Calcul de efemeridă.

trei parametri geometrici ai orbitei sunt:
• înclinarea orbitei pe ecliptică, i, unghiul diedru format de planul orbitei planetei cu planul orbitei Pământului.
• longitudinea nodului ascendent, unghiul Ω =≺ γSΩ, care este longitudinea ecliptică a punctului Ω
• argumentul periheliului, unghiul ω =≺ ΩSΠ, format de linia apsidală AΠ cu linia nodurilor Ω✵.
Etapa 0 - pozit¸ia planetei în planul orbitei
Presupunem în continuare că determinarea pozit¸iei planetei în planul orbitei (r, V) a fost făcută după metoda
prezentată în cazul Soarelui (rezolvarea ecuat¸iei lui Kepler). Urmează partea geometrică a calculului: trecerea de
la planul orbitei la planul eclipticii ¸si apoi de la reperul heliocentric la reperul geocentric.
Etapa I - coordonate carteziene heliocentrice raportate la linia nodurilor
Pentru început să găsim pozit¸ia planetei relativă la linia nodurilor ¸si nu la linia apsidală. Pentru aceasta introducem
notat¸ia:
u = V + ω
Cum dreptele SΩ, SΠ ¸si SP sunt coplanare rezultă că u este unghiul ≺ ΩSP, ¸si deci perechea (r, u) ne dă pozit¸ia
Figura 3: Pozit¸ia planetei în planul orbitei ¸si sfera cerească heliocentrică
planetei în planul orbitei, în coordonate polare într-un sistem de coordonate cu abscisa trecând prin nodul ascendent
Ω. În continuare ne vom ”ridica” din planul orbitei în spat¸iul tridimensional. Vom construi un sistem de coordonate
S¯x¯y¯z cu reperul în centrul Soarelui S, cu axa S¯z spre polul nord ecliptic ¸si cu axa S¯x spre nodul ascendent al
orbitei planetare SΩ. Impunând ¸si condit¸ia ca sistemul cartezian să fie drept, acesta este unic definit de condit¸iile
de mai sus. Deoarece S¯z este îndreptat spre polul nord ecliptic planul S¯x¯y este planul eclipticii. Să calculăm pozit¸ia
planetei P în acest sistem. Pentru aceasta proiectăm punctul P pe planul P ¯y¯z în punctul P ′ . Vom demonstra
în continuare faptul că unghiul ¯ySP ′ este i, unghiul format de planul orbitei (SΩP ) cu planul eclipticii (SΩ¯y).
Intersect¸ia dintre cele două plane este linia nodurilor SΩ, sau S¯x. Pentru a demonstra că ≺ ¯ySP ′ =i, vom observa
în primul rând faptul ca P ′ ∈ (SΩP ), deoarece dreapta P P ′ este paralelă cu dreapta SΩ (S¯x) – fiind perpendiculare
pe acela¸si plan (S¯x¯y). Dacă P ′ apart¸ine planului orbitei (SΩP ) înseamnă că dreapta P ′ S este perpendiculara pe
SΩ în S din planul (P SΩ). Deci perpendicularele în S pe muchia SΩ a diedrului format de planele orbitei ¸si
eclipticii în cele două plane sunt P ′ S ¸si evident, ¯yS; rezultă ca unghiul diedru al celor două plane se formează între
aceste două drepte.
Cum ≺ P ′ S ¯y=i ¸si ≺ ΩSP =u reprezintă coordonatele unghiulare sferice ale punctului P în sistemul S¯x¯y¯z, avem
că SP ′ =r sin u ¸si deci coordonatele carteziene ale punctului P în sistemul considerat sunt:
¯x = r cos u
¯y = r sin u cos i (4)
¯z = r sin u sin i
3