-Bolyai University, 

Cluj-Napoca: P. Curt, A short introduction to stochastic Loewner 

evolutions. 

The 5th International Conference Dynamical Systems and 

Applications, 15-18 Iunie, 2009, Constant¸a: C. M. Bălăet¸i, An 

Integral Operator Associated with Differential Superordinations 

2008 One and Several Complex Variables Conference, Lexington 

(Kentucky), USA, 8-11 May 2008: G. Kohr, M. Kohr, New results 

in the theory of univalent subordination chains in several complex 

variables. Geometric aspects. 


Analysis, PDEs and Applications on the occasion of the 70th 

birthday of Vladimir Maz’ya, June 30 - July 4 2008, Rome: 

M. Kohr, Boundary integral method for a Stokes flow past porous 

bodies. 

International Conference on Complex Analysis and Related 

Topics. The XI-th Romanian-Finnish Seminar, Alba Iulia, 

Romania, August 14-19, 2008: 

G. Kohr, M. Kohr, Subordination chains and generalized 

parametric representation in several complex variables (invited 

talk). 

INDAM Workshop on Holomorphic Iteration, Semigroups, and 

Loewner Chains, Rome, 9–12 September 2008: 

G. Kohr, M. Kohr, New aspects in the theory of Loewner chains in 

several complex variables (invited speaker). 


Colaborări ale directorului de proiect 

I. Graham, Department of Mathematics, University of Toronto, 

Toronto, Canada 

H. Hamada, Faculty of Engineering Kyushu Sangyo University, 

Fukuoka, Japonia 

P. Duren, Department of Mathematics, University of Michigan, Ann 

Arbor, USA 

J. Pfaltzgraff, Department of Mathematics, Chapel Hill, University 

of North Carolina, USA 

F. Bracci, Department of Mathematics, University ”Tor Vergata”, 

Rome, Italy 

T. Honda, Hiroshima Institute of Technology, Hiroshima, Japonia 

P. Curt, Faculty of Economics and Business Administration, 

Babes¸-Bolyai University, Cluj-Napoca 

M. Kohr, P. T. Mocanu and I. S¸ erb, Faculty of Mathematics and 

Computer Science, Babes¸-Bolyai University, Cluj-Napoca 


III. Implicarea tinerilor cercetători în realizarea 

obiectivelor grantului 

Asist. Drd. MĂDĂLINA BĂLĂET¸ I, Catedra de Matematică- 

Informatică, Universitatea din Petros¸ani 

Teza de doctorat cu titlul ”Funct¸ii univalente de una s¸i mai multe 

variabile complexe”, conducător s¸tiint¸ific Prof. Dr. G. Sălăgean, 

Univ. Babes¸-Bolyai, este în faza finală de elaborare, urmând a se 

sust¸ine în Februarie 2010 (estimativ). 

Sunt abordate următoarele subiecte, în conexiune directă cu tematica 

acestui grant: 

Introducerea de noi clase de funct¸ii univalente în planul complex, 

unele dintre acestea fiind obt¸inute prin intermediul unui operator 

integral (obiectiv din 2008). 

Obt¸inerea unor noi aplicat¸ii ale subordonărilor s¸i superordonărilor 

diferent¸iale în planul complex (obiective din 2007 s¸i 2008). 


Introducerea de noi familii de aplicat¸ii biolomorfe pe bila unitate în 

C n prin intermediul teoriei lant¸urilor Loewner. Caracterizarea 

acestor familii prin diverse metode analitice s¸i geometrice (obiectiv 

din 2007). 

Utilizarea unor operatori generalizat¸i de tip Roper-Suffridge la 

conservarea not¸iunii de univalent¸ă din cazul unu-dimensional la 

cazul n-dimensional complex (obiectiv din 2009). 


Vizite/stagii de cercetare 

Free University of Berlin, Department of Mathematics; invited by 

Prof. H. Begehr (Septembrie 2008). 

M. Bălăet¸i, Loewner chains and almost starlikenes of complex 

order λ. 

Technical University of Rzeszow, Department of Mathematics; 

invited by Prof. S. Kanas (Mai 2008). 

M. Bălăet¸i, About differential superordinations defined by an 

integral operator. 

Conferint¸e (fără suport financiar din acest grant), în care au fost 

prezentate rezultate obt¸inute în cadrul proiectului: 

The 5th International Conference Dynamical Systems and 

Applications, 15-18 Iunie, 2009, Constant¸a, Romania: 

C. M. Bălăet¸i, An Integral Operator Associated with Differential 

Superordinations. 


Lucrări elaborate 

C.M. Bălăet¸i, Differential superordinations defined by an integral 

operator, Journal of Mathematics and Applications (JMA), 

Rzeszow, 31(2009), 31-38 (BDI) 

C.M. Bălăet¸i, A special differential superordination in the complex 

plane, Studia Univ. Babes-Bolyai (Mathematica), to appear (BDI) 

C.M. Bălăet¸i, A general class of holomorphic functions defined by 

an integral operator, General Mathematics, to appear (BDI) 

C.M. Bălăet¸i, V. Nechita, Loewner chains and almost starlike 

mappings of complex order λ, submitted.

Prezentare-2009

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?